Абсолютно чистые и простые по чистоте модули тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

1 ВВЕДЕНИЕ И НЕОБХОДИМЫЕ СВЕДЕНИЯ

1.1 Введение

1.2 Необходимые сведения.

2 АБСОЛЮТНО ЧИСТЫЕ МОДУЛИ

2.1 Абсолютно чистые многообразия модулей.

2.2 Коммутативные кольца, над которыми всякий абсолютно чистый модуль является классически полупростым

2.3 Всюду чистые модули.

3 ПРОСТЫЕ ПО ЧИСТОТЕ МОДУЛИ

3.1 Редуцированные многообразия модулей над коммутативными кольцами.

3.2 Простые по чистоте модули редуцированных многообразий модулей над коммутативными кольцами

3.3 Минимальные полные модули.

1.1 Введение

Одними из важнейших понятий теории абелевых групп являются понятия сервантности и слабой сервантности. В связи с развитием теории модулей в 60-70-х гг. прошлого столетия предпринимались многочисленные попытки приспособить к ней эти понятия. При этом все более отдавалось предпочтение термину "чистота", который, наряду с термином "сервантность", употреблялся и для абелевых групп. Появились различные способы определения чистоты для модулей, что привело к необходимости выработки аксиоматического подхода к этому понятию. Это было реализовано в книге А.П.Мишиной и Л.А.Скорнякова [17] в 1969 году, а именно дано аксиоматическое определение w-чистоты для произвольных модулей. В этой же книге начато систематическое изучение этого понятия, которое было продолжено в многочисленных работах других авторов. При этом изучались как общие свойства оьчистоты, так и некоторые ее важные частные случаи.

Наиболее естественными обобщениями групповой сервантности и слабой сервантности для модзшей являются понятия £-чистоты [17, с. 59] и ^-чистоты [17, с. 68], введенные Марандой [38, 39], где £ — множество левых идеалов кольца. Наибольшим вниманием в дальнейшем пользовалась ^-чистота, которая к настоящему времени довольно хорошо изучена. Наименее изученной оказалась £-чистота.

IV

Отметим, что Басс [23] установил связь между ^-чистотой и замкнутостью подмодуля. Из одного результата Нунке [41] можно вывести, что в случае модулей над дедекиндовым кольцом -чистота проективно замкнута [17, с. 69]. В той же работе для дедекиндовых колец установлены некоторые свойства, эквивалентные ^-чистоте. Некоторые свойства чистых в этом смысле подмодулей свободных модулей и проективных конечно порожденных модулей над коммутативными кольцами изучали Бессер в [24], Бессер и Микали в [25]. В работах Бицана [27,28] и Л.М.Мартынова [И] для примарных (М-лоевых) модулей изучалась ^-чистота для случая, когда £ — множество всех натуральных степеней максимального идеала кольца (т.е. аналог групповой сервантности).

Иной подход, использующий теорию многообразий групп, к понятию чистоты, а также к другим важным понятиям теории абе-левых групп (полноты (делимости), редуцированности, периодичности, примарности и др.) осуществил Л.М.Мартынов. Это позволило ему определить их аналоги для произвольных универсальных алгебр [40, 16]. Используя теорию многообразий модулей, легко показать, что определенная в [40,16] (атомная) чистота в случае модулей совпадает с ^-чистотой, где 8 — множество всех максимальных идеалов кольца (т.е. является аналогом слабой сервантности для групп). Последняя же для модулей практически не изучалась. С точки зрения общего методологического подхода к развитию структурной теории алгебр, сформулированного в работе [16], который в полной мере может быть реализован для модулей, наиболее естественной и актуальной задачей является изучение именно этой чистоты. Это обстоятельство, на наш взгляд, можно объяснить тем, что в случае абелевых групп изучение понятия сервантности тесно связано с изучением других важных понятий, таких как минимальная полнота, редуцированность, периодичность и примарность, определения которых используют понятие простого числа. В случае модулей еще не была до конца осознана роль понятия максимального идеала кольца в определениях этих понятий. В работах [40, 16] эта проблема решается сразу при введении указанных понятий. Подход к этим понятиям с точки зрения многообразий позволяет не только сохранить постановки задач из [17], но и сформулировать многие другие естественные задачи (см. [16]).

