Конечная порожденность проективных модулей тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

ШКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

Р Г 6 од

САХАЕВ Исхак Идрисович

КОНЕЧНАЯ ПОРОЖДЕННОСТЬ ПРОЕКТИВНЫХ МОДУЛЕЙ

01.01.06 - математическая логика, алгебра, теория чисел

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ - 1994

Работа выполнена на кафедре алгебры Казанского университета

Официальные оппоненты:

БОКУТЬ Леонид Аркадьевич -

доктор физико-математических наук, профессор

БОН!ВИЧ Зенон Иванович -

доктор физико-математических наук, профессор

МИХАЛЕВ Александр Васильевич -

доктор физико-математических наук, профессор

Ведущая организация: Институт математики Академии наук

Республики Молдова

Защита состоится " cZLSL 1994 г. в did, час,

на заседании Специализированного совета Д 063.57.29 по зада диссертаций на соискание ученой степени доктора физико-мател тических наук при Санкт-Петербургском государственном униве! ситете.

Адрес совета: 198904 Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Библиотечная пл.2, математико-механический факультет.

Защита будет проходить по адресу: I9I0II Санкт-Петербу* Набережная реки Фонтанки д.27, 3-й этаж, зал 3117.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им.М.Горького Санкт-Петербургского университета: Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9.

Автореферат разослан S " Gnp&jSl 1994 г.

Ученый секретарь специализированного совета доцент

С.М.Ананьевскго

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теш. Гомологическая алгебра как самостоя -тельный раздел алгебры оформилась в 50-ые годы. В монографии А.Картана и С.Эйленберга были намечены перспективные направления ее развития.

В 1955 г. Ж.Ж.-П.Серром [XI была выдвинута гипотеза: Все ли проективные модули над кольцом многочленов от конечного числа коммутирующих переменных над полем являются свободными. Эта гипотеза и программа в области гомологической классификации колец, выдвинутая в 1961 г. Л.А.Скорняковым [з], определили основные направления исследований в гомологической алгебре..

Основная цель этой программы - исследоватькаким образом свойства категорий модулей над кольцом отражаются на свойствах замого кольца. В этой классификации важнейшая роль отводилась звободным, проективным, инъективным, плоским, конечно-связанным I полусвободным модулям.

За прошедший период усилиями ряда отечественных и зарубеж-шх математиков гипотеза Ж.Ж.-П.Серра была полностью решена. )кончательное положительное решение гипотезы дали одновременно 1.Суслин ["4^ и Д.Квиллен ¡V}.

Проблему свободности проективных модулей над некоторыми слассами колец изучали И.Капланский [б], Х.Басс [7], У.Хиноха-эа [в], Д.Лазар [V], В.А.Артамонов [ю]. Например, И.Каплан -:кий [б] установил, что всякий проективный модуль является [рямой суммой счетно порожденных модулей.

Все эти годы продолжались интенсивные исследования по про-'рамме Л.А.Скорнякова. Они продолжаются и в настоящее время.

Основополагающей в идейном аспекте для гомологической :лассификашш колец является следующая теорема Х.Басса [п^. [ля кольца & следующие условия эквивалентны:

( 0, ). й -савериенное справа кольцо. ( & X Всякий плоский пра вый й. -модуль является проективным. (С ^Прямой предел прое тивных. правых й. -модулей проективен. Кольцо й удовлет воряет условию минимальности для левых главных идеалов, 1.Б.Бьёрк [123 дал характеристику совершенных справа колец в терминах условия минимальности для конечно порожденных подмод; лей модуля, а Д.Джахан [13} в терминах, условия максимальности циклических подмодулей модуля.

Квази^Р°бвниусово кольцо исследовал К.Фейс и устан вил эквивалентность оледушцих условий: ( Л ). й. является квази-фробениусовым кольцом. С 6 ). Всякий иньективный правый й модуль проективен. ( С ). Всякий очётно порожденный проективный правый Й. -модул иньективен.

Г.М.Бродский [15] охарактеризовал квазифробениусово коль й через кольцо эндоморфизмов вполне проективного (вполне иньективного) й -модуля.

(р

Х.Йенсен [1б] установил, что если ядро эпиморфизма Р— —* П—*0 , проективный модуль Р и плоский модуль П сч но порождены, то НеЪ^ проективен.

Целый ряд работ был посвящен вопросу проективности конеч но порожденных плоских модулей. С.Монт доказал, что над коммутативным кольцом проективность всех циклических плоских модулей влечёт проективность всех конечно порожденных плоских модулей. Зтоф' результат передоказал В.Васконселос [ш}. Автор [19] уотановид, что проективность всех циклических плос ких правых й -модулей эквивалентна стабилизации всякой пра во-регулярной возраставшей цепи главных правых идеалов коль ца й, .

С.Йовдруп {го], {21] и Г.В.Чирков [22] показали, что оективноеть всех циклических плоских правых -модулей не эчёт проективность всех конечно порожденных, плоских правых -модулей.

