Пары Белого над конечными полями и их редукция тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи УДК 511.6+512.772.7+515.142.2

ВАШЕВНИК Андрей Михайлович

Пары Белого над конечными полями и их редукция

Специальность: 01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

I

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва, 2006 г.

Работа выполнена на кафедре высшей алгебры Механико-математического факультета Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова.

Научный руководитель: доктор физико-математических

наук, профессор Г. Б. Шайат

Официальные оппоненты: доктор физико-математических

наук М. А. Цфасман;

кандидат физико-математических наук Н. М. Адрианов

Ведущая организация: Математический институт

им. В. А. Стеклова РАН

Защита состоится 12 мая 2006 г, в 16 часов 15 минут на заседании диссертационного совета Д 501.001.84 в Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова по адресу: 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан 12 апреля 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 501.001.84 в МГУ доктор физ.-мат. наук, профессор

В.Н. Чубариков

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Алгебраические кривые, определяемые различными комбинаторными структурами на римановых поверхностях в течение уже более чем ста лет постоянно возникают как в качестве естественных комбинаторных и алгебраических задач, так и в связи с различными вопросами теории пространств модулей, теории римановых поверхностей, квантовой гравитации, теории струн. Не случайно особенно бурное развитие комбинаторной и арифметической теории графов на поверхностях приходится на последние два десятилетия, когда обнаруживаются многочисленные новые взаимосвязи между алгебраической геометрией, комплексным анализом, топологией, дифференциальными уравнениями, компьютерной алгеброй и

В 1972 - 1984 г. известный французский математик Александр Гротендик установил, что все алгебраические кривые над числовыми полями могут быть реализованы в виде графов специального вида на римановых поверхностях. При этом оказывается, что соответствующий граф является полным ß-прообразом прямой, соединяющей какие-либо два критические значения некоторой рациональной функции ß с не более чем тремя критическими значениями (так называемой функции Белого), заданной на исходной кривой. Гротендик назвал графы рассматриваемого вида детскими рисунками (dessin d'enfant). В дальнейшем это название стало общепринятым. Выяснилось1, что взаимосвязь между детскими рисунками и кривыми над числовыми полями может быть поднята до эквивалентности категорий.

Начиная со второй половины восьмидесятых годов, раздел алгебры, посвященный изучению детских рисунков Гротендика, кривых над числовыми полями, рациональных функций с

1 Shabat G.B., Voevodsky V.A., Drawing curves over number fields. The Grothendieck Festschrift // Birkhauser.-1990.-V. Ш.-Р. 199-227.

ДР-

необщим числом критических значений, активно развивается математиками из разных стран. Современный уровень развития теории нашел отражение в большом количестве печатных работ в центральных математических журналах, в ряде обзоров, в специальных сборниках 2 3, в работе различных международных конференций.

Определение. Парой Белого {X,ß) называется алгебраическая кривая X и непостоянная рациональная функция ß : X —> Р^С), имеющая не более трех критических значений. Функцию ß обычно называют функцией Белого.

Доказана эквивалентность категории пар Белого и категории детских рисунков. Существуют методы построения детских рисунков, соответствующих данной паре Белого. А именно, для нахождения детского рисунка, соответствующего данной паре Белого (X,ß), достаточно взять полный ^-прообраз любой несамопересекающейся кривой, соединяющей какие-либо два критических значения функции Белого. Однако, обратная задача является исключительно сложной. Существует множество частных решений этой проблемы 4 5 6 7 8, но отсутствует хоть какой-нибудь подход к общему решению.

Задача данной диссертации - распространение теории Гротендика на произвольные поля. Для этого строится алгебраическая теория, которая приводит к классическому определению пар Белого в случае, если основное поле имеет нулевую характеристику.

1 Schneps L., The Grothendieck-Teichmuller group: a survey, in Geometric Galois Theory I,

LMS Lecture Notes 242, Cambridge U. Press, 1997.

3Schneps L., Lochak P., London Math. Soc. Lecture Note Series—1997,-V. 242-243.

4 Адрианов H.M., Кочетков Ю.Ю., Шабат Г.В., Суворов А.Д., Плоские деревья и группы Матье // Фундаментальная и прикладная математика.—1995.—Т. 1, № 2.— С. 377384.

s Bèbrèma J., Péri D., Zvonkine A., Plane Trees and their Shabat Polynomials. Catalog. Bordeaux: Rapport Interne de LaBRI.-1992.-V. 75-92.

* Kochetkov Yu. Уи., Trees of diameter 4 // Formal Power Series and Algebraic Combinatorics—Berlin: Springer-Verlag.—2000— P. 447-453.

7Shabat G., On a class of families of Belyi functions // Formal Power Series and Algebraic Combinatorics—Berlin: Springer-Verlag, 2000—P. 575-580.

'Ambvrg N., Regular unicellular dessins s'enfants and Weil curves // Formal Power Series and Algebraic Combinatorics.—Berlin: Springer-Verlag, 2000—P. 393-401.

В данной работе определяются также простые плохой редукции детского рисунка. Определение простых плохой редукции давалось и в работах 9 10. Особенность подхода, приведенного здесь, состоит в том, что определение дается для детского рисунка и не зависит от выбора функции Белого, ему соответствующей. Также стоит отметить, что данное определение элементарно и не требует от читателя продвинутых знаний алгебраической геометрии.

Таким образом, тема работы представляется актуальной и активно разрабатываемой современными математиками.

»

Цель работы

Цель работы состоит в распространении теории Гротендика ' на произвольные поля. В работе даны определения пары

Белого над произвольным полем и простых плохой редукции для комбинаторных инвариантов детских рисунков. Установлена связь между парами Белого с одинаковыми инвариантами над и различными полями; разработаны методы нахождения простых

плохой редукции.

, Основные методы исследования

В работе используются методы и результаты теории графов, теории Галуа, теории комплексных алгебраических кривых.

Научная новизна

Основные результаты работы являются новыми. Среди них:

• Введение понятия пары Белого над произвольным

алгебраически замкнутым полем.

• Установление соответствий между функциями Белого

над конечными полями и функциями Белого над

9 Wewers S., Three point covers with bad reduction. J. Amer. Math. Soc. 16 (2003), 991-1032.

10Zapponi L., Specialization of polynomial covers of prime degree, Pacific J. Math., 214, no. 1, (2004). 161-183

полями характеристики 0, получение условий спуска в положительную характеристику.

• Введение понятия простых плохой редукции.

• Исследование связи простых плохой редукции с комбинаторными характеристиками рисунка.

• Получение критериев реализуемости наборов валентностей в положительной характеристике.

Практическая и теоретическая ценность

Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации могут быть использованы в некоторых задачах теории детских рисунков Гротендика, теории алгебраических кривых, теории Галуа.

Апробация результатов

Результаты диссертации докладывались на 12-ой международной конференции по формальным степенным рядам и алгебраической комбинаторике в Москве в 2000 г., на международной алгебраической конференции, посвященной 250-летию Московского университета и 75-летию кафедры высшей алгебры (Москва, 26 мая - 2 июня 2004 г.), на международном семинаре по компьютерной алгебре и информатике (9 ноября - 11 ноября 2005 г), на научно-исследовательском семинаре кафедры высшей алгебры механико-математического факультета МГУ, на семинаре по алгебраической геометрии в НМУ под руководством М.А. Цфасмана, неоднократно на семинаре "Графы на поверхностях и кривые над числовыми полями "в МГУ под руководством Г.Б.Шабата.

Публикации

Основные результаты опубликованы в двух работах, список которых приведен в конце автореферата [1-2].

Структура диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Полный объем диссертации — 78 страниц, библиография включает 27 наименований.

Краткое содержание работы

В первой главе определяются основные объекты рассматриваемой теории, строятся основные понятия, используемые в работе, и приводится краткий обзор существующих методов и результатов.

В первом параграфе рассказывается об основных понятиях теории алгебраических кривых.

Во втором параграфе дается определение детского рисунка и объектов, с ними связанных.

В третьем параграфе рассказывается о парах Белого.

В четвертом параграфе приведены свойства дискриминантов многочленов.

В пятом параграфе дается определение обобщенных многочленов Чебышева и приводятся их свойства.

Во второй главе вводится понятие функции Белого над произвольным алгебраически замкнутым полем.

В первом параграфе приводятся условия на рациональную функцию /?, которые имеют смысл над произвольным полем. В случае поля комплексных чисел каждое из них эквивалентно тому, что ¡3 - является функцией Белого рода 0. Однако, над полем положительной характеристики эти условия уже не являются эквивалентными друг другу. Устанавливаются соотношения между этими условиями. Вводятся определение функции Белого и регулярной функции Белого над произвольным алгебраически замкнутым полем. Приводится необходимое и достаточное условие того, что функция Белого является регулярной функцией Белого.

Во втором параграфе приводятся результаты, аналогичные результатам первого параграфа, для обобщенным многочленов

Чебышева.

В третьем параграфе приводятся примеры функций Белого и регулярных функций Белого.

В третьей главе вычисляются функции Белого для некоторых серий над произвольными алгебраически замкнутыми полями, полем.

В первом параграфе в явном виде находятся обобщенные многочлены Чебышева для деревьев диаметра 3. 1

Во втором параграфе устанавливаются соотношения для 1

обобщенных многочленов Чебышева, соответствующих деревьям 1

диаметра 3. Приводится необходимое и достаточное условие того, ,

что система уравнений на параметры обобщенного многочлена Чебышева имеет паразитическое решение.

В третьем параграфе приводятся примеры, когда для I

некоторого набора кратностей не существует ни одной функции Белого в конечной характеристике, а также когда для набора кратностей существует бесконечное семейство неэквивалентных друг другу функций Белого. Устанавливаются необходимые критерии того, что для набора кратностей существует функция Белого.

Четвертая глава посвящена введению определения 1

простых плохой редукции для детского рисунка (набора валентностей) и установлению соотношений между классическими функциями Белого и функциями Белого над конечными полями.

В первом параграфе приводятся критерии спуска функции Белого и обобщенного многочлена Чебышева в положительную характеристику.

Во втором параграфе дается определение простых плохой редукции для некоторого набора кратностей.

В третьем параграфе вычисляются простые плохой редукции для наборов кратностей, соответствующих цепочкам и соответствующих деревьям диаметра 3. Устанавливаются соотношения для простых плохой редукции для наборов кратностей, соответствующих деревьям диаметра 4.

Пятая глава посвящена построению аналогичной теории для кривых положительных родов.

В первом параграфе выписывается дивизориальная система уравнений на рациональную функцию /3 над некоторой алгебраической кривой X. Приводятся определения функции Белого над произвольным алгебраически замкнутым полем, простых плохой редукции. Устанавливаются свойства построенных объектов.

Во втором параграфе анализируются детские рисунки, соответствующие абстрактному графу К^. Выписываются пары Белого для каждого из этих рисунков.

В третьем параграфе для рисунков, построенных в предыдущем параграфе, находятся списки простых плохой редукции.

Благодарности

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю доктору физ.-мат. наук, профессору Георгию Борисовичу Шабату за постановку задач, полезные обсуждения, постоянную поддержку и внимание к работе. Искренне признателен сотрудникам кафедры высшей алгебры за интерес к моей работе и полезные советы.

Список публикаций по теме диссертации

1. Вашевник A.M. К определению обобщенных многочленов Чебышёва над конечными полями. Функциональный анализ и его приложения, IT« 3, 2001, 77-79.

2. Вашевник A.M. Простые плохой редукции детских рисунков рода 0. Фундаментальная и прикладная математика т. 11 вып.2, 2005, 25-43.

Издательство ЦПИ при механико-мапгематическом факультете МГУ им. М.В. Ломоносова. Подписано в печать /С.Ок 06 Формат 60x90 1/16. Усл. печ. я. ¿>5

Тираж /О О экз. Заказ /4

/от

»2-76 29

k

i

.i

i

i

i i i

i

0 Введение.

1 Предварительные понятия

1.1 Алгебраические кривые в аффинных и проективных пространствах. Основные определения и обозначения

1.2 Теория детских рисунков.

1.3 Теория пар Белого.

1.4 Дискриминант многочлена

1.5 Обобщенные многочлены Чебышева

II Пары Белого над произвольными полями

2.1 Определения функции Белого над произвольным полем

2.2 Определения обобщенного многочлена Чебышева над произвольным полем

2.3 Примеры функций Белого над различными полями

III Вычисления пар Белого над различными полями

3.1 Деревья диаметра

3.2 Деревья диаметра 4.

3.2.1 Общие факты.

3.2.2 Примеры

3.2.3 Деревья диаметра 4 над полями конечной характеристики.

3.3 Примеры несуществования и неединственности функций Белого.

IV Простые плохой редукции(ППР)

4.1 Теоремы о редукции

4.1.1 Теорема о редукции для функций Белого.

4.1.2 Теорема о редукции для обобщенных многочленов Чебышева

4.1.3 Редукция в несепарабельном случае

4.2 Определение простых плохой редукции

4.3 Простые плохой редукции для некоторых серий

4.3.1 Простые плохой редукции для цепочек.

4.3.2 Простые плохой редукции для деревьев диаметра 3.

4.3.3 Простые плохой редукции для деревьев диаметра 4.

V Кривые положительных родов

5.1 Простые плохой редукции

5.2 Детский рисунок

5.3 Простые плохой редукции рисунка К^

Актуальность темы диссертации. Алгебраические кривые, определяемые различными комбинаторными структурами на римановых поверхностях в течение уже более чем ста лет постоянно возникают как в качестве естественных комбинаторных и алгебраических задач, так и в связи с различными вопросами теории пространств модулей, теории римановых поверхностей, квантовой гравитации, теории струн. Не случайно особенно бурное развитие комбинаторной и арифметической теории графов на поверхностях приходится на последние два десятилетия, когда обнаруживаются многочисленные новые взаимосвязи между алгебраической геометрией, комплексным анализом, топологией, дифференциальными уравнениями, компьютерной алгеброй и др.

В 1972- 1984 г. известный французский математик Александр Гротендик установил, что все алгебраические кривые над числовыми полями могут быть реализованы в виде графов специального вида на римановых поверхностях. При этом оказывается, что соответствующий граф является полным /^-прообразом прямой, соединяющей какие-либо два критические значения некоторой рациональной функции (3 с не более чем тремя критическими значениями (так называемой функции Белого), заданной на исходной кривой. Гротендик назвал графы рассматриваемого вида детскими рисунками (dessin d'enfant). В дальнейшем это название стало общепринятым. Выяснилось (см. [6]), что взаимосвязь между детскими рисунками и кривыми над числовыми полями может быть поднята до эквивалентности категорий.

Начиная со второй половины восьмидесятых годов,

раздел алгебры, посвященный изучению детских рисунков Гротендика, кривых над числовыми полями, рациональных функций с необщим числом критических значений, активно развивается математиками из разных стран. Современный уровень развития теории нашел отражение в большом количестве печатных работ в центральных математических журналах, в ряде обзоров, в специальных сборниках [7, 8], в работе различных международных конференций.

Определение. Парой Белого (X, (3) называется алгебраическая кривая X и непостоянная рациональная функция (3 : X —> Р^С), имеющая не более трех критических значений. Функцию (3 обычно называют функцией Белого.

Доказана эквивалентность категории пар Белого и категории детских рисунков, см. [6]. Существуют методы построения детских рисунков, соответствующих данной паре Белого. А именно, для нахождения детского рисунка, соответствующего данной паре Белого (Х,@), достаточно взять полный /^-прообраз любой несамопересекающейся кривой, соединяющей какие-либо два критических значения функции Белого. Однако, обратная задача является исключительно сложной. Существует множество частных решений этой проблемы, см. [9,10,11,13,12, 6], но отсутствует хоть какой-нибудь подход к общему решению.

Задача данной диссертации - распространение теории Гротендика на произвольные поля. Для этого строится алгебраическая теория, которая приводит к классическому определению пар Белого в случае, если основное поле имеет нулевую характеристику.

В данной определяются также простые плохой редукции детского рисунка. Определение простых плохой редукции давалось и в текстах [1], [26]. Особенность подхода, приведенного здесь состоит в том, что определение дается для детского рисунка и не зависит от выбора функции Белого, ему соответствующий. Также стоит отметить, что данное определение элементарно и не требует от читателя продвинутых знаний алгебраической геометрии.

Таким образом, тема работы представляется актуальной и активно разрабатываемой современными математиками.

Цель работы состоит в распространении теории Гротендика на произвольные поля. В работе даны определения пары Белого над произвольным полем и простых плохой редукции для комбинаторных инвариантов детских рисунков. Установлена связь между парами Белого с одинаковыми инвариантами над различными полями; разработаны методы нахождения простых плохой редукции.

Основные методы исследования. В работе используются методы и результаты теории графов, теории Галуа, теории комплексных алгебраических кривых.

Научная новизна. Основные результаты работы являются новыми. Среди них:

• Введение понятия пары Белого над произвольным алгебраически замкнутым полем

• Установление соответствий между функциями Белого над конечными полями и функциями Белого над полями характеристики 0, получение условий спуска в положительную характеристику

• Введение понятия простых плохой редукции

• Исследование связи простых плохой редукции с комбинаторными характеристиками рисунка

• Получение критериев реализуемости наборов валентностей в положительной характеристике.

Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы в некоторых задачах теории детских рисунков Гротендика, теории алгебраических кривых, теории Галуа.

Апробация результатов. Результаты диссертации докладывались на 12-ой международной конференции по формальным степенным рядам и алгебраической комбинаторике в Москве в 2000 г, на международной алгебраической конференции, посвящцнной 250-летию Московского университета и 75-летию кафедры высшей алгебры (Москва, 26 мая - 2 июня 2004 г.), на международном семинара по компьютерной алгебре и информатике(9 ноября - И ноября 2005 г), на научно-исследовательском семинаре кафедры высшей алгебры механико-математического факультета МГУ, на семинаре по алгебраической геометрии в НМУ под руководством М.А. Цфасмана, неоднократно на семинаре "Графы на поверхностях и кривые над числовыми полями"в МГУ под руководством Г.Б.Шабата.

Публикации. Основные результаты опубликованы в 2 работах, список которых приведен в конце диссертации.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, разбитых на параграфы, и списка

1. Wewers S. Three point covers with bad reduction. J. Amer.Math. Soc. 16 (2003), 991-1032.

2. Кочетков Ю. Ю., Антивандермондовы системы и плоские деревья, Фупкц. анал. и его прил., 2002, 36. 83-87.

3. Вашевпик А. М. К определению обобщепных многочлепов Чебышч,ва над конечными полями. Функциональныйанализ и его приложения е 3 2001. 77-79.

4. Shabat G., Zvonkin А. Plane trees and algebraic numbers; Contemporary Math., 1994, vol.178, pp.233-275

5. Кострикин A. И., "Введение в алгебру. Основы алгебры". М., Физматлит, 1994.

6. Shabat G.B., Voevodsky V.A. Drawing curves over number fields. The Grothendieck Festschrift // Birkhauser.—1990.—V. III.-P. 199-227.

7. Schneps L. The Grothendieck-TeichmuUer group: a survey, in Geometric Galois Theory I, LMS1.ecture Notes 242, Cambridge U. Press, 1997.http://www.math.jussieu.fr/ leila/SchnepsGT.pdf

8. Geometric Galois Action (eds. L.Schneps, P.Lochak) // Lon- don Math. Soc. Lecture Note Series.—1997.—V. 242-243.76

9. Адрианов Н.М., КочеткоР5 Ю.Ю., Шабат Г.Б., Суворов А.Д. Плоские деревья и группы Матье //Фундаментальная и прикладная математика.—1995.—Т.1, Ш 2 .- 377-384.

10. Amburg N. Regular unicellular dessins s'enfants and Weil curves // Formal Power Series and AlgebraicCombinatorics.-Berlin: Springer-Verlag, 2000.—P. 393-401.

11. Betrema J., Pere D., Zvonkine A. Plane Trees and their Shabat Polynomials. Catalog. Bordeaux: Rapport Interne de1.aBRI.1992.-V. 75-92.

12. Shabat G. On a class of families of Belyi functions // Formal Power Series and Algebraic Combinatorics.—Berlin: Springer-Verlag, 2000.-R 575-580.

13. Kochetkov Yu. Yu. Trees of diameter 4 // Formal Power Se- ries and Algebraic Combinatorics.—Berlin: Springer-Verlag.—2000.-P. 447-453.

14. Zolotarskaya V. On the trees of diameter 3. Proc. of the 12-th International Conference FPSAC-00.-2000.-P. 30-32.

15. Vashevnik A. - Generalized Chebyshev's polynomials over fields and commutative rings. SProc. of the 12-th Interna-tional Conference FPSAC-00.

16. Хартсхорн P. Алгебраическая геометрия. М.: Мир, 1981.

17. Semple J.G., Roth L. Introduction to Algebraic Geometry. Oxford: Clarendon Press, 1985.

18. Шафарсвич И.P. Основы алгебраической геометрии. М.: Наука, 1972.77

19. Цишапг X., Фогг Э., Колдевай Х.-Д. Поверхности и разрывные группы. М.: Наука, 1988.

20. Shabat G., Zvonkine А. Plane trees and algebraic numbers // Contemporary Mathematics, AMS.—1994.—V. 178.—P. 233-275.

21. Grothendieck A. Esquisse d'un programme // London Math. Soc. Lecture Notes Series.—Cambridge: Cambridge Univ.Press.-1997.-V. 243.-P. 3-43.

22. Белый Г.Б. 0 расширениях Галуа максимальных циклотомических полей // Изд. Акад. Наук СССР.—1979.-Т. 43.-С. 269-276.23. ван дер Варден Б.Л. Алгебра. М.: Наука, 1979.

23. Адрианов Н.М. Алгебраическая теория графов на поверхностях. Кандидатская диссертация.

24. BanieBHiiK А. М. Простые плохой редукции детских рисунков рода 0. Фундаментальная и прикладнаяматематика т. 11 в.2, 2005. 25-43.

25. Zapponi L. Specialization of polynomial covers of prime de- gree. Pacific Л. Math., 214, no. 1, (2004). 161-183

26. Шабат Г. Б. Мнимо-квадратичные решения антиваидермоидовых систем с 4 неизвестными иорбиты Галуа деревьев диаметра 4. Фундаментальная иприкладная математика т.9, в.З, 2003, 229-236.78