Теорема Апери и задачи для значений дзета-функции Римана и их \&\ i \@\ q \&\ /i \@\ - аналогов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ
|
Зудилин, Вадим Валентинович
АВТОР
|
||||
|
доктора физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Москва
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2014
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.01.06
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
ФГБОУ ВПО «Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова»
На правах рукописи
ЗУДИЛИН Вадим Валентинович ?
Теорема Апери и задачи для значений дзета-функции Римана и их ^-аналогов
-7
Специальность 01.01.06 — математическая логика.
алгебра и теория чисел
АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук
005549351 - П ГШ 2014
Москва 2013
005549351
Работа выполнена в ФГБОУ ВПО «Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова» на кафедре теории чисел механико-математического факультета
Научный консультант: член-корреспондент РАН,
профессор НЕСТЕРЕНКО Юрий Валентинович
Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,
профессор АПТЕКАРЕВ Александр Иванович (ФГБУН «Институт прикладной математики им. М. В. Келдыша РАН», заведующий отделом)
доктор физико-математических наук, профессор САЛИХОВ Владислав Хасанович (ФГБОУ ВПО «Брянский государственный технический университет»)
доктор физико-математических наук СПИРИДОНОВ Вячеслав Павлович (Объединенный институт ядерных исследований, Лаборатория теоретической физики им. Н. Н. Боголюбова, начальник сектора)
Ведущая организация: ФГБУН «Математический институт
им. В. А. Стеклова РАН»
Защита диссертации состоится 20 июня 2014 г. в 16:45 на заседании диссертационного совета Д.501.001.84, созданного на базе «Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова», по адресу: Российская Федерация, 119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, д. 1, МГУ. Механико-математический факультет, аудитория 14-08.
С диссертацией можно ознакомиться в Фундаментальной библиотеке ФГБОУ ВПО «МГУ им. М. В. Ломоносова» по адресу: Москва, Ломоносовский проспект, д. 27. сектор А.
Автореферат разослан 20 мая 2014 г.
Учёный секретарь диссертационного совета Д.501.001.84, созданного на базе ФГБОУ ВПО «МГУ им. М.В. Ломоносова» доктор физико-математических наук, профессор
/0
лы
Иванов Александр Олегович
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы. Изучение сумм вида
^ 1
^ 71s п= 1
при целых положительных значениях параметра в восходит к Л. Эйлеру1. Он, в частности, доказал расходимость ряда в (1) при в = 1 и сходимость при 5 > 1, а также знаменитые соотношения
^ 1 (2тг г?кВ2к ¿iп2к (2fc)!
для к = 1,2,3,..., (2)
связывающие значения ряда при четных положительных s с архимедовой постоянной2 7Г = 3.14159265... и числами Бернулли Bs е Q; последние могут быть определены с помощью производящей функции
«=2 /с= 1 4 '
В 1882 году Ф. Линдеман3 доказал трансцендентность числа тт и, тем самым, трансцендентность ((s) для четных s.
Лишь веком спустя после Эйлера Б. Риман4 рассмотрел ряд в (1) как функцию комплексного переменного s. Этот ряд представляет в области Res > 1 аналитическую функцию, которая может быть продолжена на всю комплексную плоскость до мероморфной функции £(s). Именно это аналитическое продолжение и ряд важных свойств функции £(s) были открыты Риманом в его мемуаре о простых числах. Дзета-функция Ри-мана и ее обобщения играют неоценимую роль в аналитической теории чисел5, но тематика настоящей диссертации посвящена изучению арифметических и аналитических свойств значений эйлеровых сумм £(s) в (1) при положительных s > 1 и обобщений этих чисел. Для краткости мы будем называть величины
1
п"
п—1
при целых положительных s дзета-значениями, а также четными и нечетными дзета-значениями в зависимости от четности s.
XL. Euler, Comm. Acad. Sei. Imp. Petropol. 9 (1737), 160-188; Meditationes circa singulare serierum genus, No vi Comm. Acad. Sei. Petropol. 20 (1775), 140-186; Reprinted, Opera Omnia Ser. I 15 (Teubner, Berlin 1927), 217-267.
2S. R. Finch, Mathematical constants, Encyclopedia of Mathematics and its Applications 94 (Cambridge University Press, Cambridge 2003).
3F. Lindemann, Über die Zalh n, Math. Annalen 20 (1882), 213-225.
4б. Риман, О числе простых чисел, не превышающих данной величины, Соттения (ОГИЗ, Москва 1948), 216-224.
5С.М. Воронин, A.A. Карацуба, Дзета-функция Римана (Физматлит. Москва 1994).
Как было отмечено выше, трансцендентность (а значит, и иррациональность) четных дзета-значений следуют из классических результатов Эйлера и Линдемана. Формулы, подобные (2), для нечетных дзета-значений неизвестны, и предположительно Ç(2k + 1)/тг2к+1 не является рациональным числом ни для какого целого к ^ 1. Арифметическая природа нечетных дзета-значений казалась неприступной вплоть до 1978 года, когда Р. Апери6 предъявил последовательность рациональных приближений, доказывающих иррациональность числа С(3). Именно это результат известен в математике как теорема Апери, а число С(3) также известно в наши дни как постоянная Апери.
История этого открытия так же, как и строгое математическое обоснование наблюдений Апери, изложены А. ван дер Портеном'. В качестве рациональных приближений к С(3) Апери выбирает последовательность vn/un G <Q>, n = 0,1,2...., где знаменатели {un} = {u„}n=o,i,... и числители {г:„} = {г;п}п=ол,... удовлетворяют одной и той же полиномиальной рекурсии
(п + l)3un+1 - (2п + 1)(17п2 + 17тг + 5)и„ + п3ип= 0 (3)
с начальными данными
и0 = 1, щ = 5, v0 = 0, Vi = 6.
Тогда
Hm ^ = С(3), (4)
п-> ос ип
но не менее важным обстоятельством являются неожиданные (с точки зрения рекурсии (3)) включения
u" = è(fc)2(ntfc)2eZ' £>n«nez, „ = 0,1,2,..., (5)
где через Dn обозначено наименьшее общее кратное чисел 1,2,...,п (и D0 = 1 для полноты). Применение теоремы Пуанкаре8 к разностному уравнению (3) приводит к предельным соотношениям
lim |un£(3) — fn|1/'" = (у/2 — I)4, (6)
П—»ОС
lim К|1/n = lim \vn\l,n = (у/2 + l)4 (7)
n—>oc n—y ОС
согласно (4), где числа (y/2— I)4 и (у/2 +I)4 являются корнями характеристического многочлена Л2 — 34Л + 1 рекурсии (3). Собранная информация о свойствах последовательностей {ип} и {«„} доказывает, что число С(3) не может быть рациональным. Действительно, в предположении ((3) = а/Ь, где a,b е Z, линейные формы rn = bD^(un((3) - vn) являются целыми
6R. Apery, Irrationalité de <(2) et ф), Astérisque 61 (1979), 11-13.
7A. van der Poorten, A proof that Euler missed... Apéry's proof of the irrationality of C(3), Math. Intelligencer 1:4 (1978/79), 195-203.
8A. О. ГЕЛЬФОНД, Исчисление конечных разностей, 3-е изд. (Наука, Москва 1967).
числами, ненулевыми ввиду (6). С другой стороны, Dl/n —»• е при пос согласно асимптотическому закону распределения простых чисел; следовательно,
lim |гп|1/п = е3(\/2 - I)4 = 0.59126300... < 1,
77-» ОС
что при достаточно большом п вступает в противоречие с оценкой |г„| ^ 1 для целых ненулевых гп. Более того, дополнительные предельные соотношения (7) и стандартные аргументы9 позволяют измерить иррациональность постоянной Апери количественно:
„(СО)) ^ 1 + 4lQg;^+ 1) + 3 = 13.41782023....
Здесь и далее показателем иррациональности ц{а) вещественного иррационального числа а называется величина
ц = ß(a) = inf{c е К : неравенство |а - а/Ъ\ < |Ь[_С имеет конечное число решений в а, b е Z};
в случае р(а) < +оо говорят, что а — нелиувиллево число.
Оригинальные рассуждения Апери были настолько загадочны, что интерес к теореме Апери не ослабевает и в наши дни. Феномен последовательности рациональных приближений Апери неоднократно переосмысливался с точки зрения различных методов10, п, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19,
9М. Ната, Rational approximations to тт and some other numbers, Acta Arith. 63:4 (1993), 33S-349.
10F. Beukers, A note on the irrationality of Ç(2) and Ç(3), Bull. London Math. Soc. 11:3 (1979), 268-272.
11 F. Beukers, Padé approximations in number theory, Lecture Notes in Math. 888 (Springer-Verlag, Berlin 1981), 90-99.
12F. Beukers, Irrationality proofs using modular forms, Astérisque 147-148 (1987), 271-283.
13S. flschler, Irrationalité de valeurs de zêta [d'après Apéry. Rivoal, ...], Astérisque 294 (2004), 27-62.
14Л. A. ГУТНИК, Об иррациональности некоторых величин, содержащих £(3), Успехи машем, наук 34:3 (1979), 190; Acta Arith. 42:3 (1983), 255-264.
15Ю. В. Нестеренко, Некоторые замечания о ((3), Матем. заметки 59:6 (1996), 865-880.
16Yu. V. Nesterenko, Integral identities and constructions of approximations to zeta values, J. Théor. Nombres Bordeaux 15:2 (2003), 535-550.
17M. PREVOST, A new proof of the irrationality of C(3) using Padé approximants, J. Comput. Appl. Math. 67 (1996), 219-235.
18B.H. Сорокин, Аппроксимации Эрмита-Паде для систем Никишина и иррациональность <(3), Успехи матем. наук 49:2 (1994), 167-168.
19В. Н. Сорокин, Теорема Апери, Вестник МГУ. Сер. 1. Матем., мех. № 3 (1998), 48-52.
20. 21. -2, 23, 24. Новые подходы позволили усилить результат Апери количественно — получить лучшую оценку для показателя иррациональности числа ((3) (последние этапы соревнования в этом направлении — работы М. Хаты25 и Дж. Рина, К. Виолы26. Мы прежде всего укажем явные формулы для последовательности ип((3) — ь„, которые играют важную роль в дальнейшем изложении: представление Бэйкерса
ГГГ х"(1 -х)пуп(1 -у)п2п{1 - г)п , , , ,0.
