Аналитические свойства решений некоторых классических и некоммутативных интегрируемых систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

/'? 7 Московский государственный университет 7е- имени М.В. Ломоносова

Механико-математический факультет

Комлов Александр Владимирович

Аналитические свойства решений

некоторых классических и некоммутативных интегрируемых систем

01.01.01 — вещественный, комплексный и функциональный анализ

1 6 СЕН 2010

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ж/.

Москва - 2010

004608108

Работа выполнена на кафедре теории функций и функционального анализа Механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова.

Научные руководители:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, профессор Сергеев Армен Глебович кандидат физико-математических наук, доцент Домрин Андрей Викторович доктор физико-математических наук, профессор Ильяшенко Юлий Сергеевич доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник Погребков Андрей Константинович

Московский государственный институт электроники и математики

Защита диссертации состоится 1 октября 2010 г. в 16 ч. 40 м. на заседании диссертационного совета Д.501.001.85 при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу: Российская Федерация, 119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, Главное здание МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Механико-математического факультета МГУ. (Главное здание, 14 этаж.)

Автореферат разослан 31 августа 2010г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.85 при МГУ доктор физико-математических наук, профессор

В.Н.Сорокин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

Диссертация посвящена: 1) изучению свойств решений некоммутативной грассмановой [/(1) сигма-модели; 2) изучению свойств локально голоморфных решений интегрируемых эволюционных уравнений параболического типа.

Некоммутативная грассманова U( 1) сигма-модель (которой посвящена первая глава диссертации) является простейшим случаем некоммутативной грассмановой U(п) сигма-модели — некоммутативного аналога классической грассмановой сигма-модели. Классическая модель описывается следующим образом. Обозначим через Gr¿(C") комплексный грассманиан (то есть многообразие fc-мерных комплексных подпространств в С"), точки которого отождествляются с ортогональными проекторами в С", имеющими fc-мерные образы. Рассмотрим гладкое отображение / : CP1 -> Gr¡t(C") (иначе говоря, f(z) при каждом z есть матрица fe-мерного ортогонального проектора в С"). Энергия этого отображения задается функционалом

E(f) :=\J Ш\2 + \dyf\2)dxdy = J \dzf\2dxdy, с с

где z = x+iy, а \А\2 = tr(A*A) обозначает квадрат нормы Гильберта-Шмидта матрицы А. Экстремали данного функционала (решения сигма-модели) называются гармоническими отображениями. Указанная классическая модель подробно изучалась математиками и физиками (см., например, монографию Закржевского1).

В теории струн возникает некоммутативный аналог приведенной выше модели, который рассматривался в работах2' 3' 4' 5. Он получается из классической модели заменой плоскости К2 ее некоммутативным аналогом в > 0. Переход к некоммутативной модели совершается по правилам исчисления псевдодифференциальных операторов Вейля6 и приводит к следующей картине. Пусть Я — сепарабельное гильбертово пространство, а и а* — стандартные операторы уничтожения и рождения в Я. В некоммутативной

1W. J. Zakrzewski. Low dimensional sigma models // Adam Hilger, Bristol, 1989.

20.Lechtenfeld and A.D.Popov. Noncommutative multisolitons in 2+1 dimensions // JHEP, №11, 2001, 040.

3A.V.Domrin, O.Lechtenfeld and S.Petersen. Sigma-model solitons in the noncommutative plane: construction and stability analysis // JHEP, №03, 2005, 045.

4A. В. Домриы. Некоммутативные унитоны // Теор. и матем. физика, т.154, №2, 2008, стр.220-239.

5 А. В.Домрин. Пространства модулей решений некоммутативной сигма- модели // Теор. и матем. физика, т. J56, №.3, 2008, стр.307-327.

вЛ.Хермандер. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными, том 1П: Псевдодифференциальные операторы // Мир, М., 1987. / !

грассмановой U(n) сигма-модели вместо отображений /(•) : СР1 ->■ Grk(С") рассматриваются ортогональные проекторы Р в гильбертовом пространстве Cn ® Я = Я". Производная öz(-) заменяется на оператор ® а, •], производная дг{-) — на — -^¡¡[1 <8> а*, •], а интеграл по комплексной плоскости С — на 2вТгц, где Тгц — след оператора по пространству Я. Функционалу энергии E(f) соответствует функционал

E(P) = \\[I®a,P] fHS,

где ||S||j/5 = Trn"(S*S) — квадрат нормы Гильберта-Шмидта оператора S {ТгНп обозначает след по пространству Нп). Экстремали этого функционала (решения грассмановой U(n) сигма-модели) являются некоммутативными аналогами гармонических отображений из СР1 в Gr^(Cn).

В диссертации изучается только некоммутативная грассманова [7(1) сигма-модель. Эта модель представляет физический интерес, несмотря на то, что ее коммутативный аналог тривиален. Она является наиболее доступной для исследования некоммутативной грассмановой сигма-моделью благодаря тому, что определяющий ее оператор / ® а (в этом случае совпадающий с а) неприводим.

В приведенных выше работах2,3,4,5 изучались более общие некоммутативные U(n) сигма-модели, в которых функционал энергии Е(Ф) = ||[а,Ф]j]|/5-рассматривается на множестве унитарных операторов Ф. Некоммутативные грассмановы U(п) сигма-модели вкладываются в них естественным образом: если Р — ортогональный проектор, то I — 2Р — унитарный оператор, причем

Е{1-2Р)'=4Е(Р).

