Построение конечнозонных решений солитонных уравнений сведением к задаче обращения Якоби тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На р^^писи

1 8 ДНК 2003

НОВИКОВ Дмитрий Петрович '

УДК 517.9

ПОСТРОЕНИЕ КОНЕЧНОЗОННЫХ РЕШЕНИЙ СОЛИТОННЫХ УРАВНЕНИЙ СВЕДЕНИЕМ К ЗАДАЧЕ ОБРАЩЕНИЯ ЯКОБИ

специальность - 01.01.02 "дифференциальные уравнения"

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Новосибирск - 2000

Работа выполнена на кафедре математического анализа Омского государственного университета

Научный руководитель доктор физико-математических наук,

профессор РОМАНОВСКИЙ Р.К.

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук

ТАЙМАНОВ И.А.

доктор физико-математических наук, профессор ДУБРОВСКИЙ В.Г.

Ведущая организация Красноярский государственный

педагогический университет

Защита состоится "¿0 " ^г-иШ^к^ 2000 г, в и часов на заседании Диссертационного Совета К 002.23.02 в Институте математики им. С.Л. Соболева СО РАН по адресу г. Новосибирск, пр. Академика Коптюга, 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики им. С.Л. Соболева СО РАН.

Автореферат разослан 46у 2000 г.

Ученый секретарь Диссертационного Совета кандидат физ.-мат. наук

В /¿У. £¿^03

в

в зи, ¿з, оз

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. За последние 30 лет одним из наиболее мощных инструментов в исследовании нелинейных явлений стал метод обратной задачи, применимый к ряду фундаментальных уравнений математической физики. В 1967 году был открыт замечательный механизм, связывающий некоторые важные нелинейные уравнения со спектральной теорией вспомогательных линейных дифференциальных операторов и позволяющий эффективно строить многосо-литонные решения таких уравнений, описывающие взаимодействие конечного числа солитонов — уединенных волн вида и — и(х — Ы) (работы Крускала, Гарднера, Миуры, Лакса, Захарова, Шабата и других). Начиная с пионерской работы С.П. Новикова 1974 года, в рамках метода обратной задачи интенсивно развиваются методы построения решений нелинейных уравнений, широко использующие аппарат алгебраической геометрии и получившие название теории алгебро-геометрического или конечнозонного интегрирования. На основе развитой в этой теории общей схемы, сердцевиной которой является аппарат функций Бейкера - Ахиезера, в работах Новикова, Дубровина, Кричевера, Матвеева, Итса и других авторов построены периодические и квазипериодические решения ряда важных нелинейных уравнений в терминах тэта-функций (такие решения также называются конечнозонными), получены приложения к задачам физики, механики, гидродинамики.

Имеется ряд солитонных уравнений, для которых построение ко-нечнозонных решений методом функций Бейкера - Ахиезера связано с большими трудностями. В ряде случаев не удается точно построить экспоненциальный множитель в тэта-формуле для функции Бейкера - Ахиезера. Препятствия возникают и в случае, когда алгебраическая кривая, по которой строится решение, имеет двойные точки. К числу уравнений, для которых имеют место трудности указанных типов, относятся уравнение Г. Дима, возникающее в задачах гидродинамики и геометрии, уравнения \VKI-серии, и уравнение Кричевера - Новикова, играющее важную роль в теории уравнения Кадомцева - Петвиашвили.

В связи со сказанным актуальной является задача поиска других подходов к построению конечнозонных решений.

Цель работы -— разработка метода построения конечнозонных решений солитонных уравнений, основанного на приведении этой задачи к задаче обращения Якоби на алгебраической кривой, и получение приложений к конкретным нелинейным уравнениям математической физики.

Методы исследования — применены аппараты алгебраической геометрии римановых поверхностей, примфункций Вейерштрасса и билинейных дифференциальных операторов Хироты.

Научная новизна. В диссертационной работе получены следующие основные результаты.

— Выведены тэта-формулы для сумм абелевых интегралов второго и третьего рода в теории задачи обращения Якоби.

— Разработан метод построения конечнозонных решений (1+1)-уравнений, представимых в виде уравнения нулевой кривизны, основанный на приведении к задаче обращения Якоби. Метод проиллюстрирован на трех примерах: системе уравнений кирального поля, уравнениях Гарри Дима и Кричевера - Новикова.

— Установлена связь формулы редукции тэта-функции двулистного накрытия эллиптической кривой и известного разделения переменных в уравнении Кадомцева - Петвиашвили, появляющегося в задаче деформации пар коммутирующих операторов ранга 2.

— Построены формулы для функций Бейкера - Ахиезера некоторых алгебраических кривых в терминах примфункций Вейерштрасса.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты работы представляют собой дальнейшее развитие теории конечнозонного интегрирования солитонных уравнений, развитый в ней метод построения решений существенно дополняет известный метод функций Бейкера - Ахиезера. Полученные в работе тэта-формулы для конечнозонных решений конкретных уравнений могут быть использованы в задачах математической физики.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на конференции ИНПРИМ-96 (Новосибирск) в 1996г., на 10-й Сибирской школе "Алгебра, геометрия, анализ и математическая физика" в 1996г., на семинаре кафедры математического анализа ОмГУ в 2000г., на семинаре отдела "Условно-корректные задачи" ИМ СО РАН в 2000г.

Структура диссертации. Работа состоит из введения и трех глав (10 параграфов). Библиография 85 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении содержится краткий обзор основных этапов развития метода обратной задачи в математической физике, приведены основные результаты диссертации.

1. Первая глава носит вспомогательный характер, содержит необходимые сведения из алгебраической геометрии. Доказательство основной теоремы 4 в четных случаях принадлежит автору.

Пусть алгебраическая кривая Г задана уравнением /(А,/и) = 0, где / —• неприводимый многочлен. Далее Р — произвольная точка на Г. Будем использовать следующие обозначения: Л(Р) — вектор нормированных интегралов 1-го рода; Л(Р) : Г —» J(r) — отображение Абеля; В — матрица Ь-периодов интегралов Л. Тэта-функция кривой Г рода д, в(г) : С9 —)■ С, определяется рядом Фурье

в(г) = ]Гехр{7гг (п, Bn + 2z)}, n£l9.

Рассмотрим на кривой

ц2 = Д(А) = ДоА29+2 + AiA2fl+1 + ... + Д2э+2, (1)

где |До| + |Ai| Ф 0, систему уравнений

fPl Аk~xd\ fF« Xk~1dX 1 _

/ —=-+ ...+ / -= C k, k = l,g. 2)

Jeo 2M JEo 2Ц

Задача обращения Якоби состоит в вычислении симметрических функции от верхних пределов Р,- в терминах тэта-функций с аргументом, линейно зависящим от Для получения искомых формул в

§1.2 использован известный метод вычисления контурных интегралов вида

/даь^с?), ТО) = в{Л[Я) - е), (3)

¿т ]дт,

где 1(С}) — абелев интеграл на Г, е = /С+С£, /С — вектор римановых констант, С — матрица перехода от степенного базиса интегралов 1-го рода к нормированному, интегрирование ведется по границе поверхности, получающейся из Г разрезанием по о- и ¿¡-циклам и между логарифмическими особыми точками 1(С]). Этот метод при = I? Л2дЛ приводит к следующему результату. Теорема 4. Пусть [Р{ = г = 1 ,д — решение системы

(2). Тогда

^ [Р'Х9<1\ ± ^ / А» ¿А

degД = 29+l

^ {1п0(е - -4(оо-)) - 1п0(е - -Д(оо+))} , ёе6 Д = 2д+ 2,

где е;- — те же, что в (3). Симметрические функции от А* вычисляются из равенства

П<л-ад

¿=1 д!=х

В §1.3 кратко изложен используемый в главе 3 аппарат примфунк-ций Вейерштрасса. Приведены примеры построения функций Бей-кера - Ахиезера с помощью этого аппарата.

2. Будем кратко говорить, что матрица М(х, £, А) принадлежит к

классу СЦо, если она рациональна по А с полюсами, не зависящими от

х, Алгебро-геометрические (конечнозонные) решения уравнения

нулевой кривизны

иу-Ух + [и,У] = 0 (5)

в классе матриц из <Зо выделяются требованием существования матрицы IV € (¿о такой, что

Шх = [и,\¥], I¥у = {У^} (0)

(равенства (5), (6) должны выполняться для всех Л). Основным содержанием главы 2 является построение решений (17, V, И7) системы (5), (6) в классе матриц второго порядка вида

тт _ Л V _ ( -^/2 " ^

ио~{и О]' °~\-ухх/2 + иу ьх/2)>

1Го=( "О; «,«,«>€ <?о

\-1ихх/2 + ии) гох/гу

(вид матрицы IV обусловлен видом V, V). В основных приложениях к солитонным уравнениям матрицы 27, У либо имеют вид (7), либо приводятся к такому виду преобразованием типа калибровки. Далее система (5), (6) для матриц (7) называется канонической в классе таких систем с матрицами С/, V 6 кЬ.