Условимся в дальнейшем ^-чистый подмодуль модуля в случае, когда 8 — множество всех максимальных идеалов кольца, называть чистым, а в случае, когда £ — множество всех натуральных степеней всех максимальных идеалов кольца, использовать термин сер-вантнъш подмодуль. Используемые ниже понятия полного и редуцированного модуля трактуются в смысле определений работы [16] (мы приведем их ниже для модулей). Модуль называется абсолютно чистым, если каждый его подмодуль является чистым, и простым по чистоте, если он не содержит нетривиальных чистых подмодулей. Модуль будем называть всюду чистым, если он является чистым в любом модуле, в который он вкладывается. Ненулевой модуль называется минимальным полным, если он полный и не содержит ненулевых полных подмодулей.

Основной целью диссертации является изучение абсолютно чистых и простых по чистоте левых унитарных модулей над произвольным ненулевым ассоциативным кольцом R с единицей. При этом выделяются два аспекта в постановке задач:

1) описание многообразий модулей с заданным свойством;

2) изучение строения модулей с данным свойством в некотором многообразии модулей.

Обе эти постановки довольно часто встречаются в теории многообразий алгебр. Для модулей они зачастую равносильны описанию колец, все модули над которыми обладают этим свойством (именно так обстоит дело с обсуждаемыми понятиями), и являются привычными в теории модулей. Поэтому большинство результатов будет формулироваться на более привычном для модулей языке, без использования термина "многообразие".

Как и в случае абелевых групп, при изучении простых по чистоте модулей нельзя обойти вниманием минимальные полные модули, которые являются простыми по чистоте. С другой стороны, полнота тесно связана с редуцированностью. Поэтому в работе уделено внимание изучению минимальных полных и редуцированных модулей. При исследованиях отдается предпочтение кольцам, в которых

U U U / каждый максимальный левый идеал является двусторонним (будем называть такие кольца левыми М-кольцами), в частности, коммутативным кольцам. Это объясняется тем обстоятельством, что при указанном в [16] подходе на успешное развитие структурной теории модулей больше надежд можно возлагать в случае, когда для любого максимального идеала М кольца R левый модуль R/M устроен просто. В случае М-колец модуль R/M является даже простым (неприводимым). Однако некоторые результаты удалось получить и для произвольных колец.

В диссертации получены следующие основные результаты:

1) описаны кольца, над которыми все модули являются абсолютно чистыми (в случае коммутативных колец приведена и топологическая характеризация);

2) охарактеризованы коммутативные кольца, над которыми всякий абсолютно чистый модуль является классически полупростым;

3) описаны кольца, над которыми класс всюду чистых модулей совпадает с классом полных модулей;

4) получена характсризация коммутативных колец, над которыми все модули редуцированы;

5) охарактеризованы простые по чистоте модули в редуцированных многообразиях модулей над коммутативными кольцами;

6) указано строение некоторых типов минимальных полных модулей над коммутативными кольцами.

Работа опирается на методы теорий модулей, колец и коммутативных алгебр, в частности, широко используются пространства простых идеалов коммутативного кольца с топологией Зарисского.

Основные результаты являются новыми, носят теоретический характер и могут найти применение в дальнейших исследованиях для модулей и ассоциативных колец. Полученные результаты решают ряд естественных вопросов, входящих в рамки проблематики книги [17] и статьи [16]. Они могут быть использованы при чтении спецкурсов и при написании монографий по теории модулей.

Результаты диссертации представлены на Международном семинаре, посвященном памяти профессора Л.А.Скорнякова (Волгоград, 1999), на IV Международной алгебраической конференции, посвященной 60-летию профессора Ю.И.Мерзлякова (Новосибирск, 2000), докладывались на алгебраических семинарах Омского педагогического, Омского и Томского университетов. Основные результаты диссертации отражены в пяти публикациях автора.

Диссертация содержит 67 страниц и состоит из трех глав, разбитых на 8 параграфов. В работе принята тройная нумерация утверждений. Например, номер 2.3.5 означает, что данное утверждение находится во второй главе, третьем параграфе и имеет порядковый номер 5. Библиография содержит 46 наименований.

