Аналитический метод эффективизации формул конечнозонного интегрирования тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

У

ОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

Садовничук Сергей Германович

УДК 517.9

АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД ЭФФЕКТИВИЗАЦИИ ФОРМУЛ КОНЕЧНОЗОННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель -доктор физико-математических наук, профессор Р.К. Романовский

Омск -

1998

Содержание

Введение......................................................4

Глава 1. Специальная теорема сложения для тэта-функций. 19

§1.1. Тэта-функции Римана. Основные свойства. ..........19

§1.2. Характеризация гиперэллиптических матриц Римана. Критерий Мамфорда..............................................22

§1.3. Специальная теорема сложения.......................26

§1.4. Следствия из специальной теоремы сложения. Каноническое представление матричной р-функции Вейерштрасса. ... 28

§1.5. Характеристический симплекс.........................32

Глава 2. Симплекс-метод построения конечнозонных решений уравнений КдФ и sine-Gordon. 35

§2.1. Дополнение к следствию 2 из специальной теоремы сложения.......................................................35

§2.2. Построение конечнозонных решений уравнения sine-Gordon. ...........................................................38

2

§2.3. Построение конечнозонных решений уравнения КдФ. 42

§2.4. Отбор вещественных решений........................44

§2.5. Построение двухзонных решений уравнения КП......47

Глава 3. Эффективизация формул конечнозонного интегрирования методом неопределенных коэффициентов. 49

§3.1. Билинейные уравнения Хироты........................49

§3.2. Эффективизация конечнозонных решений уравнений КдФ и sine-Gordon..................................................51

§3.3. Эффективизация двухзонных решений уравнения Шредин-гера. ..........................................................54

§3.4. Эффективизация двухзонных решений цепочки Тода. 59

Литература ................................................61

Введение

За последние 30 лет одним из наиболее мощных инструментов в исследовании нелинейных явлений стал так называемый метод обратной задачи, применимый к ряду фундаментальных уравнений математической физики.

1. В 1967 году был открыт замечательный механизм, связывающий некоторые важные нелинейные уравнения со спектральной теорией некоторых вспомогательных линейных дифференциальных операторов и позволяющий в определенном смысле проинтегрировать эти уравнения. Первый шаг был сделан в пионерской работе Гарднера, Грина, Крускала, Миуры [1], где была решена задача Коши для уравнения Кортевега-де Фриза (КдФ)

щ + §иих + иххх = 0 (0.1)

с быстроубывающей при ]х\ —у оо начальной функцией и(х, 0) = = г^о(^) сведением к обратной задаче рассеяния для оператора Штурма-Лиувилля Ь = <Р/(1х2 + щ(х). Этот механизм был усовершенствован и осмыслен с различных точек зрения в работах Лакса [2], Захарова и Фаддеева [3], Гарднера [4]. Затем были найдены другие важные нелинейные уравнения, к которым применим аналогичный механизм. Первым таким уравнением было нелинейное уравнение Шредингера (НШ±)

гщ + ихх = ±2 и\и\2, (0.2)

для которого В.Е. Захаровым и А.Б. Шабатом в 1970 г. был построен механизм сведения к задаче рассеяния для вспомогательного линейного оператора, уже не являющегося оператором Штурма-Лиувилля ([5], [6]). Следующим было уравнение sine-Gordon [7], [8]

иху = sin и, (0.3)

затем цепочка Тода [9] — [11]

= е-(Уп-Уп-г) _ е-{уп+х-упп е z (0 4)

уравнение Кадомцева-Петвиашвили [12]

—(ut 4- 6иих + иххх) = иуу (0.5)

и ряд другим уравнений. В [12], [34] изложена общая схема интегрирования нелинейных уравнений методом обратной задачи (МОЗР). Этот метод позволяет, в частности, строить так называемые многосолитонные решения, описывающие взаимодействие конечного числа солитонов — уединенных волн вида и = u(x — ct).

2. В 1971 году Р. Хирота в работе [13] открыл метод прямого построения многосолитонных решений, не опирающийся на МОЗР. В основе его подхода лежат специальные представления нелинейных уравнений с помощью "билинейных" дифференциальных операторов (аппарат таких операторов построен в [13]) и последующее применение методов теории возмущений. Приведем определение билинейного оператора, используемое далее (оно эквивалентно данному в [13]).

Пусть L — полином от операторов Dx = d/dx, Dt = d/dt, (/, g) — пара гладких функций от х, t. Положим

Lf х g = L[f(x + х', t + t')g{x -x',t- *')](*',*<)=((),o), (0.6)

где L = L(DX',Dt'). Формула (0.6) определяет оператор Хироты, действующий на упорядоченных парах (/, д).

Ряд приложений МОЗР и прямого метода Хироты вместе с историей ранних этапов развития метода обратной задачи представлены в книгах [14] — [18].