В работе4 было показано, что решения некоммутативной U (1) модели имеют целочисленную энергию. Там же были описаны решения некоммутативной 17(1) модели с малыми значениями энергии. Одним из результатов главы 1 диссертации является описание всех решений грассмановой i/(l) сигма-модели ранга 1. (Этот результат не покрывается работой4, поскольку решения модели ранга 1 могут иметь сколь угодно большую энергию.)

В работе3 изучались так называемые диагональные решения некоммутативной С/(1) сигма-модели, которые определяются следующим образом. В гильбертовом пространстве Я можно ввести канонический ортонормирован-ныйбазис {еГ1}™0, порождаемый операторами а и а*. Именно, вектор ео этого базиса выделяется условием аео = 0, а вектора е„ совпадают с точностью до нормировки С векторами (а*)"ео- Диагональные решения некоммутативной U( 1) сигма-модели имеют вид I — 2Р, где Р — проектор на линейную оболочку конечного набора векторов из канонического базиса. Все операторы такого типа действительно являются решениями некоммутативной С/(1) сигма-модели. В работе3 исследован гессиан функционала энергии некоммутативной t/(l) сигма-модели в точках, являющихся диагональными реше-

ниями. Доказано3, что в этих точках он обязательно имеет отрицательное собственное значение.

В разделе 1.3 главы 1 диссертации мы исследуем гессиан функционала энергии для более узкой некоммутативной грассмановой ¡7(1) сигма-модели в точках, являющихся диагональными решениями (то есть в точках, отвечающих проекторам на линейную оболочку конечного набора векторов из канонического базиса). Доказано, что он также имеет отрицательное собственное значение во всех точках, кроме тех, которые отвечают проекторам на линейную оболочку первых п + 1 векторов ео, е\,.. ■, е„. Проекторы последнего типа являются локальными минимумами энергии благодаря тому, что их образ инвариантен относительно оператора а. Проекторы, обладающие последним свойством, принято называть ВРБ-решениями.

Далее изучается функционал энергии Е(Р) на проекторах с бесконечномерными образом и ядром. Для таких проекторов приобретает важное значение исследование плотности области определения оператора [а, Р] (это свойство проектора Р называется его допустимостью) и конечности энергии проектора Р. Одной из наиболее интересных нерешенных задач в этом направлении является следующая: существуют ли проекторы указанного типа, имеющие конечную энергию? Предполагается4, что ответ на этот вопрос отрицательный. Поскольку3 ВР13-решения с конечномерным образом являются абсолютными минимумами энергии на классе проекторов данного ранга, кажется разумным искать пример проектора конечной энергии с бесконечномерными образом и ядром именно среди ВРБ-решений. В диссертации построен целый класс (допустимых) БРЭ-решений, имеющих бесконечномерные образ и ядро (первый пример такого рода был построен в работе автора [1]). Энергия построенных проекторов (в тех случаях, когда удается ее вычислить) оказывается бесконечной, что свидетельствует в пользу отрицательного ответа на поставленный выше вопрос. Заметим, что построенные в диссертации БРЭ-решения с бесконечной энергией можно рассматривать как некоммутативные аналоги антиголоморфных отображений из комплексной плоскости С в грассманиан, не продолжающихся на всю риманову сферу СР1.

Вторая глава диссертации посвящена изучению вопроса о существовании локально голоморфных решений некоторых интегрируемых эволюционных уравнений параболического типа. Среди этих уравнений содержатся такие хорошо известные уравнения математической физики, как уравнение Кортевега-де Фриза (КдФ)

иг + 6 иих — иххх — 0, (1)

модифицированное уравнение Кортевега-де Фриза (мКдФ)

щ -+- 6 и2их — иххх = 0, (2)

и нелинейное уравнение Шредингера (НУШ)

iut + ихх — 2u|u|2 = 0, (3)

в котором |u(x,t)|2 = u{x,t)u{x,t).

Введем интересующий нас класс эволюционных уравнений (его подробное описание дано в7.) Фиксируем точку х0 € С и обозначим через О(ж0) пространство голоморфных ростков gl{n, С)-значных функций в точке го, а через С?(жо)0<г — пространство голоморфных ростков внедиагональных gl(n, С)-значных функций в точке xq. Будем называть матричным дифференциальным полиномом отображение F : Ö(xq) —У ö(xq) такое, что для любого к € ö(x о) каждый элемент матрицы F (к) есть полином от элементов матрицы к и их производных (один и тот же для всех к). Пусть а и Ъ — диагональные комплексные пхп матрицы, причем ац ф ajj и Ъц ф bjj для i j. Тогда существует8 единственная последовательность матричных дифференциальных полиномов Fk : ö(x0) ö(x0), к = 0,1,... такая, что формальный

00 FkM

степенной ряд F(k, z) :— J2 —^ удовлетворяет дифференциальному уравнению

8xF(k, z) = [az +■к, F (к, z)]

тождественно по к & ö(xo)od и по z, и выполнены начальные условия: Fo(K) = b, Ffc(0) s 0 для k ^ 1. Уравнение

qt = [a, -Fm+1(ç)] (4)

называется тп-м потоком иерархии, задаваемой матрицами а и 6. Здесь д(ж, t) — искомая внедиагональная голоморфная функция в окрестности точки (хо, t0) £ С2, а матричный дифференциальный полином Fm+\ действует по переменной х.

