Т-радикалы в категории модулей тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи

ТИМОШЕНКО Егор Александрови€=^|^ь^>

Т-РАДИКАЛЫ В КАТЕГОРИИ МОДУЛЕЙ

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Томск — 2005

Работа выполнена на кафедре алгебры Томского государственного университета

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор

Крылов Пётр Андреевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Левчук Владимир Михайлович

заседании диссертационного совета К212.267.05 при Томском государственном университете по адресу: 634050, Томск, пр. Ленина, 36.

кандидат физико-математических наук, доцент

Пахомова Елена Григорьевна

Ведущая организация: Омский государственный

педагогический университет

Защита диссертации

2005 г. в И. 00 на

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Томского государственного университета.

Автореферат разослан « октября 2005 г.

Учёный секретарь диссертационного совета, кандидат физико-математических наук, /7

доцент А. Н. Малютина

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. При рассмотрении алгебраических систем основной задачей является построение структурной теории. Структурные теоремы сводят изучение алгебраических систем к изучению «более просто устроенных». Одну из конструкций, осуществляющих подобное сведение, представляет радикал. С тех пор, как в 1950-х гг. Курош [5] и Амицур [9] ввели понятие радикала для колец и алгебр, теория радикалов распространилась и на другие алгебраические структуры, в числе которых модули и группы.

Радикалы позволяют выделять классы модулей, обладающих различными свойствами, проводить их классификацию и дальнейшее более детальное изучение. На зрелость направления, связанного с радикалами модулей, указывает наличие заметного количества монографий по этой теме (Мишина и Скорняков [6], Кашу [1, 2], Ламбек [12], Голан [11] и ряд других). Во многих работах отечественных и зарубежных алгебраистов (Курош, Рябухин, Гарднер, Диксон и др.) рассматривались радикалы абелевых групп (т.е. модулей над кольцом целых чисел).

С другой стороны, интенсивно изучаются взаимосвязи между свойствами модулей и абелевых групп. К данному направлению относятся работы о Е-кольцах и Е-модулях. Первое из этих понятий появилось в 1973 г. в статье [14]: Е-кольцами были названы кольца Я, для которых Ношд(Д, К) = Нот(Д, К). Позже это определение было распространено на модули: Е-модуль Лд задаётся равенством Нотд(Я, А) — Нот(Я, А). Е-модули впервые появились в [10], где они были названы Л-группами. Одной из самых полных работ, посвящённых Е-модулям, является [13]. Применения Е-колец и Е-модулей в теории абелевых групп весьма разнообразны; в книге [4] содержится обзор наиболее важных результатов, связанных с данной проблематикой.

Многие современные исследования посвящены тензорным произведениям модулей и абелевых групп. гттяюоттт ^ является

вторым по важности (после Нот) функтором категории модулей. До сих пор актуальной проблемой остаётся описание тензорных произведений модулей и абелевых групп. В работах Крылова и Приходовского [3, 7] введено понятие Т(е)-модуля, определяемое следующим образом. Пусть е: 5 —► Д — гомоморфизм колец, тогда всякий Д-модуль можно естественным образом превратить в притягивающий 5-модуль. Модуль Ая называется Т(е)-модулем, если имеет место канонический изоморфизм А ®5 Я = А ®я Я- Параллельно в тех же работах изучались Е(е) -модули, задаваемые равенством Нотд(Я, А) = Нот3(К, А) и в некотором смысле двойственные Т(е)-модулям.

В диссертации вводится «обобщённый» Е-радикал. Это понятие в определённом смысле сводит воедино аналогичный радикал, рассматривавшийся Пирсом в [13], и Е(е)-модули из работ [3, 7]. Двойственным образом определяется Т-радикал. Кроме того, рассматриваются близкие (как станет ясно из результатов второй главы) к этим двум радикалам понятия «Т(^)-радикал» и «Е(У)-радикал», в том или ином виде ранее встречавшиеся в работах, связанных с радикалами модулей.

Настоящая диссертация посвящена исследованию Т(^)-радикалов и Т-радихалов. Работа также содержит ряд результатов, связанных с Е(У)-радикалами и Е-радикалами. Во-первых, это помогает лучше продемонстрировать двойственность между соответствующими объектами, а во-вторых, Е(У")-радикалы в силу своей многочисленности являются удобным и подчал незаменимым инструментом при проведении доказательств. Исследование развивается по двум основным направлениям:

• поиск взаимосвязи между Т-радикал ами и Т(^)-радикалами:

• изучение Т(Р)-радикалов категории абелевых групп.

