Кручение и группы Брауэра локальных эллиптических кривых тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Институт математики Академии наук Беларуси

ОД

УД К 512.772.7+512.552.22

Маргошш Геннадий Лаоаревлч

Кручение и группы Брауэра локальных .эллиптических кривых

01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата фшико-ыатематнческих наук

Минск - 1995

Работа выполнена в Институте математики ЛН Беларуси

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Янчеасыщ Б.II.

Официальные оппоненты: доктор фшшсо-матсматическшс наук, профессор Мельников О.В., кандидат фиоико-ыатематических наук, доцент Мплованов М.13.

Ведущая оргапиоация: Санкт-Петербургское отделение математического института ыд. В.Л.Стекяова.

«Защита диссертация состоится ""______ 1995 г. в ^¿кТ

часов на оаседаппи снецяалиоировашгого совета Д 01.02.01 при Институте математики ЛН Беларуси (220072, Мивсх, уи.Сурганова, 11, конферсиц-оал)

С диссертацией можно шнахомнться в библиотеке института. Автореферат раоослан __1995 г.

Общая: характеристика работы

Актуальность теми. Слаоь алгебраической геометрии и теории кокечшшерпых центральных алгебр, в частности, теория алгебр над помми рациональных фупкцин: па многообразиях, имеет даппсе происхождение. Оиа восходит еще к Вятту , который сопоставил простын алгебрам апгсброгеок'етгптчеспие объекты, устапомш бпектшшое со-ответстпие между полями фугткцнй рода нуль и кпатершюпт.п.ш алгебрами И показал, что хватерпткнтая алгебра тпгди м только тогда будет полпой матричной, когда сост*етстпую:пее ой ноле функций будет рациональным. Эта пдеуг была раптшта Шнтле, Амнггуром и Рокяттом. В частости, Ыатле сопоставил каждой нейтральной простой алгебре нсю'юрое проективное многообраолс, лаоывасиое теперь многообра-оием Ердупра-Сеиери, которое яиляето: нрое;; пшььш пространством л>ып. к том случае, когда соотг.птстлующая ему алгебра огасыпастси полной матричной. Амицур зшол понятие общего поля раздохопшга! показал, что ото п точности поли рациональных функций на многооира-оии Брауора-Сепери. Езде одшг пример теской сняии центральных простых алгебр и алгебраических многообразий доставляют группы }>ра-уара Лг(К(Х)) полой ращшаиьлых функций К(Х) ьшогообраоий X, определенных лад нолем К, Очень нампым яаллется, и частности, сл}'-чай глобального иол л К. Строение гру ;нш Прауора ]Зг(К) может был. остсапо с помощью глобальной теории полей классоп. При переходе же к полям К(Х) ситуация оаметпо усложняется. Несмотря па ряд гьчхпых реоультатоп о группах ¿1г(Л'(Х)), полученных л ршультате раопнтня многомерной теории нолей классов и появление фундаментальной тео-' ремы Меркурьева-Сусшша, утверждающей, что при наличия » основном поле пргшитиппых корней по единицы подходящей степепп, лея кий олемепт газ группы Брауора есть сумма олемсп-хоп, военпнеагшцох по циклических алгебр, до спх пор отсутствует оавершегшое откате таких групп. Традиция локально-глобального иршщнна предписывает при поучении глобальных объектов предварительно поучить их лопальпые аналоги. В пашем случае необходимо описать группы Пг(К^,(Х„)) полей /¿»-рациональных функций многообразий А'« = X где Л'„ -пополнение поля К относительно нетривиального абсолютного опаче-шш v. К сокалетда, о строении групп Вг(к(Х)), где /; - конечное

расширение лоия Лг - киогообраоне, определенное над к, конеетно довольно мало даже в случая >;рппьгх X. В частности, гоьестио, что в случае комплексного архжледоиого V группа Вг{К*{Х*)) в силу теоремы '1Ъепа тршшапьна, а в случае вещественного V она была подробно иоучсна и работах Ф.Демепера и М.Хнуса, М.Киебуша и др.. Та*им обраоом, осиоипои интерес представляет научение групп Вг(Кг(Ха)) дм нсархнмедовых V. Иодсстпа, например, так нзоываемшх точная последовательность иохалпоадпи, имеющая следующий вид.