Д.Лазар £9] .изучая свойства проективных модулей, выдвинул здующую гипотезу:

2А. Если для проективного правого -модуля Р фактор ль Р/Р(Т(Й)конечно порожден, то й. -модуль Р конечно рожден. В случае коммутативного кольца справедливость этой ютезы доказана им самим.

-Х.^Засс [11^ установил, что если и Р^ конечно порож-чные проективные правые -модули и фактор модули Т^)

изоморфны, то модули £ и р^ изоморфны., 5ек £23J усилил этот результат, предполагая конечную порожден-¡ть только одного из модулей и Р^ ; с последним резуль-гом перекликается утверждение §.Сандомирского [¿^ о конеч-! порожденности проективных правых идеалов кольца /2 с нуле-1 сингулярным идеалом ?(72} . М.Валетт [¿з] и C.Йoндpyпj2бJ :азали, что над

Р7 -кольцом гипотеза Д.1азара решается

[ожительно.

Изучая вопрос о проективности конечно порожденных плоских ;улей автор и Г.Чиркоа выдвинули гипотезу:

2Б. Всякий конечно порожденный плоский правый -модуль ; полулокальным кольцом проекгивен.

Справедливость этой гипотезы в случав полулокального кольца динственным примитивным идеалом доказана ими самими ,

случае коммутативного кольца В.Васконселом £2^] и С.Звдо

о].

Цель работы - решение сформулированных выше двух гипотез. Установление их взаимосвязи, разработка необходимых и достаточных условий для кольца , при которых эти две гипотезы (Д.Лазара и упомянутая гипотеза автора с Г.В.Чирковым) решаются положительно; конструкция классов колец, для которых они решаются отрицательно; исследование конечной, порожден-ности проективных модулей над некоторыми типами колец.

Основные методы. Для доказательства основных результатов используются методы: теории колец и крлец с П -членным слабым алгоритмом, локализации и универсальных расдирэний ассоциативных колец. Во.второй главе работы разработан способ редукции соотношений между элементами кольца, определенными исследуемыми проективными модулями.

В третьей главе развита техника исследования проективных модулей над РХ -кольцами, которая опирается на наличие стандартного тождества. Результаты четвертой главы опираются на конечность ранга группы Гротевдика категории конечно порожденных проективных модулей над полулокальным кольцом, на метод локализации В.Н.Герасимова.

В исследованиях пятой главы используется слабое ^^¿Г* условие Грагендика.

Апробация. Результаты работы докладывались на научных семинарах кафедры алгебры и итоговых научных конференциях Казанского университета, кафедр алгебры Московского и Санкт-Петербургского университетов, отдела теории.колец Института математики СО РАН, отдела теории кодец и модулей Института математики с ВЦ АН Молдовы, на Международной конференции по алгебре, посвященной.памяти А.И.Мальцева, на Международной конференции по алгебре, посвященной памяти А.И.Ширшова, на

НУ - XDí Всесоюзных алгебраических конференциях, на Всесоюзных ;оллоквиумах и школах по алгебре.

Совместный результат В.Н.Герасимова и автора foy] вошел i "Итоги науки и техники. Соверемнные проблемы математики" fa].

Ice основные результаты диссертации опубликованы в статьях[ífX] — ■ ¡5áj . Из совместных работ с'В.Н.Герасимовым [w] и Г.ВЛир-;овым [i<jf) , в диссертацию вошли результаты, полученные гачно автород.

Объем и структура диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, разбитых на 13 параграфов, списка [итературы, насчитывающего ИЗ. наименований. Общий объем-работы • 226 страниц.

Содержание работы

Всюду кольца ассоциативные с единицей, модули над ними, унитарные, J(R)-радикал Джекобе она, /{^-кольцо всех /гх/г-[атриц кольца R. , Ai-<Uf э Ч ау,^^ -правый R. - модуль, трощенный ^ П.' элементами (т.е. П - порож-

(внный правый Р -модуль). Р° и Я^/г^проективный правый О. -модуль Р , для которого фактор модуль Pf PtTCR.)сопт-¡етственно конечно порожден и /2, -порожден.

3 главе I §§ I.I - 1.3 носят' подготовительный характер.

Пусть р~ 3/г > -свободный правый —модуль

¡ базой ¿XxjXhj-s Хгг- • Р(-4?гГ-Am-tl'-J™) е°ть подмодуль iравого R. -модуля Р , равный РСЛуп)— ^^x/nj

и строка C4tn}U*ny'j ^п/п) ^CXtjXjíj '' '

.W-4}n€~Rh и С»I-JA"-').

[уальным образом определяется левый аналог P(Jh7)~~4}r)'&nt+í). ¡роективный правый -модуль Р , изоморфный -модула РС-Л^'-Лгп-ьх'Лт) называется Д. -модулем типа

Положим PCEA^PÍfeJmv'Jhnl .где E^eR^, £ -обратим, &4 ■

Теорема I.I.I. Правый fi -модуль Р(Ап=-Дгп+г;-4}п~) является чистым.и проективным подмодулем свободного правого f¿ -модуля р.