Перейдем к подробному изложению содержания диссертации. Прежде всего приведем определения основных понятий работы [16]. Учитывая хорошо известную связь между многобразиями модулей и идеалами кольца (см. §1.2), для модулей их можно дать эквивалентным и более привычным образом. А именно: подмодуль В модуля А называется чистым, если для любого максимального идеала М кольца R выполняется равенство MB = MA П В. Подмодуль В модуля А называется серваитным, если для любого максимального идеала М кольца R и любого натурального п выполняется равенство МпВ = МпА П В. Модуль С называется полным, если для любого максимального идеала М кольца R выполняется МС = С. Модуль, не содержащим ненулевых полных подмодулей, называется редуцированным. Многообразие модулей называется редуцированным, если каждый его модуль редуцирован. Элемент а модуля А называется периодическим, если существует конечный набор максимальных идеалов М\, М2,., Мп кольца R таких, что М1М2. Мпа = 0. Модуль называется периодическим, если любой его элемент является периодическим. Модуль А называется пршарным, если найдется такой максимальный идеал М, что для любого элемента а из А существует натуральное п такое, что Мпа = 0.

ПЕРВАЯ ГЛАВА, кроме введения, содержит отдельный параграф, в котором приведены некоторые определения и обозначения, а также, для удобства чтения, некоторые известные факты. При этом определения, приведенные во введении, не дублируются.

ВТОРАЯ ГЛАВА посвящена изучению абсолютно чистых и всюду чистых модулей (по терминологии книги [17] — делимых). Задача изучения таких модулей для произвольной w-чистоты поставлена в [17, вопросы 10 и 22] и в [16, проблемы 17 и 19] для рассматриваемых там чистот для произвольных алгебр. В §2.1 описываются кольца, над которыми все модули абсолютно чистые, а в коммутативном случае приведена и топологическая характеризация таких колец. В §2.2 характеризуются коммутативные кольца, над которыми всякий абсолютно чистый модуль является классически полупростым. В §2.3 описываются кольца, над которыми классы всюду чистых и полных модулей совпадают.

Условимся, для краткости, абсолютно чистые модули называть АР- модулями, а кольца, над которыми любой модуль является АР-модулем, называть левыми АР-колъцами. Очевидно, что любое простое кольцо является левым АР-кольцом.

Теорема 2.1.2. Кольцо R является АР-кольцом тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет следующему условию: для любого максимального идеала М кольца R и каждого т из М найдется т1 из М такой, что т'т = т.

Заметим, что эта теорема решает проблему 19 из [16] для случая модулей. Аналогичная задача для универсальной чистоты изучалась Фильдхаузом в работах [31,32]. Далее изучаются свойства АР-колец.

Следствие 2.1.3. Любое регулярное кольцо является левым АР-кольцом.

Следствие 2.1.4. Прямое произведение конечного числа левых АР-колец является левым АР-кольцом.

Следствие 2.1.5. Факт,оркольцо левого АР-кольца по любому идеалу является левым АР-кольцом.

Следствие 2.1.6. Если R есть левое АР-кольцо, то кольцо Mn[R] квадратных матриц порядка п является левым, АР-кольнем.

Следуя [18], назовем кольцо R регулярным справа, если для каждого а из R найдется х из R такой, что ха2 = а.

Следствие 2.1.7. Регулярное справа кольцо является левым АР-кольцом.

Напомним, что кольцо R называется левым V-колъцом, если каждый простой модуль является инъективным. Кольцо называется левым дуоколъцом [19], если каждый его левый идеал является двусторонним. Левое и правое дуокольцо называется дуокольцом. Следующее утверждение обобщает результат Капланского (см., напр., [20, следствие 19.53]) о том, что коммутативное кольцо является V-кольцом тогда и только тогда, когда оно регулярно.

Теорема 2.1.10. Для кольца R следующие условия эквивалентны:

1) R есть левое М-кольцо и левое АР-кольцо;

2) R есть левое М-кольцо и левое V-кольцо;

3) R есть регулярное дуокольцо;

4) R есть правое М-кольцо и правое АР-кольцо;

5) R есть правое М-кольцо и правое V-кольцо.

