Алгебраическая теория пар Белого тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова

Механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 511.23, 512.772, 519.111, 519.172.2

Дремов Владимир Александрович

Алгебраическая теория пар Белого

Специальность: 01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2010

- з июн 2010

004603146

Работа выполнена на кафедре высшей алгебры Механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова.

Научные руководители:

доктор физико-математических наук, профессор Шабат Георгий Борисович; доктор физико-математических наук, профессор Латышев Виктор Николаевич.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Артамкин Игорь Вадимович; кандидат физико-математических наук, доцент Главацкий Сергей Тимофеевич.

Ведущая организация:

Санкт-Петербургское отделение Математического института имени В. А. Стеклова РАН

Защита диссертации состоится 4 июня 2010 года в 16 часов 45 минут на заседании диссертационного совета Д.501.001.84 при Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова по адресу: Российская Федерация, 119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, д. 1, МГУ, Механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан 4 мая 2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.84 при МГУ доктор физико-математических наук, профессор

А. О. Иванов.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Диссертация относится к теории пар Белого и посвящена задаче выбора параметров и системы уравнений для нахождения пар Белого, удовлетворяющих фиксированным комбинаторным ограничениям на детский рисунок, а также исследованию решений таких систем. Основное внимание при этом уделяется решениям, соответствующим парам Белого.

В 1979г. Г. В. Белым1 сформулирован критерий определённости кривой над Q в терминах накрытий Р1, разветвленных над не более чем 3 точками. Таким разветвлённым накрытиям отвечают функции с не более чем 3 критическими значениями, которые сейчас принято называть функциями Белого. Пара Белого состоит из кривой и функции Белого на ней. Функции Белого тесно связаны с детскими рисунками Гротендика, план исследований которых был сформулирован в 1984 году и опубликован в 1997 году2.

Теория пар Белого — развивающаяся область науки, использующая методы алгебраической геометрии и топологии. Одной из важных задач этой теории является построение уравнений алгебраической кривой и рациональной функции Белого на ней по заданному детскому рисунку. С вычислительной точки зрения эта задача до сих пор далека от полного разрешения. С ней связана задача выбора таких координат, для которых коэффициенты уравнений кривой и многочленов, задающих рациональную функцию, находятся однозначно и лежат в минимальном возможном поле. Поле определения пары Белого, которое соответствует её стабилизатору под действием группы Галуа, является нижней оценкой поля, порождённого коэффициентами. В статье Филимоненкова и Шабата3 найден пример, в котором эта оценка не достигается.

Цель работы — построение и исследование систем уравнений для вычисления пар Белого и создание элементов теории кратностей для таких систем. Вычисление пар Белого (как отдельных, так и бесконечных семейств) в терминах аффинных и проективных систем уравнений, задающих алгебраическую кривую, и отношения многочленов, задающего рациональную функцию на этой кривой.

Научная новизна. Основные результаты работы являются новыми и состоят в следующем:

1. Для обобщённой антивандермопдовой системы уравнений на пары Бе-

1 Белый Г.В. О расширения! Галуа максимального кругового поля, Изв. АН СССР. Сер. матем., 1979, 43:2, 267-276

2Grotheiidieck A. Esquisse d'un programme, London Math.Soc. Lecture N'oies Series, Cambridge, 1997, vol.243, 3-43

Зфилимононкон В.О., itI.юл г Г.С. Поля определения рациональных функции одниго переменного с тремя критическими лнлченшеми Фундаментальная и прикладная математика, 1995, том 1, выпуск 3, 781-799

лого построена учитывающая паразитические решения теория кратно-стей.

2. Приведены несколько систем и подходов к вычислению для пар Белого малых родов.

3. Обоснован способ построения систем для рисунков с заданными наборами валентностей (в частности, кривых сколь угодно большого рода).

4. Описаны множества детских рисунков и пар Белого для некоторых наборов валентностей. В общей сложности, в работе получены пары Белого для 29 рисунков и 2 серий рисунков.

Основные методы исследования. В работе используются методы комбинаторной топологии и теории алгебраических кривых, а также разработанная автором техника вычисления пар Белого с помощью дифференциала Муласе-Пенкавы4.

Теоретическая ценность. Диссертация имеет теоретический характер. Полученные в работе результаты могут быть использованы в задачах теории детских рисунков Гротендика, а также в её приложениях к теории алгебраических кривых и к теории Галуа. Методы, рассмотренные в диссертации, были успешно применены для подсчёта многих пар Белого, вошедших в каталог5.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались па семинаре "Графы на поверхностях и кривые над числовыми полями" (Москва, 2007 и 2008) и на "Научно-исследовательском семинаре по алгебре" кафедры высшей алгебры механико-математического факультета МГУ им. Ломоносова (Москва, 2008), на "Международной алгебраической конференции, посвященной 250-летию МГУ им. М.В. Ломоносова и 75-летию кафедры высшей алгебры" (Москва, 2004), на "Международной алгебраической конференции, посвященной 100-летию со дня рождения А.Г. Куро-ша" (Москва, 2008) и на международной конференции 'The Grothendieck-Teichmüller Theory of Dessins d'Enfants" (Edinburgh, 2008).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 5 работах автора, список которых приведён в конце автореферата [1-5].