Теорема 1,1.2. Правый f¿ -модуль Р) конечно порожден тогда и только тогда, когда -¿Нп'-Ят*!

(У tnj fti' ^ ) для некоторого Cj1 .

Теорема I.I.4. Пусть П. -натуральное число, -кольцо, тогда следующие условия эквивалентны: С a. X Конечно порожден всякий проективный правый ^ -модуль типа Jh, 6 Qn )

С é X Всякий П. -порожденный плоский правый £ -модуль проек-тивен.

Следующая теорема характеризует"хорошее поведение" модулей типа Р(сЦул^Ан)+í ) относительно нильпотентного идеалг

Теорема I.I.I3. Пусть ГЪ -натуральное число, Ol, -ниль-потентный идеал кольца Q , Тогда следующие усло-

вия эквивалентны:

С d ),Конечно порожден всякий проективный правый R. -модуль" типа - P(Jhrr -Ятп-Лп) .где Ob V ' h

С б ), Конечно порожден всякий проективный правый J^ -модуль типа РСДг^Щт-ыЩь) .W Q^ ZjSj- ).

В § 1.2 находится критерий конечной порожденности проективных правых модулей типа PC-J/j^Jbnn'Ar^» являющийся обобщением критерия совершенности справа кольца.

Определение 1.2Л. Убывающая цепь

М.±Ма2 Мъ ■ (1.2.1)

ЖвЧНО порожденных подмодулей э ->

)авого -модуля -¿С называется цепью типа (1.2.3), если ■рока

последовательность -матриц В/г, )

1д кольцом удовлетворяет условию: существует число к. 1кое, что

Теорема 1.2.3. Для кольца следующие условия зквива-знтны:

О, X Всякий проективный левый -модуль типа Р^тГ'^Щ'-^т^х) онечно порожден.

£ ). Для любого правого О, -модулявсякая убывающая цепь

гипа (1.2.3) его конечно порожденных подмодулей стабилизируется.

Применительно к области целостности справедлив более сла-ый "обобщенный критерий Басса".

Теорема 1.2.4. Для области целостности следующие усло-ия эквивалентны:

О, X Всякая убывающая цепь типа (1.2.3)

онечно порожденных правых идеалов (tn~lJXj•.) кольца О, табилизируется.

& X Всякий проективный левый /о -модуль типа юнечно порожден.

В § 1.3 в качестве приложения модулей Р(-4тгг) оказывается конечная порожденность проективных модулей этого

типа над некоторыми известными кольцами.

Теорема 1.3.2. Пусть /2. -натуральное число, -под-кольцо, ОЬ -идеал кольца °фОЬ , /1С71 — О.

Если всякий проективный правый д -модуль типа конечно порожден, где А^^ »то

конечно порожден всякий проективный правый й- -модуль типа ) .где ).

3 качестве иллюстрации этой теоремы с её помощью обобщаем

результаты В.Васконселос [¿^ , С.Йонцруп ] . ^

Теорема 1.3.3. Пусть П, -натуральное число, Р -кольцо, -кольцо многочленов над алфавитом ^ — с коэффициентами из кольца . Ь'сли конечно порожден всякий проективный правый /2 -модуль типа .где

@гг } «т0 конечно порожден всякий проективный

правый -модуль типа Л-щ ) • г«е Р^

Теорема 1.3.Ч. Пусть -алгебраическая алгебра над полем . Тогда следующие условия эквивалентны;

(1) Конечно порожден всякий проективный правый Р -модуль типа

■ Ф») .где а^е О.(*г>- )

(2) Конечно порожден всякий проективный правый -модуль типа СIх) - С2') ^евые аналоги условий (I) - (2).

>

Показывается, что при тензорном умножении колец модули типа веДУт са<5я "плохо". Строится кольцо над

которым все проективные правые /С -модули типа конечно порождены, однако над алгеброй = ( -поле

рациональных чисел) существует не конечно.порожденный правый ^ -модуль типа Р(£,г>- , где £ 5

- II -

Теорема 1.4.1. Пусть -поле, -алгебра /?— К*\3Ztj.)

е,у (Г¿Vе(Х+У)■£ -= £. СХ+ьО > , У^ СУй) , £ = с^

- Л*/г-матрицы. Тогда полугруппа ненулевых элементов /2. вл°-жима в группу, а сама алгебра /2. не вложима в тело.

В доказательстве этой теоремы существенно используется правый -модуль РС^- -О-

Отметим, алгебра /2. так же как и примеры Л-.А.£окутя [Э1] , А.Клейна [3£] , А.Боутелла и Р.Джонсона [ЗУ] отрицательно решают проблему А.Й.Мальцева, вложимо ли кольцо без делителей нуля в тело, если его полугруппа ненулевых элементов вложима в группу. Г3£.~].

В § 2.1 устанавливается ряд свойств проективных правых /2 -модулей типа .

Лемма 2.1.1. Всякий проективный правый -модуль типа- Р счётно порожден.

