Преобразование рассеяния для двумерного оператора Шредингера при одной энергии и связанные с ним интегрируемые уравнения математической физики тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

1 Введение.

1 Предварительные сведения.

2 Задача Коши для уравнения Кадомцева-Петвиашвили 2 в классе убывающих на бесконечности потенциалов.

2.1 Прямое преобразование рассеяния.

2.2 Обратное преобразование рассеяния.

3 Алгебраические римановы поверхности. Циклы, диффе ренциалы, тета-функция Римана.

3.1 Циклы на алгебраических кривых.

3.2 Дифференциалы на алгебраических кривых.

3.3 Векторные поля на окружности.

3.4 Билинейные соотношения Римана.

3.5 Отображение Абеля.

3.6 Тета-функция Римана.

4 Уравнение Кортевега - де Фриза. Конечнозонные решения.

5 Конечнозонные решения уравнения Кадомцева-Петвиашвили. Высшие уравнения КП.

6 Двумерные операторы Шредингера, "конечнозонные при одной энергии". Уравнения Веселова-Новикова.

II Преобразование рассеяния для двумерного оператора Шредингера при одной энергии и параболического оператора.

7 Преобразование рассеяния при фиксированной положительной энергии для двумерного оператора Шредингера с убывающим на бесконечности потенциалом.

7.1 Прямое преобразование рассеяния.

7.2 Обратное преобразование рассеяния.

7.3 Условия потенциальности и вещественности.

7.4 Связь с физической задачей рассеяния. Прозрачные при одной энергии потенциалы.

7.5 Интегрирование уравнений Веселова-Новикова.

8 Задача рассеяния при фиксированной отрицательной энергии.

9 Рациональные солитоны уравнений Веселова-Новикова — безотражательные при фиксированной энергии двумерные потенциалы.

9.1 Алгебраическая схема построения рациональных солитонов.

9.2 Редукции на данные рассеяния.

9.3 Явные формулы для потенциалов. Сведение к пфаффианам.

10 Прозрачные при одной энергии потенциалы, быстро убывающие на бесконечности.

10.1 Условия на данные расеяния для быстроубывающих потенциалов. Прямая задача.

10.2 Построение потенциалов, прозрачных при одной энергии.

11 Преобразование рассеяния для быстороубывабщих потенциалов на фоне конечнозонных.

11.1 Прямое преобразование рассеяния на конечнозонном фоне.

11.2 Обратное преобразование рассеяния на конечнозонном фоне.

12 Несингулярность обратного спектрального преобразования для уравнения Кадомцева-Петвиашвили 2 с "большими" "данными рассеяния" в вещественном случае.

13 Несингулярность прямого спектрального преобразования для уравнения Кадомцева-Петвиашвили 2 с "большим" вещественным начальным потенциалом

13.1 Однородные решения интегрального уравнения прямой задачи рассеяния.

13.2 Регулярность прямого спектрального преобразования для параболического оператора.

13.3 Задача Коши для уравнения Кадомцева-Петвиашвили 2 в классе быстроубывающих на бесконечности потенциалов.

III Неизоспектральные симметрии интегрируемых уравнений.

14 Действие неизоспектральных симметрий на конечнозон-ных решениях уравнения Кадомцева-Петвиашвили.

14.1 Неизоспектральные симметрии КдФ и КП.

14.2 Тензорная функция Бейкера-Ахиезера.

14.3 Деформации римановых поверхностей и задача Римана.

14.4 Ядро Коши-Бейкера-Ахиезера.

14.5 Деформации спектральных кривых и дополнительные симметрии КП.

14.6 Грассманнианы и пространства флагов.

14.7 Вариации геометрических объектов.

15 Неизоспектральные симметрии уравнений Уизема

15.1 Уравнения Уизема для КдФ.

15.2 Дифференциалы на гиперэллиптических римановых поверхностях.

15.3 Неизоспектральные симметрии иерархии Уизема для КдФ.

16 Построение строго периодических конечнозонных решений интегрируемых уравнений методом изопериодических деформаций.

16.1 Условия периодичности в терминах дифференциала квазиимпульса.

16.2 Деформации, сохраняющие периоды дифференциала квазиимпульса.

16.3 Явные формулы для уравнений изопериодических деформаций.

16.4 Изопериодические деформации как градиентные системы.

Одна из известнейших задач математической физики - задача о рассеянии асимптотически свободной частицы на локализованном потенциале (см., например, [52], [67], [81]). Условно ее можно разбить на две части - прямую и обратную задачи. Прямая задача состоит в вычислении амплитуд или сечений рассеяния в предположении, что потенциал известен, обратная - в восстановлении неизвестного потенциала по известным данным рассеяния.

Интерес к квантовой задаче рассеяния был, в первую очередь, мотивирован внутренними потребностями квантовой механики, включая проблему интерпретации ускорительных экспериментов и описание квантовой механики как суперпозиции элементарных процессов рассеяния.

Новый толчок к развитию теории рассеяния в 70-е годы дало появление метода обратной задачи в теории нелинейных уравнений. После того, как в 1967 году Гарднер, Грин, Крускал и Миура проинтегрировали уравнение Кортевега де Фриза при помощи задачи рассеяния для одномерного оператора Шредингера [107], этот метод был распространен на ряд других уравнений математической физики, включая уравнение Кадомцева-Петвиашвили [23], [36]. В свою очередь, развитие теории интегрируемых систем привело к появлению новых подходов к теории рассеяния, включая метод конечнозонного интегрирования, начало которому положила работа С.П.Новикова [59], а также работы Б.А.Дубровина [24], А.Р.Итса, В.Б.Матвеева [39], П.Лакса [124], Г.Мак-Кина и П.Ван Мербеке [131] и ряда других авторов (см., например, обзор [28]); метода нелокальной задачи Римана [129] С.В.Манакова, см. также [33]; метода ^-проблемы Р.Билза-Р.Койфмана [86], [87], М.Абловица, Д.Бар Якова, А.Фокаса [84].

С другой стороны, значительный интерес к задачам рассеяния для уравнений в частных производных связан с развитием волновой томографии.

Движение бесспиновой частицы в стационарном потенциальном поле описывается в квантовой механике через разложение по собственным функциям стационарного оператора Шредингера ([52]) п

Ь = -^2дх,+и(хъ.,хп). i=l

Пусть потенциал ., хп) достаточно быстро убывает при сю, х = (#1,., хп). Тогда дискретный спектр Ь лежит в области отрицательных энергий, а непрерывный заполняет всю вещественную полуось и его кратность бесконечна при п > 1.

В зависимости от решаемой задачи базис собственных функций непрерывного спектра можно выбирать различными способами. В частности, в качестве базисных можно выбрать решения Ф(&,ж), отвечающие рассеянию частиц с импульсом к на потенциале и (ж):

ЬФ(к,х) = ЕЪ(к,х), кеЖп, Е=\к\2. (1.1)

Эти решения фиксируются выбором асимптотики при |ж| —> оо: п^ (-> \к\ \ ( 1 \ |Ж| / где / [к, - некоторая заранее не известная функция.