Вг[!:(Х)) Нх{С„) -Л *(<?) — О,

V

где к - локальное попе нулевой характеристики, к, - его алгебраическое оамыкадне, 6* = Са1(к,\к) - его группа Галуа и X - гладкая геометрически шшриьодимая проективная хрпвая над к, обладающая к-раггсюпалъиод точной. Эта последовательность впервые была построена Фаддееэым. Кошгоонция гомоморфизма а с проекцией — л (С«') сопоставляет жнж;\аиу ояемспту по Вт(к(Х)) характер группы <?,,, называемый лоЕальшлд инвариантом ох ого олемеата относительно V. Гомоморфном Р "су 1ии!руст" наборы характеров. Поскольку обрао гомоморфизма а иовестеп, важное оиаченле дм описания группы Вг(к(Х)) приобретает поучепне его ядра, которое мол:ет быть отождествлено в отом случае с группой Брг.уора Вт X хривоц X. С другой стороны, имеет место ктшутатшша.*: диаграмма

О БтХ Вг(к(Х)) -¡и п„ Вт(к(Х)и) | ■¡пь\

в которой а = ■фф, где гош>иррфшм ф ставит е соответствие хлассу цептрадышх простых алгебр ¡Л] над полем к{Х) пабор классоа соответствующих расширений скапярой ([Л ©*(.*) по всем простым дивЕоорам коля А-(Л'), а гоькшорфгом у имеет следующий вид. По ре-оультату Фаддеева любой олемект [Л»,] то Вг(к(Х)„) моясет быть представлен в виде произведения нлассоа некоторой нераоветвлгкпои алгебры над к(Х)„ и циклической алгебры, причем по последней легко строится характер ш Набор всех таких характер о а и есть элемент ^(Ц</ММ) В силу того, что класс алхебр [Л] но В,(к(Х)) исрдаветвяеи

по определешда тогда и только тогда, когда все лохальпые инварианты ¿««„[■А] трпвиалыгы, группа Вг X ыожот быть отождестплсгга со своим обраоом при вложении т.е. с подгруппой Вгпт(к(Х)) всех классов пе-раоветвлешшх пад к(Х) конечномерных центральных простых алгебр.

Группы Вг X играют важную роль в алгебраической геометрии, поскольку являются бирацконалышми инвариантами соответствующих шгогообраопй X. Важность их иоучеидя объясняется также рполочными приложениями, саяоатсымн с другими проблемами алгебраической геометрии (проблема рациональности, препятствие Брауора-Машша к выполнимости принципов Хаосе и др.). Постольку группа Вг X является пеоподнчесхой абеггевей группой, важное оначе.чне приобретает описание ее подгрупп хручешш, среди которых одной по самых важных является подгруппа 5ВгХ. Действительно, подгруппа ¡ВгХ, являясь "перазветвпеппэй" частью группы зВг(к(Х))> тесно свяоапа с теорией квадратичных форм п силу результата Меркурьева:

1ЩХ))113{к(Х)),

где 1(к(Х)) - фундаментальный идеал кольца Витта поля к(Х).

В случае неособых коняк С над к ВгС — Вг(к), когда коииха С обладает Л-рацпопалытой точеой, в протипзэм случае Вг С является гошшорфпыи обраоом группы Вг(к) с яро ом порядка 2. Таким обраоом, для кривых X рода 0 имеется вполне удовлетворительное описание группы ВгХ. По уже » случае кривых X рода 1 о группах ВгХ повестпо очень мало. Тем более отсутствует полпое описание таких групп. (Под "полным" описанием одесь понимается проставление каждого олемента группы Вг X соответствующта центральной простоя алгеброй с деление« над к(Х), другкма словами, описаиве всех иерао-ветвлепных алгебр над отин полем.)

Цель роботы. Целью диссертационной работы является получение представления группы ¡ВгХ центральными простыми алгебрами, и также оп«.салие абстрактной стружтуры подгруппы „Вг X т-крученшг группы Вг X, где т - число, гашшво простое с характеристикой поля вычетов подл к ь случае, когда X - кшиптипесхая кривая, опроделеплая над /:.