Наиболее полные результаты получены в §2.2. Здесь предполагается

и = и0А2 + иг(:е,£)А + |и0| + |их| ^ О,

9 9

V = П(Л - = ^ +

¿=1 г=1

N п

и = «о =

;'=0 ¿=0 п] _

= 0(Л - Л,-)-4, 1 =

1=1

(8)

О)

полюсы Ау и порядки полюсов д,п,гч произвольно фиксированы. Показано, что вычисление нулей 7* (ключевой элемент конструкции) приводится к решению задачи обращения Якоби на кривой ц2 = Л(А), где Д(А) — многочлен степени 2д + с^и, решаемой в тета-функциях, по теореме 4. Коэффициенты многочлена и(А)

вычисляются по ш, Д из системы линейных алгебраических уравнений. Основной результат этого параграфа — представление функции г)(д;, А) через Построенное таким путем множество решений (7) системы (5), (6) зависит, при фиксированных полюсах в (8), (9),и многочлене Д(А), от произвольной гладкой вектор-функции размера п + 1 + пз и произвольного постоянного вектора размера д и содержит все решения вида (7)-(9).

В §2.3 система (5), (6) для матриц (7) из С}о рассматривается в общем случае. Здесь принимается без ограничения общности, что

Показано, что в процедуре вычисления нулей 7г возникает задача обращения сумм абелевых интегралов существенно более общего вида, чем в §2.2. Решение этой задачи в частном случае получено в главе 3 при построении конечнозонных решений уранения Г. Дима.

В §2.4 приведение системы (5), (6) на алгебре Ли бЬ к каноническому виду проиллюстрировано на конкретном примере, используемом в главе 3 при построении конечнозонных решений системы уравнений кирального поля.

3. Сформулируем основные результаты главы 2. Лемма 1. Следующие утверждения равносильны: (г) Матрицы (7) удовлетворяют (5), (6). (И) Справедливы, при некоторой Д(А); равенства

Далее при решении системы (10), (11) применяется следующая схема. Вначале задается вид зависимости и, V от А и определяется допустимый вид и;, Д. Затем в (10) подставляется А = 7¿, где 71 — нули V], что дает ги^|л=7, = 4Д(7*) и, на основе тождества ^Нд=7;) = 0, равенства

я

г=1

(10) (11)

1

Полученные данные о и> вместе с дополнительной информацией об и, V, появляющейся в конкретных задачах, используются для получения уравнений на 7,. Схему завершает нахождение по полученному ги функций и, V из (10), (11).

Пусть теперь и,ь,ш имеют вид (8)-(9). Тогда в силу (10) Д(А) — многочлен степени 2д + с^и. Предполагая, что Д(А) не имеет кратных корней, построим кривую (1) и рассмотрим систему (2) с неизвестными Р, = (7

Е/ к=тг9, (12)

где ¿у — символ Кронекера, (£) — произвольные функции. Пусть:

1) (71,... ,73) — решение системы (12) при некоторых гладких

Ш- ъ = = !.••• ,€9).»' = Т7э;

2) ш — многочлен (8) с нулями 7, = /¿;

3) функции 1рт(дг,Л) даются формулами

^ = { Л"1

ш = 0,

где — коэффициенты ю.

Теорема 5. В условиях 1)-3) матрицы (7), где функции и, V, т даются формулами (8),

и0 = До, и\ — Д1 - 2Д0гиь и2 = Д2 - + Д0(3ш1 - 2ги2),

9 9

и = + ш = П(А~Л). (13)

к=1 i=l

удовлетворяют системе (5), (6). Здесь — произвольная функ-

ция класса <5о- Получаемые таким путем решения исчерпывают все решения вида (7)~(9).

Уточним вид решений в теореме 5, а также постановку задачи обращения Якоби (12), при фиксированных полюсах функции V.

Теорема 6. Решения вида (9) уравнения (И) с функцией гв вида (13) даются формулой

п-д д

г=0

+ \Гх=Г . л '

_7 = 1 »=1 4 ' п=\,

где с(£) = — набор п + 1 + £ • пз произвольных функций;

при этом в соответствующей системе (12) должны выполняться условия

,■=1 ¿=1 ^ %>-

где п^ь = гшп{А;,гг,}. Постоянные интегрирования, появляющиеся при определении произвольны.

В следующем утверждении система (5), (6) с матрицами из эЬ приводится к каноническому виду.

Лемма 4. Пусть имеется система (5), (6) с матрицами

{ VII «12 \ цг = ( Ш12 ^ -«п/ ' \ »21 -шц У '

1°. Уравнение (5) для матриц II, V эквивалентно системе, состоящей из уравнения (5) с матрицами (7), где

1 «12хх , 3 и\2х (иц\ 2

и—--- + 7 —2--^ и12 1 - + «И + «12«2Ъ и = 1>12и12,

2 щ2 4 и{2 \Ul2j х

и двух равенств:

«121 - «12х + 2«ци12 - 2и12г>п = О,

«114 ~ «11х + «12^21 ~ «21«12 = 0.

2°. Функция и> = Ш12И121 является решением системы (10)-(11) вместе с и, V из пункта 1°.

ц _ I «11 «12

«21 «ц где И12 ф 0. Тогда

Доказательство проведено путем применения преобразований, сохраняющих вид уравнений (5), (6):

и = вив-1 +вхО-1, V = вУв'1 +С?гСГ\ =

и п -1/2 ( I 0 \ „ 1и121

с матрицей О = и,, ' _ , % = — —-

Р 12 1 Цц + 2 ща) ' 2 и12

4. В главе 3 на основе результатов глав 1, 2 строятся конечно-зонные решения конкретных уравнений.

В §3.1 построен подкласс двухзонных решений системы уравнений главного кирального поля на алгебре Ли яЬ

Ау + [А, В] = 0, Вх- [А, В] = 0. (14)

Вначале исходное представление этих уравнений в виде (5) для пары матриц V = АЛ, V = ВА(А— I)-1 приведено, по лемме 4, к системе (10), (11), где и — функция (8), V = А^В^А —I)-1. Затем построен класс решений канонической системы при

ы = (А - 71)(Л - 72), Д(А) = А5 + Д2Л4 + ... + Д5А.

Из теоремы 5 следует, что

\ , л о 1+и>1+и)2 и = А + Л2-2ю1, ь=-—--,

и в (2) С1 = -у + 6 > Сг = х - у + £2- По теореме 4

и11 = -(71 + 72) = 1п 0(е) +с2, ги2 = 7172 = % % 1п 0(е) + .

Применение леммы 4 позволило найти, с учетом специального вида многочлена Д(А), частное решение системы (14)

ги2 А12

/ = % 1п 6(е) + С\х + г\(у),

В12=(1+Ш1+Ш2)А12, (15)

Вп = (1 + гУ1 + ю2)Ап - ^А12уА^, В21 = -[(1 + т+ ш2 )А2п + АПу]А^;

здесь Гк(у) должны быть подобраны так, чтобы выполнялись равенства (14). С помощью указанного выше метода вычисления интегралов вида (3) получается

Теорема 7. Пусть выполнены условия

Л (У) = _(сп + с12)тц1 ~ (c2i + ^22)7712 - Л5, r2 = const ф О,

где константы Cij — те же, что и о (3);

Тогда пара матриц А — ||Ау||, В — Ц^^'Ц с нулевым следом и элементами (15), построенными указанным выше образом, —решение системы (14)-

5. В §3.2 построено новое представление конечнозонных решений уравнения Г. Дима

Впервые решения этого класса описаны в других терминах в работе JI.A. Дмитриевой (Physics Letters А, 1993, V. 182, р. 65-70). В пункте 2 §3.2 отмечено, что исходные определения конечнозонного решения уравнения (16) в указанной работе и диссертации совпадают. В самое последнее время, после написания текста диссертации, автором было обнаружено, что форма решений уравнения (16), данная в работе JI.A. Дмитриевой, исчерпывает все конечнозонные решения (т.е. соответствующие определению таких решений системы обыкновенных дифференциальных уравнений полностью проинтегрированы) .

Кратко опишем подход, примененный в §3.2. Исходным представлением уравнения (16) выбрана система (10), (11) с функциями и — r~2A-1, v = гА"1. Без ограничения общности положим w = woX П(А-7/) в этой системе. Тогда решение уравнения (16) дается формулой г = wq П?=1 li- Затем выводится задача обращения сумм абелевых интегралов (не совпадающая с задачей обращения

(16)

Якоби) для точек Pi = (7¿,/ij) кривой (1): s r''< Лк dX

и [■!

и

2/i

£k(z,t), к = 1,3,

где & = ¿pfcZ + iifci-l-CA, z = ^^у, №0(з;) = ах2+Ьх+с, ск = const, 6ij — символ Кронекера. Для решения данной задачи устанавливается связь с задачей (2) формулами = бс-i к > 2, параметр считается исключаемым, и в завершение применяется теорема 4 для вычисления Ъ через тэта-функции.