Заметим, что С.Йондруп [2бJ показал, что эти модули вкладываются в конечно- порожденный свободный модуль.

Теорема 2.1.3. Если П конечно порожденный плоский Р -троективный правые -модули, факт орм оду ли П/ПСГ(&}тл Р/Р-ЗТ&) изоморфны, то /2 -модули п И р изоморфны. Из этой теоремы легко следует результат И.Бека ( .теорема

5). Для модулей типа Р имеет место редукционный критерий его конечной порожденности.

Теорема 2.1.8. Пусть Р -проективный правый /2 -модуль типа Р°. Тогда существует такой правый -модуль Р*" типа

РС4ь= -Лгп+й-Л») . где е Я П. С П) = Я ; < •• ,

что фактор модули Р/Р-ТЩ и Р*~/Р^Сй-^ изоморфны и кпнеч»

ная порожденность одного из них влечёт конечную порожденность другого.

Теорема 2.1.9. Пусть Р -проективный правый -модуль типа Р° , 'РХР) -множество всех идеалов ОТ. кольца Р таких, что фактор модуль Р/Р-СС*" -конечно порожден. /2 -модуль Р конечно порожден тогда и только тогда, когда пересечение Р) ОС*' — <р

Из этой теоремы, как следствие, вытекают результаты С.Йондрупа £26^ и Дж.Валетта [25^ о конечной порожденности проективных модулей типа Р°. Пусть

-идеал кольца Ас . Определим специальную трансфинитную степень идеала Х-• Положим

1. [¿М] Я- .если ординал # -

2. Л> ,если ординал (и) является предельным. Определение 2.1.1. Идеал Х- кольца О. назовём слабо

/-^-коммутативным, если для любых ГЪ элементов ¿(1, ¿¿^ /'^¿/^ идеала имеет место соотношение

где ¿Г^-подстановка ой степени и ^

Т еорема 2.1.13. Если Р -проективный правый -модуль '

типа Р° и для некоторого слабо П.—коммутативного идеала фактор модуль Р/Р'%- -конечно порожден, то А2.-модуль Р конечно порожден.

Из этой теоремы вытекает результат Д.Лазара .предло-

жение 5).

Теорема 2.1.16. Если Р -проективный правый ^-модуль типа Р° , фактор модуль Р/Р-ОЪ- конечно порожден, где

оь-

идеал кольца й, и для некоторого ординала СО О^^—О то Р -модуль Р конечно порожден.

Обозначим через соответствен-

но категорию всех проективных правых /2 -модулей типа Р°(П-) , всех П. -порожденных проективных правых /2 -модулей и всех плоских правых Я. -модулей типа П°(п.) , а через НоСтп)) и КоСП°Р.(П-)) группы Грогендика соответственно выше приведенных категорий.

Пусть £1= Р/КЯ) ) и}'' Й. -* естественный

гомоморфизм колец, тогда существует гомоморфизм

Ко (А)-5» И о (Ря (п)\ где А одна из категорий

Р°Щ РР(п) И П°р(а), причём, со, (См])= (см. [35*7 1, М. модуль из категории А . Положим ТЮШ*

Теперь мы приведём полную формулировку основной теоремы.

Теорема 2.2.5. Пусть П. -натуральное число, Й. -кольцо.

Тогда для кольца Й; следующие условия эквивалентны: С 1 X Категории и РР(П) совпадают.

( я X группы Ко (Р°Ш) И ко (РР(п)) равны. ( 3 ). Всякая стабилизирующаяся по модулю радикала Э^СЙ^) взрастающая цепь правых главных идеалов кольца Ргг.

ЛгЯп. ^ -ЬРгг £ ^ Лп"/?^ £ • •

где элементы ^^ кольца удовлетворяют условию

■Лт~-Лтп-ьг'-Ят ^стабилизируется.

С V ).Для любых элементов , £. кольца ^ таких, что

1- 6- З'СРп.) и возрастающая цепь правых

главных идеалов кольца

Л-ЕГ1.^^ ети-вп. ^ -ъ^я. ""

стабилизируется.

С 5")Для любых элементов Л , £ кольца Рп таких, что

1-2. 6- , А^&А, имеет место равенство

С Для любых элементов ^ , £ кольца ^ таких, что

, имеет место равенство

(6). Всякая стабилизирующаяся по модулю радикала убывающая цепь правых главных идеалов кольца

где элементы кольца удовлетворяют условию

В/Пч-1~ Вт-¡2 т-г2 - ) , стабилизируется.

(7). Группы ЩП^Щ)* Ы(Р®(п7) равны.

(8). Категории П°Й.Сп) и Р/2 (п) совпадают. (2 ) - ( Левые аналоги условий ( Л. ) - С Ь ).

В связи с теоремой 2.2.5 отметим, что при положительном редении гипотезы проективность конечно порожденных плоских

^ -модулей типа П анонсировал С.Йондруп /2'б7 .