Структура и объём диссертации. Диссертационная работа изложена на 81 странице и состоит из введения и трёх глав. Библиография включает 22 наименования.

4 М.Muíase, M.Penkava Ribbon Graphs, Quadratic Differentials on fticmann Surfaces and Algenrnic Carves Defined over Q Asian journal of mathematics, 1998, vol.2, number 4, 875-920

5H. М- Адрианов, И. Я. Амбург, В. А. Дрёмов, Ю. Ю. Кочетков, Е. М- Крейнег., Ю. А. Левицкая, В. Ф. Насретдинова, Г. Б. Шабат Каталог функций Белого детских рисунков с не более чем четырьмя рёбрами, Фундаментальная и прикладная математика, 2007, том 13, выпуск 6, 35-112

Краткое содержание диссертации

Диссертация нключает п себя введение и 3 главы, разбитые на разделы и подразделы.

Краткое содержание введения.

Во введении обсуждаются предварительные сведения и стандартные определения из теории пар Белого и детских рисунков Гротеидика, в том числе определение пары Белого:

Определение 1. Пара Белого - это пара, состоящая из полной неприводимой гладкой комплексной алгебраической кривой и рациональной функции па этой кривой, имеющей не более чем три критических значения (функции Белого).

Также во введении обосновывается актуальность темы диссертации и дан краткий обзор полученных и диссертации результатов.

Краткое содержание главы 1.

В главе 1 вводятся основные определения и ставятся основные вопросы, обсуждению которых посвящена диссертация.

Определение 3. Детским рисунком называется двукрашенный двудольный граф, вложенный в поверхность так, чтобы грани (компоненты связности дополнения) были гомеоморфны двумерному диску.

Цвета вершин обозначаются цифрами 0 и 1.

Определение. Валентность вершины детского рисунка — это количество выходящих из неё рёбер.

Определение. Валентность грани детского рисунка — это половина количества рёбер, образующих многоугольник её границы.

Определение. О-валентности — валентности вершин цвета 0;

1-валентности — валентности вершин цвета 1;

2-валентности — валентности граней.

Буквой а мы обозначаем количество вершин рисунка цвета 0, буквой п — количество вершин цвета 1, а буквой 7 — количество граней. Мы не используем /3, так как этой буквой обычно обозначаются функции Белого.

Далее мы даём определения и обозначения для комбинаторных типов:

Определение. Комбинаторным типом называется множество классов эквивалентности, соответствующих данному набору валентностей.

Набор валентностей мы будем обозначать выражением вида

< «0,1, «0,2, ■ • • , «0,<* | «1,1, «1,2, . . . ,«1,„ | г>2,1,«2,2, • • -,"2,7

комбинаторный тип детских рисунков следующим образом:

< «0,1, г>0,2, ■ • ■ , «0,а | 1*1,1, «1,2, • • • , «1,„ | «2,1, «2,2, ■ • • > ^2,7 >.

комбинаторный тип пар Белого следующим образом: BP < • • - | VllUVlt2, ■ ■ -,VL¡n I V2tl,V2)2, ■ ■ • , t>2,7 >,

Степень комбинаторного типа обозначается буквой d и определяется формулой:

« п 7

t—1 i=l г=1

Род комбинаторного типа обозначается буквой g и определяется соотношением 2 — 2g = a + n + -f — d.

Известно6, что детский рисунок может быть задан парой перестановок. В работе приводится алгоритм построения всех детских рисунков с заданными наборами О-валентностей и 1-валснтностей в терминах таких пар:

Утверждение 1. Описанный ниже алгоритм порождает хотя бы по одному представителю, но не более чем по d представителей из каждого класса сопряженности пар перестановок po,pi € S,¡ с заданными цикленными типами.

а) Применим сопряжение, чтобы упорядочить циклы ро по возрастанию длины, и представить каждый из них в виде (о, а+1, а+2,..., о+ s — 1), где число а - минимальный элемент цикла, а число s - длина цикла.