Согласно теореме Като (см., например, [66]), при любом вещественном к Е М." решение с асимптотикой (1.2) существует и единственно. Отметим, что для фиксации единственного решения постулировать асимптотику вида х) = ег(к'х^ + о(1) было бы недостаточно, поскольку существует большое количество решений с асимптотикой

Г-Л Л \к\ \

1.3)

92 к, т^х IX о 1 п-1 х ) -^7==—= нах/РР1

Условие отсутствия в асимптотике членов вида д2 зывается условием излучения.

Функции (1.2) совместно с функциями дискретного спектра образуют полный базис в пространстве Ь2(Ш.п) (см. [66]).

Функция/(£,/}, к,1е М", \к\2 = \1\2 называется амплитудой рассеяния для потенциала и(х).

Оператором рассеяния или 5 - матрицей называется оператор 1 + 5 с ядром

71 — 1 г\к\

2тг действующий на функциях на единичной сфере.

5 /)(«) = /. /*(«,«')/(«')

1.4) iZ.Cn-! где б?<7 - стандартный элемент объема. ч

Из вещественности оператора Ь следует, что оператор 1 + о унитарен (см., например, [52])

1 + §)(1 + §)+= 1. (1.5)

В терминах ядра в^у') соотношение (1.5) приобретает вид: з(ь, ь') + 8(ь',/./ З(У, ь") V") йа = 0. (1.6) ея1

В терминах /(к,1): цЦ) + нг1/^,г) + /• • •/¡(к,к")!(Ц")<1~сг, (1.7)

27гг | Лг | "|=|*| где ¿и - элемент объема на сфере радиуса \к\.

Отсутствие в операторе Ь производных первого порядка (магнитного поля) влечет инвариантность процесса рассеяния относительно обращения времени. В терминах амплитуды рассеяния это означает следующую симметрию: (1.8) или, что эквивалентно, в(-*Г,-г7) = О-9)

Это свойство называется свойством взаимности.

Прямая задача рассеяния состоит в вычислени амплитуды рассеяния по потенциалу и(х). Обратная задача рассеяния состоит в восстановлении потенциала по амплитуде рассеяния (и, возможно, данным, отвечающим дискретному спектру).

Одномерная задача рассеяния в размерности 1 была решена в 50-е годы в работе И.М.Гельфанда, Б.М.Левитана [9], [10] и В.А.Марченко [55], более строгое исследование этой задачи было проведено Л.Д.Фаддеевым (см. обзор [72]).

В отличие от одномерной задачи, многомерная задача, решенная Л.Д.Фаддеевым [72] (часть результатов была получена независимо от него Р.Г. Ньютоном [135], см. также книгу [81]), оказывается существенно более сложной. Дело в том, что в п - мерном пространстве амплитуда рассеяния /(&,/), \к\2 = |/|2 - функция 2п — 1 вещественной переменной, по которой нужно восстановить функцию п вещественных переменных и(х), т.е. эта задача сильно переопределена. "Условия совместности, найденные Л.Д.Фаддеевым [72], имеют вид нелинейной системы интегральных уравнений, и анализ их - очень сложная задача. За время, прошедшее с момента выхода в свет работы [72], были найдены другие формулировки условий совместности (М.Абловиц - А.Нахман [132],

Р.Г.Новиков - Г.М.Хенкин [63], [64]), однако, по-видимому, привести их к простому виду невозможно.

Отметим, что если нам известна амплитуда рассеяния при всех энергиях, и мы априори знаем, что она отвечает некоторому потенциалу (т.е. условия совместности выполнены), то обратная задача в каком-то смысле тривиальна, поскольку при высоких энергиях многомерная задача рассеяния линеаризуется и амплитуда рассеяния переходит в преобразование Фурье потенциала и(х)

ДМ) = /./ е^и{х)йХ1.йхп + о{1) (1.10)

2г (у 2т)

Ю.М.Березанский [2], Л.Д.Фаддеев [73]). Однако практическое использование высокоэнергетического предела часто затруднено, поскольку, во-первых, измерения в этой области оказываются невозможными, и, во-вторых, сама физическая модель перестает работать.

Один из естественных способов уменьшения переопределенности обратной задач состоит в том, что пытаемся восстановить потенциал, пользуясь лишь частью данных рассеяния. Одна из естественно возникающих при этом постановок - обратная задача рассеяния при фиксированной энергии бо- Она интересна еще и потому, что уравнение акустических волн в изотропной жидкости может быть приведено к виду:

- ДФ + д(ж)Ф = (1.11)

Мы видим, что, вообще говоря, акустическая задача рассеяния существенно отличается от квантовой, однако при фиксированном и2 она совпадает с квантовой задачей рассеяния при фиксированной энергии бо (см., например, [116]). Тем самым результаты, полученные в квантовой задаче рассеяния при фиксированной энергии могут быть приложены и к акустической задаче.

Из работ Р.Ньютона [134], Т.Редже [142], П.Сабатье [144] следует что, решение обратной задачи при одной энергии уже не единственно, поэтому естественный вопрос - с какой точностью мы можем восстановить потенциал по данным рассеяния, или, что то же самое, как можно описать множество всех решений обратной задачи.

Важный случай задачи при фиксированной энергии - задача о прозрачных при одной энергии бо потенциалах, т.е. таких, что волны с энергией бо, приходящие с любого направления, на нем вообще не рассеиваются. Их существование было установлено достаточно давно (см., например, [144]), однако примеры работы [144] медленно убывали на бесконечности (как г-3/2). Естественно возникает вопрос об описании таких потенциалов, а также, могут ли они быть хорошо локализованными в пространстве.

К сожалению, в наиболее интересной размерности п = 3 проблем, связанных с переопределенностью, избежать не удается. В то же время, при п = 2 амплитуда рассеяния при фиксированной энергии - функция двух переменных, и, как мы увидим в Главе 2, нетривиальных условий совместности действительно нет.

