Алгебры Йонеды алгебр диэдрального типа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Введение

Глава 1. Резольвенты и сизигии

1.1. Формулировка основных результатов.

1.2. Диаграммный метод.

1.3. Серия £>(3/С).

1.4. Серия £(3.4)1.

Глава 2. Образующие и соотношения

2.1. Предварительные сведения.

2.2. Серия £>(3/С).

2.3. Серия £(3.4)1.

Гомологическая алгебра, возникшая в 1940-х гг. в алгебраической топологии, быстро нашла применения и в различных разделах алгебры. Классическими стали учебники А. Картана и С. Эйленберга [13] и С. Маклейна [15], не теряющие своей актуальности и до настоящего времени.

Важной областью, находящейся на стыке гомологической алгебры и теории представлений, является вопрос описания колец когомологий конечных групп. Один из самых известных и впечатляющих результатов в этой области — следующая теорема начала 1960-х гг.

Теорема 0.1. (Голод [10], Венков [6], Ивенс [42]) Пусть С — конечная группа, Я — нетерово коммутативное кольцо. Тогда кольцо когомологий Н*(С, Я) нетерово.

Из данной теоремы вытекает, в частности, что кольца когомологий конечных групп могут быть записаны в терминах порождающих элементов (взятых в конечном числе) и соотношений. Кольца когомологий групп исследовались различными авторами, и в этой области к настоящему моменту имеется множество результатов.

В 1980-х гг. понятия многообразия и сложности модуля, имеющих тесную связь с рядами Пуанкаре, также были успешно применены для решения данной задачи (см. монографию Д. Бенсона [25], а также работы Дж. Карлсона [30, 31], Д. Бенсона и Дж. Карлсона [27, 28], Дж. Альперина [18, 19], Дж. Альперина и Л. Ивенса [21, 22]). Кроме того, заслуживает упоминания диаграммный метод Д. Бенсона и Дж. Карлсона [28], берущий свое начало в работе Дж. Альперина [20]. Отметим также появление в 1970-х гг. теории М. Ауслендера и И. Рай-тен [23, 24], которая дала новый толчок развитию теории представлений.

Упомянутые выше методы (в числе других результатов) вошли в известные монографии Д. Бенсона [25, 26], А. Адема и Р. Милграма [17] (см. также библиографию в этих изданиях).

В 1980-х — начале 1990-х гг. К. Эрдманн в ряде работ [34, 36, 37, 38, 39] решила задачу классификации блоков групповых алгебр ручного типа представлений с точностью до Морита-эквивалентности, и систематизировала полученные результаты в монографии [40]. При этом был получен список базисных алгебр, каждая из которых определяется как алгебра путей некоторого колчана с соотношениями.

В настоящей диссертационной работе предлагается новый, унифицированный, подход к вычислению колец когомологий групповых алгебр ручного типа представлений. Так как известен полный список базисных алгебр, Морита-эквивалентных главным блокам групповых алгебр ручного типа, то возможно вычисление кольца когомологий Н*(С, К) группы С с использованием описания алгебры Йонеды соответствующей базисной алгебры, Морита-эквивалентной КС. Используя комбинаторные приемы и дальнейшую разработку упомянутого выше диаграммного метода Бенсона-Карлсона [28], мы вычисляем алгебры Йонеды алгебр двух серий из классификации К. Эрдманн (а именно, серий алгебр "диэдрального типа" с тремя классами изоморфизма простых модулей). При этом удается описать Ех^алгебры простых модулей над блоками ручного типа представлений с тремя (попарно неизоморфными) простыми модулями и диэдральной дефектной группой. В частности, мы получаем описание колец когомологий некоторых проективных специальных линейных и знакопеременных групп (ср. [17]).

Для того, чтобы сформулировать основные результаты диссертации, напомним понятия блоков, типа представлений, произведения Йонеды, а также приведем необходимые нам сведения из работ К. Эрдманн.