3. Начиная с пионерской работы С.П. Новикова [19] (1974 г.), в рамках метода обратной задачи бурно развивались и продолжают развиваться методы построения решений нелинейных уравнений, широко использующие аппарат классической алгебраической геометрии римановых поверхностей и получившие название " теория алгебро-геометрического (конечнозонного) интегрирования". Методы теории позволяют естественно ввести периодический и квазипериодический аналоги многосолитонных решений и получить для них точные формулы в терминах тэта-функций Рима-на. Важной составной частью теории, помимо конструкций, относящихся непосредственно к построению решений, является спектральная теория конечнозонных линейных операторов — далекое развитие спектральной теории оператора Штурма-Лиувилля с бы-строубывающим потенциалом Щ(х). На первом этапе она была построена в работах С.П. Новикова, Б.А. Дубровина, В.Б. Матвеева, А.Р. Итса, В.А. Марченко, П. Лакса [19] — [25] для оператора Штурма-Лиувилля с периодическим потенциалом со следующим свойством: в его спектре имеется лишь конечное число лакун (множество таких потенциалов, как показано в [23], плотно в пространстве периодических потенциалов с одним и тем же периодом). Такие операторы были названы конечнозонными, отсюда название теории. В этой ситуации риманова поверхность возникает как поверхность, на которой становятся однозначными блоховские функции — общие собственные функции оператора Штурма-Лиувилля и оператора монодромии; она имеет конечный род. В общей ситуации матричный оператор Ь = £>х — и(х, А) с рациональной по Л матрицей и по определению называется конечно-зонным, если он обладает собственной функцией ф(х, Л) {Ьф = 0), являющейся по Л однозначной функцией на римановой поверхности Г конечного рода с аналитическими свойствами, обощающими свойство блоховских функций. Спектральная теория таких операторов построена в [26] — [32]. Центральным элементом конструкции является восстановление оператора Ь по его "спектру" — поверхности Г и особенностям ф — на основе введенного в [30], [31]

аппарата функций Бейкера-Ахиезера.

4. Начиная с работы Лакса [2], прояснившей алгебраический механизм МОЗР, все схемы метода обратной задачи опираются на то или иное коммутационное представление уравнений. Наиболее общим коммутационным представлением (1+1)-уравнений, включающим все известные случаи, за исключением нескольких изолированных примеров, является предложенное в [34] представление в виде уравнения нулевой кривизны *

иь-Ух + [и,У}= 0 (0.7)

с рациональным по А (п х п)-матрицами и(х, А), V(х, А), представляющего собой условие коммутации операторов

1а = Вх = [Ьь Ь2} = 0.

Решение (17, V) уравнения (0.7) и, соответственно, решение нелинейного уравнения, представленного в виде (0.7), называется алгебро-геометрическим или конечнозонным (д-зонным), если (приводится одно из равносильных определений; см. [31], [33]) операторы Ь\, ¿2 обладают общей собственной вектор-функцией ф, явля-

о \ и ч и кг

ющеися по А однозначной аналитической функцией на п-листнои римановой поверхности Г конечного рода имеющей особенности типа экспонент в прообразах Ра € Г полюсов матриц II, V и мероморфной вне точек Ра с дивизором И полюсов, не зависящим от x,t. Аппарат функций Бейкера-Ахиезера позволяет строить функцию ф по указанным аналитическим свойствам. Задавая произвольную п-листную риманову поверхность Г рода д, вычисляя по матрицам [/, V точки Ра и асимптотику ф при Р Ра и задавая на Г \ Ра положительный дивизор В общего положения степени д, получают требуемый набор данных, по которым строится вектор-функция ф(х^, 7) (7 6 Г) в терминах тэта-функции поверхности Г. Искомое решение (С/, V) уравнения (0.7) вычисляется по формулам II = V = Ф^Ф-1, где матрица Ф составлена из столбцов ф(х, t, 7г), вычисленных в лежащих над А точках 7г € г*.

Формулы для конечнозонных решений уравнений (0.1) - (0.4) были получены в 1975-76 гг. в работах [22], [33] - [37]. В работах [31], [38] схема конечнозонного интегрирования была распространена на (2+1)-уравнения и построены, в частности, конечнозон-ные решения уравнения КП (0.5). В последующем были получены формулы для конечнозонных решений других важных урав-

и и 1 и

нении математической физики: системы уравнении главного ки-рального поля [39], [40], задачи N волн [32], уравнений Ландау-Лившица [41], Буллафа-Додда-Жибера-Шабата [42], Г.Дима [43], Каупа-Буссинеска [44], Эйнштейна [45] и других. Дальнейшие этапы развития теории и приложений представлены в книгах [14] -[17], [46], [47] и обзорах [26], [32], [33], [39], [48] - [59].