IIпутая попкока.

1. Получен датшяешкокшппшадышх уравнений Вейершграсса для

0ЯЛЩ1Т1Г1ССКИХ кривых, определенных иад пожальпьш недкэдяче-схим полем нулевой хархтерпстмхп.

2. Дало онпсаике абстрактной структуры иодгрушш гл-хручешис группы Брауора гладкой геометрически неприводимой проективцой кривой, определенной над лохальпым полей к нулевой характеристика п обладающей ¿-рациональной точкой, в термллах подгрушш к-ратрюнальных точек якобиана этой хрнпои.

3. Описана абстрахтиая структура р-щшмаргтого хручешш группы Л-рацнпальиых: точек оллппткческой хрнпой, определи.лой над локальным волен к нулевой характеристики в случае, когда р ф char к.

4. Попучспо иредставпсанс подгрушш 2-хручешш группы Брауора. од-яиптцчесхой кривой, определешюй над локальным недиаднчеекцм полем к 1 гуленой характеристики, кватернкоппьши алгебрами пад нолем ¿•-рациональных функций от ой кривой.

Апробация и оиублнкооашметь работы. Результаты диссертации догладывалась ла алгебраическом ссшшаре Института чистой и прикладной математики Лувенского университета (Лувеп-ля-Нсв, 1933 г.), на алгебраическом семинаре математического факультета Белефельд-схого университета (сентябрь 120-1 г.), на конференции "Теория Галуа локальных н глобальных полей" Эйлеросского международного ыате-шгшпесхого института (С.-Петербург, 9-16 октября 1994 г.), на ма-тегдатлпзсЕой конференции, посылцешгон 200-летию со дня рождения Н.И.Лобачезского (Минск, 4-3 дехабрл 1992 г.) и на семинаре отдела алгебры и теория чисел Института математики ЛЛ Беларуси. Ре-оуяьтаты обсуждались па международной коаференцпи "Квадратичные формы и аипейпла алгебраические группы" (Лгошпш (Марсель), июнь 1Ö34 г.) к на математической конференции, посвященной 25-летию Гомельского упшзсрсптста (Пагель, 1994).

Результаты опублнжевайы в двух тсоисах конференций, двух препринтах ИМ АНБ (сы. [lj, [2], [3], [4]), в препринте Бслефеяьдского университета ([5]), а также положены в статье [6), принятой к опубликованию.

Структура и объем работы. Диссертация состоит ш введения, общей характеристики работы, трех глав основной части, выводов и списка литературы.

Общий. объем диссертации - 7(i страниц. Список литературы состоит m 27 лашлепопншш.

Основное содержание работы

Плана, 1 лосит предварительный характер. Г> пей собраны определения « сьеденпн, а также ис по м о i' ат чг. ь ш.'. е результаты, необходимые n даш.нейшем. В частности, доказывается леи;, in. о распределении Mia-дратон ц ожмептов, квадратами но являющихся, и колечпом поле, перечисляются свойства дискретно нормированных: нолей специального вида, а также представляется нео'.кпдеыа* информация об штшгпече-ских i.p.!i<ux и центральных простых алгебрах. Diana 2 поевлщегга опц-саглйо структуры подгрупп кручения групп рацьелгальш.ос точек оллп-гшгсеских кривых гтдд локальными иоллi.v.i k нулевой характеристики. В §2.1 приводится редукшы оадачи описания кручеш»!! групп Прауора «рншлх над к к оадаче ouncainti кручения л группе Л-рациопапынлх точек их лкоблапои. Олаомвается, что для гладкой гесыетрнчесал пе-нрнподнмой проективной кривой С, определенной над к и обладающей ¿•-ращгональнок точкой, имеет место иоомо^фном

