Арифметические свойства значений гипергеометрических функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Введение

1 Оценки линейных форм, зависящие от всех коэффициентов

1.1 О линейных формах от значений полилогарифмов

1.2 Приближения Паде для гипергеометрических функций

1.3 Оценки линейных форм.

2 О линейной независимости векторов с полилогарифмическими координатами

2.1 Построение линейных приближающих форм.

2.2 Верхние оценки остатков приближений.

2.3 Доказательства теорем 3 и 4.

3 О векторах с обобщенными полилогарифмическими координатами

3.1 Доказательство теоремы 5.

История вопроса. Пусть (01,., 0т) € 11т. В теории трансцендентных чисел и её приложениях важную роль играют оценки снизу для модулей линейных форм

ХО + Х101 +. + хтвт (0.1) где Х{ - целые рациональные числа. Оценки обычно получаются в виде функции от х = шах |жг-|. Рассматривают также и формы с алгебраическими коэффициентами х^ выражая оценивающую функцию через максимум высот коэффициентов. Лишь в очень немногих случаях удается получить оценки, зависящие от границ для каждого из %{.

Из метрических соображений [24] следует, что при любом е > 0 для почти всех в смысле меры Лебега точек 0 = (01,., 0т) £ Г1т существует постоянная с = с(0,е) > 0 такая, что для любого ненулевого вектора х — (жо, #1, • • • > %т) £ Zm+1 справедливо неравенство: ш х0 + Хгвг + . + хтет\ > с • Д ^ • (Ь(1 + х)Ут-£, (0.2) г=1 где Х{ = тах(1, х = тах Х{.

1 <г<т

В настоящее время не известно ни одного набора чисел 0, для которого выполнялось бы неравенство (0.2). Вместе с тем для любой положительной и сколь угодно быстро убывающей функции (р(х), х 6

И,х>0, существуют точки в, для которых неравенство х0 + Х\в\ + . + хтвт I < (р(х) имеет бесконечное число решений х £ Zm+1.

Методы теории трансцендентных чисел позволяют получать оценки снизу для модуля величины (0.1), близкие по порядку к оценкам (0.2), при специальном выборе 9. В качестве чисел 01,., 0т можно рассматривать значения аналитических функций

00

ЛИ = £ с?>Л с,-„ е з = 1,., Ш, п е N и {о}, п=О в ненулевых рациональных точках ^ 6 N.

Нас будут интересовать значения обобщенных гипергеометрических функций.

Определение 1. Пусть <21,., ар, 61,., Ьд - комплексные числа, отличные от нуля и отрицательных целых чисел. Обобщенная гипергеометрическая функция определяется рядом

Ч,. А g (fll)n • • ■ Ып (0 3) n=0 (h)n ■ • • (bq)n П !' где (а)о = 1 и (а)п = а • (а + 1) • • • (а + п — 1) при п > 1.

При р < q этот ряд определяет целую функцию, в случае р = q+1 радиус сходимости ряда (0.3) равен 1, а в случае р > q + 1 этот ряд расходится.

Большинство специальных математических функций является гипергеометрическими функциями. Например, ez — oFo( |z),

1 + z)a = iF0(-a; -г), 1п(1 - z) = -z • 2FX

OO zn / ^ 1 \

Lk{z) = ^ = Z'k + lFk\2,Z',2Z)z

Гипергеометрические функции (0.3) дают множество примеров так называемых Е- и в-функций Зигеля. Определение 2. Аналитическая функция

00 zn f(z) = Е ¿п. п=0 гь\ называется Е-функцией, если она удовлетворяет следующим условиям

1) сп € К, п = 0,1, 2,., где К - поле алгебраических чисел конечной степени над С^;

2) для некоторой константы С сп\ = 0(Cn), п —оо, где через |а| обозначен максимум модулей чисел, сопряженных с а над полем Q;

3) существует последовательность {qn}, qn £ N, такая, что QnCk £ ZK, & = 0,1,. .,те, 71=1,2,. и qn = 0(Cn), ti У оо.

Данное определение E-функции было введено С. Ленгом [44] и несколько отличается от классического определения Зигеля. Однако, все известные E-функции (в смысле Зигеля), являющиеся решениями линейных дифференциальных уравнений, удовлетворяют определению 2.