«.СМ - * - /// (8)
[0,1]3
в виде кратного вещественного интеграла, а также ряд Гутника-Несте-ренко
lfd/(t-l)(f-2)-(f-n)
«n^W Wn- 2^àt\t(t+l)(t + 2)---(t + n)
27
и ряд Болла
unC(3) — vn = п\ -)-t4(t+l)4...(i + n)4
(9)
(t + 2 п)
„=1 - t*(t+l)*.-(t + nY
(10)
Отметим, что с помощью своего метода "ускорения сходимости" Апери установил также иррациональность числа ((2) без явного применения формулы С(2) = 7г2/6. На этот раз, знаменатели {и'п} и числители {44} линейных приближающих форм и'п£(2) -v'n,n = 0,1,2...., удовлетворяют рекурсии
(п + l)2un+i - (lin2 + lin + 3)un - n2un_! = 0 с начальными данными
и'0 = 1, и[ = 3, v'0 = 0, v\ = 5;
при этом
< = È(l)i(ntk)eZ' D»<GZ> » = 0,1,2,...,
к=о
20В. Н. СОРОКИН, Циклические графы и теорема Апери, Успехи матем. наук 57:3 (2002), 99-134.
21С. Viola, Birational transformations and values of the Riemann zeta-function, J. Théor. Nombres Bordeaux 15:2 (2003), 561-592.
22D. Zeilberger, Computerized deconstruction, Adv. Appl. Math. 31 (2003), 532-543.
23B.B. ЗУДИЛИН, Разностные уравнения и мера иррациональности чисел. Аналитическая теория чисел и приложения (сб. статей), Труды МИАН 218 (1997), 165-178.
24\V. ZUDILIN, Apéry's theorem. Thirty years after, Intern. J. Math. Computer Sci. 4:1 (2009), 9-19.
25M. HATA, A new irrationality measure for C(3), Acta Arith. 92:1 (2000), 47-57.
26G. Rhin, С. Viola, The group structure for C(3), Acta Arith. 97:3 (2001), 269-293.
27K. Ball, T. Riyoal, Irrationalité d'une infinité de valeurs de la fonction zêta aux entiers impairs, Invent. Math. 146:1 (2001), 193-207.
lim КС(2)-<Г/П= (
n—> ос у
5
\/5 - Г
< е
2
lim Kl1/" = lim
n—»ОС fl—У ОС \ 2 J
Данная последовательность приближений приводит также к оценке
ЖРИ - МИ) < 1 + + ; - 11.85078219...
51og((v/5 + 1)/2) - 2
для показателя иррациональности числа 7Г2. Приближения Апери к ((2) могут быть представлены в виде двухкратного вещественного интеграла
(п)
[ОД]2
а также в виде гипергеометрического ряда
<С(2)-< = (-!)"£
п! • (i — 1) (i — 2) • • • (i — п)
-i2(i+l)2(i + 2)2---(i + n)2 ' (12)
Вместе с тем, теорема Апери является первым существенным продвижением в решении следующей задачи (которую по праву можно назвать фольклорной; печатное упоминание см., например, в монографии A.B. Шидловского28): доказать иррациональность чисел Q(2k + 1) для к= 1,2,3,... .
К сожалению, естественные обобщения конструкции Апери приводят к линейным формам, содержащим значения дзета-функции как в нечетных, так и в четных точках; это обстоятельство не позволяло получить результаты об иррациональности £(s) для нечетных s ^ 5. Лишь в 2000 году Т. Ривоаль29, используя обобщение представления Болла (10), построил линейные формы, содержащие только нечетные дзета-значения и позволяющие доказать следующий результат: среди чисел
С(3), С(5), С(7), С(9), С(11), •••
имеется бесконечно много иррациональных. Более точно, для размерности ö(s) пространств, порожденных над Q числами 1, £(3), £(5),..., C(s — 2),£(s), где s нечетно, справедлива оценка
log s
^ l + + npus^oo.
По существу, теоремы Аперн, Ривоаля и связанные с ними представления в виде рядов и кратных интегралов указывают на тесную связь
28А. Б. Шидловский, Трансцендентные чuc.ia (Наука., Москва 1987).
29Т. Rivoal, La fonction zêta, de Riemann prend une infinité de valeurs irrationnelles aux entiers impairs, C. R. Acad. Sei. Paris Sér. I Math. 331:4 (2000), 2G7-270.
конструкций приближений с обобщенными гипергеометрическими рядами
( а\, ..., ат \ ^ (ао)1,(а1)и ■ ■ ■ (а т)и I/ /-1 л\
Ьи....Ьт г)=^о иЦЬгЪ-Ць), (13)
где (а)» — Г(а + р)/Г(а) обозначает символ Похгаммера; условие
Ке(а0 + ах Н-----1- ат) < Ие(б1 Ч-----Ь Ът)
обеспечивает сходимость ряда (13) в области \г\ ^ 1. Эти специальные функции и их многочисленные обобщения играют важную роль во всех разделах математики. Мы ограничимся здесь упоминанием классических монографий-энциклопедий У. Бейли30, Л. Слейтер31 и Дж. Энрюса, Р. Ас-ки. Р. Роя32, в которых обсуждаются не только результаты. но и приложения гипергеометрических функций. Отметим также монографию Г. Гаспе-ра, М. Рахмана33, посвященную ^-обобщенным гипергеометрическим функциям и известную в среде специалистов под именем ¿/-библии.
Именно связь приближающих линейных форм из теории чисел с теорией гипергеометрических функций позволила по-новому взглянуть на ряд открытых проблем в обеих областях математики, включая гипотезу Д. Васильева о разложении обобщенных интегралов бэйкерсова типа в линейные формы от дзета-значений фиксированной четности34, гипотезу А. Шмидта о целочисленности последовательностей, связанных с обобщенными последовательностями Аиери3°, гипотез Д. Бойда о выражении меры Малера через ¿-ряды36 (т.е. обобщенные дзета-значения), а также проблем представления последних в виде периодов, сформулированных М. Концевичем и Д. Загиром37. Кроме того, гипергеометрические ряды позволили получить ряд новых качественных и количественных результатов в направлении теорем Апери и Ривоаля.
30W.N. Bailey, Generalized hypergeometric series, Cambridge Math. Tracts 32 (Cambridge Univ. Press, Cambridge 1935)
31L. J. Slater, Generalized hypergeometric functions (Cambridge Univ. Press, Cambridge 1966).
32G. E. Andrews, R. Askey, R. Roy, Special functions, Encyclopedia of Mathematics and its Applications 71 (Cambridge University Press, Cambridge 1999).
33Г. Гаспер, M. Paxmah, Базисные гипергеометрические ряды (Мир, Москва 1993).
34D. V. vasilyev, On small linear forms for the values of the Riemann zeta-function at odd points, Preprint № 1 (558) (Nat. Acad. Sci. Belarus, Institute Math., Minsk 2001).
3oA. L. SCHMIDT, Generalized g-Legendre polynomials, J. Comput. Appl. Math. 49:1-3 (1993), 243-249.
36D. BOYD, Mahler's measure and special values of ¿-functions, Experiment. Math. 7:1 (1998), 37-82.
37M. Kontsevich, D. Zagier, Periods, Mathematics unlimited —2001 and beyond (Springer, Berlin 2001), 771-808.
Цель и задачи исследования. Основной целью работы является решить ряд открытых проблем в теории чисел, комбинаторике и теории специальных функций, прямым или косвенным образом связанных с теоремой Апери об иррациональности £(3). Именно, в диссертации исследуются следующие задачи:
• количественное усиление теоремы Ривоаля;
• гипотеза Д. Васильева о представлении обобщенных кратных интегралов в виде линейных форм от дзета-значений;
• иррациональность q-дзета-значений;
• новые оценки меры иррациональности дзета-значений;
• приближения Паде и их приложения к задачам о расстоянии натуральных степеней рационального (нецелого) числа до ближайшего целого;
• преобразование Лежандра последовательностей, связанных с последовательностью Апери (5), и гипотеза А. Шмидта;
• гипергеометрические представления L-рядов — обобщенных дзета-значений.
Методика исследования. Методика диссертации включает использование многочисленных классических теорем из вещественного и комплексного анализа, теории чисел, методы теории обобщенных гипергеометрических функций, включая их преобразования, суммирования и интегральные представления, асимптотические методы, методы теории модулярных функций, специальные (арифметические) дифференциальные уравнения и методы собственно теории диофантовых приближений (иррациональных и трансцендентных чисел).
Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми. В частности, в работе установлены следующие теоремы:
• по крайней мере одно из четырех чисел ((5). С(7), £(9) и С(И) иррационально;
• новое интегральное представление для.вполне-уравновешенных гипергеометрических рядов и. с его помощью, решение" гипотезы Д. Васильева;
• оценка сверху для меры иррациональное™ (,(2) = g")2, g-аналога числа С(2);
• лучшая оценка сверху для меры иррациональности ((2);
• лучшая оценка для расстояния от (3/2)fc, к = 1,2,..., до ближайшего целого;
• решение гипотезы А. Шмидта в общем случае;
• гипергеометрические представления для L(E, 2) и L(E, 3) в случае эллиптической кривой Е кондуктора 32.
Практическая и теоретическая ценность. Исследование, проведенное в диссертации, носит теоретический характер. Развитые в работе
методы могут применяться и применяются в задачах теории чисел, комбинаторике. теории гипергеометрических рядов, теории модулярных форм, а также в вещественном и комплексном анализе, р-адическом анализе, алгебраической геометрии, дифференциальных уравнениях, математической физике, К-теории.
Разделы диссертации могут составить содержание специальных курсов для студентов высших учебных заведений и аспирантов, обучающихся по специальности математика.
Апробация результатов диссертации. Результаты работы докладывались и обсуждались на семинаре теории чисел МГУ; на семинарах математического института им. М. Планка (Бонн, Германия); научных семинарах университетов Париж 6, Лион 1, Гренобля, Лилля, Метца (Франция); Гёттенбурга, Кёльна, Франкфурта, Майнца, Касселя (Германия); Оулу (Финляндия); Цюриха (Швейцария): Лунда (Швеция); Копенгагена (Дания); Пизы (Италия); Сингапура (Сингапур); Ньюкасла, Мельбурна и Брисбана (Австралия); Осака (Япония); Монреаля (Канада).