«ОгС Й Z/nO)J,:ik)/n,

а п случае, если характеристика поля: вычетов нот: rsoarsü.'io проста с и,

JJrC £ Z/ггф Jc(k),

где Je (к) обсопачает группу Л-рациокалытих Totes якобиана Je кривой С, §2.2 иоспящеи получештю пшшого списка мтгамапьтшх ураумечпй Deifcpurrpacca для пзкапыплх еллштпескш: кривых пад Еедиадичесих-1Ш поя ям л. В соответствии с порядком группа -Е(к) (Е - исходная еялкптпческад кривая над к) выделено три сяучадс. разложимый, по-иураодажимык и неразложимый, прпчеи хаждоиу ко случаса сротист-ствуст свой список мшткальпых уравпешш. Ошгсатда абстрактной структуры кручешя группы А-рациогеальиыхточех еляплтятесхих жри-вых (и тем самый описанию абстрактной структуры як rpyari Брауэра) посвящен §2.3. Результат формулируется отдельно для диаднческого н

педиадичесхого случаев. И, наконец, в главе 3 получено представлеште всех опеыентов группы ¿)г Е кватернионными алгебрами для прош-волыюй оллиптнческой кривой Е над нздпадпческим нолем к. Основной реоультат сформулирован в виде четырех теорем, каждая ио которых соответствует одному ио следующих случаев: случай хорошей редукции исходной кривой, раопожимый случаи плохой редукции, нолурашюжн-мый случай аддитивной редукции, разложимый случай мультипликативной редукции. Пиша раобита па параграфы в соответствии с каждым ио приведенных случаев.

Далее приводится список основных результатов диссертационной работы. Поле к всюду предполагается локальным нулевой характеристики, С\к - гладкая геометрически неприводимая пректнвнаа кривая, Зс - ее яхобнево ыпогообраоие.

Теорема I С £ Е/п © о7с(&)/п.

Следствие 1 | ¿ЗгС\ = ./сДОН*!400.

Трв следующих утверждения дают списох минимальных уравнений для всея эллиптических кривых Е над неднадическим полем к. В соответствии с числом элементов в группе ъВ{к), которое может быть равно 1, 2, либо 4, выделяем соответственно неразложимый, полурао-яозешшй, либо разложимый случаи.

Теорема 2 Пусть Е - змиптичесаая кривое над к, для которой имеет место ¡реэАозхш&Ай случай. Тогда минимальное уравнение кривой Е содержится о следующем списке, причем все ураоиепш из списка деподмдьны дож заЗпвоемыг ими яртыя.

Е имеет хорошрэ ред^яуто. — 61,е^ € /!(£), Щсз ф

<Г2.

Е хшеет плохую усд^куию, а, Ь 6 и (к). Различаем следующие случаи:

1\. у1 = х(х + а)(г — 2ггаа), т > 0 (редакция неразложимая мультипликативном).

13. у1 = я(х + 1)(® — я™а), т > 0 (редукция разложимы мультипликативная).

II. у1 = — *а){х — ?г Ь), й^Ъ (аддитивная редукция).

1Г1. у3 = x(¿ — эг«)(з! — 7г"'ft), г/г > 1 /д()<Ь1ч«о»/(1я 7?e<fywfHJí,).

Теорема 3 Пусть Е - эллиптически криваж над к, дах которой имеет мае то полуразлозламиИ случай, о,6,с £ U (к). Тогда минимальное уравнение кршойЕ содержится в следующем списке, причем ene пгии.г ю списка минимальны д.и задаваемых ими кривых и атноатсл к полуразложьмому случаю.

Е имеет хорошую редукцию, у2 = tx-i-n), t,n € Л(k),P — 4ñ С?

Е имеет плохую редукцию. Рааличаем два случаи:

* Е умеет аддитивную редукцию.

А.а) 1. у2 - г(з:г + %тах + -лЬ), т > 0;

2. ■>/ = а(х3 + vi,);

3. = г(га + 4 гЪ), m > 1;

4. tí1 = х(х3 + nab). А.Ь) l> & (к*)1.

1. у2 = х{х* + ъпо% 4- sr't), m > 1,S (к')г;

2. у1 = х(х2 + ш + Л), а7-4Ь$ (к')2;

3.у* = 'Ф2 + ъ'Ъ), -1 6 {к'У. Л.с) b G (к')\

5. t/ а + Лг + Л), m> 1,-1 {? (к')1;

3. ф* + !rer Н- irb), а7--410 (£*)* U{0)/

4. и1 = я(га + таг Н- ъЧ), в/<Д = 2 + Л,г > 0,е{? (fe*)2, /l.rf) í/1 = «(»» + *ax + *3¿), a/V^= 2 + > 0,c\/b % (F)3. Л.е) y1 = ф1 was + srJS), a¡*/b = 2 + ет^+'с.г > 0,cV5 € (fc*)'.