Пусть С — конечная группа, К — поле характеристики р. Групповая алгебра КС равна прямой сумме (двусторонне) неразложимых алгебр, КС = В\ф - • -фВт, и алгебры Д называются блоками алгебры КС. Эквивалентно, единица алгебры КС равна сумме центральных примитивных идемпотентов е;, и Д = КС ег. Если М — неразложимый (левый) КС-модуль, то М — е\Мф- • -фетоМ, и существует такой индекс г, что е,;М = М, и е,}М = 0 при ] ф %. В этом случае говорят, что модуль М принадлежит блоку Д. Таким образом, все простые и главные неразложимые КС-модули классифицируются по блокам.

Хорошо известно, что блок групповой алгебры является симметричной алгеброй и, в частности, квазифробениусовой {(^Р-) алгеброй. Если р делит порядок группы С, то блоки алгебры КС обычно не полупросты. Напомним, что если р не делит порядок группы С, то алгебра КС полупроста (теорема Машке).

Важную роль при изучении групповой алгебры КС играет силов-ская р-подгруппа группы С. Аналогично, для блока В определяется дефектная группа блока, т. е. минимальная подгруппа В группы С такая, что каждый (конечно порожденный левый) Б-модуль В-проективен (модуль М £>-проективен, если М изоморфен прямому слагаемому модуля КС®ко А для некоторого /^-модуля И). Дефектные группы блока образуют класс сопряженности р-подгрупп в С. Кроме того, если В — главный блок алгебры КС, т. е. блок, содержащий тривиальный КС-модуль К, то его дефектные группы совпадают с силовскими р-подгруппами С.

Для блока, рассматриваемого как К-алгебра, можно говорить о его типе представлений. В литературе имеется несколько определений типа представлений; мы будем следовать [26]. Пусть К — бесконечное поле, А — конечномерная К-алгебра. Мы говорим, что

1) Л имеет конечный тип представлений, если имеется конечное число классов изоморфизма неразложимых Л-модулей;

2) А имеет ручной тип представлений, если А не является алгеброй конечного типа представлений, и для любой размерности в, имеется конечный набор К-К [Т]-бимодулей (г = 1,. , п(|), свободных как правые /Г[Т]-бимодули, такой, что все, кроме конечного числа, неразложимые А-модули размерности в, имеют форму М{ ®к[т] М для некоторого г и некоторого неразложимого .?С[Т]-модуля М;

3) А имеет дикий тип представлений, если существует конечнопо-рожденный А-К{Х, У)-бимодуль М, свободный как правый К(Х,У)~ модуль, такой, что функтор М ®к(х,у) ~ из категории конечномерных левых К(Х, У)-модулей в категорию конечномерных левых Л-модулей сохраняет свойство неразложимости и классы изоморфизма (говоря неформально, для алгебры Л дикого типа задача о классификации неразложимых Л-модулей включает в себя "дикую" задачу о классификации пар матриц одновременным преобразованием сопряжения).

Хорошо известен следующий результат [11, 12, 32]: над алгебраически замкнутым полем К любая конечномерная ^-алгебра имеет конечный, ручной, или дикий тип представлений, и эти три случая взаимно исключительны.

В 1930-х — 1970-х гг. рядом авторов были получены критерии, когда групповая алгебра КС имеет конечный или ручной тип представлений (С — конечная группа, К — поле). Из теоремы Машке следует, что

КС — конечного типа, если К имеет характеристику 0, или характеристика К — простое число, не делящее порядок С. Д. Хигман [49] показал, что если сЬаг К = р, и р делит порядок (7, то КС имеет конечный тип представлений тогда и только тогда, когда силовская р-подгруппа группы С циклическая.

С. А. Кругляк [14] показал, что если скат К > 2, то групповая алгебра КС нециклической группы С имеет дикий тип представлений. Для р = 2, Ш. Бреннер [29] показала, что групповые алгебры К С всех 2-групп, за исключением циклических, диэдральных, полудиэдральных групп и обощенных групп кватернионов, имеют дикий тип (напомним, что диэдральные, полудиэдральные группы и обобщенные группы кватернионов определяются следующим образом, соответственно:

Ап = {дЛ- д2 = ь2"1 = 1 Лд = д^1), т ^ 1, (д, к : д2 = /г2'" = 1, кд = дк2™ 1~1), т > 3, Ят = (дЛ - д2 = к2™ \кд = дИ"1), т ^ 2).