Также результаты диссертации докладывались на международных конференциях, включая: Diophantische Approximationen (Обервольфах, Германия, 2000 к 2007 к 2012); Problèmes diophantiens et nombres transcendants (Париж, 2001); Recent Advances in Mathematical Analysis and Number Theory (МИАН, Москва, 2001); Problèmes diophantiens (CIRM, Марсель Лю-мини, Франция, 2002) Elementare und Analytische Zahlentheorie (Обервольфах, Германия, 2003); 13th Journées Arithmétiques (Грац, Австрия, 2003); Diophantine Approximation (Лейден, Голландия, 2003); 7th Symposium on Orthogonal Polynomials. Special Functions and Applications (Копенгаген, Дания, 2003); 35th Annual Iranian Mathematical Conference (Ахваз, Иран, 2005); Analytical Methods in Number Theory, Probability Theory and Mathematical Statistics (Санкт-Петербург, 2005); Gauss-Dirichlet Conference (Гёт-тинген, Германия, 2005); 14th Journées Arithmétiques (Марсель, Франция, 2005); Diophantine Approximation and Heights (Вена, Австрия, 2006); Diophantine approximation and transcendental numbers (CIRM, Марсель Лю-мини, Франция, 2006); Diophantine and analytic problems in number theory (МГУ, Москва, 2007); 9th Symposium on Orthogonal Polynomials, Special Functions and Applications (Марсель, Франция, 2007); Développements récents en approximation diophantienne (CIRM, Марсель Люмини, Франция, 2007); Analytical and Combinatorial Methods in Number Theory and Geometry (Ираклион, Крит, Греция, 2007); p-adic Aspects of Differential Equations: Crystals, Mirror symmetry, Modular Forms (Лозанна, Швейцария, 2007); Combinatorics and Statistical Physics (Вена, Австрия, 2008); Number Theory and Physics at the Crossroads (Банфф, Канада, 2008); Geometry and Arithmetic around Hypergeometric Functions (Обервольфах, Германия, 2008); 10th Symposium on Orthogonal Polynomials, Special Functions and Applications (Лёвен, Бельгия, 2009); 53rd Annual Meeting of the Australian Mathematical Society (Аделаида, Австралия, 2009); 54th Annual Meeting of the
Australian Mathematical Society (Брисбан, Австралия. 2010); Computational and Analytical Mathematics (Барнаби, Канада, 2011); Explicit Methods in Number Theory (Обервольфах, Германия, 2011 & 2013); 11th Symposium on Orthogonal Polynomials, Special Functions and Applications (Мадрид, Испания, 2011); 55th Annual Meeting of the Australian Mathematical Society (Воллонгонг, Австралия, 2011); Analytic Number Theory (Киото, Япония, 2011); Hypergeometric series and their generalizations in algebra, geometry, number theory and physics (Париж, Франция, 2012); The works of Srinivasa Ramanujan and related topics (Майсур, Индия, 2012); The Legacy of Srinivasa Ramanujan (Дели, Индия, 2012); Arctic Number Theory Workshop (Саари-селкя, Финляндия, 2013); Special Functions and Special Numbers (Утрехт, Голландия, 2013); 57th Annual Meeting of the Australian Mathematical Society (Сидней, Австралия, 2013).
Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в 27 работах, входящих в список изданий, рекомендуемых ВАК России для публикации научных результатов на соискание ученой степени доктора наук. Кроме того, 4 работы по теме диссертации опубликованы в прочих изданиях; они отмечены звездочкой (*) в приводимом далее списке основных публикаций по теме диссертационного исследования.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из оглавления, введения, семи глав, заключения и списка цитируемой литературы, насчитывающего 165 наименований. Для обозначения теорем используется одинарная нумерация; леммы и предложения имеют двойную нумерацию, в которой первое число отвечает номеру главы, а второе — текущему номеру утверждения внутри главы.
Полный объем диссертации составляет 118 страниц.
ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении подробно описываются задачи исследования с историей соответстующей тематики, описываются методика и теоретическая значимость, а также формулируются основные результаты (теоремы 1-7).
Линейные приближающие формы Рнноаля записываются в виде
(14)
s нечетно.
где вспомогательный параметр г < s/2 имеет порядок г ~ s/ log2 s; в частности, ряд F3:1,n совпадает с представлением (10) для последовательности
Апери. Раскладывая рациональную функцию параметра t под знаком суммирования в сумму простейших дробей и используя идеи работ Е. Никишина38 и Ю. Нестеренко39, можно показать, что справедливы включения
2Dsn+1Fn £ ZC(s) + ZC(s - 2) + • • • + ZC(5) + ZC(3) + Z.
Кроме того, явные формулы (14) для линейных форм от нечетных дзета-значений позволяют вычислить асимптотическое поведение этих форм и их коэффициентов при п —» ос. Заключительный этап доказательства теоремы Ривоаля — применение критерия линейной независимости Нестерен-ко40.
Тот факт, что величины (14) являются Q-линейными формами от 1 и дзета-значений одной четности, связан со специальной симметрией рациональной функции параметра t. стоящей в (14) под знаком суммы. Возможность использования менее экзотической рациональной функции обсуждается в работах Л. Гутника, Т. Хессами Пилеруд, Т. Ривоаля: в итоге получаются результаты о размерности пространств, порожденных над Q значениями полилогарифмов
°° п
П=1
в рациональной точке 2, 0 < \z\ ^ 1.
Несмотря на то, что доказательство теоремы Ривоаля использует некоторое обобщение конструкции для доказательства теоремы Апери, ее результат дает лишь частичное решение задачи об иррациональности дзета-значений. Для следующего за ((3) иррационального нечетного ((.s) теорема Ривоаля устанавливает лишь диапазон41: 5 ^ s ^ 169. Дифференцирование рациональной функции под знаком суммирования (подобно представлению (9)) дает возможность строить Q-линейные формы от нечетных дзета-значений, не содержащие С(3)- Это позволяет доказать42, что "по крайней мере одно из девяти нечетных дзета-значений ({5). £(7),..., С(21) иррационально" Мы доказываем следующую теорему, дающую новое продвижение в решении задачи об иррациональности нечетных дзета-значений.
Теорема 1. Одно из чисел
С(5), С(7), С(9), С(П)
38Е. М. Никишин, Об иррациональности значений функций F(x,e), Матем. сб. 109:3 (1979), 410-417.
39Ю. В. Нестеренко, Некоторые замечания о С(3), Матем. заметки 59:6 (1996), 865-880.
40Ю.В. нестеренко, О линейной независимости чисел, Вестник МГУ. Сер. 1. Матем., мех. № 1 (1985), 46-54.
41К. Ball, T. Rivoal, Irrationalité d'une infinité de valeurs de la fonction zêta aux entiers impairs, Invent. Math. 146:1 (2001), 193-207.
42T. Rivoal, Irrationalité d'au moins un des neuf nombres C(5)-C(7), • • •, C(21), Acta Arith. 103 (2002), 157-167.
иррационально.
Доказательству этой теоремы посвящена первая глава диссертации. Мы используем наиболее общую форму конструкции, предложенной в работах Ривоаля, а также арифметический метод43, 44, традиционно применяемый для улучшения оценок меры иррациональности чисел. Отметим, что использованная техника успешно работает и в других арифметических задачах: в45 аналоги теоремы Ривоаля и теоремы 1 установлены для значений бета-функции Дирихле
в четных точках s ^ 2. Уточнение критерия линейной независимости Нестеренко в работе46 позволило также улучшить ряд других оценок из работы Болла-Ривоаля.
Доказательство Бэйкерса47 иррациональности £(2) и £(3), использующее интегральные представления (11) и (8), простое и короткое. Именно это послужило серьезным основанием для дальнейшего применения кратных интегралов с целью количественно усилить и обобщить результаты Апери. О. Василенко48 предложил рассматривать следующее семейство s-кратных интегралов, обобщающих интегралы Бэйкерса:
Г Г П1-, хпЛ1 - хЛп
W-4qaL td(15) [0,1]"
где
Qs(xu . . . , Х„) = 1 - Ц(1 - 12(1----(1 - XS_!(1 - I,)) ■••)).
Позднее Д. Васильев49 изучил интегралы J4 rl, J5 n и доказал, что
4D4 J4,n е ZC(4) + ZC(2) + Z, DbnJ^n € ZC(5) + ZC(3) + Z, (16)
43G. V. CHUDNOVSKY, On the method of Thue-Siegel. Ann. of Math. II Ser. 117:2 (1983), 325-382.
44E. А. рухадзе, Оценка снизу приближения In2 рациональными числами, Вестник МГУ. Сер. 1. Матем., мех. № 6 (1987), 25-29.
45Т. Rivo
al, W. Zudilin, Diophantine properties of numbers related to Catalan's constant, Math. Annalen 326:4 (2003), 705-721.
46S. Fisciiler, W. Zudilin, A refinement of Nesterenko's linear independence criterion with applications to zeta values, Math. Annalen 347:4 (2010), 739-763.
47F. BEUKERS, A note on the irrationality of C(2) and £(3), Bull. London Math. Soc. 11:3 (1979), 268-272.
480. H. Василенко, Некоторые формулы для значения дзета-функции Римана в целых точках, Теория чисел и ее приложения (Ташкент, 26-28 сентября 1990г.), Тезисы докладов Республиканской научно-теоретической конференции (Ташкент, Ташкентский гос. пед. институт 1990), 27.
49D. V. vasilyev, On small linear forms for the values of the Riemann zeta-function at odd points, Preprint № 1 (558) (Nat. Acad. Sci. Belarus, Institute Math., Minsk 2001).
а также, что линейные формы в (15) стремятся (достаточно быстро) к нулю при п —> ос (к сожалению, не на столько быстро, чтобы получить новые результаты об иррациональности дзета-значений). Включения D2n J2,„ е ZC(2) + Z, -D3J3,n е ZC(3) + Z, доказанные ранее Бэйкерсом, и (16) дали Васильеву основание высказать следующее предположение: имеют место включения
2s~2DsnJs,n € Z((s) + Z((s - 2) + • • • + ZÇ(4) + ZÇ(2) + Z четного.,
DsnJs>n G ZC(s) + ZC(s - 2) +----h Z((5) + ZC(3) + Z ¿ля s нечетного.
Частичное продвижение в задаче Васильева (с точностью до умножения на дополнительный множитель 2£>„) дается в следующем утверждении.
Теорема 2. Для каждого целого s ^ 2 un = 0,1,2,... справедливо тождество
где
F - 2n.-' f ft + - i) • П?.,(* + » + J)
(18)
Как следствие, имеют место включения
2s-2Dsn+1Js,n е Z£(s) + ZC(s - 2) +----h ZC(4) + ZÇ(2) + Z для s четного.,
Dsn+1JS:„ e ZC(s) + ZC(s - 2) +----h ZC(5) + ZÇ(3) + Z tos нечетного.
Отметим, что ряд (18) в точности совпадает с рядом (14) при s нечетном и г = 1, так что тождество (17) означает совпадение интегральной конструкции Q-линейных форм от дзета-значений с конструкцией Ривоа-ля.
Ряды Болла (10) и Ривоаля (14) хорошо известны в теории обобщенных гипергеометрических функций как вполне уравновешенные ряды. Именно такое название дал Ф. Уиппл°° гипергеометрическим рядам (13), удовлетворяющим условию
а0 + 1 = ai + bi = • • • = ат + bm\
известные преобразования относятся, как правило, именно к таким рядам. Особую роль среди вполне уравновешенных гипергеометрических рядов играют ряды совершенно уравновешенные, для которых выполнено дополнительное условие
ai = fao + 1; b¡ = |a0;
50F.J.W. Whipple, On well-poised series, generalized hypergeometric series having parameters in pairs, each pair with the same sum, Proc. London Math. Soc. II Ser. 24 (1926), 247-263.