С другой стороны, в работах С.П.Новикова, Б.А.Дубровина, И.М.Кри-чевера, А.П.Веселова [27], [7], [8] было осуществлено построение "ко-нечнозонных при одной энергии" двумерных операторов Шредингера. Оказалось, что с этой задачей связана иерархия солитонных уравнений (уравнений Веселова-Новикова), т.е. двумерная задача рассеяния при одной энергии обладает бесконечномерной алгеброй симметрий и, в некотором смысле, "вполне интегрируема" (более детально эти результаты изложены в разделе б Главы 1). Как отметил С.П.Новиков, эти результаты указывают на применимость методов теории солитонов к быстроубывающей задаче рассеяния для двумерного оператора Шредингера и возможность ее эффективного решения. Эта программа была реализована автором совместно с Р.Г.Новиковым, С.В.Манаковым, С.П.Новиковым [11]-[15], [109], [61], [62], [136]. Изложение полученных при этом результатов является одной из основных целей данной работы,

Масштабным преобразованием х —> а~1х, у —> а~1у, и —>■ a2г¿, бо —> а2ео задача для произвольной энергии бо сводится к одному из трех случаев:

0 = 0, €0—1 €0 = -1В нашей работе мы ограничимся задачей рассеяния при бо ф 0. Случай бо = 1 исследуется в разделе 7, случай бо = — 1 - в разделе 8. При ео = 0 задача усложняется, поскольку функция Грина (и, как следствие, норма интегрального оператора) логарифмически растет при р 0. В частности, из результатов раздела 8 видно, что для сколь угодно мелкой потенциальной ямы прямое преобразование рассеяния сингулярно. В работах М.Боити, Х.Леона, М.Манны и Ф.Пемпинелли [90] и Цая [148] было показано, что эту трудность можно преодолеть, меняя нормировку функций Грина. Однако при этом приходится вводить переопределенный набор данных рассеяния и столь же простого ответа, как при бо ф 0 получить не удается. (При бо ф 0 мы работаем в предположении, что норма потенциала и(х}у) в подходящем функциональном пространстве меньше абсолютной величины энергии, поэтому наивный предельный переход бо —)• 0 не проходит).

Хорошо известно, что при исследовании обратных задач одним из важнейших приемов является выход в область комплексных импульсов.

Для многомерного оператора Шредингера решения с комплексным импульсом

ЬУ(к,х) = ЕУ{к,х), кеСп, 1ткф0, Е = (к, к) были построены Л.Д.Фаддеевым [74]. В отличие от "физических" решений (1.2), они полностью задаются главным членом асимптотики, но при этом они определены лишь для точек к общего положения, а на некоторых подмногообразиях в Сп могут иметь особенности по к .

Важным свойством решений (1.12) является их неголоморфная зависимость от к. Как показал Л.Д.Фаддеев [72], их ограничения на одномерные подпространства к = 57где 7, к Е Мп, (7,7) = 1, (7, к±) = О, § Е С мероморфные по 5 вне вещественной прямой 1т в = 0, и это свойство было использовано в работе [72] для решения обратной задачи. Наоборот, в более поздних работах [132], [63], [64] именно отклонение от голоморфности рассматривалось в качестве ключевого свойства. Подход, использующий ^-проблему играет центральную роль и в нашей работе.

С решениями (1.2) Л.Д.Фаддеев связал следующие "нефизические" "данные рассеяния"

ММ) = щ: Ц (1.13) где А;,/Е С", 1т & = 1т/.

Как мы увидим ниже, часть вводимых таким образом "нефизических" "данных рассеяния" будет играть у нас роль параметров, описывающих все решения с заданной амплитудой рассеяния.

Несложно убедиться, что в пределе медленной зависимости потенциала от одной из переменных двумерный стационарный оператор Шредин-гера переходит в зависимости от знака энергии либо в одномерный нестационарный оператор Шредингера, либо в оператор теплопроводности, а уравнение Веселова-Новикова - в уравнение Кадомцева-Петвиашвили (КП).

Уравнение КП в настоящее время - одно из наиболее известных уравнений в теории солитонов, что обусловлено целым рядом его замечательных свойств:

- Уравнение КП - исторически первое уравнение с 2 пространственными переменными, для которого была установлена его интегрируемость методом обратной задачи рассеяния (В.Е.Захаров - А.Б.Шабат [36], [37], Дрюма [23]).

- Уравнение КП естественно возникает в ряде физических задач, например, в физике плазмы (Кадомцев - Петвиашвили [40]), в теории океанских волн.

- Уравнение КП описывает первую нелинейную поправку в многомасштабных разложениях нелинейных гамильтоновых систем с 2 пространственными переменными общего вида в предположении некоторых условий невырожденности [35].

- Многие известные системы теории солитонов получаются как редукции КП или допускают вложение в иерархию КП.

- При исследовани уравнения КП возникают чрезвычайно интересные математические структуры.

В литературе используются различные нормировки КП, однако все они эквивалентны с точностью до масштабного преобразования у (71М, 72^,732/, 74

В нашем тексте мы для определенности будем пользоваться следующей нормировкой: щ + 6иих - иххх)х = 3а2иуу.

Наиболее интересным и осмысленным с точки зрения физических приложений является случай а2 ф 0. Без ограничения общности можно считать а2 = ±1, т.е. мы будем предполагать, что имеет место один из двух случаев:

1) а = г - уравнение КП1,

2) а = 1 - уравнение КП2.

С алгебраической точки зрения уравнения КП1 и КП2 эквивалентны, поскольку они переводятся друг в друга заменой у —У ^Ыу. Однако с аналитической точки зрения КП1 и КП2 сильно отличаются друг от друга (так, например, для КП2 с периодическими начальными условиями удается определить прямое преобразование рассеяния для вспомогательной спектральной задачи и, тем самым, в каком-то смысле решить задачу Коши (Кричевер [43], [44]), а для КП1 до сих пор не ясно, возможно ли вообще получить аналогичный результат). Интегрирование КП основано на использовании следующего представления Лакса, а именно, уравнение КП щ + биих - иххх)х = 3а2иуу. эквивалентно условию коммутативности следующей пары линейных дифференциальных операторов

Ь,А} = О,

Ь = аду - дх + и(х,у,г), А = дг- 4+ 6и(х, у^)дх + 3их(х,у^) +3 где дхи)(х,у,Ь) = дуи(х,у^).

При а = г - Ь - нестационарный одномерный оператор Шредингера!, при а = 1 - Ь параболический оператор (оператор теплопроводности).

Важным свойством КП является его нелокальность. Эволюционное уравнение называется локальным, если оно представимо в следующем виде: щ(х,г) = К[х,и,их,.}, где К[х,и,их,.] - функция, зависящая от потенциала и его производных по пространственным переменным, взятым в точке х. Если же для вычисления К[х,и,их,.] этого недостаточно и нужно знать и{х,Ь) в других точках, то уравнение называется нелокальным.

Задача Коши для уравнения КП1 в классе убывающих на бесконечности потенциалов была решена С.В.Манаковым [129], более регулярный вывод преобразования рассеяния был предложен М.Абловицем и А.Фокасом [99]. Спектральное преобразование для уравнения КП2 в предположении малости потенциала для прямой задачи (или данных рассеяния для обратной) было построено Абловицем, Бар Яковым и Фо-касом в работе [84].

Методы, используемые в нашей работе при исследовании задачи рассеяния для двумерного оператора Шредингера аналогичны методам, используемым в теории КП. С другой стороны, техника, разработанная для оператора Шредингера, позволила получить ряд новых результатов для КП. В частности, удалось доказать, что при некоторых предположениях спектральное преобразование для КП2 с вещественным потенциалом неособо в обе стороны (ранее это было доказано лишь для некоторой окрестности нулевого потенциала). В свою очередь это доказывает несингулярную разрешимость задачи Коши со сколь угодно большими начальными условиями в быстроубывающем классе.

