Гипотеза Гротендика о главных однородных пространствах для некоторых классических алгебраических групп тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Введение

Глава 1. Рациональная инъективность для функторов с трансферами

§1. Некоторые факты из коммутативной алгебры

§2. Формулировка основной теоремы для постоянного случая

§3. Лемма о специализации

§4. Версия трюка Квиллена

§5. Доказательство основной теоремы для постоянного случая

§6. Формулировка и доказательство основной теоремы для общего (непостоянного) случая

В 1968 году А. Гротендик предложил следующую гипотезу [15]:

Гипотеза. Пусть Я — полулокальное регулярное кольцо геометрического типа, т.е., Я является локальным кольцом точки гладкого аффинного многообразия. Пусть (2 — некоторая редуктивная плоская групповая схема над Я.

Тогда ядро гомоморфизма Н}Л (Д, О) —> Н}л (К, С к), индуцированного каноническим включением кольца Я в его поле частных К, три-I виально.

С тех пор на протяжении более 30 лет эта проблема вызывает повышенный интерес как в силу своей фундаментальности, так и далеко идущими последствиями для различных областей математики.

Заметим, что множество Л^ (Я, С) классифицирует главные однородные пространства группы С? над Я. Другими словами гипотеза Гротендика утверждает, что если главное однородное пространство группы <2 "над Я тривиально над полем частных К, то оно само тривиально. Например, для случая ортогональной группы главные однородные пространства находятся в биективном соответствии с квадратичными пространствами над Л, и гипотеза Гротендика приобретает вид утверждения относительно квадратичных форм:

Утверждение. Для любого квадратичного пространства д над Я, если пространство дк над К гиперболично, то само д гиперболично.

В 1987 гипотеза Гротендика была доказана для торов в работе Ж.-Л. Колье-Телена и Ж. Сансака [13]. Некоторые частичные результаты в решении этой проблемы были получены М. Оянгуреным [20], [21], Е. Ницневичем [18], [19], Р. Парималой, Р. Шридхараном [12], М. Ростом [30] и другими.

В случае постоянной группы, т.е., групповой схемы над полем, эта гипотеза также хорошо известна как гипотеза Ж.-Д. Серра (см. с.31, [31]), и была доказана; Ж.-Л. Колье-Теленом, М. Оянгуреным [11] и М. Рагунатаном [29] в 1994 году.

Пусть А — алгебра Адзумая над Я постоянного ранга п (скрученная форма алгебры матриц над Я). В случае, когда Я является полем, алгебра Адзумая представляет собой простую центральную алгебру.

Особенный интерес вызывает круг задач связанный с гипотезой Гротендика для классических групповых схем С = СЬ^л, ВЪ^д, О^д,

1,А,.Брх а, и и Эи^л (определения см. ниже).

Для полной линейной группы СЬ^д главные однородные пространства биективно соответствуют проективным Д-модулям фиксированного ранга п. (см. §3, гл.2). Так как кольцо Я локально, то все эти модули являются свободными, и поэтому изоморфны друг другу. Следовательно, для случая (2 — вЬх^ гипотеза Гротендика вырождается в тривиальное утверждение 1 1.

Случаи ортогональной О^д, специальной ортогональной 801,д и симплектической Бр^л групп выводятся путем применения хорошо известных аргументов о квадратичных формах (см. [11], [20], [23] и [24]).

Для остальных классических групповых схем гипотеза Гротендика имеет далеко нетривиальный характер, и только совсем недавно было получено несколько новых результатов.

Специальный линейный случай <2 = ЗИц^ был доказан в 1997 году в работе И. Панина и А. Суслина [5], используя А^'-теорию (А-теорию конечно порожденный модулей, см. [28])

Ряд совместных работ И.А. Панина и М. Оянгурена о теореме чистоты для функтора Витта и эрмитовых пространств [22], [23] позволили доказать гипотезу Гротендика для случая унитарной группы

Действительно, можно показать, что главные однородные пространства группы и^л над Я находятся во взаимно однозначном соответствии с 6-эрмитовыми пространствами над алгеброй Адзумая с инволюцией (Л, сг). Таким образом, гипотеза Гротендика для группы О = и^д сводится к следующему утверждению (теорема 9.1, [23]):

Утверждение. Для любого е-эрмитова пространства Ъ над (Л, сг), если пространство Л ®л К гиперболично, то само Н гиперболично. Вопрос о справедливости гипотезы Гротендика для многих других интересных алгёбраических групп до сих пор остается открытым, что делает данную тематику очень актуальной. г .