обзор истории и приложений вполне и совершенно уравновешенных рядов в различных областях математики написан Дж. Эндрюсом01. Ряд (18) (как и ряд (14)) является совершенно уравновешенным:
_ n!2s+1(3n + 2)! /Зп+2. fn + 2, п+1, ..., п+1
s'n~ (2п + l)!s+2 |n + 1, 2n + 2,.... 2n + 2
(-1)
s+1
(19)
Теорема 2 является следствием общего результата о представлении совершенно уравновешенного ряда в виде кратного интеграла. Во второй главе диссертации приводятся не только подробные доказательства этого результата и теоремы 2, но и ряд других важных следствий.
Именно с помощью теоремы 2 в последовавшей работе52 задача Васильева была полностью решена в случае нечетного в ^ 3. Для рядов (19) возможны и другие представления в виде кратных интегралов сорокинско-го типа03; соответствующие теоремы о преобразовании кратных интегралов установлены С. Злобиным54. Позднее Злобин56 и независимо В. Са-лихов, А. Фроловичев'"" получили другое решение задачи Васильева.
Как обычно, величины, зависящие от числа д и превращающиеся в классические объекты в пределе д —» 1 (по крайней мере формально), называются ц-аналогами или д-расширениями. Возможный способ д-рас-ширить значения дзета-функции Римана выглядит следующим образом (здесь ц € С, |д| < 1):
5-1 и I/ I
Ш = Е= ЕгГ^7 = Е -=1.2.-. (20)
п=1 1>= 1 У 1 ^ ^ '
где а6_1(п) = ^(¡¡71 ^~1 обозначает сумму степеней делителей, а многочлены р8{х) € Щх] могут быть определены рекурсивно с помощью формул
Р1 = 1 и рв+1 = (1 + (в — \)х)ра + х{\ -х)р8 при в = 1,2,... . (21)
51G.E. Andrews, The well-poised thread: An organized chronicle of some amazing summations and their implications, Ramanujan J. 1:1 (1997), 7-23.
52C. Krattenthaler, T. Rivoal, Hypergéométrie et fonction zêta de Riemann, Mem. Amer. Math. Soc. 186 (Amer. Math. Soc., Providence, RI 2007), no. 875.
53B.H. сорокин, О мере трансцендентности числа 7г2, Матем. сб. 187:12 (199G), 87-120.
54С. А. Злобин, Интегралы, представляемые в виде линейных форм от обобщенных полилогарифмов, Матем. заметки 71:5 (2002), 782-787.
55С. А. Злобин, О некоторых интегральных тождествах, Успехи матем. наук 57:3 (2002), 153-154.
5бС. А. Злобин, Разложения кратных рядов в линейные формы, Матем. заметки 77:5 (2005), 683-706.
57В.Х. Салихов, А. И. Фроловичев, О кратных интегралах, представимых в виде линейной формы от 1, С(3), С(5), • • ■, С(2к — 1), Фундамент, и прикл. матем. 11:6 (2005), 143-178.
Тогда имеют место предельные соотношения
lim (1 - g)'C9(s) = Ps( 1) • С(5) = (S - 1)! • ((s), s = 2, 3,... ; |9Í<1
равенство ps(l) = (s — 1)! следует из (21). Определенные таким образом g-дзета-значения (20) приводят к ряду новых интересных задач в теории диофантовых приближений и трансцендентных чисел, которые являются расширениями соответствующих задач для обычных дзета-значений. Несложно показать, что Çg(s) трансцендентны как функции параметра q.
Для четных s ^ 2 ряды Es(q) = 1 — 2sÇq(s)/Bs, где Bs G Q — числа Бер-нулли, известны как ряды Эйзенштейна. Поэтому модулярное происхождение (относительно параметра т = функций Е4. Eq. Eg. ... приводит к алгебраической независимости Ç?(2), Ç9(4), С?(6) над Q[g], в то время как остальные четные g-дзета-значения являются многочленами от (4) и (6). В такой интерпретации следствие из теоремы Нестеренко58 "числа с, (2), Cj(4); Cj(6) алгебраически независимы над Q для алгебраического g, О < |g| < 1" является полным (/-расширением следствия из теоремы Линде-мана "С(2) = 7г2/6 трансцендентно". Об арифметической природе нечетных g-дзета-значений (например, g-аналог задачи об иррациональности дзета-значений) известно немного. П. Эрдёш09 доказал иррациональность числа C,(l) (q-гармонического ряда) в случае q = р-1, где р S Z \ {0, ±1}; другие доказательства имеются в60, 61, а в62 и63 получена оценка
2тг2
М(С9(1)) «S -Й-s = 2.50828476... (22)
7Г — Z
для показателя иррациональности Сд(1) ПРИ тех же условиях на параметр д. Конструкция линейных приближающих форм для Cg(l) в последних двух статьях непрерывно зависит от g, однако в пределе g —> 1, [ç| < 1, получаются расходящиеся величины. В связи с этим обстоятельством В. Фан Ассе сформулировал задачу о построении линейных приближающих форм для (д(2) и С9(3), переходящих при q —» 1 в последовательности Апери u^C(2) — v'n и un£(3) — vn соответственно.
Методика изучения арифметических свойств чисел C(s)> s — 2,3,..., успешно переносится на случай g-дзета-значений. Именно, мы имеем в виду гипергеометрическую конструкцию линейных форм и арифметический
58Ю.В. Нестеренко, Модулярные функции и вопросы трансцендентности, Машем. сб. 187:9 (1996), 65-96.
59Р. ErdOS, On arithmetical properties of Lambert series, J. Indiana Math. Soc. 12 (1948), 63-66.
60J.-P. Bëzivin, Indépendence linéaire des valeurs des solutions transcendantes de certaines équations fonctionelles, Manuscripta Math. 61 (1988), 103-129.
61P. BORWEIN, On the irrationality of J2 J- Number Theory 37 (1991), 253-259.
62P. bundschuh, К. Vaananen, Arithmetical investigations of a certain infinite product, Compositio Math. 91 (1994), 175-199.
63W. Van Assche, Little g-Legendre polynomials and irrationality of certain Lambert series, Ramanujan J. 5 (2001), 295-310.
метод, дополненный групповым подходом Дж. Рина и К. Виолы64. ®5. Для каждой из этих составляющих мы указываем необходимые д-расширения. Гипергеометрическим рядам при этом соответствуют базисные гипергеометрические ряды, для которых также имеют место преобразования; кроме того, g-арифметический метод позволяет улучшать известные меры иррациональности g-дзета-значений и других ç-постоянных66. Так, например, используя базисный гипергеометрический ряд, классическое преобразование Гейне67 и ç-арифметический метод мы улучшаем оценку (22) для показателя иррациональности q-rap м они ч ее кого ряда:
МС,(1)) «S 2.46497868... .
Используя ç-аналог гипергеометрического 3^2(1)-ряда и преобразование Холла, мы не только решаем упомянутую задачу Фан Ассе для (,q (2), но и оптимизируем оценку для показателя иррациональности этого числа.
Теорема 3. Для каждого q = 1/р, р е Z\{0, ±1}, число Ç,(2) является иррациональным с показ ате.аем иррациональности, удовлетворяющим неравенству
МСг(2)) ^ 3.51887508... . (23)
Количественные оценки типа (23) для £9(2) (доказывающие нелиувил-левость этой постоянной в случае q_1 е Z \ {0, ±1}) до публикаций автора не были известны, хотя, как отмечалось выше, иррациональность68 и даже трансцендентность числа (g (2) для любого алгебраического q с условием 0 < \q\ < 1 следует из упомянутой выше теоремы Нестеренко. В результате более аккуратного вычисления вспомогательных параметров конструкции в работе69 была установлена оценка
ю-2
Ж,(2)) ^ 57г2 " 24 = 3.89363887....
Теорема 3 значительно улучшает этот результат.
Доказательство теоремы 3 приводится в третьей главе диссертации; там же мы устанавливаем, что частный случай
и Ш (2) -V (q) — (-1Г f n"=i(l - Qj) ■ n"=i(l - 1jT)
n[qKq{) n?=o(l - г ^
64G. R.hin, C. Viola, On a permutation group related to Ç(2), Acta Arith. 77:1 (1996), 23-56.
65G. Rhin, C. Viola, The group structure for <(3), Acta Arith. 97:3 (2001), 269-293.
66P. Bundschuh, W. Zudilin, Irrationality measures for certain ç-mathematical constants, Math. Scand. 101:1 (2007), 104-122.
67E. Heine, Untersuchungen über die Reihe____J. Reine Angew. Math. 34 (1847),
285-328.
68D. Duverney, Irrationalité d'un ç-analogue de Ç(2), С. R. Acad. Sei. Paris Sér. I Math. 321:10 (1995), 1287-1289.
69C. Smet. W. Van Assche, Irrationality proof of a «^-extension of £(2) using little ç-Jacobi polynomials, Acta Arith. 138:2 (2009), 165-178.
нашей гипергеометрической конструкции также доказывает иррациональность числа Cj(2) в случае q~1 S Z \ {0. ±1}, а в пределе q 1 получаются рациональные приближения Апери (12) к £(2). В совместной работе'0 мы предъявляем ç-аналог последовательности рациональных приближений (9). (10), однако это не приводит к иррациональности величины (,(3). Вопрос об иррациональности (,(3) остается открытым; известны только частичные результаты в духе теоремы 1.
Использование ç-арифметического метода и гипергеометрической конструкции позволяет получить и другие качественные и количественные результаты для g-дзета-значений. Так, упомянутая в предыдущем абзаце работа содержит результат о бесконечности иррациональных чисел среди нечетных q-дзета-значений (ç-аналог теоремы Ривоаля)в случае g-1 € Z\ {0, ±1}. Также отметим, что для ç-дзета-значений значительный интерес представляют и вопросы функциональной независимости. Здесь следует упомянуть работу Ю. Пупырёва'1, доказавшего линейную независимость g-дзета-значений, а также получившего частичные результаты об их алгебраической независимости.
Обзор72 о гипергеометрической интерпретации выдержанных временем мер иррациональности log 2, 7г и log3 был опубликован в 2004 г. Всплеск активности'3, 74, 75 в последовавшее пятилетие привел не только к количественным изменениям рассмотренных в обзоре мер, но и к возникновению принципиально новых конструкторских идей для их получения. Вместе с тем рекордные меры иррациональности
МС(2)) ^ 5.44124250... и ц(Ф)) < 5.51389062...,
полученные Рином и Виолой в 1996 г. и в 2001г. соответственно, оставались незыблимыми. В основе метода Рина-Виолы — группа бирациональ-ных преобразований двойных и тройных интегралов бэйкерсова типа (11), (8), дополненную арифметическим методом. По существу, наше доказательство оценки меры иррациональности д-аналога £(2) в третьей главе есть не что иное, как д-версия метода Рина-Внолы, переложенного на гипергеометрический язык.