Уравнения (4) для всевозможных матриц а и 6 являются комплексифи-цированными формами интегрируемых эволюционных уравнений интересующего нас класса. Для получения вещественных форм указанных уравнений требуется наложить на компоненты матрицы q дополнительные условия симметрии7' s. В диссертации изучаются только иерархии, задаваемые 2x2-матрицами (заметим, что все физически содержательные примеры относятся к этому классу).

Уравнение (4) можно представить в виде условия нулевой кривизны Ut-Vx + [U,V} = о

7В. Б. Захаров, С. В. Манаков, С. П. Новиков, Л. П. Питаевский. Теория солитонов. Метод обратной задачи // Наука, М., 1980-

8 А. В. Домрин. Замечания о локальном варианте метода обратной задачи рассеяния // Труды МИАН T.253, 2006, стр.46-60.

9C.-L. Temg and K.Uhlenbeck. Bäcklund transformations and loop group actions // Comm. Pure Appl. Math. v.53, 2000, pp.1-75.

для связности U(x, t, z)dx + V(x, t, z)dt, где

U(x,t,z)=az + q(x,t), V(x,t:z)-Y^Fm~j{q{x,t))z3.

j=0

"Уравнения, представимые в таком виде, подробно изучались с помощью метода обратной задачи рассеяния7, 10' 1J. Локальный вариант этого метода был предложен В.Б.Захаровым и А.Б.Шабатом10. Позднее этот вариант метода обратной задачи был применен А.В.Домриным8, 12 для исследования локальной голоморфной задачи Коши для уравнения (4). В частности, в12 был получен критерий разрешимости локальной голоморфной задачи Коши для этого уравнения, который формулируется ниже. Сначала приведем необходимые определения.

Определение 1. Фиксируем диагональную комплексную пхп матрицу а такую, что ац ф ац для г ф j. Пусть qo £ O(xo)od. Тогда среди формальных степенных рядов вида

оо

т(х, z) = I + ms (x)z~s,

3=1

где ms(x) € 0(хо), существует12 единственный ряд m(x,z), удовлетворяющий уравнению

тх(х, z) = (az + q0(x))m(x, z) — m{x, z)az,

в котором все матрицы ms(xо) внедиагональны. Формальный степенной ряд Lqo(z) := т(хд, z) — I называется локальными данными рассеяния для потенциала доОпределение 2. Формальный степенной ряд

оо

У2Ц, cs6gl{n,C),

5=1 Z

принадлежит классу Жеврея с показателем а, обозначаемому Geva, если степенной ряд / \\аУ3 имеет ненулевой радиус сходимости.

Имеет место следующий критерий разрешимости12 локальной голоморфной задачи Коши для уравнения (4). Фиксируем диагональную матрицу а,

10В.Е.Захаров, А.Б.Шабат. Интегрирование нелинейных уравнений математической физики методом обратной задачи рассеяния. II // Функц. анализ и его приложения, т.13, вып.3,1979, стр.13-22.

иЛ. Д. Фэдцеев и Л. А. Тахтаджян. Гамилътонов подход в теории солитонов // Наука, М., 1986

12А. В. Домрин. Мероморфное продолжение решений солитояных уравнений // Изв. РАН, Сер. матем. т.74, вып.З, 2010, стр.23-44.

участвующую в определениях иерархии и данных рассеяния. Задача Коши для уравнения (4) при т > 1 с начальным условием д(х, ¿о) = до(ж)) где до(х) £ О(хо)°а, имеет локальное голоморфное решение в окрестности точки (жо,<о) € С2 тогда и только тогда, когда Ьдо 6 Если такое решение существует, то оно единственно.

Приведенный критерий мотивирует вычисление классов Жеврея данных рассеяния для различных потенциалов. Для любого ростка до 6 О(жо)0<г ег0 данные рассеяния Lqo принадлежат классу беи!8. В случае верхнетреугольных 2 х 2-потенциалов qo(x) = ^ "о^ преобразование рассеяния сводится

к преобразованию Лапласа функции и. Это позволяет получить следующий критерий: € Сеюа тогда и только тогда, когда и(х) — целая функция по-

1 / 1 1

рядка не выше-; если порядок «(ж) равен в точности --, то эта целая

1 - а 1 - а

функция имеет конечный тип12. Однако в случае общих 2 х 2-потенциалов вопрос о принадлежности их данных рассеяния конкретному классу (7еиа с а < 1 является трудной задачей.

Первые два раздела второй главы диссертации посвящены исследованию этого вопроса. Из полученных там результатов выводятся утверждения о неразрешимости локальной голоморфной задачи Коши для уравнений, включенных в иерархии КдФ, мКдФ и НУШ (и, в частности, для самих этих уравнений), с начальными условиями специального вида. В частном случае уравнения КдФ полученный нами результат совпадает с доказанным в13.

Для разрешимости локальной голоморфной задачи Коши для уравнения (4) с начальным условием ^(я^о) — Ча(х) необходимо, чтобы данные рассеяния Ьдо принадлежали какому-нибудь классу Жеврея с показателем, меньшим 1. Для этого росток до (х) должен продолжаться до мероморфной функции на С и являться пикаровским потенциалом12.