Одно из следствий нашей работы — доказательство вышеупомянутой гипотезы для случая специальной унитарной группы = вЦ^д.

В первой главе диссертации, следуя идеям И. Панина, М. Оянгурена [22], [23] и В. Воеводского [34] мы строим теорию гомотопически инвариантных функторов с трансферами, про которых доказываем свойство рациональной инъективности. (теорема 6.2, гл.1):

Теорема Ш (Рациональная инъективность). Пусть Я —локальное регулярное кольцо геометрического типа, т.е., Я является локальным кольцом точки гладкого аффинного многообразия А над бесконечным полем к. Пусть $ — функтор из категории А-алгебр в категорию абелевых групп, и пусть — его ограничение на категорию Я-алгебр по включению А ^ Я.

Если $ и удовлетворяют аксиомам С, ТЕ, ТА, ТВ и Е (см. §2, §6, гл.1), то гомоморфизм $ (Я) —> индуцированный каноническим включением кольца Я в его поле частных К, инъективен.

Вторая глава целиком посвящена приложениям разработанной теории. Оказывается, что гипотеза Гротендика для специального линейного = ЭИ^д и специального унитарного случая (2 = 8111 ^ следует путем применения этой теоремы к соответствующим функторам.

Рассмотрим некоторые из приложений более детально (см. §2):

Линейный случай. Пусть А — алгебра Адзумая над заданным локальным регулярным кольцом Л.

Пусть №с1 : А* Д* обозначает гомоморфизм редуцированной нормы для алгебры Адзумая А. В случае, когда А = Мп (Я) он совпадает с обычным определителем.

Для любой Я-алгебры Т пусть Ат — А Т обозначает алгебру Адзумая над Т полученную из Л расширением скаляров.

Определим групповую схему БЬ^ для Л-алгебры Адзумая А как $Ь1,Л : Т Н> БЦАт) = {а е Ат \ №с!(а) = 1}.

В §4 мы доказываем результат (теорема 1.1) полученный ранее в работе [5] совершенно другим способом:

Теорема I (Линейный случай). Пусть А — алгебра Адзумая над локальным регулярным кольцом Л геометрического типа. Тогда a) Гомоморфизм Д*/№с1( Л*)'—> К*/Ш(1(А*К) инъективен; b) Отображение (Я, ЭЬ^л) —у Н\ъ (.К, ЭЬх^^) на первых группах когомологий, индуцированное каноническим включением, инъек-тивно.

Заметим, что пункт (а) теоремы соответствует функтору : Т н-> Г7№ч1(Лг).

Таким образом, для его доказательства достаточно проверить, что # удовлетворяет всем вышеперечисленным аксиомам С, ТЕ, ТА, ТВ, Е и применить теорему Ш.

Пункт (Ь) нашей теоремы представляет собой гипотезу Гротендика для случая С = БЪх^ и следует из пункта (а) путем несложных рассуждений с использованием длинных точных последовательностей когомологий.

В тех же самых обозначениях предположим, что имеется дополнительная структура на нашей алгебре Адзумая: пусть (Л, а) — алгебра Адзумая с инволюцией над Я (см. §2, §"6).

Напомним, что существуют три различных типа инволюции: ортогональная, симплектическая и унитарная. Оказывается, что в случае ортогональной и симплектической инволюции мы можем доказать те же самые результаты, что и выше, используя известные факты относительно квадратичных форм (детали см. в §5). Так что единственный интересный случай для нас — унитарный случай:

Унитарный случай. Пусть (А, сг) является алгеброй Адзумая с унитарной инволюцией над Я. Это означает, что имеется башня А/С/Я, где С — центр А, и С/Я — этальное квадратичное расширение над В, с ограниченной инволюцией а. Следовательно, Ск/К является сепа-рабельным квадратичным расширением соответствующих полей частных.