Эта. теорема обобщает также результат В.Чандрана [29] о том, что среди дуоколец V-кольцами являются регулярные кольца и только они.

Напомним, что топологическое пространство называется индуктивно нульмерным, если оно обладает базой, состоящей из открыто-замкнутых множеств. Через SpecR будем обозначать множество всех простых идеалов коммутативного кольца R с заданной на нем топологией Зарисского, а через N(R) — нильрадикал коммутативного кольца R. Следующее утверждение дает топологическую характе-ризацию коммутативных АР-колец на языке пространства простых идеалов.

Теорема 2.1.12. Для коммутативного кольца R следующие условия эквивалентны:

1) R является АР-кольцом;

2) R — регулярное кольцо;

3) SpecR является индуктивно нульмерным и N(R) = 0.

Следующее утверждение является основным в §2.2.

Теорема 2.2.4. Пусть R — коммутативное кольцо. Тогда следующие условия равносильны:

1) любой АР-модуль классически полупрост;

2) любое индуктивно нульмерное замкнутое подпространство пространства SpecR конечно;

3) для любого идеала I колыша R из регулярности факторкольца R/I следует его классическая полупростота.

Следующие три утверждения показывают, что класс коммутативных колец, над которыми всякий АР-модуль классически полупрост, достаточно широк.

Следствие 2.2.5. Если R — коммутативное кольцо, в котором каждый максимальный идеал обладает конечным подмножеством элементов, не содержащихся ни в одном другом максимальном идеале, то любой АР-модуль над R классически полупрост.

Следствие 2.2.6. Если R — нетерово коммутативное кольцо, то любой АР-модуль над R классически полупрост.

Частным случаем последнего результата является утверждение работы Фукса, Кертеса и Селе [34] о том, что абелевы группы (Z-модули), в которых каждая подгруппа сервантна, исчерпываются прямыми суммами циклических групп простого порядка (классически полупростыми Z-модулями) и такой же результат Като [37], полученый при ослаблении требования сервантности всех подгрупп до слабой сервантности.

Следствие 2.2.7. Если R есть полулокалъпое коммутативное кольцо, то любой АР-модуль над В, является классически полупростым.

Параграф 2.3 посвящен всюду чистым модулям и связи инъек-тивности и полноты. Назовем идеал .Т кольца R локально плотным слева, если в J существует конечное подмножество с нулевым левым аннулятором. Основным результатом этого параграфа является

Теорема 2.3.3. Для колыша R, следующие условия эквивалентны:

1) любой инъективный модуль является полным;

2) любой R-модулъ изоморфно вкладывается в полный R-модуль;

3) R-модуль R изоморфно вкладывается в полный R-модулъ;

4) любой максимальный левый идеал является локально плотным;

5) класс всюду чистых R-модулей совпадает с классом полных R-модулей.

Отметим, что торема 2.3.3 частично решает проблему 25 [16] для модулей.

Легко понять, что класс всех полных .R-модулей над любым кольцом R является радикальным классом (опр. см., напр., [17, 7]). Обратная задача, т.е. нахождение необходимых и достаточных условия для того, чтобы данный радикальный класс являлся классом си-делимых [17] (по нашей терминологии — всюду а;-чистых) модулей для некоторой чистоты а;, решалась А.В.Ивановым в [5].

Следствие 2.3.5. Если коммутативное кольцо 11 удовлетворяет эквивалентным условиям теоремы 2.3.3, то

1) никакой максимальный идеал не является минимальным, простым;

2) цоколь кольца R равен нулю.

Следствие 2.3.G. Для того чтобы нетерово коммутативное кольцо удовлетворяло эквивалентным условиям теоремы 2.3.3, необходимо и достаточно, чтобы его цоколь был равен нулю.

ТРЕТЬЯ ГЛАВА настоящей диссертации посвящена изучению простых по чистоте модулей (эта задача поставлена в [16, проблема 22]). Исследование колец, которые не содержат ненулевые универсально-чистые левые идеалы, отличные от всего кольца, предпринималось Фильдхаузом в [33]. Следующее утверждение дает направление для исследований простых по чистоте модулей.

Лемма 3.1.1. Всякий простой по чистоте модуль является либо редуцированным, либо минимальным полным.