Первая глава диссертации носит вводный характер. В ней собраны основные определения, а также дан обзор тех фактов и методов из теории уравнения КП2, которые нам понадобятся в дальнейшем. Этот обзор сделан довольно подробным, поскольку излагаемый в нем материал доступен лишь в оригинальных публикациях, и в некоторых случаях требует уточнения.

Во второй главе изложены основные результаты по преобразованию рассеяния для двумерного оператора Шредингера и параболического оператора. В частности, построен полный независимый набор обобщенных данных рассеяния при фиксированной ненулевой энергии, найдены редукции, обеспечивающие отсутствие в операторе членов с первыми производными (магнитого поля) и вещественность, найдена естественная параметризация множества потенциалов с заданной амплитудой рассеяния при одной энергии. Исследован вопрос о прозрачных (не рассеивающих) при одной энергии потенциалах, в частности, построены явные примеры и доказано, что такие потенциалы могут убывать на бесконечности быстрее любой степени расстояния. Доказаны теоремы о несингулярности преобразования рассеяния для параболического оператора. Для оператора Шредингера при энергии ниже основного состояния и параболического оператора построено преобразование рассеяния для убывающих потенциалов на конечнозонном фоне.

В третьей главе техника спектрального преобразования применена к исследованию так называемых неизоспектральных симметрий соли-тонных уравнений. В частности, построена геометрическая реализация действия подалгебры алгебры симметрий КП, изоморфной алгебре векторных полей на окружности на конечнозонных решениях, показано, что по крайней мере для уравнения КдФ это действие проносится через операцию усреднения. Предложен основанный на неизоспектральных сим-метриях новый алгоритм выделения чисто перидических по пространственной переменной конечнозонных решений.

17 Заключение.

В заключение еще раз перечислим полученные в работе результаты.

1. Построено обобщенное преобразование рассеяния для двумерного оператора Шредингера с убывающим на бесконечности потенциалом при фиксированной ненулевой энергии в предположении достаточной малости потенциала по некоторой норме.

2. Показано что при положительной энергии естественно возникают данные рассеяния двух типов - "физические" и "дополнительные". При этом "физические" данные рассеяния находятся во взаимнооднозначном соответствии с амплитудой рассеяния при этой энергии, а "дополнительные" дают параметризацию всех потенциалов с заданной амплитудой рассеяния.

3. Показано, что введенные данные рассеяния образуют полную независимую систему параметров решений.

4. Найдены необходимые и достаточные условия на данные рассеяния, обеспечивающие потенциальность и вещественность отвечающих им операторов Шредингера (аналоги Ъч © Ъч редукций Веселова-Новикова).

5. Построены явные примеры неособых вещественных рациональных потенциалов с нулевой амплитудой рассеяния во всех направлениях ("прозрачных") при одном уровне энергии. Эти потенциалы отвечают рациональным солитонам уравнений Веселова-Новикова.

6. Доказано существование "прозрачных" при одной энергии потенциалов в классе гладких вещественных функций, убывающих на бесконечности быстрее любой степени расстояния.

7. Получено решение задачи Коши для уравнений Веселова-Новикова в классе потенциалов, выходящих на бесконечности на константу.

8. Показано, что обратная задача рассеяния для двумерного оператора Шредингера с вещественным потенциалом при фиксированной отрицательной энергии не требует предположения о малости нормы "данных рассеяния", однако весь спектр построенных операторов лежит выше нашего уровня энергии, и тем самым мы получаем лишь часть потенциалов. Тем самым доказано, что для систем общего вида чистый метод «^-проблемы дает лишь часть решений.

9. Получено новое прямое доказательство положительности "конеч-нозонных при одной энергии" операторов, отвечающих М-кривой.

10. Построено преобразование рассеяния для убывающих на бесконечности потенциалов на фоне конечнозонных. Показано, что при этом возникает д-проблема на спектральной кривой фонового потенциала.

11. Доказана несингулярность преобразования рассеяния для спектральной задачи, линеаризующей уравнение Кадомцева-Петвиашвили 2 для быстро убывающих на бесконечности вещественных потенциалов без условия малости нормы. Тем самым доказана разрешимость задачи Коши для этого уравнения при сколь угодно больших вещественных начальных условиях. Построено преобразование рассеяния для этой спектральной задачи в классе убывающих потенциалов на фоне конечнозонных.

12. Вычислено действие части неизоспектральных симметрий на конечнозонных решениях уравнения Кадомцева-Петвиашвили. Получена простая геометрическая интерпретация соответствующих им деформаций комплексных структур спектральных кривых.

13. Показано, что по крайней мере для не зависящей от у редукции уравнения Кадомцева-Петвиашвили - уравнения Кортевега - де Фриза это действие наследутся усредненными системами.

-251

14. Предложен новый алгоритм построения чисто периодических ко-нечнозонных решений некоторых солитонных уравнений, использующий неизоспектральные деформации.

1. В.А.Белинский, В.Е.Захаров, Интегрирование уравнений Эйнштейна методом обратной задачи рассеяния и вычисление точных солитонных решений, ЖЭТФ, 77, 3 (1979).

2. Ю.М.Березанский, О теореме единственности в обратной задаче спектрального анализа для уравнения Шредингера, Труды ММО, 7, 3-62 (1958).

3. Р.Ф.Бикбаев, Р.А.Шарипов, Временная асимптотика при £ —>■ оо задачи Коши для уравнения КдФ с конечнозонными граничными условиями, ТМФ, 78, 3, 244-252 (1989).

4. С.П.Бурцев, В.Е.Захаров, А.В.Михайлов, Метод обратной задачи с переменным спектральным параметром, ТМФ, 70, 3, 323341, (1987).

5. И.Н.Векуа, Обобщенные аналитические функции, М.: Физмат-гиз, (1980).

6. А.П.Веселов Структура аксиально симметричных солитонных решений уравнений Эйнштейна, ТМФ, 54, 2, 239-245 (1983).

7. А.П.Веселов, С.П.Новиков, Конечнозонные двумерные операторы Шредингера. Потенциальные операторы., ДАН СССР, 279, 4, 784-788 (1984).

8. А.П.Веселов, С.П.Новиков, Конечнозонные двумерные операторы Шредингера. Явные формулы и эволюционные уравнения, ДАН СССР, 279, 1, 20-24 (1984).

9. И.М.Гельфанд, Б.М.Левитан, Об определении дифференциального уравнения по его спектральной функции, Изв. АН СССР, сер. мат., 15, 2, 309-360 (1951).

10. И.М.Гельфанд, Б.М.Левитан, Об одном простом тождестве для собственных значений дифференциального оператора второго порядка, ДАН СССР, 88, 4, 593-596 (1955).