6. В §3.3 получены тэта-формулы для конечнозонных решений уравнения Кричевера - Новикова (КН)

щ 1 иххх 3 и2хх Зр{и) 1 з

на основе его связи с уравнением Кадомцева - Петвиашвили (КП):

ЗИУ1( - [4Wt - Uxxx + 6Ш*]* = О, даваемой известными формулами

Ы = -2(А + [\п(и~а)]хх),

А _ 1 ^ХХХ 1 ^XX

1 р(и) (18)

4 их 8 и\ 2 их '

где а = р(у) — функция Вейерштрасса, = 4р3 - д2р - д3-

Вначале нужно убедиться в том, что дифференциальные уравнения для конечнозонных решений уравнения КН приводятся к задаче обращения Якоби на некоторой кривой Г. Далее A, /t связаны равенством

М2 = Р(Х) = (А - ei)(A - е2)(А - е3),

задающим эллиптическую кривую Го- Уравнение (17) представляется в виде условия совместности линейных систем на функцию

Ф = (Ф1,Ф2)Т

фх = иф, и = иту),

ф1 = Уф, V")+AU,

Ux \ V21 — I'll 7

где А — функция из (18), 11^, \гц даются формулами иц = ц, 1/и = А - и, Ц21 = -А2 - иХ - и2 + У12 = ц -^ = А2 +«А - ^ - У21 = - + (А + 2и) + и2.

По лемме 4 соответствующая система (5), (6) заменяется на представление вида (10), (11)

1 1 2 (Ц + 3 и2х \ 2 2

- + + - 2А+ - ^ ч

(20)

= (т^г+А) - ^г

где V2 — — с^ РУ не зависит от х, £. Алгебро-геометрические решения определяются системой уравнений, получающейся после подстановки в (20) выражения ги = г(А — и)-1, где г = 1x^12 — полином по А, ¡л. Из первого равенства (20) извлекаем, что имеет место асимптотика в окрестности А = оо на кривой Г0: г — /?~п_3(1 + О(р)), где А ~ р~2, и определяем кривую Г:

п п

4ц2 = 4А3 — 52А - <7з, & = (21)

к=о /ь=о

п ^ 0 задается произвольно. В случае общего положения кривая Г имеет род д = п + 3. Упорядочим координаты точки Р = (А, ¡л, и) € Г. Для примера рассмотрим стационарные по £ решения, тогда п = 0 в (21). Второе уравнение (20) при гюь — 0 дает:

г 1

V) = --, г = ц +А(Х-и) --ихх. (22)

Л — и А

Лемма 5. Обозначим через (уц^г) нули функции (22) на кривой Го, г = 1,2,3. Если функция (22) является решением системы (20), где V2 = 10 + р., то при некотором выборе точек Р; = (7»,/^,!^) кривой Г, по одной из двух возможных при каждом г, справедливы равенства, равносильные задаче обращения Якоби на Г,

Ы^ ЙМ- ЙМ-

В любом случае число нулей функции г = ихтц\2 на кривой Го равно п + 3, т.е. роду кривой Г. Обозначим эти нули через 7^ = £). Аналогично утверждению леммы 5, имеет место задача обращения Якоби для соответствующих точек Р{ кривой Г. Последующие результаты подсказаны выведенной из уравнений (19), (20) и ЦГф = —иф связью функции ф = ь\/2ф1 с примфункциями Вейер-штрасса

п+з

фхф-1 = £ Я(Р' Р*)7« • Н(Р> Ъ) =

(д> + + 1')

,=1 (7« - А) • 4цм '

Окончательные тэта-формулы получим из доказываемого в работе факта, что любое конечнозонное решение уравнения КН связано по формуле (18) с конечнозонным решения ранга 1 уравнения КП

и = -2[(1пР)1Ж + к], Р = в{у1х + угу + у3г + го), (23)

построенным для кривой Г по схеме Кричевера. С помощью вычисления интеграла вида (3) доказывается равенство двух представлений функции Бейкера - Ахиезера для уравнения КП в случае кривой (21):

1п Ф = П + 1п -г—ггг--=

в^х + у2у + из* + г0) ■ 9{г0 - Л(Р))

п+3 Р<{х,у,г) г_1 р;( 0)

где Г! абелев интеграл 2-го рода с единственным полюсом в точке оо

Гр

п = хпм + упм + / = -е + 0(1),

П^ зависят лишь от Р и имеют нулевые а-периоды, (Р) — локальный параметр; вектор 6-периодов интеграла равен 2пг ■ г>;-; вектор го любой; {Р^х,у,1)} — решение задачи обращения Якоби

~^2Л(Рг) — У\х + ьгу + и.ч* + г0 - /С.

Исключение составляет случай п — О, тогда из = 0 и нужно в последнем представлении 1п ф вычесть VI. Анализ следствий этого равенства в итоге приводит к формуле редукции функции Р1 (23)

^ = /(х, 003 (у_1»|2г) + д(х, г)02 (ш-Ы^т), / =в(у[х + + 412П). 9 = в[е\ + «3* + 4|2П),

где 6*2,— тэта-функции Якоби, т,и — периоды эллиптической кривой Го; П - матрица Прима; в характеристике е — ||0...0, вектор г'0 произволен. Из последующего сравнения формул (18), (23) и (24) следует, что

А- \\п(/§3 + дв2)] + к,

L л хх

где 04 = 04(О|2г), и

Теорема 10. Конечнозонные решения уравнения (17) даются формулой

и(х, t)

7Г2

6V 2 з; 4 3'f03+ge2

(25)

где f,g — функции (24).

Из билинейного представления уравнения КП (в смысле Хироты) и записи уравнения (17) в виде 2щ + иххх + 6ихА = 0 следует

Теорема 11. 1. Функции /,д в (24) удовлетворяют системе уравнений в билинейной форме Хироты

(-4DxDt + 12kDl + a')f ■ f = 2bg2, (-4DxDt + Dt + YlkD\ + a')g ■ g = 2bf2, (-4DxDt + Di + 12kD2x + a')f ' 9 = cfg, (2Dt + Dl + 6kDx)f-g = 0,

где к — постоянная из (23), а' — const,

(26)

Ь = 3(1) ¥1= З(е2-е3), с = 3 {в$ + в\) = \%ех.

2. Если /,д удовлетворяют системе (26), то функция (25) — решение уравнения (17).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах

1. Новиков Д. П., Романовский Р. К. Об одном методе построения алгебро-геометрических решений уравнения нулевой кривизны. // Теорет. и матем. физика. 1997. Т. 110. №1. С. 01-72.

2. Новиков Д. П. Алгебро-гсометрические решения уравнения Г. Дима. // Алгебра, геометрия, анализ и математическая физика. 10-я Сибирская школа 14-22 августа 1996г., Новосибирск. Новосибирск: Изд-во ИМ СО РАН, 1997. С. 179.

3. Новиков Д. П. Алгебро-геометрические решения уравнения Г. Дима. // Сиб. матем. журнал. 1999. Т. 40. №1. С. 159-163.

4. Новиков Д. П. Алгебро-геометрические решения уравнения Кричевера - Новикова. // ОмГТУ. Омск. 1998. Деп. в ВИНИТИ 09.07.98. №2172-В98.

5. Новиков Д. П. Алгебро-геометрические решения уравнения Кричевера - Новикова. //Теорет. и матем. физика. 1999. Т. 121. №3. С. 367-373.

Введение.

Глава 1. Вспомогательные предложения.

§1.1. Компактные римановы поверхности. Задача обращения Якоби.

§1.2. Решение задачи обращения Якоби на гиперэллиптической кривой.

§1.3. Деформации абелевых интегралов, сохраняющие периоды.

Глава 2. Построение алгебро-геометрических решений уравнения нулевой кривизны сведением к задаче обращения Якоби.

§2.1. Постановка задачи.

§2.2. Описание решений канонической системы в классе (2.5)-(2.6).

§2.3. Вычисление нулей ^ в случае и € (¿о.

§2.4. Приведение системы (2.1)-(2.2) на алгебре Ли б!2 к каноническому виду.

За последние 30 лет одним из наиболее мощных инструментов в исследовании нелинейных явлений стал метод обратной задачи, применимый к ряду фундаментальных уравнений математической физики.

1. В 1967 году был открыт замечательный механизм, связывающий некоторые важные нелинейные уравнения со спектральной теорией вспомогательных линейных дифференциальных операторов и позволяющий строить точные решения этих уравнений. Первый шаг был сделан в работе Гарднера, Грина, Крускала, Миуры [1], где была решена задача Коши для уравнения Кортевега - де Фриза (КдФ)

Щ + иххх + 6иих = 0 (0.1) с быстроубывающим при \х\ —> со начальным условием и(х, 0) — щ{х), путем сведения к обратной задаче рассеяния для оператора Штурма - Лиувилля L = d2/dx2 + щ(х). Этот механизм был усовершенствован и осмыслен с различных точек зрения в работах Лакса [2], В.Е. Захарова и Л.Д. Фаддеева [3], Гарднера [4]. Затем были найдены другие нелинейные уравнения, которые интегрируются аналогично КдФ. Первым таким уравнением было нелинейное уравнение Шредингера (НШ) iut = ихх + 2и\и\2, (0-2) с которым В.Е. Захаров и А.Б. Шабат в 1970 г. [5] связали задачу рассеяния для линейного оператора, уже не являющегося оператором Штурма - Лиувилля. Затем были открыты линейные операторы для уравнений sine-Gordon [6]

Uxy — sin и, (0.3)

Буссинеска [7], цепочки Тода [8], Г. Дима [9] и ряда других уравнений. В [10] было найдено двумерное по пространственным переменным обобщение формализма Лакса для уравнения Кадомцева -Петвиашвили (КП) д (4щ + 6иих - иххх) = 3иуу (0.4) и оператора Dy — +и. В [11], [12] изложена общая схема интегрирования нелинейных уравнений методом обратной задачи (МОЗР). Этот метод позволяет, в частности, строить многосолитонные решения, описывающие взаимодействие конечного числа солитонов — уединенных волн вида и — и(х — ct).