Эта лемма обусловливает необходимость изучения редуцированных и минимальных полных модулей (соответствующие задачи для алгебр сформулированы в [16, проблемы 2 и 10]). Поэтому параграфы 3.1 и 3.2 настоящей главы посвящены характеризациям редуцированных многообразий модулей над коммутативными кольцами и простых по чистоте модулей, содержащихся в них, а параграф 3.3 — изучению строения минимальных полных модулей над коммутативными кольцами. Для локальных колец, как показывает следующее утверждение, вопрос о простых по чистоте модулях сводится к изучению минимальных полных.

Лемма 3.1.2. Если R есть локальное кольцо, то всякий простой по чистоте модуль является либо циклическим, либо минимальным полным.

Задача характеризации редуцированных многообразий модулей сводится к описанию колец, над которыми каждый модуль редуцирован. Основным результатом §3.2 является следующая

Теорема 3.1.5. Все модули над коммутативным кольцом В, являют,ся редуцированными тогда и только тогда, когда R обладает следующим свойством: для любого максимального идеала М кольца R и последовательности {т,п} из М в R найдется такой элемент s М, что для некоторого натурального числа к выполняется равенство mim2.mjfeS = 0.

Эта теорема широко используется для доказательства других результатов этой главы. Отметим связь этой теоремы с задачей описания колец Басса (В-колец, по терминологии книги [20]), т.е. колец, над которыми каждый модуль имеет максимальный подмодуль. Легко понять, что над М-кольцом все модули редуцированы тогда и только тогда, когда всякий модуль имеет максимальный подмодуль. Коммутативные кольца Басса описаны Л.А.Койфманом в [8] и Хэмшером в [36]. Они исчерпываются коммутативными кольцами, радикал Джекобсона которых Ншльпотентен, а факторкольцо по нему является регулярным кольцом. Обобщение этого результата для левых М-колец было получено недавно В.В.Овчинниковым в [18]. В случае коммутативных колец Фейс в [30] доказал эквивалентность данных свойств тому, чтобы ими обладала локализация по каждому максимальному идеалу. Теорема 3.1.5 дает новую характеризадию коммутативных колец Басса. Из перечисленных результатов непосредственно вытекает следующее утверждение, для которого имеется и прямое доказательство.

Предложение 3.1.6. Коммутативное кольцо R обладает свойством (**) тогда и только тогда, когда его радикал Джекобсона J(R) является t- нильпотенттш, а факторкольцо RfJ(R) регулярно.

Основным результатом второго параграфа является

Теорема 3.2.2. Для любого модуля А из редуцированного многообразия модулей над коммутативным кольцом R следующие условия эквивалентны:

1) А является простым по чистоте/

2) А есть циклический модуль и Rjann(A) — локальное совершенное кольцо.

В §3.3 изучаются минимальные полные модули. Необходимость

U 4 w и этого диктует тот очевидный факт, что всякии минимальным полный модуль является простым по чистоте.

Минимальный полный й-модуль С назовем модулем первого типа, если для любого его ненулевого элемента с и любого г из R из равенства гс = 0 следует гС - 0. Минимальный полный модуль, не являющийся модулем первого типа, назовем модулем второго типа.

Как показывает следующее утверждение, минимальные полные модули первого типа являются аналогами абелевой группы рациональных чисел.

Предложение 3.3.3. Минимальный полный модуль С первого типа над коммутативным кольцом R изоморфен полю частных области целостности, R/ann(C) как R-модулю.

Кольцо называется предельным (по редуцированности), если многообразие всех модулей над ним не является редуцированным, но всякое собственное подмногообразие редуцировано. Модуль С над кольцом R называется делимым, если для всякого г из R либо г С = О, либо RrC = С. Ответ на обратный вопрос к предложению 3.3.3 (т.е. для каких коммутативных областей их поле частных является минимальным полным модулем) дает

Теорема 3.3.4. Пусть R есть коммутативное кольцо. Тогда следующие условия эквивалентны:

1) R есть предельное кольцо;

2) R есть область целостности и любой полный R-модуль является делимым;

3) R есть область целостности и его поле частных являет,ся минимальным полным модулем.