Определение 3. Пусть ац, агг — различные комплексные числа. Следуя работе14, скажем, что пара и(х), и(х) мероморфных функций на комплексной

- ( 0

плоскости С задает пикаровскии потенциал I ^ ^ ), если при каждом г£С система двух линейных дифференциальных уравнений

Ех =

_ ianz u(x)\ Е \и(а;) a22z)

имеет фундаментальную систему решений, мероморфную на всей комплексной плоскости С переменного х.

I3N. Joshi, J. A. Petersen, L. M. Schubert. Nonexistence results for the Korteweg-de Vries and Kadomtsev-Petviashvili equations // Studies in Appl. Math., v.105, 2000, pp.361-374.

HF. Gesztesy, R_ Weikard. Elliptic algebro-geometric solutions of the KdV and AKNS hierarchies — an analytic approach // Bull.AMS т.35, 1998, pp.271-317.

Основной результат работы14 состоит в том, что пара эллиптических функций с общей решеткой периодов задает пикаровский потенциал тогда и только тогда, когда этот потенциал является стационарным решением некоторого потока иерархии (4). Все это мотивирует более подробное изучение пикаровских потенциалов с тем, чтобы дать их более явное и полное описание. Заметим, что полученное в работе15 описание пикаровских потенциалов относилось к случаю, когда ь(х) = 1, а функция и(х) принадлежит одному из следующих классов: 1) эллиптическая; 2) периодическая и ограниченная вблизи концов полосы периодов; 3) рациональная и голоморфная в точке оо.

для функции и(х) соответствующего варианта условий Калоджеро-Мозера. В последних двух разделах главы 2 получены новые необходимые условия пикаровости 2x2 -потенциалов общего вида.

Цель работы.

Изучение свойств решений и области определения функционала энергии в некоммутативной грассмановой U{ 1) сигма-модели. Изучение свойств решений локальной голоморфной задачи Коши для интегрируемых эволюционных уравнений параболического типа.

Научная новизна.

В диссертации получены следующие новые результаты:

1. В некоммутативной грассмановой 17(1) сигма-модели описаны решения ранга 1 и изучен вопрос их устойчивости. Для этой же модели исследован вопрос устойчивости диагональных решений: доказано, что гессиан функционала энергии на диагональных решениях, не являющихся BPS-решениями, имеет отрицательное собственное значение.

2. Построен класс проекторов с бесконечномерными образом и ядром, являющихся BPS-решениями. Приведено. доказательство допустимости этих проекторов. Приведен пример BPS-решения некоммутативной грассмановой [/(1) сигма-модели с бесконечной энергией.

3. Получена верхняя оценка показателя класса Жеврея для данных рассеяния полиномиальных 2 х 2-потенциалов. Получены нижние оценки показателей классов Жеврея для данных рассеяния 2 х 2-потенциалов

I5F. Gesztesy, К. Unterkofler, and R. Weikard. An explicit characterization of Calogero-Moser systems // Tians. AMS v.358, 2006, pp.603-656.

В этом случае пикаровость потенциала

равносильна выполнению

с определенными свойствами тейлоровских коэффициентов. Получено необходимое условие пикаровости 2 х 2-потенциалов общего вида и более сильное условие пикаровости симметрических 2 х 2-потенциалов.

4. Получены необходимые условия разрешимости локальной голоморфной задачи Коши для модифицированного уравнения Кортевега-де Фриза и нелинейного уравнения Шредингера.

Основные методы исследования.

Методы исследования, используемые в диссертации, включают в себя методы функционального анализа, комплексного анализа и теории дифференциальных уравнений.

Теоретическая и практическая ценность работы.

Диссертация носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут представлять интерес для специалистов, занимающихся современной теоретической физикой и классическими нелинейными уравнениями математической физики.

Апробация работы.

Результаты диссертации неоднократно докладывались на заседаниях научного семинара по многомерному комплексному анализу им. А.Г.Витушкина под руководством проф. В.К.Белошапки, член-корр. РАН С.Ю.Немиров-ского, проф. А.Г.Сергеева, член-корр. РАН Е.М.Чирки (механико-математический факультет МГУ имени М.В.Ломоносова) в 2006-2009гг.

Результаты диссертации докладывались также на следующих научных конференциях:

• Международная конференция по геометрическим методам в физике (Беловежа, Польша, 2-8 июля 2006г.)

• Второе российско-армянское совещание по математической физике, комплексному анализу и смежным вопросам (Москва, 5-11 октября 2008 г.)

• Летняя школа-конференция по проблемам алгебраической геометрии и комплексного анализа при Ярославском государственном педагогическом университете (Ярославль, 11-16 мая 2009 г.)

• Международная школа-конференция по геометрии и квантованию (Люксембург, 7-11 сентября 2009 г.).

Публикации.

Основное содержание диссертации опубликовано в 4 работах автора, 2 работы из перечня ВАК. Список работ приведен в конце автореферата [1]—

[4]-

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, 2 глав и списка литературы. Объем диссертации — 75 страниц, библиография включает 26 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приводятся основные определения, такие как определения некоммутативной грассмановой V(1) сигма-модели, иерархии эволюционных уравнений, данных рассеяния, классов Жеврея, пикаровости потенциала. Приводится обзор ранее полученных результатов. Формулируются основные результаты диссертации.