* J3 tw«era л;«ьт«пл?'кагп «оиу» рчдукцию.

U* = г((ж + a? jr'bx), a > 0. Л Л в) a = 2гл + 1, ¡¡сдуяциа раэложиялг, если и только если —а 6

Af.6) в = 2т,-а # (fc*)a,-6 € (/:*)', редукция «еразлоисимля.

М.с) А = 2»п,—1 <£ (/;')',«€ (к'У,Ь £ (к*)3, ре^кцгш разложимая. Af.d) s = 2m,-1 £ (/;*)5, а 0 (к'У,Ь € (А;*)', редукция разложимая.

В случаях Л.с)4, A.d) и А.е) элемент b 6 (fc')J u V£ выдается таким, образом, что оД/й = 2.

Теорема 4 Пусть Е - эллиптическая кривая »ад к, для которой имеет место неразложимый случай. Тогда Е обладает мннумальпьих уравнением епда у' = /(£), где /(х) — а3 -!• w'as3 -i- ir'fes -t- tvwc u константы ч,Ь G i/{A)U(0},c G i,r/i > 0 з/Лзедстворяхл*- j/словшгм «з следующего списка, -причем все уравнения, сстесгнствующие эти.'.', умаомм, /гииы'.шькы Ли эя^аваельи иглм >;;>иоьи и относятся к т»е-усэложиному ыг;чаю.

i) IS vjteon zopomyw редук>(их>. Многочлен Дх) пеприеодим uad k.

if) E имеет аддыпи&щю редря^ю. Тогда r,l,m > 0,у3'= f(j>) и вы, полнено одно vo условий 1—5.

1.ш = 1.

2. т = 2, причем (Ь = 0, .ш&'о I >

3« m = 3, причел хилеет место релевьг (I) ~ С, либо I > 2) и миогочаек .

г5 + яг-1ог1 + и*-2Ьг + Б »еприоод«ш tsad

4. тп — 4, причем «ыяолнепы следующие дни цслооия:

a) а — 0, А~*6о г >2,

b)Ь = 0, ¿ибо I > 3.

5. m = S, прич&о следующие дав условия; в) а — 0, г > 2,

Ь) b=zQ,Mffoi>4.

Пусть п - натуральное, j? - нростое число, ве paaaoe chari. d - ьш-шшалыгое во *кзсся л в ногаоатеая кажеималыюи степени р, делящей порядож группы 1*;с = (p\v*(j(E))) н

г = mjfl{i G 2\ui/c е £*}, где fl = Описание группы Р*E(fc) даемся следующими дэумя теоремами.

Теорема 5 Пусть к - локальное кедиадическое иоле, Е - э.шттиче-скал tcpuenr, определенна* пад k, р - простое число, взогинко «ростов с char Л. Тогда имеют место следующие утверждения.

G. Если Е - »гривах с хорошей редутгией, то

Л. Пусть Е - кривая с аддитивной редукцией. Тогда имеют место следующие утверждения.

Л1. При р> 3

..E(Jb)£i<0> .

/12. Если имеют место разложимый л ибо полуразложимый случаи, то

з-E(k) Й<0> . A3. Если имеет места неразложимый случай, то

pE(k) £ ¿Г/а, если [JS(fc): Щк)] = 3, и г*Е(к) S<0> в протчопам слушл. А4. В разложимом случае

' ' . vE{k) ~ ,Е(Л)(Я/2)1. ■ у15. j3 поауразложчмом случае

,Е(к)ёЕ/2,

а при п > 2

г* W | в случае Л.е).

АО. В пераэложимол* случае

r>E(k)£<<0> .

Л/. Пусть Е - крисал с мультипликативной редукцией. Тогда

Af.l В разложимом случае при неразложимая редукции

рмл« ! Zrf Щ>ир>2,

- \ Z/© Zf2 при р = 2.