11. П.Г.Гриневич, С.В.Манаков, Обратная задача теории рассеяния для двумерного оператора Шредингера, д-метод и нелинейные уравнения, Функциональный анализ и его приложения, 20, 2, 14-24 (1986).

12. П.Г.Гриневич, Р.Г.Новиков, Аналоги многосолитонных потенциалов для двумерного оператора Шредингера, Функциональный анализ и его приложения, 19, 4, 32-42 (1985).

13. П.Г.Гриневич, Р.Г.Новиков, Аналоги многосолитонных потенциалов для двумерного оператора Шредингера и нелокальная задача Римана, ДАН СССР, 286, 1, 19-22 (1986).

14. П.Г.Гриневич, Рациональные солитоны уравнений Веселова-Новикова безотражательные при фиксированной энергии двумерные потенциалы, ТМФ, 69, 2, 307-310 (1986).

15. П.Г.Гриневич, С.П.Новиков, Двумерная иобратная задача рассеяния" для отрицательных энергий и обобщенно-аналитические функции. 1. Энергии ниже основного состояния, Функциональный анализ и его приложения, 22, 1, 23-33 (1988).

16. П.Г.Гриневич, Выстроубывающие потенциалы на фоне конечнозонных и д-проблема на римановых поверхностях, Функциональный анализ и его приложения, 23, 4, 79-80 (1989).

17. P.G.Grinevich, Fast decaying potentials on the finite-gap background and the д-problem on the Riemann surfaces, ТМФ, 99, 2, 300-308 (1994).

18. П.Г.Гриневич, А.Ю.Орлов, Вариации комплексной структуры римановых поверхностей векторными полями на окружности и объекты теории КП. Задача Кричевера-Новикова на функции Бейкера-Ахиезера, Функциональный анализ и его приложения, 24, 1, 72-73 (1990).

19. С.Ю.Доброхотов, Резонансная поправка к адиабатически возмущенному конечнозонному почти периодическому решению уравнения Кортевега де Фриза, Мат.заметки, 44, 4, 551-555 (1988).

20. С.Ю.Доброхотов, Резонансы в асимптотике решения задачи Ко-ши для уравнения Шредцнгера с быстроосциллирующим конеч-нозонным потенциалом, Мат.заметки, 44, 3, 319-340 (1988).

21. С.Ю.Доброхотов, В.П.Маслов, Конечнозонные почти периодические решения в ВКВ-приближениях, Современные проблемы математики. Итоги науки и техники.-М.:ВИНИТИ, 15, 3-94 (1980).

22. Е.И.Динабург, Я.Г.Синай, О спектре одномерного уравнения Шредингера с квазипериодическим потенциалом, Функциональный анализ и его приложения, 9, 4, 8-21 (1975).

23. В.С.Дрюма, Об аналитическом решении двумерного уравнения Кортевега де Вриза (КДВ% Письма в ЖЭТФ, 19, 12, 753-755 (1974).

24. Б.А.Дубровин, Обратная задача теории рассеяния для периодических конечнозонных потенциалов, Функциональный анализ и его приложения, 9, 1, 65-66 (1975).

25. Б.А.Дубровин, Тета-функции и нелинейные уравнения, УМН, 36, вып.2, 11-80 (1981).

26. Б.А.Дубровин К дифференциальной геометрии сильно интегрируемых систем гидродинамического типа, Функциональный анализ и его приложения, 24, 4, 25-30 (1990).

27. Б.А.Дубровин, И.М.Кричевер, С.П.Новиков Уравнение Шредин-гера в периодическом поле и римановы поверхности, ДАН, 229, вып.1, 15-18 (1976).

28. Б.А.Дубровин, В.Б.Матвеев, С.П.Новиков, Нелинейные уравнения типа Кортевега-де Вриза, конечнозонные линейные операторы и Абелевы многообразия, УМН, 31, 1, 56-136 (1976).

29. Б.А.Дубровин, С.М.Натанзон, Вещественные тета-функциональные решения уравнения Кадомцева-Петвиашвили, УМН, 55, вып.2, 267-286 (1988).

30. Б.А.Дубровин, С.П.Новиков, Гидродинамика слабо деформированных солитонных решеток. Дифференциальная геометрия и гамильтонова теория, УМН, 44, 6, 30-98 (1989)

31. Б.А.Дубровин, С.П.Новиков, Гамильтонов формализм одномерных систем гидродинамического типа и метод усреднения Боголюбова-Уизема, ДАН СССР, 270, 4, 781-785 (1983).

32. В.Е.Захаров Распространие ударных волн вдоль солитона на поверхности жидкости, Изв. Вузов, сер.Радиофизика, 29, 9, 10731079 (1986).

33. В.Е.Захаров, С.В.Манаков, Многомерные нелинейные интегрируемые системы и методы построения их решений, Зап.научн.сем. ЛОМИ, 133, 77-91 (1984).

34. В.Е.Захаров, С.В.Манаков, Построение многомерных интегрируемых систем и их решений, Функциональный анализ и его прил., 19, вып.2, 11-25 (1985).

35. В.Е.Захаров, С.В.Манаков, С.П.Новиков, Л.П.Питаевский Теория солитонов. Метод обратной задачи, М.: Наука, (1980).

36. В.Е.Захаров, А.Б.Шабат, Схема интегрирования нелинейных уравнений математической физики методом обратной задачи теории рассеяния, Функциональный анализ и его прил., 8, 3, 43-53 (1974).

37. В.Е.Захаров, А.Б.Шабат, Интегрирование нелинейных уравнений математической физики методом обратной задачи теории рассеяния //, Функциональный анализ и его прил., 13, 3, 13-22 (1979).

38. Н.Х.Ибрагимов, А.Б.Шабат, Уравнение Кортевега де Фриза с групповой точки зрения, ДАН СССР, 244, 1, 56-61 (1979).

39. А.Р.Итс, В.Б.Матвеев, Операторы Шредингера с конечным числом лакун и многосолитонные решения уравнения Кортевеа-деФриза, ТМФ, 23, 1, 51-67 (1975).

40. Б.Б.Кадомцев, В.И.Петвиашвили, Об устойчивости уединенных волн в слабо диспергирующих средах, ДАН СССР, 192, 4, 753-756 (1970).

41. М.Л.Концевич, Алгебра Вирасоро и пространства Тейхмюлле-ра, Функциональный анализ и его прил., 21, 2, 78-79 (1987).

42. И.М.Кричевер, Алгеброгеометрическое построение уравнений Захарова-Шабата и их периодических решений, ДАН СССР, 227, 2, 291-294, (1976).

43. И.М.Кричевер, Спектральная теория двумерного периодического оператора Шредингера, УМН, 44, 2, 121-144 (1989).

44. И.М.Кричевер, Метод усреднения для двумерных "интегрируемых" уравнений, Функциональный анализ и его прил., 22, 3, 37-52 (1989).