Определение 3. Аналитическая функция

00 п

М = Е cnZ п=О называется С- функцией, если выполнены условия 1)-3) из определения 2.

Всюду в дальнейшем считаем, что параметры а\,., ар, 61,., Ьч обобщенной гипергеометрической функции (0.3) рациональны. Так при р < д функция является Е-функцией (см. [32, гл. 5, §1]). При р = д + 1 гипергеометрическая функция (0.3) принадлежит к классу С-функций.

В 1929 г. К. Зигель в работе [45] разработал метод доказательства трансцендентности и алгебраической независимости значений Е-функций. В дальнейшем этот метод был существенно усовершенствован А. Б. Шидловским (см. [32]) и получил название ,,метод Зигеля-Шидловского".

Этот метод может быть также применен для получения оценок линейных форм, зависящих от всех коэффициентов. Первая оценка подобного типа была получена А. Бейкером в 1965 году в [35] для значений функций ег в различных рациональных точках. Теорема ([35]). Пусть а\,., ат - различные ненулевые рациональные числа. Тогда для любых целых отличных от нуля чисел хт справедливо неравенство положительные числа, зависящие только от а\,., ат.

Важную роль в доказательстве результатов такого рода играют функциональные приближающие формы, так называемые прибли-Эрмита-Паде или близкие к ним. где х = т< 1

В некоторых случаях существуют эффективные способы построения функциональных приближающих форм, позволяющие получать более точные оценки.

Определение 4. Пусть д > 1 и /о(я),. - аналитические в точке г = 0 функции, не все равные нулю в этой точке, щ,. ,пд- целые неотрицательные числа, N = щ +. + пд. Нетривиальная совокупность многочленов Ро(г),., Рд(г) с условиями называется приближениями Эрмита-Паде первого рода. Нетривиальная совокупность многочленов Ао(г),., Ад(г) с условиями называется приближениями Эрмита-Паде второго рода.

Символ огс1 обозначает кратность нуля в точке г = 0 функции Р(г)).

В ряде случаев эффективные конструкции приближений Эрмита-Паде позволяют получать результаты более точные, чем с помощью метода Зигеля-Шидловского.

Используя приближения Эрмита-Паде первого рода, Н. И. Фельдман в 1967 году в работе [25] получил результат, подобный теореме Бейкера для единицы и значений функций <р\г (г),., (р\т (г), где я огаЕВД-ЛМ >N-1, г=0 й^А^г) <И-щ, г = 0, ог(1 (4 (*)/,-(*) - А^(г)Мг)) > 1 + ТУ, 0 <i<j<q, в рациональной точке а, а ф 0.

Теорема ([25]). Пусть а есть рациональное число, отличное от нуля, a Ai,., Am суть различные рациональные числа, отличные от отрицательных целых. Тогда существует такое положительное со = co(Ai,., Am, а), что для любых целых рациональных х\,., хт, у, х\ + . + х^ > 0, выполняется неравенство

Х1Ы<*) + WA» + . + xm<fXm(a) +У\>

X = х\ - • ■ хт, Xi = max(|^|, 1).

Полученная оценка имеет точный главный член в показателе при X и остаточный член вида со/ In ln X, что точнее величины и/ Vin ln X в оценке Бейкера.

Отметим, что перечисленные результаты относились к оценкам линейных форм от значений целых гипергеометрических Е-функ-ций. Оценки подобного типа можно получать и для значений гипергеометрических функций с конечным радиусом сходимости (G-функций) в рациональных точках, достаточно близких к нулю. Одна из известных работ в этом направлении — работа Н. И. Фельдмана 1972 г. [26] о значениях функций п=0 п + ai аг \ОЧ + 1 1, г = 1,.,ш. (0.4)

Теорема ([26]). Пусть а>1,.,ат отличные от нуля и отрицательных целых рациональные числа, несравнимые по модулю 1, е > 0, К - мнимое квадратичное поле. Существует постоянная 7 > 1, зависящая лишь от ., ат, е, такая, что если а и Ъ -целые числа поля К, удовлетворяющие условию

7|а|т+1 < \Ь\£^т+1+т£\ то для любых целых чисел хо, х\,., хт поля К, удовлетворяющих условию хг'• •хт\ = X > Хо > О, где эффективная постоянная Хо зависит лишь от а., ат, е, а и Ъ, справедливо неравенство ко + хфг + . + хтрт\ > Х~г~£, (Зк = ¡к ^ .