В. М. Бондаренко [4] и С. Рингель [57] независимо показали, что групповые алгебры диэдральных 2-групп имеют ручной тип; и Ю. А. Дроздом и В. М. Бондаренко [5] (см. также [58]) было доказано, что групповые алгебры полудиэдральных групп и обобщенных групп кватернионов — ручные. (Достаточно полный обзор о типе представлений групповых алгебр можно найти в [52]). Описанные выше результаты относительно типа представлений групповых алгебр обобщаются на случай блоков.

Теорема 0.2. Пусть К — бесконечное поле. Рассмотрим групповую алгебру КС конечной группы С над полем характеристики р (или блок В алгебры КС). Пусть Б — силовская р-подгруппа группы (7 (или дефектная группа блока В). Тогда тип представлений алгебры

КС (или блока В)

1) конечный, если Б — циклическая;

2) ручной, если р = 2 и В — диэдральная, полудиэдральная группа или обобщенная группа кватернионов;

3) дикий, во всех остальных случаях.

Для сравнения, теорема Машке соответствует случаю И = (1).

Заметим, что блоки конечного типа, с теоретико-модулярной точки зрения, достаточно хорошо изучены (см. [44, 48, 50, 53, 54]).

Теперь мы приведем основные понятия К. Эрдманн, которые она использовала при классификации блоков ручного типа представлений с точностью до Морита-эквивалентности. В частности, для удобства классификации были введены понятия так называемых алгебр "диэ-дрального", "полудиэдрального" и "кватернионного" типов.

Определение 0.3. (Эрдманн [34, 40]) Мы говорим, что алгебра А является алгеброй диэдрального типа, если для нее выполнены следующие три условия.

1) А — симметричная, двусторонне неразложимая алгебра, имеющая один, два или три простых (попарно неизоморфных) модуля.

2) Стабильный АЯ-колчан Гв(А) алгебры А имеет следующую структуру:

2а) в Г.,(Л) имеется к — 1 3-трубок, где к — число простых модулей;

26) каждая другая компонента Г5(Л) — либо 1-трубка, либо непериодическая компонента, на которой (3 = 2 (если М — Л-модуль, то (3(М) — количество непроективных неразложимых слагаемых модуля Е из АД-последовательности 0 —у тМ М 0).

3) Матрица Картана алгебры А невырождена.

Алгебры диэдрального и кватернионного типов определяются аналогично (см. [36, 37, 40]).

Заметим, что в [40] К. Эрдманн приводит другое, более широкое определение алгебр диэдрального типа. Однако, как показывает следующая теорема, блоки, имеющие диэдральную дефектную группу, хорошо описываются при помощи данного определения, поэтому мы будем в дальнейшем пользоваться именно им. Заметим также, что в работе К. Эрдманн [41] для случая алгебр диэдрального типа доказано, что из остальных условий соответствующего понятия следует, что число (попарно неизоморфных) простых модулей не превосходит трех. Для кватернионного случая это доказано в [35], и полудиэдральный случай рассмотрен в [40].

Теорема 0.4. (Эрдманн [34, 40]) Любой блок с диэдральной дефектной группой является алгеброй диэдрального типа; всякая алгебра диэдрального типа имеет ручной тип представлений.

Аналогичный результат справедлив для алгебр полудиэдрального и кватернионного типов (см. [36, 37, 38, 39, 40]).

Для описания алгебр диэдрального типа с тремя простыми модулями, К. Эрдманн в работе [34] ввела четыре серии базисных алгебр, а именно, серии 1)(3/С), В(ЗА)\, В(ЗВ)г и ,0(ЗХ>)х (в обозначениях [40, рр. 294-297]), и каждая из алгебр этих серий была определена как алгебра путей некоторого колчана с соотношениями.

К. Эрдманн [34] показала, что алгебры указанных четырех серий являются алгебрами диэдрального типа, и, более того, представляют собой полный список базисных алгебр диэдрального типа с тремя простыми модулями. Следовательно, любая алгебра диэдрального типа с тремя простыми модулями Морита-эквивалентна одной из указанных алгебр.