В первой главе изучается некоммутативная грассманова ¡7(1) сигма-модель.

В разделе 1.1 приводятся необходимые определения и ранее известные факты, относящиеся к некоммутативной грассмановой /7(1) сигма-модели. Дается реализация этой модели в пространстве Баргмана-Фока.

В разделе 1.2 изучается функционал энергии на проекторах ранга один. Обозначим через с\ когерентное состояние — единственный (с точностью до умножения на 9 с \0) — 1) нормированный собственный вектор оператора а, отвечающий собственному значению А 6 С. Основной результат раздела формулируется следующим образом.

Теорема 1. Проектор Р с одномерным, образом является решением некоммутативной грассмановой II{1) сигма-модели тогда и только тогда, когда его образ является прямой с направляющим вектором (а* — А)-'сд для

некоторых А 6 С и j = 0,1,____ Среди них проекторы на когерентные

состояния сд отвечают (локальным) минимумам функционала энергии, а максимумы отсутствуют.

В разделе 1,3 изучается гессиан функционала энергии некоммутативной грассмановой 11(1) сигма-модели на диагональных решениях. Основным результатом является следующая теорема.

Теорема 2. Пусть Ро - диагональный проектор с конечномерным образом (то есть проектор на линейную оболочку конечного набора векторов канонического базиса). Тогда Ро является решением некоммутативной грассмановой {/(1) сигма-модели.

Если Ро есть проектор на линейную оболочку первых п + 1 векторов {ео, е\,..., е„}, то Ра - локальный минимум функционала энергии. В противном- случае гессиан функционала энергии в точке Ро имеет отрицательное собственное значение.

В разделе 1.4 рассматриваются проекторы Рф на подпространство, являющееся ядром оператора ф(а), где ф(г) — произвольный экспоненциальный полином. Для этих проекторов доказана следующая теорема.

Теорема 3. Проектор Рф для произвольного экспоненциального полинома ф(г) допустим, то есть оператор [а, Рф] плотно определен в Н.

Все такие проекторы являются БРЭ-решениями, то есть их образ инвариантен относительно оператора а, и имеют бесконечномерное ядро. Образ проектора Рф также бесконечномерен, за исключением случая, когда ф(г) имеет конечное множество нулей. Для одного из таких проекторов, а имеино, проектора показано, что:

Теорема 4. Энергия проектора бесконечна.

Тем самым, проектор Дщ жг доставляет пример ВРБ-решения, имеющего бесконечную энергию.

В разделе 1.5 дан обзор открытых вопросов и приводятся комментарии к результатам, полученным в этой главе.

Во второй главе диссертации изучается локальная голоморфная задача Коши для интегрируемых эволюционных уравнений параболического тина. Ключевое значение для разрешимости указанной задачи имеет числовое значение показателя Жеврея для данных рассеяния начального условия. Первые два раздела второй главы посвящены оценкам этих показателей. В качестве следствий мы получаем необходимые условия разрешимости локальной голоморфной задачи Коши для уравнений КдФ, мКдФ, НУШ и уравнений, включенных в порождаемые ими иерархии.

В разделе 2.1 получена верхняя оценка на показатель класса Жеврея для данных рассеяния полиномиальных 2 х 2-потенциалов.

являются полиномами степеней к и I соответственно. Тогда данные рассеяния Lan принадлежат классу Gev w •

k+l+2

В разделе 2.2 получена нижняя оценка показателя класса Жеврея для данных рассеяния мономиальных 2 х 2-потенциалов.

Теорема 5. Пусщь компоненты и, v потенциала до(х) =

Теорема 6. Пусть

_ ( 0 А(х- ха)к 4(1 ~ \В{х - х0)1 О

где к,1 £ N0, а Л, В £ <С\{0}. Тогда данные рассеяния Хдо не принадлежат

п к + 1

никакому классу Ьеиа с а < ^ ^ ^ ^.

Эта оценка была также независимо получена в работе16. Объединяя верхнюю и нижнюю оценки, получаем точную оценку показателя класса Жеврея для данных рассеяния мономиальных потенциалов.

Используя аналогичные методы, в разделе 2.2 доказываются результаты о неразрешимости локальной голоморфной задачи Коши для уравнений (4) с начальными условиями, которые обладают определенными свойствами симметрии и лорановскими коэффициентами специального вида. В частности, приводятся результаты о неразрешимости локальной голоморфной задачи Коши для уравнений, включенных в иерархии КдФ, мКдФ и НУШ, с начальными условиями специального вида (следствия 6, 7, 9).

Следствие 6. Пусть мероморфная в С функция ид(х) имеет в точке £ £ С тейлоровское разложение вида

п=0

где Сп ^ 0 и с^ > 0 для некоторого N ^ 2. Тогда локальная голоморфная задана Коши для уравнения (4) при т> 2 в окрестности произвольной точки (жо,^о) £ с начальным условием д(х, ¿о) = неразрешима.

В частности, локальная голоморфная задача Коши для любого нечетного потока иерархии КдФ, кроме первого (и для самого уравнения КдФ (1) при т = 3), в окрестности произвольной точки (хц, £о) £ С2 с начальным условием и(х^о) = щ(х) неразрешима.