М,2 В палураэАоятмом случае при неразложимой редукции

Zjy* при 7> > 2 или нечетном т, }-E{h) Si Z/21 . р=2,т -четное и 2п делит |£*|,

Zj2iJ>l р= 2,то -четное и 2Ч ьс делит ¡£*|.

Af.3 В разложимом и полуразложимом случаях при разложимой редтгции

,J3(*)Si</V>©Z/(c/r)t

яде <iif* > ~ группа «зркей cmcneuu jP из 1, легяоциг о к.

Оимсчштс 1 В силу утьерхгдепия G теоремы изучение jf-кручепиш групп Е(к) сводится я изучении соответствующего кручепил редуцированных ггртыз над кепечтт полем, которые исслсдоомись о работа* М.Цфасмат, Р.Сяуфа, Д.Волсха и В.Ватерхауза.

(Замечании 2 Критерий того, что [£(&) : iSo(fc)] = 3 легко получается из изоеаппого алгоритма Тойта и приведен в первой главе диссертации.

Озше&шг р-ирзшзриого крученая о диаднчеаиш случае дается следующим утверждением.

Теорема О Пусть к - док&лъиве поле, char h — 2, Е - зллиптиче-спая щтоая, определенном г.&д к, р - нечеткое простое число. Тогда хшекгп шето следующие утверждения.

G}. Если Е - кpvsai с горишей редукцией, то

. _ к) й fJs{i).

Л). Если Е - tcjmeai с йддиттной редукцией, то при р> 3

р-Л(к) =<0>,

о при р = 3

тЕ(к) Й Zf3, если \Е{к): JSb(fc)] = 3, и y>E(k) S<0> в противном случае.

М-}. Если Е - кривая с мультипликативной редукцией, то в случае ■неразложимой редукции

Р.Е(к) а

а в случае редукции разложимой

где числа <], гиг. определяются также, как и о теореме 5.

Нереидам т формулнроаде результатов о представлении группы 2Вг Е центральными прсстымл алгебрами. Сохраняются все предыдущие обоона'зсиия, к нредполагас тся педиадичеехгол, впшштичсская хряпая Е определяется лад к уравнением у3 = /(г). Зафиксируем простой оявмел* нормированы полл к, обсо.чачпелнл! далее черео зт л единицу отого нормировании а, Еото}>ия по яшшется квадратом. Тогда спрапсд-лш;м етсдугсщпе четыре теоремы нредстарлеяля.

Теоремп 7 Пусть Е - оллипттесглз куаяол с хорошей редукцией, определенная тд к. Тогда группа $0г Е представляется следующилга олзебрялт кеатсрньспое:

я В ряэложняъм случае.

{»1,1,3

еде С|,Сз,ез - яяряи лтогочлепа /(з). в В пол^рагло^щиш случае

• В пер&мсясшпия случае

Теорема б Пусть Е - эллиптическая кривая, из условия теоремы ¡0 (разложимый случай плохой редукции). Тогда в случае группа ¿¡гБ предстаелястсл.элементами:

ад М ад ■ММ- •

(ж, а;Ч- а*\1 [/у, а(з; +аШ Г/У, х - 1(та\ 1 Г/у, а (ж - 7гг;'с)\

ад )\'[\ ЦЕ) Л'и ад Л*ц ад )

и случае 1% группа фгЕ представ лжетсл элементами:

'[(ад)]'[(ад).

Vir, ааЛ

лад/, •

1Y<* , аЛ] [7«, 1гуЛ1 [/тга, z^l Г/ко., пх\

[1адл,11аду],11адЛч1 ад I

В ыучахх II и III группа -¡ßrE предстааахетсх элементами: Г/tt, я(ж~уя)'\'1 f/а, этзЛ! Г/а, n(x-irmb)Y

\ ад л'иадЛ'!! ад JJ'il- ад. ).'■

(где in = 1 в случае II v m > 1 в случае III).