45. И.М.Кричевер, Без отражательные потенциалы на фоне конеч-нозонных, Функциональный анализ и его прил., 9, 2, 161-163 (1975).

46. И.М.Кричевер, Спектральная теория "конечнозонных" нестационарных операторов Шредингера. Нестационарная модель Пайерлса, Функциональный анализ и его прил., 20, 3, 42-54 (1986).

47. И.М.Кричевер, С.П.Новиков, Алгебры типа Вирасоро, тензор энергии-импульса и операторные разложения на римановых поверхностях, Функциональный анализ и его прил., 23, 1, 24-40 (1989).

48. И.М.Кричевер, С.П.Новиков, Алгебры типа Вирасоро, римановы поверхности и структуры теории солитонов, Функциональный анализ и его прил., 21, 2, 46-63 (1987).

49. И.М.Кричевер, С.П.Новиков, Алгебры типа Вирасоро, римановы поверхности и струны в пространстве Минковского, Функциональный анализ и его прил., 21, 4, 47-61 (1987).

50. Е.А.Кузнецов, А.В.Михайлов, Устойчивость стационарных волн в нелинейных средах со слабой дисперсией, ЖЭТФ, 40, 5, 855-859 (1974).

51. Р.Курант, Д.Гильберт, Методы математической физики, М.: Гостехиздат, (1954).

52. Л.Д,Ландау, Е.М.Лифшиц, Теоретическая физика, том III. Квантовая механика. Нерелятивистская теория, М.: Наука, (1974).

53. В.Д.Липовский, Гамилътонова структура уравнения Кадомцева-Петвиашвили II в классе убывающих данных Коши, Функциональный анализ и его прил., 20, 4, 35-43 (1986).

54. С.В.Манаков, Метод обратной задачи рассеяния и двумерные эволюционные уравнения, УМН, 31, вып.5, 245-246 (1976).

55. В.А.Марченко, Восстановление потенциальной энергии по фазам рассеянных волн, ДАН СССР, 104, 5, 695-698 (1955).

56. В.А.Марченко, И.В.Островский, Характеристика спектра оператора Хилла, Мат. сборник, 97, 4, 540-606 (1975).

57. С.М.Натанзон, Примианы вещественных кривых и их приложения к эффективизации операторов Шредингера, Функциональный анализ и его прил., 23, 1, 41-55 (1989).

58. С.М.Натанзон, Дифференциальные уравнения на тета-функции Прима. Критерий вещественности двумерных конечнозонных потенциальных операторов Шредингера, Функциональный анализ и его прил., 26, 1, 17-26 (1992).

59. С.П.Новиков, Периодическая задача для уравнения Кортевега-де Фриза /, Функциональный анализ и его прил., 8, 3, 54-66 (1974).

60. С.П.Новиков, Геометрия консервативных систем гидродинамического типа, УМН, 40, 4, 79-89 (1985).

61. Р.Г.Новиков, Построение двумерного оператора Шредингера по амплитуде рассеяния при фиксированной энергии, ТМФ, 66, 2, 234-240 (1986).

62. Р.Г.Новиков, Восстановление двумерного оператора Шредингера по амплитуде рассеяния при фиксированной энергии, Функциональный анализ и его прил., 20, 3, 90-91 (1986),

63. Р.Г.Новиков, Г.М.Хенкин,Решение многомерной обратной задачи на основе обобщенных дисперсионных соотношений, ДАН СССР, 292, 4, 814-818 (1987)

64. Р.Г.Новиков, Г.М.Хенкин, д Уравнение в многомерной обратной задаче рассеяния, УМН, 42, вып.З, 93-152 (1987).

65. А.Ю.Орлов, Е.И.Шульман, Дополнительные симметрии нелинейного уравнения Шредингера, ТМФ, 64, 323-327 (1985).

66. А.Я.Повзнер, О разложении произвольных функций по собственным функциям оператора — Аи + си, Мат. сборник, 32, 1, 109-156 (1953).

67. М.Рид, Б.Саймон, Методы современной математической физики, Москва: Мир, (1977).

68. Дж.Спрингер, Введение в теорию римановых поверхностей, М.:Издательсьво иностранной литературы, (1960).

69. И.А. Тайманов, Эффективизация mema-функциональных формул для двумерных потенциальных операторов Шредингера, конечнозонных на одном уровне энергии, ДАН СССР, 285, 5, 10671070 (1985).

70. И.А. Тайманов, Многообразия Прима разветвленных накрытий и нелинейные уравнения, Математический сборник, ДАН СССР, 181, 7, 934-950 (1990).

71. Дж.Уизем, Линейные и нелинейные волны, М.: Мир, (1977).

72. Л.Д.Фаддеев, Обратная задача квантовой теории рассеяния, Современные проблемы математики, т.З, М.: ВИНИТИ (1974).

73. Л.Д.Фаддеев, Единственность решения обратной задачи рассеянияВестн. ЛГУ, 7, 126-130 (1956).

74. Л.Д.Фаддеев, Растущие решения уравнения Шредингера, ДАН СССР, 165, 3, 514-517 (1965).

75. Б.Л.Фейгин, Д.Б.Фукс, Кососимметрические инвариантные дифференциальные операторы на прямой и модули Берма над алгеброй Вирасоро , Функциональный анализ и его прил., 16, 2, 47 (1982).

76. Н.Е.Фирсова, О решении задачи Коши для уравнения КдВ с начальными данными, являющимися суммой периодической и быстроубывающей функций, Мат. сборник, 135(137), 2, 261-268 (1988).

77. С.П.Царев, О скобках Пуассона и одномерных гамильтоновых системах гидродинамического типа, ДАН СССР, 282, 3,534-537 (1985).

78. С.П.Царев, Геометрия гамильтоновых систем гидродинамического типа. Обобщенный метод годографа, Изв. АН СССР, сер. Математика, 54, 5, (1990).

79. И.В.Чередник, Об условиях вещественности в "конечнозонном интегрировании", ДАИ СССР, 252, вып.5, 1104-1108 (1980).

80. Б.В.Шабат, Введение в комплексный анализ, М:Наука, (1976).

81. К.Шадан, П.Сабатье, Обратные задачи в квантовой теории рассеяния, М.:Мир, (1980).

82. А.С.Шварц, Фермионная струна и универсальное простанство модулей, Письма в ЖЭТФ, 46, 9, 340-342 (1987).

83. М.Шиффер, Д.К.Спенсер, Функционалы на конечных римано-вых поверхностях, М.: ИЛ, (1957).

84. M.J.Ablowitz, D.Bar Jaakov, A.S.Fokas, On the inverse scattering of the time-dependent Schrodinger equation and the associated Kadomtsev-Petviashvili equation, Stud, in applied math., 69, 2, 135143 (1983).

85. H.M.Babujian, Off-shell Bethe ansatz equations and N-point correlators in the SU{2) WZNW theory, J. Phys. A: Math. Gen., 26 6981-6990 (1983).