Однако (см. [34]), алгебры только трех из этих четырех серий реализуются как блоки, а именно — алгебры серий 1)(3/С), 1)(ЗЛ)\ и 0(ЗВ)\ (точное утверждение см. в параграфе 1.1). Аналогичный результат формулируется для алгебр диэдрального типа с одним или двумя простыми модулями, а также для алгебр полудиэдрального и кватернионного типов. о

Теперь мы напомним понятие произведения Ионеды и его взаимосвязь с известным и-произведением в Н*(С, К).

Пусть А — произвольная конечномерная .К"-алгебра. Если М, N — А-модули, то любой элемент (р £ ЕхЬ™(М, А"), га ^ 1, может быть представлен точной последовательностью

О N ^ Хт ----> М 0.

На последовательностях такого вида вводится отношение эквивалентности, а также согласованная с ним операция сложения (см., например, [15]). Если

0 ----> N ^ 0 точная последовательность, представляющая элемент ф 6 Ех^А/", Ь), п ^ 1, то произведение Ионеды ф о (р определяется как элемент группы расширений Ех1]д'+"'(М, Ь), представленный точной последАо-вательностью

0 Ь Уп ----Ух Хт ----> Хг М 0.

Если же п = 0, то группа расширений Ех^А", Ь) = Нотл(А/", I/), и фор определяется как элемент ф*(ф) £ ЕхЬ™(М, Ь), где ф* : Ех^ (М, И) — Ех1д (М, I/) — гомоморфизм, индуцированный ф; аналогично определяется ф о (р при т = 0. Очевидно, такое произведение ассоциативно (корректность определения проверяется в [15]).

Если М = N = Ь, то на множестве £{М) = ф Ех^(М,М) с т^О помощью описанного произведения Ионеды вводится структура К-алгебры, и 8{М) естественным образом превращается в градуированную алгебру с единицей 1^(м) = ^м £ Нотд(М, М) = ЕхЬ°А(М, М). Мы будем называть эту алгебру ЕхЬ-алгеброй модуля М.

Пусть J(A) — радикал Джекобсона алгебры Л, Л = Л/7(Л) — соответствующая факторалгебра. Ех^алгебра £(А) модуля А называется алгеброй Йонеды алгебры А; будем обозначать ее через 3^(А).

Пусть теперь А = КС — групповая алгебра. Если М, М7, А и А' — КС-модули, то хорошо известно и-произведение и: Еу±%с(М, М') х Ех^с(А", А') ЕхЬ™+п(М ®ко К, М' ®кс А') и его взаимосвязь с произведением Йонеды: если ср £ Ех^с.(М, М'), фе Ех^с(А,А0,то

1р <8> 6 Ех^с(М ®кс А', М' ®ко А'), е Ех^(м ®ко А, М ®кс А'), и <ри = ® 1(1^,) О ([¿м ®ф) Е Ех^5п(М ®кс А, М' ®ка А') см., например, [15, 26]). В частности, если М — М' = N = А' = К, где К — тривиальный КС-модуль, то и-произведение в кольце когомологий Н*(С, К) = ф Ех^с(К, К) совпадает с произведением Йонеды.

В настоящей диссертационной работе мы вычисляем алгебры Йонеды алгебр серий 1)(3/С) и В(ЗЛ)\. Для серии В{В)\ это сделано А. И. Генераловым [9], и результат, касающийся серии 0(ЗХ>)х, был также получен А. И. Генераловым (соответствующая публикация подготовлена к печати в журнале "Алгебра и анализ"). Заметим, что Ех1> алгебры изучались, в частности, в работах [8, 46, 47, 56]. Чисто технические приемы вычисления произведения Йонеды можно найти также в [7, 51].

Поскольку алгебры Йонеды вычислены для всех алгебр диэдраль-ного типа с тремя простыми модулями, реализующихся как блоки, мы можем сформулировать ряд общих результатов относительно блоков с диэдральной дефектной группой и тремя простыми модулями.

