Рациональные функции с немногими критическими значениями тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

0 Введение

1 Предварительные понятия

1.1 Алгебраические кривые в аффиных и проективных пространствах. Основные определения и обозначения

1.2 Пространства модулей алгебраических кривых

1.2.1 Пространства модулей малых размерностей

1.3 Пространства Гурвица.

1.3.1 Компактификация пространства 7^0,d

1.3.2 Частные случаи при малых d.

1.4 Теория детских рисунков.

1.5 Теория пар Белого

1.6 Дискриминант многочлена

II Вычисления пар Белого

2.1 Необходимое условие чистой пары Белого

2.2 Уравнения в пространствах Гурвица.

2.2.1 Общий случай.

2.2.2 Случай рода 0.

2.2.3 Случай рода 1.

2.3 Уравнения в пространствах модулей.

2.4 Паразитические решения.

2.4.1 Общий случай.

2.4.2 Случай рода 0.

2.5 Деревья диаметра четыре.

2.6 Серии графов, обладающих геометрическими паразитическими решениями

2.7 Негеометрические паразитические решения.

2.8 Некоторые примеры и связи с нормировками

III Дискриминантные поверхности и их особенности

3.1 Основные свойства дискриминантных поверхностей

3.3 Стратификация пространств многочленов по критическим значениям

3.4 Специализация для многочленов степени

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации.

Различные комбинаторные структуры на римановых поверхностях в течение уже более чем ста лет постоянно возникают как в качестве естественных комбинаторных и алгебраических задач, так и в связи с различными вопросами теории пространств модулей, теории римановых поверхностей, квантовой теории поля, теории струн. Не случайно особенно бурное развитие комбинаторной и арифметической теории графов на поверхностях приходится на поледнее десятилетие, когда обнаруживаются многочисленные новые взаимосвязи между различными областями математики, а также между математикой и теоретической физикой.

В 1984 г. известный французский математик Александр Гро-тендик обратил внимание широкой математической общественности на то, что все алгебраические кривые над числовыми полями могут быть реализованы в виде графов специального вида на римановых поверхностях. При этом оказывается, что соответствующий граф является полным /3-прообразом линии, соединяющей какие-либо два критические значения некоторой рациональной функции (3 с не более чем тремя критическими значениями (так называемой функции Белого), заданной на исходной кривой. Гротендик назвал графы рассматриваемого вида детскими рисунками (dessin d'enfant). В дальнейшем это название стало общепринятым. Выяснилось (см. [32]), что взаимосвязь между детскими рисунками и кривыми над числовыми полями может быть поднята до эквивалентности категорий, дающей многочисленные нетривиальные связи между различными направлениями математики и теоретической физики, такими как теория категорий, алгебра, алгебраическая геометрия, комплексный анализ, топология, матричные модели, теория струн, квантовые вычисления.

Начиная со второй половины восьмидесятых годов, раздел алгебры, посвященный изучению детских рисунков Гротендика, кривых над числовыми полями, рациональных функций с необщим числом критических значений, активно развивается математиками из разных стран. Современный уровень развития теории нашел отражение в большом количестве печатных работ в центральных математических журналах, в ряде обзоров, в специальных сборниках [37, 38], в работе различных международных конференций.

Определение 1. Парой Белого (Х,/3) называется алгебраическая кривая X и непостоянная рациональная функция (3 : X —» Р^С), имеющая не более трех критических значений. Функцию (3 обычно называют функцией Белого.

Доказана эквивалентность категории пар Белого и категории детских рисунков, см. [32]. Но эта эквивалентность не является конструктивной. Существуют методы построения детских рисунков, соответствующих данной паре Белого. А именно, для нахождения детского рисунка, соответствующего данной паре Белого (Л',/?), достаточно взять полный /3-прообраз любой несамопе-ресекающейся кривой, соединяющей какие-либо два критических значения функции Белого. Однако, обратная задача является исключительно сложной. Существует множество частных решений этой проблемы, см. [1, 14, 16, 27, 31, 32], но отсутствует хоть какой-нибудь подход к общему решению.

Изложенная проблематика тесно связана с вопросами топологической классификации полиномиальных и рациональных отображений, рассматриваемыми в работах [2, б, 15, 19, 36, 34].

Таким образом, тема работы представляется актуальной и активно разрабатываемой современными математиками.