Далее изучаются некоторые свойства предельных коммутативных колец и приводятся их примеры.

Следствие 3.3.5. Для коммутативного кольца R следующие условия же ив алентны:

1) R есть предельное кольцо;

2) для каждого максимального идеала М кольцо S~lR, где S = R\M, является предельным.

Напомним, что коммутативное кольцо называется почти дедекин-довой областью, если локализация по каждому его максимальному идеалу является кольцом дискретного нормирования. Почти дедекин-довы кольца изучались Гилмером в [35].

Следствие 3.3.6. Всякая почти дедекиндова область является предельным кольцом.

Для дедекиндовых областей аналогичный факт отмечен в [15] (следствие 5).

Следствие 3.3.Т. Предельное коммутативное кольцо является одномерной областью.

Следствие 3.3.8. Нетерова коммутативная одномерная область является предельным кольцом.

Далее изучаются минимальные полные модули второго типа над коммутативными кольцами. В теореме 3.3.9 доказываются их свойства, аналогичные свойствам квазициклических абелевых групп (минимальных полных Z-модулей второго типа).

Теорема 3.3.9. Минимальный полный модуль С второго типа над коммутативным кольцом R обладает следующими свойствами:

1) существует, максимальный идеал М. такой, что для каждого ненулевого с из С имеет место r(ann(c)) = М;

2) С является объединением любой счетной строго возрастающей цепи циклических подмодулей;

3) факторкольцо кольца R. по аннулятору любого элемент,а из С есть локальное совершенное кольцо;

4) С удовлетворяет, условию минимальности, для конечно порожденных подмодулей.

Следуя [15], для данного максимального идеала М кольца R модуль Смсо будем называть квазициклическим, типа М00, если выполнены следующие условия:

1) См™ = где Сп — циклический модуль, порожденный элементом сп;

2) Сп С МСй+1;

3) мпсп = о и м^сп ф о.

Используя терминологию [12], будем называть коммутативное кольцо R обобщенно дедекиндовым (GI)-кольдом), если для каждого его максимального идеала М выполняются следующие условия:

1) М/М2 является простым /?.-модулем;

2) Мп Ф Mn+l для всех натуральных чисел щ

3) п~ }мп = 0.

В работах [27, 28] и [11, 13] многие важные положения теории примарных абелевых групп переносятся на GD-кольца, причем необязательно коммутативные (опр. см., напр., в [И, 13], где в первой из работ использовался термин особое кольцо). Следующее утверждение продолжает эту аналогию.

Теорема 3.3.11. Для каждого максимального идеала М коммутативного GD-кольца R. существует точный минимальный полный R-модулъ второго типа, который является квазхщиклическим, модулем типа М00.

1. Мартынов Л.М. О достижимости, и разрешимости для многообразий модулей // Исследования по алгебраическим системам. — 1984. — Свердловск. — С. 56-74.

2. Мартынов JI.M. Спектры разрешимости для многообразий алгебр и колец Ли /j Мат. заметки. — 1989. — Т. 45, N 1 — С. 66-71.

3. Мартынов JI.M. О проблеме спектров разрешимости для многообразий алгебр // Алгебра и логика. — 1990. — Т. 29, N 2. — С. 162-178.

4. Мартынов JI.M. К проблеме спектров разрешимости для многообразий модулей jI Мат. заметки. — 1995. — Т. 57, N 3. — С. 386-393.

5. Мартынов JI.M. О примарных и редуцированных многообразиях модулей // Вестник ОмГУ. — Омск, 1999. Вып. 4. — С. 29-31.

6. Мартынов Л.М. О понятиях примарности, полноты, редуцированности и чистоты для произвольных алгебр // Универсальная алгебра и ее приложения: Труды междунар. семинара. — Волгоград: Перемена, 2000. — С. 179-190.

7. Мишина А.П., Скорняков JI.A. А б еле вы группы и модули. — М.: Наука, 1969.

8. Овчинников В.В. О кольцах, над которыми каждый модуль является редуцированным // Абелевы группы и модули. — Томск, 2000. Вып. 15. - С. 46-54.

9. Скорняков JI.A., Шестаков И.II. Кольца и модули // Общая алгебра / Под ред Л.А.Скорнякова. Т. 1 — М.: Наука, 1990. — гл. III С. 291-572.

10. Фейс К. Алгебра: кольца, модули и категории. — М.: Мир, 1979. -Т. 2.

11. Фукс JI. Бесконечные абслевы группы. — М.: Мир, 1974.

12. Херстейн И. Некоммутативные кольца. — М.: Мир, 1972.

13. Bass Н. Finitistic homological dimension and a homological generalization of semi-primary ring // Trails. Amer. Math. Soc.160. V. 95. — P. 466-488.

14. Besserre A. Quelques proprietes dim couple de modules // C. r. Acad. sci. 1964. - V. 259, N 1. - P. 22-23.

15. Besserre A., Micali A. Quelques resultats sur les algebres universelles II C. r. Acad. sci. 1965. - V. 260, N 10. - P. 2658-2659.

16. Bergman G.M. A ring primitiv on the right but not on the left // Proc. Amer. Math. Soc, — 1964. — V. 15, N 3 P. 473-475.

17. Bican L. The structure of primary modules // Acta Univ. corol. Math. et. phys. — 1976. V. 17, N 2. - P. 3-12.

18. Bican L. Kulikov's hiterion for modules // J. reine unci angew. Math. 1976. -V. 288. — P.154-159.

19. Chandran V.R. On conjecture of Human Bass // Pure appl. Math. Sci. — 1976. V. 4, N 1. — P. 125-131.

20. Faith C. Locally perfect commutative rings are those whose modules have maximal submodides // Commim. algebra. — 1995. — V. 23, N. 13. P. 4885-4886.

21. Fieldhous D. Pure projektivity // Notices Amer. Math. Soc,. —1.967.- V. 14. P. 678.

22. Fieldhous D. Regular modules / / Notices Amor. Math. Soc. — 1968. V. 15, N 1. - P. 139.

23. Fieldhous D. Pure simple and indeeomposible rings // Notices Amer. Math. Soc. 1968. - V. 15, N. 2. — P. 376.

24. Fiichs L., Kertesz A., Szele T. Abelians groups in wich every serving subgroups is a direct, summand // Publ. Math. — 1953. — N 3. — P. 95-105.

25. Gilmer R.W.Jr. Integral domains wich are almost Dedekind // Proc. Amer. Math. Soc. 1964. — V. 15, N 5. — P. 813-818.

26. Hamsher R. Commutative rings over wich every module has a maximal submodulc // Proc. Amer. Math. Soc. — 1967. N 18. — P. 1133-1137.

27. Kato K. On abelians groups every subgroup in wich is neat subgroup. II Comment. Math. Univ. St. Pauli. — 1966/67. — N 15. — P. 117-118.

28. Maranda J.M. On pure subgroups of Abelians groups // Trans. Amer. Math. Soc. 1964. - V. 110. — P. 98-135.

29. Maranda J.M. Injective structures // Arch. Math. — I960. — V. 11. — P. 1-13.

30. Nimke R. Modules of extension over Dcdekind rings, III j j Pacif. J. Math. 1959. - V. 3. - P. 222-24.Работы автора по теме диссертации:

31. Корпев А.И. О модулях с чистыми подмодулями // Универсальная алгебра и ее приложения. — Тезисы докладов международного семинара, посвященного памяти профессора Л.А.Скорнякова (Волгоград, 6-11 сентября 1999 г.). — Волгоград: Перемена, 1999. — С. 40-41.

32. Корнев А.И. О модулях с чистыми подмодулями // Универсальная алгебра и ее приложения. Труды международного семинара, посвященного памяти профессора Л.А.Скорнякова (Волгоград, 6-1.1 сентября 1999 г.). — Волгоград: Перемена, 2000. — С. 144152.

33. Корнев А.И. Простые по чистоте модули редуцированных многообразий модулей над коммутативными кольцами j j Вестник ОмГУ. — Омск, 2000. — Вып. 4. — С. 13-15.

34. Корнев А.И. О полных модулях j/ Абелевы группы и модули. — Томск, 2000. Вып. 15. - С. 30-37.РОССv f ГОС^ДДОТ /блиотешц j1" а