Эта оценка также получена с помощью приближений Паде первого рода для функций (0.4).

Результат [26] был обобщен В. Н. Сорокиным в [23], доказавшим подобную оценку для линейной формы от значений функций а0 где , 1 <г<т, (0.5) о;0,., ат е Q, а0,., ат > 0, оцф aj (mod 1), 1 < i < j < т.

При ао — 1 функции (0.5) совпадают с функциями (0.4). Теорема ([23]). Пусть ао, «ь • • • > ат ~ положительные рациональные числа, причем ai,.,am попарно несравнимы по модулю = а/Ъ, где а и Ъ - целые числа мнимого квадратичного поля I, отличные от нуля; г > 0. Тогда существует постоянная 7 > 1, такая, что если а и Ъ удовлетворяют условию то для некоторой эффективной постоянной Хо > 0 и для любых целых чисел хо, х\,., хт поля I таких, что

X = |ж! • • -хт\ > Х0, справедливо неравенство ко + хф\ + . + хт(Зт\ > Х'1'6,

С).

Доказательство этой теоремы основано на эффективной конструкции приближений Паде второго рода для функций (0.5).

В 1975 году в [7] А. И. Галочкин с помощью метода Зигеля-Шидловского получил оценки линейных форм, учитывающие рост всех коэффицентов, от значений С-функций, каждая из которых является решением линейного дифференциального уравнения первого порядка с коэффициентами из С (г) и удовлетворяет так называемому С-свойству, в точках вида 1/д, где д е N. В качестве следствий были получены оценки линейных форм от чисел 1, 1п(1 + ai/q) г = 1,., га, а также оценки линейных форм от чисел 1, (1 + а1 /чУ1 •••(! + <^т1ч)Ут1 Для различных наборов (г^,., г/т), щ £

Эп[о, 1).

В 1976 г. К. Ваананен [46] обобщил теорему Бейкера [35] на множество значений функций

1, </?д(с^;г), 1 < % < га, А е Q\Z; ах,., ат - различные ненулевые рациональные числа. Его функция е{К) имела тот же вид, что и в теореме Бейкера. В [47] К. Ваананен доказал результат, подобный теореме Галочкина [7] для значений Е-функций, линейно независимых над С (г) и имеющих тейлоровские коэффициенты из мнимого квадратичного поля. При этом каждая из Е-функций является решением линейного дифференциального уравнения первого порядка с коэффициентами из О (г).

Общая задача, по-видимому, может быть сформулирована следующим образом. Найти по возможности менее обременительные условия на функции /1(2),., /т(г), при которых справедливо утверждение.

Пусть /х(^),., — Е-функции с рациональными тейлоровскими коэффициентами, каждая из которых является решением некоторого линейного дифференциального уравнения с коэффициентами из С(^). Тогда для любого е > 0 и любого ненулевого а €Е существует постоянная со = со(е, ск, /ъ • • • ? /ш) > 0 такая, что для любого ненулевого набора целых чисел х1,.,хт с условием х = тах(|ж1|,., \хт\) > со имеет место либо

Ж1/1Н Н----+ хт/т{а) = О, либо x\hipi) +----\-хт/т{а)\ > \Х1 • • -хт\~1 • х1-е.

В 1984 г. Г.В. Чудновский [36] предложил оригинальную конструкцию так называемых градуированных приближений Паде и попытался доказать подобное общее утверждение при некоторых условиях. Однако, доказательство содержало существенный пробел (см. [12]). Дальнейшее развитие метода градуированных приближений Паде позволило получить оценки меры иррациональности Е- и С-функций (см. [13], [14]) и доказать сформулированное утверждение при некоторых достаточно жестких дополнительных ограничениях на функции /1(2),., /т(г) (см. [15]). Отметим, что конструкции градуированных приближений Паде неэффективны.