Основные результаты диссертации — теоремы 1.1.2 и 1.1.3, которые описывают алгебры Йонеды алгебр серий 1)(3/С) и I) (3.4)1, соответственно, в терминах алгебр путей некоторых колчанов с соотношениями (см. параграф 1.1).

Отметим, что алгебры Йонеды алгебр всех трех серий /}(3/С), £)(ЗЛ)х (см. теоремы 1.1.2, 1.1.3) и 0(В)\ (см. [9]) являются конеч-нопорожденными градуированными ^-алгебрами, и каждая из этих алгебр порождена в степени не выше 3. Данный результат имеет прямую аналогию с теоремой Голода-Венкова-Ивенса, упомянутой выше. Заметим, что случай порожденности алгебры Йонеды в степени 1 рассмотрен И. Грином и Р. Мартинесом-Виллой [46]; А. И. Генералов [8] показал, что алгебры Йонеды полуцепных ф-Р'-алгебр порождены в степени не выше 2.

Кроме того, методы, использованные в диссертации при доказательстве теорем 1.1.2 и 1.1.3, позволяют предложить новый подход к вычислению колец когомологий. Так как для всех блоков ручного типа К. Эрдманн вычислила Морита-эквивалентные базисные алгебры, то становится возможным описать Ех^алгебры простых модулей над блоками, а также кольца когомологий групповых алгебр ручного типа. В настоящей диссертации это сделано для случая блоков с ди-эдральной дефектной подгруппой и тремя (попарно неизоморфными) простыми модулями; в частности, удается описать кольца когомологий проективных специальных линейных групп Р8Ь(2, д) (д нечетно), а также получить известные соответствующие результаты для знакопеременных групп А4, А5, Ау (см. следствие 1.1.8).

В настоящей диссертации мы распространяем диаграммный метод Бенсона-Карлсона [28] на случай произвольных конечномерных К-алгебр (см. параграф 1.2), а также предлагаем дальнейшую его разработку (параграфы 1.3, 1.4, 2.2, 2.3) для доказательства основных теорем 1.1.2, 1.1.3 и вытекающих из них следствий. Предложенный в диссертации подход позволяет, в частности, вычислять кольца когомологий групп единообразно, и практически автоматически, если хорошо известны представления соответствующей группы. Заметим также, что изложенный в диссертации метод вычисления алгебр Ио-неды алгебр путей колчанов с соотношениями применим не только к алгебрам из классификации К. Эрдманн. В частности, А. И. Генераловым [8] указанный метод был применен для вычисления алгебр Йонеды полуцепных ЦР-алгебр.

Результаты, выносимые на защиту диссертации:

1) Вычислены алгебры Йонеды алгебр серий D{3/С) и D(3A)i из классификации К. Эрдманн. Полученный результат завершает вопрос об описании алгебр Йонеды алгебр диэдрального типа с тремя простыми (попарно неизоморфными) модулями, и, в частности, алгебр, реализующихся как блоки групповых алгебр.

2) Предложен унифицированный метод вычисления колец когомо-логий групповых алгебр и Ext-алгебр простых модулей блоков ручного типа представлений с использованием алгебр Йонеды.

3) Получено описание Ext-алгебр простых модулей над блоками с диэдральной дефектной группой и тремя классами изоморфизма простых модулей.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1, 2, з].

Автор выражает сердечную признательность своему научному руководителю профессору А. И. Генералову за постановку задачи и постоянное внимание к работе.

1. Балашов О. И. Проективные резольвенты и алгебры Йонеды для одного класса диэдральных алгебр // Деп. ВИНИТИ № 1446-В99 от 07.05.99. 8 с.

2. Балашов О. И. Когомологии алгебр диэдрального типа: серия £>(3/С) // Деп. ВИНИТИ № 1260-В00 от 27.04.00. 16 с.

3. Балашов О.И., Генералов А.И. Алгебры Йонеды для одного класса диэдральных алгебр // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 1999. Вып. 3 (№15). С. 3-10.

4. Бондаренко в.м. Представления диэдральных групп над полем характеристики 2 // Мат. сборник. 1975. Т. 96. С. 63-74.