70С. Krattenthaler, T. Rivoal, W. Zudiun, Séries hypergéométriques basiques, <7-analogues des valeurs de la fonction zêta et formes modulaires, Inst. Jussieu Math. J. 5:1 (2006), 53-79.
71Ю. A. Пупырёв, О лннейной и алгебраической независимости q-дзета-значений, Магпем. заметки 78:4 (2005), 608-613.
,2В.В. Зудилин, Эссе о мерах иррациональности 7г и других логарифмах, Чебы-шёвский сб. (ТГПУ, Тула) 5:2 (2004), 49-65.
73R. Marcovecchio, The Rhin-'Viola method for log2, Acta Arith. 139:2 (2009), 147184.
74B.X. Салихов, О мере иррациональности log3, Докл. РАН 417:6 (2007), 753755.
75В.Х. Салихов, О мере иррациональности числа тг, Успехи матем. наук 63:3 (2008), 163-164.
Отметим, что необходимость использовать д-гипергеометрические ряды вместо д-аналогов интегралов (а понятие д-интеграла действительно существует'6) продиктована отсутствием понятия замены переменных для последних.
Четвертая глава диссертации посвящена еще одной демонстрации успешности арифметико-гипергеометрического метода — доказательству новой оценки меры иррациональности ((2) = 7г2/6.
Теорема 4. Показатель иррациональности числа £(2) = тт2/6 удовлетворяет неравенству д(£(2)) ^ 5.09541178....
Одним из следствий теоремы 4 является общая оценка
^ 10.19082357...,
справедливая для любого ненулевого рационального А. В то же время для некоторых частных значений с/ <Е 0| известны лучшие оценки: результаты
/Дтг) < 7.606308.... /Дтг\/3) ^ 4.601057..., /х(тг\/10005) ^ 10.021363...
получены в работах В. Салихова". В. Андросенко и Салихова78 и диссертанта'9 соответственно.
Доказательство теоремы 4 использует две гипергеометрические конструкции построения рациональных приближений к С(2). Совпадение этих приближений — нетривиальное аналитическое тождество, не найденное в литературе. Кроме того, гипергеометрические конструкции позволяют строить совместные рациональные приближения к £(2) и С(3), к сожалению, недостаточно хорошие для доказательства линейной независимости этих дзета-значений.
Гипергеометрическая конструкция и арифметический метод, применяющиеся для доказательства теорем 1, 3 и 4 находят приложения во многих других задачах на стыке диофантовой и аналитической теорий чисел. Яркий пример подобного симбиоза является основным сюжетом пятой главы диссертации.
Пусть • ] и {•} обозначают целую и дробную части числа соответственно. Как известно80, неравенство {(3/2)'с} ^ 1 — (3/4)к при к ^ 6 дает точную формулу д{к) = 2к + [(3/2)^ -2 для наименьшего целого д = д(к) такого, что каждое натуральное число представимо в виде суммы не более
76R. Askey, The g-gamma and g-beta functions Appl. Anal. 8 (1978), 125-141.
77B.X. САЛИХОВ, О мере иррациональности числа 7Г, Успехи машем, наук 63:3 (2008), 163-164.
78В. А. Андросенко, В.Х. Салихов, Интеграл Марковеккио и мера иррациональности тг/\/3, Вестник БГТУ 34:4 (2011), 129-132.
79В. В. Зудилин, Формулы рамануджанова типа и меры иррациональности некоторых кратных числа тт, Матем. сб. 196:7 (2005), 51-66.
80R. С. Vaughan, The Hardy-Littlewood method, Cambridge Tracts in Mathematics 125 (Cambridge Univ. Press, Cambridge 1997).
д положительных к-х степеней (проблема Варинга). К. Малер81 использовал обобщение Рид}' известной теоремы Рота, чтобы показать, что неравенство 11(3/2)^11 < Ск, где ||х|| = тшЦх}. 1 - {г}) — расстояние оибК до ближайшего целого, имеет лишь конечное число решений в целых к для любого С < 1. В частном случае С = 3/4 получается приведенное выше значение д(к) для всех к ^ К, где К — некоторая абсолютная, но неэффективная постоянная. В связи с этим возникает следующая задача: получить нетривиальную (т.е. С > 1/2) и эффективную (в терминах К) оценку вида
о\к
-) >Ск для всех к ^ К. (24)
Первое продвижение в этом направлении принадлежит А. Бейкеру и Дж. Коэтсу82; применив эффективные оценки линейных форм от логарифмов в р-адическом случае, они показали справедливость (24) с С = 2-'1-10 Ф. Бэйкерс83 существенно улучшил этот результат, доказав, что неравенство (24) выполняется с С = 2"аэ = 0.5358... при к ^ К = 5000 (хотя его доказательство давало и лучший выбор С = 0.5637..., если не заботиться о явном вычислении эффективной границы для К). Доказательство Бэйкерса основано на приближениях Паде к остатку биномиального ряда (1 - г)"1 = Еп=о С) (-*)"; позднее А. Дубицкас84 и Л. Хабси-гер85 использовали конструкцию Бэйкерса для получения оценки (24) с С — 0.5769 и 0.5770 соответственно. Последняя работа также содержит оценку ||(3/2)'г|| > 0.57434*: при & > 5 на основе вычислений из86 и87.
Модифицируя конструкцию Бэйкерса, именно, рассматривая приближения Паде к остатку ряда
1 00 / , 1 * / т + п
(1 - г)т+х _ ^ V 171
4 > 71=0 4
и получая точные оценки р-адических порядков возникающих биномиальных коэффициентов, мы доказываем в пятой главе следующий результат.
81К. Mahler, On the fractional parts of powers of real numbers, Mathematika 4 (1957), 122-124.
82A. Baker, J. Coates, Fractional parts of powers of rationale, Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 77 (1975), 269-279.
83F. Beukers, Fractional parts of powers of rationals, Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 90 (1981), 13-20.
84A.К. ДУБИЦКАС, Оценка снизу величины ||(3/2)fc||, Успехи матем. наук 45:1 (1990), 153-154.
85L. Habsjeger, Explicit lower bounds for ||(3/2)fc||, Acta Arith. 106 (2003), 299-309.
SSF. Delmer, J.-M. Deshouillers, The computation of g(k) in Waring's problem, Math. Сотр. 54 (1990), 885-893.
87J. kubina, M. wunderlich, Extending Waring's conjecture up to 471600000, Math. Сотр. 55 (1990), 815-820.
теорема 5. Имеет место оценка
> 0.5803 = 2'
-fc-0.78512916...
для всех к> К.
где К — некоторая эффективная постоянная.
Конструкция пятой главы диссертации позволяет также доказать оценки
> 0.4914 = 3
> 0.5152
-fc-0.64672207...
-fc-0.47839775..
при к ^ К\, при k ^ К2,
где К\, К2 — эффективные постоянные. Наилучший результат для последовательностей ||(1 + 1/ЛГ)к|| принадлежит М. Беннетту88: ||(1 + 1/Лг)'г|| > 3~к при 4 < N < кЗк. Наша оценка снизу для ||(4/3)*:|| дополняет результат Беннетта89 о порядке аддитивного базиса {1, Nk, (Л^Ч- 1)к. (N4- 2)к,... } в случае N = 3 (случай N = 2 отвечает классической проблеме Варинга); решение соответствующей задачи требует оценки ||(4/3)к|| > (4/9)'с при к ^ 6. Таким образом, остается ее проверить в диапазоне 6 ^ к ^ К\. Отметим, что Пупырёв90 дает явное значение постоянной К\.
В 1992 г. А. Шмидт91 обратил внимание на тот факт, что с последовательностью чисел Апери {ип}п=о,1,... из (5) связано удивительное обстоятельство. Именно, если определить числа последовательно с помощью равенств
= £
fc=0
п + к
Ск-.
п = 0.1.2.....
то эти числа являются целыми. (Явные формулы
Си
2к + 1
к=0
п + к + 1\п — к
2 п
Щ,
п = 0,1,2,...,
88М.А. Bennett, Fractional parts of powers of rational numbers, Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 114 (1993), 191-201.
89M. A. bennett, An ideal Waring problem with restricted summands, Acta Arith. 66 (1994), 125-132.
90Ю. А. Пупырёв, Эффективизация нижней оценки для ||(4/3)*||, Матем. заметки 85:6 (2009), 927-935.
91А. L. schmidt, Generalized g-Legendre polynomials, J. Comput. Appl. Math. 49:1-3 (1993), 243-249.
показывают, что ожидаемыми являются включения £)пс„ 6 2.) Позднее сам Шмидт92 и независимо Ф. Штрель93 получили следующее явное выражение:
Сп
= E("V = EÎ")ï2i). -мл..., m
,и у M
экспериментально обнаруженное В. Дойбером, В. Тумзером и Б. Войтом. На самом деле, Штрель в упомянутой статье использовал соответствующее тождество
к=0 4 ' 4 ' к—О 4 ' 4 ' ¿=0
в качестве модели для иллюстрации различной техники доказательства биномиальных тождеств. Удивительным является тот факт, что последовательность (25) изучалась Дж. Франелем94 еще в конце 19-го века: он доказал, что она удовлетворяет полиномиальной рекурсии
(п + 1)2сп+1 - (7п2 + 7п + 2)с„ - Ът^Сп-х = 0.
Шмидт отметил, что по всей видимости феномен целочисленности, связанный с последовательностями чисел Апери и Франеля, выполняется в следующей общей ситуации.
задача Шмидта. Пусть для любого целого г ^ 2 последовательность чисел не зависимых от параметра п, определяется равенством
¿(гУСГУ^ОСГН1. «-...и.....
к=О 4 ' 4 ' к=0 4 ' 4 '
Требуется показать, что все числа сявляются целыми.
Используя алгоритм Госпера-Цайльбергера созидательного телескопи-рования9°, Штрель доказал в своей работе целочисленность ¿у) в случае
92A.L. Schmidt, Legendre transforms and Apéry's sequences, J. Austral. Math. Soc. Ser. A 58:3 (1995), 358-375.
93V. Strehl, Binomial identities—combinatorial and algorithmic aspects, Discrete Math. 136:1-3 (1994), 309-346.
94J. Franel, L'intermédiare des mathématiciens 1 (Gauthier-Villars, Paris 1894), 4547; Response 170, L'intermédiare des mathématiciens 2 (Gauthier-Villars, Paris 1895), 3335.
95M. Petkovsek, h. s. Wilf, D. Zeilberger, A = B (A.K. Peters, Ltd., Wellesley 1996).
г ~ 3. Задача Шмидта была позднее сформулирована в книге96 (упражнение 114 на с. 256) с указанием, что Г. Уилф доказал включения € Ъ для любого г, но только для п ^ 9.
Шестая глава диссертации посвящена решению задачи Шмидта. Именно, мы доказываем следующие явные формулы для
Теорема 6. Числа с!г) в формулировке задачи Шмидта действите.аъ-но являются целыми. Более точно, имеют место формулы
и для произвольного в = 2. 3....