Следствие 9. Пусть мероморфная в С функция щ(х) имеет в точке £ £ М тейлоровское разложение вида

оо

и0(®) = С72сп(®-Оп,

п=0

где С £ С \ {0}, Сп ^ 0 и с^ > 0 для некоторого N ^ 2. Тогда локальная голоморфная задача Коши для уравнения (4) при т > 1 в окрестности произвольной точки (жо^о) £ К2 с начальным условием д(х^а) —

"А.В.Домрин, А.В.Домрина. О расходимости ряда Концевича-Виттена // Успехи матем. наук, т.63, вып. 4, 2008, стр.185-186.

(в ^ol^) j неразрешима. В частности, локальная голоморфная зада-~щ(х) 0 /

ча Коши для любого потока иерархии НУШ, кроме первого (и для самого уравнения НУШ (3) при т = 2), в окрестности произвольной точки (x0,t0) 6i2 с начальным условием и(х, ¿о) = щ(х) неразрешима.

Последние два раздела второй главы посвящены изучению свойства пи-каровости 2 х 2-потенциалов. Как уже говорилось, пикаровость начального условия необходима для наличия локально голоморфных решений уравнения (4). В предложении 10 показано, что пикаровость потенциалов не зависит сл.' выбора чисел ац ф а-а-

В разделе 2.3 изучается пикаровость 2 х 2-потенциалов общего вида. В теореме 7 получено необходимое условие пикаровости для произвольного ме-роморфного потенциала в случае, когда хотя бы одна из задающих его функций u(x),v(x) имеет полюс хо € С.

Теорема 7. Пусть ац, а-я — различные комплексные числа, а и(х), v(x) — мероморфные функции в окрестности точки xq б С, причем хотя бы одна из них имеет в точке xq полюс порядка п. Пусть система

V^W a-nz)

имеет при каждом z 6 С мероморфную в окрестности точки xq фундаментальную систему решений. Тогда произведение u(x)v(x) обязательно имеет в точке xq полюс второго порядка и

ttfrMa;) = N2 ~ (4" " 1)2 (х - хо)~2 + 0(1)

для некоторого N = n + 1, п + 3, п + 5,____

С помощью данной теоремы получается необходимое условие разрешимости нелинейного уравнения Шредингера.

Следствие 12. Если нелинейное уравнение Шредингера (3), рассматриваемое в окрестности точки (z0, fo) € ®2г с начальным условием и(х, ¿о) = щ(х) имеет вещественно-аналитическое решение, то функция щ(х) продолжается до мероморфной в С функции, не имеющей полюсов на вещественной оси.

Необходимое условие пикаровости из теоремы 7 является довольно ограничительным, а в случае мономиальных потенциалов оно становится даже необходимым и достаточным (теорема 8).

В разделе 2.4 изучается пикаровость симметричных потенциалов (для которых v(x) = и(х)). Выбор этого условия вещественности приводит к иерархии мКдФ. В теореме 9 получено необходимое условие пикаровости таких потенциалов, которое является более сильным по сравнению с условием из теоремы 7.

Теорема 9. Пусть ац и а.22 — различные комплексные числа. Пусть и(х) — мероморфная функция в окрестности точки xq б С, имеющая в этой точке полюс. Предположим, что система

Е (*и* «(*Г\д

^и(х) a22Zj

имеет при каждом z £ С мероморфную в окрестности точки xq фундаментальную систему решений. Тогда и(х) имеет в точке xq полюс первого порядка и разложение и(х) в окрестности точки xq имеет вид

iiV 00 u(x) =--h Y] Uk(x - xo)k,

x~x° to

где N e N и u2k = 0 для k = 0,..., N - 1.

Кроме того, в разделе 2.4 получен аналог условий Калоджеро-Мозера для случая симметричных потенциалов (следствие 13).

Благодарности.

Автор выражает глубокую благодарность своим научным руководителям: доктору физико-математических наук, профессору Армену Глебовичу Сергееву за постоянное внимание к работе и кандидату физико-математических наук, доценту Андрею Викторовичу Домрину за постановку задач и постоянное внимание к работе.

Список публикаций по теме диссертации.

[1] А. В. Комлов. Некоммутативная грассманова t/(l) сигма-модель и пространство Баргмана-Фока // Теор. и матем. физика. — 2007. — т. 153, №3 - стр. 347-357.

[2] А. В. Комлов. Оценки классов Жеврея данных рассеяния для полиномиальных потенциалов // Успехи матем. наук. — 2008. — т.63, вып. 4 — стр. 189-190.

[3] А. В. Комлов. О полюсах пикаровских потенциалов // Труды ММО. — 2010. - т. 71 - стр.271-283.

[4] A. Komlov. Noncommutative Grassmannian U( 1) sigma-model and Bargmann-Fock Space // Journal of Geometry and Symmetry in Physics. — 2007. —

v. 10 - pp. 73-81.

Подписано в печать 26,(26, Ю Формат 60x90 1/16. Усл. печ. л./,0 Тираж /ОО экз. Заказ

Отпечатано с оригинал-макета, на типографском оборудовании механико-математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова

Введение

Глава 1. Некоммутативная грассманова U{ 1) сигма-модель

1.1 Основные понятия и определения

1.2 Описание решений ранга

1.3 Устойчивость диагональных решений.