Один из глубоких результатов теории конечнозонного интегрирований — решение С.П. Новиковым, Б.А. Дубровиным и Т. Ши-отой ([49], [60], [58]) проблемы Римана-Шоттки характеризации матриц О, (С1Т = 1т О, > 0), являющихся матрицами ¿-периодов алгебраических кривых. Мамфордом [46] получен другой результат такого типа — характеризация матриц ¿-периодов гиперэллиптических кривых

" = П ~ Ч)

3=1

(епопарно различны; такие матрицы Римана далее называются гиперэллиптическими) в терминах тэта-констант. Теорема Мам-фор да приводится в §1.2.

5. Одна из возникающих в теории конечнозонного интегрирования проблем, сдерживающая получение сильных приложений в физике, механике, гидродинамике, из потребностей которых теория возникла, состоит в том, что полученные таким путем формулы для решений неудобны для вычислений на ЭВМ, так как входящие в них параметры чрезвычайно сложно связаны с исходными данными. В 1980 г. С.П. Новиков поставил задачу эффекти-визации формул конечнозонного интегрирования. В последующие годы появилась серия работ, посвященных этой проблеме [61] -

[66], [52]. В этих работах эффективизация проводилась в рамках методов алгебраической геометрии, главным образом на основе симметрийной специализации римановых поверхностей, порождающих решение — подбором исходной алгебраической кривой с нетривиальными группами автоморфизмов. На таком же пути преодолевалась другая трудность: выделение вещественных решений [32], [39], [51], [41], [44], [61], [65], [67]). В диссертационной работе предложен подход к проблеме эффективизации, не использующий аппарат алгебраической геометрии. В основе подхода лежит тождество для тэта-функций с матрицей Римана Г2, удовлетворяющей условиям гиперэллиптичности, названная в работе специальной теоремой сложения, и следствия из него, в том числе свойства матричной р-функцией Вейерштрасса. В рамках этого подхода эффективно построены конечнозонные решения — в том числе вещественные — нелинейных уравнений типа КдФ. Здесь и далее термин "конечнозонные решения" употребляется в более широком смысле, чем было указано в п.4 — так называются решения, пред-ставимые в тэта-функциях римановых поверхностей, Получаемые в итоге формулы для решений удобны для вычислений на ЭВМ.

В частном случае уравнений КдФ и sine-Gordon для вычисления векторов v и гу, входящих в формулы вида и = f(vx + wt) для решений, строится симплекс в пространстве С5, ребрами которого служат, с точностью до скалярных множителей, вычисленные при z = 0 градиенты некоторых нечетных тэта-функций. Искомые векторы i>, w — надлежаще выбранные нормали к (д — 1)-мерным граням этого симплекса (в случае уравнения sine-Gordon) либо линейные комбинации нормалей (в случае КдФ). Существенную роль в этих построениях играет представление p-Вейерштрасса в виде суммы постоянной матрицы и матриц ранга единица, проектирующих Cs на ребра симплекса. В рамках этого подхода построен также подкласс двухзонных решений уравнения КП (0.5). В этом случае процедура вычисления параметров несколько сложнее.

Предлагаемый в работе общий подход к вычислению параметров тэта-функциональных формул для решений (в общей ситу-

ации нормали к граням симплекса "не работают") связан с использованием специальных представлений нелинейных уравнений в билинейной форме Хироты. Сочетание специальной "гиперэллиптической" теоремы сложения и связанной с ней геометрической конструкцией ("симплекс-метода") с аппаратом билинейных операторов позволяет свести вычисление неизвесных параметров к "методу неопределенных коэффициентов": уравнивание в полученных равенствах коэффициентов при линейно независимых функциях приводит, с учетом соотношений между указанными в п.7 градиентами — ребрами симплекса — к системам уравнений для параметров, решаемых численно.

Строящиеся решения становятся вещественными при специальных соотношениях между исходной матрицей Римана О, и характеристиками участвующих в конструкции тэта-функций.

Предлагаемый метод наиболее эффективен при д = 2, так как в этом случае не требуется налагать специальные ограничение на исходную матрицу Римана кроме условий вещественности. В случае д > 3 для эффективного построения решений нужно предварительно решить систему уравнений Мамфорда (см. [68], [69]).

6. Данная работа состоит из введения, трех глав, списка литературы. Первая глава работы посвящена разработке математического аппарата, лежащего в основе выполняемой в работе конструкции. Некоторые из полученных здесь результатов — теоремы 1 -3 — представляют, на наш взгляд, самостоятельный интерес для теории тэта-функций.