Х - з) П 3_ _ >
Х (^-1 - з) Ц - к) {к - .1) '
где п = 0,1.2.... . (Биномиальные коэффициенты (£) считаются равными нулю в случае к < 0 или к > п.)
В качестве заключительного аккорда диссертации мы приводим результаты, связанные с принадлежностью дзета-значений и их обобщений к так называемому классу периодов, введенному в фундаментальной работе М. Концевича и Д. Загира97. Период — это комплексное число, вещественная и мнимая части которого являются значениями абсолютно сходящихся интегралов от рациональных функций с рациональными коэффициентами, интегрируемых по областям в Кп, заданных полиномиальными неравенствами с рациональными многочленами. Без видимого
96R. L. Graham, D.E. Knuth, O. Patashnik, Concrete mathematics. A foundation for computer science, 2nd edition (Addison-Wesley Publishing Company, Reading, MA 1994).
97M. Kontsevich, D. Zagier, Periods, Mathematics unlimited —2001 and beyond (Springer, Berlin 2001), 771-808.
ущерба прилагательное "рациональные" все три раза может быть заменено на "алгебраические". Множество периодов V счетно и имеет естественную структуру кольца. Это множество содержит все "важные" математические постоянные, включая, разумеется, тт. дзета-значения (1) и их многочисленные обобщения (например, кратные дзета-значения98); кроме того, множество V содержит все алгебраические числа. Вместе с тем, число 1 /7г предположительно не принадлежит кольцу V. и многие другие примеры — такие, как значения гипергеометрических функций в алгебраических точках и специальные L-значения (еще одно обобщение дзета-значений) — естественным образом обитают в расширенном кольце периодов V = Р[1/тг] = Т\{2ттг)~1]. В обзоре99 обсуждается важность представлений чисел в (канонической) "замкнутой форме" с приложениями как в чистой, так и прикладной математике.
Под ¿-функцией обычно понимается производящий ряд Дирихле
од- t'f.
п=1
последовательности ап, п = 1,2,..., имеющей "арифметическую значимость"; например, связанную со счетом точек по фиксированному модулю на алгебраическом многообразии М. (обозначение для этого случая L(s) = L(A4. s)), либо отвечающую (параболической) модулярной форме /(<?) = X^i апЯп (тогда мы пишем L(s) = L(f,s)). Рассматривая в качестве М. эллиптическую кривую Е : у2 = х3 — х (кондуктора 32), обозначим через Np количество различных точек (х mod р. у mod р) £ (Zp)2 на ней для каждого нечетного простого р и определим числа ар = р — Np. Тогда
р>2 \ г г / „=1
Эта же самая L-функция может быть реализована как L(f, s) для модулярной формы
ОС оо
/(т) = £ anqn = q П (1 - <?4т71)2(1 - q%m)\ где q = ехр(2тггт),
п—1 тп—1
веса 2. Подобное соответствие L{E, s) = L(/, s) выполняется для всех эллиптических кривых над Q благодаря знаменитой теореме о модулярности Э. Уайлса100, известной ранее под именем гипотезы Таниямы-Шимуры.
98Y. Ohno, W. zudilin, Zeta stars, Commun. Number Theory Phys. 2:2 (2008), 325347.
99J.M. Borwein, R. E. Crandall, Closed forms: what they axe and why we care, Notices Amer. Math. Soc. 60 (2013), 50-65.
100A. Wiles, Modular elliptic curves and Fermat's last theorem, Annals of Math. (2) 141:3 (1995), 443-551.
Общие теоремы Бейлиисоиа и Денингера-Шолла устанавливают принадлежность (некритических) значений L-функции, отвечающей параболической модулярной форме /(т) веса к, в точках т ^ к кольцу V. Несмотря на алгоритмический характер доказательства теоремы, реализация L-значений явно в виде периодов является трудной задачей даже в абсолютно конкретных ситуациях. Большинство подобных вычислений мотивировано (гипотетическими) выражениями для логарифмической меры Малера многочленов от многих переменных, которые, в свою очередь, эквивалентны частным случаям общих гипотез Бейлинсона-Блоха.
С целью доказательства ряда гипотез для меры Малера многочленов от двух переменных в совместных работах101,102 с М. Роджерсом мы разработали принципиально новую методику представления ¿-значения L(f, 2), отвечающего параболической модулярной форме /(г) веса 2, в качестве периода. В седьмой главе диссертации мы приводим обзор этой методики на конкретном примере вычисления L(E, 2) для эллиптической кривой Е : у2 = х3 — х, а затем описываем общий алгоритм вычисления некритических значений L(f. к) в виде периодов и иллюстрируем его на примере L(E, 3).
теорема 7. Для эллиптической кривой Е : у2 = х3 — х кондуктора 32 справедливы следующие интегральные и гипергеометрические представления:
L[E*2) = TsL
96л/2
1 1 + VT^Y2 (1-х2у/4
3F2
àx
I! т
d у
^1/2r(î)2 «р А, 1, i
7 з
4' 2
х2(1 -у2)
1 I + . 3f2
5 3 4> 2
8%/2
L(E, 3) =
128
I
1
(1 - х2f'A
da;
il 1-
d y du;
768у2 43
733 4> 2' 2
1 +
x2(l — y2)(l — U)2)
h 1, 5 533
^3/2Г(|)2 32V2
■ 4^3
4- 2' 2
+
т3/2гф
4Î3
1, 1, 1, I
3 3 3 4' 2' 2
256у/2
Отметим, что литература не содержит ни одного явного интегрального представления Ь{Е, 3) для какой-либо эллиптической кривой. Полученные выражения увеличивают схожесть данных ¿-значений с £(2) и ((3) — ср. с приведенными ранее формулами для приближений Апери.
101M. Rogers, W. Zudilin, From L-series of elliptic curves to Mahler measures, Compositio Math. 148 (2012), 385-414.
102M. Rogers, W. Zudilin, On the Mahler measure of 1+X + l/X + Y + \/Y, Intern. Math. Research Notices 2014 (2014), in press (doi: 10.1093/imrn/rns285), 22 pp.
ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИОННОГО ИССЛЕДОВАНИЯ
[1] В. В. Зудилин, Разностные уравнения и мера иррациональности чисел. Аналитическая теория чисел и приложения (сб. статей), Труды МИАН 218 (1997), 165-178.
[2] В. В. Зудилин, Сокращение факториалов, Матем. сб. 192:8 (2001), 95-122.
[3] В. В. Зудилин, Об иррациональности значений дзета-функции в нечетных точках, Успехи матем. наук 56:2 (2001), 215-216.
[4] *в. в. зудилин, Об иррациональности значений дзета-функции, Современные исследования в математике и механике, Материалы XXIII Конференции молодых ученых мех.-мат. фак-та МГУ (9-14 апреля 2001г.), часть 2 (Изд-во мех.-мат. факта МГУ, Москва 2001), 127-135.
[5] В. В. Зудилин, Одно из восьми чисел C(5),c(7),...,ç(17),ç(19) иррационально, Матем. заметки 70:3 (2001), 472-476.
[6] В. В. Зудилин, Одно из чисел С(5), С(7), С(9)-, С(И) иррационально, Успехи матем. наук 56:4 (2001), 149-150.
[7] В. В. Зудилин, Об иррациональности С?(2), Успехи матем. наук 56:6 (2001), 147148.
[8] В. В. Зудилин, Об иррациональности значений дзета-функции Римана, Изв. РАН. Серия матем. 66:3 (2002), 49-102.
[9] W. ZUDILIN, Remarks on irrationality of g-harmonic series, Manuscripta Math. 107:4 (2002), 463-477.
[10] В. В. зудилин, О мере иррациональности ç-аналога £(2), Матем. сб. 193:8 (2002), 49-70.
[11] В. В. Зудилин, Совершенно уравновешенные гипергеометрические ряды и кратные интегралы, Успехи матем. наук 57:4 (2002), 177-178.
[12] В. В. Зудилин, О диофантовых задачах для g-дзета-значений, Матем. заметки 72:6 (2002), 936-940.
[13] В. В. Зудилин, Алгебраические соотношения для кратных дзета-значений, Успехи матем. наук 58:1 (2003), 3-32.
[14] В. В. Зудилин, О функциональной трансцендентности q-дзета-значений, Матем. заметки 73:4 (2003), 629-630.
[15] W. zudilin, Well-poised hypergeometric sendee for diophantine problems of zeta values, J. Théorie Nombres Bordeaux 15:2 (2003), 593-626.
[16] W. zudilin, Heine's basic transform and a permutation group for g-harmonic series, Acta Arith. 111:2 (2004), 153-164.
[17] W. ZUDILIN, Arithmetic of linear forms involving odd zeta values, J. Théor. Nombres Bordeaux 16:1 (2004), 251-291.
[18] W. Zudilin, Well-poised hypergeometric transformations of Euler-type multiple integrals, J. London Math. Soc. 70:1 (2004), 215-230.
[19] *W. Zudilin, On a combinatorial problem of Asmus Schmidt, Electron. J. Combin. 11:1 (2004), #R22, 8 pages.
[20] *В.В. Зудилин, Эссе о мерах иррациональности 7г и других логарифмах. Чебы-шёвский сб. (ТГ1ГУ, Тула) 5:2 (2004), 49-65.
[21] В. В. Зудилин, Об обратном преобразовании Лежандра одного семейства последовательностей, Матем. заметки 76:2 (2004), 300-303.
[22] W. Zudilin, Approximations to g-logarithms and g-dilogarithms. with applications to g-zeta values, Труды no теории чисел, Записки научн. семинаров ПОМИ, СПб. 322 (2005), 107-124.
[23] В. В. Зудилин, Формулы рамануджанова типа и меры иррациональности некоторых кратных числа тг, Матем. сб. 196:7 (2005), 51-66.
[24] W. Zudilin, A new lower bound for || (3/2)fc ||, J. Theor. Nombres Bordeaux 19:1 (2007), 313-325.
[25] W. Zudilin, Approximations to di- and tri- logarithms, J. Comput. Appl. Math. 202:2 (2007), 450-459.
[26] w. zudilin, Ramanujan-type formulae for l/тг: A second wind?, Modular Forms and String Duality, N. Yui, H. Verrill, and C. F. Doran (eds.), Fields Inst. Commun. Ser. 54 (Amer. Math. Soc., Providence, ri 2008), 179-188.
[27] *W. Zudilin, Арёгу'э theorem. Thirty years after, Intern. J. Math. Computer Sci. 4:1 (2009), 9-19.
[28] W. zudilin, Ranianujan-type supercongruences, J. Number Theory 129:8 (2009). 1848-1857.
[29] B.B. Зудилин, Арифметические гипергеометрические ряды, Успехи матем. паук 66:2 (2011), 163-216.
[30] W. zudilin, Period(d)ness of L-values, Number Theory and Related Fields, In memory of Alf van der Poorten, J. M. Borwein et al. (eds.), Springer Proceedings in Math. & Stat. 43 (Spinger, New York 2013), 381-395.