Из теоремы 2.2.5 вытекает,.что критерии конечной порож-денности проективных /? -модулей типа. Р лево-право симметричны, Теорема 2.3.1. Пусть 01 идеал кольца /? , 01^ и п.о идеалу можно поднимать идемпотенгные элементы кольца. Тогда конечно порожден всякий проективный правый Р -модуль Р , для которого фактор модуль Р/Р-01 - /2 -породен.

Теорема 2.3Л. Пусть 0. -кольцо многочленов над кольцом Р от алфавита У— »тогда всякий проективный правый

Р -модуль типа Р° конечно порожден.

Теорема 2.3.6. Пусть К -поле, ¡<! -алгебра Р алгебраичйа над полем К . Тогда всякий проективный правый Р -модуль типа Р° конечно порожден.

В главе .3 изучается вопрос о конечной порожденности проективных модулей типа т^ ^ типа Р над

РГ

-кольцами.

Теорема 3.1.1. Пусть Р ~ ^гь С™^1, Яу-)1 РХ -кольцо, элементы удовлетворяют услояи.ш

Тогда существуют такие элементы с1щ кольца , что

РСат-йт^-ат')^ р(о1т- с1т+тс(т ).

Теорема 3.1.2. Пусть' - РТ -кольцо, п. -натуральное число. Тогда следующие условия эквивалентны:

(1). Конечно порожден всякий проективный правый й. -модуль -типа .ще = 1>-V"

(2). Конечно порожден всякий проективный левый -модуль типа Р(Лт--$7г>-4тп+1),гъ.ъ Лтп{г@п С17)• • ■ )•

Определение 3.1.1. Пусть правый

/г

-модуль,

-последовательность ГЬ -порожденных его подмодулей. Модуль^: (-/4). Удовлетворяет условию ^ССЗп .если стабилизируется всякая возрастающая цепь его подмодулей

Мг ^¿Г^е -- « ^ Мт £ • ' • ,

для которых строка , _ , , 7 , ,

) Л чЗДЛ),

С £>)• Удов

-тетворяет условию

.если стабилизируется

всякая убывающая цепь его подмодулей для которых строка

и^-Л^^ ) с:

Теорема 3.1.5. Если £ = 2: 1 Иг, «А/" > 7 РХ-кольцо, то всякий проективный правый -модуль типа

^ (3.1.2)

) конечно п орожден. Теорема 3.1.6. Пусть /?" -коммутативная область целостнос-

/Ч [ Л

ти. ¿'ели 01 есть I -идеал кольца Р , = £ < У> кольцо многочленов от алфавита на5 кг>дьчпм ^ =

= 0.^01 -фактор кольцо, то всякий проективный правый Р -модуль типа конечно порожден.

Теорема 3.2.1. Пусть £ - РТ -кольцо, Г1 -натуральное число. Тогда следующие условия эквивалентны:

(1). Кольцо Р удовлетворяет условию с дополнительным ограничением к условию (3.1.1), а именно -Я^-Лт

(2). Конечно порожден всякий проективный правый й. -модуль типе

РСАп^-Лт+1.-4ъ ) .где Ст~г,ХГ'

Далее, в § 3.2, рассматривая коммутативное кольцо как РХ-кольцо, используя модули типа Р (Аъ-Лт-Ъ'-Лт^ даётся новое доказательство теоремы С.^онг о проективности конечно порожденных плоских Р. -модулей.

Теорема 3.2.5. Пусть П -натуральное чисяо,/£ - РХ-кольцо, Р £ _Д^ , П Н*-прямое произведение алгебраичес ки замкнутых полей

Тогда следующие условия эквивалентны:

(1). Правый К -модуль

А. удовлетворяет условию

(2). Конечно порожден всякий проективный правый Р -мпдудь типа Р&пгЛп+М^гъе Ат£ £п ( $.>"-) ■

(3). Правый Р -модуль Л-а удовлетворяет условию

- 17 -

Теорема 3.2.6. Пусть О- -группа, к -поле, групповая алгеб-I - РТ - алгебра. Тогда следующие условия эквивалентны:

) Конечно порожден всякий проективный правый /¿(г--модуль типа

О-т+г <2>п ) .где <Эуп <г к? &- (т = ^ ^ • - } !) Конечно порожден всякий проективный правый К(г-модуль типа РСЯъ-Ат+т.-Ат).

Теорема 3.2.7. Если -идеал кольца , - Р_Г" ->льцо и для проективного правого О. -модуля типа Р0 1КТОр модуль Р/Р.01 конечно порожден, то 1-е -модуль г. ко-¡чно порожден.

Утверждения Дж.Валетта ¡25] и С.Йондрупа [26^ о конечной »рожденности проективных модулей типа Р" над Р1-кольцами явля-:ся частным случаем теоремы 3.2.7.

В заключении § 3.2 строится РХ -алгебра И_ , над кото-зй конечно порождены все проективные правые Р^ -модули типа РСвт^^т-* * •<?*>), где а^б О. (М-^З.,-- ) однако, /ществует не конечно порожденный проективный правый /2. -модуль

[■ипа Р(-4*Г-4т+1--4гп),где -А, 6/?„ > ).