Пусть и(Лт) = {а € Ат | = 1} -— унитарная группа алгебры (Ат,сг) для произвольной Д-алгебры Т. Мы определяем групповую схему Би^л для алгебры Адзумая А с унитарной инволюцией сг как

Би^л : Т Би(Ат)- = {а Е Ат | ааГ = 1, Гш1(а) = 1}

В §6 мы доказываем (теорема 1.2):

Теорема II (Унитарный случай). Пусть (А, сг) — алгебра Адзумая с унитарной инволюцией над локальным регулярным кольцом К геометрического типа. Тогда a) Гомоморфизм 11(С)/№с1(и(Д)) —> и(Ск)/№ч1(и(Дх)) инъекти-вен; b) Ядро отображения Н1(К,$и1уЛ) —)■ Н1(К,3\]1:Лк), индуцированного каноническим включением, тривиально.

Ясно, что пункт (а) соответствует функтору : Г U(Cr)/Nrd(U(A/')), где Ст = С 0r Т есть центр алгебры Адзумая Лт

Для его доказательства, как и в линейном случае, мы применяем теорему RI к новому функтору ^ предварительно проверив выполнение всех необходимых аксиом.

Пункт (Ь) выводится из (а) аналогично линейному случаю. Таким образом, мы получаем справедливость гипотезы Гротендика для групповой схемы G = SU1.4.

Случаи с кручением. Следующие две теоремы представляют независимый интерес. На них можно смотреть как на модификации линейного и унитарного случаев соответственно (см. §7)."

Для функтора T*/Nid(A^)(T*)d, d G применяя теорему

RI мы получаем:

Теорема III (Линейный случай с кручением). Пусть Л —алгебра Адзумая над локальным регулярным кольцом R геометрического типа, и d — некоторое натуральное число. Тогда гомоморфизм индуцированный каноническим включением Nrd(^(R»)d —Nrd(^f )(к*)<* инъективен.

Заметим, что случай d > 2 не может быть доказан, используя технику работы [5].

Соответственно для функтора J U(CT)/Nrd(U(^T))U(CT)V d G N, мы имеем:

Теорема IV (Унитарный случай с кручением). Пусть (А,<т) — алгебра Адзумая с унитарной инволюцией над локальным регулярным кольцом R геометрического типа, и d — некоторое натуральное число. Тогда гомоморфизм ^ЩАИЩО)* Nrd(и(Ак))щску* инъективен.

Самое сложное место в доказательстве теорем II и IV — это проверка аксиомы ТЕ. Для этого мы используем следующий важный факт:

Теорема (Норменный Принцип для унитарной группы). Пусть Я — полулокальное кольцо с бесконечными полями вычетов характеристики отличной от 2. Пусть (А, сг) является алгеброй Адзумая с унитарной инволюцией сг над Я. Пусть С — центр алгебры А, так что С является этальной квадратичной Я-алгеброй со стандартной инволюцией сг. Тогда выполнено следующее равенство: где с1~а = с(ссг)-1, для любого с Е С*.

Постоянный случай, т.е., когда алгебра Адзумая А приходит с некоторого поля, был доказан А. Меркурьевым в [3] (элементарное доказательство этого результата может быть найдено в [9]).

Для того, чтобы лучше понять смысл вышеуказанной теоремы, доказательству которой отведена вся 3 глава нашей диссертации, рассмотрим несколько тривиальных примеров:

Пример 1. Пусть К. — поле действительных чисел, и С — поле комплексных чисел. Понятно, что С/Ж является этальным квадратичным расширением, так как С = М{£]/(£2 + 1).

Пусть алгебра Адзумая с инволюцией (Д, сг) над К представляет со- . бой алгебру матриц Мп(С) со стандартной инволюцией сг : А м- Аг.

Тогда редуцированная норма — это обычный определитель, и наше утверждение выглядит следующим образом:

1:еЬ.А | А е ип(С)} = {(^(А^)"1) I А е СЬП(С)} где уп(С) обозначает унитарную группу, а ОЬп(С) полную линейную группу над С. Очевидно, что левая и правая части совпадают с единичной окружностью в С.