[31] B.B. ЗУДИЛИН, О мере иррациональности числа тг2, Успехи матем. наук 68:6 (2013), 171-172.
ФГБОУ ВПО «Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова»
05201451088
ЗУДИЛИН Вадим Валентинович
Теорема Апери и задачи для значений дзета-функции Римана и их д-аналогов
Специальность 01.01.06 — математическая логика,
алгебра и теория чисел
ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени доктора физико-математических наук
Москва 2013
Содержание
Введение 4
0.1. Теорема Апери 5
0.2. Иррациональность нечетных дзета-значений 7
0.3. Гипергеометрические ряды и кратные интегралы 9
0.4. g-Аналоги дзета-значений 12
0.5. Рациональные приближения к £(2) 14
0.6. Нижняя оценка для ||(3/2)fc|| и проблема Варинга 15
0.7. Числа Апери и числа Франеля 17
0.8. Периоды 18
Глава 1. Одно из чисел С(5), С(^), С(9), С(И) иррационально 21
1.1. Арифметика простейших рациональных функций 24
1.2. Линейные формы от 1 и нечетных дзета-значений 27
1.3. Асимптотика линейных форм 30
Глава 2. Интегральные конструкции линейных форм
от дзета-значений 37
2.1. Основной результат и следствия из него 37
2.2. Гипергеометрическое доказательство 41
Глава 3. Иррациональность д-дзета-значений 45
3.1. g- Арифметика 46
3.2. g-Гипергеометрическая конструкция 48
3.3. Арифметика линейных форм 50
3.4. Групповая структура для Çq(2) 55
3.5. Оценки линейных форм и их коэффициентов 57
3.6. Мера иррациональности Сд(2) 62
3.7. g-Аналог последовательности Апери 64
Глава 4. Мера иррациональности Ç(2) 67
4.1. Прелюдия: вспомогательные леммы 67
4.2. Первая гипергеометрическая конструкция 69
4.3. Арифметика и асимптотика линейных форм 72
4.4. Интерлюдия: гипергеометрический интеграл 75
4.5. Вторая гипергеометрическая конструкция 77
4.6. Финал: доказательство теоремы 4 и заключение 82
Глава 5. Оценка снизу для расстояния от (3/2)fc
до ближайшего целого 84
5.1. Приближения Паде биномиального ряда 84
5.2. Арифметические составляющие 87
5.3. Доказательство теоремы 5 89
5.4. Смежные результаты 92
ь
Глава 6. Решение задачи А. Шмидта 94
6.1. Совершенно уравновешенные ряды 95
6.2. Кратное преобразование Эндрюса 97
Глава 7. Интегральные представления L-рядов эллиптических
кривых 99
7.1. L(E, 2) 100
7.2. Общий случай 102
7.3. Формула Рамануджана и Ь(Е: 3) 104
7.4. Гипергеометрические представления 107
Заключительные замечания 111
Список литературы 112
Введение
Изучение сумм вида
(0.1)
при целых положительных значениях параметра й восходит к Л. Эйлеру [40], [41]. Он, в частности, доказал расходимость ряда в (0.1) при я = 1 и сходимость при й > 1, а также знаменитые соотношения
связывающие значения ряда при четных положительных й с архимедовой постоянной 7г = 3.14159265... (см. [43, § 1.4]) и числами Бернулли В3 £ (¡3>; последние могут быть определены с помощью производящей функции
В 1882 году Ф. Линдеман [68] доказал трансцендентность числа 7г и, тем самым, трансцендентность £(s) для четных s.
Лишь веком спустя после Эйлера Б. Риман [91] рассмотрел ряд в (0.1) как функцию комплексного переменного s. Этот ряд представляет в области Res > 1 аналитическую функцию, которая может быть продолжена на всю комплексную плоскость до мероморфной функции C(s)- Именно это аналитическое продолжение и ряд важных свойств функции £(s) были открыты Риманом в его мемуаре о простых числах. Дзета-функция Римана и ее обобщения играют неоценимую роль в аналитической теории чисел [122], [55], но тематикой настоящей диссертации является изучение арифметических и аналитических свойств значений эйлеровых сумм £(s) в (0.1) при положительных s > 1 и обобщений этих чисел. Для краткости мы будем называть величины
для к = 1,2,3,.
(0.2)
ez — 1
при целых положительных 8 дзета-значениями, а также четными и нечетными дзета-значениями в зависимости от четности 5.
0.1. Теорема Апери
Как было отмечено выше, трансцендентность (а значит, и иррациональность) четных дзета-значений следуют из классических результатов Эйлера и Линдемана. Формулы, подобные (0.2), для нечетных дзета-значений неизвестны, и предположительно ((2к + 1)/7г2к+1 не является рациональным числом ни для какого целого к ^ 1. Арифметическая природа нечетных дзета-значений казалась неприступной вплоть до 1978 года, когда Р. Апери [7] предъявил последовательность рациональных приближений, доказывающих иррациональность числа С(3).
Теорема Апери. Число £(3) иррационально.
История этого открытия так же, как и строгое математическое обоснование наблюдений Апери, изложены в [84]. Число £(3) также известно в наши дни как постоянная Апери (см., например, [43, § 1.6]). В качестве рациональных приближений к £(3) Апери выбирает последовательность vn/un € Q, п = 0,1,2,..., где знаменатели {wn} = {wn}n=o,i,... и числители {г>п} = {г>п}п=од,... удовлетворяют одной и той же полиномиальной рекурсии
(n + l)3un+i - (2п + 1) (17тг2 + 17гг. + 5)ип + п3ип.i = 0 (0.3) с начальными данными
щ = 1, щ = 5, v0 = 0, vi — 6. (0.4)
Тогда
Иш ^ = С(3), (0.5)
га->оо ип
но не менее важным обстоятельством являются неожиданные (с точки зрения рекурсии (0.3)) включения
u" = ib(t)2(n+kk)2 Dnvnez, п = 0,1,2,..., (0.6)
к=0 ^ "' ^ '
где через Dn обозначено наименьшее общее кратное чисел 1,2,... ,п (и Do = 1 для полноты). Применение теоремы Пуанкаре (см., например, [49]) к разностному уравнению (0.3) приводит к предельным соотношениям
lim КС(3) - vn\1/n = (л/2 - I)4, (0.7)
га—»оо
lim К|1/га = lim \ип\х*п = (V2 + l)4 (0.8)
n—>оо га—»oo
согласно (0.5), где числа (л/2—I)4 и (л/2+1)4 являются корнями характеристического многочлена Л2 — 34Л+1 рекурсии (0.3). Собранная информация о свойствах последовательностей {wn} и {vn} доказывает, что число ("(3) не может быть рациональным. Действительно, в предположении £(3) = а/Ь, где a,b € Z, линейные формы rn — bD^(un((3) — vn) являются целыми числами, ненулевыми ввиду (0.7). С другой стороны, Dl/n —е при п —со
согласно асимптотическому закону распределения простых чисел (см., например, [122, гл. II, §3]); следовательно,
lim |rn|1/n = e3(V2 - l)4 = 0.59126300... < 1,
n—> oo
что при достаточно большом п вступает в противоречие с оценкой \rn\ > 1 для целых ненулевых гп. Более того, дополнительные предельные соотношения (0.8) и стандартные аргументы (см., например, [56, лемма 3.1]) позволяют измерить иррациональность постоянной Апери количественно:
МС(3)) < 1 + 41og(^Hhl)+3 = 13 41782023
Здесь и далее показателем иррациональности ц(а) вещественного иррационального числа а называется величина
¡1 = ц{а) = inf{c € R : неравенство |а — a/b\ ^ |6|-с имеет
конечное число решений в а, Ъ € Z}; в случае fi(a) < +оо говорят, что а — нелиувиллево число.
Оригинальные рассуждения Апери (именно, соотношения (0.3)-(0.8)) были настолько загадочны, что интерес к теореме Апери не ослабевает и в наши дни. Феномен последовательности рациональных приближений Апери неоднократно переосмысливался с точки зрения различных методов (см. [19], [21], [22], [45], [53], [56], [76], [78], [85], [90], [109], [111], [112], [121], [131], [135], [161]). Новые подходы позволили усилить результат Апери количественно — получить лучшую оценку для показателя иррациональности числа £(3) (последние этапы соревнования в этом направлении — работы [59], [90]). Мы прежде всего укажем явные формулы для последовательности ип((3) —vn, которые играют важную роль в дальнейшем изложении: представление Бэйкерса [19]
ипФ) - *-¡и *«* ^
[0,1]3
в виде кратного вещественного интеграла, а также ряд Гутника-Несте-репко [53], [76]
UnC(3)-Vn = --}—l-/-ТГ,-^-7-Т (0-10)
и ряд Болла [14]
¿Л 2 J t (t 1) • • • (i + 72.)
(0.11)
Отметим, что с помощью своего метода "ускорения сходимости" Апери [7], [84] установил также иррациональность числа £(2) без явного применения формулы £(2) = 7г2/6. На этот раз, знаменатели {и'п} и числители
{v'n} линейных приближающих форм и'п((2) — v'n, п = 0,1,2,..., удовлетворяют рекурсии
(п + 1)2ип+1 - (11 п2 + lin + 3)ип - п2ип._i = 0 (0.12)
с начальными данными
и'0 = 1, и[ = 3, v'0 = 0, vï = 5; (0.13)
при этом
= £ (?)2 (п tк)е z' ^G z' n = '1':2» ■■ ■ ■■ '
k-0
и
lim |<С(2) - v'S'" = f^^)5 < е-2, (0.15)
n—teo \ Z /
lim Kl1/» = lim l^l1/" = i^^y. (0.16)
n—too n-+oo \ Z J
Данная последовательность приближений приводит также к оценке
для показателя иррациональности числа 7Г2. Приближения Апери к £(2) могут быть представлены в виде двухкратного вещественного интеграла [19]
<С(2)-< = (-1 Г Ц у, (0.17)
[ОД]2
а также в виде гипергеометрического ряда
оо
/ J- / / -ш \ 71 '
U
' С( 2) -v>= (-1Г V n\-(t-m-2)...(t-n)
^i2(i + l)2(i + 2)2-..(i + n)2
(0.18)
i=V
0.2. Иррациональность нечетных дзета-значений
Таким образом, теорема Апери является первым существенным продвижением в решении следующей задачи (которую по праву можно назвать фольклорной; печатное упоминание см., например, в [105], заключительные замечания): доказать иррациональность чисел С,{2к + 1) для к 1,2,3,....
К сожалению, естественные обобщения конструкции Апери приводят к линейным формам, содержащим значения дзета-функции как в нечетных, так и в четных точках; это обстоятельство не позволяло получить результаты об иррациональности ("(й) для нечетных в ^ 5. Лишь в 2000 году Т. Ривоаль [92], используя обобщение представления Болла (0.11), построил линейные формы, содержащие только нечетные дзета-значения и позволяющие доказать следующий результат.