Теорема 0 Пусти В - эмиптическах кривая над недиадичccwtut полы» к с аддитиоиой -редукцией, причем имеет места полуразложимый случаи. Тогда группа \ОгЕ представ местех следующими злемепта-

'. ми. ■• ','■' ; '•'.'.' •

D случае А.а):

1\ад;]'1\ад;

В случае А.Ь):

[(ад)]' 1(ад)1• \{т)}' [Гад)] •

В случае Ас):

(тг*/Ь{/(и)и, х - \(-к\Д>д{и)ч, о(х - тг\Аи))'

[Лм\1 у*, «у

Аад1 * Падл

Л т )]•[( т ).

где д(х) е А[а] «

Ф) =

х1 + 1 в случаях Ае)1 — Л.с)2,

х5 + ^¿г + 1 в случаях А.с)3 — Ас)4,

а ¿м&немт и подчинен условиям

« е £Г(Ь), д(и) <= и (к) \ л случаях Л.с) 1 - Ас)3, и

и = -1 + Л/, »в € и (к), ¡о1 - с 6 \ ¿/(А;)1 в случае Л.с) 4.

Б случае Ай):

. М-М-К21^]-«21^)

В случае Л.«):

[(ад)]' [(ад)]' [(ад)]' [(* ю)]'

Теорема 10 Пусть Е - эллиптическая криоая пад недиадическим Поль» Ь с мультипликативной редукцией, причем имеет место полураз-логхпмый слтгчай. Тогда группа ¡ВгЕ представляется следующими

элементами:

/ В случае Л/.а) Велучае Af.fr)

[(ад)]* [(ад)]' [(ад)! • 1(^)1;

В случае Д/.с)

1\] ГЛг> «V \(а, х + а\1 |7а, тг(гЧ-о)У

[и™ч1адл'IV Л'И *(Е) )

В случае М.<1)

(у, 1\| Г/тг , [/а, д + а-У~т\] [/« , +а-чнгт)\

дад;Н1адл'К ад л'IV ад ;

где V € « V3 — аЬ (Е У (к) \ и (к)3. Величины а, Ь, т означают та же самое, что и б соответствующем списке минимальных уравнении.

Выводы

Результаты диссертационной работы следующие.

» Задач« описания абстрактной структуры подгруппы н-хручсшш грушш: Брауора хриаол С, определенной над локальный полем к нулевой характеристики и обладающей ¿-рациональной точкой, редуцирована х оддаче описания грушш где обооначз.-ет группу /.-рацноцальгилх точес якобиана кривой С. В частности, если и ъоанмно просто с характеристикой ноля иычетов ноля к, то описание группы *Рг С сведено к описанию п-кручепия группы к-рациоиальшлос точек якобиана кривой С. В случае ишшптичесгай кривой Е поэтому дла получения абстрактной структуры группы яВг Е достаточно описать ¿-рациональную часть п-кручеиня группы/?.

о Получен иолнип снпсок шшимальнш уравнений Вейерштрасса для иляпнтнческнз: кривых, определенных п&д локальными недпадпче-сетш по.тямн нулевой характеристики.

в Вылспено строение подгрупп приыарного кручения групп 7с-раци-опальпых точек школьных оллиптических кривых. В случае хорошей редукции кривой такая подгруппа гооиорфпа подгруппе при-карпого сручэнпа группы Б-рациоаапьпых точек редуцированной кривой, а в случае плохой редукции абстрактна* структура таких груш полностью описана.

® Получено представление подгруппы 2-жручеиия группы Брауора еллиптической кривой, определенной над недиадическим полем к, центральными простыми алгебрами пад полем ¿-рациональпых функций па такой кривой, причем окаоалось, что все представляющие алгебры являются алгебрами кватернионов я получаются расширением скаляров но алгебр, определенных пад полем к(х).

Список опубликованных работ

[1 ] Япчевскпй ВЛ1.,Марголин Г.Л. Подгруппа 2-кручения группы Бра-уэра-Гротепдика эллиптических кривых над локальными полями. // Теоисыг докладов мат. конференции,-поев. 2С0-летию со дня рождения Н.И. Лобачевского.- Минск, 1993.- С.30.