Цель работы: исследовать взаимосвязь между Т-радикал ами и Т(Р)-радикалами (а также между Е-радикал ами и Е(У)-радикалами); изучить свойства Т^)-радикалов категории абелевых групп и описать частично упорядоченное множество, которое эти радикалы образуют.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми. К основным результатам работы можно отнести следующие.

• Показано, что существуют модули и 31г такие, что Т-радикал совпадает с Т(С)-радикалом, а также с сужением Т(Р)-радикала на категорию то<1-Д (предложения 4.5, 4.6). Если ¿7 — коммутативное кольцо, то всякий Т(Р)-радикал категории шос!-5, в свою очередь, можно представить в виде Т-радикала (теорема 4.14). Аналогичные результаты имеют место для Е-радикалов (предложения 4.9 и 4.10, теорема 4.14).

• Описаны все Т^)-радикалы категории тос1-г, выяснено строение образуемой ими решётки (§6).

• Доказано, что радикальный класс идемпотентного радикала категории тос!-^ замкнут относительно сервантных подгрупп тогда и только тогда, когда этот радикал совпадает с Т(2?)-радикалом для некоторой группы F (теорема 7.5).

• Установлено, что «решёточное» пересечение Т^)-радикалов категории шос!-г совпадает с их «поточечным» пересечением (§8).

Практическая и теоретическая ценность. Результаты работы имеют теоретическое значение и могут быть использованы в дальнейших исследованиях по теории модулей и абелевых групп, а также при чтении спецкурсов.

Апробация результатов. Основные результаты настоящей диссертации докладывались на международных конференциях «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирск, 2001 и 2005 гг.), «Алгебра и её приложения» (Красноярск, 2002 г.), «Мальцевские чтения» (Новосибирск, 2002 г.), «Алгебра, логика и кибернетика» (Иркутск, 2004 г.), Международной конференции по математике и механике (Томск, 2003 г.) и Всероссийском симпозиуме «Абелевы группы» (Бийск, 2005 г.) и были

опубликованы в работах [15] - [25]. Кроме того, они докладывались на семинарах кафедры алгебры Томского государственного университета.

Структура и объём работы. Диссертационная работа состоит из введения, трёх глав, списка литературы и списка обозначений. Главы I и III содержат по три параграфа, глава II — два параграфа. Работа изложена на 77 страницах.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Введение содержит обоснование актуальности решаемых в работе задач, а также изложение основных полученных результатов.

Глава I содержит предварительные сведения и общие результаты, используемые в последующих главах. В §1 приводятся основные определения и факты из теории радикалов модулей. §2 содержит ряд свойств функторов ® и Нот, играющих в работе ключевую роль. В §3 вводятся основные исследуемые объекты: T(F)-paaracan WF и Е(У)-радикал Ну, нейтрализатор nF и след trv; устанавливаются некоторые связанные с этими объектами общие факты, имеющие и самостоятельный интерес.

Приведём основные определения. Зафиксируем 5-модули SF и V6.. Через Wр(А) обозначается сумма всех подмодулей В модуля А таких, что В ®5 F = 0; через — пересечение всех подмодулей В модуля

А, для которых Ноms(V,A/B) = 0. Получающиеся радикалы WF и Hv назовём Т(F)-радикалом и E(V)-радикалом соответственно.

Определение 3.5. Пусть As — модуль. Его F-нейтрализатором называется множество всех a е А таких, что в тензорном произведении А ®5 F для всякого / € F выполнено равенство a ®s f — 0. Обозначим это множество Возникающий при этом предрадикал nF мы также

будем называть (F- )нейтрализатором.

Определение 3.8. Пусть As — модуль. V-следом в этом модуле называется сумма образов всех S-модульных гомоморфизмов (р: V —* А.

Обозначим эту сумму trK(A). Возникающий при этом предрадикал trK мы также будем называть (V-) следом.

(Для удобства выбрано обозначение, несколько отличающееся от того, что принято, например, в [8].)

Последние два результата параграфа показывают, как связанные с идемпотентными радикалами категории mod-S решёточные операции действуют на T(F)-радикалы и Е(У)-радикалы.

Предложение 3.12. Пусть даны S-модули SF uVs и их прямые

разложения F — ф Ft, V = ф Vj. Тогда i6/ je J

(а)/\Wp =WF; 1 et

(б)\fKv = HV.

j€J '

Следствие 3.13. Если совокупность всех T(F)-радикалов категории mod -S образует множество, то относительно естественного порядка предрадикалов это множество является полной решёткой.

В §6 будет показано, что описанная в данном следствии ситуация имеет место, в частности, в категории mod-Z.

В главе II исследуются Т(е)-модули и Е(е)-модули (в смысле [3, 7]) и определяемые с их помощью Т-радикал W и Е-радикал Н. В §4 устанавливаются некоторые связи между этими радикалами и радикалами, которые вводились в §3. В ситуации, когда дан кольцевой гомоморфизм е : S R, всякий R-модуль можно естественным образом превратить в S-модуль.

Пусть е: S —► R — кольцевой гомоморфизм. Я-модуль А назовём Т(е) -модулем, если канонический эпиморфизм A ®s R —> A ®R R — изоморфизм. Модуль А называется Е(е)-модулем, если выполнено условие Нотд(Я, А) = Нот5(Д, А).

Определение 4.3. Т-радикалом модуля AR назовём сумму W(A) всех его подмодулей В таких, что В есть Т(е)-модуль.

Определение 4.7. Е-радикалом модуля Ая назовём пересечение Н(Л) всех его подмодулей В таких, что А/В есть Е(е)-модуль.

Если SF = R/e(S), то для удобства пишем n = nF. Очевидно, что п(А) является S-подмодулем в А. Верно и более сильное утверждение.

Теорема 4.4. Пусть А — R-модуль. Тогда нейтрализатор п(Л) является его подмодулем.

При помощи этой теоремы доказывается следующий результат.

Предложение 4.5. Для произвольного R-модуля А имеет место равенство W(A) = WF(A).

Кроме того, для левого Я-модуля G — R®s F выполняется

Предложение 4.6. Для произвольного R-модуля А справедливы равенства n(A) = nG(A) и W(А) — WG(A).

Таким образом, для подходящих модулей RG и SF можно утверждать, что Т-радикал совпадает с Т((7)-радикалом категории mod-Д, а также с сужением T(F)-pajoncana категории mod-5 на её подкатегорию mod-Л. Аналогичные результаты справедливы и для Е-радикала. Ниже используются обозначения = R/e(S), tr = trv, UR = V ®SR. Имеем следующий аналог теоремы 4.4.

Теорема 4.8. Пусть А — R-модуль. Тогда след tr(A) является его подмодулем.

Предложение 4.9. Для произвольного R-модуля А имеет место равенство Н(А) =

Предложение 4.10. Для произвольного R-модуля А справедливы равенства tr (А) = tTv(A) и Н(Л) = Н^Л).

Учитывая предложения 4.5 и 4.9, получаем следующую теорему.

Теорема 4.11. Значения Т-радикала и Е-радикала произвольного модуля Ад однозначно определяются его S-модульной структурой.

Последние два результата параграфа свидетельствуют о том, что утверждения предложений 4.5 и 4.9 при определённых дополнительных условиях можно обратить.

Предложение 4.13. Пусть Б — кольцо, — бимодуль. Тогда существуют кольцо Я и гомоморфизм е: 5 —* Я такие, что бимодуль Д/е(5) изоморфен бимодулю Р.

При помощи этого предложения доказывается

Теорема 4.14. Пусть 5 — коммутативное кольцо. Тогда всякий Т(Р)-радикал (Е(у)-радикал) категории тос1-5 имеет вид Т-радикала (соответственно Е-радикала) для подходящего кольца Я и вложения е: 5 К.

В §5 дополнительно рассматриваются Т(ё)-модули и Е(ё)-модули, где ё есть композиция е и естественного гомоморфизма колец Я -» Я (Я = Я/1 — некоторое факторкольцо кольца Я), а также связанные с такими модулями радикалы.

Теорема 5.1. Пусть А — модуль над кольцами Я и Я. Следующие условия эквивалентны:

1) А — Т(е)-модуль;

2) А — Т(ё)-модуль, причём I С пл(Д).

Следствие 5.2. Пусть А — модуль над кольцами Я и Я. Тогда

~У1(А) с ^'(Л).

Теорема 5.3. Пусть А — модуль над кольцами Я и Я. Следующие условия эквивалентны:

1) А — Е(е)-модуль;

2) А — Е(ё)-модуль, причём I С Р|{Кег <£> | ц> € Нош5(Д, Л)}.

Следствие 5.4. Пусть А — модуль над кольцами Я и Я. Тогда Н(А)сН(А).

| Глава III посвящена изучению Т^)-радикалов категории абелевых

групп. В §6 даётся описание всех таких радикалов и решётки, которую г они образуют. Для этого отдельно рассматриваются непериодические и периодические группы Символами t и с! обозначаются предрадикалы, сопоставляющие всякой группе соответственно её периодическую часть и наибольшую делимую подгруппу; Р — множество всех простых чисел.

В качестве вспомогательного инструмента используется трёхэлементная цепь Мг — {1,т,п}, где п <т < I. Для всякой непериодической группы Р можно определить функцию •фр: Р —> Мг, полагая

I, если группа F является р-делимой;

т, если группа Р не является р-делимой, а факторгруппа Р1/ Ь(Р) является; п, если факторгруппа Р/ 1;(.Г) не является р-делимой.

Через £х обозначается множество всех Т(^)-радикалов, порождаемых непериодическими группами .Р; через Му — множество, состоящее из всех последовательностей вида

а = (а2,а3,а5,... ,ар,...), (12)

члены которых занумерованы простыми числами и принадлежат Мх. Отображение 1рх: Сх —» задается равенством

у,^) = (г^(2), ^(3), г^(5),..., фр(р),...).

Теорема 6.3. Частично упорядоченное множество С1 является полной дистрибутивной решёткой; отображение ¡рг есть изоморфизм решёток. Нулём и единицей решётки С1 служат радикалы = 0 а! соответственно.

Пусть М2 = {Л, ц, и} — ещё одна цепь из трёх элементов, причём Л < (I < V. Функция •фр: Р —► М2 (для удобства функции Р —* М2 и Р —> Мг обозначены одинаково; это не вызывает путаницы, так как в одном случае группа F периодическая, а в другом — нет) строится так:

А, если р-компонента Рр не является делимой; /1, если Рр — ненулевая делимая группа; у, если Р = 0.

Через £2 обозначается множество всех Т(^)-радикалов, которые порождаются периодическими группами через М^ — множество, состоящее из всех последовательностей вида (12) с членами из М2. Отображение (р2: С2 —* М2 определяется по аналогии с 1рг:

ЪШ = (^(2), ^(3), фр(5),..., Ф*(р),...).

Теорема 6.6. Частично упорядоченное множество С2 является полной дистрибутивной решёткой; отображение <р2 есть изоморфизм решёток. Нулём и единицей решётки С2 служат радикалы с! и "\АГ0 - 1 соответственно.

Далее рассматривается частично упорядоченное множество М = Мх и М2 = {I, т, п, А, /х, и} (предполагается, что "1 т < А и I < /и, а элементы I и А несравнимы). Подмножество „1 М = М^ и М2 множества Мр есть полная дистрибутивная а«^ \г решётка. Биекция (/?: £ —► М из множества £ = £х и £2 всех у™

Т(Р)-радикалов категории абелевых групп в множество М. „

строится как продолжение биекций ср^: —> Мгр, т.е.

= (^(2), ^(3), ^(5),..., ^(р),...).

Теорема 6.10. Частично упорядоченное множество £ является полной дистрибутивной решёткой; отображение <р есть изоморфизм решёток. Нулём и единицей решётки С служат радикалы = 0 и 'М'о = 1 соответственно.

Последний результат параграфа показывает, насколько «плотно» радикалы расположены в большой решётке XV, (она отличается от обычной решётки тем, что элементы 172. не образуют множество) всех идемпотентных радикалов категории абелевых групп.

Предложение 6.12. Пусть р — идемпотентный радикал. Тогда

(а) если с!Л1; ^ /г ^ с1, то р — Алt или р = <1;

(б) если t ^ р ё\/Ч, то р = t или р = АУЬ;

(в) если р < t, то р — <р~1 (а), где а — некоторая последовательность вида (12) с членами из {1,т,п};

(г) если d ^ р < dVt, то р = ip~ï(a), где а — некоторая последовательность вида (12) с членами из {А, /х}.

В §7 рассматриваются различные свойства замкнутости классов T(F) всех Т(^)-групп. Так, доказывается, что условия «nF — кручение» и «WF — кручение» равносильны.

Предложение 7.2. Пусть F — абелева группа. Эквивалентны следующие условия:

1) nF — кручение;

2) Wр — кручение;

3)фр(Р)с{1,п,„}.

Символом 7Z(p) обозначается радикальный класс идемпотентного радикала р — класс всех абелевых групп (в общем случае — модулей) А таких, что имеет место равенство р(А) = А. Главным результатом параграфа является

Теорема 7.5. Для идемпотентного радикала р Ç TTZ следующие условия эквивалентны:

1) класс IZ(p) замкнут относительно сервантных подгрупп;

2) И{р) замкнут относительно рациональных сервантных подгрупп;

3) существует группа F такая, что р = WF.

Из данной теоремы следует любопытный факт общего характера, касающийся тензорных произведений абелевых групп.

Следствие 7.6. Пусть Т — произвольный класс абелевых групп, 71 — класс всех групп А, для которых A®F — 0 при всех F € Т. Тогда существует группа F0 такая, что TZ — T(F0).

В §8 установлено, что «решёточное» (см. также предложение 3.12) пересечение Т(^)-радикалов и их «поточечное» («точки» — это абелевы группы) пересечение суть одно и то же, т.е. доказана

Теорема 8.7. Пусть А, F — произвольные абелевы группы. Если

F = (В рг> т° Wр{А) = П

16/ »6/ 4

Следствие 8.8. Если F = G ф Н, то для произвольной группы А справедливо равенство WF(A) = WG(WH(A)). В частности, любые два Т-радикала категории абелевых групп коммутируют друг с другом.

Автор выражает признательность своему научному руководителю профессору Крылову Петру Андреевичу за постановку задач, внимание к работе и помощь в оформлении диссертации.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Кашу А. И. Радикалы и кручения в модулях. Кишинёв: Штиинца, 1983.

[2] Кашу А. И. Функторы и кручения в категориях модулей. Кишинёв: Штиинца, 1997.

[3] Крылов П. А., Приходовский М. А. Обобщённые Т-модули и Е-моду-ли // Универсальная алгебра и её приложения: Тр. участ. междунар. семинара, посвящ. памяти Л. А. Скорнякова (Волгоград, 6-11 сент. 1999 г.). — Волгоград, 2000. — С. 153-169.

[4] Крылов П. А., Михалёв А. В., Туганбаев А. А. Связи абелевых групп и их колец эндоморфизмов. Томск: Томск, гос. ун-т, 2002.

[5] Курош А. Г. Радикалы колец и алгебр // Матем. сборн. — 1953. — Т. 33(75), № 1. — С. 13-26.

[6] Мишина А. П., Скорняков Л. А. Абелевы группы и модули. М.: Наука, 1969.

[7] Приходовский М. А. Изоморфизмы тензорных произведений модулей и Т-модули. Кандидатская диссертация. Томск, 2002.

[8] Фейс К. Алгебра: кольца, модули и категории. М.: Мир, 1977. Т. 1.

[9] Amitsur S. A. A general theory of radicals II. Radicals in rings and bicategories // Amer. J. Math. — 1954. — V. 76, no. 1. — P. 100-125.

[10] Bowshell R. A., Schultz P. Unital rings whose additive endomorphisms commute // Math. Ann. — 1977. — V. 228, no. 3. — P. 197-214.

[11] Golan J.S. Torsion theories. New York: Longman Sci. Techn., 1986.

[12] Lambek J. Torsion theories, additive semantics and rings of quotients // Lect. Notes Math., 177. — Berlin - Heidelberg - New York: SpringerVerlag, 1971.

[13] Pierce R. S. E-modules // Contemp. Math., 87. Abelian group theory.

— Providence: Amer. Math. Soc., 1989. — P. 221-240.

[14] Schultz P. The endomorphism ring of the additive group of a ring //J. Austral. Math. Soc. — 1973. — V. 15, no. 1. — P. 60-69.

Работы автора по теме диссертации

[15] Тимошенко Е. А. E-модули и связанный с ними радикал // Абелевы группы и модули. — Томск, 2000. — Вып. 15. — С. 98-112.

[16] Тимошенко Е. А. Т-модули и Т-радикал // Материалы XXXIX Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс»: Математика. — Новосибирск, 2001. — С. 3.

[17] Тимошенко Е. А. Т-радикалы в категории абелевых групп // Международная конференция «Алгебра и её приложения»: Тезисы докладов.

— Красноярск, 2002. — С. 118.

[18] Тимошенко Е. А. Т-радикалы в категории модулей // Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения: Тезисы докладов V Международной конференции (Тула, 19-24 мая 2003 г.). — Тула, 2003. — С. 214-215.

[19] Timoshenko E. A. T-radicals in the category of modules // International Conference on Radicals. Program and abstracts. — Kishinev, 2003. — P. 33-35.

[20] Тимошенко E. А. Т-радикалы в категории модулей // Международная конференция по математике и механике: Тезисы докладов. — Томск, 2003. — С. 59.

[21] Тимошенко Е. А. Т-радикалы и Е-радикалы в категории модулей // Сиб. матем. ж. — 2004. — Т. 45, № 1. —■ С. 201-210.

[22] Тимошенко Е. А. Т-радикалы в категории абелевых групп // Алгебра, логика и кибернетика: Материалы Международной конференции. — Иркутск, 2004. — С. 107-108.

[23] Timoshenko Е. A. T-radicals in the category of modules // Acta Appl. Math. — 2005. — V. 85, no. 1-3. — P. 297-303.

[24] Тимошенко E. А. Т-радикалы в категории абелевых групп // Материалы XLIII Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс»: Математика. — Новосибирск, 2005. — С. 14.

[25] Тимошенко Е. А. Радикальные классы, замкнутые относительно сер-вантных подгрупп // Абелевы группы: Труды Всероссийского симпозиума (Бийск, 22-25 авг. 2005 г.). — Бийск, 2005. — С. 37-39.

s

/

г

Отпечатано на участке оперативной полиграфии Редакционно-издательского отдела 11 У Лицензия ПД №00208 от 20 декабря 1999 г.

Заказ № -/£9 от " 1С 2005 г. Тираж АОО экз.

)

I i

г !

í

i

i

i

i i

i

r

РНБ Русский фонд

2006-4 21717

i

?

ч

Основные обозначения

Введение

ГЛАВА I. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ

§1. Из теории радикалов модулей.

§2. Основные свойства функторов <8> и Нот.

§3. Т(^)-радикалы и Е(У)-радикалы.

ГЛАВА II. Т-РАДИКАЛЫ И Е-РАДИКАЛЫ

§4. Т(е)-модули, Е(е)-модули и связанные с ними радикалы.

Ф §5. Т(е)-модули и Е(е)-модули над факторкольцом.

ГЛАВА III. Т(Г)-РАДИКАЛЫ

В КАТЕГОРИИ АБЕЛЕВЫХ ГРУПП

§6. Т^)-радикалы абелевых групп и образуемая ими решётка.

§7. Свойства замкнутости классов T(F)-rpynn.

§8. «Решёточное» и «поточечное» пересечения Т(^)-радикалов.

Актуальность темы. При рассмотрении алгебраических систем основной задачей является построение структурной теории. Структурные теоремы сводят изучение алгебраических систем к изучению «более просто устроенных». Одну из конструкций, осуществляющих подобное сведение, представляет радикал. С тех пор, как в 1950-х гг. Курош [7] и Амицур [16] ввели понятие радикала для колец и алгебр, теория радиг' калов распространилась и на другие алгебраические структуры, в числе которых модули и группы.

Радикалы позволяют выделять классы модулей, обладающих различными свойствами, проводить их классификацию и дальнейшее более детальное изучение. На зрелость направления, связанного с радикалами модулей, указывает наличие заметного количества монографий по этой теме (Мишина и Скорняков [9], Кашу [3, 4], Ламбек [27], Голан [23] и ряд других). Во многих работах отечественных и зарубежных алгебраистов (Курош, Рябухин, Гарднер, Диксон и др.) рассматривались радикалы абелевых групп (т.е. модулей над кольцом целых чисел).

С другой стороны, интенсивно изучаются взаимосвязи между свойствами модулей и абелевых групп. К данному направлению относятся работы о Е-кольцах и 12-модулях. Первое из этих понятий появилось в 1973 г. в статье [30]: Е-кольцами были названы кольца R, для которых Hornr(R,R) = Нот(R,R). Позже это определение было распространено на модули: Е-модуль AR задаётся равенством HomR(R, А) = Hom(R, А). Е-модули впервые появились в [17], где они были названы Д-группами. Одной из самых полных работ, посвященных Е-модулям, является [28]. Применения Е-колец и Е-модулей в теории абелевых групп весьма разнообразны; в книге [6] содержится обзор наиболее важных результатов, связанных с данной проблематикой.

Многие современные исследования посвящены тензорным произведениям модулей и абелевых групп. Тензорное произведение <Э является вторым по важности (после Нот) функтором категории модулей. До сих пор актуальной проблемой остаётся описание тензорных произведений модулей и абелевых групп. В работах Крылова и Приходовского [5, 10] введено понятие Т(е)-модуля, определяемое следующим образом. Пусть е: S R — гомоморфизм колец, тогда всякий R-модуль можно естественным образом превратить в притягивающий 5-модуль. Модуль AR называется Т(е)-модулем, если имеет место канонический изоморфизм A®s R = АR. Параллельно в тех же работах изучались Е(е)-модули, задаваемые равенством HomR(R, А) = Ноms(R, Л) и в некотором смысле двойственные Т(е)-модулям.

В диссертации вводится «обобщённый» Е-радикал. Это понятие в определённом смысле сводит воедино аналогичный радикал, рассматривавшийся Пирсом в [28], и Е(е)-модули из работ [5, 10]. Двойственным образом определяется Т-радикал. Кроме того, рассматриваются близкие (как станет ясно из результатов второй главы) к этим двум радикалам понятия «T(F)-радикал» и «Е(У)-радикал», в том или ином виде ранее встречавшиеся в работах, связанных с радикалами модулей.

Настоящая диссертация посвящена исследованию T(F)-радикалов и Т-радикалов. Работа также содержит ряд результатов, связанных с Е(У)-радикалами и Е-радикалами. Во-первых, это помогает лучше продемонстрировать двойственность между соответствующими объектами, а во-вторых, Е(У)-радикалы в силу своей многочисленности являются удобным и подчас незаменимым инструментом при проведении доказательств. Исследование развивается по двум основным направлениям:

• поиск взаимосвязи между Т-радикалами и Т(^)-радикалами;

• изучение Т(.Р)-радикалов категории абелевых групп.

Цель работы: исследовать взаимосвязь между Т-радикалами и Т(^)-радикалами (а также между Е-радикалами и Е(У)-радикалами); изучить свойства Т^)-радикалов категории абелевых групп и описать частично упорядоченное множество, которое эти радикалы образуют.

Научная новизна и практическая ценность. Основные результаты настоящей диссертационной работы являются новыми. К основным результатам работы можно отнести следующие.

• Показано, что существуют модули RG и SF, для которых Т-радикал совпадает с Т(С?)-радикалом, а также с сужением Т(.Р)-радикала на категорию mod-R (предложения 4.5, 4.6). Если S — коммутативное кольцо, то всякий Т(.Р)-радикал категории mod-S, в свою очередь, можно представить в виде Т-радикала (теорема 4.14). Аналогичные результаты имеют место для Е-радикалов (предложения 4.9 и 4.10, теорема 4.14).

• Описаны все Т(^)-радикалы категории mod-Z, выяснено строение образуемой ими решётки (§6).

• Доказано, что радикальный класс идемпотентного радикала категории mod-Z замкнут относительно сервантных подгрупп тогда и только тогда, когда этот радикал совпадает с Т(.Р)-радикалом для некоторой группы F (теорема 7.5).

• Установлено, что «решёточное» пересечение Т(.Р)-радикалов категории mod-Z совпадает с их «поточечным» пересечением (§8).

Результаты работы имеют теоретическое значение и могут быть использованы в исследованиях по теории модулей и абелевых групп.

Апробация результатов. Основные результаты настоящей диссертации докладывались на международных конференциях «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирск, 2001 и 2005 гг.), «Алгебра и её приложения» (Красноярск, 2002 г.), «Мальцевские чтения» (Новосибирск, 2002 г.), «Алгебра, логика и кибернетика» (Иркутск, 2004 г.), Международной конференции по математике и механике (Томск, 2003 г.) и Всероссийском симпозиуме «Абелевы группы» (Бийск, 2005 г.) и были опубликованы в работах [32] - [42]. Кроме того, они докладывались на семинарах кафедры алгебры Томского государственного университета.

Структура и объём работы. Диссертационная работа состоит из введения, трёх глав, списка литературы и списка обозначений. Главы I и III содержат по три параграфа, глава II — два параграфа. Работа изложена на 77 страницах.

1. Картан А., Эйленберг С. Гомологическая алгебра. М.: Ин. лит., 1960.

2. Каш Ф. Модули и кольца. М.: Мир, 1981.

3. Кашу А. И. Радикалы и кручения в модулях. Кишинёв: Штиинца, 1983.

4. Кашу А. И. Функторы и кручения в категориях модулей. Кишинёв: Штиинца, 1997.

5. Крылов П. А., Приходовский М. А. Обобщённые Т-модули и Е-моду-ли // Универсальная алгебра и её приложения: Тр. участ. междунар. семинара, посвящ. памяти JI. А. Скорнякова (Волгоград, 6-11 сент. 1999 г.). — Волгоград, 2000. — С. 153-169.

6. Крылов П. А., Михалёв А. В., Туганбаев А. А. Связи абелевых групп и их колец эндоморфизмов. Томск: Томск, гос. ун-т, 2002.

7. Курош А. Г. Радикалы колец и алгебр // Матем. сборн. — 1953. — Т. 33(75), №1. — С. 13-26.

8. Курош А. Г. Радикалы в теории групп // Сиб. матем. ж. — 1962. — Т. 3, №6. — С. 912-931.

9. Мишина А. П., Скорняков JI. А. Абелевы группы и модули. М.: Наука, 1969.

10. Приходовский М. А. Изоморфизмы тензорных произведений модулей и Т-модули. Кандидатская диссертация. Томск, 2002.

11. Скорняков JI. А. Элементы теории структур. М.: Наука, 1970.

12. Фейс К. Алгебра: кольца, модули и категории. М.: Мир, 1977. Т. 1.

13. Фейс К. Алгебра: кольца, модули и категории. М.: Мир, 1979. Т. 2.

14. Фукс Jl. Бесконечные абелевы группы. М.: Мир, 1974. Т. 1.

15. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. М.: Мир, 1977. Т. 2.

16. Amitsur S.A. A general theory of radicals II. Radicals in rings and bicategories // Amer. J. Math. — 1954. — V. 76, no. 1. — P. 100-125.

17. Bowshell R. A., Schultz P. Unital rings whose additive endomorphisms commute // Math. Ann. — 1977. — V. 228, no. 3. — P. 197-214.

18. Dickson S. E. On torsion classes of Abelian groups // J. Math. Soc. Japan. — 1965. — V. 17, no. 1. — P. 30-35.

19. Gardner B. J. Torsion classes and pure subgroups // Pacific J. Math. — 1970. — V. 33, no. 1. — P. 109-116.

20. Gardner B.J. Two notes on radicals of Abelian groups // Comment. Math. Univ. Carolinae. — 1972. — V. 13, no. 3. — P. 419-430.

21. Gardner B.J. Generalized-pure-hereditary radical classes of Abelian groups // Comment. Math. Univ. Carolinae. — 1973. — V. 14, no. 2. — P. 187-195.

22. Gobel R., Shelah S. Semi-rigid classes of cotorsion-free Abelian groups // J. Algebra. — 1985. — V. 93, no. 1. — P. 136-150.

23. Golan J. S. Torsion theories. New York: Longman Sci. Techn., 1986.

24. Jambor P. On generation of torsion theories // Comment. Math. Univ. Carolinae. — 1972. — V. 13, no. 1. — P. 79-98.

25. Jambor P. An orthogonal theory of a set-valued bifunctor // Czech. Math. J. — 1973. — V. 23(98), no. 3. — P. 447-454.

26. Jambor P. Hereditary tensor-orthogonal theories // Comment. Math. Univ. Carolinae. — 1975. — V. 16, no. 1. — P. 139-145.

27. Lambek J. Torsion theories, additive semantics and rings of quotients // Lect. Notes Math., 177. — Berlin Heidelberg - New York: Springer-Verlag, 1971.

28. Pierce R. S. E-modules // Contemp. Math., 87. Abelian group theory.Providence: Amer. Math. Soc., 1989. — P. 221-240.

29. Schelter W., Roberts P. Flat modules and torsion theories // Math. Z.1972. — V. 129, no. 4. — P. 331-334.

30. Schultz P. The endomorphism ring of the additive group of a ring //J. Austral. Math. Soc. — 1973. — V. 15, no. 1. — P. 60-69.

31. Stenstrom B. Rings of quotients. Berlin Heidelberg - New York: Springer-Verlag, 1975.Работы автора по теме диссертации

32. Тимошенко Е. А. Е-модули и связанный с ними радикал // Абелевы группы и модули. — Томск, 2000. — Вып. 15. — С. 98-112.

33. Тимошенко Е. А. Т-модули и Т-радикал // Материалы XXXIX Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс»: Математика. — Новосибирск, 2001. — С. 3.

34. Тимошенко Е. А. Т-радикалы в категории абелевых групп // Международная конференция «Алгебра и её приложения»: Тезисы докладов.Красноярск, 2002. —- С. 118.

35. Тимошенко Е. А. Т-радикалы в категории модулей // Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения: Тезисы докладов V Международной конференции (Тула, 19-24 мал 2003 г.). — Тула, 2003. — С. 214-215.

36. Timoshenko E. A. T-radicals in the category of modules // International Conference on Radicals. Program and abstracts. — Kishinev, 2003. — P. 33-35.

37. Тимошенко E. А. Т-радикалы в категории модулей // Международная конференция по математике и механике: Тезисы докладов. — Томск, 2003. — С. 59.

38. Тимошенко Е. А. Т-радикалы и Е-радикалы в категории модулей // Сиб. матем. ж. — 2004. — Т. 45, № 1. — С. 201-210.

39. Тимошенко Е. А. Т-радикалы в категории абелевых групп // Алгебра, логика и кибернетика: Материалы Международной конференции. — Иркутск, 2004. — С. 107-108.

40. Timoshenko Е. A. T-radicals in the category of modules // Acta Appl. Math. — 2005. — V. 85, no. 1-3. — P. 297-303.

41. Тимошенко E. А. Т-радикалы в категории абелевых групп // Материалы XLIII Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс»: Математика. — Новосибирск, 2005. — С. 14.

42. Тимошенко Е. А. Радикальные классы, замкнутые относительно сер-вантных подгрупп // Абелевы группы: Труды Всероссийского симпозиума (Бийск, 22-25 авг. 2005 г.). — Бийск, 2005. — С. 37-39.