5. Бондаренко В.М., Дрозд Ю.А. Представленческий тип конечных групп // Зап. научн. семин. ЛОМИ. 1977. Т. 71. С. 24-41.

6. Венков Б. Б. Об алгебрах когомологий некоторых классифицирующих пространств // Доклады Акад. наук СССР. 1959. Т. 127 (№ 5). С. 943-944.

7. Гелъфанд С.И., Манин Ю.И. Гомологическая алгебра // Итоги науки и техники. Совр. пробл. матем. Фундам. направления. ВИНИТИ. 1989. Т. 38. С. 5-238.

8. Генералов А.И. Алгебры Йонеды полуцепных Q-F-алгебр // Зап. научн. семин. ПОМИ. 1999. Т. 265. С. 130-138.

9. Генералов А.И. Когомологии алгебр диэдрального типа, I // Зап. научн. семин. ПОМИ. 1999. Т. 265. С. 139-162.

10. Голод Е.С. О кольце когомологии конечной р-группы // Доклады Акад. наук СССР. 1959. Т. 125 (№4). С. 703-706.

11. Дрозд Ю.А. О ручных и диких матричных задачах //В сб.: Матричные задачи. Киев, 1977. С. 104-114.

12. Дрозд Ю.А. Ручные и дикие матричные задачи //В сб.: Представления и квадратичные формы. Киев, 1979. С. 39-74.

13. Картан А., Эйленберг С. Гомологическая алгебра. М.: ИЛ, 1960. 510 с.

14. Кругляк С.А. О представлениях группы (р,р) над полем характеристики р // Доклады Акад. наук СССР. 1963. Т. 153 (№6). С. 1253-1256.

15. Маклейн С. Гомология. М., 1966. 543 с.

16. Назарова Л.А., Ройтер A.B. Об одной задаче И. М. Гельфанда // Функц. анализ и его прил. 1973. Т. 7 (вып. 4). С. 54-69.

17. Adem A., Milgram R.J. Cohomology of finite groups. Berlin; Heidelberg. 1994. 327 p.

18. Alperin J.L. Resolutions for finite groups // In: Iwahori N. (ed.) Finite Groups. Japan Soc. for Promotion of Science. Tokyo, 1976. P. 1-7.

19. Alperin J.L. Periodicity in groups // 111. J. Math. 1977. Vol. 21. P. 776-783.

20. Alperin J.L. Diagrams for modules //J. Pure Appl. Algebra. 1980. Vol. 16. P. 111-119.

21. Alperm J.L., Evens L. Representations, resolutions, and Quillen's dimension theorem //J. Pure Appl. Algebra. 1981. Vol. 22. P. 1-9.

22. Alperm J.L.,. Evens L. Varieties and elementary abelian subgroups // J. Pure Appl. Algebra. 1982. Vol. 26. P. 221-227.

23. Auslander M., Reiten I. Representation theory of Artin algebras, III: Almost split sequences // Comm. Algebra. 1975. Vol. 3. P. 239-294.

24. Auslander M., Reiten I. Representation theory of Artin algebras, IV: Invariants given by almost split sequences // Comm. Algebra. 1977. Vol. 5. P. 443-518.

25. Benson D.J. Modular representation theory: New trends and methods // Lect. Notes in Math. 1984. V. 1081. 231 p.

26. Benson D.J. Representations and cohomology. Vol. I. Cambridge, 1991. 224 p.

27. Benson D.J., Carlson J.F. Complexity and Multiple Complexes // Math. Zeit. 1987. Vol. 195. P. 221-238.

28. Benson D.J., Carlson J.F. Diagrammatic methods for modular representations and cohomology // Comm. in Algebra. 1987. Vol. 15, № 1/2. P. 53-121.

29. Brenner S. Modular representations of p-groups //J. Algebra. 1970. Vol. 15. P. 89-102.

30. Carlson J.F. The varieties and the cohomology ring of a module // J. Algebra. 1983. Vol. 85. P. 104-143.

31. Carlson J.F. The variety of an indecomposable module is connected // Invent. Math. 1984. Vol. 77. P. 291-299.

32. Craw ley-Boevey W. W. On tame algebras and BOCS's / / Proc. London Math. Soc. 1988. Vol. 56. P. 451-483.

33. Erdmann K. Principal blocks of groups with dihedral Sylow 2-sub-groups // Comm. Algebra. 1977. Vol. 5 (№7). P. 665-694.