2. В 1971 году Р. Хирота в работе [13] открыл метод прямого построения многосолитонных решений, не опирающийся на МОЗР (в [14], [17] в рамках метода из [13] были открыты новые интегрируемые уравнения). В основе его подхода лежат представления уравнений в специальной билинейной форме:

P(DU. ,Dg)f-g = h, где f:g,h — функции от z £ О; P(Di,. ,Dg) — многочлен от операторов Хироты Dl/: определяемых следующим образом

P(Db • • • , D.) f ■ g = P (JL,. , JL\ ;(z + z')g[z 2<)U,=0.

Ряд приложений МОЗР и прямого метода Хироты вместе с историей ранних этапов развития метода обратной задачи изложены в книгах [15] - [23].

3. Начинал с работы С.П. Новикова [24] (1974г.), в рамках метода обратной задачи интенсивно развиваются методы построения решений нелинейных уравнений с использованием аппарата классической алгебраической геометрии римановых поверхностей, объединяемые под названием "теория алгебро-геометрического (конечнозонного) интегрирования". Методы этой теории позволяют естественным образом ввести периодический и квазипериодический аналоги мно-госолитонных решений и получить для них точные формулы в терминах тэта-функций Римана. Важной составной частью теории, помимо конструкций, непосредственно относящихся к построению решений, является спектральная теория конечнозонных линейных операторов — далеко развитие спектральной теории оператора Штурма - Лиувилля с быстроубывающим потенциалом. На первом этапе ее развития в работах С.П. Новикова, Б.А. Дубровина, В.Б. Матвеева, А.Р. Итса, В.А. Марченко, П. Лакса [24] - [29] была построена теория операторов Штурма - Лиувилля с периодическим потенциалом, спектр которого содержит конечное число лакун (множество таких потенциалов, как показано в [28], плотно в пространстве периодических потенциалов с одним и тем же периодом). Такие операторы были названы конечнозонными, отсюда название теории. В этой ситуации блоховские функции, т.е. общие собственные функции оператора Штурма - Лиувилля и оператора монодромии, однозначны на соответствующей гиперэллиптической римановой поверхности конечного рода, точки ветвления которой совпадают с краями лакун в спектре. В общей ситуации матричный оператор Ь — — и(х,Х) с рациональной по Л матрицей II по определению называется ко-нечнозонным, если он обладает собственной функцией ф(х,Р), однозначной по параметру Р на римановой поверхности Г конечного рода, накрывающей плоскость Л, с аналитическими свойствами, подобными свойствам блоховских функций. Спектральная теория таких операторов построена в [30], [34], [35], [42]. Центральным элементом конструкции, восстанавливающей Ь по его "спектру" — поверхности Г и особенностям гр, является построение функции ф на основе введенного в [34] аппарата функций Бейкера - Ахиезера.

4. Начиная с работы Лакса [2], все схемы метода обратной задачи опираются на то или иное коммутационное представление уравнений. Наиболее общим коммутационным представлением (1+^-уравнении, включающим практически все известные примеры, является предложенное в [36], [37] представление в виде уравнения нулевой кривизны с рациональными по Л матрицами II (х, Л), V(х, Л), которое является условием коммутации операторов Ь\ = Вх — II, 1/2 = — V. Решение (II, V) уравнения (0.5) и, соответственно, решение нелинейного уравнения, представленного в виде (0.5), называется конеч-нозонным или алгебро-геометрическим, если (см. [34], [43]) операторы Ь\, 1/2 обладают общей собственной вектор-функцией ф, являющейся по Л аналитической функцией, однозначной на римановой поверхности Г конечного рода, имеющей существенные особенности в прообразах Ра 6 Г полюсов матриц II, V: reg — голоморфная функция в окрестности точки Ра по локальному параметру ка, а qa(x, t, к) — полином по к) и мероморфной вне точек Ра с дивизором полюсов D конечной степени. Аппарат функций Бейкера - Ахиезера позволяет строить функцию ф по указанным свойствам. Задавая с учетом аналитических свойств матриц U, V уравнение алгебраической кривой F(\, ¡1) — 0, определяющей поверхность Г, полиномы qa(x,t,ka) в асимптотиках (0.6) и дивизор D, получают требуемый набор данных, по которым функция ф строится в терминах тэта-функции и абелевых интегралов на Г. Искомое решение (U, V) уравнения (0.5) находится по формулам

Ut-Vx + [U,V} = о

0.5) ф(х,Ь,Р) = reg • exp{qa(x,t, ка)}

0.6)

0.7) в которых матрица Ф составлена из столбцов ф(х, ¿, сг{Р), где сг^Р — значение параметра Р = (А,^), соответствующее ветви ¡л = /¿¿(А).

Тэта-формулы для конечнозонных реЩений уравнений (0.1) - (0.3) были получены в 1975-76 гг. в работах [26], [31] - [33]. В работе [34] схема конечнозонного интегрирования была распространена на (2+1)-уравнения, в частности, построены конечнозонные решения уравнения КП (0.4). В последующем были получены формулы для конечнозонных решений других важных уравнений математической физики. Дальнейшие этапы развития теории и ее приложений представлены в обзорах [38] - [47]; см. также книги [48], [49] и работы [50] - [59] по эффективизации тэта-формул для решений.

Уравнения, представимые в форме (0.5), далее называются соли-тонными.

5. Имеется ряд солитонных уравнений, для которых построение конечнозонных решений методом функций Бейкера - Ахиезера по формулам (0.7) связано с большими трудностями. В ряде случаев не удается точно построить экспоненциальный множитель в формуле (0.6). Препятствия возникают и в случае, когда алгебраическая кривая, на которой строится функция Бейкера - Ахиезера, имеет двойные точки [53]. К числу уравнений, для которых имеют место трудности указанных типов, относятся уравнение Г. Дима, возникающее в задачах гидродинамики и геометрии, и уравнение Кричевера - Новикова, играющее важную роль в теории уравнения КП (0.4). В связи со сказанным актуальным является поиск других методов построения конечнозонных решений.

Целью диссертационной работы является разработка метода построения конечнозонных решений солитонных уравнений, основанного на приведении этой задачи к задаче обращения Якоби на алгебраической кривой, и получение приложений к конкретным нелинейным уравнениям математической физики.

5.1. Определение (0.7) конечнозонного решения уравнения нулевой кривизны равносильно следующему (см. [44, с.227]): решение (17, V) уравнения (0.5) называется конечнозонным или алгебро-геометрическим, если существует матричная функция А), рациональная по А и имеющая однократные собственные значения

Л), такал, что = (0.8) равенства (0.5), (0.8) должны выполняться при всех Л).

5.2. Ставится задача построения троек матриц (II, V, И^), удовлетворяющих системе (0.5), (0.8). Основные результаты получены для случая матриц из при специальных условиях на матрицу II, выполняемых в ряде приложений. Показано, что в этом случае задача приводится к задаче обращения Якоби на кривой с^^И^ — цЕ) = 0, решение которой проводится классическими методами алгебраической геометрии. Некоторые подходы к построению троек (II, V, \¥) предложены в более общей ситуации, см. §1.3 и замечание в §2.3.

5.3. Для конкретных уравнений, представимых в форме (0.5) с ограничениями 5.2, этот прием приводит к тэта-формулам для конечнозонных решений.

Метод проиллюстрирован на трех фундаментальных уравнениях математической физики: системе уравнений главного кирального поля, уравнении Г. Дима, уравнении Кричевера - Новикова.

В случае уравнения Кричевера - Новикова при решении задачи обращения Якоби в качестве рабочего инструмента использовано представление функции Бейкера - Ахиезера уравнения КП на кривой Г специального вида, построенное автором в терминах прим-функций Вейерштрасса.

В схему, указанную в пункте 5.2, вкладывается ряд других (1+1)-уравнений. Отметим, что в [22, глава 3] применен близкий прием при построении решений уравнения КдФ.

6. Работа состоит из введения, трех глав и списка литературы.

Первая глава носит вспомогательный характер, содержит необходимые сведения из алгебраической геометрии; в том числе строится решение задачи обращения Якоби на гиперэллиптической кривой в теореме 4. Доказательство этой теоремы для случаев нечетной степени многочлена А (А) получено Ф. Клейном (см. [60]), для случаев четной степени найдено автором.

