Интегрирование пространственно-двумерного нелинейного уравнения Шредингера методом обратной задачи рассеяния тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА РАССЕЯНИЯ ДЛЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ДИРАКА.

§ I. Задача рассеяния.

§ 2. Операторы преобразования

§ 3. Свойства оператора рассеяния

§ 4. Обратная задача рассеяния

§ 5. Описание данных рассеяния

§ 6. Точные решения.

ГЛАВА П. ИНТЕГРИРОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНОГО ПРОСТРАНСТВЕННО-ДВУМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА МЕТОДОМ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ РАССЕЯНИЯ.

§ I. Представление Лакса

§ 2. Эволюция данных рассеяния

§ 3. Метод обратной задачи рассеяния для нелинейного пространственно-двумерного уравнения Шредингера.

§ 4. Точные решения.

§ 5. Задача Коши.

ГЛАВА Ш. НЕЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВЕННО-ДВУМЕРНОЕ УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА КАК ГАМИЛЬТОНОВА СИСТЕМА

§ I. Двумерные вольтерровские интегральные операторы и их свойства

§ 2. Группа и алгебра Ли-Вольтерра . %

§ 3. Орбита коприсоединенного представления группы Ли-Вольтерра. Уравнения Гамильтона на орбите.

§ 4. Интегралы движения.

Исследование нелинейных уравнений математической физики представляет значительный интерес для теории и приложений. В 1967 г. в работе . [ 30] был предложен метод интегрирования нелинейных дифференциальных уравнений, названный методом обратной задачи рассеяния /МОЗР/. Дальнейшее развитие этого метода получено в работах Лакса П.Д. 1311 ,Захарова В.Е., Шабата А.Б.[7,8] . Методом обратной задачи рассеяния исследовались уравнение Кортевега-де Фриза, уравнение 4inf?-bordon , нелинейное уравнение Шредингера и ряд других уравнений. При этом.были получены решения нелинейных уравнений в классе быстроубывающих функций. Процедура нахождения периодических решений нелинейных уравнений получена в работах Новикова С.П.[21,24,4] , Марченко В.А.[13] . Вышеизложенное относится к уравнениям, содержащим неизвестные функции, зависящие от времени и одной пространственной переменной. Перенесение МОЗР на нелинейные уравнения, содержащие неизвестные функции, зависящие от времени и больше одной пространственной переменной, является нетривиальным и обсуждалось в работах Манакова С.В. [12 ,5] , Захарова В.Е., Шабата А.Б. [8,24.,33] . Применение МОЗР для пространственно-двумерных уравнений требует хорошо изученных пространственно-двумерных прямых и обратных задач рассеяния. Некоторые пространственно-двумерные задачи рассеяния рассмотрены в работах Нижника Л.П. [14-17] . Результаты этих работ применимы для интегрирования соответственных нелинейных пространственно-двумерных уравнений.

Открытие МОЗР имело фундаментальное значение и привело к исследованию различных математических структур, связанных с дифференциальными уравнениями. В работах Гарднера К.С. [2^] , Захарова В.Е., Фаддеева Л.Д. [б] была построена теория КдФ как гамиль-тоновой системы. Гельфанд И.М., Дикий Л.А. в работах [8.3] показали, что нелинейные уравнения, допускающие представление Лак-са, есть гамильтоновыми системами с некоторыми гамильтоновыми структурами. В работах Адлера М.[263 , и, независимо, Лебедева Д.Р., Манина Ю.И. [-11] была раскрыта сущность гамильтоновой структуры Гельфанда-Дикого и показано, что эти структуры есть структурами Березина-Кириллова-Костанта на орбите коприсоециненного представления некоторой бесконечномерной группы Ли .

Настоящая работа посвящена изучению нелинейного пространственно-двумерного уравнения методом обратной задачи рассеяния, а также перенесению теоретико-групповой интепретации /схемы Адлера/ на исследуемое уравнение. Б работе построены решения этого уравнения с применением результатов по прямой и обратной задачах рассеяния для двумерного оператора Дирака, рассмотренных в работе Нижника Л.П. [16]. Доказаны теоремы единственности и существования решения задачи Коши исследуемого нелинейного уравнения.

Рассмотрена группа Ли-Вольтерра от двух пространственных переменных и доказано утверждение о том, что множество операторов Дирака образует орбиту относительно коприсоециненного представления этой группы.

Далее показано, что нелинейное пространственно-двумерное уравнение Шредингера являет собой гамильтонову систему на орбите ко -присоединенного представления введенной группы со стандартной сим-плектической структурой Березина-Кириллова-Костанта.

Для нелинейного пространственно-двумерного уравнения Шредингера построена бесконечная серия интегралов движения, которые выражаются через некоторую резольвентную функцию оператора Дирака.

Основные результаты диссертации опубликованы в 4 научных работах [18,19,20,22] .

Результаты исследований докладывались на семинарах отдела математического анализа Института математики АН УССР /Киев, 1982 г./, б. на конференции молодых ученых ИМ АН УССР /Киев, 1982 г./, на конференции им.И.Г.Петровского по уравнениям с частными производными /Москва, 198I г./.

Диссертация выполнена в период обучения автора в очной аспирантуре Института математики АН УССР /1979-1982 гг./.

В первой главе изложены результаты по прямой и обратной задачах рассеяния для оператора Дирака

It

А ' 111 u2 > Щ/ где коэффициенты принадлежат пространству ш

В первом параграфе рассмотрена задача рассеяния для системы уравLнении

Z.Y-0.

2/

Определение I. Векторную функцшо Y— NiC^}) будем называть допустимым решением системы /I/, если функции ^ измеримы по переменным ОС , ^ с нормой

IMI^max тггашр X ту г 2

2, ifwUupjj ds у и удовлетворяют системе /2/ в смысле теории обобщенных функций.

Лемма I. Решения^ системы /2/ допускают асимптотики е/2, такие, что

U ИЖсос/)-^-)»/ timllYaC^)

L-i м-^r-OG /2

X-f-Oo у fern Ml, = limllfa^-^oll/ =0.

X-^+oo L-l ^ + 2

Задача рассеяния для системы /2/ состоит в следующем: по заданной вектор-функции 01 -(ОЦ,^ -9 требуется найти решение »Чг)» № которого СЦ , О2 будут асимптотиками. Для поставленной задачи рассеяния доказана следующая теорема.

Теорема I. Пусть коэффициенты системы /2/ U^U26 Тогда щи любых существует и единственно решение задачи рассеяния.

Поскольку для СЦ , 02 существует единственное решение задачи рассеяния, то отсюда следует, что асимптотикам 04 , 02 однозначно отвечают асимптотики Ь,| » Ь2 • Введем оператор S , который называется оператором рассеяния и который определяется равенством

4/ u 4 j 1^2/

Параграф 2 посвящен описанию операторов преобразования, то есть операторов, переводящих асимптотики ОЦС^^^С-00!^ С12(ас) = ЬгУЗ^Ч^З^оо) в решение системы /2/.

Представления допустимого решения ,^2) через операторы преобразования сформулированы в лемме 2.

Лемма 2. Всякое допустимое решение системы /2/ с коэффициентами U-i,U2 € СЕ2.)предстешимо в виде

Щ) + A1(ci,u-,s)0((?)ds + J vacyads,

-оо —оо а

5/ ъу)=a2tt)+1 A24fey;s)Q,cs)ds + [ A22te#,oa2 wds;

-©о ею оо <х>

Х(^) =Ц)+ \ 5 Al2c^;s)b2(s)ds,

U X J 00 00

У X со СС

Ox.ir^fLcs^ck

СО 'X

Ц -ОС оо ос

Ж»,у) = +jB24te.Jj-s)0i®ds + J • оо

Жсш = Ц)+\ B4,c^is)b,(ads + B,2fa,y,aa,«>ds, /8/

-СУЭ ^ суя + ^ 4 \ B^x^a^cls.

- 00 х где СЦ , 02, , f)^ " асимптотики /3/ решения. С другой стороны, при любых СЦ , а2, Ь\ » Ь2 е формулы /5/-/8/ дают допустимые решения системы /2/. Ядра Ац, Bijfct^S) .(j>js оц~ позначно определяются коэффициентами UA0x,y) » U2 ) системы /2/ и допускают оценки 2 +Оо

Коэффициенты » ЦСЗД) системы /2/ выражаются через их ядра по формулам л /9/ i А» (эдя» = By .

Третий параграф посвящен изучению свойств оператора рассеяния $ • На основании изучения выше введенных операторов преобразования для оператора £ доказана следующая теорема.

Теорема 2. Пусть S - оператор рассеяния для системы

2/ с коэффициентами \Xi}Uz е LZ(V) . Тогда в пространстве существует оператор S"* и S= 1 + F, S = 1 + , , где F=[Fij]jjH» ^ = i- операторы Гильберта-Шмидта; диагональные элементы Рци -^являются вольтерровскими операторами с переменными верхним W2+ и нижним , - пределами интегрирования; оператор S допускает двустороннюю факторизацию

S = (t + A-T1(l,At) = (b6+)(bBJ1, где А-. А+ , В- . В+ - матричные вольтерровские операторы Гильберта-Шмидта соответственной полярности.

Свойства вольтерровости диагональных элементов оператора рассеяния и обратного ему приводят к важным связям между элементами этих операторов.

Лемма 3. Пусть S ~ произвольный обратимый оператор в пространствеZ^C""00?*00Е2) , a F=S~] и "4= S являются операторами Гильберта-Шмидта. Если элементы F^ » F^^ матричного оператора F являются вольтерровскими операторами с переменным верхним пределом интегрирования, а элементы , оператора 'У - вольтерровские интегральные операторы с переменным нижним пределом интегрирования, то операторы $ и S"4 однозначно определяются одним из наборов (Fl2 » »•

Пару операторов (F^»"^)» (^'"Уц) называгот данными рассеяния для системы /2/.

Обратная задача рассеяния для системы /2/, изложенная в § 4, состоит в нахождении коэффициентов U2(x,y) по заданному оператору рассеяния или по заданным данным рассеяния. Алгоритм решения обратной задачи рассеяния изложен в теореме»

Теорема 3. Обратная задача рассеяния для системы /2/, то есть задача нахождения коэффициентов уравнения /2/ по заданному оператору рассеяния £ /по данным рассеяния F|2 » "У24 vum

Fii » ^12 / однозначно разрешима. При этом системы основных уравнений

Вяйад)+J Вп(»,у,о % cs,?)ds = о, ц > ?;

1 /10/ > оо СО

I /п/

Вга^'Л) + i Fa(s,?)ds , 7> х •

-со ОС

В^йда * J B12(x,y,S)F2(Cs,?)ds = о , , • а/ у

-c?o

OO /13/ S однозначно разрешимы, а коэффициенты , могут быть получены по решениям этих систем с помощью формул /9/

Пятый параграф первой главы посвящен описанию данных рассеяния, Каждой системе /2/ с коэффициентами

UbU2e Z2(Е2) соответствует оператор рассеяния S и данные рассеяния Fjj » Ш11 . Тем самым определено отображение а коэффициентов

Uh , U2 в данные рассеяния /для определенности/ F^ , ^12 , являющимися парой операторов Гильберта-Шмидта /Г.-Ш./.

Доказаны необходимые и достаточные условия того, что наперед заданные операторы F^ , "У 12. являются данными рассеяния.

Теорема 4. Для того, чтобы пара F2< , ^12 операторов Г.-Ш. была данными рассеяния для системы /2/ с коэффициентами U^U^e ), необходимо и достаточно, чтобы система уравнении I

C?) + Ju2(s)F2H(s,7)ds = o; ©о

СО ы2й) + Ju^cs) yl2cs,?)ds=o

14/ при любых значениях параметров — ©о , ^ $ +<>=> имела лишь тривиальное решение в Z-2 С- + 00 ; Е 2)

Для введенного оператора (УС имеет место следующая теорема. Теорема 5. Оператор а , переводящий коэффициенты Ц(£,у) системы /2/ в данные рассеяния F24(S,?)f ^Оуу» является непрерывным в /.2С-ею)+°°> Е2^ • Его область значений является открытым множеством. Существует и непрерывен в о> +00'.> E2J оператор Of"1 , действие которого можно описать конструктивно с помощью формул /12/-/13/ и формул /9/.

Б § 6 построены точные решения обратной задачи рассеяния для вырожденных данных рассеяния. В этом случае основные уравнения /12/,/13/ сводятся к линейной алгебраической системе уравнений и коэффициенты ЦДх,^)» U2(.x,tj) системы /2/ определяются явными формулами.

Доказано, что множество точно решаемых систем плотно во множестве систем вида /2/.

Во второй главе методом обратной задачи рассеяния исследована система нелинейных пространственно-двумерных уравнений Шредингера t=- +

5х

15/ ох где к4 , - произвольные комплексные постоянные.

В § I для уравнения /15/ построено обобщенное представление Лакса

Р-QZ=о, /16/ где L - однопараметрическое семейство операторов Дирака вица

L = Ь tx '

Ujfcylt), Ц ) р =

Ъ-v* , 2fe,ti1|X D-yJ а=

Ъ-ь ,-2feau^ u ~ at щцг

В § 2 построены эволюционные уравнения для данных рассеяния и доказана следующая лемма.

Лемма 4. Если коэффициенты U\ , U^ системы Дирака /2/ зависят от t как параметра, удовлетворяют системе /15/ и

1/2(0Сгоо) = V2CX? + oo) = то ядра Fis^??!^)» ^(^Ю интегральных операторов » /данных рассеяния/ удовлетворяют уравнениям

17/

В параграфе 3 построен алгоритм МОЗР для уравнения /15/, сформулированный в следующей теореме.

Теорема 6. Система нелинейных пространственно-двумерных уравнений Шредингера /15/ допускает интегрирование МОЗР. Решение системы /15/ определяется с помощью равенств функции » представляют собой решения интегральных уравнений оо dt-o

19/ r. CO

-&Э X построенных по данным рассеяния F^ » "У21 * соответствующим оператору S для системы /2/. При этом ядра Ftt(y,x|t)t "Уг^'^Й данных рассеяния удовлетворяют эволюционным уравнениям /17/.

Используя введенный в первой главе оператор » переводящий коэффициенты системы /2/ в данные рассеяния, решение системы /15/ представимо формулой u-CT4tAF ,

20/ где

Httb F-lfrb Д =

JF!:

В § 4 построены точные решения уравнений /15/ для вырожденных данных где riW£, Л= >9г[^Н) n

1*1 г - операция транспонирования.

Решение Ц* , и2 системы /15/ в этом случае представимо формулами

Т 1г f 1г

X -ОО

В параграфе 5 рассмотрена задача Коши для уравнения Шрединге-ра, которое представляет собой частный случай системы /15/. Ставится задача Коши в пространстве Z.2 ( Е ) с начальными данными

U1 - в Z? ( Е2) для уравнения 1 t=o

22/

Ми - mWt, Ш. - iMJ, где ^ - произвольное действительное число.

Определение 2. Непрерывную по {, функцию U(X,y|t) со значениями в Z.2(E2) будем называть решением задачи Коши для уравнения Шредингера /22/, если при t - О она совпадает с начальными данными и если существует последовательность гладких по ос , у , t решений уравнения /22/ таких, что || U n - UII / —> 0 при п-? со равномерно по i: из произвольного конечного промежутка [0»Т] . Сами функции Un и их производные по X , у до второго порядка принадлежат 12(Е2) . Для поставленной задачи Коши доказаны следующие теоремы:

Теорема 7. Решение UiQC/y[i) задачи Коши для нелинейного пространственно-двумерного уравнения Щредингера /22/ в Z2(E2) единственно.

Теорема 8. При произвольных начальных данных U0l1,y)eZ2(f2) ^ достаточно малого -fc существует решение задачи Коши для нелинейного уравнения Шредингера.

Теорема 9. Существует £о>0 такое, что при начальных данных U0 : IIU.II/ < £0 существует и единственно решеи2 ние задачи Коши для нелинейного уравнения Шредингера /22/.

Теорема 10. Пусть Ц - решение задачи Коши для нелинейного уравнения Шредингера /22/ на конечном промежутке 10,Т] . Тогда для произвольного £ >0 существует явное решение Ц^ задачи Коши вида /21/, такое, что •* "л' " <£.

В третьей главе описана гамильтонова структура нелинейного пространственно-двумерного уравнения Шредингера, дана орбитная интерпретация и установлена бесконечная серия законов сохранения. В § I рассмотрены двумерные вольтерровские операторы вида х

23/

24/

X У

ЛЛ «^л

-СХЭ J'оо

25/ где ядра: К- интегрируемое с квадратом по переменным ОС ,S равномерно по у ; интегрируемое с квадратом по переменным Vj , S равномерно по X ; Кинтегрируемое с квадратом по всем переменным, В этом же параграфе показаны свойства операторов /23/-/25/.

Исходя из вольтерровских операторов К+» К+» К+ в § 2 по"" строена бесконечномерная группа Ли и соответствующая ей алгебра. Теорема II. Множество операторов Ч

M'KiMC, к,2++к12:

К2+/К2Д, ЬК22иК251

26/ образует бесконечномерную группу Ли относительно обычного произведения операторов. Отвечающей ей алгеброй Ли служит алгебра 3

К*К > К22++КА с естественной коммутацией

А,В] - АВ-ВА.

В § 3 доказано, что множество операторов Дирака можно рассматривать, как часть сопряженного пространства ^ к алгебре cj , введенной выше и доказана следующая лемма.

Лемма 5. МножествоS2. операторов Дирака Д образует орбиту относительно коприсоединенного действия группы /26/.

Показано, что касательный вектор Хд к Б направлении Д определяется формулой о , -2А, о

На касательном множестве Tj^ определена симплектическая структура Кириллова-Костанта. Показано, что уравнение /15/ представляет собой гамильтонову систему

Su, SH W "би2'

Tit 6Ui о функцией Гамильтона

- U,xiv +ufu2(kt|^ A^xHuJchiij, /27/ 1 4

ГЛе У =Jfc>y)dS , - Jjcwls.

Скобка Пуассона имеет стандартный вид

М - 1Ш-Ш"»

В § 4 построены интегралы движения уравнений /15/, исходя из резольвентной функции R для оператора Дирака l.U- N /3.

Резольвентная функция R представляет собой некоторый матричный оператор ^ / R^ , Rvz

Интегралы движения системы /15/ выражаются через операторы R^ , R22 следующим образом.

Теорема 12. Интегралы .движения системы /15/ являются функционалами вида лк где - означает действие оператора на единицу, как функцию от X , R22O) ~ действие оператора на единицу, как функцию от U .

1. Арнольд Б.И. Математические методы классической механики. -М.: Наука, 1974. - 432., ил.

2. Гельфанд И.М., Дикий Л.А. Исчисление струй и нелинейные га-мильтоновы системы. Функц. анализ, 1978, т.12, вып.2,с.8-24.

3. Гельфанд И.М., Дикий Л.А. Семейство гамильтоновых структур, связанных с интегрируемыми нелинейными дифференциальными уравнениями. М.: Препринт ИПМ им.М.В.Келдыша АН СССР, 1978,Л 136, с.1-41.

4. Дубровин Б.А., Кричевер И.М., Новиков С.П. Уравнение Шрединге-ра в периодическом поле и римановы поверхности. ДАН СССР, 1976, т.229, Л I, с.15-18.

5. Захаров В.Е., Манаков С.В. Об обобщении метода обратной задачи рассеяния. Т№, 1976, т.27, В 3, с.283-287.

6. Захаров В.Е., Фаддеев Л.Д. Уравнение Кортевега-де Фриза -вполне интегрируема гамильтонова система. Функц.анализ, 1971, т.5, вып.4, с.18-27.

7. Захаров В.Е., Шабат А.Б. Схема интегрирования нелинейных уравнений математической физики методом обратной задачи рассеяния. функц.анализ, 1974, т. 8, вып.З, с.43-53.

8. Захаров В.Е., Шабат А.Б. Интегрирование нелинейных задач математической физики методом обратной задачи рассеяния П.-Функц. анализ, 1979, т.13, вып.З, с.13-22.

9. Касимов Д. Обратная задача рассеяния для гиперболической системы дифференциальных уравнений в характеристических переменных. В кн.: Прямые и обратные задачи теории рассеяния. Киев: Ин-т математики АН УССР, 1981, с.37-43.

10. Кириллов А.А. Элементы теории представлений. М.: Наука,1978. 336 с., ил.

11. Лебедев Д.Р., Манин Ю.й. Гамильтонов оператор Гельфанда-Дико-го и коприсоединенное представление группы Вольтерра. функц. анализ, 1979, т.13, вып.4, с.40-46.

12. Манаков С.В. Метод обратной задачи рассеяния и двумерные уравнения. УМН, 1976, т.31, вып. 5, с. 245-247.

13. Марченко В.А. Операторы Штурма-Лиувилля' и их приложения. -Киев: Наук.думка, 1977. 332 с.

14. Нижник Л.П. Обратная задача нестационарного рассеяния для гиперболической системы уравнений. В кн.: Линейные и нелинейные краевые задачи. Киев: Ин-т математики АН УССР, 1971,с.205-210.

15. Нижник Л.П. Обратная задача нестационарного рассеяния для уравнений Дирака. Укр.матем.журнал, 1972, т.24, № I, с.110-113.

16. Нижник Л.П. Обратная нестационарная задача рассеяния. КИев: Наук.думка, 1973, - 182 с.

17. Нижник Л.П. Обратные задачи рассеяния .для гиперболических уравнений. В кн.: Труды всесоюзной конференции по уравнениям в частных производных. М.: Изд-во МГУ, 1978, с. 177-179.

18. Нижник Л.П., Починайко М.Д. Интегрирование пространственно-двумерного нелинейного уравнения Шредингера методом обратной задачи. Функц. анализ, 1982, т. 16, вып.1, с.80-82.

19. Нижник Л.П., Починайко М.Д. Нелинейное пространственно-двумерное уравнение Шредингера как интегрируемая гамильтонова система. УМН, 1982, т.37, вып. 4/226/, c.III-112.

20. Нижник Л.П., Починайко М.Д., Тарасов В.Г. Обратная задача рассеяния для системы уравнений Дирака в характеристических переменных. В кн.: Спектральная теория операторов в задачах математической физики. Киев: Ин-т математики АН УССР, 1983,с.72-93.

21. Новиков С.П. Периодическая задача Кортевега-де Фриза. -функц.анализ, 1974, т.8, № 3, с.54-66.

22. Починайко М.Д. Точные решения некоторых пространственно-двумерных нелинейных уравнений. Б кн.: Спектральная теория операторов в задачах математической физики. Киев: Ин-т математики АН УССР, 1983, с.112-115.

23. Тарасов Б.Г., Тарасова Л.Г. Интегрирование линейной гиперболической системы дифференциальных уравнений методом обратной задачи. Докл. АН УССР, сер.А, 1983,

24. Теория солитонов: Метод обратной задачи / Под ред. С.П.Новикова. М.: Наука, 1980. - 320 е., ил.

25. AUowitz HabermanR. Д/ontmeoir evolutionequation* Wo and three dimension**. Phyv Ru/. /.ett. J975, v.35(is), p.H85-U*9.

26. P/D. <y£nUcjrah o| nonEineor equationso| evoMion and *otitary waves. -Commun. Pure. Appt Malhem. , 68, v.24, p. 467-490.