б) Зададим последовательно циклы, pi и множество использованных элементов X С {1,2,..., d} следующей индуктивной процедурой:

6.1) На первом шаге у нас X = 0, а циклы pi не заданы. Мы выбираем начальное число 1. Далее мы. выбираем одну из длин циклов перестановки pi и задаём цикл этой длины, начинающийся в I, по нижеследующей процедуре Ргос;

б/и) На каждом шаге мы выбираем наим.енъшее число, лежащее в множестве <ро>Х \ X. Далее мы выбираем одну из неиспользованных длин циклов перестановки pi и задаём цикл этой длины с началом в выбранном числе по нижеследующей процедуре Ргос;

Ргос Сначала мы добавляем к множеству X начало цикла. Далее мы определяем образ начала цикла и добавляем его в множество X, потом проделываем ту же операцию с образом образа начала, и так далее пока не будет достигнута искомая длина цикла. При этом каждый

^S.K.Lando, A.K.Zvonkin, Graphs on Surfaces and their Applications Springer, 2004

образ, за исключением образа, равного начальному элементу строящегося pi-цикла, удовлетворяет одному из двух условий (old or new Po-cycle):

old образ принадлежит < po > X \ X

new образ является для некоторого числа I минимальньш элементом среди всех циклов ро данной длины I, не содержащих элементов множества X.

Рассмотрим набор валентностей х := < aj, ..., ар \ С\, Сг,..., cq \ d >, удовлетворяющий условиям p+q = d+1, YTj= 1 aj ~ d, cj = d\ p,q > 0.

Введем обозначение MP(>с) для многообразия, заданного однородной системой уравнений [|(z — Л;)"1 = — записанной как поко-

эффициентное равенство многочленов от z, и однородным соотношением YlaiAi -Он проективном пространстве с координатами ЛьЛг-.. Ар, С\, С2 ■ ■ ■ Сг

В работе описаны все к, для которых МР(х) конечно. Для начала рассматривается случай пустого множества:

Утверждение 2. МР{н) пусто тогда и только тогда, когда хе {< 1,1,..., 1 I N I N >,< N I 1,1,..., 1 I N >}.

Далее доказан критерий, позволяющий выразить размерность МР(я) в комбинаторных терминах:

Утверждение 3. Следующие условия эквивалентны: 1 ¡размерность t = dim МР(н) ^ ¿о

2)существуют разбиения {1,2...р} = \_f°=iUj, {1,2. ..17} = |_|^i2 на непустые попарно непересекающиеся множества такие, что

J2i£Uj ai = 52ieVj для всех j от 1 до t0 + 2.

3)существуют вложенные цепочки собственных поднаборов 0- и

I-валентностей, задаваемые цепочками вложенных множеств индексов 0 С Щ С и2 с ... С £/¿„+1 С {1,2,..., р} и

0 С V\ С V% С ... С Vt0+i С {1,2,...,д} (все вложения строгие) такие, что Yhizu ai = Eisv для всех j от 1 до to + 1. Из этого критерия следует неравенство

dim МР{х) ^ min(p, q) - 2 (1.2)

Из неравенства следует, что МР(>с) конечно при min(р, q) ^ 2. Все наборы к с min(p, q) = 3 и конечным МР(х) найдены при доказательств утверждения 6, а для min(p, q) > 4 доказано, что МР(и) бесконечно: Утверждение 7. Если min(p, q) ^ 4, то dim МР(х) ^ 1.

В диссертации также доказано, что для каждой размерности есть лишь конечное число таких ус, для которых неравенство (1.2) является строгим. Точнее, имеет место

Утверждение 4. Для каждого целого неотрицательного числа í существует не более чем конечное число наборов валентностей ус, для которых сПт МР(н) = í < тт(р, ц) — 2. Более того, для каждого набора валентностей, удовлетворяющего строгому неравенству, количество рёбер не больше, чем тах(8£ + 13, Ш + 12, §(£ + 3)(£ + 2)).

Краткое содержание главы 2.

В главе 2 рассматриваются различные подходы к построению систем уравнений для вычисления пар Белого.

В разделе 2.1 рассматривается комбинаторный тип ус := ЮБ < <21,02,... ,ар | с\,сг,... ,сч | й > плоского дерева и соответствующая ему система уравнений

где Бк(А) — коэффициент при гЛ~к в многочлене ^[(г — а 5)с(С) — коэффициент при гЛ~к в многочлене ["[(г — C¿)c^

Обозначаем МА{ус) проективное многообразие решений системы (2.1) в проективном пространстве с координатами А\, А2... Ар, Сх,Сг... Сч.

Утверждение 8. Набор (Л;, С;) £ МА(я), задаёт функцию Белого некоторого рисунка по формуле Р(г) = t ["[(г — = 1 + Ь ]~1(г — C¿)c, в том и только в том случае, когда [^(г — ф ОС2 — Сг)с'- Если это неравенство выполняется, то соответствующий прообраз отрезка [0,1] лежит в ББ < а\, ..., ар \ С{, сг, ■ • •, ся | й >. И наоборот, каждое дву-крашенное дерево получается из решения системы (2.1), построенной для его набора валентностей. При этом количество решений, соответствующих данному двукрашенному дереву, может быть найдено как частное количества перестановок его вершин, сохраняющих цвет и валентность и порядка группы симметрии рисунка (которая является циклической группой).