34. Erdmann K. Algebras and dihedral defect groups // Proc. London Math. Soc. 1987. Vol. 54. P. 88-114.

35. Erdmann K. On the number of simple modules in certain tame blocks and algebras // Archiv Math. 1988. Vol. 51. P. 34-38.

36. Erdmann K. Algebras and semidihedral defect groups, I // Proc. London Math. Soc. 1988. Vol. 57. P. 109-150.

37. Erdmann K. Algebras and quaternion defect groups, I // Math. Ann. 1988. Vol. 281. P. 545-560.

38. Erdmann K. Algebras and quaternion defect groups, II // Math. Ann. 1988. Vol. 281. P. 561-582.

39. Erdmann K. Algebras and semidihedral defect groups, II // Proc. London Math. Soc. 1990. Vol. 60. P. 123-165.

40. Erdmann K. Blocks of tame representation type and related algebras // Lect. Notes in Math. 1990. Vol. 1428. 311 p.

41. Erdmann K. On the local structure of tame blocks // Asterisque. 1990. Vol. 181-182. P. 173-189.

42. Everns L. The cohomology ring of a finite group // Trans. AMS. 1961. Vol. 101. P. 224-239.

43. Gabriel P. Ausländer-Reiten sequences and representation-finite algebras // In: Representation theory I. Springer-Verlag, Lect. Notes in Math. 1980. Vol. 831. P. 1-71.

44. Gabriel P., Riedtm,ann C. Group representations without groups // Comm. Math. Helv. 1979. Vol. 54. P. 240-287.

45. Green E.L. Frobenius algebras and their quivers // Can. J. Math. Vol. 30, № 5. 1978. P. 1029-1044.

46. Green E.L., Martinez-Villa R. Koszul and Yoneda algebras // In: Representation theory of algebras, CMS Conf. Proc., 1996. Vol. 18. P. 247297.

47. Green E.L., Zacharia D. The cohomology ring of a monomial algebra // Manuscripta Math. 1994. Vol. 85. P. 11-23.

48. Green J.A. Relative module categories for finite groups //J. Pure Appl. Algebra. 1972. №2. P. 371-393.

49. Higman D. Indecomposable representations at characteristics p // Duke Math. J. 1954. Vol. 21. P. 377-381.

50. Janusz G.J. Indecomposable representations of groups with a cyclic Sylow subgroup 11 Trans. AMS. 1966. Vol. 125. P. 288-295.

51. Lofwall C. On the subalgebra generated by the one-dimensional elements in the Yoneda Ext-algebra // Lect. Notes Math. 1988. Vol. 1352. P. 291-338.

52. Meltzer H. Survey on the representation type of group algebras // Beitrage zur Algebra und Geom. 1987. Vol. 24. P. 177-184.

53. Michler G.O. Green correspondence between blocks with cyclic defect groups, I // J. Algebra. 1976. Vol. 39. P. 26-51.

54. Michler G. O. Green correspondence between blocks with cyclic defect groups, II // Lect. Notes in Math. 1974. Vol. 488. P. 210-235.

55. Stammbach U. Types of projective resolutions for finite groups // The Hilton Sympos. 1993, Topics in Topol. and Group Theory, Centre de Rech. Math., in: CRM Proc. and Lect. Notes. 1994. Vol. 6. P. 187-198.

56. Parshall B. The Ext algebra of a highest weight category // In: V. Dlab and L. Scott (eds.), Finite dimensional algebras and related topics. Kluwer Acad. Pub., 1994. P. 213-222.

57. Ringel C.M. The indecomposable representations of dihedral 2-gro-ups // Math. Ann. 1975. Vol. 214. P. 19-34.

58. Ringel C.M. Tame group algebras // In: Darstellungs-theorie endlich dimensionaler Algebren. Oberwolfach, 1977. P. 92-95.