В главе 4 изучается вопрос о конечно;; порожденности роекгивных модулей над полулокальными кольцами.

Лемма 4.1.1. Над полулокальным кольцом всякий проективный равый модуль типа РОЬп~Лы-ъ-Лт *) является модулем типа

Р°.

Яз следующей теоремы вытекает, что проективные модули типа Р° над полулокальным кольцом "жестко" связаны между собой.

Теорема 4.1.3. Пусть /2 -полулокальное кольцо. Тогда существуют число Г1 и такод правый Р -модуль типа .где

, € Т(0.п.) > конечная порожденнос'ть которого влечёт конечную порожденность всех проективных правых Р -модулей типа

. Успешно примененное П.Коном для изучения % -FF-колец понятие комаксимальных элементов оказалось полезным и для исследования конечной порожденности проективных модулей.

Теорема 4.1,3. Пусть R. -полулокальное кольцо. Тогда следующие условия эквивалентны:

(I).Конечно порожден всякий проективный правый PL -модуль типа Qtn+i'Qm} .где Q^efZ Cäi ) •

(2). Для любых элементов *Z. , £ из Р. таких, что обратим, t.s'= имеет место равенство *г. —

(3) Если, Ч" изR. , . то

существует такой элемент кольца ,что i'ti^O и

Обозначим через

? Га (7л = 2-кольцо, по-

рожденное. множеством элементов Cto—^i )>

Теорема 4.1.5. Пусть -полулокальное кольцо. Тогда проективный правый /2.-модуль типа PC^^-^nj-n'-Jjnj конечно порожден тогда и только тогда, когда кольцо т? -^-i^-yU

является .PjT-кольцам.

В качестве приложения теоремы 4.1.5 приводится новое доказательство утверждений С.Эндо ([3uJ .теорема 2), З.Васкон-селос С[183 .теорема 2.1).

В § 4.2 построен контрпример к гипотезе Д.Лазара, завершающий её решение.

Теорема 4.1.2. Существует проективно свободная универсальная алгебра

т,

для которой

= z, ко(р*т(п)) t Lepren)).

Эта теорема обобщает результат совместной работы В.Н.Герасимова и автора ¡J/Ц] .

- 19 -

В главе 5 изучаются модули и крльца со слабим условием Грогендика £3'?) .

Определение 5ЛЛ. Правый к -модуль Л удовлетворяет с лабому условию относительно подмодуля JY , если для

любого направленного вниз множества подмодулей JVp

модуля , удовлетворяющих условию -JYp-ЬJU. выполнено равенство

Г) SYp + JY~-LL.

Теорема 5.1.3. Пусть 'М. правый -модуль. Тогда (<2), Ее ли модуль М. удовлетворяет слабому условию

относительно любого его подмодуля

JV ,то л будет модулем с

дополнениями.

( €). Если кроме того -модуль проективен, то он будет полусовершенным.

(С).Если М-Р. ,то -полусовераенное кольцо.

'Следствие 5.1.4. Если Р -проективный правый -модуль типа Р°и удовлетворяет' слабому условию относительно

подмодуля

,то £ -модуль Р конечно порожден.

Определение 5.2.I-. Кольцо удовлетворяет правому

слабому /?-./?65"*условию относительно правого идеала кольца Р. ,если для любого направленного вниз множества р

подмодулей Мр-Р(Хр ) свободного правого /¿-модуля р ранга п. .где XpeQn , Cm<yri Olrt)

(у fi) íf С jj , подмодуль ¿l — Xlfi-t- F-ÚL удовлетворяет слабому условию относительно подмодуля

POL.

Аналогично вводится левый аналог. Если Oh идеал кольца R. , удовлетворяет правому и левому слабому M-JH55 условию относительно идеала 0Z. , то Р. называется кольцом со слабым П--Лв5 условием относительно идеала

0~L.

Теорема 5.2.1. Если кольцо Й удовлетворяет слабому ловию относительно его идеала ОС, то идемпотентные элементы по модулю идеала 01/^ мсмсно поднимать.

Теорема 5.2.2. Если кольцо /г удовлетворяет правому -слабому условию относительно радикала <^(/2) ,то идем-

потентные элементы по модулю идеала мощно поднимать

и всякий проективный правый Р -модуль Р типа Р°СГ1) конечно порожден.

Наличие для кольца й контекста двойственности согласно Б. Ософской выполнимость условия согласно Г.М.

Бродскому [152 и полного дуализма согласно Ф.Каш/ ¡32] влекут полусовершенность кольца .

Теорема 5.2.3. Если кольцо й удовлетворяет слабому

условию относительно любого правого идеала <С7 , то й^ является полусоверлейным кольцом. Если кольцо является коммутативным, то верно и-обратное.

Литература

1. Картан А., Эйленберг С. Гомологическая алгебра.-'М.-М,- 1961.

2. Зел^г ¿¡-¿¡-P. Feu sceaux

dohtneivh ¡(Ann- МоМг-Sl.-p.lSÏ-ЛМ-i.