В разделе 2.2 в качестве основного ноля выбирается произвольное поле К и рассматривается следующее обобщение аптивандермондовой системы: Определение 4. ОАВ (обобщенной аптивандермондовой системой) называется система однородных полиномиальных уравнений на точку (жд :

(

Бк{А)

= О = О

= Бк(С), при к = 2,3,4, ...,с{— 1

(2.1)

Х\ : ... : Хх) ироектшшого пространства P/V(IK), имеющая нид

/

< айх20-^ ахх\-\-а2х\Л-+aNx2N

auxg + а ix\ + а2 х\ + ... + aNx3N

к0х0 + к\Х\ + к2х2 + ... + fcjvxjv аохц + aiXi + а2х2 + ... + ajvxjv

а0 + at + а2 + ... + aN

О О О О О

а0 x$-1+alx?-1+a2x%-l + ...+aNx%-1 = 0.

.N-

Здесь a,j - ненулевые элементы поля К; kj, Xj - элементы поля К; ^ 0.

Далее в диссертации мы приводим ряд определений связанных с этой системой и доказываем основной результат:

Определение 5. Назовём решение ОАВ непаразитическим, если все Xi различны. Все остальные решения ОАВ назовём паразитическими.

Теорема 1. Если точка (хо : Xj : ... : хдг) € РЛГ(1С) является непаразитическим решением ОАВ и charK. ^ N, то в этой точке N — 1-мерные гиперповерхности, заданные уравнениями систелт, пересекаются гпранс-версально.

Теорема 3. Если все решения ОАВ являются непаразитическими, то их количество равно (N — 1)! (здесь charK. = 0, К алгебраически замкнуто).

Теорема 4. Множество значений параметров ai, при которых ОАВ имеет хотя бы одно паразитическое решение, имеет коразмерность 1 в пространстве допустимых параметров Р^(аа— 0 и содержится в объединении не более чем 2N гиперплоскостей.

Следствие 2. В случае, если К = С, а числа üj € К, существуют сколько угодно близкие к ним в 1?N (aj) целочисленные üj, для которых все решения ОАВ является непаразигпическими.

Кроме того, построено соответствие между псевдодеревьями и непаразитическими решениями ОАВ:

Следствие 4. Пусть D - детский рисунок, который является прообразом ß~l°([—оо, 0]), где ß = — xj)a> - функция Белого, соответствующая непаразитическому решению ОАВ, aj G Z, К = С. Тогда D является псевдодеревом.

В разделе 2.3 обсуждается связь понятий функции Белого и якобиана кривой. В частном случае, для функции Белого степени d на кривой рода 0, это означает, что функция Белого задаёт прямую в пространстве

однородных форм от 2 переменных, которая пересекает дискриминантную поверхность в 3 точках.

Раздел 2.4 в основном посвящен обзору статьи7 об инвариантах, различающих кривые рода 2 (все эти кривые гиперэллиптические).

В разделе 2.5 вводится семейство квартик, для которых существует пара касательных в точках перегиба, пересекающаяся па квартике и приводятся два примера таких квартик:

х4 - Зх3 + 3х2 - х - у3х - у - 3у3 + Зу2 + у4 = О

и

х4 - За:3 + Зж2 - х + ух + у4 = 0.

В разделе 2.6 вводится метод написания системы уравнений на пары Белого, подходящий для сколь угодно больших родов. При этом кривая реализуется как плоская проективная кривая с не более чем простыми особенностями. В этом разделе основное поле — это поле С.

Определение Особая точка плоской алгебраической кривой называется простейшей, если ей соответствуют только линейные ветви и касательные к разным ветвям различны.

Определение 9. Пару (X,ß), состоящую из плоской проективной кривой X : {(я : у : z) | f(x, у, z) = 0} и функции ß = gj*'^] назовём хорошей, если

a) f, P,Q~ однородные формы от x,y,z, degP = degQ, Р и Q взаимно просты.

b) кривая X либо гладкая, либо все её особенности простейшие с не более чем двумя ветвями в каждой.

c) все особенности плоской кривой X лежат в аффинной карте г = 1, и все точки перечесения X с прямой 2 = 0 однократны.

d) в каждой особой точке плоской кривой X функция Белого принимает два различных значения на двух пересекающихся ветвях кривой.