86. R.Beals, R.R.Coifman, Scattering, transformations spectrales et equations d'évolution nonlineare I, II, Seminaire Goulaouic -Meyer-Schwartz, 1980-1981, Exp.22; 1981-1982, Exp.21, Ecole Polytechnique, Palaiseau.

87. R.Beals, R.R.Coifman, Multidimensional inverse scattering and nonlinear partial differential equations, Proc. of Symposia in Pure Mathematics, 43, 45-70 (1985).

88. A.A.Beilinson, V.V.Schechtman, Determinant bundles and Virasoro algebras, Preprint 497, University Utrecht.

89. E.D.Belokolos, A.I.Bobenko, V.Z.Enol'skii, A.R.Its, V.B.Matveev, Algebro-Gemetric Approach to nonlinear Integrable Equations, Springer-Verlag, (1994).

90. M.Boiti, J.Leon, M.Manna, F.Pempinelli, On a spectral transform of a KD V-like equation related to the Schrdinger operator in the plane, Inverse Problems, 3, 25-36 (1987).

91. J.Bourgain, On the Cauchy problem for the Kadomtsev- Petviashvili equation, Geometric and Functional Analysis, 3, 4, 315-341, (1993)

92. F.Calogero, A.Degasperis, Exact solution via the spectral transform of a generalization with linearly x-dependent coefficients of the modified Korteveg-de Vries equation, Let. Nuovo Cimento, 22, 420 (1978).

93. H.H.Chen, Y.C.Lee, J.E.Lin, On a new hierarchy of symmetries for the Kadomtsev-Petviashvili equation, Phys. D 9, 3, 439-443 (1983).

94. E.Date, M.Kashiwara, M. Jimbo, T.Miwa, Transformation groups for soliton equations, in: Proceedings of "Nonlinear integrable systems -classical theory and quantum theory" (Kyoto, 1981), 39-119, World Sci. Publishing, Singapore, (1983).

95. R.Dijkgraaf, H.Verlinde, E.Verlinde, Topological strings in d < 1, Princeton preprint PUPT 1024, IASSNS-HEP - 90/71.

96. B.A.Dubrovin, Hamiltonian formalism of Whitham-type hierarchies and topological Landau-Ginzburg models, Commun. Math. Phys., 145, 415-427 (1992) .

97. N.M.Ercolani, M.G.Forest, D.W.McLaughlin, A.Sinha, Strongly nonlinear modal equations for nearly integrable PDEs, J. Nonlinear Sci., 3 393-426 (1993).

98. H.Flaschka, M.G.Forest, D.W.McLaughlin, Multiphase averaging and the inverse spectral solution of the KdV equation, Commun. Pure Appl. Math., 33 739-784 (1980).

99. A.S.Fokas, M.J.Ablowitz, On the inverse scattering transform for the Kadomtsev-Petviashvili equation, Stud, in applied math., 69, 3, 211-228 (1983).

100. A.S.Fokas, P.M.Santini, Recursion operators and bi- hamiltonian structures in Multidimensions I, Commun. Math. Phys., 115, 375419 (1988).

101. A.S.Fokas, P.M.Santini, Recursion operators and hi- hamiltonian structures in Multidimensions II, Commun. Math. Phys., 116, 449474 (1988).

102. M.Jimbo, T.Miwa, Monodromy preserving deformation of linear ordinary differential equations with rational coefficients II, Physica 2D, 3, 407-448 (1981).

103. A.S.Fokas, L.-Y.Sung, On the solvability of the N-Wave, Davey Stewartson and Kadomtsev-Petviashvili equation, Inverse Problem, 8, 673-708 (1992).

104. M.G.Forest, D.W.McLaughlin, Modulations of perturbed KdV wave-trains, SIAM J.of Appl. Math., 44, 2, 278-300 (1984).

105. M.G.Forest, D.W.McLaughlin, Modulations of Sinh- and Sine-Gordon wave-trains, Stud. Appl. Math., 68, 1, 11-59 (1983).

106. B.Fuchssteiner, Master symmetries, higher order time- dependent symmetries and conserved densities of nonlinear evolution equations, Progr. Theor. Phys., 70, 1508-1522 (1983).

107. C.S.Gardner, J.M.Green, M.D.Kruskal, r.M.Miura, A method for solving the Korteveg-de Vries equation, Phys. rev. Lett., 19,10951098 (1967).

108. A.Gerasimov, A.Marshakov, A.Mironov, A.Morozov, A.Orlov, Matrix model of two-dimensional gravity and Toda theory, Nuclear Phys. B 357, 565-618 (1991).

109. P.G.Grinevich, R.G.Novikov, Transparent Potentials at Fixed Energy in Dimension Two. Fixed-Energy Dispersion Relations for the Fast Decaying Potentials, Commun. Math. Phys., 174, 409-446 (1995).

110. P.G.Grinevich, Nonsingularity of the direct scattering transform for the Kadomtsev-Petviashvili 2 equation with real exponentially decaying at infinity potential, Lett. Math. Phys., 40, 59-73 (1997).

111. P.G.Grinevich, A.Yu.Orlov, E.I.Schulman, On the symmetries of the integrable systems, Important developments in soliton theory, ed. A. Fokas, V.E. Zakharov, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg - New York, 283-301 (1993).

112. P.G.Grinevich, M.U.Schmidt, Period preserving nonisospectral flows and the moduli space of periodic solutions of soliton equations, PhysicaD, 87, 73-98 (1995);

113. G.M.Henkin, R.G.Novikov, A multidimensional inverse problem in quantum and acoustic scattering, Inverse Problems, 4,103-121 (1988)

114. W.Koppelman, Singular integral equations, boundary value problem and Rieman-Roch theorem, J. Math, and Mech., 10, 2, 247-277 (1961).

115. I.M.Krichever, Perturbation theory in periodic problems for the two-dimensional integrable systems, Soviet Sci.Rev.,Math.Phys.Rev., Gordon and Breach, Harwood Academic Publishers, 9 (1992).

116. I.M.Krichever, The Cauchy problem for doubly periodic solutions of KP-II equation, Important developments in soliton theory, ed. A. Fokas, V.E. Zakharov, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg - New York, 123-146 (1993).

117. I.M.Krichever, Whitham theory for integrable systems and topological quantum field theories, New symmetry principles in quantum field theory, Cargese, 1991, NATO Adv. Sci. Inst. Ser. B Phys., 295, Plenum, New York, 309-327 (1992).

118. I.M.Krichever, The dispersionless Lax equations and topological minimal models, Comm. Math. Phys., 143, 2, 415-429 (1992).

119. I.M.Krichever, The r -function of the universal Whitham hierarchy, matrix models and topological field theories, Commun. Pure Appl. Math., 47 (1994).

120. P.D.Lax, Integrals of Nonlinear Equations of Evolution and Solitary Waves, Comm. Pure and Appl. Math., 21, 467-490 (1968).