Формулировки основных результатов. В диссертации получены новые результаты об оценках линейных форм с целыми коэффициентами от значений в рациональных точках гипергеометрических функций с конечным радиусом сходимости. Эти оценки учитывают рост всех коэффициентов линейной формы. Рассмотрим функции

00 гп

1*1 ^

Ьк(г) = 1*(0;г). (0.6)

В работе Е. М. Никишина [21] построены приближения Паде первого рода для набора функций 1 к = 1,.,т, в окрестности точки ^ = оо. Они задаются интегралами

1 г - 1). - тп - д + 2) /~1\*

2тН (£ + 1)т . . . (г + п)т(£ + 71+1)9 V г / 8Ш7Г* ~

Иб ^— 2

1 и/ где д 6 К, 1 < д < т; многочлены, degА; (г) < п, ] = degА, (г) < п - 1, д < з < тп.

Из этой конструкции вытекает

Теорема ([21]). Пусть Ь Е Z, а £ И, | < 0, и выполнено неравенство

6| > ат+1 • ехр{(т — 1)(т1пга + 2т1п2)}, тогда числа 1, (а/6),., Ьт(а/Ь) линейно независимы над С^. Отсюда можно получить также оценку снизу для модуля линейной формы с целыми коэффициентами от чисел 1, £&(§), к = 1,., т, зависящую от максимума модуля коэффициентов формы.

Обобщение конструкции Е.М. Никишина приводит к построению приближений Паде первого рода для функций Ь^г), к = 1,., т, для любых натуральных щ,. ,пт с условием щ < П2 < . < пт. Пусть щ,. ,пт- натуральные числа, т

П1<.<пт, п= (пЪ .,Пт), ЛГ+ 1 = + 1).

1=1

Тогда существуют многочлены Рщз = 0,1,., га, с с!еёРп^(г) <Пу, 1 < з < т, degPnfi(z) <пт- 1, такие, что т

1/=1 №1 + 1---И»»т+1 ¿=1

Приближения Паде, выписанные выше, позволяют получить оценки линейных форм от значений полилогарифмов Ь^г) в рациональной точке, зависящие от всех коэффициентов.

Теорема 1 Пусть г = Ь/а, Ь Е Ъ, абК, ат+1 ехр {т(т - 1) 1п8т + га2} < |Ь|.

Тогда существует такая постоянная с = с(а, Ь, т) > 0, что для любых целых чисел хо,х\,. ,хт, в совокупности отличных от нуля, и х\ > тах(1, г = 1, .,т, удовлетворяющих условию < Х2 < • ■. < хт, справедливо неравенство

Х0 + XI • Ьт + • • • + Хт • 1/1 с(х 1 • • • Хт) • X 8 т ' т(т+1) 1п а+то31п8т+т2(т+1) гое д— 1Пщ-{тп+1)Ыа-т(т-1)Шт-т2,

Следствие 1 Пусть Ъ Е Z, £ > О,

6|е/(т+е) > а™+1 еХр {т2 1п 8т + т(т + 2)}.

Тогда для любого нетривиального набора целых чисел хо, х\,., и чисел х\ > тах(1, г = 1,., т, удовлетворяющих условиям

XI < Х2 < . < Хт, хт > х0 = Хо(а, 6) > О, справедливо неравенство хо + XI • Lm i^j + . + хт ' Li f^ х~£ тп •

Доказательству этих утверждений посвящен §1 гл.1 диссертации.

Дальнейшее развитие идей работы приводит к рассмотрению значений гипергеометрических функций оо где «1, ßi,., ßm - рациональные числа.

Введем обозначения. Пусть den£ Е N обозначает знаменатель несократимой дроби Для к € N определим и к 1 е ip(k) r=1 г г,*)=1 где ip - функция Эйлера.

Аппроксимации Паде, задаваемые рядом и — 1). (и — N) f(UA п м

Ъ JÖT- ■ (о , 7Л-(о , ,л--* - Е Qn,j • J3\MZ) - Qn,0{Z) v=l \.P\)v + V)n 1+1 • • • (An + V)nm+1 j=1 где т nb.,nmeN, щ = max{ni,. ,пт} , iV + 1 = (щ + 1), г=1

Qn,j(z) G Q[z], degQn,j{z) < rij, 1 < j < m, degCfooM < - 1, приводят к следующей теореме.

Теорема 2 Пусть cüx, ßi,., ßm G Q \ {0, —1, —2,.} и числа ßi — ßj, 1 + ßi — а\ (г, j = 1,., m, г ф j) отличны от нуля и отрицательных целых, а\ = den ах, 6j- = den^-, 6fj = den(/9< - /??), ai,i = den(c»!i - Д-), i,j = l,.,m, гфу, m / m ч

A;=l /=1 7

1фк p простое p простое

Пусть, далее, b G Z, a G N u выполнено неравенство

6| > am+1 • exp{(m - 1)(min4m + In4) + mF}.