Утверждение 10. Любая пара Белого степени п рода g изоморфна хотя бы одной хорошей с deg/ = 2g + 3, degP = deg Q < (2g + 3)(n + 2g2 + 2g 4- 1) и критическими значениями, лежащими в множестве {0,1, оо}. Далее доказаны различные свойства такого представления, в частности: Утверждение 11. Для хорошей пары Белого с deg / = N, degß — п, deg Р = deg Q = М можно записать результанты Rez(P — Q,f) = RWi,

7Jim-i(;hi lgusa,/trii/irneiic variety of moduli for genus two, Ann.Math. Vol. 72, No. 3, iN'ov. IUOO

Rez(P, f) = RWq, Rez(Q,f) = RWгде deg R = MN - n, degW0 = deg Wi = deg H^ = n.

Утверждение 12. Кривая / = О удовлетворяет условиям b,c определения хорошей пари в том и только в том случае, когда не существует ни таких (х,у) £ А2, что

f(x,y,l) = 0 ф){х>У,1) = {±тх,уЛ) = 0

ни таких (х : у) S Р1, что

f{x,y, 0) = 0 ф)(х, У, 0) = (^f)(x, у, 0) = ф)(х, у, 0) = О

Краткое содержание главы 3.

В главе 3 приводятся и иллюстрируются па конкретных примерах различные техники вычисления пар Белого. Всего получено 29 различных рисунков и 2 приведённых ниже бесконечных семейства.

Первое из них — это семейство пар Белого рода 0, комбинаторные типы которых имеют вид ВР < 2к, 211 2,2... 2 | к +1,2,1,1,..., 1 >.

Второе семейство — это следующее семейство пар Белого рода 3:

Утверждение 18. Для несократимой дроби вида k = ^ Е Q\ {0,1, —1} пара (X. (3) является, парой Белого рода 3, если: кривая X задана уравнением

216 fcV+(216 fc3+108 k2)x3y+(18 k-216 k2)xУ+(1-216 k3)xy3+216 к2у*-648 k3x3 - 216 k2x2y - 18 kxy2 + 648 k3x2 + 108 k2xy - 216 k3x = 0; функция (} задана равенством

P := - + x)^~p2)(y - kxf"2)

Благодарности. Автор выражает глубокую благодарность своим научным руководителям: д.ф.-м.н., профессору Шабату Георгию Борисовичу за постановку задач, постоянное внимание и помощь в работе; д.ф.-м.н., профессору Латышеву Виктору Николаевичу за доброжелательное руководство. Автор выражает благодарность профессорам Юргену Вольфарту

и Гарету Джонсу, за их превосходный курс на летней школе в университете г. Юняскюля (2006). Наконец, хочется поблагодарить весь коллектив семинара "Графы tía поверхностях и кривые над числовыми полями" за поддержку и содержательные обсуждения.

Публикации по теме диссертации.

[1) В. А. Дремов, Вычисление двух пар Белого степени 8, Успехи математических наук - 2009, том 64, выпуск 3(387), с. 183-184.

[2| H. М. Адрианов, Н. Я. Амбург, В. А. Дремов, Ю. Ю. Кочетков, Е. М. Крейнес, Ю. А. Левицкая, В. Ф. Насретдинова, Г. Б. Шабат, Каталог функций Белого детских рисунков с не более чем четырьмя рёбрами, Фундаментальная и прикладная математика - 2007, т. 13, вып.6, с. 35112.

В этой работе Дремову В. А. принадлежит раздел 2, а также существенная часть разделов 4-7, а именно: вычисление пар Белого для несимметричных 4-рёберных рисунков рода 1 с двумя гранями (в том числе, 5160, 64-65, 67-68, 82-85, 100), дублирующее вычисление для 4-рёберных рисунков рода 0, отдельные вычисления для других групп рисунков. Кроме того, Дремов В. А. проводил завершающее упрощение формул и сведение их к единому виду.

[3] Б. С. Бычков, В. А. Дремов, Е. М. Епифанов, Вычисление пар Белого шестирёбериых рисунков рода 3 с группами автоморфизмов порядков 12 и 3, Фундаментальная и прикладная математика - 2007, т. 13, вып.6, с. 137-148.

В этой работе Дремову В. А. принадлежит раздел 3, содержащий утверждение 3.1 про факторизацию по группе автоморфизмов в категории детских рисунков.

[4] В. А. Дремов, Вычисление двух пар Белого, Депонировано в ВИНИТИ 29.04.09 N 267В2009, МГУ. - М., 2009.

[5] В. А. Дремов, Об одном семействе обобщенных многочленов Чебылиева, конференция "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения": Тезисы докладов. - Тула, 2003, с. 98-99.

Подписано в печать 30.04.10 Формат 60x88 1/16. Объем 1 п.л. Тираж 100 экз. Заказ № 951 Отпечатано в ООО «Соцветие красок» 119991 г.Москва, Ленинские горы, д.1 Главное здание МГУ, к. А-102

Введение

Глава 1. Комбинаторные вопросы

1.1. Представления, порядки и методы перебора.