1.4 Бесконечномерные BPS-рептения.

1.4.1 Построение класса бесконечномерных BPS-решений

1.4.2 Пример BPS-решения с бесконечной энергией.

1.5 Открытые вопросы и комментарии.

Глава 2. Локальная голоморфная задача Коши для интегрируемых эволюционных уравнений

2.1 Верхние оценки классов Жеврея полиномиальных 2x2-потенциалов.

2.2 Нижние оценки классов Жеврея мономиальных 2x2-потенциалов и приложения.

2.3 Условия пикаровости 2 х 2-потенциалов.

2.4 Необходимое условие пикаровости симметрических 2x2-потенциалов.

Решения интегрируемых систем, возникающих в современной математической физике, обладают рядом специфических аналитических свойств, которые пока еще мало изучены. Под аналитическими свойствами в главе 1 понимаются принадлежность области определения функционала энергии, конечность энергии, устойчивость решений; в главе 2 — ограничения на порядки полюсов и коэффициенты Лорана решений. Цель данной работы — изучение этих аналитических свойств и, когда это возможно, описание самих решений.

В главе 1 рассматривается грассманова некоммутативная U( 1) сигма-модель, являющаяся простейшим случаем некоммутативной грассмановой U(n) сигма-модели — некоммутативного аналога классической вещественно-двумерной грассмановой сигма-модели. Сначала кратко опишем классическую модель. Обозначим через комплексный грассманиан (то есть многообразие /с-мерньтх комплексных подпространств в Сп). Мы будем отождествлять его точки с ортогональными проекторами в Сп с fc-мерным образом (и (п — /с)-мерным ядром). Рассмотрим произвольное отображение / : CP1 —> Grk{С") (иначе говоря, f(z) при каждом -г есть матрица /с-мерного ортогонального проектора в Сп). Энергия отображения / задается функционалом

E{f) :=\J (Ш\2 + \dyf\2)dxdy = J | d-J\2dxdy, с с где z = х + iy, д~ = (дх + гду)/2 — производная по z, а \А\2 — tr(A*A) — квадрат нормы Гильберта-Шмидта произвольной матрицы А. Экстремали данного функционала (решения модели) называются гармоническими отображениями. (Подробнее об этой модели см. [26].)

В теории струн возникает некоммутативный аналог приведенной выше модели, который рассматривался также в [7], [8], [17], [22]. Он получается из классической модели переходом на некоммутативную плоскость 6 > 0. Переход основан на правилах исчисления Вейля псевдодифференциальных операторов (см. [14], глава XVIII) и приводит к следующей картине. Пусть Н — сепарабельное гильбертово пространство, а и а* — стандартные операторы уничтожения и рождения в Н. (Точные определения операторов а и а* даны в разделе 1.1.) В некоммутативной грассмановой U(п) сигма-модели вместо отображений /(•) : CP1 —> рассматриваются ортогональные проекторы Р на гильбертовом пространстве Сп® Н = Нп. Производная д~{-) заменяется на <8> о, •]> производная д2(-) — на ® а*, •]> а интеграл по комплексной плоскости С — на 2ОТгн, где Тг# — след оператора по пространству Н. Поэтому функционалу E(f) соответствует функционал

E(P) = \\[I®a,P)\\2HS, где Нб'Ид^ = TrHn{S*S) — квадрат нормы Гильберта-Шмидта оператора S (здесь Trjjn — это след по всему пространству Нп). Экстремали этого функционала (решения грассмановой U(n) сигма-модели) являются некоммутативными аналогами гармонических отображений из CP1 в Grk(C-n). В диссертации изучается только некоммутативная грассманова U(l) сигма-модель. Эта модель представляет интерес, несмотря на то, что ее коммутативный аналог тривиален (так как в С существует всего два проектора — тождественный оператор и нулевой оператор). Она является простейшей из некоммутативных грассмановых U(п) сигма-моделей и, помимо этого, выделяется из общего ряда тем, что в U(l) сигма-модели определяющий ее оператор / ® а, совпадающий с а, неприводим. Полное определение некоммутативной грассмановой U( 1) сигма-модели и ее простейшие свойства приведены в

разделе 1.1. Ее отличие от других некоммутативных U(п) моделей и аналогии с коммутативными моделями обсуждаются в разделе 1.5.

Теперь сформулируем результаты главы 1. В разделе 1.2 явно описываются все решения с одномерным образом и полностью исследован вопрос об устойчивости таких решений. Обозначим через с\ когерентное состояние — единственный (с точностью до умножения на 9 с = 1) нормированный собственный вектор оператора а, соответствующий собственному значению А £ С (подробнее см. раздел 1.1). Тогда основной результат этого раздела формулируется следующим образом (опубликовано в [11]).

Теорема 1 Проектор Р с одномерным образом является решениель тогда и только тогда, когда его образ есть линейная оболочка вектора вида (а* — \У с\, для некоторых А € С u j = 0,1,. Минимумами (локальными) среди них являются проекторы на когерентные состояния с\. Максимумы отсутствуют.

Кроме того, так как Е(Р) — Е(1 — Р), эта теорема дает еще и полное описание решений с одномерным ядром.