11

Пример 2. Пусть С/Я — произвольное этальное квадратичное расширение Полулокальных колец. Пусть а — стандартная Д-линейная инволюция на С. Пусть алгебра Адзумая с инволюцией (Л,'<т), над Я есть просто (С, а) над Д. Тогда наше утверждение имеет вид: щс) = {сес Iсса = 1} = {с(с<т)-1 еС\сеС*} = (с*)1"67, и является специальным случаем теоремы Гильберта 90, см. [32].

В последней главе диссертации, используя теорему Попеску [25], [26], [27], [33], мы обобщаем теоремы I, II, III и IV на случай произвольного локального регулярного кольца содержащего поле.

Основные результаты

1. Построена теория гомотопически инвариантных функторов с трансферами, для которых справедливо свойство рациональной инъ-ективности:

Пусть Л — локальное регулярное кольцо содержащее поле. Пусть # — гомотопически инвариантный функтор с трансферами из категории Д-алгебр в категорию групп удовлетворяющий некоторым дополнительным свойствам. Тогда отображение индуцированное каноническим включением кольца Я в его поле частных К, инъективно.

2. Рассмотрены примеры классических групповых схем БЬ и ЯИ над локальным регулярным кольцом геометрического типа. Для них доказана рациональная инъективность. Как следствие получено решение гипотезы Гротендика для специальной линейной ЭЬ и специальной унитарной Би группы.

3. Доказан аналог норменного принципа для унитарной группы над полулокальными кольцами с бесконечными полями вычетов.

4. Все полученные результаты обобщены на случай произвольного локального регулярного кольца содержащего поле.

1. Bass H. Algebraic ii-theory. W.A. Benjamin, 1.c. New York 1968. Русский перевод: Басс X. Алгебраическая К-теорШ. M.: Мир, 1973. 591 с.

2. Зайнуллин К.В. Гипотеза Гротендика о главных однородных пространствах для некоторых классических алгебраических групп // Алгебра и Диализ. 2000. Том 12. Ж. с. 150'Ш

3. Меркурьев А.С. Норменный принцип для алгебраических групп // Алгебра и Анализ. 1995. Том 7. №2. с.77-105.

4. Miln J.S. Etale Cohomology. Princeton Mathematical Series 33. Princetôn University Press. Princeton, New Jersy 1980. Русский перевод: Милн Дж. Этальные когомологии. М.: Мир, 1983. 392 с.

5. Панин И.А., Суслин А.А. Об одной гипотезе Гротендика, касающейся алгебр Адзумайа // Алгебра и Анализ. 1$97. Том 9. №4. с.215-223.

6. Hartshorne R. Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics 52. Springer-Verlag New York Heidelberg Berlin 1977. Русский перевод: Хартсхорн P. Алгебраическая геометрия. M.: Мир, 1981. 601 с.

7. Шафаревич И.Р. Основы алгебраической геометрии. М.: Наука, 1972. 568 с.- 8. Altman A., Kleiman S. Introduction to Grothendieck Duality Theory. Lecture Notes in Mathematics 146. Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York 1970. 185 p.

8. Bayer-Fluckiger E., Parimala R. Galois cohomology of the classical groups over fields of cohomological dimension < 2 // Invent, math. 1995. Vol.122, p. 195-229.

9. Colliot-Thélène J.-L. Formes quadratiques sur les anneaux semi-locaux réguliers // Colloque sur les Formes Quadratiques, 2 (Montpellier,1997), Bull. Soc. Math. France Mém. 1979. №59. p.13-31.

10. Colliot-Thélène J.-L., Ojanguren M. Espaces principaux homogènes localement triviaux // Inst. Hautes Études Sei. Publ. Math. 1992. №75. p.97-122.

11. Colliot-Thélène J.-L., Parimala R., Sridharan R. Un théorème de pureté locale // C. R. Acad. Sei. Paris 1989. Sér.l. Math. 309. №14. p.857-862. .

12. Colliot-Thélène J.-L., Sansuc J.-J. Principal homogeneous spaces under flasque tori: applications // J. Algebra 1987. Vol.106, p.148-205.