1.2. О перечислении рисунков.

1.3. Деревья заданного комбинаторного типа.

Глава 2. Алгебраические системы и методы их построения

2.1. Деревья заданного комбинаторного типа.

2.2. Обобщенная антивандермондова система.

2.2.1. Основные объекты.

2.2.2. Трансверсальность пересечения в непаразитическом случае.

2.2.3. Об изменении свойств системы при малом изменении параметров

2.2.4. Комбинаторный смысл решений ОАВ.

2.3. Дивизориальные рассмотрения: слои над якобианом

2.4. Случай гиперэллиптических кривых.

2.4.1. Нормировки для гиперэллиптических пар Белого

2.4.2. Инварианты Игузы кривых рода 2.

2.5. Рисунки на неособых квартиках.

2.6. Общая система для пар Белого (в плоской модели кривой)

2.6.1. Исходная постановка

2.6.2. Параметры системы.

2.6.3. Условия гладкости.

2.6.4. Проекция из 'общей' точки (ti : ^ • 1).

Глава 3. Вычисления пар Белого

3.1. Общие вопросы нормировки.

3.1.1. Нормировка торических рисунков.

3.2. Методы редукции

3.3. Конкретные результаты.

3.3.1. Набор валентностей < 5, 5, 3, 3 || 6,6,1,1,1,1 >

3.3.2. Набор валентностей < 5,4 | 3,3,3 | *(д = 0) >.

3.3.3. 3-валентный рисунок с валентностями граней 10,4,2,1,

3.3.4. 3-валентный рисунок с валентностями граней 13,2,1,1,

3.3.5. 3-валентный рисунок с валентностями граней 8,4,3,2,

3.3.6. 3-валентный рисунок с валентностями граней 8,5,2,2,

3.3.7. Набор валентностей < 5, 3 || 7,1 >.

3.3.8. Деревья малых степеней и теорема Везу.

3.3.9. Набор валентностей < 6,6,2,2 || 5,5,2,2,1,1 >

3.3.10. Цикл длины 2 с петлями наружу.

3.3.11. Игра Белого на плоской квартике.

Актуальность темы диссертации. В 1979 году Г.В.Белый доказал в статье [3] теорему о том, что на любой алгебраической кривой, определённой над полем Q, существует хотя бы одна непостоянная функция с тремя критическими значениями. Более того, существование такой функции - это критерий определённости кривой над Q. Сейчас такие функции с не более чем тремя критическими значениями принято называть функциями Белого.

Определение 1. Пара Белого - это пара, состоящая из полной неприводимой гладкой комплексной алгебраической кривой и рациональной функции на этой кривой, имеющей не более чем три критических значения (функции Белого).

В 1984 году Гротендик ввёл понятие детского рисунка и сформулировал план исследований в своём "Наброске программы" (опубликован в 1997 году [7]).

Определение 2. Детский рисунок — это граф, вложенный в поверхность так, что дополнение к его образу гомеоморфно несвязному объединению открытых дисков.

В данной диссертации всегда рассматриваются, если специально не оговорено обратное, двудольные двукрашенные детские рисунки (см. определение 3). Оказалось, что хотя структура рисунка полностью определяется простыми комбинаторными данными (например, парой перестановок), но в то же время рисунки тесно связаны с парами Белого. С одной стороны, прообразом отрезка комплексной плоскости, соединяющей два критических значения функции Белого, будет детский рисунок. С другой стороны, по рисунку можно построить соответствующую ему пару Белого. На самом деле, эта связь является очень точной. В диссертации [1] Г.Б.Шабат доказал теорему об эквивалентности категории детских рисунков и категории пар Белого с занумерованными критическими значениями (с соответствующим образом введенным понятием морфизма). Существуют точные эквивалентности в следующих двух случаях: во-первых, все пары Белого и двудольные рисунки, во-вторых, все рисунки и пары Белого, у которых все прообразы одного из критических значений являются двукратными. Каждая из этих теорий легко вкладывается в другую. В диссертации рассматривается первый случай.

Таким образом, на каждой арифметически (над Q) определённой кривой есть хотя бы один рисунок. Более того, на каждой такой кривой есть бесконечное количество рисунков, со сколь угодно большим числом рёбер. При этом каждый из рисунков (с точностью до изоморфизма) определяется своими комбинаторными данными, которые могут быть более элементарными и наглядными, чем формулы для кривой. Например, Гротендик начинал свои исследования рисунков независимо от алгебраических кривых и работы Белого. И только потом пришёл к выводу, что рисунки могут помочь в исследовании алгебраических кривых и даже абсолютной группы Галуа.