Цель работы состоит в решении ряда естественных задач, возникающих при поиске конструктивных подходов к визуализации взаимосвязи между детскими рисунками и кривыми над числовыми полями. В том числе, в изучении и геометрической интерпретации лишних решений, возникающих при задании функции Белого детского рисунка рода 0 системой полиномиальных уравнений. Проводится геометрическое исследование систем полиномиальных уравнений, ограничивающих число критических значений рациональных функций.

Основные методы исследования. В работе используются методы и результаты теории графов, перечислительной комбинаторики, теории групп и их представлений, теории Галуа, компьютерной алгебры, теории комплексных алгебраических кривых, теории дифференциальных уравнений.

Научная новизна. Основные результаты работы являются новыми. Среди них:

• Введение понятия паразитического решения систем уравнений на функции Белого и построение многочисленных общих примеров детских рисунков, обладающих паразитическими решениями

• Доказательство отсутствия паразитических решений для определенных классов плоских детских рисунков

• Доказательство принадлежности паразитических решений систем уравнений на функции Белого плоских детских рисунков границе некоторой компактификации пространства Гурвица

• Установление взаимосвязи между паразитическими решениями систем уравнений на функции Белого детского рисунка и его двойственного рисунка

• Доказательство конечности множества геометрических паразитических решений систем уравнений на функции Белого детских рисунков и установление того, что множество негеометрических паразитических решений может быть бесконечным

• Доказательство приводимости дискриминантной поверхности и геометрическая интерпретация ее неприводимых компонент

• Установление несовпадения сингулярной и критической стра-тификаций дискриминантной поверхности

Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы в некоторых задачах теории детских рисунков Гро-тендика, теории алгебраических кривых, топологической классификации многочленов и рациональных функций, теории Галуа, теории математических биллиардов, квантовых компьютеров, матричных моделей.

Апробация результатов. Результаты диссертации докладывались на 55-ой международной конференции по общей алгебре и дискретной математике в Потсдаме (Германия) в 1999 г.; международном алгебраическом семинаре, посвященном 70-летию кафедры Высшей Алгебры МГУ им. М.В. Ломоносова в Москве в 1999 г.; 3-ей международной конференции по проективной алгебре, геометрии и комбинаторике в Порто (Португалия) в 1999 г.;

12-ой международной конференции по формальным степенным рядам и алгебраической комбинаторике в Москве в 2000 г.; международном алгебраическом семинаре, посвященном 70-летию семинара О.Ю. Шмидта в Москве в 2000 г.; международной конференции по теории Галуа в Потсдаме (Германия) в 2001 г.; на научно-исследовательском семинаре кафедры высшей алгебры механико-математического факультета МГУ, на семинаре "Кольца и модули" , на семинаре "Графы на поверхностях и кривые над числовыми полями".

Публикации. Основные результаты опубликованы в 6 работах, список которых приведен в конце диссертации. В работе [41], написанной в соавторстве с Г.Б. Шабатом, доказательство теоремы 1, включенной в текст диссертации, принадлежит диссертанту.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы, и списка литературы. Полный объем диссертации — 82 страницы, библиография включает 44 наименования.

1. Адрианов Н.М., Кочетков Ю.Ю., Шабат Г.Б., Суворов А.Д. Плоские деревья и группы Матье // Фундаментальная и прикладная математика.—1995.—Т. 1, № 2.— С. 377-384.

2. Арнольд В.И. Критические точки функций и классификация каустик // Успехи мат. наук.—1974.—Т. 29, No. 2, С. 243-244.

3. Белый Г.Б. О расширениях Галуа максимальных циклотоми-ческих полей // Изд. Акад. Наук СССР—1979 —Т. 43,—С. 269-276.

4. Б.Л. ван дер Варден. Алгебра. М.: Наука, 1979.

5. Вашевник А. М. К определению обобщенных многочленов Че-бышева над конечными полями // Функциональный анализ и приложения,—2001.—Т. 35, №3— С. 77-79.

6. Здравковская С. Топологическая классификация отображений многочленов // Успехи мат. наук.—1970.—Т. 25, .\'"4. С. 179180.

7. Курош А. Г. Курс высшей алгебры. Москва: ОГИЗ, 1946.

8. Оре О. Графы и их применение. М.: Мир, 1965.

9. Харари Ф. Теория графов. М.: Мир, 1973.

10. Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия. М.: Мир, 1981.

11. Цишанг X., Фогг Э., Колдевай Х.-Д. Поверхности и разрывные группы. М.: Наука, 1988.

12. Шафаревич И.Р. Основы алгебраической геометрии. М.: Наука, 1972.

13. Шабат Б.В. Комплексный алализ. 1,11. М.: Наука, 1976.

14. Amburg N. Regular unicellular dessins s'enfants and Weil curves // Formal Power Series and Algebraic Combinatorics.—Berlin: Springer-Verlag, 2000,—P. 393-401.

15. Arnold V.I. Topological classification of complex trigonometric polynomials and combinatorics of graphs with an equal number of vertices and edges // Funct. Anal. Appl—1996.—V. 30, №1.—P. 1-14.

16. Betrema J., Pere D., Zvonkine A. Plane Trees and their Shabat Polynomials. Catalog. Bordeaux: Rapport Interne de LaBRI.— 1992.—V. 75-92.

17. Couveignes J.-M. Boundary on Hurwitz spaces and explicit patching // J. Symbolic Computation.—2000.—V. 30—P. 739-759.

18. Darevskaya Ju. On the integer models of plane trees // Formal Power Series and Algebraic Combinatorics.—Berlin: Springer-Verlag, 2000.—P. 414-421.

19. Goulden I.P., D.M. Jacson D.M. The combinatorial relationship between trees, cacti and certain connection coefficients for the symmetric group // European J. Combin.—1992.—V. 13.—P. 357-365.

20. Grothendieck A. Esquisse d'un programme // London Math. Soc. Lecture Notes Series.—Cambridge: Cambridge Univ. Press.— 1997.—"V. 243.—P. 3-43.

21. Harer J., Zagir D. The Euler characteristic of the moduli space of curves // Inventiones Mathematicae.—1986.—V. 85.—P. 457-485.

22. Harris J., Mamford D. On the Kodaira dimension of the moduli space of curves // Inventiones Mathematicae.—1982.—V. 67.—P. 23-86.

23. Harris J., Morrison I. Moduli of Curves. Graduate Texts in Mathematics.—New York, Berlin: Springer-Verlag.—1998.—V. 187.

24. Hurwitz A. Uber Riemannsche Flachen mit gegeben Verzweigun-spuncten // Mathematischen Annalen.—1981.—V. 38.—P. 1-41.

25. Jensen C.U., Lenzing H. Model Theoretic Algebra with particular emphasis on fields, rings, modules.—Gordon and Breach Science Publishers, 1994.

26. Khovanskii A. G., Zdravkovska S. Branched covers of S2 and braid groups // J. of Knot Theory and its Ramifications.—1996.—V. 5, т.—P. 55-75.

27. Kochetkov Yu. Yu. Trees of diameter 4 // Formal Power Series and Algebraic Combinatorics.—Berlin: Springer-Verlag.—2000.— P. 447-453.

28. Looijenga E. The complement of the bifurcation variety of a simple singularity // Invent. Math.—1974.—V. 27, №3.—P. 94-129.

29. Natanzon S., Turaev V. A compactification of the Hurwitz space // Topology.—1999.—V. 38, №4— P. 889-914.

30. Крейнес Е.М. Кратности и паразитические решения систем уравнений, определяющих плоские графы // Математические методы и приложения, МГСУ, Москва, 2000.—С. 57-61.

31. Крейнес Е.М. Некоторые серии плоских графов // Математические методы и приложения, МГСУ, Москва, 2001.—С. 85-89.

32. Крейнес Е.М., Шабат Г.Б. О паразитических решениях систем уравнений на функции Белого // Фундаментальная и прикладная математика,—2000.—Т. 6, №3.—С. 289-292.

33. Крейнес Е.М. О стратификации многочленов по критическим значениям // Математические методы и приложения, МГСУ, Москва, 1999.—С. 63-67.

34. Kreines Е. Belyi Functions related to plane graphs: Multiplicities and parasitic solutions // Formal Power Series and Algebraic Combinatorics.—Berlin: Springer-Verlag, 2000.—P. 468-476.

35. Kreines E. Critical stratification of polynomial spaces and Sha-bat polynomials // Paul Erdos and His Mathematics.—Budapest: DICO к CO Ltd, 1999,— P. 145-148