Слабо регулярные кольца и модули тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Р Г Б ОД

ФИЛИАЛ МОСКОВСКОГО ГОСУДАРСТВЕНЮГО УНИВЕРСИТЕТА им. М.В.ЛОМОНОСОВА в г. УЛЬЯНОЕСКЕ

На правах рукописи

ХАКМИ ХАМЗЕ ИБРАГИМ

СЛАБО РЕГУЛЯРНЫЕ КОЛЬЦА И МОДУЛИ

01.С1.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

УЛЬЯНОВСК - 1994

работа выполнена на кафедре алгебры Казанского государственного университета имени В. И. Ульянова-Ленина. -

Научный руководитель - кандидат физико-математических

наук, доцент И.И. Сахаев.

Официальные оппоненты - доктор физико-математических

наук, профессор А. В. Михалев.

- доктор физико-математических наук, профессор А. А. Туганбаев.

Ведущая организация - Московский государственный педагогический университет.

Защита диссертации состоится " ноября "

1994г. в " 12 " часов на заседании специализированного совета по математике К 053.37.03 при филиале Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова в г. Ульяновске по адресу : 432700, г. Ульяновск, ул. Л. Толстого, 42, ауд. 42.

С диссертацией можно ознакомиться в научней библиотеке ФМГУ в I'. Ульяновске.

Автореферат разослан " " " 0£гпл$ря « 1994г.

Ученый секретарь специализированного совета

Е. К. Ковалев.

Актуальность тем»: Как известно; понятие регулярности кольца ( в смысле Неймана) £13, £2 3 играет существенную роль в теории колец и модулей. Например, каждый правый (левый) & -модуль является плоским тогда и только тогда, когда кольцо £ -регулярно. Кроме того, Л.В. ТюкамсшСзЗ доказал, что над коммутативным полукольцом 5Г все модули плоские тогда и только тогда, когда является регулярным.кольцом.

Далее, Д.В.ТлкавкинХ^Л доказал, что РХ -кольцо, каждый односторонний идеал которого порождается и*емпотенгами, является регулярным кольцом. И.Каггланский £53 установил, что коммутативное кольцо является V -кольцом тогда и только тогда, когда оно регулярно. .

Н.Джекобсон £б3 рассматривал X -кольцо, в котором всякий правый (левый) идеал, не являющийся ниль-идеалом, содержит ненулевой идемпотентный элемент. Им доказано, что радикал Джекобсона такого кольца является нидь-идеадок. Далее, К.Никольсон £73 изучал кольца, в которых, воякий правый (левый) идеал, не содержащийся в радикале Джекобсона кольца, содержит ненулевой идемпотентный элемент под названием -Г0 -кольца.

Очевидно, когда радикал Джекобсона кольца является ниль-идеалом, то понятие Тв -кольца и X -кольца совпадают.

В настоящей работе рассматриваются -кольца под названием слабо регулярных колец.

Отметим, что й,С.Ромамуртк [83 тоже ввёл понятие слаЗо регулярного кольца, а именно, кольцо & назвал слабо регулярным слева, если 0.б1?<х£(Х всех )<> . Однако,классы слабо регулярных колец^ определенных нами и В.С.Ромамурти, существенно различны,

К.Никольсон доказал, что, для того чтобы' кольцо £ являлось слабо регулярным кольцом, необходимо и достаточно, чтоби для любого йе Я , сучествовал такойОС.е , ОС фт> # „о

х-пасс •

Класс слабо регулярных колец, очень широк. Например, о я содержит класс регулярных колец. Кроме того, внутри регулярного кольца существуют правые (левые) идеалы, не являвшиеся регулярными кольцами, которые является слабо регулярными кольцами. Более точно, оказывается« что всякий правый, (левый) идеал регулярного кольца является слабо .регулярным кольцом.