Тогда существует такая постоянная С = С (а i,ßi,., ßm, а, 6) > О, что для любых целых чисел жо, жх,., жт, б совокупности отличных от нуля, имеет место неравенство т

Хо + £ Xifi(a/b) > С(XI' • • хт)-1 • хг~ , i=1 где Х{ > тах{1, |ж$|}, г = 1,., т, жх = тах{жх,., жт}, т(т + 1) Ina + т(т + + т3 In4т + т2 In4 In |Ь| — (т + 1) In а — mF — (т — 1) (т In 4т + In 4)'

Следствие 2 Пусть 6 6 2,а е N,6 > определено в теореме 2, ат+1 -ехр{т21п4га + (т + 1)(Т + 1п4)}.

Тогда для любого нетривиального набора целых чисел жо, х\,., п чисел Хг > тах{1, |жг-|}, г = 1,.,га, удовлетворяющих условиям хг = тах{жь ., хт}, хг>Х0 = Х0(аь ., /?т, а, Ь) > О, справедливо неравенство т

0 + Е я»/г(а/&) > • • • жт)-1 • £. 1

Доказательства этих результатов составляют содержание §2, §3 гл.1. Из следствия 2 при а1 = (3\ следует теорема из работы [26].

Оценки линейных форм с целыми коэффициентами от значений обобщенных гипергеометрических функций (0.3), зависящие от максимума модуля коэффициентов формы, получены П.Л. Иванковым в работах [16, 17, 18]. Теорема 2 усиливает и уточняет результаты работ [16, 17] для значений гипергеометрических функций в рациональной точке а/Ь.

Метод Зигеля-Шидловского в применении к С-функциям даёт возможность получать арифметические результаты только в точках достаточно малых по модулю. В тех случаях, когда удается построить явные приближения Эрмита-Паде для заданных функций, область изменения аргумента можно расширить. Однако, об арифметической природе значений в-функций в точках, далёких от нуля, например, лежащих на границе круга сходимости, информации пока очень мало.

Хорошо известно [1], что

00 1 , (27г)2к где В2к £ Q- числа Бернулли. Так, например, £2(1) — ^/б, 1/4(1) = 7г4/90. Эти выражения доказывают трансцендентность значений функций Ь2к{%) в точке 2 = 1, лежащей на границе круга сходимости. Эти значения линейно независимы в совокупности над полем

В 1978 г. Р. Апери в работе [34] доказал иррациональность числа

00 1

С(з) = Е -з = ¿3(1). п=1 ,ь

Об арифметических свойствах значений дзета-функции в нечетных точках до результата Р. Апери не было известно ничего. Появление работы Апери стимулировало интерес к изучению арифметических свойств значений полилогарифмов Ьк(г).

После работы Е. М. Никишина [21] о линейной независимости значений функций (0.6) в достаточно малой рациональной точке появились статьи Л. А. Гутника [9] и М. Хаты [39] о функциях Ьк(г) и Ьк(оц\г). В этих работах утверждения о линейной независимости значений полилогарифмических функций распространены на более широкие множества точек. Из работы Л. А. Гутника [9], например, следует, что при |6| > в^е^-а^1 система 1, Ь\{а/Ь),., Ь8(а/Ь) линейно независима над С^. Доказательства этих работ основаны на построении приближений Эрмита-Паде второго рода к функциям Ьк(г) и Ьк{аиг).

В работах О.Н. Василенко [2, 3, 4] с помощью эффективного построения линейных форм с порядком нуля, близким к максимальному, получены при некоторых условиях оценки снизу для меры линейной независимости значений функций вида г) в одной или нескольких рациональных точках, а также при где К - мнимое квадратичное поле.

В [5, 6] построены функциональные приближения с высоким порядком нуля для наборов функций, включающих в себя логарифмические функции и разности дилогарифмических функций, и получены оценки снизу для диофантовых приближений значений этих функций в достаточно малой рациональной точке.

Исследование значений полилогарифмов привело к появлению ряда работ, где построены хорошие приближения к некоторым гипергеометрическим функциям. Отметим работы [40, 42, 43], в которых получены новые оценки для меры иррациональности значений логарифмических функций.