Таким образом, очень интересно описывать свойства кривых с точки зрения лежащих на них рисунков. Это подводит нас к вполне содержательной проблеме нахождения пары Белого по соответствующему ей рисунку. С вычислительной точки зрения эта лроблема до сих пор далека от полного разрешения. Соответствующие алгебраические системы часто оказываются удобны для анализа с помощью использования специфики детских рисунков. В данном направлении ведутся активные исследования.

Другой важной проблемой, связанной с построением пар Белого, является проблема выбора координат и параметров, которая с одной стороны влияет на сложность системы, а с другой - имеет чисто теоретический аспект, связанный с полями определения и возможностью представить возникающие рациональные функции в форме, определённой над этим полем. Действительно, когда группа Галуа AutQ действует на пару Белого, рисунок может измениться, потому что это действие не является непрерывным в комплексной топологии (за исключением комплексного сопряжения, которое действует отражением, в том числе и на рисунках). Действие группы Галуа даёт нам некоторую орбиту, а также и стабилизатор рисунка. Стандартная конструкция позволяет сопоставить стабилизатору поле, которое и называется полем определения рисунка. Оказывается, что некоторые рисунки удаётся записать с коэффициентами из поля определения, в то время как для других рисунков это оказывается невозможным (в статье [8] приведён пример с полем определения степени 2 и минимальной степенью поля коэффициентов 4).

Цель работы. Работа состоит в построении и исследовании систем уравнений для вычисления пар Белого и создании элементов теории кратностей для таких систем. Проводятся вычисления пар Белого (как конечных, так и бесконечных семейств) в терминах аффинных и проективных систем уравнений, задающих алгебраическую кривую, и отношения многочленов, задающего рациональную функцию на этой кривой.

Основные методы исследования. В работе разработаны следующие подходы: вычисление торических функций Белого с помощью дифференциала Муласе-Пенкавы [9], построение однозначно заданной системы координат для эллиптических и гиперэллиптических пар Белого, теория кратностей и малых окрестностей для системы уравнений, позволяющей вводить рациональные параметры, и задающей плоские детские рисунки специального вида (подробнее см. раздел 2.2., с. 27-32).

Научная новизна. Основные результаты работы являются новыми. Среди них:

1. Построена учитывающая паразитические решения (подробнее см. раздел 2.2., с. 27) теория кратностей для обобщенной анти-вандермондовой системы уравнений на пары Белого.

2. Приведены несколько систем и подходов к вычислению для пар Белого малых родов.

3. Обоснован способ построения систем для рисунков с произвольными наборами валентностей (в частности, кривых сколь угодно большого рода).

4. Описаны множества детских рисунков и пар Белого для некоторых наборов валентностей.

5. В общей сложности, в работе получены пары Белого для 29 рисунков и 2 серий рисунков.

Практическая и теоретическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Полученные в работе результаты могут быть использованы в задачах теории детских рисунков Гротендика, а также в её приложениях к теории алгебраических кривых и к теории Галуа. Рассмотрены также связи с теорией штребелевых дифференциалов. Методы, рассмотренные в этой работе, были успешно применены для подсчета многих пар Белого, вошедших в каталог [18].

Публикации. Основные результаты опубликованы в работах:

1. В. А. Дремов "Вычисление двух пар Белого степени 8"// Успехи математических наук - 2009, том 64, выпуск 3(387), с. 183-184.

2. Н. М. Адрианов, Н. Я. Амбург, В. А. Дремов, Ю. Ю. Кочетков, Е. М. Крейнес, Ю. А. Левицкая, В. Ф. Насретдинова, Г. Б. Шабат "Каталог функций Белого детских рисунков с не более чем четырьмя рёбрами" // Фундаментальная и прикладная математика - 2007, т.13, вып.6, с. 35-112.

В этой работе Дремову Владимиру Александровичу принадлежит раздел 2, а также существенная часть разделов 4-7, а именно: вычисление пар Белого для несимметричных 4-рёберных рисунков рода 1 с двумя гранями (в том числе, 51-60, 64-65, 67-68, 82-85,100), дублирующее вычисление для 4-рёберных рисунков рода 0, отдельные вычисления для других групп рисунков. Также Дремов проводил завершающее упрощение формул и сведение их к единому виду.

3. Б. С. Бычков, В. А. Дремов, Е. М. Епифанов "Вычисление пар Белого шестирёберных рисунков рода 3 с группами автоморфизмов порядков 12 и 3" // Фундаментальная и прикладная математика - 2007, т.13, вып.6, с. 137-148.

В этой работе Дремову Владимиру Александровичу принадлежит раздел 3, содержащий утверждение 3.1 про факторизацию по группе автоморфизмов в категории детских рисунков.

4. В. А. Дремов "Вычисление двух пар Белого"// Депонировано в ВИНИТИ 29.04.09 N 267В2009, МГУ. - М., 2009.

5. Дремов В.А. "Об одном семействе обобщенных многочленов Че-бышева" // конференция "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения": Тезисы докладов. - Тула, 2003.

Апробация результатов. Результаты диссертации докладывались на семинаре "Графы на поверхностях и кривые над числовыми полями" и на "Научно-исследовательском семинаре по алгебре" кафедры высшей алгебры механико-математического факультета МГУ им. Ломоносова, на докладе в ПОМИ (Санкт - Петербургское отделение Математического института им. В.А. Стеклова), на Международной алгебраической конференции, посвященной 250-летию МГУ им. М.В. Ломоносова и 75-летию кафедры высшей алгебры (Москва, 2004), на Международной алгебраической конференции, посвященной 100-летию со дня рождения А.Г. Куроша (Москва, 2008) и на международной конференции "The Grothendieck-Teichmiiller Theory of Dessins d'Enfants" (Edinburgh, 2008).

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх основных глав и списка литературы. Каждая из глав в свою очередь разбита на разделы и подразделы. Полный объём диссертации - 81 страниц, библиография включает в себя 22 наименования.

1. Г.Б.Шабат "Комбинаторно-топологические методы в теории алгебраических кривых" (диссертация на соискание учёной степени доктора физико-математических наук), М., 1998

2. Jun-ichi Igusa "Arithmetic variety of moduli for genus two" // Ann.Math. Vol. 72, No. 3, Nov. 1960, p. 612-649

3. Г. В. Белый "О расширениях Галуа максимального кругового поля" // Изв. АН СССР. Сер. матем., 1979, 43:2, р. 267-276

4. Г. Б. Шабат "Мнимо-квадратичные решения антивандермондо-вых систем с 4 неизвестными и орбиты Галуа деревьев диаметра 4" // Фундамент, и прикл. матем., 2003, 9:3, р. 229-236

5. Kochetkov Yu. "Trees of diameter 4" // Proceedings of the 12th International Conference, FPSAC'OO (Formal Power Series and Algebraic Combinatorics), ed. D. Krob, A. A. Mikhalev, A. V. Mikhalev., Springer, 2000, p. 447-475.

6. Gilbert Ames Bliss "Algebraic Functions"; AMS, Colloquium publications, volume XVI; New York 1933

7. Grothendieck A. Esquisse d'un programme //London Math.Soc. Lecture Notes Series-Cambridge: Cambridge Univ.Press., 1997, V.243, p. 3-43

8. Филимоненков В.О., Шабат Г.Б. "Поля определения рациональных функций одного переменного с тремя критическими значениями" // "Фундаментальная и прикладная математика", 1995, т. 1, N3, с.781-799

9. М. Mulase and М. Penkava "Ribbon Graphs, Quadratic Differentials on Riemann Surfaces, and Algebraic Curves Defined over Q"// Asian Journal of Mathematics, Vol 2, number 4, 1998, p. 875-920

10. Е.М.Крейнес "Семейства геометрических паразитических решений систем уравнений на функции Белого рода ноль" // Фундамент. и прикл. матем., том 9, выпуск 1, 2003, с. 103-111

11. S.K.Lando, A.K.Zvonkin "Graphs on Surfaces and their Applications" //Springer, 2004

12. Ж. Серр "Алгебраические группы и поля классов" // изд. Мир, Москва, 1968

13. David Mumford "The Red Book of Varieties and Schemes" // Springer, 1999; Second, Expanded Edition

14. И.Р.Шафаревич "Основы алгебраической геометрии." // том 1, М., 1988

15. А.К. Zvonkin "Matrix integrals and map enumeration : An accessible introduction"// Computers and Mathematics with Applications : Mathematical and Computer Modelling, vol. 26,1997, p. 281-304Работы автора по теме диссертации.

16. В.А.Дремов "Об одном семействе обобщенных многочленов Че-бышева", тезисы доклада на конференции "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения", Тула, 2003, с. 98-99

17. А.М.Вашевник, В.А.Дремов "О парах Белого над произвольными полями", "Фундаментальная и прикладная математика", т.12,вып.З, Москва, 2006, с. 3-8

18. Борис Бычков, Владимир Дремов, Евгений Епифанов "Вычисления пар Белого шестиреберных рисунков рода 3 с группами автоморфизмов порядков 12 и 3". //Фундаментальная и прикладная математика 2007, том 13, выпуск 6, с. 137-148

19. В.А.Дремов "Антивандермондова система и функции с 3 критическими значениями", тезисы докладов на коференции, посвященной 100-летию Куроша, 2008, с. 85-86

20. В. А. Дремов "Вычисление двух пар Белого степени 8"// Успехи математических наук 2009, том 64, выпуск 3(387), с. 183-184.

21. В. А. Дремов "Вычисление двух пар Белого"// Депонировано в ВИНИТИ 29.04.09 N 267В2009, МГУ. М., 2009, 18 стр.