Пусть алгебраическая кривая Г задана уравнением ^(Л, /¿) = О, где Р ~ неприводимый многочлен. Далее Р — произвольная точка на Г. Будем использовать следующие обозначения: Л(Р) — вектор нормированных интегралов 1-го рода; А(Р) : Г —J(T) — отображение Абеля; В — матрица 6-периодов интегралов А. Тэта-функция определяется рядом Фурье в(у)= ^ ехр {7гг (./V, ВЫ + 2у}} .

N£19

Составим на гиперэллиптической кривой

V2 = Д(А) = Д0А2*+2 + А^2^1 + . + Д2,+2 (0.9) суммы интегралов 1-го рода степенного базиса

X С¿X ^

0.10) / -7Г— = с5

Е0 2/Л ]Ео 2ц в задаче обращения Якоби требуется выразить симметрические функции от верхних пределов Р^ через тэта-функции с аргументом, линейно зависящим от Для получения искомых выражений использован обычно применяемый в этих целях метод вычисления контурных интегралов вида

-5- / 1(Я)<ИпР(Я), Р{0) = е(А(Я) - е), (0.11) кг Jдг где 1(0) — абелев интеграл или мероморфная функция на Г, а е — К = С(, где К, — вектор римановых констант, С — матрица перехода между базисами интегралов 1-го рода. Интегрирование ведется по границе поверхности, получающейся из Г разрезанием по а- и 6-циклам и, дополнительно, между логарифмическими особыми точками функции 1(0). В частности, с помощью этого метода при 1(0) = А2^А получен следующий результат.

Теорема 4. Пусть {Р^ = (А^,^)}, г = 1 — решение задачи обращения Якоби для сумм (0.10). Тогда

Р* А^А А / А5 ¿X

1п0(е-Д(оо)), <1е5Д = 2(/ + 1 (0.12) deg А = 2 д + 2, где е^- — те же, что в (0.11). Симметрические функции от Х{ выражаются из равенства

П(А - Л.) = А- - ± А*-.

1 1 ^

В §1.3 предлагается использовать примфункции Вейерштрасса а',а") = ехр {Г здесь Р = (А,/л), = — точки кривой Г: Р(А, д) = 0) для построения функции Бейкера - Ахиезера в виде ге ¿=1 где г(Р) — рациональная функция на Г.

Т. Будем говорить, что матрица М(х, А) принадлежит к классу о, если она рациональна по А с полюсами, не зависящими от Основным содержанием главы 2 является построение решений (17, У, И-7) системы (0.5), (0.8) в классе матриц второго порядка вида о)' Уо=(-г^2 + ш; ух/2)' о \ ттг ( —ъих/2 УО \ „ о = /0 , /0 ; и,у,т £ С}0 вид матрицы \¥ обусловлен видом С/, V). В основных приложениях к солитонным уравнениям матрицы V, V либо имеют вид (0.13), либо приводятся к такому виду преобразованием типа калибровки — см. примеры в §2.1 и §2.4. Далее система (0.5), (0.8) для матриц (0.13) называется канонической в классе таких систем с матрицами и,У<=812.

Наиболее полные результаты получены в §2.2. Здесь предполагается и — щ\2 +г/1(аг,£)А + и2(х,^, \щ\ + ¡их| ф 0,

9 9 П(л - = ^+

1=1 г=1

N п

7=0 г=0 пз г=1 полюсы А.,- и порядки полюсов д, п, п$ произвольно фиксированы. Показано, что вычисление нулей (ключевой элемент конструкции) приводится к решению задачи обращения Якоби на кривой ¡I2 = Д(А), где Д(А) — многочлен степени 2д + с^и, решаемой в тета-функциях, по теореме 4. Коэффициенты многочлена и(ж,£, А) вычисляются по т 1 Д из системы линейных алгебраических уравнений. Основной результат этого параграфа — представление функции у(х,Ь, А) через иПостроенное таким путем множество решений (0.13) системы (0.5), (0.8) зависит, при фиксированных полюсах в (0.14), (0.15) и многочлене А (А), от произвольной гладкой вектор-функции размера 1+Х^' пэ и произвольного постоянного вектора размера д и содержит все решения вида (0.13)—(0.15).

В §2.3 система (0.5), (0.8) для матриц (0.13) из <5о рассматривается в общем случае. Здесь принимается без ограничения общности,

0.14)

0.15) что 9 и) —

•ш0(х,г) • Д(Л

Показано, что в процедуре вычисления нулей 7^ возникает задача обращения сумм абелевых интегралов существенно более общего вида, чем в §2.2. Решение этой задачи в частном случае получено в главе 3 при построении конечнозонных решений уранения Г. Дима.

В §2.4 приведение системы (0.5), (0.8) на алгебре к каноническому виду проиллюстрировано на конкретном примере, используемом в главе 3 при построении конечнозонных решений системы уравнении кирального поля.

8. Сформулируем основные результаты главы 2. Далее, говоря о равенствах, содержащих параметр А, будем опускать слова "при всех А".

Лемма 1. Следующие утверждения равносильны: (1) Матрицы (0.13) удовлетворяют (0.5), (0.8). (И) Справедливы равенства где А (А) — некоторая функция.

В оставшейся части работы при выводе результатов о системе (0.16)—(0.17) применяется следующая схема. Вначале задается вид зависимости от А выражений ижу (т.е. число полюсов и их порядки) и определяется допустимый вид шиА. Затем в (0.16) подставляется А = 7г, где 7г — нули ии, что дает

-уЫЫхх + + иш2 = Д(А), УЮХ - 1МХ,

0.16) (0.17)

1 I 7гж которые при условиях 7г ф (г выражают вычеты функции ш-1. Полученные данные о ги вместе с дополнительными ограничениями на и, у используются для получения уравнений на 7г-. Схему завершает нахождение по полученному ио из уравнений (0.16), (0.17) решений и и у.

Предположим теперь, что в системе (0.16)—(0.17) и, г;, и? имеют вид (0.14)—(0.15). Тогда в силу леммы 1 Л(А) — произвольно фиксированный многочлен степени 2д + с^и:

2з+2

Д(А) = ^ А{\29+2~{, |Ао| + \Аг\ ф 0. г=0

Предполагая, что А (Л) не имеет кратных корней, построим кривую /12 = Д(А), отождествим ее с (0.9), и рассмотрим систему (0.10) с неизвестными Рг = (7^^):

У] —7.-+ &(*). к = 1,д, (0.18) где Ьц — символ Кронекера, £&(£) — произвольные функции. Далее, пусть:

1) (71,. ,73) — решение системы (0.18) при некоторых гладких

7« = /¿(я, £(*)), £ = (&,••• г = 17?;

2) и> — многочлен (0.14) с нулями 7* = /¿;

3) функции <£>т(ж,£, А) даются формулами Г 1, т = 0, где иоI — коэффициенты ги.

Теорема 5. В условиях 1)-3) матрицы (0.13), где функции и, у, ио даются формулами (0.14), щ = Д0, щ = Дх - 2Д0гоь гг2 = Д2 - 2Д1«;1 + Д0(3^1 - 2ги2), 9 у(х, г, А) = Ф, А) • и; + й М^-Л! > к=1 9 яг,А) = Д(А - Л) (0.19) г=1 удовлетворяют системе (0.5), (0.8). Здесь ¿(¿,А) € (¿о — произвольно заданная функция. Получаемые таким путем решения исчерпывают все решения вида (0.13)^(0.15).

Уточним вид решений в теореме 5, а также постановку задачи обращения Якоби (0.18), при фиксированных полюсах функции V в (0.15).

Теорема 6. Решения вида (0.15) уравнения (0.17) с функцией ю (0.19) исчерпываются выражениями п-д д г=0 к-1 j=l ¿=1 4 / где с(Ь) — ((1г, Су г) — набор п + 1 + ^^ пз произвольных функции; при этом в соответствующей системе (0.18) должны выполняться условия N

Д. Л3 К=

7=1г=1 ^ ' где п^ — тт{&,Постоянные интегрирования, появляющиеся при определении произвольны.

В следующем утверждении система (0.5), (0.8) с матрицами из приводится к каноническому виду.

Лемма 4. Пусть выполнена система (0.5), (0.8) с матрицами ц ("и "12 ^ V Уи У12 "21 —"11 у ' V ^21 -VII для Ш €б12 используем такие же обозначения. Предположим, что "12 ф 0. Тогда

1. Уравнение (0.5) для матриц U, V эквивалентно системе, состоящей из уравнения (0.5) с матрицами (0.13), где

1 Щ2хх . 3 и\2х ( иц\ 2 U=—Z- + + - + Uli + U12U21,

2 U12 4 u[2 \ul2) x

V=VUU¡21, и двух равенств из исходного уравнения:

121 - Vl2x + 2ИцУ12 - 2Ui2Vll = О, и.^U )

Ulli - vnx + U12V21 - U21V12 = О.

2. Функция w = W12U12 является решением системы (0.16)~(0.17) вместе с u, v из утверждения 1.