Огмётим, что Н.Двекобсон Гб] Доказал, что если рздикал Дже- ' кобсонаЗС&) кольца £ равен нулю, то для любого правого идеала 7~* кольца $ рассматриваемого как кольцо, его радикал Джекобсона

Ес^и б - идемпотентный элемент регулярного кольца такой, что

то подкольцо € К не является регулярным кольцом, причём с ненулевым радикалом Джекобсона.

В работе/^ 15Ддоказана следующая теорема (теорема I СХ51 ): /^-модуль М обладает свойством конечной замени тогда и только тогда, когда его кольцо эндоморфизмов £ обладает свойством « если с^е^ , то существуют такие, что <4^=15

и = . Из этого факта следует, что коль-

цо эндоморфизмов модуля, обладающее свойством конечной замены« слабо регулярно. С другой стороны, всякое, кольцо, обладающее свойством конечной замены, слабо регулярно.

Цель работы;: Целью работ» является развитие некоторых новых методов исследования слабо регулярных колец; модулей, обладающих слабо регулярным.кольцом эндоморфизмов,и установление их взаимосвязи.

Методика исследования: В работе используются методы теории колец и модулей.

Научная новизна: Зев основные- результат» диссертации является новыми и заклинаются в следующем:

1. Дано полное описание слабо регулярного кольца а терминах , кольца многочленов от одного переменного, а также в терминах колец эндоморфизмов проективных (свободных) модулей.

2.Дано полное описание слабо регулярного кольца в терминах плоскости определенного класса циклических модулей.

3. Обобщены основные результаты .

4. Дано полное описание слабо регулярных проективных, модулей.

5. Описано строение проективных (свободных) модулей над слабо регулярными .кольцами.

6. Даноновое описание радикала Джекобеона коммутативного (произвольного.) кольца.через пересечение идеалов (правых идеалов), удовлетворяющих некоторому условию.

7. Описано строение сильно регулярных колец и модулей. Кроме того, установлена новая характеристика классического пвлу-простого кольца в терминах сильно регулярности определенного класса модулей.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты и методы работы могут быть использованы в теории колец и модулей.

Адробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на семинарах кафедры алгебры Казанского университета, на ежегодных Итоговых научных конференциях КГУ, на алгебраическом семинаре Института Математики с ВЦ АН Молдоаской республики, а также на Международных конференциях по алгебре (г.Барнаул, 1991г.), (г.Красноярск, 1993г.), (г.Казань, 1994г.).

Основные результаты диссертации опубликованы в б работах, список которых приведён в конце автореферата.

- б -

Структура диссертации. Диссертационная работа выполнена на 97 страницах машинописного текста состоит из введения и четырёх глав. Библиография содержит 49 наименований.

Все кольца ъ работе предполагаются ассоциативными и с единицей, модули над ними унитарными и правыми, через обозначается радикал Джекобсона кольца £ .,

Во введении обоснована актуальность темы, дан краткий обзор литературы по теме диссертации и приводится аннотация основных её результатов.

Перейдём к описанию результатов диссертации по главам. Первая глава посвящена изучении слабо регулярных колец. Прежде всего приведём определение слабо регулярного кольца.

Кольцо R называется слабо регулярным кольцом £.73 , если оно удовлетворяет одному из эквивалентных условий;

1) Всякий правнй (левый) идеал кольца R , не содержащийся в радикале J(£), содержит ненулевой идемпотентный элемент.

2) Для любого (X Я. , существует такой осе R , ос. , что ос - jcClq: .

Также кольцо Q называется регулярным кольцом С» смысле Неймана) Hl] , если для любого R существует такой OC^Ç, что CtocCL^CL .

В § I.I. рассматриваются общие свойства слабо регулярного кольца. Кроме того, доказано, что правые (левые) идеалы регулярного кольца, вообще говоря, не являются регулярными кольцами (лемма I.I.8), однако, они являются слабо регулярными кольцами (лемма 1.1,7). Исходя из этого, можно сделать заключение, что класс регулярных колец, приводит к возникновению класса слабо регулярных колец. В случае, когда R слабо регулярное кольцо и JCR)~ о , то всякий правый (левый) идеал кольца R является слабо регулярным кольцом (теорема 1.1*9).