Теорема Ривоаля. Среди чисел
С(3), С(5), С(7), С(9), С(п), ...
имеется бесконечно много иррациональных. Более точно, для размерности 5(s) пространств, порожденных над Q числами 1, С(3), С(5), • • •» £(s — 2), C(-s), где s нечетно, справедлива оценка
log s
ед ^ г
(1+о(1)) при s —V оо.
+ log 2
Линейные приближающие формы Ривоаля в [92] записываются в виде
" "" 2Д' + 2/ П" fi + Я^'
s,r,n
s нечетно,
л
t-V
(0.19)
где вспомогательный параметр г < s/2 имеет порядок г ~ s/ log s; в частности, ряд F3 i)Tl совпадает с представлением (0.11) для последовательности Апери. Раскладывая рациональную функцию параметра t под знаком суммирования в сумму простейших дробей и используя идеи работ [80] и [76], можно показать, что справедливы включения
2Dsn+lFn в ZC(s) + Z((s - 2) + • • • + ZC(5) + Z£(3) + Z.
Кроме того, явные формулы (0.19) для линейных форм от нечетных дзета-значений позволяют вычислить асимптотическое поведение этих форм и их коэффициентов при п —> оо. Заключительный этап доказательства теоремы Ривоаля — применение критерия линейной независимости Нестерен-ко [75].
Тот факт, что величины (0.19) являются Q-линейными формами от 1 и дзета-значений одной четности, связан со специальной симметрией рациональной функции параметра £, стоящей в (0.19) под знаком суммы. Возможность использования менее экзотической рациональной функции обсуждается в работах [53], [61], [62], [93]: в итоге получаются результаты о размерности пространств, порожденных над Q значениями полилогарифмов
, п"
71=1
в рациональной точке 2, 0 < \г\ ^ 1.
Несмотря на то, что доказательство теоремы Ривоаля использует некоторое обобщение конструкции для доказательства теоремы Апери, ее результат дает лишь частичное решение задачи об иррациональности дзета-значений. Для следующего за ("(3) иррационального нечетного теорема Ривоаля устанавливает лишь диапазон [14]: 5 ^ в ^ 169. Дифференцирование рациональной функции под знаком суммирования (подобно представлению (0.10)) дает возможность строить О-линейные формы от нечетных дзета-значений, не содержащие С(3). Это позволяет доказать, что "по
крайней мере одно из девяти нечетных дзета-значений С(5), ((?), ■ • •, С(21) иррационально" (автор диссертации [142] и Ривоаль [94] независимо установили этот результат, используя различные обобщения конструкции из [92]). Мы доказываем следующую теорему, дающую новое продвижение в решении задачи об иррациональности нечетных дзета-значений.
Теорема 1. Одно из чисел
С(5), С(7), С(9), С(П)
иррационально.
Доказательству этой теоремы посвящена гл. 1 настоящей диссертации. Мы используем наиболее общую форму конструкции, предложенной в работах Ривоаля, а также арифметический метод (см., например, [32], [99], [56]), традиционно применяемый для улучшения оценок меры иррациональности чисел. Отметим, что использованная техника успешно работает и в других арифметических задачах: в [95] аналоги теоремы Ривоаля и теоремы 1 установлены для значений бета-функции Дирихле
00 (—Лп W = 1)7
п=0 4 '
в четных точках s ^ 2. Уточнение критерия линейной независимости Нестеренко [75] в работе [46] позволило также улучшить ряд других оценок из [14] и [142].
0.3. Гипергеометрические ряды и кратные интегралы
Доказательство Бэйкерса [19] иррациональности £ (2) и С(3), использующее интегральные представления (0.17) и (0.9), простое и короткое. Именно это послужило серьезным основанием для дальнейшего применения кратных интегралов с целью количественно усилить и обобщить результаты Апери (см. [38], [56], [58], [59], [88], [89], [90], [117], [118], [119], [121]). О. Василенко в [117] предложил рассматривать следующее семейство s-кратных интегралов, обобщающих интегралы Бэйкерса:
Г rTY. Лх^(1-хЛп [од]*
где
Qs(x 1, ...,xs) = l-x1(l-X2(l----(1 - are_i(l - XS)) •••))• (0.21)
Позднее Д. Васильев [119] изучил интегралы и доказал, что
4L>4J4,n g ZC(4) + ZC(2) + Z, D5nJ5in e ZC(5) + ZC(3) + Z, (0.22)
а также, что линейные формы в (0.20) стремятся (достаточно быстро) к нулю при п —> оо (к сожалению, не на столько быстро, чтобы получить новые результаты об иррациональности дзета-значений). Включения DiJ2,n е ZC(2) + Z, £>JJ3,n e ZC(3) + Z, доказанные Бэйкерсом в [19],
и (0.22) дали Васильеву основание высказать следующее предположение: имеют место включения
28-2Б3пе ZC(s) + ZC(s - 2) + • • • + гс(4) + ZC(2) + Z для Й четного,
€ + - 2) Ч-----Ь й£(5) + ЙС(3) + Z для з нечетного.
(0.23)
Несмотря на положительное решение этой задачи в случае й = 2,3,4, 5, уверенность автора [119] в справедливости (0.23) разделяли немногие. Причиной последнего стала другая неверная гипотеза, именно 2€ Для й четного и .О® «7в)П е ZC(s) +Z для я нечетного, высказанная Васильевым в своей предыдущей работе [118].
Частичное продвижение в задаче Васильева (с точностью до умножения на дополнительный множитель 2£>п) дается в следующем утверждении.
Теорема 2. Для каэюдого целого в ^ 2 и п = 0,1,2,... справедливо тождество
^В,П = "^5,715 (0.24)
где
■ ".............I' • ■>)
и=1
К„ = 2П!-1 У (_1)(н-1)(^1) и + 2) тт Г/11^
£=1/ (0.25)
/Гак следствие, имеют место включения
25-2£)5+1 ^ £ + ^^ _ 2) + ... + ^С(4) + ZC(2) + Z для в четного,
е + ZC(s - 2) + • • • + 2С(5) + 2С(3) + 2 нечетного.
(0.26)
Отметим, что ряд (0.25) в точности совпадает с рядом (0.19) при в нечетном и г = 1, так что тождество (0.24) означает совпадение интегральной конструкции ([^-линейных форм от дзета-значений с конструкцией из [92].
Ряды Болла (0.11) и Ривоаля (0.19) хорошо известны в теории обобщенных гипергеометрических функций [5], [11], [107]. Формально, гипергеометрическая функция определяется рядом
а0. а,1, ..., ат
тр
771+1 ГГП 1 7 7
V &1, ..., о.
т
где (а)и = Г(а + и)/Г(а) обозначает символ Похгаммера; условие
11е(ао + аг + - - - + ат) < Яе^ + • • • + Ьт) (0.28)
обеспечивает сходимость ряда (0.27) в области \г\ ^ 1 (см., например, [11, §2.1]). Важную роль в анализе гипергеометрических рядов играют
формулы суммирования и преобразования. В качестве примеров укажем формулу суммирования Пфаффа-Заалынютца
1 =
(с-а)п(с-Ь)7
а
Ь)п
(0.29)
/ -п, а,Ь _
3 1 +а+&-с-п 7 (с)п(с
(п — неотрицательное целое; см., например, [107, с. 49, формула (2.3.1.3)]), предельный случай теоремы Дугалла
„ [а,1 + \а, Ь, с, d
1 + а — Ь, 1 + а — с, 1 + а — (1
5" 4
_Г(1 + а - Ь) Г(1 + а - с) Г(1 + а - d) Г(1 + а - Ъ - с - d)
~ Г(1 + а) Г(1 + а - Ъ - с) Г(1 + а - b - d) Г(1 + а - с - d) (см. [11, §4.4]), a также преобразование Уиппла
„ (а, 1 + \а, Ъ, с, d, е
\а, 1 + а — Ь, 1 + а — с, 1 + а — d, 1 + а — е
(0.30)
6^5
-1
Г(1 + a — d) Г(1 + а — е) /1 + а- Ь-с, d, г Г(1 + а) Г(1 + а — d — е) 3 2Vl + a-6, 1 + а-с
(0.31)
(см. [126] и [11, §4.4]); ряд других примеров приводится в главах 4 и 6 (соотношение (4.26) и предложение 6.1). Кроме того, для гипергеометрических функций известно множество интегральных представлений [11], [107], из которых мы отметим классический интеграл Эйлера-Похгаммера для гауссовой функции (га = 1 в (0.27))
jFI
'a, b
С tb-1{\-t)c-b~1{l-zi)-a
Jo
dt
) Г(Ь)Г(с - Ь)
в случае Ree > Reb > 0 (см., например, [107, с. 20, формула (1.6.6)]). Формула (0.32) справедлива при \z\ < 1, а также при любом z £ С, если а является неположительным целым.
В работе [127] Ф. Уиппл назвал вполне уравновешенными гипергеометрические ряды (0.27), удовлетворяющие условию
а0 + 1 = ai + Ъ\ = •• • = ат + Ьт;
известные преобразования (например, (0.30) и (0.31)) относятся, как правило, именно к таким рядам. Особую роль среди вполне уравновешенных гипергеометрических рядов играют ряды совершенно уравновешенные, для которых выполнено дополнительное условие
ai = \ао + 1, Ьг = |а0;
обзор истории и приложений вполне и совершенно уравновешенных рядов в различных областях математики приводится в [4]. Ряд (0.25) (как и ряд (0.19)) является совершенно уравновешенным:
_ n!2s+1(3n + 2)! {Зп + 2, f п + 2, п + 1, ..., п + 1
(2п + l)!s+2
Iп + 1, 2п + 2, ..., 2п + 2
(-1)S+1J.
(0.33)
0.4. g-аналоги дзета-значений
12
Теорема 2 является следствием общего результата о представлении совершенно уравновешенного ряда в виде кратного интеграла. В гл. 2 приводятся не только подробные доказательства этого результата и теоремы 2, но и ряд других важных следствий.
Именно с помощью теоремы 2 в последовавшей работе [65] задача Васильева была полностью решена в случае нечетного s ^ 3. Методика [65] основана на представлении сумм (0.33) в виде кратных гипергеометрических рядов и идейно опирается на работы [119] и [149], однако техническая реализация этих идей потребовала от авторов [65] большой вычислительной работы. Для рядов (0.33) возможны и другие представления в виде кратных интегралов сорокинского типа (в [110], [111] содержатся теоретико-числовые приложения подобных интегралов); соответствующие теоремы о преобразовании кратных интегралов установлены С. Злоби-ным [132], [133]. Позднее Злобин [134] и независимо В. Салихов, А. Фро-ловичев [102] получили другое решение задачи Васильева.
0.4. g-Аналоги дзета-значений
Как обыч�
