Относительная гомологическая алгебра и относительные группы гротендика колец тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

САШГ - ШШЪУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВШЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На прявах рукописи ГЕНЕРАЛОВ Александр Иванович

ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ГОМОЛОГИЧЕСКАЯ АЛГЕБРА И ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ ГРУППЫ ШЛИЩНКА КОЛЕЦ

01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Сшгкт-ПетерЛург - 1991

Работа ыиолиена в Санкт-Петербургском государственном техническом университете.

Официальные оппоненты: доктор физико-иатеыатичеоких наук, профессор З.И.Боревич, доктор физико-математических наук, профессор В.В.Кириченко, доктор физико-математических наук, профессор А.В.Михалев.

Ведущая организация - Институт математики СО АН СССР.

Заиита диссертации состоится " " О^еЬ^'»*- 1992 г. в^А. час. на заседании специализированного совета Д 063.57.29 иг» защите диссертаций на соискание ученой степени доктора физико-математических наук в Санкт-Петербургском государственном университете. Адрес совета: 198904, Санкт-Петербург, Старий Петергоф, Библиотечная пл., 2, Математико-механический факультет СПбУ.

Залита будет проводиться по адресу: 191011, Санкт-Петербург, Набережная реки Фонтанки, 27.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. Горького по адресу: Санкт-Петербург, Университетская наб.,7/9.

Автореферат разослан "/[ " о^Лс^у^ 1992-г.

Учений секретарь специализированного совета кандидат физико-математических наук

С.М.Апаиьевский

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕ.Ш. В современной алгебре весьма продуктивной является точка зрении относительной гомологической алгебры. Среди различных подходов, использующих ее, иы выделяем для изучения тот, который связан с понятием "собственного класса" . С помощью этого понятия можно строить относительные аналоги гомологических функторов Exl^ , и т.п. Такие функторы наряду с классическими функторами являются основными инструментами в различных разделах математики.

Идеи относителькоП гомологической алгебры в зародам содержались уже в книге Картака и ЭПленберга (. I 3 и бкли позднее развиты Буксбаумом [131 , Ear л ером и Хоррокссм LISI , ЧаклеЛнсул t5 1 , Эйленбергом и Муром [15 1 и другой. Первоначально эти идеи особенно интенсивно разрабатывались в связи с задачами теории представлений конечнга групп и в теории абеловых груш. Ib.tenHo из теории абздевкх групп происходи! исторически первый пример "собственного класса" - так называемая сервантная чистота, открытая Пряфером f. 181 . В дальнейшем оказалось, что в категории абело-вюс групп и , более общо, в категории модулей имеются и другие интересные собственные классы, - другой термин: "чистоты" ; некоторая их систематизация приведена в [7, 8, 10 1 . Полезно тагле заметить, что аксиоматика точннх категории, использованных Квилле-üOM при построении высших К-фуккгороа, является переформулировкой аксиом собственного класса.

В монографии 1 среди других проблей поставлен вопрос о классификации всех чистот в категории абэлевнх групп, который остается открытым по се!) день. Поэтому представляют интерес результаты, в которых описываются некоторое специальные классы чистот как в категории абзлевкх групп, так и в категории модулей. Среди таких результатов выдели;.; описание масса индуктивных чистот в категории абелевкх групп [б, 4 1, которые наиболее близки к серваитной чистоте, а их классификация тесно связана с классификацией всех чистот в категории конечно порожденных абелевьи групп. Индуктивные чистоты в категории модулой такяе связаны с весьма интересным классом алгебраически компактных модулей.

Именно в этом направлении автору удалось получить ряд обобщений, распространяя эти результата на категории модулей над следую-

щими классамл колец:

I) кольца конечного типа представлений;

2 ) ограниченнее наследственное нотеровы первичныэ кольца С в этом классе колец лезсат классические наследственные порядки );

3 ) ручные наследственный конечномерные алгебры;

4) нетеровн справа полуцепнке кольца.

При этом удалось развить единую технику для указанных колец, и тем самим подчеркнуть их внутреннюю близость друг другу. Была изучена связь гоуду кндуктивкьми чистотами и. алгебраически компактными модулями. Исследование структуры последних привело к результатам, обобщающим известнее теоремы Каплакского о строении алгебраически компактных абелевых групп. Отметим также, что нами получена полная классификация чистот в категории конечно порождешшх ^-модулей для любого кольсд R. из указанные выше классов I) - 4) , а это означает, что над такими кольцами ии фактически польностью знаем структуру короткие точных последовательностей, состоящих из конечно порожденных модулей, к это, в свою очередь, дает, хотя бы и косвенную, классификацию морфигмов в таких категориях.

Развитие теории представлений конечных групп также поставило ряд задач относительной гомологической алгебры. Одна из них, - изучение относительных групп Грстендкха, - была рассмотрена в работе Лэиа и Fannepa [.17 3 , где впервые появилась соответствующая конструкция. С другой сторона, Ватлер LI4 3 и Ауслендер [.II j переключили внимание с самих групп Грэтендика на так называемую группу соотношений групп Гротендика. А именно, над артинсвими алгебрами коночного типа представлений они в терминах почти расщепляемых последовательностей описали свободные образующие группы соотношений.

Отталкиваясь от этих идей, автору удалось развитую им технику применить к описанию групп соотношений относительных групп Гротендика указанных вше классов колец.

Б целом работа посвящена исследованию структуры коротких точнме последовательностей е категории модулей, а такге самих модулей над пгарокш классом колец, что фактически дает полную информацию о таких категориях, поскольку при этом классифицируются на только объекты категории, но и морфиаш. Основное приложение такой классификации в работе - ето описание групп соотношений относительных групп Гротендика для рассматриваемых колец. 4

ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Целью настоящей работы является:

1) исследование собственных классов коротких точные последовательностей как в категории всех модулей, так и в категории конечно-порожденных модулей для различных классов колец; исследование связи между такими собственными классами;

2) исследовагае структуры алгебраически компактных модулей и их связей с индуктивными чистотами;

3) описание групп соотношений для относительных групп Гро-тендика рассматриваемых колец;

4) дать приложения развиваемой техники к некоторым задачам теории представлений.

НАУЧНАЯ Н03ПЭ1А. Все основные результаты диссертации является ювм1. Основными результата;™ данной работы можно считать следующие:

а) изложение основ относительной гомологической алгебры с точки зрс-!г.!я биуниверсальных квадратоз;

б) классификация всех чистот в категории конечно порождениях модулей над указанными выпе классами колец I ) - 4 ) ;

в) описание структуры алгебраически компактных модулей для указанных классов колец I) - 3) ;

г ) классификация индуктивных чистот с помощью алгебраически компактных модулей и на языке "элементарных" коротких точных последовательностей;

д) описание образующих для групп соотношений груш Гротендика для указанных вше классов колец I) - 4) , использумцее выделенные "элементарнее" короткие точнее последовательности.

Среди других результатов отметш вычисление определителя Иот.-матриц« для колец конечного тша представлений.

ОВ'^АЯ МЕТОДИКА 11ССЩ03Ш1Я. В диссертации кроме традиционных методов теории колец и модулей, к которой в целом относится настоящая работа, используются и развиваются идеи относительной гомологической алгебры. Используются также методы общей теории категорий, в частности, интенсивно применяется техника универсальных и коуниверсальных квадратов. При изучении алгебраически компактных модулей привлекаются некоторые топологические соображения. Кроме того, используются некоторые технические средства теории представлений, например, так называемые почти расщепляемые последовательности. Шеэтся такте приыене-

ния теории кручений.

ПРЖПлЕСлАЯ Ц^^-ОСТЬ. Работа носит теоретический характер, и, кроме самостоятельного интереса, ее результаты и методы могут бить применены и ухе 1кех>т применения в различных разделах гомологической алгебры и теории колец и модулей. Возможны также обобщения на категория с близкими своГ.ствами.

АПРОБАЦИЯ ГАЕ01К. Результаты диссертации доклад-вались на ХУ1П и XIX Всесоюзных алгебраических конференциях, на международной конференции по алгебре, посвяленной памяти А. 1!. Мальцева ( Новосибирск, 1С69 ) , на X Всесоюзном сия1031гг;е по теории групп, а также неоднократно на семинарах Московского государственного университета, на совместном семинаре лаборатории алгебраических методов Ленинградского отделения Математического института АН СССР и ка^одры выспей алгебры и теории чисел Ленинградского государственного университета, на семинарах Новосибирского государственного университета.

ПУЕШСАЦЗ*.. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [213- [35} .

ОБЫМ РАБОТЫ. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав и списка литературы. Она занимает 242 страницы машинописного текста, библиография содержит 103 наименования.

СОДЕРШМЕ РАЕОШ

Глава I диссертации посвяпена обсдеы вопросам относительной гомологической алгебры. § I этой главы носит вспомогательный характер: здесь вводятся первоначальное понятия относительной гомологической алгебры. Основная цель § 2 - предложить новый подход к понятии "собственного класса" . Аксиомы, определяющие это понятие, мы переформулируем на языке биункверсальных квадратов, и на этом языке в последующих главах осуществляется редукция к некогорш "элементарным" последовательностям. С учетом новизнк нашего определения собственного класса и с целью возможного его использования за пределами теории колец и модулей все результаты отого параграфа формулируются для произвольной абелевой категории.

Класс 21 биуниверсальных квадратов назовем собственные, если любой расцепляемый квадрат принадлежит , а произведение двух биуниверсальных квадратов и С когда оно может быть определено ) принадлежит 21 , если и только если квадраты и принадлежат

классу . Всякому классу биуниверсальных квадратов сопоставляется классЧ } коротких точных последовательностей, которне соответствуют квадратам из 21 . Наоборот, для собственного класса и коротких точных последовательностей строится класс (о) биунивер-салънгх квадратов, которпл соответствуют последовательности иэ и) Основной результат § 2 - следупгпя теорема.

Теорема 1.2.9. а) Если и - собственный класс коротких точняк последовательностей, то <$>(<->> - собственный класс биуниверсальннх квадратов, при этом Ч я» С и «=■ .

б) Если "2. - собственный класс биуниверсальннх квадратов, то - собственный класс коротких точных последовательностей, при этом ФЧ С2. ^ -X .

Таким образом, отображения Ф и "41 устанавливает взаимно однозначное соответствие мевду указанными собственными классами.

§ 3 главы I посвящен обобщениям результатов Кузьминова £4 3 о группах "чистых" рассирений, полученных им для категории абеле-вых групп. Смысл этих результатов состоит в том, что в ряде случаев собственные классы коротких точных последовательностей однозначно определяются своими ограничениями на подкатегории конечно порожден-1гых объектов. Еолее точно, мы получаем следующее обобщение <?орму-лы Кузьминова.

Теорема 1.3.6. Пусть .Я - локально нетерова категория Гротен-дика, "б - полная подкатегория в Л , состоящая из конечно порож-дршглс объектов, и - индуктивно замкнутый собственный класс в «А . Предположим, что 4 1 . Тогда для любых объектов К

и Ь из ^ имеет место формула

где £ •• Р —■> А. ( соответственно ^ ■■ С —* 6>) пробегает всевозможные морТизмы с Р" к < соответственно С* ^ ) .

Здесь обозначает подфунктор функтора £ ^ ,

определяемый последовательностями из и . Собственный класс 1-> называется индуктивно замкнутым, если индуктивный предел прямой системы последовательностей из также принадлежит .

В § 4 вводятся относительные группы Гротендика. Пусть <~> -собственный класс коротких точных последовательностей в категории гллЛ К конечно порожденных модулей над кольцом , Тг - свобод-

нал абелева группа с базой, состояцей из классов изоморфизма [f'A, где М tvnodR. , ^ - подгруппа в ^г , порожденная элементами вида г(.ЕЛ=С XI- С^Ъ соответствующими точным последовательностям £L : О —>» \ —■» V —» "Z —* О , принадлежащим и . Тогда относительной группой Гротендика , u>) называется факторгруппа 'V/'Ko , а ее "группа соотношений" E^R ) определяется из точной последовательности

О -^Я.иЛ —» *Л*,<Л —» K.U.uW О ,

гдеКД^о}- относительная группа Гротендика, которая соответствует собственному классу, состоящему из расщепляемых коротких точных последовательностей. Когда в категории rwod R. справедлива теорема Крулля - Шмидта, группа ,с) является свободной абелевой группой на множестве классов изоморфизма неразложимых модулей, и тогда действительно, интерпретируется как группа соотно-

шений относительно указанной базы. Мы приводим в § 4 некоторые простые факты о группе , о >, используемые на протяжении всей работы.

Глава II посвящена исследованию указанного выие круга задач в категории Modi R. правых модулей над произвольным кольцом R. , имеющим конечный тип представления, т.е. R. - артиново кольцо, а множество всех попарно неизоморфных неразложимых конечно порожденных

К_-модулей конечно. В § I мы напоминаем определение и свойства почти расщепляемых последовательностей, - одного из важнейших технических средств современной теории представлений артиновых алгебр, -и с их помощью доказываем следущий центральный результат этого параграфа.

Теорема II.1.6. Пусть R, - кольцо конечного типа представлений , К,Ч - неразложимые конечно порожденные R-модули. Тогда Нотявляется конечно порожденным правым ^ ^ -модулем.

Отсюда выводится, что для неразложимого модуля X кольцо является двусторонне артиновым, a HornR, W модулем конечной длины над .

В § 2 дается полная классификация всех индуктивных чистот в категории Modi R. всех ^.-модулей, а такко всех чистот в категории гу\оЛ Я. конечно порожденных модулей, где Я. - кольцо конечного типа представлений. Пусть и - индуктивная чистота в VAod R. , Г^о) - множество неинъективных и -иньективннх неразложимых мо-

дулей, - множество непроективных i~> -проектлвнкх неразложима

модулей, М«-Л~ iTvM \ 1Л(г Г^СиЛ1) , гдеТч. обозначает двойственность Ауслендера - Еридаера L9 3 . Через Мо} обозначим множество О -чистых почти расщепляемых последовательностей.

Теорема II.2.10. Пусть R. - кольцо конечного типа представлений.

1. Отображение и \—» Ми") устанавливает взаимно однозначное соответствие между индуктивными чистотами в Mod R и подмножествами мнолества М^Л всех почти расщепляемых последовательностей над R. .

2. Пусть и - индуктивная чистота в ГЛоД R. . Тогда

а) to инъективно порождена множеством 1<-Л ;

б) и проектпшю порождена множеством (о ;

в 1 to плоско пороздена множеством ЬЛО') .

Поскольку в этой ситуации 'всякая индуктивная чистота однозначно определяется свою.« ограничением на подкатегорию R. , то эта теорема дает одновременно классификацию рсех чистот в «wocl R. .

Отметим, что утверждение 2 в) из теоремы II.2.10 является аналогом теоремы '.¡ановг.ева - Кузьминова £б, 4"} об индуктивных чнс-тотах в категории абслевюс групп. 3 конце § 2 на примере наследст-венннх конечномерных алгебр конечного типа представлений иллюстрируется, кап знание колчана Ауслендера - РаГ.тен алгебрн Я. можно использовать для классификации чистот.

В § 3 главы II исследуется группа соотношений Е (.R , и относительной группы Гротендика о). Основной результат этого параграфа - следующая теорема, которая представляет собой относитель-то-й вариант теоремы Гатлера - Аусле;1дера ^ 11,143 и одновремешшо распространяет ее на произвольна кольца конечного типа представлений.

Теорема II.3.3. Пусть К - кольцо конечного типа представ-лешШ, О - чистота в mod R, . Тогда группа ЕI , исвободно по-ро.гдается множеством

Результаты, полученные в предыдущих параграфах главы, применяются в § 4 к еще одной задаче из теории алгебр конечного типа представлений. Пусть i.v\di R. =-\Mi, ..." л.^ - полное множество попарно неизоморфлых неразложимых модулей над кольцом конечного типа представлений. Нот-матрицей кольца R тзквается n.*>v-

матрица

Следующая теорема дает в некотором смысле максимально возможное обобщение соответствующего результата, полученного ранее для арти-новых алгебр.

Теорема II.4.I0. Если R. - кольцо конечного типа представлений, то <JUt Н (.КЛ - 1 .

Кроме того, попутно доказываются некоторые новые результаты о полупримарных максимальных кольцах частных.

В главе III рассматриваются аналогичные задачи классификации чистст в категории модулей над ограниченным Wp-кольцом R . Отметим, что в класс ограниченные -колец включаются классические наследственные порядки и, в частности, максимальные порядки в полупростых сепарабельннх алгебрах. Поэтому больпая часть результатов главы III представляет собой обобщение соответствующих результатов из теории абелевьх групп, а также ставших уже классическими обобщений последних на дедекиндовк области.

В § I главы III мы напоминаем известные факты о категории модулей над ограниченным ?vn. р-кольцом. Обсуждаются также приемы локализации и пополнения, и показывается, как эта техника классической коммутативной алгебры переносится на рассматриваемую некоммутативную ситуацию.

В § 2 исследуется структура алгебраически компактных модулей над ограниченным ?\.и.р-кольцом Я- , и мы получаем обобщение классических результатов Капланского о строении алгебраически компактних абелевнх групп. Пусть обозначает Р-адическое пополнение кольца Я относительно «аксиального обратимого идеала Р . Поскольку является полусовершенным ^лу-кольцом, то первый из следующих двух результатов сводит задачу описания алгебраически компактных R.-модулей к случаю, когда R - полусовераенное kn.p -кольцо, а второй, в силу этого, заЕериает описание таких модулей.

Теорема III.2.4. Пусть R. - ограниченное kup-кольцо. Тогда для ^-модуля VA равносильны следующие услов!ш:

а) t"\ - редуцированный алгебраически компактный модуль;

б) И - полный модуль в {^-топологии;

в) И - П где Р пробегает множество^всех максимальных обратимых идеалов кольца R. , а является R р-модулем, полным 10

в Р-адической топологии.

Теорема III.2.12. Пусть R. - полусоверпепное -кольцо, "О -радикал Джекобсона кольца R. . Тогда существует взаимно однозначное соответствие между редуцировашпми алгебраически компактными R.-модулями и прядали суммами циклических цепных R.-модулей. Всякому редуцировшпгаму алгебраически ко\тпактноиу модулю соответствует его базисный подмодуль; данной прямой сумме циклических цепных модулей ставится в соответствие ее 3 -адическое пополнение.

Кроме того, в этом параграфе для алгебраически компактных мода-лей над ограниченным Wp -кольцом R. изучается понятие предбаэис-ного подмодуля, аналогичное понятию базисного подмодуля для периодических R.-модулей.

§ 3 главы III посвящен классификации индуктивных чистот над ограниченн™ ?v п. р-кольцом R, , а таете есех чистот в категории med Я конечно порожденных R.-модулей, поскольку в этом случае любая индуктивная чистота однозначно определяется своим ограничением на «\od R,

Нерасщепляемый биуниверсалыгай квадрат

(к Ь

-I W

с ^ ъ

называется элементарным, если /Ч , "Ü - неразложимые модули, *г , т' - эпиморфизмы, с , т ' - мономорфизмы и выполняются следующие условия:

1 ) если Socj^Colceto-^^O , то Со\сгкг - простой модуль;

2 ) если О, то Vie/tt - простой модуль.

Дается описание всех элементарных квадратов в категории rwcdR. и доказывается, что л;обая чистота в ь\сЛ R, однозначно определяется набором и -чистых элементарных квадратов. Элементарные квадраты позволяют также охарактеризовать неразложимые и) -инъективные модули, и это приводит к доказательству инъективной порожденное™ любой индуктивной чистоты над ограниченным -кольцом R . Более подробно, пусть обозначает множество неразложимых неинъектив-

HiK о -инъективнга R. -модулей.

Теорема 111,3.16. Пусть й- - ограниченное -кольцо. Любая индуктивная чистота о г- V\ocl R инъективко порождена множеством л'(.о4). В частности, любая шщуктнапая чистота в МоД R. являет-

ся игьективной.

Получена также следующая классификация индуктивных чистот в категории Мо<1 ^

Теорема III.3.18. Пусть Й. — ограниченное у\г\. р -кольцо, ТТ* -множество всех максимальных обратимых идеалов кольца . Существует взаимно однозначное соответствие между индуктивными чистотами в МоА Я. и наборахш подмножеств множества Д/ и оо ^ :

\ , ¿-I.....чЛ .

каждое из которых удовлетворяет условию:

если о® С О'р* , то существует натуральное число 3 такое, что любое натуральное число и >, ] принадлежит -О-'р* .

В конце § 3 изучается вопрос о плоской порожденности индуктивных чистот. Пусть и - индуктивная чистота,

\ I Р*тс, , . I.....^

- набор множеств, сопоставленных чистоте о в теореме III.3.18.

Теорема III.3.26. Пусть Я. - ограниченное ^пр-кольцо, ТГ -множество всех максимальных обратимых идеалов в Я. .

а ) Индуктивная чистота (-0 плоско порождена тогда и только тогда, когда для любого Р 6 ТГ выполняется условие:

символ оо одновременно принадлежит или не принадлежит всем

множествам , I ■ I.....

б ) Любая индуктивная чистота в Мо4 К. плоско порождена тогда и только тогда, когда Я - ограниченное дедекиндово первичное кольцо.

Утверждение б ) в последней теореме является далеким обобщением отмеченной вше теоремы Ыановцева - Кузьминова.

Над произвольным кольцом для шщуктивной инъективной чистоты и) в работе £8 3 доказано существование и) -инъективной оболочки произвольного ^.-модуля. Кз результатов § 3 следует, что над ограниченным дедекиндовым первичны.! кольцом К. любая индуктивная чистота допускает О-иньективные оболочки модулей, и в § 4 для такого кольца Я. доказываются структурные теоремы об и-инъ-ективных оболочках. Отметим, что в применении к теории абелевих групп эти результаты дают в ряде случаев неизвестнее ранее результаты.

В главе 1У мы изучаем категорию модулей над ручной наследст-

12

венной конечномерной алгеброй К . Метода теории представлений в применении к таким алгебрам до последнего времени развивались в основном для категории тоА Я конечномерных модулей. В работе С1УЗ Рингелю удалось заложить основы для изучения всей категории МоД R . При этом выявился своеобразный параллелизм с теорией абелевих групп. Некоторые из этих результатов, необходимые в дальнейшем, приводятся в § I этой главы.

В § 2 главы 1У от дополняем теорию Рингеля [ 191 теоремами о структуре алгебраически компактных модулей. При этом вновь обнаружилась параллель с классическими теоремами 1Сапланского из теории абелевых групп С10 Ц . Прежде всего, имея целью классификацию чис-тот, мы осуществляем редукцию к случаю регулярных алгебраически компактных модулей. Далее, пусть (R.^ обозначает множество модулей из некоторой регулярной компоненты колчана Ауслендера - Райтен Г^ алгебры R , Q.-KJ^x - множество всех неразложимых регулярных конечномерных модулей. (R.-топология на регулярном (^.-модуле И , не обязательно конечномерном, определяется базой окрестностей 1гуля, состоящей из ядер гомоморфизмов ? : К—* X , где К с (R. . Аналогично определяется (¡^-топология на И .

Теорема ГУ.2.9. Для регулярного модуля М над ручной наследственной конечномерной алгеброй R. равносильны следующие условия: а ) М - редуцировашшй алгебраически компактный модуль; б ) М - модуль, полный в CL-топологии; в ) К., где М, - модуль, полный в Q.-топологии^

tfe-V . ttT

Каждый из модулей М ^ молено рассматривать как модуль над некоторым полусовершенным &.пр-кольцсм, над которым он также полон, и потому ввиду теоремы III.2.12 мы получаем полное описание регулярных алгебраически компактных R-модулей.

Дальнейшее исследование показывает, что в отличие от результатов глав II и III над ручной наследственной конечномерной алгеброй R. индуктивные чистоты в категории Mod. на определяются однозначно своими ограничениями на подкатегорию mod R , в связи о чем мв проводим параллельное изучение чистот в mod R ц \ЛоА соответственно.

В § 3 мы вводим новые классы коротких точных последовательностей, которне вместе с почти расщепляемыми последовательностями однозначно определяют чистоты в категории mod R, . Виуниверсалышй

квадрат в »wed R, вида

К <г (Ь

J : 1 1

С D ,

в котором А , ЕЬ - предпроективные модули ранга I , С , li fc , с■ ,г' - мономорфизмы о квази-простым коядром S , называется мостом мелду предпроективной компонентой ^ и регулярной компонентой ^ колчана Ауслендера - Райтен Г^ алгебры R ( иногда называем, также мостом между ^ и 5L ) . При этом модуль Ь называется вершиной моста «¿5 . Дуально определяются мост медду ^ ( или между 1 и прединъективной компонентой колчана Г^ , и также дуально определяется цоколь такого моста. Короткие точные последовательности, соответствующие мостам, также называем мостами. Нерасщепляеная короткая точная последовательность

О—>Ач—* Ь —-С—>0

называется застежкой, если /Ч - предпроективдай модуль ранга I , а С - прединьективный модуль ранга - I . Почти расщепляемые последовательности, мосты и застежки называем элементарными последовательностями. Эти последовательности позволяют охарактеризовать неразложимые алгебраически компактные ^.-модули. Кроме того, любая чистота о в mcd R. однозначно определяется набором и) -чистых элементарных последовательностей, и это приводит к следующему описанию чистот в *wo4 R . Пусть jfiu) - множество всех попарно неизоморфных нешгьективных U-инъективных неразложимых алгебраически компактных R-ыодулей.

Теорема 1У.3.19. Пусть R - ручная наследственная конечномерная алгебра, и - чистота в trvod К . Короткая точная последовательность Е в mod R. является w -чистой тогда и только тогда, когда относительно Е. инъективны все модули из .

Обозначим через ilCCR4) множество всех попарно неизоморфннх неразложимых алгебраически компактных R-модулей, не являющихся инъективными. Для подмножества jfczfi^ С^Л через uj^C^4) обозначим класс всех коротких точных последовательностей в mo A R. , относительно которых инъективны все модули из .

Подмножество Я о ^CCR^ называется ? -замкнутым, если оно удовлетворяет следующим условиям: 14

1) для фиксированных t fc ~Г и ... , ^

а) если множество модулей X из Л'п'? таких, что Е-Л С. Ь^Д , X ^ О , бесконечно, то /Ч*?11 Я ;

б) если множество W содержит бесконечное число регулярннх конечномершас модулей с регулярной вершиной, изоморфной

ТО ^ ЪУ;

в) если множество модулей Ч из такта, что Ext , V^i4) ^ О , бесконечно, то Pl>4 // ;

г) есл)т множество содержит бесконечное число регулярнее конечномерных модулей с регулярным цоколей, изоморфным

ТО Pt° 6 jf ; 1

2) если множество J\f содержит бесконечное число неразложимых конечномерных модулей, м Q t ¿J ;

3) если множество X г\ К t^V PU>> ItfcT ± < С «- w \

Q, .f * .. » i. V v > " I )

t yv .

Здесь K^1 обозначает (JL-адический модуль, - модуль Прюфера, Q. - С единственный ) неразложимый делимый модуль без кручения ( см. [191 ) .

Следующий результат дает абстрактную характеркзация множеств вида , и, тем самил, мы получаем полную классификацию всех

чистот в категории mod R конечномерных ^.-модулей.

Теорема 1У.3.21. Пусть - ручная наследственная конечномерная алгебра. Отображения

ф .. и V—* jv/ЧиЛ , \ \ jf I—» ^ LJJ^

устанавливал? взаимно однозначное соответствие мепду вс ми чистота-ми в wwc'v Я и всеми замкну тиги подмножествами в <3 (. R ^ .

Открыта также некоторая иерархия между элементарным последовательностями. Напр-.гер, если существует о-чистая застежка, то со-чисты все почти расцепляемые последовательности, за исключением конечного их числа. Имеются подобные результаты, связывающие мосты как с почти расщепляемыми последовательностями, так и с застежками.

В § 4 главы 1У определяются понятия полумостов и полузастежек, которые аналогичны понятиям мостов и застежек соответственно, и с их помощью доказывается следующий результат.

Теорема 1У.4.7. Пусть R. -'ручная наследственная конечномерная алгебра, и - индуктивная чистота в HoA , JV(.tJ^ - мно-

15

згостго Dcex попарно неизоморфннх нерезложимнх неинъективных w -иньективных модулей. Тогда ui инъективно порождена множеством//(u V

Кроме того, дается внутренняя характеризация множеств вида (<J ^ , соответствующих индуктивным чистотам и , которая аналогична теореме 1У.3.21, и это приводит к полной классификации индуктивных чнстот е Hod .

Ми доказываем, что любая индуктивная чистота <J однозначно определяется и)-чистыми почти расщепляемыми последовательностями, полумостами и полу застежкам и, а способ - редукции к указании,! последовательностям таков, что мы получаем возможность реконструировать любую короткую точку!) последовательность в Mod R, , начиная с етих "элементарных" последовательностей.

Наконец, сравнение свойств множеств Л (и ) для чистот в vyvccI R и индуктивных чистот в Hod соответственно позволяет заметить тот факт, что над ручной наследственной конечномерной алгеброй R индуктивные чистоте уже не определяются своими ограничениями на mot( К .

В § 5 главы 1У мы применяем элементарные последовательности, найденные в § 3 , для описания свободных образующих групп соотношений ECHjU") относительных групп. Гротендика. Рассмотрим следующую фильтрацию группы £ IR, ю ) :

Ос. с-. G^ с ,

где ,,4 и - подгруппа в EV^- ><->) . порог-денная элементами вида ЪСЕЛ , где Е. пробегает множество l\lu)\ и-чистых почти расщепляемых последовательностей, a ~ подгруппа в ElR. ,u>), порожденная подгруппой 0 и элементами вида ч С , где пробегает множество (J -чистых мостов. Рассмотрим факторы этой фильтрации:

Отмеченная вше иерархия иезду элементарнин: последовательностями проявляется в этом контексте следующим образом: если^и У о , to^Vo для j < .

Мы доказываем, что группа Л и свободно порождается множеством ^чЛЕЛ \ Е fc. Два других фактора рассматриваемой фильтрации описываются следующей теоремой.

Теорема 1У.5.1Б. I) Группа "V ^ является свободной абелевой

группой, для которой найдется база вида

где Л ^(uW { [ \ х/ ( соответственно - ^ef j'}^« ) - не-

которое множество и-чистых мостов между ^ и й. (соответственно между и Tr )с попарно неизоморфными вершинами (соответственно цоколями ) .

2 ) Группа

является либо нулевой, либо бесконечной циклической группой, и во втором случае она имеет образующую вида i (.F }, где F - некоторая о -чистая застежка (черта обозначает образы указанных элементов в соответствующих факторгруппах ).

Кроме того, эта теорема позволяет построить множество свободных образующих группы El.R.,uO .

Развитые вые методы распространяются в главе У на категорию модулей над нетеровыми справа полуцепными кольцами. В работах Кириченко £2, 31 и Уорфилда L 20 3 дана характеризация класса таких колец, и если - неразложимое кольцо из этого класса, то оно имеет один из следующих типов:

А ) R - артиново полуцепное кольцо;

Б ) R. - полусовершенное клр-кольцо;

В) ^"^Сос»4) • где ^ - полусовершешгое -кольцо, й - артиново полуцепное кольцо, К. - некоторый QH , G>} -бтаоду.чь.

Отметил, что кольца типа А ) имеют конечный тип представлений, и поэтому к ним применимы все результаты главы II. Далее, в главе III для колец типа Б ) также был получен ряд результатов, " ш в главе У дополняем их описанием свободных образующих группы Е (.R . Наконец, для колец типа В ) решается такая же задача, при этом предварительно исследуется множество элементарных квадратов в категории vwod R и дается классификация всех чистот в mod R .

В § I главы У мы исследуем так называемую схему кольца R. , введенную Кириченко £23, которую для нетеровых колец можно считать аналогом колчана Габриеля, известного в теории представлений конечномерных алгебр.

§ 2 этой главы посвящен изучению чистот в mod R. . Сначала для колец типа А ) конкретизируются соответствуйте результаты главы II. А именно, подробно описывается колчан Ауслендера - Райтен Г^ кольца R. и затем доказывается следующий результат.

Теорема У.2.3. Пусть R. - неразложимое артиново полуцепное кольцо, { Pj. » *" ' " полно® множество попарно неизоморфлых

неразложимых проективных Я.-модулей, занумерованных в соответствии со схемой S(,R^ кольца R. , при этом если SCR^) - цикл, то индексы считаем определенндаи по модулю »v . Если - цепь,

то положим > - 2 , а если SC- цикл, то положим X - I . Пусть li-l^? i , , С - \ , i. , ... , п, . Тогда

существует взаимно однозначное соответствие между чистотами в категории «ууоДй. и наборами множеств , ... , а'ц.*) , где л/ с.

, i я \ , , л, .

Затем для колец типа В ) аналогично § 3 главы III описывается класс элементарных квадратов, с помощью которых дается полная классификация чистот в R для этого случая.

Теорема У.2.14. Пусть R, - неразложимое нетерово справа полуцепное кольцо типа В ) . Существует взаимно однозначное соответствие меясду всеми чистотачи в' «wodR. и наборами множеств

где M\j{oo\ , с - 1, ... , .w , л^с\1.....U- \ ,

j »2, ... , л. , К, L^C \ I, ... , £ Ь , ... , -

некоторые множества, удовлетворяющие условиям:

а) если со * то существует } t ¿Л/ такое, что любое число ч fe ¡Ы , большее j , принадлежит £ll° ;

б) если j * К. , то для всех С- I, ...,«« j *

В § 3 изучается группа соотношений Е ,<~>) относительной группы Гротендика V(0CRjU") для кольца К , имеющего тип Б) или тип В ). Сначала путем довольно длинной редукции доказывается, что группа Е , и ) , порождается множеством элементов вида ч С Л ) i где - о-чистые элементарные квадраты. Кроме того, в этом множестве удается выделить некоторое "минимальное" множество /чО-Л cj -чистых элементарных квадратов, и тогда доказывается

основной результат этого параграфа.

Теорема У.3.5. Пусть R - неразложимое нетерово справа полуцепное кольцо, и - чистота в yyvocI R . Тогда группа Е R , <~> ) свободно порождается множеством = ^ \ J t •

В последнем § 4 результаты предгдугего параграфа, относя-неся к полусовертеннкм £кр -кольцам, применяются к от:-.анию группы E(.R , , где R - ограниченное Sk^p-кольцо. Обозначим через

UP чистоту в категории mo J , индуцируемую данной чисто-

той и в категория mod R. . Сначала мл показываем, что, как и в § 3 , группа Е (А ,<-0 порождается элементами вида Л ^ , где <3 пробегает множество и -чистых элементарных квадратов в vwjd R, , а затем с помощью этого доказываем следующий результат. Теорема У.4.б. Пусть - ограниченное к»\р -кольцо, ТГ -множество всех максимальных обратимых идеалов кольца ^ , и> чистота в wvoctP> . Тогда существует естествешшй изоморфизм

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Картан А., ЭРленберг С. Гомологическая алгебра. М.: Иэд-во иностр. литературы, I960, 510 с.

2. Кириченко В.В. Обобщенно однорядные кольца. Препринт IM-75-I , 1:н-т мат. АН УССР. Киев, 1975.

3. Кириченко В.В. Обобщенно однорядные кольца // Матем.сб. - 1976. - Т.99, IS 4. - С.559-581.

4. Кузьминов В.И. О группах чистых расширений аболевых групп II Сиб.матем.журн. - 1975. - Т. 17, К' 6. - С.1308-1320.

5. Маклейн С. Гомология. X: Мир, 1966, 543 с.

6. Мановцев A.A. Индуктивные чистоты в абелеввх группах И Матем. сб. - 1975. - Т.96, К? 3. - С.414-446.

7. Митина А.П., Скорняков Л.А. Абелевы группы и модули. M.s Наука, 196?, 152 с.

8. Скляренко Е.Г. Относительная гомологическая алгебре в категории моду-лей // Успехи мат. наук. - 1978. - Т.33, В? 3. -

С.85-КО.

9. í>e¡>c К. Алгебра: кольца, модули и категории. Т.2. M.s Мир, 1979, 464 с.

10. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. T.I. М.: Мир, 1974, -?35 с.

11. Aualander И. Eolations for Grotheadieolc group of artin algebras // Frос.doer.Math.Soc. - 19S4. - 7.91. ï 5- -

12. Auslenäer И., Helton I. Representation theory of artin algebras,111 // Commun.Algebra. - 1975- - V.3, H 3. -Р.23У-294.

13. Buchsbaum D. A note on homology in categories // Ann.Math. -

1959. - V.69. - Р.66-7^.

14-. Butler M.C.R. ßrothendieck groups and almost split sequences // Lect.Notes Math. - 1981. - T.882. - P.557-368.

15» Butler M.C.R., Horrooke G. Classes of extensions and resolutions // Fnllos.Trans.Roy.Soc.London,Ser.A. - 1961. - V.254. -P. 155-222.

16. Ellenberii «»., Voore J. ?oundationa of relative homologlcal algebra // Mem.Amer.Math.Soo. - 1965. - H 55.

17. lam T.Y., Reiner I. Relative Grothendieck groups // J.Algebra. - 1969. - V.11, И 2. - P.213-242.

18. Prüfer E. Untersuchungen Uber die Zerlegbarkeit der abzählbaren primären abelschen Gruppen // Uath.Z. - 1923. - B.17. - S.35-61.

19. Eingel C.II. Infinite dimensional representations of finite dimensional hereditary algebras // Sympos.Math.1st.Haz.Alta Mat. - 1979. - T.23. - Р.321-И2.

20. Warfield B.B. Serial rings end finitely presented modules // J.Algebra. - 1975. - V.37, 12.- P.187-222.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЩИ

21. Генералов А.И. Индуктивные чистота в категории модулей // Сиб. ыатем.журн. - 1983. - Т.24, Г 4. - C.20I-205.

22. Генералов А.И. Модули, иньективные относительно индуктивных чистот. В кн.: ХУП Всесоюзн.алгебр.конф. Тез.сообщ.Ч.И. Минск: 1983. С.46-47.

23. Генералов А.И. Чистоты над нетеровкми полуденными кольцами. В кн.: ХУШ Всесоюзн.алгебр.конф. Тез.сообщ.ЧЛ. Кишинев: 1985. C.II2.

24. Генералов А.И. Соотношения для группы Гротендика кольца конечного типа предстйвлоний. В кн.: X Всесоюзн.симпоэ. по теории групп. Тез.докладов. Гомель: 1986. С.50.

25. Генералов А.И. Собственные классы коротких точных последовательностей над нетеровкми полуцепными кольцами. В кн.: Кольца я модули. Предельн.теоремы теор.вер.Вып.1. Ленинград: 1986.

С.87-102.

26. Генералов А.И. Индуктивно замкнутые собственные классы над ограниченными {vnp-кольцами Н Алгебра и логика. - 1986. -Т.25, Р 4. - С.384-404.

27. Генералов А.И. О грушах Гротендика ограниченных ^«р -колец.

В кн.: XIX Всесоюзн.алгебр.конф. Тез.сообщ.4.1. Львов: 1907.С.5Э.

28. Генералов А.И. О формуле Кузыгенова // Сиб.ыатем.журн. - 1988. - Т.29, Р 4. - С.202-201.

29. Генералов А.И. Индуктивные чистоты над кольцами конечного типа представлений. В кн.: Абелеви группы и модули.Бш.7. Томск: 1988. С.31-41.

30. Генералов А.И. Алгебраически компактные модули и индуктивные чистоты над ручными наследственными алгебрами. 3 кн.: Международная конф. по алгебре, поев, памяти А.И.Мальцева. Тез.докл. по теор.колец, алгебр и модулей. Новосибирск: 1989. С.36.

31. Генералов А.И. Алгебраически компактные модули над ограниченными додекиндовши первичными кольцами. Деп.ред."Сиб.ыптем.¡сурн." в ВШИТО за Ь? 5805-В89 от 12.09.89 г.

32. Генералов А.И. Относительные группы Гротендика и точные последовательности над ручными наследственными алгебрами // Алгебра и анализ. - 1990. - Т.2, вып.1. - С.47-72.

33. Генералов А.И. Группы Гротендика и короткие течнне последовательности над нетеровыми кольцами. В кн.: Абелеви группн и ио-дули.Вып.9. Томск: 1990. С.7-30.

31. Генералов А.И. Теорема Батлера - Аусяендора и Неги, -матрица над кольцами конечного типа представлений. В кн.: Алгебраические систем!!. Волгоград: 1990. С.60-71.

35. Генералов А.И. Алгебраически компактные модули и относительная гомологическая алгебра над ручныга наследстзенньми алгебрами И Алгебра к логика. - 1990. - Т.29, Я? 6.