Изучению свойств чисел 2^(1) посвящена работа [8], в которой доказывается

Теорема ([8]). Пусть д е д -ф 0. Тогда среди чисел

ЗС(3) + <?-С(2), С(2) + 2д • 1п2 имеется иррациональное.

Эта теорема равносильна утверждению о линейной независимости над четырёх векторов: зс(з)\ /1\ /о\ с(2)]' \2Ъ2)' VI/'

Возникает вопрос о возможности обобщения этого результата на векторы произвольного р-мерного пространства. Ответ на этот вопрос даётся в гл.2 диссертации, которая содержит новые результаты о линейной независимости над р-мерных векторов, координаты которых - значения функций или и единичных векторов пространства Rp. В теореме 3 рассматриваются значения полилогарифмов в положительных рациональных точках, в теореме 4 — в отрицательных.

Теорема 5 распространяет результаты теорем 3 и 4 на векторы с обобщенными полилогарифмическими координатами.

Теорема 3 Пусть р Е N,

Q+ = min [q Е N : vV/p - 1 + \f(F* > е1"1^}, щ = (сЦ-и(\1ч), C^-L^il/g), ., ci+-;2-Vi(i/g))GRp, i = 1,

Тогда длл любого натурального q > фр никакая нетривиальная Q-линейная комбинация векторов äi,. , öp we лежит в Qp.

Теорема 4 Пусть р Е N,

Qp = min jg Е N : е2^1 < (A9iPi + gVp + vV/2pj\p-i)p}, где (l + g2^-2g^cos^)1/2, Д^х = (g^-cos^ + A^i)1'2; 3, = (Cti-^i-l/g), Cf ^(-l/g),., Cl-l^L^-l/q)) E

Тогда для любого натурального q > Q~ никакая нетривиальная Q-линейная комбинация векторов Щ,. ,ар не лежит в Qp.

Замечание. Для величины Q®gn^ справедливы следующие неравенства

Q~ < Qt < ер.

Ранее более общая задача о линейной независимости т векторов пространства 11п щ = (Ь^а/Ь), Ьг+1(а/Ь),., Ьг+п-1(а/Ь)^, г = 1,.,га, рассматривалась в работах Л.А. Гутника [10, 11]. В нашем частном случае (т = п = р) способ построения и оценки линейных приближающих форм отличается от предложенного в [10, 11] . В результате получена лучшая граница для величин С.

Теорема 5 Пусть р, I е /3Ъ./3Р£С1П [0; 1);

00 ZK

Пусть М - наибольший из знаменателей рациональных чисел Д- — r ßc,

Т=£( Indens + £ j=1 V p'ldenßj V — V p' простое

Q+ = min [q G N : eM^+T < (yfq^1 +

Q; = minjg G N : eM^+T < + qV* + V^q^B^f], где числа AqyP-i, Bq>p-1 определены в теореме 4. Пусть kj = #{1 <l<j:ßi = ßj}, 1 <3<P\ bi = (c\zl+klLi- 1+aJA; 1/9)> • • • > Cli-2+kpLi-i+kp(ßp', 1/9)), г= l,.p.

Тогда для любого целого q, |g| > Qpm^q\ никакая нетривиальная Q-линейная комбинация векторов fei,., bp не лежит в Qp.

Теоремы 3 и 4 дают множество интересных следствий. При р из теорем 3 и 4 находим

Qt = min {g Е N : е3 < ((^ - l)1/2 + ^д)4} = 3,

Qä =min{g€N : е3 < + Jq + V/2g1/4(^+ Jl + q)1/2)2} что позволяет сформулировать

Следствие 3 Для любого натурального q > 3 векторы

Щ = (li(l/д), L2(l/g)), а2 = (£2(1/д), = (1, 0), ё2 = (0, 1) линейно независимы над Q.

Следствие 4 Для любого натурального q векторы

Щ = (¿i(-l/g), L2(-l/д)), аз = (b2(-l/g), 2L3(-l/g)), ei = (1, 0), ё2 = (0, 1) линейно независимы над Q.

Утверждение следствия 4 при q — 1 — результат работы [8]. В частности, из следствия 3 легко получаем

Следствие 5 Для любого натурального q > 3 одно из чисел £з(1/д), L2(l/g) иррационально.

Про арифметическую природу каждого из этих чисел при g > 1 и не очень большом почти ничего не известно. В работе М.Хаты [41] доказывается иррациональность значений L2( 1/k) для целых к 6 (—оо, -5] и [7, +оо).

В случае р = 3 из теорем 3 и 4 находим е5 < (^д1/3 - 1 + = 7,

Яъ = 4, что дает

Следствие 6 Для любого натурального д > 7 никакая нетривиальная 0,-линейная комбинация векторов щ = (¿1(1/<г),1,2(1Д?),ь3(1/9)), 32 = (ь2(1/д),2ь3(1/д),314(1/д)), аз= (Ьз(1/д),ЗЬ4(1/д),6Ь5(1/д)) ме лежит в С}3.

Следствие 7 Длл любого натурального д > 4 никакая нетривиальная -линейная комбинация векторов

Щ = (^(-1/д), Ь2(-1/д), Ьъ{- 1/д)),

2 - (ь2(-1/д), 2^3(-1/9), 3£4(-1/д)), а3 - (¿з(-1/«), 3£4(-1/д), 6Ь5(-1/д)) не лежит в С^3.

Следствие 8 Для любого натурального д > 7 среди чисел Ь^(1/д), £4( 1/д), £з(1/д), имеется иррациональное.

Следствие 9 Для любого натурального д > 4 среди чисел 1^5(—1/д), £4(—1/д), Хз(—1/д), имеется иррациональное.

В заключение выражаю глубокую благодарность научному руководителю профессору Ю.В. Нестеренко, оказавшему большое влияние на мои занятия математикой.

1. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т.1 - М.: Изд-во «Наука», 1965.

2. Василенко О.Н. Арифметические свойства значений полилогарифмов // Вестн.Моск.Ун-та. Сер.1. 1985. №1. С.42-45.

3. Василенко О.Н. О приближении гипергеометрических функций и их значений // Сб. Диофантовы приближения. 4.1. Изд. Моск. Ун-та. 1985. С.10-16.

4. Василенко О.Н. О линейной независимости значений некоторых функций // Сб. Диофантовы приближения. 4.2. Изд. Моск. Унта. 1986. С.3-12.

5. Василенко О.Н. Диофантовы приближения значений полилогарифмических функций // Матем. записки. 1996. Т.2. С. 43-48.

6. Василенко О.Н. О приближении разностей дилогарифмов и их значений в рациональных точках // Вестн. Моск. Ун-та. Сер.1. 1997. №1. С.10-12.

7. Галочкин А. И. Оценки снизу линейных форм от значений некоторых С функций // Матем. заметки. 1975. Т. 18. №4. С. 541-552.

8. Гутник JI.A. Об иррациональности некоторых величин, содержащих С(3) // Acta Arith. 1983. V. 42. №. Р.255-264;// УМН. 1979. Т.З. №3. С.190.

9. Гутник JI.A. О линейной независимости над Q дилогарифмов в рациональных точках // УМН. 1982. Т. 37. №5. С.179-180.

10. Гутник JI.A. О мере иррациональности дилогарифмов в рациональных точках // Деп. ВИНИТИ. 1984. №4345-84. С.1-74.

11. Гутник JI.A. О ранге над Q некоторых вещественных матриц // Деп. ВИНИТИ. 1984. №5736-84. С.1-31.

12. Зудилин В.В. Об алгебраической структуре функциональных матриц специального вида // Матем. заметки. 1996. Т.60. №6. С.851-860.

13. Зудилин В.В. О рациональных приближениях значений одного класса целых функций // Матем.сб. 1995. Т.186. №4. С.89-124.

14. Зудилин В.В. О мере иррациональности значений G-функций // Известия РАН. Сер. Матем. 1996. Т.60. №1. С.87-114.

15. Зудилин В.В. Об оценках снизу многочленов от значений некоторых целых функций // Матем.сб. 1996. Т.187. №12. С.57-86.

16. Иванков П.Л. Оценки снизу линейных форм от значений гипергеометрических функций // Сб. Диофантовы приближения. 4.2. Изд. Моск. Ун-та. 1986. С.34-41.

17. Иванков П.Л. Об арифметических свойствах значений гипергеометрических функций // Матем.сб. 1991. Т.182. №2. С.283-302.