[2 ] Марголип Г.Л. Кручений эллиптических кривых mi диадическими полями. // Материалы мат. конференции, поев. 25-летию Гомельского госунпяерситета.- Гомель, 1994.- С.45,

[3 ] Янчезский В.И., Марголип Г.Л. Кручение и группы Браузра локальных эллиптических хряеьщ '(.].• Дрепрянт Nfl / ИМ АНБ.-Мпнсх, 1994.- 32 с.

|4 ] Япчевснпы В.И., Марголип Г.Л. Кручение и группы Брауора локальных эллипттесгяя кривых, Ч.2.- Препринт N7 / ИМ АНБ.-Мшхся, 1S94.- 16 с.

{б J Yanchevskii V., Margolin G. Braucr groups of host elliptic and kyper-elliptic curves end central division algebras over their function, fields.-Preprint 09 S - О <t Z- / UnivcrsitSt Biebfeld, 1S95.

[0 ] Япчевсхий В.П., Марголип ГЛ. Кручение и группы Брауэра локальных зллипттеекиз кривых. // Алгебра и апалст.- 1995.- N3 (июнь). (Принято к опубликованию.)

Резюме

Марголин Геннадии Лазаревич

Кручение и группы Брауэра локальных эллиптических кривых

Ключевые слова: локальное поле, оллнптичоская кривая, нерап-ветплепная центральная: проехал алгебра, группа Брауэра поля, группа Брауорн крлиой.

Основным рсоультатоы диссертационной работы является получение представления 2-кручеиня группы Брауора нроиолояыюй одаишти-ческой хршюн, определенной лад иедпадкчеекпм локальным полем /„■ нулепой характеристики, .нераоветнленнимн центральными простыми алгебрами над нолем рациональных функций этой кршюй. 11рн отом нредсташи.ющий алгебры о$асынак>тся «натершгоннымн и получаются расширенном скаларон па алгебр над чисто трансцендентным расширением основною нол я к. Получен также полный спасо« мшшмалншх уравнений Вейерштрасса для укапанных в»,пне оллнптическнк кривых и описана абстрактная структура р-примариого кручеоня группы к-рациональных точек таких кривых при услонли, если р пе ратшо характеристике ноля вычетов ноля к.

Рэогомэ

Маргопш Генадэш Дапаровг!

Кручэине 1 групы Брауэра лахальпых эшптычных крывых

Ключапыя слоаы: лакальпае иоле, олштычная хрывая, нерпогаль паваная центральная проста» алгебра, груна Брауора вопя, груна Брауора хрывой.

Аспоугсмм вышкам дысортацыпнаипрацы о'яуляедца атрьшаине уяу-лсшш 2-хручрллн трупы Брауора адвольиай олштычнан хрылой, иьгана-■чапай над недыядичггьш лакалыгьш нолей к нулявой характарыстытл, нераогалтаваным1 цуптр.'тьпыш простыми алгебрам! над нолем ра-цыяпапышх фупкцый готай крывой. При готым уяуляеэчыя алгебры пхасваюцца хватершенямш "1 атрьшлтаюцца патпыроинем схалярау о алгебр над чиста трапстондонтыьм наишропнсм аспоупага ноля к. Лт-рыиан тахсама ноушл сшс м5пшалышх раунанпяу Вснсрштраса для ыаовапых вьашзй олштьгчпых хрылых 5 ашсапа абстрахтпая струхтура 1>-прыыарнага жручонпя групы А-рацыянпльпых нупхтау таких г.рыиых яры умове, халд р не роупае да характарыстьш поля вьшкау поля к.

Résumé

Genady L. Margolin Torsion, and Brauer groups of local elliptic curves

Key -words: local field, elliptic curve, unramified central simple algebra, Brauer group of & field, Brauer group of a curve.

The main result of the thesis is a presentation of 2-torsion part of Brauer group of arbitrary elliptic curve defined over non-dyadic local field k of zero characteristic by mean« cf central simple algebras over function field of sucli a curve. Moreover, the presenting algebras turn oi't to be quaternion ones and they come from the the corresponding ones defined over purely transcendental exteutiou of a ground field k. Furthermore, a complete list of minimal Weierstrass equations of tlie above elliptic curves is obtained and a structure of j>priinary torsion of groups of ¿¿-rational points of such curves is described provided p is not equal to characteristic of residue field of field k.