Операторы а и а* определяют естественный для них ортонормированный базис {en}^L0 в пространстве Н, где вектор ео выделяется условием аео = 0, а еп — это нормированные вектора (а*)пео (в разделе 1.1 этот базис называется каноническим). В разделе 1.3 рассматриваются проекторы на линейные оболочки конечных наборов векторов из канонического базиса. Все они являются решениями рассматриваемой модели. Мы исследуем гессиан функционала энергии в этих точках. (То есть симметрический оператор, построенный по второй вариации функционала энергии в точке, являющейся таким проектором.) Оказывается, что он имеет отрицательное собственное значение во всех точках, кроме проекторов на линейную оболочку векторов во, е\,., еп (теорема 2). Последние являются локальными минимумами, так как обладают тем свойством, что их образ инвариантен относительно оператора а. Проекторы, обладающие таким свойством, называют BPS-решениями (подробнее см. раздел 1.1).

Результаты разделов 1.2 и 1.3 подтверждают гипотезу, выдвинутую в разделе 1.5 и основанную на коммутативной аналогии, что локальными минимумами некоммутативной грассмановой модели являются только BPS-решения и анти-БРЭ-решения (проекторы, дополнительные к BPS-решениям).

1. Э. Л. Айне, Обыкновенные дифференциальные уравнения, Харьков, 1939г.

2. Н. И.Ахиезер, Лекции по теории аппроксимации, Наука, Москва, 1965.

3. А. О. Гсльфонд, Исчисление конечных разностей, Москва, Физматтиз, 1959г.

4. А. В. Домрин, Замечания о локальном варианте метода обратной задачи рассеяния, Труды МИАН 253(2006), стр.46-60.

5. А. В. Домрин, Локальная голоморфная задача Коши для солитонных уравнений параболического типа, ДАН, 2008, 420, №1, стр.14-17.

6. А. В. Домрин, Мероморфное продолжение решений солитонных уравнений, Изв. РАН Сер. матем. 74 (2010), вып.З, стр.23-44.

7. А. В. Домрин, Некоммутативные унитоны., Теор. и матем. физика, 154 (2008) №2, стр.220-239.

8. А. В. Домрин, Пространства модулей решений некоммутативной сигма-модели., Теор. и матем. физика, 156 (2008) №3, стр.307-327.

9. А. В. Домрин, А. В.Домрина, О расходимости ряда Концевича-Виттена, Успехи математических наук, 63, вып. 4(382) (2008), стр.185-186.

10. В. Е. Захаров, С. В. Манаков, С. П. Новиков, J1. П. Питаевский, Теория со-литонов. Метод обратной задачи, М., Наука, 1980г.

11. А. В.Комлов, Некоммутативная граееманова U( 1) сигма-модель и пространство Баргмана-Фока, Теор. и матем. физика, 153 (2007), №3, стр.347-357.

12. А. В. Комлов, О полюсах пикаровских потенциалов, Труды ММО, 71 (2010), стр.271-283.

13. А. В. Комлов, Оценки классов Жеврея данных рассеяния для полиномиальных потенциалов, УМН, 2008, 63:4(382), стр.189-190.

14. Л. Хермандер, Анализ линейных дифференгщальных операторов с частными производными, том III: Псевдодифференциальные операторы, Мир, Москва, 1987.

15. V. Bargmann, On a Hilbert space of analytic functions and an associated integral transform, part 1, Comm. Pure Appl. Math. 14 (1961).

16. F. E. Burstall, J. H. Rawnsley, Stability of classical solutions of two-dimensional Grassmannian models, Comm. Math. Phys. 110 (1987), pp.311316.

17. A.V. Domrin, O. Lechtenfeld and S.Petersen, Sigma-rnodel solitons in the noncommutative plane: construction and stability analysis, JHEP 0503 (2005) 045 hep-th/0412001].

18. F. Gesztesy, K. Unterkofler, and R. Weikard, An explicit characterization of Calogero-Moser systems, Trans. AMS 358 (2006), pp.603-656.

19. F. Gesztesy, R. Weikard, Elliptic algebro-geometric solutions of the KdV and AKNS hierarchies an analytic approach, Bull.AMS 35(1998), pp.271-317.

20. N.Joshi, J.A.Petersen, L.M.Schubert, Nonexistence results for the Korteweg-de Vries and Kadomtsev-Petviashvili equations, Studies in Appl. Math., 105, pp.361-374 (2000)

21. A. Komlov, Noncommutative Grassmannian U( 1) sigma-model and Bargmann-Fock Space, Journal of Geometry and Symmetry in Physics, v. 10 (2007), pp.73-81.

22. O. Lechtenfeld and A. D. Popov, Noncommutative multisolitons in 2+1 dimensions, JHEP 0111 (2001) 40 hep-th/0106213].

23. D. J. Newman, H. S. Shapiro, Fisher spaces of entire functions, AMS Proc. Symp. Pure Math., v. XI "Entire functions and related parts of analysis"(1968), pp.360-369.

24. J. Sacks, К. K. Uhlenbeck, The existence of minimal immersions of two-spheres. Ann. Math. 113, pp. 1-24 (1981)

25. C.-L. Terng and K. Uhlenbeck, Backlund transformations and loop group actions, Comm. Pure Appl. Math. 53 (2000), pp. 1-75.

26. W. J. Zakrzewski, Low dimensional sigrna models, Adam Hilger, Bristol, 1989.