Пусть д е N, В = {1,2,3,... , 2д + 2}, U = {1, 3,... , 2д + 1}. Зафиксируем произвольное подмножество Т С В с числом элементов = д + 1. Запись Р <Т означает, что Р С Т и = = д + 1 mod 2. Пусть, далее, 9P(z) = d{h(PAU)](z, fi) — тэта-функция с матрицей Римана Q порядка д и характеристикой

h(PAU)= £ hi mod 1,

iZPAU

где Д —- знак симметрической разности, hi определены в §1.2.

В традиционных обозначениях И(РАЩ = [§; |], а, /3 € имеем

вР(г) = £ ехр{тгШ(п + + + 2тгг(п + £)•(* + |)}. пег« / /

Далее во всех теоремах матрица Римана тэта-функции предполагается гиперэллиптической. При этом в доказательствах существенную роль играет критерий Мамфорда гиперэллиптичности матрицы Г2 (§1.2).

Будем использовать, кроме приведенных выше, следующие обозначения

Л(ТДС0

а Ь' 2' 2

1=1

- ЖГ\1 = — градиент (столбец).

Теорема 1. (Специальная теорема сложения). Для любых г,и Е С9 верно равенство

вТ{г + и)вт{г - и)в2т(0) = £ а{Р,Т)в2Р{г)в2Р(и).

р<т

Рассмотрим матрицу вторых производных (матрицу Гесса)

рг(г) = (1пвг(*))".

Будем называть матрицу матричной р-функцией Вейер-

штрасса.

Теорема 2. (Каноническое представление матричной р-функции Вейерштрасса). Имеет место равенство

#Р=9~ 1

Градиент Ур, где Р = Т \ {г, У}, будем также обозначать У ¿у. Для каждого числа к е Т рассмотрим множество градиентов Уу,

где i фиксировано, j G T\{k,г}. Обозначим Р^ линейную оболочку этих векторов в С9.

Теорема 3. 1. Имеется Сд+1 соотношений линейной зависимости вида

^pq^pq "I- + ЛrpVj-p — О,

где p,q,r G Т, коэффициенты А ф 0.

2. Если i,j еТ\ {k}, mo Vy G Г*.

В частном случае, если V»j G R5, эти соотношения означают, что векторы AijVij, где (г, j) пробегает все пары из Т, образуют ребра g-мерного симплекса в R5, (# — 1)-мерные грани которого параллельны гиперплоскостям IV В случае Vy G С5 будем далее по аналогии говорить о симплексе в С3 с ребрами Vy и (<7 — 1)-мерными гранями Гк Е Т. Понимаемый в указанном смысле симплекс назван в работе характеристическим.

7. В главе 2 на основе результатов главы 1 эффективно строятся конечнозонные решения уравнений КдФ и sine-Gordon (теоремы 6, 7). Формулируемые ниже теоремы 4, 5 позволяют отбирать из построенных решений вещественные. На основе соображений, близких к использованным при построении решений КдФ, эффективно построен класс двухзонных решений, в том числе вещественных, уравнения КП (0.5).

Будем называть функцию Bp(z) квазивещественной, если для любого z Е С9 выполняется равенство

9p(z) = (9p(z), С = const.

Обозначим Л = Re Cl, diagA = {An, A22,. •. , A^}.

Теорема 4. (Признак квазивещественности тэта-функции). Функция Bp(z) квазивещественна тогда и только тогда, когда выполняются соотношения

2Л G Mat(g,Z)

<

Аа -h diagA G Ъ9.

Будем говорить, что вектор v € С9 — нормаль к грани Г^ характеристического симплекса и писать v _L Г&, если для любого вектора V € Г& выполняется равенство г;-V = 0.

Теорема 5. (Признак существования вещественных нормалей). Пусть 2Л е Mat(g, Z), Aa-f diagA в Z9, АаР + diagA 6 Е Ъ9, где п G Т фиксировано, Р пробегает все множества вида Р = Т \ {г,п}, г G Т \ {п}. Тогда к каждой грани Г к симплекса существуют вещественные нормали v^. Эти нормали даются формулами

vk = х VPi,

где Pi = Т\ {i,n}, Pj=T\ {j,n}, i,j еТ\ {n}, "x" - знак векторного произведенил.

Теорема 6. 1) Пусть R = T\ {т, п}; нормали vm, vn к граням Гт, Гп выбраны так, что

(Ут-Ул)(Уп>Ул) J 1/4 , <г(Р,Т) = -1 4(0) 1 —г/4 , а(Р,Т) = 1

Тогда

и(т и) - I iln^(VmX + УпУ+ а(Р'Г) = in 84)

и{Х'У) - \i\mpR(vmx + vny + zQ) + l, аг(Р,Г) = 1, [ J

zq 6 С9, есть решение уравнения иху = sin п.

2) Еслиуп,ут е R9, ад = a, Re zq = \(/Зц-Ь) mod то решени