18. Иванков П.Л. Об арифметических свойствах значений гипергеометрических функций с различными параметрами // Ма-тем.заметки. 1992. Т.52. №6. С.25-31.

19. Корн Г. и Корн Т. Справочник по математике // Москва. Наука. 1968.

20. Нестеренко Ю.В. Некоторые замечания о £(3) // Матем. за-метки.1996. Т.59. №. С.865-880.

21. Никишин Е.М. Об иррациональности значений функций F(x, s) 11 Матем.сб. 1979. Т.109(151). № (7). С.410-417.

22. Олвер Ф. Введение в асимптотические методы и специальные функции // Москва. Наука. 1978.

23. Сорокин В. Н. Об иррациональности значений гипергеометрических функций // Матем. сб. 1985. Т. 127(169). №2(6). С.245-258.

24. Спринджук В. Г. Метрическая теория диофантовых приближений. М.: Наука, 1977.

25. Фельдман Н. И. Оценки снизу для некоторых линейных форм // Вестн. Моск. Ун-та. Сер.1. 1967. №2. С.63-72.

26. Фельдман Н. И. Об одной линейной форме // Acta Arith. 1972. V.21. Р.347-355.

27. Фельдман Н. И. Седьмая проблема Гильберта М.: Изд-во МГУ, 1982.

28. Хессами Пилеруд Т. Г. Оценка снизу одной линейной формы // Матем. заметки. 1999. Т.66. №4. С.617-623.

29. Хессами Пилеруд Т. Г. О линейной независимости векторов с полилогарифмическими координатами // Вестн. Моск. Ун-та. Сер.1. 1999. №6. С.47-50.

30. Хессами Пилеруд Т. Г. О мере линейной независимости значений гипергеометрических функций // Деп. ВИНИТИ. 1999. №1036-В99. С.1-17.

31. Хессами Пилеруд Т. Г. О линейной независимости векторов с полилогарифмическими координатами // Деп. ВИНИТИ. 1999. №1873-В99. С.1-25.

32. Шидловский А. Б. Трансцендентые числа- М.: Наука, 1987.

33. Alladi К., Robinson M. Legendre polynomials and irrationality // J. Reine Angew. Math. 1980. V.318. R137-155.

34. Apéry R. Irrationalité de C(2) et £(3) // Astérisque. 1979. V.61. RI 1-13.

35. Baker A. On some Diophantine inequalities involving the exponential function // Can. J. Math. 1965. V.17. R616-626.

36. Chudnovsky G. V. On some applications of Diophantine approximations // Proc. Natl. Acad. Sci. USA. 1984. V.81. P. 1926-1930.

37. Chudnovsky G. V. Applications of Padé approximations to Diophantine inequalities in values of G- functions // Lect. Notes Math. 1985. V.1135. P.9-51.

38. Fel'dman N. I., Nesterenko Yu. V. Transcendental Numbers. Number Theory IV. Encyclopaedia of Mathematical Sciences. V.44. Eds.: A. N. Parshin, I. R. Shafarevich. Springer, 1998.

39. Hata M. On the linear independence of the values of polylogarithmic functions // J. Math, pures et appl. 1990. V.69. P.133-173.

40. Hata M. Irrationality measures of the values of hypergeometric functions // Acta Arithmetica. 1992. LX.4. P.335-347.

41. Hata M. Rational approximations to the dilogarithm // Trans. Amer. Math. Soc. 1993. V.336. №1. P.363-387.

42. Heimonen A., Matala-aho T., Väänänen K. On irrationality measures of the values of Gauss hypergeometric function // Manuscripta Math. 1993. 81. P.335-347.

43. Heimonen A. On effective irrationality measures for some values of certain hypergeometric functions // Acta Univ. Oul. 1997. A290.

44. Lang S. Introduction to Transcendental Numbers. Reading: Addison Wesley Publishing Co., 1966.

45. Siegel C.L. Uber einige Anwendungen Diophantischer Approximationen // Abh.Preuss.Akad.Wiss.Phys.-Math.Kl. 1929/1930. №1. P. 1-70

46. Väänänen K. On lower estimates for linear forms involving certain transcendental numbersBull.Aust.Math.Soc. 1976. V.14. P.161-179.

47. Väänänen K. On linear forms of the values of one class of E-functions. Acta Univ. Ouluen. Ser.A. 1976. №41. P. 1-19.