13. Eisenbud D. Commutative Algebra // Graduate Texts in Mathematics 150. Springer-Verlag New York 1995. 797 p.

14. Grothendieck A. Le groupe de Brauer II // Dix Exposés sur la Cohomologie des Schémas. Masson Paris 1968. p.67-87.

15. Knus M.-A. Quadratic and Hermitian Forms over Rings // Grundlehren der Mathematik Wissenschaften 294. Springer-Verlag 1991. 524 p.

16. Knus M.-A., Merkurjev A., Rost M., Tignol J.-P. The Book of Involutions // AMS, Providence, RI. 1998. Coll. Publ. Vol.44. 593 p.

17. Nisnevich Ye. Espaces homogènes principaux rationnellement triviaux et arithmétique des schémas en groupes réductifs sur les anneaux de Dedekind // C. R. Acad. Sei. Paris 1984. Sér. 1. Math. 299. №1. p.5-8.

18. Nisnevich Ye. Rationally trivial principal homogeneous spaces, purity and arithmetic of reductive group schemes over extensions of two-dimensional regular local rings // C. R. Acad. Sei. Paris 1989. Sér. 1. Math. 309. №10. p.651-655.

19. Ojanguren M. Quadratic forms over regular rings // J. Indian Math. Soc. 1980. №44. p.109-116.

20. Ojanguren M. Unités représentées par des formes quadratiques ou par des normes réduites // Algebraic ÜT-Theory (Oberwolfach, 1980), Pt. IL Springer-Verlag, Berlin New York Heidelberg 1982. Lecture Notes in Math. 967. p.291-299.

21. Panin I., Ojanguren M. A Purity Theorem for the Witt Group // Sonderforschungsbereich 343 Diskrete Strukturen in der Mathematik. 1997. Universität Bielefeld Preprint. 97-117.

22. Panin I., Ojanguren M. Rationally trivial hermitian spaces are locally trivial//Math. Z. 2000. to appear. 15 p.

23. Pardon W. A Gersten conjecture for Witt groups //In Algebraic K-theory, Oberwolfach 1980. p.300-315. Lecture Notes in Math. 967. Springer-Verlag Berlin 1980.

24. Popescu D. General Neron desingularization // Nagoya Math. J. 1985. Vol.100, p.97-126.

25. Popescu D. General Neron desingularization and approximation // Nagoya Math. J. 1986. Vol.104, p.85-115.

26. Popescu D. Letter to the Editor; General Neron desingularization and approximation//Nagoya Math. J. 1990. Vol. 118. p.45-53.

27. Quillen D. Higher algebraic K-theory I // Algebraic if-theory, I: Higher ÜT-Theories (Proc. Conf., Seattle Res. Center, Battelle Memorial Inst., 1972) Springer-Verlag Berlin 1973. Lecture Notes in Math. Vol.341, p.85-147.

28. Raghunathan M. Principal bundles admitting a rational section // Invent. Math. 1994. Vol.116, p.409-423.

29. Rost M. Durch Normengruppen definierte birationale Invarianten // C. R. Acad. Sei. Paris, 1990. Sér.l Math. 310. №4. p.189-192.

30. Serre J.-P. Espaces fibres algébriques // Séminaire Ç. Chevalley,2.e Année: 1958, Anneaux de Chow et Applications, Ecole Norm. Sup. Secrétariat Math., Paris 1958. p. 101-137.

31. Serre J.-P. Local Fields // Graduate Texts in Mathematics 67. Springer-Verlag New-York 1995.

32. Swan R.G. Neron-Popescu desingularization. Preprint.

33. Voevodsky V., Suslin A., Friedlander E. Cycles, Transfers and Mo-tivic Homology Theories // Princeton University Press 1998. An. Math.851. Studies. 282 p.

34. Zainoulline K. On Hilbert 90 for Azumaya algebras // Prépublications de L'Équipe de Mathématiques de Besançon 1998. 98/30. 6 p.

35. Zainoulline K. On a Rational Injectivity for Homotopy Invariant Functors with Transfers // Препринт ЛОМИ 1998, №21. 10 р.

36. Zainoulline К. On a Grothendieck Conjecture about principal homogeneous spaces for Special Unitary group // Препринт ЛОМИ 1998, №22. lip.