Доказательство проведено путем применения преобразований, сохраняющих вид уравнений (0.5), (0.8): = GUG~1 + GXG~\ V = GVG~l + GtG~l, W = GWG~\ с матрицей

12 VU11 + Z U12 J 2 U12

Обращение этих преобразований позволяет по решениям вида (0.13) получить решения исходного уравнения (0.5). Для этого нужно знать матрицу G. Покажем, каким образом можно найти элементы U12, un, если функция и из леммы 4 имеет вид (0.14). Пусть матрица U имеет вид

По лемме 4 получим и = Uq\2 + щ\ + U2, и0 = А\х + А12А21, л iAiA 1А12хх , ЗА212х

Ai2j х 2 А12 4 А{2

В этом примере функции Aij(x,t) находятся по заданному многочлену и(х, t, X) неоднозначно, с точностью до трех произвольных функций от t. Имеющийся произвол в решениях используется в главе 3 при построении решений системы уравнений кирального поля.

9. В главе 3 на основе результатов глав 1, 2 строятся алгебро-геометрические комплексные решения конкретных уравнений. В §3.1 построен подкласс "двухзонных" решений системы уравнений главного кирального поля на алгебре Ли

АУ + [А1В} = О, ВХ-[А,В} = 0. (0.21)

Вначале исходное представление этих уравнений в виде (0.5) для пары матриц и = А\л V = В А

А — 1' приведено, по лемме 4, к системе (0.16), (0.17) с выражениями и вида (0.14) и В12 1 У Аи А - 1'

Затем построен класс решений канонической системы при ги = (А — 71)(Л - 72), А(А) = А5 + Д2А4 + . + Д5А, где коэффициенты многочлена Д(А) согласованы с формулой (0.9) при д — 2, а его корни имеют кратность 1. Из теоремы 5 следует, что I д о 1 + ^1+^2 и = А + Д2 - 2ии1, У=-----,

Л — 1 и в задаче обращения Якоби (0.10) правые части равны — + £ ъ = х — у + По теореме 4, -(71 + 72) = 1пв(е) + с2, ъи2 — 7172 = 1п0(е) + сь

Специальный вид многочлена Д(А) (До = 0, Д]. = 1,иА = 0 — корень) позволил найти с помощью (0.16) частное решение

Аи = —, = А21 = (0.22)

11)2 У02 А\2 = дСг 1п0(е) + сгх + П (у), где г к (у) — "постоянные" интегрирования, подлежащие уточнению. Вычисление матрицы V по функции V и формулам (0.20) дало

В\2 = (1 + и)1 + ^2)^12,

Вп = (1 + «л + ю2)Ап - ¿АирА^1, (0.23)

В21 = -[(1 + + м)2)А\1 + А11у]А^.

На последнем этапе г к (у) подбирались так, чтобы выполнялись равенства (0.20). С помощью метода вычисления интегралов вида (0.11) получается

Теорема 7. Пусть выполнены условия

Г'ЛУ) = ~(С11 + С12)Г)11 ~ (С21 + С22)Г)12 ~ Д5, Г2 = СОПвЬ ф 0, где константы с^ — те же, что ив (0.11);

Г ЗА3 + 2Д2А2 + Д3А^ гцк = Ф ---й\.

Так

Тогда пара матриц А = \\Aij)|, В — \\Bij|| с нулевым следом и элементами (0.22), (0.23), построенными указанным выше образом, — решение системы (0.21).

10. В §3.2 на основе результатов глав 1 и 2 построены все алге-бро-геометрические решения уравнения Г. Дима

4г* = т-Згяхх. (0.24)

Исходным представлением этого уравнения выбрана система (0.16), (0.17) с функциями и — г-2Л-1, V = гЛ-1. Без ограничения общности в канонической системе положено ю = Агио П9=1(^ ~ 1г)-> Д =

АЕЙГ

Д ,д25+1 д2з+1 = 1} р е N. Тогда справедливы равенства и>о = ах2 + Ъх + с, До = Ь2 / 4 — ас.

Затем доказано по образцу теоремы 5, что г = и>о 7г> а неизвестные являются решениями задачи обращения на кривой Г: ¡л2 = Д(А) для точек Р{ — (ть^г) € Г: р* хк ах si k(z,t), к = 1,д, где при каждом г путь интегрирования во всех уравнениях один и тот же, г , Г ds fc = OgkZ + Oikt + Ск, Z= / -~,

Jx0 Wo(s)

8{j — символ Кронекера, Cfe = const. Эта задача связывается с задачей Якоби (0.10), для чего: отождествляются переменные = ^ (к ^ 1); в (0.10) считается, что = Ci(-M); функция задается уравнением лч ^ fPi X9dX

На основании теоремы 4 получаем следующий результат.

Теорема 8. Приусловиях |а|+|Ь| + |с| > 0, |Ao| + |Ai| > 0 функция r(x,t)^w0(x)^-(C(z(x),t)) является решением уравнения (0.24). Здесь wq(x) = ax2 + bx + с, z(x) = f wo(x)~1dx, функция p(() дана в формулах (0.12), Ck+i — 5ikt + Ck (к ^ 1), функция (z,t) неявно задается уравнением p(() =

Z + 5lgt + Cg.

В иной интерпретации, имеются два частных случая, (i): wq = . 1, z = х, Aq = 0, и (и): wq = х, z = In ж, До = 1/4, когда g

КО = Е ej fa Щг - 5- С91 е = СС, где Ci — параметр, С2 = 3=1 3 м + сь Ск =const (к ^ 3), матрица перехода С определена в (0.11).

Решения уравнения Г. Дима находятся исключением параметра из формулы для х и г = дх/д^\. Случай (i) совпадает с решениями, найденными в 1993г. JI.A. Дмитриевой [61]. Все остальные решения ч „ v «11® + «12 получаются из случаев (i) и (и) заменой х -»-. а.21% + «22

11. В §3.3 получены тэта-формулы для алгебро-геометрических решений уравнения И. М. Кричевера - С. П. Новикова (КН) ut luxxx 3u2xx Sp(u) 1 з 4(4« (°-25) на основе его связи с уравнением Кадомцева - Петвиашвили (КП):

Шуу -{4Ut - Ыххх + ШЫХ]Х = О, даваемой известными формулами = -2(i+[ln(U-a)U, , = (0-26) 4 ux 8 u2 2 u2 где a = p(y) — функция Вейерштрасса, p2y = 4p3 ~ g2p - 9з

Вначале нужно убедиться в том, что дифференциальные уравнения для алгебро-геометрических решений уравнения КН приводятся к задаче обращения Якоби на некоторой кривой Г. Далее А, ¡л связаны равенством

Ai2=p(A) = (A-ei)(A-e2)(A-e3), задающим эллиптическую кривую Го- Уравнение (0.25) представляется в виде условия совместности линейных систем на функцию

Ф = {Ф1:Ф2)Т

Фх = иф, 17 01 —U11 /

0.27) ф, = уф, v = — [ :rLL 7; ) + au,

1 (Un U12

Ux \u2l -Un

Jl( ^Vn Vu

Ux ' -Vn где А — функция из (0.26), £4?, Уц даются формулами ^и = АЬ иХ2 - А - и, и21 = -А2 - пА - и2 + У"12 = (л

По лемме 4 соответствующая система (0.5), (0.8) заменяется на представление вида (0.16), (0.17)

V А-и 4 (А — и)2 ч / 1 х А4 О^®^ , 4 \ I № оихх . л \ где V2 ~ — с^И^ не зависит от Алгебро-геометрические решения определяются системой уравнений, получающейся после подстановки в (0.28) выражения уо — г (А — гг)-1, где г = их Wl2 — полином по А, ц. Из первого равенства (0.28) извлекаем, что имеет место асимптотика в окрестности А = оо на кривой IV г — р-п-3(1 + О(р)), где А ~ р~2, и определяем кривую Г: п—1 п

4М2 = 4А3 - д2А - д3, и2 = (Хп + ]Г + £ 1кХк, (0.29) к—0 к=0 п ^ 0 задается произвольно. В случае общего положения кривая Г имеет род д = п + 3. Упорядочим координаты точки Р = (А, ¡л, у) £ Г. Для примера рассмотрим стационарные по £ решения, тогда п = 0 в (0.29). Второе уравнение (0.28) при = 0 дает: г 1 ю ~ --, г = II + А(А - и) - -ихх. (0.30)

А — и I

Лемма 5. Обозначим через (у^Мг) нули функции (0.30) на кривой Го, ъ = 1, 2, 3. Если функция (0.30) является решением системы (0.28), где V2 — /д -\-/л, то при некотором выборе точек Р% — , ¡лг, щ) кривой Г, по одной из двух возможных при каждом г, справедливы равенства, равносильные задаче обращения Якоби на Г,

В любом случае число нулей функции г — \2 на кривой Го равно п + 3, т.е. роду кривой Г. Обозначим эти нули через (7г,А^)> 7г = 1г(х1 Ъ). Аналогично утверждению леммы 5, имеет место задача обращения Якоби для соответствующих точек Рг кривой Г. Последующие результаты подсказаны выведенной из уравнений (0.27), —* ""1 10 (0.28) жУУф = —уф связью функции ф = их ф\ с примфункциями

Вейерштрасса

Окончательные тэта-формулы получим из доказываемого в работе факта, что любое алгебро-геометрическое решение уравнения КН связано по формуле (0.26) с конечнозонным решения ранга 1 уравнения КП

Ы = -2[(1п*%х + к], Р = в(угх + у2у + у^ + г0), (0.31) построенным для кривой Г по схеме Кричевера. С помощью вычисления интеграла вида (0.11) доказывается равенство двух представлений функции Бейкера - Ахиезера для уравнения КП в случае кривой (0.29): п+З щ + + у) (7г - А) • '

1п ф = П + 1п

9{ухх + у2у + + г0 - Л(Р)) • в(г0) в(угх + у2у + у3г + г0) • 0(го - А(Р)) п+3 рг(0) где О абелев интеграл 2-го рода с единственным полюсом в точке оо

Гр

О = aril*1) + + Ш<3), / = -е7' + 0(1),

Jpo

Q.W зависят лишь от Р и имеют нулевые а-периоды, £-1(Р) — локальный параметр; вектор 6-периодов интеграла равен 2жг • Vj] вектор zq любой; {Рг(х, у, t)} — решение задачи обращения Якоби

У^ Л(Рг) = vix + v2y + v3t + z0 - К

Исключение составляет случай п = 0, тогда v3 = 0 и нужно в последнем представлении In ф вычесть vt. Анализ следствий этого равенства в итоге приводит к формуле редукции функции F (0.31)

F = f(x,t)0з (ш~1у\2т) + д{х, t)62 (^1у|2г), / + v'3t + 4|2П), д = 6[е\ 0](ui® + v'3t + z'0\2TL),

0.32) где 62,в3 — тэта-функции Якоби, г,а; — периоды эллиптической кривой Го; П - матрица Прима; в характеристике е = ||0.0, вектор г'0 произволен. Из последующего сравнения формул (0.26), (0.31) и (0.32) следует, что

А = ц(/03 + дв2) xx где §г = вг{0\2Г), И

Теорема 10. Алгебро-геометрические решения уравнения (0.25) даются формулой u(x,t) —

7Г

Ш"

1 I fl4U 1 (М fO3 - дв2

-6(о2 + о3) + -{е2-ез)ж^

0.33) где ¡,д ~ функции (0.32).

Из билинейного представления уравнения КП (в смысле Хироты) и записи уравнения (0.25) в виде 2щ + иххх + бихА = 0 следует

Теорема 11. 1. Функции /,д в (0.32) удовлетворяют системе уравнений в билинейной форме Хироты

-4DxDt + Dt + YlkDl + a')f ■ f = 2bg2, (-4DxDt + D4 + YlkDl + a')g ■ g = 2bf2, {-WxDt + D$ + 12kD2x + a')f • g = c/p, (2A + D* + 6A:DjB)/.flf = 0,

0.34) где k — постоянная из (0.31), a' = const, b = з = 3(e2 - ез), с = 3 (024 + 04) = 18ei.

2. Если /, g удовлетворяют системе (0.34), то функция (0.33) — решение уравнения (0.25).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [81]

- [85].

1. Gardner С. S., Green J. M., Kruskal M. D., Miura R. M. Method for solving the Korteweg - de Vries equation. // Phys. Rev. Lett. 1967. V. 19. P. 1095-1097.

2. Lax P. D. Integrals of nonlinear equations of evolution and solitary waves. // Commun. Pure and Appl. Math. 1968. V. 21. P. 467-490.

3. Захаров В. E., Фаддеев JI. Д. Уравнение Кортевега де Фриза — вполне интегрируемая гамильтонова система. // Функц. анализ и его прил. 1971. Т. 5. №4. С. 18-27.

4. Gardner С. S. Korteweg de Vries equation and generalizations. // J. Math. Phys. 1971. V. 12. P. 1095-1097.

5. Захаров В. E., Шабат А. Б. Точная теория двумерной самофокусировки и одномерной автомодуляции волн в нелинейных средах. // ЖЭТФ. 1971. Т. 61. С. 118-134.

6. Lamb G. L. Analytical descriptions of ultra-short optical pulse propagation in a resonant medium. //Rev. mod. Phys. 1971. V. 43. P. 99-129.

7. Захаров В. E. К проблеме стохастизации одномерных цепочек нелинейных осцилляторов. // ЖЭТФ. 1973. Т. 65. №1. С. 219-225.

8. Манаков С. В. К полной интегрируемости и стохастизации в дискретных динамических системах. // ЖЭТФ. 1974. Т. 67. №2. С. 543-555.

9. Kruskal М. Nonlinear wave equations. //In the book "Dynamical systems, theory and applications". Lecture Notes in Physics. V. 38. Springer-Verlag, 1975. P. 310-354.

10. Дрюма В. С. Об аналитическом решении двумерного уравнения Кортевега де Фриза. // Письма в ЖЭТФ. 1974. Т. 19. №12. С. 219-225.

11. Захаров В. Е., Шабат А. Б. Схема интегрирования нелинейных уравнений математической физики методом обратной задачи рассеяния. I. // Функц. анализ и его прил. 1974. Т. 8. т. С. 43-53.

12. Ablowitz М. J., Каир D. J., Newell А. С., Segur Н. The inverse scattering transform Fourier analysis for nonlinear problems. 11 Studies in Appl. Math. 1974. V. 53. P. 249-315.

13. Hirota R. Exact solution of the Korteweg de Vries equation for multiple collisions of solitons. // Phys. Rev. Lett. 1971. V. 27. P. 1192-1194.

14. Sawada K., Kotera T. A method for finding n-soliton solutions of the KdV equation and KdV-like equations. // Prog. Theor. Phys. 1974. V. 51. №5. p. 1355.

15. Захаров B.E., Машков С.В., Новиков С.П., Питаевский Л.П. Теория солитонов: метод обратной задачи.- М.: Наука, 1980.

16. Лэм Дж. Л. Введение в теорию солитонов.- М.: Мир, 1983.

17. Солитоны. / под ред. Булаф Р., Кодри Ф М.: Мир, 1983.

18. Сато М., Мива Т., Дзимбо М. Голономные квантовые поля.-М.: Мир, 1983.

19. Калоджеро Ф., Дегасперис А. Спектральные преобразования и солитоны: Методы решения и исследования нелинейных эволюционных уравнений.- М.: Мир, 1985.

20. Абловиц М., Сигур X. Солитоны и метод обратной задачи.-М.: Мир, 1987.

21. Додд Р., Эйлбек Дж., Гиббон Дж., Моррис X. Солитоны и нелинейные волновые уравнения.- М.: Мир, 1988.

22. Нъюэлл А. Солитоны в математике и физике.- М.: Мир, 1989.

23. Дринфелъд В. Г., Соколов В. В. Алгебры Ли и уравнения типа Кортевега де Фриза. / / Современные проблемы математики. Новейшие достижения. Т. 24. Итоги науки и техники. ВИНИТИ АН СССР. М., 1983. С. 81-180.

24. Новиков С. П. Периодическая задача Кортевега де Фриза. // Функц. анализ и его прил. 1974. Т. 8. №3. С. 54-66.

25. Дубровин Б. А., Новиков С. П. Периодический и условно периодический аналоги многосолитонных решений уравнения Кортевега де Фриза. // ЖЭТФ. 1974. Т. 67. №12. С. 2131-2144.

26. Итс А. Р., Матвеев В. Б. Операторы Шредингера с конеч-нозонным спектром и N-солитонные решения уравнения Кортевега де Фриза. // ТМФ. 1975. Т. 23. №1. С. 51-68.

27. Дубровин Б. А. Периодическая задача для уравнения Кортевега де Фриза в классе конечнозонных потенциалов. // Функц. анализ и его прил. 1975. Т. 9. №3. С. 41-51.

28. Марченко В. А. Операторы Штурма Лиувилля и их приложения.- Киев: Наукова думка, 1977.

29. Lax P. D. Periodic solutions of Korteweg de Vries equation. // Commun. Pure and Appl. Math. 1975. V. 28. P. 141-188.

30. Дубровин Б. A., Новиков С. П., Матвеев В. Б. Нелинейные уравнения типа Кортевега де Фриза, конечнозонные линейные операторы и абелевы многообразия. // УМН. 1976. Т. 31. т. С. 55-136.

31. Козел В. А., Котллров В. П. Почти-периодические решения уравнения иц — ихх + sin и = 0. // ДАН УССР. 1976. сер. А. №10. С. 878-881.

32. Итс А. Р., Матвеев В. Б. Об одном классе решений уравнения КдФ. //В сб.: "Проблемы математической физики". Вып.8.- Л: ЛГУ, 1976. С. 51-68.

33. Итс А. Р. Обращение гиперэллиптических интегралов и интегрирование нелинейных дифференциальных уравнений. // Вестник ЛГУ. 1976. №7. С. 39-46.

34. Кричевер И. М. Интегрирование нелинейных уравнений методами алгебраической геометрии. // Функц. анализ и его прил. 1977. Т. 11. №3. С. 15-31.

35. Кричевер И. М. Методы алгебраической геометрии в теории нелинейных уравнений. // УМН. 1977. Т. 32. №6. С. 180-208.

36. Захаров В. Е., Шабат А. Б. Интегрирование нелинейных уравнений математической физики методом обратной задачи рассеяния. II. // Функц. анализ и его прил. 1979. Т. 13. №3. С. 13-22.

37. Захаров В. Е., Михайлов А. В. Метод обратной задачи рассеяния со спектральным параметром на алгебраической кривой. // Функц. анализ и его прил. 1983. Т. 17. №4. С. 1-6.

38. Кричевер И. М., Новиков С. П. Голоморфные расслоения над алгебраическими кривыми и нелинейные уравнения. / / УМН. 1980. Т. 35. №6. С. 47-68.

39. Чередник И. В. Алгебраические аспекты двумерных кираль-ных полей. // Алгебра. Топология. Геометрия. Т. 18. Итоги науки и техники. ВИНИТИ АН СССР. М., 1980. С. 73-150.

40. Дубровин Б. А. Тэта-функции и нелинейные уравнения. // УМН. 1981. Т. 36. №2. С. 11-80.

41. Новиков С. П. Двумерные операторы Шредингера в периодических полях. // Современные проблемы математики. Т. 23. Итоги науки и техники. ВИНИТИ АН СССР. М., 1983. С. 3-32.

42. Дубровин Б. А. Матричные конечнозонные операторы. // Современные проблемы математики. Т. 23. Итоги науки и техники. ВИНИТИ АН СССР. М., 1983. С. 33-78.

43. Кричевер И. М. Нелинейные уравнения и эллиптические кривые. // Современные проблемы математики. Т. 23. Итоги науки и техники. ВИНИТИ АН СССР. М., 1983. С. 79-136.

44. Дубровин Б. А., Кричевер И. М., Новиков С. П. Интегрируемые системы. I. // Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т. 4. Итоги науки и техники. ВИНИТИ АН СССР. М., 1985. С. 179-284.

45. Итс А. Р. "Изомонодромные" решения уравнений нулевой кривизны. // Изв. АН СССР. Сер. Матем. 1985. Т. 49. №3. С. 530-565.

46. Белоколос Е.Д., Бобенко А.И., Матвеев В.Б., Энолъский В.З. Алгебро-геометрические принципы суперпозиции конечнозонных решений интегрируемых нелинейных уравнений. // УМН. 1986. Т. 41. №2. С. 3-42.

47. Тайманов И. А. Секущие абелевых многообразий, тэта-функции и солитонные уравнения. // УМН. 1997. Т. 52. №1. С. 149-214.

48. Fay J. D. Theta-functions on Riemann surfaces. Lect. Notes in Math. V. 352.- Springer, 1973.

49. Мамфорд Д. Лекции о тэта-функциях.- М.: Мир. 1988.

50. Дубровин Б. А., Натпанзон С. М. Вещественные двухзонные решения уравнения sine-Gordon. // Функц. анализ и его прил. 1982. Т. 16. №1. С. 27-43.

51. Дубровин Б. А. Уравнение Кадомцева Петвиашвили и соотношения между периодами голоморфных дифференциалов на римановых поверхностях. // Изв. АН СССР. Сер. Ма-тем. 1981. Т. 45. №5. С. 1015-1020.

52. Бабич М. В., Бобенко А. И., Матвеев В. Б. Решения нелинейных уравнений, интегрируемых методом обратной задачи в тэта-функциях, и симметрии алгебраических кривых. // Изв. АН СССР. Сер. Матем. 1985. Т. 49. №3. С. 511-529.

53. Веселое А. П., Новиков С. П. Конечнозонные двумерные периодические операторы Шредингера: явные формулы и эволюционные уравнения. // ДАН СССР. 1984. Т. 279. №1. С. 20-24.

54. Бобенко А. И. Вещественные алгебро-геометрические решения уравнения Ландау Лифшица в тэта-функциях Прима. // Функц. анализ и его прил. 1985. Т. 19. №1. С. 6-19.

55. Тайманов И. А. Тэта-функции Прима и иерархии нелинейных уравнений. // Матем. заметки. 1991. Т. 50. №1. С. 98-107.

56. Садовничук С. Г. Прямой метод построения трехзонных решений нелинейных уравнений. //Сиб. матем. журнал. 1997. Т. 38. №5. С. 1140-1145.

57. Романовский Р. К., Садовничук С. Г. Специальная теорема сложения для тэта-функций и нелинейные уравнения. // Сиб.матем. журнал. 1998. Т. 39. №5. С. 1127-1130.

58. Романовский Р. КСадовничук С. Г. Эффективное построение двухзонных решений нелинейного уравнения Шредин-гера. // Сиб. матем. журнал. 1999. Т. 40. №2. С. 439-442.

59. Романовский Р. К., Садовничук С. Г. Прямой метод построения двухзонных решений нелинейных уравнений. // Матем. заметки. 1999. Т. 66. №3. С. 401-406.

60. Бухштабер В. М., Эиольский В. 3. Явное алгебраическое описание гиперэллиптических якобианов на основе сг-функций Клейна. // Функц. анализ и его прил. 1996. Т. 30. №1. С. 57-60.

61. Dmitrieva L. A. Finite-gap solutions of the Harry Dym equation. // Physics Letters A. 1993. V. 182. P. 65-70.

62. Риман Б. Теория абелевых функций. //В книге: "Риман Б. Сочинения".-М.: ОГИЗ, 1948.

63. Гурвиц А., Курант Р. Теория функций.- М.: Наука, 1968.

64. Маркушевич А. И. Введение в классическую теорию абелевых функций.- М.: Наука, 1979.

65. Зверович Э. И. Краевые задачи теории аналитических функций. // УМН. 1971. Т. 26. №1. С. 113-181.

66. Пуанкаре А. Избранные труды. Т. 3.- М.: Наука, 1974.

67. Schlesinger L. Einführung in die Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen auf funktionen theoretischer Grundlage.-Berlin, 1922.

68. Garnier R. Sur une classe de systems differentials abéliens déduits de la théorie des équations linéaries. // Rend. Cire. Matem. Palermo. 1919. V. 43. №4. s. 155-191.

69. Короткий Д. A. Конечнозонные решения SU( 1,1) и SU(2) уравнений дуальности и их аксиально-симметричные стационарные редукции. // Матем. сборник. 1990. Т. 181. №7. С. 923-933.

70. Кочина П. Я. Карл Вейерштрасс: 1815-1897 М.: Наука, 1985.

71. Ахиезер Н. И. Континуальный аналог ортогональных многочленов на системе интервалов. // ДАН СССР. 1961. Т. 141. №2. С. 263-266.

72. Pohlmayer К. Integrable Hamiltonian systems with interaction througth quadratic constrains. // Commun. Math. Phys. 1976. V. 46. p. 207-223.

73. Захаров В. E., Михайлов А. В. Релятивистски инвариантные двумерные модели теории поля, интегрируемые методом обратной задачи. // ЖЭТФ. 1978. Т. 74. N6. С. 1953-1974.

74. Кричевер И. М., Новиков С. П. Голоморфные расслоения и нелинейные уравнения. Конечнозонные решения ранга 2. // ДАН СССР. 1979. Т. 247. №1. С. 33-37.

75. Кричевер И. М. Коммутативные кольца обыкновенных линейных дифференциальных операторов. // Функц. анализ и его прил. 1978. Т. 12. №3. С. 20-31.

76. Гриневич П. Г. Рациональные решения уравнений коммутации дифференциальных операторов. // Функц. анализ и его прил. 1982. Т. 16. №1. С. 19-24.

77. Latham G., Previato E. Darboux transformations for higher-rank Kadomtsev Petviashvili and Krichever - Novikov equations. // Acta Applicandae Math. 1995. V. 39. p. 405-433.

78. Соколов В. В. О гамильтоновости уравнения Кричевера -Новикова. // ДАН СССР. 1984. Т. 277. №1. С. 48-50.

79. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Эллиптические и автоморфные функции. Функции Ламе и Матье.- М.: Наука, 1967.

80. Новиков Д. П., Романовский Р. К. Об одном методе построения алгебро-геометрических решений уравнения нулевой кривизны. // ТМФ. 1997. Т. 110. №1. С. 61-72.

81. Новиков Д. П. Алгебро-геометрические решения уравнения91—Г. Дима. // Алгебра, геометрия, анализ и математическая физика. 10-я Сибирская школа 14-22 августа 1996г., Новосибирск. Новосибирск: Изд-во ИМ СО РАН, 1997. С. 179.

82. Новиков Д. П. Алгебро-геометрические решения уравнения Г. Дима. // Сиб. матем. журнал. 1999. Т. 40. №1. С. 159-163.

83. Новиков Д. П. Алгебро-геометрические решения уравнения Кричевера Новикова. // ОмГТУ. Омск. 1998. Деп. в ВИНИТИ 09.07.98. №2172-В98.

84. Новиков Д. П. Алгебро-геометрические решения уравнения Кричевера Новикова. // ТМФ. 1999. Т. 121. №3; С. 367373.