121. P.D.Lax, Periodic solutions of the KdV equation, Lecture in AppL Math., AMS, 15, 85-96 (1974).

122. P.D.Lax, C.David Levermore, The small dispersion limit of the KdV equation III, Commun. Pure Appl. Math. 36, 253-290, 571-593, 809830 (1983).

123. D.Maison, Are the stationary, axially symmetric Einstein equations completely integrable?, Phys. Rev. Lett., 41, 521 (1978).

124. D.Maison, On the complete integrability of the stationary, axially symmetric Einstein equations, Journ. Math. Phys., 20, 871 (1979).

125. D.Mamford, Tata lectures on Theta, Birkháuser, Boston, Basel, Stuttgart (1983).

126. S.V.Manakov, The inverse scattering transform for the time-dependent Schrddinger equation and Kadomtsev-Petviashvi-li equation, Physica 3D, 1&2, 420-427 (1981).

127. H.McKean, E.Trubowitz, HilVs operator and hyperelliptic function theory in the presence of of infinitely many branch points, Comm. Pure Appl. Math 29, 143-226 (1976).

128. H.P.McKean, P.van Moerbeke, The spectrum of Hill's equation., Invent. Math., 30 217-274 (1975).

129. A.J.Nachman, M.J.Ablowitz, A multidimensional inverse-scattering method, Stud, in applied math., 71, 3, 243-250 (1974).

130. S.M.Natanzon, Real nonsigular finite zone solutions of soliton equations, Amer. Math. Soc. Transí., 170, 2, 153-183 (1995).

131. R.G.Newton, Construction of potentials from the phase shifts at fixed energy, J. Math. Phys., 3, 75-82 (1962).

132. R.G.Newton, The three-dimensional inverse scattering problem in quantum mechanics, Indiana University, Bloomington (1974).

133. R.G.Novikov, The inverse scattering problem on a fixed energy level for the two-dimensional Schrodinger operator, J. Funkt. Anal., 103, 409-463 (1992).

134. W.Oevel, B.Fuchssteiner, Explicit formulas for symmetries and conservation laws of the Kadomtsev Ptviashvili equation, Phys. Lett., 88A, 323 (1982).

135. A.Yu.Orlov, Vertex operator, d-problem, symmetries, variational identies and hamiltonian formalism for 2+1 integrable systems, Plasma theory and nonlinear and turbulent processes in physics, Kiev,USSR, 13-25 April 1987, World Scientific (1988).

136. A.Yu.Orlov, E.I.Schulman, Additional symmetries of one-dimensional integrable equations and conformal algebra representation, Preprint IAE217, Novosibirsk (1984).

137. A.Yu.Orlov, E.I.Schulman, Additional symmetries for integrable equations and conformal algebra representation , Lett. Math. Phys., 12, 3,171-179 (1986).

138. A.Yu.Orlov, P.Winternitz, Algebra of pseudodifferential operators and symmetries of equations in the Kadomtsev-Petviashvili hierarchy, J.Math.Phys., 38, 9, 4644-4674 (1997).

139. T. Regge, Introduction to complexe orbital moments, Nuovo Cimento, 14, 951-976 (1959).

140. Yu.L. Rodin, The Riemann boundary value problems on closed Riemann surfaces and integrable systems, Physica D, 24, 1-3, 1-53 (1987).-268

141. P.C.Sabatier, Asymptotic properties of the potentials in the inverse-scattering problem at fixed energy, J. Math. Phys. 7, 1515-1531 (1966).

142. M.U.Schmidt, Integrable systems and Riemann surfaces of infinite genus, Mem. Am Math. Soc., 581 (1996).

143. F.J.Schwarz, Symmetries of the two-dimensional Korteveg-de Vries equation, J. Phys. Soc. Japan, 51, 8, 2387-2388 (1982).

144. G.Segal, G.Wilson, Loop groups and equations of KdV type, Publ. Math. IHES, 61, 5-65 (1985).

145. T.-Y.Tsai, The Schrodinger operator in the plane, Inverse Problems, 9, 763-767 (1993).

146. X.Zhou, Inverse scattering transform for the time dependent Schrodinger equation with application to the KPI equation, Commun. Math. Phys., 128, 551-564 (1990).

147. Основные публикации по теме диссертации.

148. П.Г.Гриневич, Р.Г.Новиков. Аналоги многосолитонных потенциалов для двумерного оператора Шредингера. — Функциональный анализ и его приложения, 1985 г., т. 19, вып. 4, стр. 32-42.

149. П.Г.Гриневич, Р.Г.Новиков. Аналоги многосолитонных потенциалов для двумерного оператора Шредингера и нелокальная задача Ри-мана. — Доклады Академии Наук СССР, 1986 г., т. 286, № 1, стр. 19-22.

150. П.Г.Гриневич, С.В.Манаков. Обратная задача теории рассеяния для двумерного оператора Шредингера, ö-метод и нелинейные уравнения. — Функциональный анализ и его приложения, 1986 г., т. 20, вып. 2, стр. 14-24.

151. П.Г.Гриневич. Рациональные солитоны уравнений Веселова-Новикова безотражательные при фиксированной энергии двумерные потенциалы. — Теоретическая и математическая физика, 1986 г., т.69, № 2, стр. 307-310.

152. П.Г.Гриневич, С.П.Новиков. Двумерная "обратная задача рассеяния" для отрицательных энергий и обобщенно-аналитические функции. 1. Энергии ниже основного состояния. — Функциональный анализ и его приложения, 1988 г., т. 22, вып. 1, стр. 23-33.

153. П.Г.Гриневич. Быстроубывающие потенциалы на фоне конечнозон-ных и ö-проблема на римановых поверхностях. — Функциональный анализ и его приложения, 1989 г., т. 23, вып. 4, стр. 79-80.

154. P.G.Grinevich, A.Yu.Orlov, E.I.Schulman. On the symmetries of the integrable systems. — в книге "Important developments in soliton theory", ed. A. Fokas, V.E. Zakharov, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg - New York, 1993, pp. 283-301.

155. P.G.Grinevich. Fast decaying potentials on the finite-gap background and the ^-problem on the Riemann surfaces. — Теоретическая и математическая физика, 1994 г., т.99, № 2, стр. 300-308.

156. П.Г.Гриневич, Р.Г.Новиков. Transparent Potentials at Fixed Energy in Dimension Two. Fixed-Energy Dispersion Relations for the Fast-271

157. Decaying Potentials. — Commun. Math. Phys., 1995, v.174, pp. 409446.

158. P.G.Grinevich, M.U.Schmidt. Period preserving nonisospectral flows and the moduli space of periodic solutions of soliton equations. — Physica D, 1995, v. 87, pp 73-98;

159. P.G.Grinevich. Nonsingularity of the direct scattering transform for the Kadomtsev-Petviashvili 2 equation with real exponentially decaying at infinity potential. — Lett. Math. Phys., 1997, v. 40, pp. 59-73;