3. Скорняков JI. A. Гомологическая классификация колец. //Груды Всеаоюзн. матем. съезда,- 1962.

Суслин А. А. Проективные модули над кольцом многочленов свободны.// ДАН CCCP.-I976.-T.229.-i 5.- С.Ю63-1066.

-ZI -

5. GluMen. fr. Pi oje. cf t.ife m ocia Ce s otS-e^ ßo {^jnomiaß. tings. // Thven£. JJaJA .

тт. 36. 164 -1И.

6. JCcLpfansfy zf. Ptojeafive Uno dales.

/¡Лпгг. f>. i+t-Jtt.

7. Bass H. Big proJe<t-h'i/e m /r«e.

HXUinclt ¿f. Ma&.-im.-irA-fa-pM-Ji.

qe fffnokaJicL- У. ßtojec-five щс>с(ч£ес zjJea-кву noe-fae-^arL . fl¿f. MaMi. Soxi, ¿fapctn .

9. Zacate/ S-, Liéeh-íe cUs &tcfi JUadn-ees píojective./f^. ЧЗЧ-Ч&

IU. Артамонов В.А. Проективные модули над универсальной обвертывающей алгеброй //Лзв. АШССР. Математика.- I985.-T.25. -в 3.- С Л 79-191.

11. в SS Ц, FiníUc ¡\orf\o Co^iccJ, ctim-zn %7<т. and h.amo^oß!.(taJl gjen&ba&zG-fyirn of seml-jUt-maty Jbn^, Д(Ик-$схг-13Ь0гЗ$-гр.Ш~Г>

12. 8jöi6: flings. mini mum,* CavcCiHcm cm. fhJin eipaJ¿ idectés //^ Qeine -Лп-двнэ. HM-Í369 - 236. -p.

13. ¿fokan. (jú¿4A -¡-he faint met <Ш}. cUficTL -po'z p^in^ipaJL Yi^ki icf^eaHs ha№ 4he mctxi

mecm ('¿mcUiim füt ffrintipoA ideañ. !¡ ДоЛ.

p. 1C&-11Z .

- 22 -

14. Pcli-fk к. iQjngs ùûï-ffz ascending concU

-hc cm cm ct/тп с hU Cou-io^z s. //jYcLgOifCL Jtü4b.¿f. -IS 66.-2%-.- p. 1Ч-3-233-.

15. Бродский Г.M. Аннуляторные условия в кольцах эндоморфизмов модулей //Матем. заметки.- 1974.-Т.16.- № б,- С.933-942.

16. ¿Jensen ohï. af- -ficuér <bncL patfeetn/e то ¿ul ei. Ц Canaci.^, Дан. • -19á brlbr/j),ЗЧЗ'З1!

17. Mound S. Srsmt ïemaïliks an Рг-ttCngs fntht ^.an-H.UPatif.^ MeHL -Ш- /MY.-,р.ЖН- ¿St.

is. Vasecricfks W-V. ûn -ftrzï+e 4€oJt mtnLuê-es./CTkctns, Jhn-e^^ . foc.— -IS&e.- V. 13я, -p. Sbr-ttst •

19. Сахаев Й.И. 0- проективности конечно порожденных плоских модулей //Сиб.матем.журн,- 1965.6.- С.569-573.

20. ^aridhtxp S, Оч-fïruiety -f-fax motlu&s.// koten haifcs Unii/Otsi-t&i M ait m ah'sßu JTnsH-hc-f: Pie/Tu ni s&ues.-fUS- tf.3~ p.l-ll.

- 21. ¿¡(mcihup S. On /г'/ц-feC^c

mMLes. ¡IМоЛ. Sccmdrim.-Xfr-p-íop-iií

22. Чирков Г.В., Лево полусовершенные кольца, не являющиеся лево совершенными //Изв.вузов.Математика,- 1971.-й 6.- С.102-109,

23. 3. Pr&¿e<?+iife and -free mwCcUi-es

2-.-1Я—rt-3.-p. Z31-Â3 4.

24. Son domï ï s F, /ion SinjaCaJ^

Jf Pw.Jfrn'vr .Math. L-Î3- p.-ít^-лза

25. VCl Mit- JU.%. Su* &S pbJD—

¿<>clii./f.C.Q,Jhad. -Se. PaXcs.-13Ur4.nz-settej. îtî-iZb.

26. ^стЫЛир 5, Pïojeci-cve tnoeluÙs..//' MoHr

ScQndi.- рл±4--хз.±.

2?. Vasunde&s W-V, On /J^q/^/rVe mavUt— e-ts, en -finUe. í¡ ine^ . 'ЛСа+Ь":

Son — — SU ■ —

p* о — Hi 3 .

28. $<9Qc(hUf> S- 6Vi *iïngS bJi-lfi -fihUtZg

gîf-f&A tnorclu^-es. ¡гъ&^-ес+хие.Н Va??, pettë. S&e. JXaA-, Tnsi- Jtahccs Unir. -1SÏO.

- 2 33-3 ST-:

29. Vas ¿cruse&S Vv.V» Р-^таЛ-к? crn cfes-cen¿ modti€es Ц &cnvz, ~XndСаъ.. -lla^k.. $trct-13*o.— 5i.-~ p. ЛГ-Зо

so. Endo S. On rnoci^-в-е^ (nf-esz- <?crm-

mcL-hx+ioe. ttVt^s. M.aMt> Son. ¿jetean.

- 1S6Z>>-V. 14. ЫЧ-

31. Бокуть Л.A. О вложении колец в тело // ДАН СССР. - 196--Г75. -Í 4. - С. 755 - 758.

32. ¡се&п Л. Pings псгпегг)^Ыс{а^ ¿V

^teJÍÁS. cucí-h- tn uXtipùcet{ïU-e. semífltoups em-í^d-datée tn poups./J^ i.-p. loo-

33. Boui-t-eM JfОг-г. CL ¿¡a-es-h'cn oh Mol-аелГ.Ц¿f.Jtegtéiow4-.-p lS.6- 133.

34. ¿ohnSc-n rz. E-j(é-e*4-ecC dcma¿>

// Ptoc. Jhnvi. Ucùfo - $сс-1$Ь9,- âî- Д Л11- л±5

Э£, Милнор Д. Введение в алгебраическую К-теорию.- М. : Мир.- 1974. .

36, Кон П.М. Свободные кольца и их связи.- М.: Мир.- 1975.

ЗЪ Гротендик А. О некоторых вопросах гомологической алгебры.- M.: .iflL,v-I96I.

Каш Модули и кольца.- М.: Мир.- 1981. 35. Osofricg B.L. Jj- ^епе^^-^аЛ-iem ef t^aasi-? го êen i и с Vnos.Jf¿J. ïi.-й S 6 ír Ч.-р. Ш-3&

Нй- Бокуть Л.А., Львов И.В., Харченко В.К. Некоммутативные кольца //Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Алгебра- 2.- T.I8.- M.- 1988.

Публикации автора по теме диссертации

4Í. Сахаев И:И., Чирков Г.В. О проективности конечно порожденных плоских модулей //Изв.вузов.Математика,- 1972.-I,- С.85-93.

4JL. Сахаев И.И., Чирков Г.В. Проективность конечно порожденных плоских модулей над полулокальным кольцом с единственным примитивным идеалом //Изв. вузов. Математика,- I970r^.tiÇIûO. *f3. Сахаев И.И. О конечной порожденности проективных мо-

- 25 -

X

дулей //Изв. вузов.Математика.- 1977.-^ 9.- С.69-79.

ЧЧ. Герасимов В.Н., Сахаев И. Л. Контрпример к дв;м гипотезам о проективных, и плоских модулях //Сиб.Матем.журн,- Х?34,-Т.24.-й б.- С.31-35.

Сахаев II.И. О группе для. полулокальных колец

46, Сахаев Я.И. -кольца и гипотеза Лазара //.

ЛасЬ'г. - .

Ч.Ъ Сахаев Л.И. Соверленные кольца ¿асса и их обобщение. //Абелевы группы и'модули.- Томск,- 1991.-$ 10,- С.6-23.

Сахаев И.Л. О кольцах, над которыми всякий конечно порожденный плоский модуль проективен //Изв. вузов.Математика.-

- 1969.-* 9.- С.65-73.

49. Сахаев Л.И.' 0 конечной порожденности проективных модулей над полулока.тьными кольцами //Матем.заметки.- 1985.- Т.37.-г.- С.152-161.

5Ь. Сахаев И. Л. О поднятии конечной порожденности проектив-* ного модуля по модулю его радикала //Матем.заметки.- 1991.- 49, -В 3.- С.97-107.

Сахаев И.Л. О некоторых свойствах плоских модулей //Тезисы сообщ. ХУ Всесоюзн. конф.- Красноярск. 3-6 июля 1979.- С.134.

5%г. Сахаев И. И. О групповых кольцах с полиномиальным тсвдест-вом /Дезисы сообщ. Международной конф. памяти А.Л.и1ирлова.-

- Барнаул. 20-25 августа 1991.- С.105.

53. Сахаев Л.И. О конечной парожценности проективных модулей типа Р(/(ггг-Отп-ьз. '-4т) наД Р-Г-кольцами.//Тезисы сообщ. 1У Всесоюзн. школы "Алгебры Ли и их применение в математике и фи-зике'^ посвященной 80-лзгио со дня рождения проф. З.В.Морозова.

- Казань. 30 мая - 5 июня 1990.- С.41.

- 26 -

54. Сахаев И.И. Обобщение теоремы Басса // Тезисы сообщ. Сибирская школа по многообразиям алгебраических систем. - Барнаул. 1-5 июня 1988.- С.63-65.

55. Сахаев И.И. О конечной порожденности проективных модулей над кольцами с полиномиальными тождествами // Изв.вузов, Математика.- 1969.- № 8.- С.65-75.'