- 7 -

Введём следующее понятие.

Определение. Будем говорить, что по идеалу й кольца Й идемпотентнне элемента частично поднимаются,"если для любого (Х<£ & , существует идемпотент е<£ ¡2 ,

ё — ОС-К" для некоторого . Это понятие лево-право

симметрично. Отметим, что это определение обобщает понятие 68Г -кольцаГ5]г.

Оказывается,когда кольцо слабо регулярно, то идемпотентнне , элементы частично поднимаются по идеалу 3 С &[) • Кроме того, кольцо £ является слабо регулярным кольцом тогда и только тогда, когда фактор кольцо слабо регулярно и идемпотентные эле-

менты частично поднимаются по радикалуЛ1<?) (лемма 1.1.11).

§ 1.2 посвящен рассмотрению взаимосвязи между слабо регулярным кольцом $ и кольцом многочленов от одного переменного

/гад .

Пусть -кольцо многочленов от одного пере-

менного ОС, коммутирующей с элементами из кольца (2 . П.ПилеСЭ] доказал, что если кольцо многочленов 5 является полу наследственным кольцом, то кольцо ?<? является регулярным кольцом. Основным результатом этого параграфа являются следующие теоремы.

Теорема 1.2,1. Пусть 3 — ВВ^З кольцо многочленов над кольцом $ . Тогда следующие условия эквивалентны:

1) Кольцо ^ слабо регулярно.

2) Для любого ; существует такой СС оу с , что се*0£,Ь «проективный правый идеал в 5 .

3) Для любого £ , СИ фПСВ) су чествует такой С^-ф о , что-проективный левый идеал в 5 .

Теорема 1.2,3. Для кольца £ следующие условия эквивалентны:

1) Кольцо слабо регулярно.

2) Для любого О- е £ , сущеотвует такой , «У Р. что -плоский левый к -модуль.

3) Для/любого йб /? , СифЗ(.£.) ,_существует такой а, О. о > ЧТО

.-плоский правый , £ -модуль. Кроме того,, доказана, следующая теорема.

. Т е о рема 1.2.5. Для кольца £ следующие условия эквивалентны :

1) Кольцо слабо регулярно.

2).Для любого

а«./? .

существует, такой ОС&К ,ОС.-ф.О% что ССХ.фЛв) и С(.С£. обладает аддитивным дополнением в

3) Для любого , ЗС&Х существует такой , . что 0.1С,фЗС&) иобладает проективной, оболочкой.

§ 1,3 посвящен изучению структурного пространства примитивных идеалов слабо регулярного кольца, где доказана следующая теорема: Пусть -структурное пространство слабо регулярного кольца и

С(<=кС£ с,7 <= -- -

возрастающая последовательность замкнутых нигде не плотных подмножеств в г . Тогда О С/ /? (теорема 1.3.1).

1=1 1

Во второй главе диссертации изучаются слабо регулярные модули. Через ЛИ) обозначается радикал Джекобсона -модуля И

Определение. £? -модуль Н будем называть слабо регулярным, если всякий его подмодуль, не содержащийся в радикале 3{.М) » содержит нерадикальное прямое слагаемое модуля

и.

В § 2.1 рассматриваются общие свойства слабо регулярного модуля, где доказано, что фактор модуль слабо регулярного модудя По его радикалу Джекобсона слабо регулярен. Кромеьтого, всякое нерадикальное аддитивное, дополнение слабо регулярного модуля слабо регулярно. Также доказана

Теорема 2.1.7, Пусть И. нерадикальный, слабо регулярный модуль с косущественным радикалом . Тогда следующие у с лови я эквивале нт ны:

1) Модуль Н имеет минимальный подмодуль, не содержащийся в ЗОЮ.

2) Кольцо!, эндоморфизмов модуля Н имеет примитивный идемпотент.

Доказана

Теорема 2.1.9. Пуоть £^.Епс/еСМЗ.яольцо эндоморфизмов ¡2 -модуля А/ . Тогда следующие условия эквивалентны:

1) Кольцо слабо регулярно.

2) Для любого 5 » существует ^^о такой, что • ХтР^ наделяются в /У прямыми слагаемыми.

йьЗельманович [[10J называет /2-модуль /"/ регулярным, если для любого существует Р ^ это

(тРХт)-т.

В.К.НикольсонЦ7Д доказал, что над слабо регулярным кольцом кольцо эндоморфизмов регулярного модуля является слабо регулярным кольцом с нулевым радикалом Джокобсона.

Теорема 2.1.15 обобщает этот факт, где доказано, что над произвольным кольцом кольцо эндоморфизмов регулярного модуля является слабо регулярным кольцом с нулевым радикалом.

§ 2.2 посвящен изучению модулей, близких к проективным, введенных в£пД. Основным результатом это*ч) параграфа является Теорема 2.2.4. Пусть Р конечно порожденный квази-проекгивный. Й -модуль. Тогда следующие условия эквивалентны:

- 10 -

1) Модуль P слабо регулярен.

2) Для любого peS^EndetP) такой, wo , P(pJ содержит нерадикальное прямое слагаемое модуля р .

Третья глава диссертации состоит из трех< параграфов и посвящен) изучению проективных слабо регулярных модулей.

В § 3.1 рассматриваются проективные модули над слабо регулярными кольцами, где доказана

Теорема 3,1.2. Всякий проективный модуль над слабо регулярным кольцом является слабо регулярным.

Т е,о р е м а ,3.1.1. Для конечно порожденного проективного Q- модуля Р следующие условия эквивалентны: Г) Р- полусоверщенный модуль.

2.) О- слабо регулярный модуль и удовлетворяет условию максимальности прямых слагаемых.

3) Езли $ подмодуль в р , то й- Р0 + D ,где Q прямое слагаемое модуля Р и D 3(,Р) •

4) Р" слабо регулярный модуль и P/j(Р) полупрост.

§ 3.2 посвящен изучению кольца эндоморфизмов слабо регулярного модуля, где. получены следующие;

Теорема 3.2.3. Для проективного Q. — модуля Р сле^ дующие условия эквивалентна:

1) Модуль р слабо регулярен и J CP) косу ществен в Р.

2) Для любого р что -fCP)<^XP). fiCP) содерисит ненулевое прямое слагаемое модуля Р и JCP) косущест-вен в Р .

3) Кольцо эндоморфизмов модуля Р слабо регулярно.

Г.М.Дукерман Ц12Д доказал, что для того, чтобы, кольцо эндоморфизмов проективного R- модуля Р было регулярным кольцом,

необходимо и достаточно, чтобы для любого

выделялось в уЬ прямым слагаемым.

- II -

I в м м а 3.2.4. утверждает, что-для того, чтобы кольцо эндоморфизмов проективного £ -модуля Р было слабо регулярным кольцом, необходимо и достаточно, чтобы для любого такого, что , существовал Епс1р(Р)>

такой, что ^^(.Р) выделялось в р прямым слагаемым. Кроме того, кольцо эадоморфизмов проективного р -модуля р является слабо регулярным кольцом с нулевым радикалом Джекобсона тогда и только тогда, когда для любого ^<~

существует такой ф£ Епс/цСР)* ф ъ , что выдзля-

ется в Р прямым слагаемым. Также доказана

Теорема 3.2.7. Для кольца $ следующие условия эквивалентны*:

1) Кольцо Р слабо регулярно и ' ~ -нильпотентны-славами"] .

2) Кольцо эндоморфизмов всякого проективного правого -модуля слабо регулярно.

Оказывается, что свойство слабо регулярности инвариантно в смысле Мориты. эквивалентности колец, (теорема 3.2.8).

В заключении этого параграфа приведены некоторые примеры слабо регулярных модулей. Кроме того, приведен пример слабо регулярного ,кольца с нулевым радикалом Джекобсона, не являющийся регулярным кольцом.

§ 3.3 посвящен изучению слабо регулярных, колец относительно некоторого идеала.

Определение 3.3.1. Будем говорить, что кольцо слабо регулярно относительно идеала 1 , Р , если для

любого О. € $ , СХ^Т существует такой 'Х^Р , ОС<^ 7~. что ОС&Х.~ Оказывается, если кольцо с*або регулярно относительно идеала . то (лемма 3.3.2).

- 12 -

Кром&того, доказано, что кольцо Р слабо регулярно относительно идеала Т~ тогда и только тогда, когда фактор кольцо £?/7~~ слабо регулярно, 3($/~Г)—о и идемпотентные элементы частично поднимаются по идеалу Т (теорема 3.3.3). Следующая теорема содержит критерии слабо регулярности проективного модуля.

Т е о р е м а 3.3.4. Для проективного модуля Р следующие условия эквивалентны:

1) Модуль Р слабо регулярен.

2) Кольцо эндоморфизмов модуля Р слабо регулярно относительно ехо идеала . ИОГП^РлЗХР)) .

. Теперь можно с формужировать ещё один критерий слабо регулярности кольца . Р .

Т е о р е м а 3.3.5. Для кольца Р следующие условия эквивалентны:

1) Кольцо Р слабо регулярно.

2) Кольцо эндоморфизмов всякого .проективного модуля Р слабо регулярно относительно его идеала ИОМ^ 3(Р)).

Напомним, что понятие регулярности кольца относительно правого идеала было введено в ЦХЗЦ . Это послужило основанием для введения следующего понятия.

Определение. Будем говорить, что кольцо Р удовлетворяет условию ^ относительно правого идеала 7~ , Т~^Р > если для любого Р , 0-<фТ~ существуют Ои£ РСХ Р , и , пс.<ф Т такие, что — <Х. <Е Т~".

Оказывается, если кольцо Р удовлетворяет условию $ относительно правого идеала Т~, то ,У(Р) Т7

Кроме того, всякое кольцо удовлетворяет условию Н относительно любого максимального правого идеала. Наконец, доказано, что

для любого кольца % . -гАе "Г пробегает множе-

ство всех правых идеалов кольца к .для которых $ удовлет-

- 13 -

воряет условии относительно Т (теорема 3.3.13).

Вели коммутативное кольцо, то Г)Т~, где ~Г про-

бегает множество всех идеалов Т , £ кольца , А? , удовлетворяющих следующему условию для любого /2 , <Хф~Г существует такой, СЕ<= £ , х^ Т , что £ <£ 7~:

Последняя глава состоит из одного параграфа и в нём рассматриваются сильно регулярные модули.

Определение. модуль /У называется сильно регулярным, если всякий его подмодуль, не содержащийся в радикале Джв-кобсона, выделяется в нём прямым.слагаемым.

Кольцо $ . называется сильно регулярным кольцом, если является гильно.регулярным модулем. Оказывается, радикал Джекобеона сильно регулярного модуля является;..косущественным подмодулем в нём (теорема 4Д.2). Кроме того, докаяава

Т е о р е м а .4.1,11. Для того, чтобы проективный Я— модуль Р был сильно регулярным, необходимо и достаточно, чтобы? он являлся либо локальным, либо шолупростым модулем • Основным результатом лого параграфа является

Теорема 4.1.В, Для кольца следующие условия эквивалентны:

1) Кольцо Й классическое полупростое кольцо.

2) Все свободные 12-модули^ранга4' не более двух: сильно регулярны!. }) В категории модулей тос1-0. существует нерадикальный иньек-гивный й модуль и все нерадикальные ииьективные модули сильно регулярны,

4) Все иньективные и все проективные К- модули сильно регулярны.

5) Для любого Иё" Ш ой-Я. , Н является сильно регулярнин модулем.

- в -

Автор выражает глубокую благодарность И. ЛСахаеву за постановку задачи, постоянное внимание и помощь в работе.

1. Хакми X* 0 некоторых свойствах X -подобных колец. Казань, 1991, 28 с.ДШ, в ВИШТИ 9.Х.91.» 2920 - В91.

2. ХакмиХ. 0, некоторых свойствах X -подобных колец,/Дезиси сообщ..Мевдунаррдн._конф.. по алгебре. Барнаул.-,1991.-. с.129..

3. Хакми X. I -подобные модули //Изв.вузов, Матем.-Й 9.« 1993. с.65-70.

Хакми X.. Сильно регулярные модули .и кольца //Тезисы сообщ. Международн. конф. "Алгебра и Анализ".-.Казань.- 199^.— с.99.

5... ХакмиХ. СлаЗо регулярные модули и кольца /Дезисы, сообщ. Международн....аднф. "Алгебра.и Днализ".- Казань,- 1994.- с,100.

б. Хакми X. Сильно регулярные и слабо регулярные модули и кол> ца //Изв.вузо», Матем,- Ш 5,- 1995.- с.60-66.

2. Скорняков i.A. Дедекиндовы структуры с дополнениями и per; лярные кольца //М,: Физматгиз, 1961.

3. Тюкавкин Л. В. Коммутативные полукольца с плоскими модулям //Вестник МГУ. сер.Мат.,Мех.~ 1978.-* 5.- с.60-62.

4. Тюкавкин Д.В. Кольцо, каждый односторонний идеал которого порождается идемпотентами //Мос.хим.техн.ин-т. М,- 1987.- 6 с. ДШ ВИНИТИ 26.03.87.» 22It.- ß87.

5. Фейс К. Алгебра: кольца, модули и категории. М.: 1977, т.1

Публикации по теме диссертации.

Литература

I. G-accltarL К. 12. Von bleu,mann ßetfuLa London.: Piimari,

6. Джекобсон Н. Строение колец. М,: 1961.

7. Nicholson W. к- Г- Ri'n^p .//Tran-i.ñrrxír.

Ma.ih.Soc. - 1475-.-О?.- р-зы-з?^

8. Rcimctmuríhi V.S. Weakly ßacjulcxr Rintf-i// Canact.Hccfh. vr/6.- P

9. p¡LLayp. On Semi he-r^ch'tary Sonco mm ~ u.íahWe Polynomial Rintts ¡/ Proc. ftmer-. Math, ¿oc. - ¡4Го. - V - р Ц.73-Н7Ч •

^'^elitictnov/iii J. R&^uLav Modules //

Trans. Amer. Mafh.^oc..- -

11. Туганбаев A.A. Строение модулей, близких к проективным //Мат.сб.т. 106 (48).-* 4(8).- с. 554-565.-14?$.

12. Цукерман Г.М. Кольцо эндоморфизмов свободных модулей //Сиб. Мат.журн.- т. 12.-* 5.- 1966.- С.Ц61-И67.

13. Андрунакиевич A.B., Андрунакиевич В.А. 0 регулярных кольцах относительно правого идеала кольца //Мат.зам.- т.49,- * 3.1991.- с.3-11.

14. Каш Ф. Модули и кольца. М.: Мир.- 1981.

15. Monk Cr. 5. ft Cham eterizaban qf F<z.chana.£ Qi'np // pros. Arne* Math. 5üc. — - VTЗГ Afrjf.- p. $44-30-3.

и

-.у';.

Сдано в набор 27.09.94 г. Подписано в печать 28.05.94 г. Форм.бум. 60 х 84 I/I6. Печ.л. I. Тираж 100. Заказ 376.

Лаборатория оперативной полиграфии КГУ 420008 Казань, Ленина, 4/5