Вероятностные методы в теории чисел и приложения в теории аргумента дзета-функции Римана тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи 005014079

Бояринов Роман Николаевич

ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МЕТОДЫ В ТЕОРИИ

ЧИСЕЛ И ПРИЛОЖЕНИЯ В ТЕОРИИ АРГУМЕНТА ДЗЕТА-ФУНКЦИИ РИМАНА

01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико - математических наук

1 Ь НДР Ш1

Москва - 2012

005014079

Работа выполнена на кафедре математического анализа Механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова Научный консультант: доктор физико-математических наук, профессор Чубариков Владимир Николаевич Официальные оппоненты:

Гриценко Сергей Александрович доктор физико-математических наук, профессор, Белгородский государственный университет, заведующий кафедрой алгебры, теории чисел и геометрии;

Добровольский Николай Михайлович доктор физико-математических наук, профессор, Тульский государственный педагогический университет, заведующий кафедрой алгебры, математического анализа и геометрии;

Зубков Андрей Михайлович доктор физико-математических наук, профессор, Математический институт имени В.А. Стеклова РАН, заведующий отделом дискретной математики

Ведущая организация: Владимирский государственный университет

Защита диссертации состоится "23" марта 2012 г. в 16 часов 45 минут на заседании диссертационного совета Д.501.001.84 при Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова по адресу: РФ, 119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, д. 1, Главное здание МГУ, Механико-математический факультет, ауд. 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж). Автореферат разослан "22" февраля 2012 г. Ученый секретарь диссертационного совета

Д.501.001.84 в МГУ

доктор физико-математических наук,

профессор

А. О. Иванов

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Работа посвящена развитию вероятностных методов в теории чисел и исследованию поведения аргумента S(t) дзета-функции ((s) на коротких интервалах, а также решению некоторых задач о свойствах нетривиальных нулей £(s) и закономерностях в их распределении, тесно связанных с S(t). В своем знаменитом мемуаре 1859 г. Б. Риман1,2 показал, что задача о распределении простых чисел сводится к изучению свойств C(s) (впоследствии названной в честь Римана дзета-функцией Римана) как функции комплексного переменного s = а + it. При а > 1 дзета-функция определяется как значение сходящегося ряда

+00 -i ns.

n=l

Риманом было доказано два утверждения о свойствах ((s):

а) Функцию ((s) можно аналитически продолжить на всю комплексную плоскость; она является там мероморфной и имеет единственный простой полюс с вычетом 1 в точке 5 = 1.

б) C(s) удовлетворяет функциональному уравнению

г (I) fw=«г-^г (Ц^) cd - -).

где Г(в) - гамма-функция Эйлера.

Функциональное уравнение позволяет вывести свойства £(s) при а < 0 из ее свойств при а > 1. Единственными нулями C(s) при а < 0 являются точки s = —2, —4, —6,..., т.е. полюсы T(s/2). Они называются тривиальными нулями. Кроме того, £(s) не имеет нулей при а > 1. Остальная часть плоскости, где О < о < 1, называется критической полосой.

1 Riemann В. Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse//Monatsberichte der Berliner Akademie, November 1859.

2Рима» Б. 0 числе простых чисел, не превышающих данной величины// Б. Риман, Сочинения, 0ГИЗ, М., 1948, 216-224.

Риман высказал несколько предположений о распределении нулей Ç(s) в критической полосе:

а) ((s) имеет бесконечно много нулей в критической полосе. Они расположены симметрично относительно вещественной оси, а также критической прямой а = 1/2.

б) Число N(T) нулей ((s) в критической полосе с 0 < t < Т удовлетворяет асимптотическому равенству

в) Все нули ((s) в критической полосе лежат на критической прямой (знаменитая, до сих пор недоказанная гипотеза Римана). В 1905 г. Мангольдт3 доказал формулу (1), а в 1914 г. Р. Бэк-лунд4'5 доказал более точную формулу

где S(T) - аргумент дзета-функции Римана, а 5(Т) - гладкая функция, производная которой имеет оценку вида: |5'(Т)| < Г-2. Равенство (2) называется формулой Римана-Мангольдта.

Дадим необходимые определения и опишем простейшие свойства S(¿)-аргумента дзета-функции Римана на критической прямой.

Определение 1. Для вещественного t, отличного от ординаты нуля ((s), положим

S(0 = £aigf Q + if),

где arg С (I + it) получается непрерывным продолжением arg ((s) вдоль ломаной линии, начинающейся в точке s — 2 (arg ((2) = 0),

3Bohr H., Landau E. Beiträge zur Theorie der Riemannschen Zetafunktion// Math. Ann., 74:1 (1913), 3-30.

^Backlund R.-J. Sur les zeros de la fonction ф) de Riemann// C. R. Acad. Sei. Paris, 158 (1914), 1979-1981.

*BacMimd R.-J. Über die Nullstellen der Riemannschen Zetafunktion//Dissertation, Helsingfors, 1916, p.

идущей к точке s = 2 + it и затем к точке s = 1/2 +it. Если же t — мнимая часть нуля C(s), то

S(t)=\^1-(S(t + 6) + S(t~S)).

Определение 2. Для положительного Т, отличного от мнимой части нуля C(s), символом N(T) будем обозначать число нулей дзета-функции в прямоугольнике 0 < Res < 1, 0 < Ims < Г. Если Т совпадает с мнимой частью нуля ((а), то положим

ЩТ) = Дт ](iV(T + S) + N(T - 6)). В работе6 описаны простейшие свойства S(t):

1. S(t) — кусочно-гладкая функция с разрывами в точках, совпадающих с ординатами комплексных нулей £(s).

2. При переходе через точку разрыва S(t) совершает скачок, равный сумме кратностей нулей £(s); имеющих эту точку своей ординатой.

3. На всяком промежутке непрерывности (7,7'), где 7,7' — соседние ординаты нулей £(s), функция S(t) является монотонно убывающей с производными

+ и «"О—¿ +о('Л

Определение 3. При положительном числе t функция й1! (¿) определяется равенством

ъ

sx{t) = J S(u)du.

*Карацуба А. А., Королев М. А. Аргумент дзета-функции Римана // Успехи математических наук, т. 60, №3(363), с. 41-96 (2005).

В теории дзета-функции Римана можно выделить три основных направления исследования:

1) распределение нулей дзета-функции Римана £(s) в критической полосе и на критической прямой;

2) рост величины |C(s)| в критической полосе и на критической прямой;

3) поведение аргумента дзета-функции Римана на критической прямой.

Первые два направления тесно связаны с широким кругом проблем теории простых чисел и достаточно хорошо изучены. Третье направление представляет большой научный интерес, но при этом изучено в меньшей степени, чем первые два. Функция S(t) представляет большой практический интерес в связи с численным нахождением нетривиальных нулей £(s). Тем не менее, практическая проверка предположений о величине роста функции S(t) представляет очень трудную численную задачу, поскольку S(t) очень медленно растет и заметные изменения в ее росте существенно выходят за пределы технических возможностей современных ЭВМ.

Одной из задач теории аргумента дзета-функции Римана является проблема определения порядка роста величины М(Т) — числа перемен знака S(t) на промежутке 0 < i < Т. Первый результат здесь принадлежит Г. Бору и Э. Ландау3, которые в 1913 г. доказали существование положительной постоянной а такой, что

lim inf ■ f ffi = -оо, lim sup .f® = +oo.

i->+00 (lni)a t-»+oo (In t)a

Отсюда следует, что функция S(t) на интервале (0,+оо) меняет свой знак бесконечно много раз. В 1946 г. А. Сельберг7 разработал новый метод, с помощью которого получил следующую нижнюю оценку числа точек перемены знака S(t) на промежутке

^ 7Selberg A. Contributions to the theory of the Riemann zeta-function//Arch. Math. Naturvid., 48:5 (1946),

(Т, Т + Я]:

М{Т + Я) - М{Т) > H{\nT)*e-CíV^. (3)

Длина Я рассматриваемого промежутка имела вид Т°'5+е, где О < е < 0,5 — произвольное фиксированное число. Дальнейшее уточнение этого результата происходило по двум направлениям. Первое связано с нахождением нижних оценок разности М(Т + Я) - М{Т) при Я = Та, 0 < а < 1/2, a второе -с заменой правой части неравенства Сельберга функцией, растущей быстрее, чем .

В 1981 г. А. Гош8 доказал, что при Я = Та+е

М(Т + Я) - М(Т) > Я(Ь,Г) exp ,) , (4)

где 0 < 5 < 1/2. При этом величину а можно брать равной нулю, если гипотеза Римана верна, и равной 0,5 в противном случае.

Наконец, в 1996 г. А. А. Карацуба9 доказал неравенство А. Сельберга (3) при Я = Т27/82+£. Далее, в 2002 г. М. А. Королев10'11 доказал результат А. Гоша (4) при Я = Т27/82+е. Отметим, что вопрос об истинном порядке роста М(Т) при Т —)• +оо в настоящее время остается открытым.

В 1998 г. Р. Вон и Т. Були12 при исследовании распределения значений некоторых тригонометрических сумм получили асимптотические формулы для дробных моментов этих сумм. Изучая распределение нулей дзета-функции Римана, в 2008 г. М. А. Королев13,14 получил асимптотические формулы для дробных мо-

8 Ghosh A. On Riemann's Zetarfunction — Sign Changes of S(T)// Recent Progress in Analytic Number Theory, 1,1981 Academic Press, New York.

9Карацуба А. А. О функции S(t)// Изв. РАН. Сер. матем., 60:5 (1996), 27-56.

10Королев М. А. Об аргументе дзетагфункции Римана на критической прямой//Тр. Мат. Ин. В.А.Стеклова. 2002. 239. 215-238.

11 Карацуба А. А., Королев М. Л. Поведение аргумента дзета-функции Римана на критической прямой // Успехи математических наук, т. 61, №3(369), с. 3-92 (2006).

12 Vaughaп Л. С., Waoley Т. D. On the distribution of generating functions// Bull. London Math. Soc., 1998. 30. 113-122.

13Королев M. А. Гипотеза Сельберга о распределении значений мнимых частей нулей дзета-функции Римана// ДАН, 2008, 421, №3, 308-311.

ыКоролев М. А. Закон Грама и гипотеза Сельберга о распределении нулей дзета-функции Римана//Изв. РАН. Сер. матем., 74:4 (2010), 83-118.

ментов некоторых характеристик этих нулей.

В 2010 г. в работе15 была доказана теорема о дробных моментах случайных величин, из которой следует лучший результат о числе перемен знака S(t) и другие более сильные результаты о дробных моментах арифметических сумм. В этой работе15 предлагается метод, позволяющий получать асимптотические формулы для дробных моментов случайных величин с лучшими остатками и для более широкого множества значений параметра по сравнению с результатами работ предыдущих авторов. В том же 2010 г. в работах16,17'18 предложен метод, позволяющий получить оценки скорости сходимости к предельному распределению для неотрицательных случайных величин и использующий только асимптотические формулы для четных моментов.

Данные подходы развивают метод моментов, созданный в 1895 году А. А. Марковым19,20. Проблема моментов восходит к работам П. Л. Чебышева21 и Т. Стильтьеса22. Развивая исследования П. Л. Чебышева и А. А. Маркова, А. М. Ляпунов23 создал новый мощный метод в теории вероятностей-метод характеристических функций. Дальнейшие продвижения в этом направлении были сделаны А. Н. Колмогоровым24, Ю. В. Прохоровым25, Г. Гамбур-

1ьБояршов Р. Я. О дробных моментах случайных величин// ДАН.2011. Т.436. №3. С. 299-301.

1еБояринов Р. Я. О скорости сходимости распределений случайных величин// ДАН.2010. Т.435. №3. С. 295-297.

"Бояринов Р. Я. О скорости сходимости к предельному распределению// Вестник МГУ. Сер 1 мат мех., 2011, №2, 20-27.

1'Бояринов Р. Я. Аргумент деета-функции рИМана// Чебышевский сборник, 2010, т. 11, вып. 1, 54-67.

Марков* А. А. О предельныхъ величинахъ интеграловъ//Извеотя Императорской Академш Наукъ, 2:3 (1895), 195-203.

20Марков А. А. Исчисление вероятностей// Москва, ГЪс. из-во, 1924.

21 Chebysev P. Sur les valeurs limites des integrales//Journal de Mathématiques pures et appliquées,19( 1874) 157-160.

"Stieltjes T. Recherches sur les fractions continues//Ann. Fac. Sei. Univ. Toulouse (1894-95), 8, J1-J122; 9, A5-A47. ' '

23Liapounoff A. Sur une proposition de la théorie des probabilités//H3BecTÎH Императорской Академш Наукъ, 13:4 (1900), 359-386.

nKolmogoroff A. Über die Grenzwertsätze der Wahrschemlichkeitsrechnvmg//H3B. АН СССР VII серия Отд. матем. и естест. наук, 1933, №3, 363-372.

25Прохоров Ю. В. Некоторые уточнения теоремы Ляпунова//Изв. АН СССР. Сер. матем., 16:3 (1952), 281-292. '

гером26, Р. Неванлинной27, M. Риссом28, Е. Хелингером29, Т. Кар-леманом30, М. Г. Крейном31, Н. И. Ахиезером32 и другими исследователями.

В 1983 г. Дж. Мюллер33 предложила новый подход к исследованию величины М(Т). Пусть Т > 0 — достаточно большое число. При каком значении А промежуток (Т—А, Т+А] будет содержать точку перемены знака функции S(t)7 Опираясь на гипотезу Римана, Дж. Мюллер доказала, что величину А можно положить равной с In In In Т, где с > 0 — абсолютная постоянная.

Используя идею Дж. Мюллер, М. А. Королев34 в 2005 г. получил безусловный результат для почти всех Т, но с меньшим, чем у Мюллер, значением А. В 2009 г. в работе35 был получен более сильный результат, чем у М.А.Королева.

В работе36 впервые получены результаты о распределении больших значений аргумента дзета-функции Римана на критической прямой. Распределение малых значений функции Sit) было изучено А.Гошем37. Дальнейшие продвижения в теории аргумента дзета-функции Римана сделаны в работах38,39. Обзор последних результатов автора в теории дзета-функции Римана дан в рабо-

26Hamburger Я. Über eine Erweiterung des Stieltjesschen Momentenproblems I-HI//Math. Ann. 81(1920) 235-319; 82(1921) 120-164; 82(1921) 168-187.

27 Nevanlinna R. Asymptotische Entwickelungen beschränkter Punktionen und das Stieltjessche Momentenproblem//Ann. Acad. Sei. Fennicae A18 (1922) N5, 1-53.

nRiesz M. Sur le problème des moments. Première Note (Arkiv for Mathematik, Astronomi och lysik 16, 1921, article 12.)

Helltnger E. Zur Stieltjesschen Kettenbruchtheorie//Math. Ann. 86, 1922,18-29.

30 Carleman T. Sur le problème des moments//C. R. Acad. Sei. Paris 174 (1922), 1680-1682.

31КрейH U. Г., Рехтман П. Г. До проблемы Nevanlinna-Pick//Tpy,4bi Одесск. гос. ун-та, 1938, т. 2, с. 63-68.

32Ахиезер Я. И., Крейн М. Г. О некоторых вопросах теории моментов//Харьков: ГНТИУ, 1938.

33MueUer J. H. On the Riemann zeta-funetion f(s) - gaps between sign changes of S{t) // Mathematika. 1983. 29, №58, 264-269.

34Королев M. A. Изменение знака функции S(í) на коротких промежутках//Изв. РАН. Сер. матем., 69:4 (2005), с. 75-88 .

35Бояринов Р. Н. Изменение знака функции S(t) на коротких интервалах// Вестник МГУ. Сер.1, мат. мех., 2010. Л*3, 51-53.

зеБояринов Р. Н. О распределении больших значений аргумента дзета-функции Римана// Вестник МГУ. Сер.1, мат. мех., 2010, №6, 55-58.

37Ghosh A. On the Riemann zeta-function-mean value theorems and the disribution of |S(T)|// J. Number Theory, 17:1 (1983), 93-102.

3>Бояринов P. Я. О распределении значений дзета-функции Римана//ДАН.2011. Т.438. №1. С. 14-16.

33Бояринов Р. Я. Омега-теоремы в теории дзета-функции Римана//ДАН.2011. Т.438. №2. С. 160-161.

те40.

Следующей важной задачей теории дзета-функции Римана является проблема кратных нулей дзета-функции Римана £(s). Определение 4. Обозначая через к(р) кратность нуля р, для целого j > 1 величину Nj(T) положим равной числу различных нулей р дзета-функции с условием к(р) = j, ордината которых положительна и не превосходит Т.

Известно, что если точка Т = 7 является ординатой нулей Pi, ■ ■ ■, Prn, то при переходе через эту точку функция7V(T) совершают скачок на величину, равную сумме кратностей этих нулей: N{7 + 0) - N(7 - 0) = k(Pl) + • ■. + к(рт).

В 1973 г. X. Монтгомери41 с помощью гипотезы Римана доказал

Ш>2-

Т-++00 N(T) ~ 3 А. Фуджи42 в 1975 г. доказал неравенство

Nj(T) < N(T)exp(-c^j),

в котором с — положительная абсолютная постоянная, j — достаточно большое целое число, Т > Т0(i) > 0.

В 1981 г. А. Фуджи43 улучшил свой результат, доказав неравенство

+00

£ад<ЛЧТ)ехр(-с.7),

i=j

в котором с — положительная абсолютная постоянная, j — достаточно большое целое число, Т > T0{j) > 0.

405олрикоа Р. Я. Вероятностные методы в теории аргумента дзета-функции Римана//Теория вероятностей и ее применения, 2011. Т.56. №2, с. 209-223.

1811-m"fS'"nery Я 1' ТЬе PaÍr C0rrelati0n 0f Zeros of the zeta &псйоп. Analytic number theory, 24 (1973),

• 0n the distribution of the zeros of the Riemann zeta function in short

mtervals//Bull.Amer.Math.Soc., 81:1 (1975), 139-142. "Fujii A. On the zeros of dirichlet L-functions. II//Trans.Amer.Math.Soc., 267:1 (1981), 33-40.

В 1993 г. А. Чир и Д. Голдстон44 улучшили результат X. Монтгомери, доказав неравенство

lim тШт> 0,672753. т-н-оо N(T)

В 1998 г. Дж. Конрей, А. Гош и С. Гонек45 с помощью обобщенной гипотезы Линделефа доказали неравенство

Hm MÜy1! т™оо N(T) - 27'

В 2006 г. М. А. Королев46 доказал несколько утверждений, уточняющих неравенство Фуджи. В 2011 г. в работе47 впервые получены качественно новые оценки количества кратных нулей. Из этих оценок следует, что плотность нулей дзета-функции Римана, кратность которых больше некоторой постоянной jo, не превосходит 10"12. Тем самым доказано, что нули дзета-функции Римана в подавляющем большинстве случаев имеют кратность, не превосходящую определенной величины.

Другой важной задачей в теории дзета-функции Римана является изучение распределения расстояния между ординатами последовательных нулей дзета-функции Римана Ç(s), лежащими в критической полосе 0 < Res < 1. Количество N(T) таких нулей с условием 0 < Im s < Т выражается следующей формулой Рима-на-Мангольдта

N(T) = L(T) + S(T) + -Ô(T),

7Г

где ЦТ) = + S(T) - аргумент дзета-функции

Римана, a Ô(T) - гладкая функция, производная которой имеет

uCheer А. У., Goldston D. A. Simple zeros of the Riemann zeta-function Proc. Amer. Math. Soc., 118:2 (1993), 365-372.

isConrey J. В., Ghosh A., Gortek S. M. Simple zeros of the Riemann zeta-function Proc. London Math. Soc., 76:3 (1998), 165-372.

i6KopoAee M. A. О кратных нулях дзета-функции Римана// Изв. РАН. Сер. матем., 2006, 70:3, 3-22

"Вояринов Р. Н. О нулях дзета-функции Римана большой кратности// Матем. заметки, 2011. Т. 89. №5, 652-657.

оценку вида: |<Г(Т)| < Г-2.

Перенумеруем мнимые части нулей в критической полосе в порядке возрастания, а в случае совпадения нескольких ординат - в произвольном порядке: 0 < 7! < 72 < • • • < 7П < < • ■ • .

Существует несколько утверждений, указывающих на то, что случаи, когда расстояние между последовательными ординатами велико, встречается достаточно редко.

Далее, если Л > Л0 > 0, а целое число г удовлетворяет условию 1 < г < Л_1Т1п Г, то для числа иг пар 7„, 7П+Г, удовлетворяющих условиям

1п+г - 7п > 27ГЛ

г - 1п(Т/(2тг))' < 7п' 7п+г - 2Г' в 1975 г. А. Фуджи48 получил следующую оценку:

Ут < с1Я(Г)ехр(-с(Лг)2/3(1п(Лг))-1/3),

где с, С1 - положительные постоянные. Далее, в 2002 г. А. Ивич49 доказал, что количество ординат 7П с условиями

Т<1п<Т + Н, Н = Т1^, 7п+1 - ъ > Л(1пГ)"1

не превосходит С!(АГ(Т + Я) - #(Т)) ехр(-сЛ).

Одним из следствий теоремы А. Фуджи об оценке иг явилась верхняя оценка суммы

= £ (Тп+1-7«)*

0.5Г<7„<Г

вида:

МТ) ~ с{к) = №/2Чк + 3))*,

48iW" il. On the difference between r consecutive ordinates of the zeros of the Riemann zeta function// Proc. Japan Acad., 51:10 (1975), 741-743.

«'/wd On small values of the Riemann zeta-function on the critical lino and gaps between zeros// Liet Mat. Rmk., 42:1 (2002), 25-36.

где к — целое число, 1 < к < с2(Т1пТ)2/3, а сі,с2 — некоторые абсолютные положительные постоянные.

В 1990 г. А. Фуджи50 улучшил свой результат при к - 2, получив более точную оценку:

]Г) Ы+1-7п)2<8.55—Т>То>0.

0.5Т<7„<Г 1П 2ТГ

Дальнейшие продвижения сделаны в работах51' 52. Из результатов работы52 следует, что плотность соседних нулей дзета-функции Римана, расстояние между ординатами которых больше 1п(г/(2тг))' где ~ некоторая постоянная, не превосходит Ю-12. Тем самым доказано, что расстояние между ординатами соседних нулей дзета-функции Римана в подавляющем большинстве

27ГЛ(1

случаев не превосходит величины цГд2;г))-

Другой важной задачей в теории дзета-функции Римана является проблема роста S(t). Известно, что функция S(t) при t +00 меняет знак бесконечно много раз, но в то же время может принимать сколь угодно большие по абсолютной величине как положительные, так и отрицательные значения. В 1946 г. А. Сельберг53 доказал неравенства

sup (±S(t)) > A (5)

T<t<2T (Ininí)''0

в которых A — положительная абсолютная постоянная. Один из возможных путей уточнения этих оценок состоит в замене правых частей неравенств (5) большими величинами.

10Pujii A. On the gaps between consecutive zeros of the Riemann zeta function// Proc. Japan Acad. Ser. A Math.Sci., 66:4 (1990), 97-100.

61 Королев M. A. О больших расстояниях между соседними нулями дзета-функции Римана // Изв. РАН. Сер. матем. 2008. 72. №2. 91 - 104.

62Бохринов Р. Я. О больших расстояниях между последовательными нулями дзета-функции Рима-на//Дискр. матем., 2010. Т. 22, №3, 75-82.

53Selberg A. Contributions to the theory of the Riemann zeta-function//Arch. Math. Naturvid., 48:5 (1946), 89-155.

Так, в 1977 г. X. Монтгомери54, пользуясь гипотезой Римана, установил существование на любом промежутке (Г1/6, Т) точек ¿о и ¿1, для которых

В 1986 г. К. М. Тсанг55, развивая метод работы53, усилил результаты А. Сельберга и X. Монтгомери и получил неравенства

в которых А > 0 — абсолютная постоянная, а величина а берется равной 1/2, если гипотеза Римана верна, и равной 1/3 в противном случае.

Иной путь уточнения неравенств (5) — (7) состоит в замене промежутка (Т,2Т), на котором изучаются верхняя и нижняя грани 5 (г), на более короткий промежуток (Т, Т+Н), 0 < Н <Т. В 2005 г. М.А.Королев56

доказал неравенства

sup (±S(t))> 1 1 ЬЯ

T-H<t<T+2H 907Г V In In Я

при

(In Г) (In In Г)-3/2 <H <T.

В работе57 впервые доказано подобное утверждение со существенно меньшим, чем у Королева, значением Я. Тем самым получены омега-результаты для аргумента дзета-функции Римана на

"Montgomery Я. L. Extreme values of the Riemann zeta-function // Comment. Math. Helv 1977 V 52 №4. p. 511-518. ' " '

" Tsar.j К. M. Some fl-theorems for the Riemann zeta-function// Acta Arith. 1986. V. 46. №4. p. 369-395. Королев M.A.O больших значениях функции S(t) на коротких промежутках// Изв. РАН. Сер. матем., 69:1 (2005), 115-124.

"Болринов Р. Н. О больших значениях функции S(t) на коротких интервалах// Матем. заметки. 2011 Т.89. №4, с. 495-502.

очень коротких интервалах. Дальнейшие продвижения в этом направлении сделаны в работе58.

Следующие результаты связаны с так называемым законом Грама. При t > 0 определим функцию tf(t) как приращение непрерывной ветви аргумента функции 7г~^2Г (|) при изменении s вдоль отрезка, соединяющего точки s = 0,5hs = 0,5 + îî. Выбрав ветвь аргумента, значение которой в точке s = 0,5 равно нулю, получаем

где

A(<) = H1+èH-tg(i)-

+00

t f p(u)du

-2 J («+14)^/4' =

о

Пусть п > 0 - целое число. Назовем точкой Грама дп единственный корень уравнения

%п) = 7Г • (п ~ 1),

а п-ым промежутком Грама Gn - промежуток (gn-i,gn\-Справедливы асимптотические формулы при п +оо

27т.., ... 27Г , , ..

В 1903 г. Дж.Грам59 установил, что первые 15 промежутков Gn содержат только по одному нулю функции ("(0,5 + it). Иными словами, первые пятнадцать нулей функции £(0,5 + it) отделены

'мБолринов Р. Н. Омега-теоремы в теории дзета-функции Римана// ДАН.2011.Т. 438. №2. С. 160-161.

59Gram J.-P. Note sur les zéros de la fonction ((s) de Riemann// Acta Math. 27:1 (1903), 289-304.

друг от друга точками Грама. Грам предположил, что обнаруженная закономерность не является общей.

В 1925 г. Дж.Хатчинсон60 нашел два исключения: промежуток Gm не содержал ни одного нуля функции £(0,5 + it), а промежуток G135 содержал даже два нуля.

Тем не менее, в большинстве рассмотренных случаев каждый промежуток Грама содержал ровно один нуль функции £(0,5+it). Свойство нулей функции С(0,5 + it) быть отделенными точками Грама было названо правилом Грама (законом Грама).

В 1934 г. Е. Титчмарш61 получил оценку снизу для количества промежутков Грама, лежащих на (0, Т) и содержащих не менее одного нуля функции С(0,5 + it). Тем самым Е. Титчмарш доказал, что бесконечно много промежутков Грама содержат по крайней мере один нуль функции С(0,5 4- it).

В 1946 г. А. Сельберг62 доказал существование положительных постоянных К я No таких, что для любого N > N0 среди первых N промежутков Грама найдется не менее KN промежутков (?„, содержащих не менее одного нуля функции С(0,5 + it) и не менее KN промежутков Gn, не содержащих ни одного нуля функции С(0,5 + й).

В 1977 г. Я. Мозер63 получил оценку снизу для количества промежутков Грама, лежащих на (Т, Т + Я] и содержащих хотя бы один нуль С(0,5+it), Я = Т°'5ї/>(Т) In Г, где <ф{Т) - возрастающая к бесконечности функция, уточнив результат Е. Титчмарша.

В 2008 г. Т. Траджин64 доказал, что число интервалов Грама, лежащих на промежутке (Т, Т + Н] и содержащих к ординат последовательных нулей дзета-функции Римана не превосходит ci#lnTexp(-c2Ä;). Диссертантом получена оценка сверху для

®°ffttfcftmson J. I. On the roots of the Riemann zeta function//Trans. Amer. Math. Soc. 27:1 (1925), 49-60.

Titchmarsh E. С. On van der Corput's method and the zeta-function (IV)// Quart. J. Math. 5'(1934), 98-105.

"Seifterg A. The zeta function and the Riemann hypothesis//Dixième Congrès Math. Skandinaves 1946, vol 10, Jul. Gjellerups Forlag, Copenhagen 1947, pp. 187-200.

"Мозер Я. О законе Грама в теории дзетагфункции Римана// Acta Arith. 32 (1977), p. 107-113.

Trudgian T.S. Gram's Law fails a positive proportion of the time// arXiv:0811.0883

числа интервалов Грама с номерами, изменяющимися в очень узких границах, и содержащих не менее к ординат последовательных нулей дзета-функции Римана. Из данного результата следует, что среди интервалов Грама более 99% таких интервалов, что каждый из них содержит не более 1014 нулей £(s).

Следующие результаты посвящены изучению распределения абсолютных значений специальных арифметических сумм. В 1952 году Г. Давенпорт и П. Эрдеш65 доказали, что значения "коротких" сумм символов Лежандра распределены по нормальному закону. Эти исследования были продолжены Ю. В. Линником66 и Й. П. Кубилюсом67-68 .

Первые результаты о распределении значений сумм арифметических функций с остаточным членом были получены А.Г.Постниковым и М. П. Минеевым. В I960 г. А. Г. Постников69 вывел закон распределения значений очень коротких рациональных тригонометрических сумм с показательной функцией в экспоненте. М. П. Минеев70,71,72 и др. доказали новые метрические теоремы о тригонометрических суммах с быстрорастущими функциями. Отметим, что аналогичные исследования, связанные с поведением частичных сумм лакунарных тригонометрических рядов были проведены Р. Форте73, М. Кацем74, А. Зигмундом75,

^Davenport Я, Erdös P. The distribution of quadratic and higher residues.// Publ. Math., Debrecen. 1952 2, №3 - 4. 252 - 265.

esКубилюс Й. П., JIuhhuk Ю. В. Арифметическое моделирование броуновского движения.// Изв. вузов. Математика. 1959. 6(13). 88 - 95.

67Кубилюс Й. Я. Вероятностные методы в теории чисел.// Госполитнаучиздат Литов. ССР, Вильнюс. 1962.

68Кубилюс Й. П. Об асимптотических законах распределения аддитивных арифметических функций.// Литов. матем. сб. 5, №2. 1965. 261 - 272.

69Постников А. Г. Об очень короткой показательной рациональной тригонометрической сумме// ДАН СССР, I960. 133. »6.

70 Минеев и. П. Диофантово уравнение с показательной функцией и его приложение к изучению эрго-дической суммы// Изв. АН СССР, серия матем. 1958. 26. №5. 282 - 298.

71 Минеев М. П. Метрическая теорема о тригонометрических суммах с быстрорастущими функциями// Успехи матем. наук 1959. 14. в. 3,169 - 171.

72Минеев М. П. О проблеме Тарри для быстро растущих функций//Матем. сб., 46(88):4 (1958), 451Ц454.

nFortet R. Sur une suite également repartie.// Studia math., 1940. 1. 54 - 69.

uKac M. On distribution of values of sums of the type £/(2*t)// Ann.Math. 1946. 47. №1. 33 - 49.

1ъ3игмунд А. Тригонометрические ряды// т. II, M., ИЛ, 1964.

И. А. Ибрагимовым76, В. Ф. Гапошкиным77-78 и др.

В конце 90-х годов В. Н. Чубариков79'80'81 поставил задачи о распределении значений классических тригонометрических сумм таких, как короткие суммы Гаусса, аналогов сумм Клостерма-на, сумм характеров Дирихле по простым, сумм коротких рациональных тригонометрических сумм с показательной функцией в экспоненте по "сдвигам" интервалов суммирования.

В решении этих задач приняли участие Р. Н. Бояринов82,83-84, Э. К. Жимбо85, И. С. Нгонго86'87 и др.

Отметим, что в основе исследований распределения значений сумм арифметических функций лежат методы теории вероятностей: метод моментов, метод характеристических функций и теория интегралов и рядов Фурье. Важной задачей при исследовании поведения арифметических функций является проблема оценки скорости сходимости к предельному распределению. Для многих арифметических функций либо не удавалось получить оценку скорости сходимости к предельному распределению классическими методами теории вероятностей, либо эта оценка была

78 Ибрагимов И. А Центральная предельная теорема для сумм функций независимых случайных величин и сумм вида Е /(2 ')//Теория вероятностей и ее применения, 1967. 12, вып. 4, 655 - 665.

Гапошкин В. Ф О скорости приближения к нормальному закону распределений взвешенных сумм лакунарных рядов// Теория вероятностей и ее применения, 1968. 13, вып. 3, 445 - 461.

Гопошкик В. ф. о центральной предельной теореме для некоторых слабо зависимых последовательностей// Теория вероятностей и ее применения, 1970.15, вып. 5, 666 - 684.

Бояринов Р. Я, Чубариков В. Н. О распределении значений функций на последовательности Фибо-наччи.//ДАН, 2001. 379. №1. 9 - 11.

80Жимбо Э. К., Чубариков В. Я. О распределении арифметических функций по простому модулю.// Дискр. математика.2001. №2. 47-58. "

81ЛСимбо ЭК Чубариков В, Я. Об асимптотических распределениях значений арифметических функций.// Докл. РАН. 2001. 377. №2. w

Бояринов РН. О распределении значений сумм, связанных с быстрорастущими последовательностя-ми//Вестник МГУ. Сер.1, мат. мех., 2003. №2, 57-58.

nnnf^^S Н' 0 р^предалении значений аналога даетовой суммы//Вестник МГУ. Сер.1, мат. мех., Д)04. Л*3, 55-56.

" Бояринов Р. Н. о скорости сходимости к предельному показательному распределению//Чебышевский сборник , т. 6, вып. 1, 2005, с.50-57.

85Жимбо 9. К. О распределении значений модулей неполных сумм Гаусса.// Вестник Моск. ун-та Сев 1, Математика. Механика. 2001. №2. 66-67.

eeBoymnov R.N., Chuiarikov V.N., Ngongo I.S. Asymptotic formulas for fractional moments of special sums// Чебышевский сборник , т. 9, вып. 4, 2003, 173-183.

"Бояринов Р.Н., Нгонго И.С. О распределении значений коротких сумм характеров Дирихле по простым числам// Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения: Тезисы докл. VI Межд Конф. - Саратов. - 2004 г. 26-27

неудовлетворительной. Диссертантом88,89'90 предложено решение данной проблемы для неотрицательных случайных величин.

В 1956 г. А. Г. Постников91 доказал теорему о распределении значений показательной тригонометрической суммы. Диссертантом получены новые оценки меры больших значений тригонометрических сумм, уточняющие результаты работ77,78'91.

Рассмотрим сумму вида 5п(х) = х(р)> где р — простое,

р<Л(п)

Цп) — целое и х — характер Дирихле по модулю п.

Пусть 0 < ш < 1, л. — натуральное число и их — последовательность натуральных чисел такая, что ^^ > /3 > 1. Пусть, далее, Б(ш-,п) = е2пши*, где суммирование ведется по нату-

х<п р

ральным числам х чины £„(х) = Ш

ассмотрим нормированные случайные вели-

где В = 1, и т]п(и) =

р<к{п)

5(а>',п)

у/п

■ Дис-

сертантом получены оценки скорости сходимости к предельному распределению для случайных величин £п(х) и

Цель работы. Развить метод моментов, созданный академиком А. А. Марковым. Получить оценку скорости сходимости к предельному распределению для неотрицательных случайных величин и доказать асимптотические формулы для дробных моментов неотрицательных случайных величин, используя только асимптотические формулы для четных моментов. Изучить распределение значений аргумента дзета-функции Римана на коротких интервалах. Получить оценку снизу числа перемен знака аргумента дзета-функции Римана. Доказать новые омега-теоремы в теории аргумента дзета-функции Римана. Получить оценку снизу длины интервала, на котором аргумент дзета-функции

ваБояринов Р. Я. О скорости сходимости распределений случайных величин// ДАН.2010. Т.435. №3. С. 295-297.

еаБояринов Р. Я. О скорости сходимости к предельному распределению// Вестник МГУ. Сер.1, мат. мех., 2011, №2, 20-27.

еоБояринов Р. Я. Аргумент дзета-функции Римана// Чебышевский сборник, 2010, т. 11, вып. 1, 54-67.

91 Постников А. Г. Оценка показательной тригонометрической суммы// Изв. РАН. Сер. матем., 1956. 70. 661-666.

Римана меняет свой знак. Получить оценку сверху плотности кратных нулей дзета-функции Римана, лежащих в прямоугольнике критической полосы. Изучить распределение ординат последовательных нулей дзета-функции Римана, лежащих в прямоугольнике критической полосы. Получить оценку сверху числа промежутков Грама, содержащих ординаты последовательных нулей дзета-функции Римана. Изучить распределение больших значений специальных тригонометрических сумм. Доказать предельные теоремы для специальных арифметических'сумм.

Методы исследования. В основе доказательства этих утверждений лежат усовершенствованный метод моментов А. А. Маркова, неравенства А. А. Маркова, метод А. Сельберга, плотност-ные теоремы, метод тригонометрических сумм, теория рядов и интегралов Фурье.

Научная новизна.

Основные результаты диссертации:

1. Получена оценка скорости сходимости к предельному распределению для неотрицательных случайных величин в терминах моментов и доказаны асимптотические формулы для дробных моментов неотрицательных случайных величин.

2. Изучено распределение больших значений аргумента дзета-функции Римана на коротких интервалах. Доказаны асимптотические формулы для распределений значений аргумента дзета-функции Римана на коротких интервалах с лучшими остаточными членами. Получена лучшая оценка снизу числа перемен знака аргумента дзета-функции Римана на коротких интервалах. Доказаны омега-теоремы для аргумента дзета-функции Римана на очень коротких интервалах. Получена лучшая оценка снизу длины интервала, на котором аргумент дзета-функции Римана меняет свой знак.

3. Получена нетривиальная оценка сверху плотности кратных нулей дзета-функции Римана, лежащих в прямоугольнике критической полосы. Доказаны качественно новые теоремы о распределении ординат последовательных нулей дзета-функции Римана, лежащих в прямоугольнике критической полосы. Получена оценка сверху числа промежутков Грама с номерами, изменяющимися в очень узких границах, и содержащих ординаты последовательных нулей дзета-функции Римана .

4. Изучено распределение больших значений специальных тригонометрических сумм. Доказаны предельные теоремы для специальных арифметических сумм.

Указанные здесь основные результаты являются новыми, полностью обоснованы математическими доказательствами и получены автором самостоятельно. Точные формулировки основных результатов приведены ниже.

Теоретическая и практическая ценность. Диссертация имеет теоретический характер. Ее результаты и методы могут быть использованы при решении различных задач теории чисел.

Апробация работы и публикации. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на:

-семинарах «Аналитическая теория чисел» и «Избранные задачи математического анализа и теории чисел» под руководством проф. Г. И. Архипова, проф. В. Н. Чубарикова и проф. М.П.Ми-неева (неоднократно в 2002-2011 г.г., МГУ);

-семинаре «Арифметические функции» под руководством проф. В. Н. Чубарикова, доц. Р. Н. Бояринова и доц. С.Н. Преображенского (неоднократно в 2007-2010 г.г., МГУ);

-семинаре «Научно-исследовательский семинар по теории чисел» под руководством чл.-корр. РАН Ю. В. Нестеренко, проф. Н. Г. Мощевитина (октябрь, 2010 г., МГУ);

19

-семинаре отдела дискретной математики МИАН под руководством чл.-корр. РАН БА.Севастьянова, проф. А.М.Зубкова, проф. В.П. Чистякова и проф. В.А. Ватутина (апрель, 2011 г., МИАН);

-VII международной конференции "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения", посвященной памяти профессора Анатолия Алексеевича Карацубы (май, 2010 г., Тула);

-научно-исследовательском семинаре «Современые проблемы математики и механики» под руководством академика РАН В. А. Садовничего, академика РАН А.Т. Фоменко, академика РАН Г. Г. Черного и проф. В.Н.Чубарикова (ноябрь 2011 г., МГУ);

-международной конференции "Комплексный анализ и его приложения в дифференциальных уравнениях и теории чисел" (октябрь, 2011 г., Белгород)

-всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (неоднократно в 2002-2008 г.г., Сочи).

Результаты опубликованы в 17 научных работах, среди них 14 статей из перечня ВАК. Список работ приведен в конце автореферата.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав и списка литературы. Список литературы содержит 175 наименований. Общий объем диссертации — 277 страниц.

Обзор содержания диссертации

Во введении приведен обзор основных результатов, связанных с темой диссертации и дается краткое изложение полученных в диссертации результатов. Первая и вторая главы диссертации посвящены развитию метода моментов, созданного академиком А. А. Марковым. В первой главе получена оценка скорости сходимости к предельному распределению для неотрицательных случайных величин. Первый параграф данной главы посвящен до-

казательству утверждений, связанных со специальной характеристической функцией интервала. Во втором параграфе получена оценка скорости сходимости к предельному показательному распределению для неотрицательных случайных величин. В третьем параграфе получена оценка скорости сходимости к предельному нормальному распределению, а в четвертом — получена оценка скорости сходимости к предельному распределению в общем случае. Рассмотрим полное вероятностное пространство Е,Р). Пусть £„ : П М - случайная величина, а Рп(х) = Р(ш : < я) — функция распределения, где п — некоторый

вещественный параметр, а х > 0. Обозначим

— о-ый момент случайной величины ¡£„|. Пусть далее, [х] — целая часть х. Доказаны следующие теоремы.

Теорема 1. Пусть существует абсолютная постоянная щ> 1 такая, что для любого п > щ существует натуральное число N = ЛГ(п) > 3 такое, что для любых целых чисел 1 < и < N справедливо следующее равенство:

где /(•) — веществениозначная функция и lim f(x) = +оо, а

021/ — некоторая последовательность положительных чисел. Тогда найдется вещественное число щ > щ такое, что для любого п> щ и любого а > 0 справедливо равенство:

+00

О

где |ДП| < 6

Fn(a) = F(a) + Rn, (134(1п ./У + 1) 1 3N

VN + 2» + f(n)

1 — е а , если a-iu = v\;

Je T dt, если =

О

Следствие 1. Если N = [х1п/(гг)] + 1, где О < я < -некоторая постоянная, то

Замечание 1. Подобного рода утверждение верно и в более общем случае-когда относительно предельного распределения Р(х) предполагается, что ^(ж) — непрерывная функция, удовлетворяющая условию Липшица (существует такая абсолютная постоянная Ь > 0, что для любых х, у е М выполняется неравенство: - ^(г/)| < Ь\х - у\).

Теорема 2. Пусть существует абсолютная постоянная щ > 1 такая, что для любого п > щ существует натуральное число N = Щп) > 3 такое, что для любых целых чисел 1 ^ V ^ N справедливо следующее равенство:

где /(•) вещественнозначная функция и lim f(x) = +оо.

Пусть для а2и справедливы неравенства: 0 < ст2г, < ,

где С > 1, 0 < 6 < 2 - некоторые постоянные. Тогда найдется вещественное число щ > щ такое, что для любого п > щ и любого а > О справедливо равенство:

К|<

1620 In In/(п)

y/x\af{n)

И < i,

Fn{a) = F{a) + R,

■Tll

\Rn\<M

224C(ln N + 1) 1 N2BN

N2 + f(n)

3" f(n)

где

М = max(2В2,6L), В = [4(7] + 1.

Следствие 2. Если N = ^М + 1, где 0 < х < ^

— неко-

торая постоянная, то

|Дп|<

450MC(lnln/(ra))2

Во второй главе диссертации доказаны асимптотические формулы для дробных моментов неотрицательных случайных величин. В первом параграфе получены асимптотические формулы для случая показательного распределения, а во втором — для случая нормального распределения. В нижеследующей теореме будут рассмотрены два случая: случай предельного нормального распределения и случай предельного показательного распределения. В первом случае параметр 6 = 0, а во втором—6 = 1. Теорема 3. Пусть существует абсолютная постоянная п0 > 1 такая, что для любого п > щ и любых целых чисел 1 < и < [р1п/(п)] + 1, где 0 < д < 0.1 — некоторая постоянная, а /(•) — вещественнозначная функция такая, что Нт /(ж) = +оо,

где сг2„ — некоторая последовательность положительных чисел, определяемая ниже. Тогда найдется число щ > щ такое, что для любого п> щи любого 0 < а < 0.5gln/(n) справедливо равенство:

та(п) = /¿(а) + 9Rn,

где /х(а) — некоторая функция параметра а, определяемая ниже, \в\ < 1 и

справедливо следующее равенство:

/

Ri, 0 < а < 30;

Дз, р&^ВД < а < 0.5ßln/(n);

Rv=

/222lnln/(n)\^

V ffln/(n) У

Л2 = 27fi(a)

212+25а21п f д/^М

g+i+г

Л

V

R3 = 2 2+V( а) exp

0ln/(n)

j

Qy/hlJ(nj

220+26

ß{a) =

2°-5T (0.5a + 0.5) тГаб, если а2г, =

i/!

и

и 5 = 0; 5 = 1,

Г (0.5а + 1), если <72г,

где Г(-) — гамма-функция Эйлера.

Замечание 2. Подобного рода утверждение верно и в более общем случае. Относительно предельного распределения F(x) будем предполагать, что в некоторой окрестности нуля верно неравенство |F(x)| < Ах13, для некоторых А > 0 и ß > 0. Для oiv будем предполагать выполнения неравенств 0 < <r2t, < ('Си^, где С > 1, 0 < 5 < 2 — некоторые постоянные.

Третья глава диссертации посвящена изучению свойств аргумента дзета-функции Римана. Первый параграф данной главы посвящен формулировке вспомогательных утверждений о свойствах Sit). Во втором параграфе вычислены дробные моменты функций ¡¿»(i)! и \Si(t + h) - Si(t)| на коротких интервалах. В

третьем параграфе получена оценка снизу числа перемен знака аргумента дзета-функции Римана на коротких интервалах. В четвертом параграфе изучено распределение значений функций |5(í)| и \Si(t + h) - Si(t)\. В пятом параграфе доказаны новые омега-теоремы в теории аргумента дзета-функции Римана. В шестом параграфе получена оценка снизу длины интервала, на котором аргумент дзета-функции Римана меняет свой знак. Доказаны следующие теоремы.

Теорема 4. Для любого 0 < е < Ю-3 существует число = Ti(e) > 0 такое, что для любого Т >Т\ при Я = Ts2+S и х -Т0Де и любых вещественных 0 < а < ^ffj^f и 3(lnlnT)(lnx)_1 < h < (1пТ)-0>5 выполняются следующие равенства:

т+н

[ = T^^tf Ж + ВД),

т+н

[ + h) - Sx{t)\adt = 4 / v - v Я (v(a) + exRT{a)), £ (írv2)a

В = e%-3, „(а) = \9\ < 1, < 1, а

Ль 0 < а < 30;

RT(a) - <

R2,

D VlnlnlnT < < lnlnlnT .

. 3> 218\nB < a - 16ЫВ I

lnlnlnT .

_2И ^(ІП^іпіпіпіпТЛ8*1 а V ІпІпІпТ ) '

а+1

= -ІІБПЙ5--) '

„ . , , / \Лп1п1пТ\ Лз = 4 • г;(а)ехр ^ ^ЧпВ-у '

Теорема 5. Для любого О < є < 10~3 существует число Т\ =

27

Ті (є) > 0 такое, что для любого Т >Т\ при Н = выполняется следующее неравенство

М(Т + Я) - М(Т) > Я(ЬГ)ехр ,

\ In In In 1 J

где С = 241 In В, В = е40е~3.

Пусть Л, — произвольное число, удовлетворяющее неравенствам 3(lnIn T)(lnж)-1 < h < (InТ)-0'5,

где ж = Т°'1е.

Рассмотрим две измеримые функции

Пусть FT(y) = Р(t : |£(i)| < у) = ¿mes(i : |£(i)| < у) и СЗД = P(t: \rj(t)\ < у) = imes(i : |7?(i)| < у) — функции распределения

\№\ и h(t)|.

Справедлива следующая теорема.

Теорема б. Для любого 0 < є < 10~3 существует, число Ті = Ті (є) > 0 такое, что для любого Т > Тх при Н = Тт+г выполняются следующие равенства:

у

2 Г 2

Ыу) = у М + ЯТ, |Дг| <

213\ЛпВ 1п 1п 1п 1п Т

о

\/1п 1п 1п Т

у

213^іГВ1п1п1п1пТ

2 Г 2

Сг(у) = -= / е-ч &і + Д^, <

\/27Г У

Д/ЇпіпіпТ

о

где В = е40£~3.

Теорема 7. Существует абсолютная положительная постоянная Ті такая, что для любых вещественных чисел Т >Т\и л/ЫпТ < Н < (1пТ)(1п1пТ)~3/2 при справедливости гипотезы Римана будут верны неравенства

Обозначим через Е(Х, Т, Я) множество принадлежащих промежутку (Т, Т + Я] значений ¿, для которых ¡¿"(¿)| > Л.

Справедливы следующие утверждения. Теорема 8. Пусть 0 < є < 0,001, Т > Т0(е) > 0, Я = Т27/82+£. Тогда для любого А > 1п 1п Т имеет место оценка

тев(Е(Х, Т, Я)) < е2Яехр(—хЛ), где х = тт^е"19'5. Теорема 9. При любом Т > Т0 > 0 и Л > ІпІпТ справедлива

шея(£(А, Т, Г)) < е2'1Техр(-ХіЛ), где = 277г10~6е-19'5.

Т—Н<і<Т+2Н

єир (±£(*)) >

1 УЬЯ ~ ЭООЫпЯ'

оценка

Теорема 10. Пусть Т > Т0 > 0, и пусть Е^ з = 0,1, - множество значений I, Т < £ < 2Т, для которых

{~1У8{Ь) > Ш^ЫпТЫЫпТ-

Тогда безусловно верна оценка сверху

шез(^) + те^,) < е2,1Техр .

где щ = 97г10—8е~19,5, а при справедливости гипотезы Рима-па верны оценки снизу

тевф) > 0,4 • Техр (1пТ)-°*(ЫпТ)-\ $ = 0,1.

Теорема 11. Для любого 0 < е < 0,001 существует вещественное положительное число Т0(е) такое, что для любых Т > Г0(е), Я = Т27/82+£ и А = 4,391п 1п 1п 1п Т интервал (Ь-А^ + А) содержит точку перемены знака функции £(£) при любом Т <Т + Н, за исключением значений из множества Е с мерой

тев(Д) = О (ЩЫЫТУ^ЫпЫТ)-0'5),

постоянная под знаком О абсолютная.

Четвертая глава диссертации посвящена изучению распределения нулей дзета-функции Римана, лежащих в критической полосе. В первом параграфе получена оценка сверху плотности нулей дзета-функции Римана, лежащих в прямоугольнике критической полосы и имеющих большую кратность. Во втором параграфе изучено распределение расстояний между ординатами последовательных нулей дзета-функции Римана, лежащих в прямоугольнике критической полосы. В третьем параграфе доказаны оценки сверху и снизу для специальных сумм с ординатами этих нулей.

В четвертом параграфе получена оценка сверху числа промежутков Грама, содержащих ординаты последовательных нулей дзета-функции Римана. Доказаны следующие теоремы. Теорема 12. Пусть 0 < є < 0.001, Т > Г0(є) > 0, Н = Т27'82+£. Тогда для любого целого j > ^ справедливо неравенство

+00 к=і

2хезл

(і-в-з)2№ + н)~ м(т)) єхР (-*і).

где* = Шв = е3?7Г"2' Л = (3 ++2 (і-М2/3) /*•

Следствие 3. Пусть 0 < є < 0.001, Г > Г0(є) > 0, Я = Т27/82+г. Тогда для любого целого і > справедливо неравенство

ЩТ + Н) - Щ(Т) <

2хезл

(1_е-3)2№ + Н) — ЩТ)) ехр(-хД

где>(=:ШВ = е37?г"2' = (з + 0.1х + 2 (1.5єе)2/3) /х. Замечание 3. Неравенства из теоремы 12 гг следствия 3 при Н = Xе справедливы для всех Т из промежутка (Х,2Х), X > Хо(є), за исключением значений из некоторого множества, мера которого не превосходит Х1-0-04є.

Замечание 4. При Н = Т27/82+є для любого целого з > справедливо неравенство

+00

_ к—у 2 хе

гЙоо " М(Т + Н)-ЩТ) ~ (13^5)2 ЄХр("^'

гдех=ШВ = е377Г_2' = (3 + а1х + 2 (!-М2/3) /х-

Теорема 13. При любом целом з >^иТ>Т0> 0 справедлива оценка

+00

^Мк(Т)<(ЗМ(Т)ех р(-аі),

к=і

где

-із ч л 2аезл а = —-—10 е 19'5, /3 =

3 ' ^ (1-е"3)2

Перенумеруем мнимые части нулей ((в) в критической полосе в порядке возрастания, а в случае совпадения нескольких ординат - в произвольном порядке: 0 < 71 < 72 < • • • < 7„ < 7п+1 < • • • . Теорема 14. Пусть £ — сколь угодно малое фиксированное число, 0 < е < 0.001, Т > Т0(е) > О, Н = Т27/82+г. Тогда для любого А > 4х-1 <кя количества и(А; Г, Я) ординат нулей ((в), удовлетворяющих условиям

7п+1 ~ 7п > Т < 7„, 7п+1 < Т + Я

имеет место оценка

и{А; Г, Я) < у + Я) - ЛГ(Г)) ехр(-хА),

Л

где к = ¡е-19'^1-5.

Теорема 15. При любом А > 4/хі и Г > Т0 > 0 для количества и(Х;Т) ординат 7„ кулей £($), удовлетворяющих условиям

имеет место оценка

з

і/(А;Т) < уіУ(Т) ехр(-хіЛ), где 9?Г

Л V / ^ 1 е19-5-106'

Пусть

МТ)= £ Ыг-ъ)к-

0.5Т<1п<Т

Тогда справедливы следующие теоремы. Теорема 16. Пусть Т > Т0 > 0, к - произвольное положительное число, а Ук{Т) - сумма, определенная выше. Тогда имеет место оценка:

Ук{т) <

. (4* + 2-5е4хіГ(/г)) (-^щУ ЩТ), к > 1;

где XI = в19.5^0А, Г(-) - гамма функция.

Теорема 17. Пусть Т > Т0 > 0, к - произвольное положительное число, а Ук{Т) - сумма, определенная выше. Тогда имеет место оценка:

¿(в))) 0<*<1;

Ук(т) > \

Обозначим через ^(ІУ) — количество промежутков Грама с номерами п < И, содержащих к ординат последовательных (одинаковые ординаты различных нулей получают различные номера) нулей дзета-функции Римана из критической полосы. Теорема 18. Пусть 0 < є < 0.001, N > Щє) > 0, М = [ІУ27/82+є]. Тогда для любого целого к > 4/х справедливо нера-

венство

+00

Ем*+М)- "№) < ~ехр(~хк), І-к

Л,5

где я = gn-.

Пятая глава диссертации посвящена доказательству предельных теорем для специальных арифметических сумм и изучению распределения больших абсолютных значений тригонометрических сумм. Доказаны следующие теоремы о распределении значений величин £п(х) и rjn(w), определенных во введении. Теорема 19. Пусть fn(x) — величина, определенная выше. Если h(n) < 0,04(lnn)2 и Jha.^h{n) - +00, то найдется натуральное

число щ такое, что для любого п > щ и любого Л > 0 справедливо равенство:

Ф)

, . 3100 In In Ш)

--/ГТГл '

а/In h{n)

где <р(п) — функция Эйлера. Рассмотрим функцию распределения величины г]п(ш) =

S(w;n)

y/ñ

S(u-n)

y/ñ

< x

FJx) = meas ( и :

Теорема 20. Пусть 0 < и < l,n — натуральное число непоследовательность натуральных чисел такая, что

1. Пусть, далее, S(co;n) = £ е2™, где суммиро-

х<п

вате ведется по натуральным числам х. Тогда найдется натуральное число щ такое, что для любого п > щ и любого х > 0 для функции распределения Fn(x) величины r¡JuS) =

уп

справедливо равенство:

ад = і - е-®2 + r,»

, , 4600\/1п со In In п

|Лп| < --=■-,

Vinn

где с0 = Д. Пусть

""<»> = ¿Еж*)-

Тогда справедлива следующая теорема.

Теорема 21. Пусть £п(х) — величина, определенная выше. Если Цп) < 0,04(1пп)2 и = +оо, то найдется натураль-

ное число щ такое, что для любого п > щ и любого 0 < о < ^1пЬ(п) справедливо равенство:

"»«(*) = Г + 1) + вЯп, где Г(-) — гамма-функция Эйлера, \9\ < 1 и

у

Яг, 0 < а < 30;

Яп = я2, зо < а < ¿уьЩ;

Яз, 223 Цп) < а < ¿г 1п Цп);

_ 210 /228ЫпЦп))^ 1 а { 1п Цп) ) '

Яо = 27-

/220а21п Л^Г)

а+2

\

Яг = 23 • Г

1п Цп)

(1+0

ехр

\/\пЦп)

227

Обозначим та(п) = / ха ¿Рп{х) — а-ый момент случайной

о

величины Г)п{ш).

Справедлива следующая теорема.

Теорема 22. Пусть 0 < ^ ^ — натуральное число иих — последовательность натуральных чисел такая, что ^^ > /3 > 1. Пусть, далее, 8(ш;п) = £ е2піиих, где суммирование ведется

х<п

по натуральным числам х. Тогда найдется натуральное число щ такое, что для любого п > щ и любого 0 < а < , где

2в ~ 2'1псо'

со = р^, справедливо равенство:

где Г(-) — гамма-функция Эйлера, \9\ < 1 и

Ль 0 < а < 30;

Л„ = <

Л2, 30 < а < з^і^л/їпп;

о+2

„ I о

Й! = /228(1пср) 1п1ппч а \ 1п п ,

Теорема 23. Пусть даны лакунарные последовательности натуральных чисел Р3(х), 1 < з <к, т.е. тате, что для любого

34

Я2

х > 1 выполняются неравенства

Ft(x)

где x J, к—натуральные числа. Рассмотрим тригонометрическую сумму

р

Sk{a) = Sk{ai,..., cck) = £

3=1

Для любого А > О k-мерный куб[0,разбивается на два непересекающихся подмножества Ш1х(Л) и Ш12(Л). Множество Ofti(A) определяется как множество тех а € [0,1]*, для которых \Sk(ä)\ < Ху/Р, а Ш12(Л) = [О, l]fc - £EJti(A). Тогда для меры второго множества Ш^А) справедлива оценка сверху

mes9tt2(A) < ехр(1 - хА2),

где я = ß = max ßj. Р 1<j<k

В заключение автор выражает глубокую благодарность своему учителю профессору Владимиру Николаевичу Чубарикову, академику РАН Юрию Васильевичу Прохорову и руководителям семинара по аналитической теории чисел профессору Геннадию Ивановичу Архипову и профессору Михаилу Петровичу Минееву за полезные обсуждения и внимание к работе.

Работы автора по теме диссертации из перечня ВАК

[1] Вояринов Р. Н. О распределении значений сумм, связанных с быстрорастущими последовательностями//Вестник МГУ. Сер.1, мат. мех., 2003. №2, с. 57-58.

[2] Вояринов Р.Н., Нгонго И.С., Чубариков В.Н. О моделировании случайных величин на последовательности конечных абеле-вых групп//Вестник МГУ. Сер.1, мат. мех., 2004. №2, с. 69-71 (диссертанту принадлежит постановка задачи в теореме 1).

[3] Вояринов Р. Н. О распределении значений аналога дзетовой суммы//Вестник МГУ. Сер.1, мат. мех., 2004. №3, с. 55-56.

[4] Вояринов Р. Н. Изменение знака функции на коротких интервалах//Вестник МГУ. Сер.1, мат. мех., 2010, №3, с. 51-53.

[5] Вояринов Р. Н. О больших расстояниях между последовательными нулями дзета-функции Римана//Дискр. матем., 2010, 22, №3, с. 75-82.

[6] Вояринов Р. Н. О скорости сходимости распределений случайных величин//Доклады РАН. 2010. Т.435. №3. с. 295-297.

[7] Вояринов Р. Н. О распределении больших значений аргумента дзета-функции Римана//Вестник МГУ. Сер.1, мат. мех., 2010, №6, с. 55-58.

[8] Вояринов Р. Н. О дробных моментах случайных величин// Доклады РАН. 2011. Т.436. №3. с. 299-301.

[9] Вояринов Р. Н. О скорости сходимости к предельному распре-делению//Вестник МГУ. Сер.1, мат. мех., 2011, №2, с. 20-27.

[10] Вояринов Р. Н. О больших значениях функции £(£) на коротких интервалах//Матем. заметки. 2011. Т.89 , вып. 4, с. 495-502. [И] Вояринов Р. Н. О нулях дзета-функции Римана большой кратности//Матем. заметки. 2011. Т.89 , вып. 5, с. 652-657.

[12] Вояринов Р. Н. О распределении значений дзета-функции Римана//Доклады РАН. 2011. Т.438. №1. с. 14-16.

[13] Бояринов Р. Н. Омега-теоремы в теории дзета-функции Ри-мана//Доклады РАН. 2011. Т.438. №2. с. 160-161.

[14] Бояринов Р. Н. Вероятностные методы в теории аргумента дзета-функции Римана//Теория вероятностей и ее применения, 2011. Т.56. №2. с. 209-223.

Другие работы автора по теме диссертации

[15] Boyarinov R.N., Chubarikov V.N., Ngongo I.S. Asymptotic formulas for fractional moments of special sums// Чебышевский сборник , т. 9, вып. 4, 2003, с. 173-183 (диссертанту принадлежит метод доказательства).

[16] Бояринов Р. Н. О скорости сходимости к предельному показательному распределению//Чебышевский сборник , т. 6, вып. 1, 2005, с. 50-57.

[17] Бояринов Р. Н. Аргумент дзета-функции Римана//Чебышевский сборник, 2010, т. И, вып. 1, с. 54-67.

Отпечатано в отделе оперативной печати Геологического ф-та МГУ Тираж экз. Заказ № {|

о п

Введение

1. О скорости сходимости распределений случайных величин

§ 1 О характеристической функции интервала.

§ 2 Оценка скорости сходимости к предельному показательному распределению.

§ 3 Оценка скорости сходимости к предельному нормальному распределению

§ 4 Оценка скорости сходимости в общем случае

2. О дробных моментах случайных величин

§ 1 Асимптотика дробных моментов для случая показательного распределения

§ 2 Асимптотика дробных моментов для случая нормального распределения

3. О распределении значений аргумента дзета-функции Римана на критической прямой

§ 1 Определения и вспомогательные утверждения.

3.1.1 Определение функций S(t), S^t) и N{T).

3.1.2 Простейшие свойства S(t)

3.1.3 Несобственный интеграл, содержащий функцию £(£)

§ 2 Моменты функций |£(£)| и |£і(* + Л)

§ 3 Оценка числа перемен знака функции 5на коротких интервалах.

§4 О распределении значений функций |<5(і)| и

5і(і + /і) — £і(і)| на коротких интервалах.

§ 5 О больших значениях функции £(£) на коротких интервалах.

3.5.1 Верхняя и нижняя грани значений функции Б (і) на коротких интервалах.

3.5.2 О распределении больших значений функции <5(і) на коротких интервалах

§ 6 Изменение знака функции Б (і) на коротких интервалах.

4. О распределении нулей дзета-функции

Римана

§ 1 О нулях дзета-функции Римана большой кратности

§ 2 О больших расстояниях между последовательными нулями дзета-функции Римана

§ 3 О верхних и нижних оценках суммы вида (7п+1 -1п)к

0.5Т<7„<Г

§ 4 О числе промежутков Грама, содержащих ординаты последовательных нулей дзета-функции Римана

В своем знаменитом мемуаре 1859 г. Б. Риман ([1], [2]) показал, что задача о распределении простых чисел сводится к изучению свойств (впоследствии названной в честь Рима-на дзета-функцией Римана) как функции комплексного переменного в = сг + и. При а > 1 дзета-функция определяется как значение сходящегося ряда

Риманом было доказано два утверждения о свойствах С(8): а) Функцию С(з) можно аналитически продолжить на всю комплексную плоскость; она является там мероморфной и имеет единственный простой полюс с вычетом 1 в точке 5 = 1. б) ("(б) удовлетворяет функциональному уравнению где Г(з) - гамма-функция Эйлера.

Функциональное уравнение позволяет вывести свойства С (б) при и < 0 из ее свойств при сг > 1. Единственными нулями С(з) при а < 0 являются точки я = —2, —4, —6,., т.е. полюсы Г(а/2). Они называются тривиальными нулями. Кроме того, С(й) не имеет нулей при а > 1. Остальная часть плоскости, где 0 < а < 1, называется критической полосой.

Риман высказал несколько предположений о распределении нулей С(й) в критической полосе: а) ((з) имеет бесконечно много нулей в критической полосе. Они расположены симметрично относительно вещественной оси, а также критической прямой а = 1/2. т-іг (|) СМ = т-^г б) Число N(T) нулей £(s) в критической полосе с 0 < t < Т удовлетворяет асимптотическому равенству в) Все нули £(s) в критической полосе лежат на критической прямой (знаменитая, до сих пор недоказанная гипотеза Римана).

В 1905 г. Мангольдт ([3], [4]) доказал формулу (1), а в 1914 г. Р. Бэклунд ([4], [5]) доказал более точную формулу где S(T) - аргумент дзета-функции Римана, а 8{Т) - гладкая функция, производная которой имеет оценку вида:

Г~2. Равенство (2) называется формулой Римана-Мангольдта.

Дадим необходимые определения и опишем простейшие свойства 5(£)-аргумента дзета-функции Римана. Определение 1. Для вещественного t, отличного от ординаты нуля C(s), положим

S{t) = ^ argcQ + г^, где arg С + it) получается непрерывным продолжением arg£(s) вдоль ломаной линии, начинающейся в точке s — 2 (arg £(2) = 0), идущей к точке s = 2 + it и затем к точке s = 1/2 + it. Если же t — мнимая часть нуля С(5)? т0 s(t)=]hnhs(t + s) + s(t-s)). о—++0 Z

Определение 2. Для положительного Т, отличного от мнимой части нуля C(s), символом N(T) будем обозначать число нулей дзета-функции в прямоугольнике 0 < Res < 1,

О < 1т б < Т. Если Т совпадает с мнимой частью нуля С(5)) то положим

Щт) = Д+о \{ЩТ + + ЩТ

Нижеследующая теорема ([33], с. 45) описывает простейшие свойства <??(£).

Теорема (А.А.Карацуба, М.А.Королев). Справедливы следующие утверждения:

1. — кусочно-гладкая функция с разрывами в точках, совпадающих с ординатами комплексных нулей С(5)

2. При переходе через точку разрыва Б^) совершает скачок, равный сумме кратностей нулей имеющих эту точку своей ординатой.

3. На всяком промежутке непрерывности (7,7'); где 7,7' — соседние ординаты нулей функция является монотонно убывающей с производными

В теории дзета-функции Римана можно выделить три основных направления исследования:

1) распределение нулей дзета-функции Римана ("(5) в критической полосе и на критической прямой;

2) рост величины |С(5)| в критической полосе и на критической прямой;

3) поведение аргумента дзета-функции Римана на критической прямой.

Первые два направления тесно связаны с широким кругом проблем теории простых чисел и достаточно хорошо изучены.

Третье направление представляет большой научный интерес, но при этом изучено в меньшей степени, чем первые два. Функция S(t) представляет большой практический интерес в связи с численным нахождением нетривиальных нулей C(s). Тем не менее, практическая проверка предположений о величине роста функции S(t) представляет очень трудную численную задачу, поскольку S(t) очень медленно растет и заметные изменения в ее росте существенно выходят за пределы технических возможностей современных ЭВМ.

Настоящая работа посвящена развитию вероятностных методов в теории чисел и исследованию поведения функции S(t) на коротких интервалах, а также решению некоторых задач о свойствах нетривиальных нулей и закономерностях в их распределении, тесно связанных с S(t).

Одной из задач теории аргумента дзета-функции Римана является проблема определения порядка роста величины М(Т) — числа перемен знака S(t) на промежутке 0 < t < Т. Первый результат здесь принадлежит Г. Бору и Э. Ландау [3], которые в 1913 г. доказали существование положительной постоянной а такой, что г • , S(t) . S(L) ------hm int ——— = —оо, lim sup -—— = +oo. t->+00 (Ш)а t^+oo (\nt)a

Отсюда следует, что функция S(t) на интервале (0,+оо) меняет свой знак бесконечно много раз. В 1946 г. А. Сельберг [59] разработал новый метод, с помощью которого получил следующую нижнюю оценку числа точек перемены знака S(t) на промежутке (Т, Т + Н\:

М(Т + Я) - М(Т) > ЯОпТ)^-01^1^. (3)

Длина Я рассматриваемого промежутка имела вид Т°'5+£, где О < е < 0,5 — произвольное фиксированное число.

Дальнейшее уточнение этого результата происходило по двум направлениям. Первое связано с нахождением нижних оценок разности М(Т+Я)-М(Т) при Я = Та, 0 < а < 1/2, a второе — с заменой правой части неравенства Сельберга функцией, растущей быстрее, чем Я(ln Т) з e~Cllnт .

В 1981 г. А. Гош [119] доказал, что при Я = Та+£

М(Т + Я) - М{Т) > Я(1пГ) ехр (- , (4) где 0 < <5 < 1/2. При этом величину а можно брать равной нулю, если гипотеза Римана верна, и равной 0,5 в противном случае.

Наконец, в 1996 г. А. А. Карацуба [35] доказал неравенство А. Сельберга (3) при Я = Т27/82+£. Далее, в 2002 г. М. А. Королев ([32], [51]) доказал результат А. Гоша (4) при Я = Т27/82+е. Отметим, что вопрос об истинном порядке роста М{Т) при Т —» +оо в настоящее время остается открытым.

В 1998 г. Р. Вон и Т. Були [108] при исследовании распределения значений некоторых тригонометрических сумм получили асимптотические формулы для дробных моментов этих сумм. Изучая распределение нулей дзета-функции Римана, в 2008 г. М. А. Королев ([50], [52]) получил асимптотические формулы для дробных моментов некоторых характеристик этих нулей.

В 2010 г. в работе [171] была доказана теорема о дробных моментах случайных величин, из которой следует лучший результат о числе перемен знака S(t) и другие более сильные результаты о дробных моментах арифметических сумм. В этой работе [171] предлагается метод, позволяющий получать асимптотические формулы для дробных моментов случайных величин с лучшими остатками и для более широкого множества значений параметра по сравнению с результатами работ предыдущих авторов. Данный подход развивает метод моментов, созданный академиком А.А.Марковым [78].

Рассмотрим полное вероятностное пространство £,Р). Пусть : П —> М — случайная величина, а Рп{х) = Р(о; : < х) — функция распределения, где п — некоторый вещественный параметр, а х > 0. Обозначим а-ый момент случайной величины |£п|. Пусть далее, [х] — целая часть х. В нижеследующей теореме будут рассмотрены два случая: случай предельного нормального распределения и случай предельного показательного распределения. В первом случае параметр 6 = 0, а во втором—ö = 1. Теорема 1. Пусть существует абсолютная постоянная щ > 1 такая, что для любого п > щ и любых целых чисел 1 < v < [£>ln/(n)] + 1, где 0 < Q < 0.1 — некоторая постоянная, а /(•) — вещественнозначная функция такая, что lim f(x) = +оо, справедливо следующее равенство: где 02и — некоторая последовательность положительных чисел, определяемая ниже. Тогда найдется число П\ > щ такое, что для любого п > щ и любого 0 < а < 0.5^>1п/(п) справедливо равенство: та{п) = ц(а) + 0Яп, где /л(а) — некоторая функция параметра а, определяемая ниже, |0| < 1 и

00 0

1, 0 < а < 30;

Дп={Я2, 30<а< ап&я^/М;

2и-8 /2221п1п/(п)\ а+1+5 а

1п/(п) у

Я2 = 27д(а)

7 2и+26а21п (^Щ^ ) а+1+Д дЫЦп)

Я3 = 2ехр

220+25 = |2°-5аГ (0.5а + 0.5) тг"0 5, если а2и = и 5 = 0; 1г(0.5а + 1), если <т21, = и ¿ = 1, где Г(-) — гамма-функция Эйлера.

Замечание 1. Подобного рода утверждение верно и в более общем случае. Относительно предельного распределения Р(рс) будем предполагать, что в некоторой окрестности нуля верно неравенство < Ах@, для некоторых А > 0 и /3 > 0. Для о~2и будем предполагать выполнения неравенств 0 < а2и < (Си)*-* , где С > 1, 0 < <5 < 2 - некоторые постоянные.

Приведём несколько примеров применения теоремы 1. Справедлива следующая теорема, являющаяся улучшением теоремы 2 из работы ([32], с. 63).

Теорема 2. Для любого 0 < е < 10~3 существует число

27

Т\ = Т\{е) > 0 такое, что для любого Т >Т\ при Н = и х = Т°'1е и любых 0 <а< и З^пЫ^Ья)-1 < К <

1пТ)-0'5 выполняются следующие равенства: т+н / т

1п1п Т)а/2

SttWdt = { ^ Н („(а) + 0Лг(а)), т+н J в {г + и)ди а

И = ьфйУ жу/2)а

Н {у(а) + №(«)), где В = е40£-3, у{а) = |0| < 1, N < 1, ур*

О < а < 30; а

У1п1п1пГ . 1п1п1пГ .

2181пд - " 161пВ ' а+1 211 /225(1пБ)1п1пЫпТ\^ 1 ~ V 1п 1п 1п Т )

215а2(\пВ) 1п (^"1п1пт\ Л2 = 27 • г,(а) 1 к 201 ' а+1 2

1п 1п 1п Т 4 • у(а) ехр

У1пЫпГ\ 2221п В ) '

Замечание 2. Формулы теоремы 2 с Н = Те и х — Т°'05е справедливы для всех Т е (X, 2Х), X > Хо(е), за исключением значений, образующих множество Е с мерой те&(Е) < Х1~°>ш.

Справедлива следующая теорема, являющаяся улучшением теоремы 3 из работы ([32], с. 69).

Теорема 3. Для любого 0 < £ < 10~3 существует число

27

Т\ = Т±(е) > 0 такое, что для любого Т >Т\ при Н — выполняется следующее неравенство

М<Т + Я) - М(Г) > Я(ШТ) ехр (-С(Ы^1П1ПТ) , где С = 2411п5, В = еА0£~г.

Замечание 3. Неравенство теоремы 3 с Н = Т£ справедливо для всех Т € (Х,2Х), X > -Хо(е), за исключением значений, образующих множество Е с мерой теъ^Е) < Х10'04£.

Справедлива следующая теорема, являющаяся улучшением теоремы 3 из работы [52].

Теорема 4. Для любого 0 < є < 10 3 существует натураль ное число N1 = і\Гі(є) > 0 такое, что для любого натураль ного N > Nі при М = АГІ+< выполняются следующие равенства: и любого 0 < а <

Ппіп ЛПа/2

Е = , мм«)+^и)> где А = е38Ає~3, у(а) = 2а5аГ (0.5а + 0.5) тг~0-5, \в\ < 1, а 0 < а < 30;

Лз Дз , 30 < а < л/1г11п1пДГ •

2181п А '

УіпіпіпДГ ^ ІпІпІпіУ .

2181пЛ ^ " - 161пЛ ' а+1 211 /225(1ПА)1піп1П1ПІУ\~ 1 ЫпЬТУ ) а

2 = 27 • ^(а)

215а2

1пЛ) 1п пІпЛЛ а+1 2

2а )

ПІПІПІУ 4 ■ г» (а) ехр

1п 1п 1п N 22ЧпА

Замечание 4. Формулы теоремы 4 с М = [./Vе] справедливы для всех N 6 (X, 2Х), X > Хо(е), за исключением значений, образующих множество Е с мерой те&(Е) < Х10'04е.

В 2010 г. в работах ([167], [170]) предложен метод, позволяющий получить оценки скорости сходимости к предельному распределению для неотрицательных случайных величин и использующий только асимптотические формулы для четных моментов. Данный подход развивает метод моментов, созданный в 1895 году А. А. Марковым[78]. Проблема моментов восходит к работам П. Л. Чебышева[122] и Т. Стильтьеса[123]. Развивая исследования П. Л. Чебышева и А. А. Маркова, А. М. Ляпунов[124] создал новый мощный метод в теории вероятностей-метод характеристических функций. Дальнейшие продвижения в этом направлении были сделаны А. Н. Кол-могоровым[125], Ю. В. Прохоровым[126], Г. Гамбургером[127], Р. Неванлинной[128], М. Риссом[129], Е. Хелингером[130], Т. Карлеманом[132], М. Г. Крейном[133], Н. И. Ахиезером[134] и другими исследователями.

Определим для любых положительных а и е < а, любого натурального числа к следующие функции <р+(х) — а, е, к) и <£>-(х) = ф-{х; а, е, к) : а+е

2& + 1)' [ (¿.1)2^+1 у ~ + £-*)* х £ [а, а + е]; X а

2 к + 1)' Г

Р-М - 1щ2£2к+1 У ^-а + £)к(а-1)к(И, хе[а-е,а]. х

Далее, определим функции д(х) — д(х; а), д+(х) = д+(х\а,£,к) и д-(х) = д-(х; а, е, к) :

9{х)

1 для |х| < а, 0 для |ж| > а; для І < а, для а < \х\ < а + є, для > а + є;

9+(х) О

1 для |ж| < а — є, для а — є < \х\ < а, О для \х\ > а.

Справедливы следующие утверждения. Теорема 5. Пусть существует абсолютная постоянная щ > 1 такая, что для любого п > щ существует натуральное число N — ІУ(п) > 3 такое, что для любых целых чисел 1 < у < N справедливо следующее равенство: где /(•) — вещественнозначная функция и lim f(x) = +оо, а

02и — некоторая последовательность положительных чисел. Тогда найдется вещественное число щ > щ такое, что для любого п> щ и любого а > О справедливо равенство:

00

Fn(a) = F(a) + Д где если 02v = v\ ; (2i/)! если <J2v — 2УІЛ '

Следствие 1. Если N = [х1п/(п)] + 1, где 0 < ус < ^

In 6 некоторая постоянная, то

1620 In In/(п)

Rn\ < у/X\nf(n)

Замечание 5. Подобного рода утверждение верно и в более общем случае-когда относительно предельного распределения F(x) предполагается, что F(x) — непрерывная функция, удовлетворяющая условию Липшица (существует такая абсолютная постоянная L > 0, что для любых х, у G R выполняется неравенство: I-F(îc) — F {у) | < L\x — у |).

Справедлива следующая теорема. Теорема 6. Пусть существует абсолютная постоянная щ > 1 такая, что для любого п > по существует натуральное число N = N(n) > 3 такое, что для любых целых чисел 1 < у < N справедливо следующее равенство: т2и(п) = о-2„ + JJnjj > \°\ ^ где /(■) — вещественнозначная функция и lim f(x) = +оо. х—>+оо

Пусть для ü2v справедливы неравенства: 0 < < , где С > 1, 0 < <5 < 2 — некоторые постоянные. Тогда найдется вещественное число ri\ > щ такое, что для любого п > щ и любого а > 0 справедливо равенство:

Fn(a) = F(a) + Iin, д |<Mf224C(lnN + l) 1 где

M = max(2В2,6L), В = [4С] + 1. хіпДП) 1п1п/(п)

Следствие 2. Если N — некоторая постоянная, то

450МС(1п1п/(п))2 1, где 0 < я < £2?

Д*| < х(1п/(п))2

Приведём несколько примеров применения теоремы 5 и её следствия 1.

Справедлива следующая теорема, являющаяся уточнением теоремы 2 из работы [147].

Теорема 7. Пусть 0 < и < 1, п — натуральное число непоследовательность натуральных чисел такая, что ^^ > /З > 1. Пусть, далее, 5(а;;п) = ^ е2где суммирование х<п ведется по натуральным числам х. Тогда найдется натуральное число п\ такое, что для любого п > щ и любого а > О для функции распределения -Рп(а) величины во равенство: п справедлиад = 1 - е-* + л,, 1^1 < «оо^ыпп

1п п где с0 =

Справедлива следующая теорема, являющаяся улучшением теоремы 6 из работы ([32] с. 83).

Пусть к — произвольное число, удовлетворяющее неравенствам ЗСЫпТХЫх)-1 < К < (1пТ)-°-5, где х = Г°'1£.

Рассмотрим две измеримые функции ЯВДтгУ2 (^(і + К) - Яі(0)тг>/2 J 8{и)йи. о

Пусть Гт(у) = Р(* : Ш < У) = ¿тев(* : < у) и вт(у) = Р(* : 1^)1 < у) = : < у) - Функции распределения |£(£)| и |.

Теорема 8. Для любого 0 < е < 10~3 существует число Т\ = Т\{е) > 0 такое, что для любого Т >Т\ при Н — выполняются следующие равенства:

2 Г , „ , 213у/ЫВlnlnInInT

FT(y) = -J=fe-%dt + RT, \Rt\ < ln ln ln T о

2 /* , 213\/1гГВ ln ln ln ln T

GT(y) = -jL fe~* dt + tir, \Яг\ <

Vin ln InT 0 г^е Б = e40£-3.

Замечание 6. Формулы теоремы 8 с H = T£ и x — Т°'05е справедливы для всех T G (X, 2Х), X > за исключением значений, образующих множество Е с мерой mes(Е) < X1-°'04е.

Замечание 7. Используя оценки для нечетных моментов величин £(i) и r]{t) можно немного улучшить остаточные члены в асимптотических формулах в теореме 8 и получить оценки вида:

Rt = ° (тего) ' r't = 0 (ет) ■

Дальнейшие продвижения в этом направлении сделаны в работе [173].

В 1983 г. Дж. Мюллер [63] предложила новый подход к исследованию величины М(Т). Пусть Т > 0 — достаточно большое число. При каком значении А промежуток (Т — А, Т + А] будет содержать точку перемены знака функции Опираясь на гипотезу Римана, Дж. Мюллер доказала, что величину А можно положить равной с 1п 1п 1п Т, где с > 0 — абсолютная постоянная.

Используя идею Дж. Мюллер, М. А. Королев [47] в 2005 г. получил безусловный результат для почти всех Т, но с меньшим, чем у Мюллер, значением А. Им была доказана следующая теорема.

Теорема (М. А. Королев). Пусть е — сколь угодно малое фиксированное число, 0 < е < 0,001, Т > То(е) > 0, Я = Т27/82+£? а = 4;391п1п1п1пТ. Тогда интервал (г - А, г + А) содержит точку перемены знака функции 5(£) при любом Т < Ь < Т Л- Н, за исключением значений из множества Е с мерой шее(£7) = 0(Я(1п1пГ)-°'5).

В 2009 г. в работе [165] был получен более сильный результат. I

Теорема 9. Для любого 0 < е < 0,001 существует вещественное положительное число То(е), такое, что для любых Т > Т0(е), Я = Т27/82+е и А = 4,391п 1п 1п 1пТ интервал (£ — Л, £ + Л) содержит точку перемены знака функции при любом Т < Ь < Т+Я, за исключением значений из множества Е с мерой шея{Е) = О (Я(1п1пГ)-1(Ып1пТ)-°'5) , постоянная под знаком О абсолютная.

Нижеследующие результаты основаны на неравенстве А.А.Маркова:

В работе [168] получены новые результаты о распределении больших значений аргумента дзета-функции Римана на критической прямой. Обозначим через Е(А, Т, Я) множество принадлежащих промежутку (Т, Т + Я] значений для которых 15(^)1 > Л. Справедливы следующие утверждения. Теорема 10. Пусть 0 < е < 0,001, Т > Т0(е) > 0, Я = Т27//82+е. Тогда для любого Л > 1п1пТ имеет место оценка теа(Е(\,Т,Н)) < е2Яехр(-хА), где к = 7Г£1,5е-19'5. Замечание 8. Неравенство из теоремы 10 при Н = Xе справедливо для всех Т из промежутка (Х,2Х), X > -Хо(е), за исключением значений из некоторого множества, мера которого не превосходит Х1-0'04£.

Теорема 11. При любом Т > То > 0 и А > 1п1пТ справедлива оценка тез(£7(Л,Т,Т)) < е2'1Гехр(-х1Л), где XI = 27тг10-6е-19'5. Теорема 12. Пусть Т > Т0 > 0, и пусть Е^ у = 0,1, — множество значений Т < £ < 2Т, для которых

1 I 1п Г 300V ЫпТЬЫпТ" Тогда безусловно верна оценка сверху тев^о) +теБ(Е1) < е2,1Техр | —

1п Т \

1п 1п Т 1п 1п 1п Т / ' где щ = 9тг10 8е 19'5, а при справедливости гипотезы Ри-мана верны оценки снизу шев(^) > 0,4-Гехр (1пТ)-°'5(1п1пТ)-\

3 = 0,1.

Следующей важной задачей теории дзета-функции Рима-на является проблема кратных нулей дзета-функции Римана

Определение 3. Обозначая через к{р) кратность нуля для целого j > 1 величину Nj(T) положим равной числу различных нулей р дзета-функции с условием к{р) = j, ордината которых положительна и не превосходит Т.

Известно, что если точка Т = 7 является ординатой нулей Pi, • ■ ■ 1 Ртп, то при переходе через эту точку функция N(T) совершают скачок на величину, равную сумме кратностей этих нулей: JV(7 + 0) - N(j - 0) = k{Pl) + • • • + k(pm).

В 1973 г. X. Монтгомери [65] с помощью гипотезы Римана доказал JVi(T) 2

А. Фуджи в 1975 г. доказал [40] неравенство Nj{T) < N(T)exp(—cy/j), в котором с — положительная абсолютная постоянная, 3 — достаточно большое целое число, Т > ТоО') > 0.

В 1981 г. А. Фуджи [41] улучшил свой результат, доказав неравенство

00

ЩТ)<ЩТ)ехр(-сЛ

1=3 в котором с — положительная абсолютная постоянная, ^ — достаточно большое целое число, Т > То(^) > 0.

В 1993 г. А. Чир и Д. Голдстон [42] улучшили результат X. Монтгомери, доказав неравенство lim ^^> 0,672753. т—>+оо N(T)

В 1998 г. Дж. Конрей, А. Гош и С. Гонек [43] с помощью обобщенной гипотезы Линделефа доказали неравенство М (Т) . 19

В 2006 г. М.А. Королев [49] доказал несколько утверждений, уточняющих неравенство Фуджи.

Теорема. (М.А. Королев). Пусть г — сколь угодно малое фиксированное число, 0 < е < 0.001, Т > То(е) > 0, Н = Т27//82+е. Тогда для любого целого э > 1 имеет место оценка:

Nj(T + Я) - Л',(Т) < e™(N(T + Я) - ЛГ(Г))exp(-*w),

Теорема. (М. А. Королев). При любом з иТ > То > 0 справедлива оценка

Щ(Т) < ъЩТ) ехр(-с?), где с1 = е73, с = е"30"3.

В 2010 г. автор работы [169] получил качественно новые оценки кратных нулей. Из этих оценок следует, что плотность нулей дзета-функции Римана, кратность которых больше некоторой постоянной ,70, не превосходит Ю-12.

Теорема 13. Пусть 0 < є < 0.001, Т > Т0(є) > 0, Я = ^27/82+є Тогда для любого целого ^ > ^'о справедливо неравенство оо к=3

2ХЄ3-1

1е-3)2(^(Т + Я) где x = В = е37тг-2, іо = (з + 0.1х + 2 (1.5єе)2/3) /х. Следствие 3. Пусть 0 < є < 0.001, Т > Т0(є) > О, Н = Т27//82+£. Тогда для любого целого ^ > справедливо неравенство Н) - М^Т) <

1^3)2+ Я) - ®Ф(-*Л где х = В = е37тг-2, іо = (з + 0.1х + 2 (1.5єе)2/3) /х. Замечание 9. Неравенства из теоремы 13 и следствия 3 при Н = Х£ справедливы для всех Т из промежутка (Х,2Х), X > -Хо(є), за исключением значений из некоторого множества, мера которого не превосходит Х10'04е. Замечание 10. При Н = Т27/82+є для любого целого у > ^ справедливо неравенство

00

Е№(т + я)-вд з f:—j 2хе т^оо ЩТ + Н)-ЩТ) ~ (ГЗ^зр где х = В = Л-2, я, = (з + 0.1х + 2 (1.5єе)2/3) /х. Теорема 14. При любом целом j>^-uT>TQ>0 справедлива оценка

J2MT) < ßN(T)exp(-aj) k=j где

7г\/5

10-5е-19.5 а = 3

Другой важной задачей в теории дзета-функции Римана является изучение распределения расстояния между последовательными нулями дзета-функции Римана C(s)> лежащими в критической полосе 0 < Res < 1. Количество N(T) таких нулей с условием 0 < Im s < Т выражается следующей формулой Римана-Мангольдта где L(T) = £ In £ - £ + |, S(T) - аргумент дзета-функции Римана, а 6(Т) - гладкая функция, производная которой имеет оценку вида: |<5'(Т)| Т~2.

Перенумеруем мнимые части нулей £(s) в критической полосе в порядке возрастания, а в случае совпадения нескольких ординат - в произвольном порядке: 0 < 71 < 72 < • • • < 7п <

7n+i < • ■ ■

Существует несколько утверждений, указывающих на то, что случаи, когда расстояние между последовательными ординатами велико, встречается достаточно редко.

Далее, если А > Ао > 0, а целое число г удовлетворяет условию 1 < г < А1Т1пТ, то для числа vr пар 7Ш 7п+г, удовлетворяющих условиям

N(T) = L(T) + S{T) + -6{T)

7г

7n+r - In ^ 27tA r - 1п(Т/(2тг))'

T 7n, 7n+r — 2X1, в 1975 г. А. Фуджи [38] получил следующую оценку: иг < с1^(Т)ехр(-С(Лг)2/3(1п(Лг))-1/3), где с, с\ - положительные постоянные. Далее, в 2002 г. А. Ивич [44] доказал, что количество ординат 7п с условиями

Т < 7п < Т + Я, Я = Т1/2+е,

7п+1-7п> ЛапТ)"1 не превосходит сх(А^(Т + Я) - АГ(Т)) ехр(-сЛ). Одним из следствий теоремы А. Фуджи [38] об оценке Уг явилась верхняя оценка суммы

Ук(Т) = £ ('Ь+х - 7»)*

0.5 т<1п<т вида: с(к) = + 3))*, где к — целое число, 1 < к < С2(Т1пТ)2/3, а с2 — некоторые абсолютные положительные постоянные.

В 1990 г. А. Фуджи [39] улучшил свой результат при к — 2, получив более точную оценку:

7п+1-7П)2<8.55^, Т>Т0>0.

0.5т<7„<т 2тг

Справедливы следующие теоремы [166]. Теорема 15. Пусть Т > То > 0, к - произвольное положительное число, а Ук(Т) - сумма, определенная выше. Тогда имеет место оценка:

У,,(Т) < { к (4* + 2.5е*щЩ)) (пН%{2,})У ЩТ), к > 1; где ус1 = ^Л^об; Г(-) - гамма функция.

Теорема 16. Пусть Т > Т0 > 0, к - произвольное положительное число, а Ук(Т) - сумма, определенная выше. Тогда имеет место оценка:

Vi-.iT) > <1 о < к <1

Мщвд)]'^). *>1

В 2010 г. в работе [166] были доказаны следующие утверждения (из этих результатов следует, что плотность соседних нулей дзета-функции Римана, расстояние между которыми больше 1п(гд*2тг)) ' где ~ некоторая постоянная, не превосходит Ю-12).

Теорема 17. Пусть 0 < е < 0.001, Т > Т0(е) > 0, Н = Т27/82+£. Тогда для любого А > 4для количества Т, Н) ординат уп нулей С(5); удовлетворяющих условиям

2тт\

7п+1 ~ 7п > , (гр,(п чч, т < 7„, 7п+1 < Т + Н 1п(Т/(27г)) имеет место оценка е3

Г, Я) < у (ЛТ(Т + Я) - ЩТ)) ехр(-хЛ), где х = |е19'5е1;5 .

Замечание 11. Неравенство из теоремы 15 при Н — Xе справедливо для всех Т из промежутка (X, 2Х), X > Хо(є), за исключением значений из некоторого множества, мера которого не превосходит Х10 04е.

Теорема 18. При любом А > 4/хі и Т > То > 0 для количества і/(Л;Т) ординат 7п нулей С(5); удовлетворяющих условиям имеет место оценка е3 97Г

IV(Л; Т) < —АТ(Т) ехр(-хіЛ), где ^ =

Другой важной задачей в теории дзета-функции Римана является проблема роста S(t). Известно, что функция S(t) при t —» +00 меняет знак бесконечно много раз (см. [55]), но в то же время может принимать сколь угодно большие по абсолютной величине как положительные, так и отрицательные значения.

В 1946 г. А. Сельберг [59] доказал неравенства sup (±S(t)) > А ¿^д (5)

T<t<2T (min l)''6 в которых А — положительная абсолютная постоянная. Один из возможных путей уточнения этих оценок состоит в замене правых частей неравенств (5) большими величинами.

Так, в 1977 г. X. Монтгомери [64], пользуясь гипотезой Римана, установил существование на любом промежутке

TV6,T) точек ¿0 и h, Для которых

В 1986 г. К. М. Тсанг [66], развивая метод работы [59], усилил результаты А. Сельберга и X. Монтгомери и получил неравенства sup (±S(t))> A (j-j^Y, (7) t<t<2t \mlnJ J в которых А > 0 — абсолютная постоянная, а величина а берется равной 1/2, если гипотеза Римана верна, и равной 1/3 в противном случае.

Иной путь уточнения неравенств (5) — (7) состоит в замене промежутка (Т, 2Т), на котором изучаются верхняя и нижняя грани S(t), на более короткий промежуток (Т, Т + Я), О < Я < Т. В работе [46] доказана следующая теорема. Теорема (М.А.Королев). Пусть Т > Т0 > О,

InТ)(InInТ)-3/2 < Н <Т.

Если гипотеза Римана верна, то справедливы неравенства

1 / InН sup (±S(i)) > т-н<1<т+2н 907гУ1п1п Н

В работе [172] доказано подобное утверждение с меньшим, чем у Королева, значением Н. Справедлива следующая теорема.

Теорема 19. Существует абсолютная положительная постоянная Т\ такая, что для любых вещественных чисел Т > Т\ и ^ЫЫТ < Н < (1пГ)(1 п1пТ) ' при справедливости гипотезы Римана будут верны неравенства . чч 1 Vlntf sup (±S(*)) > nnnl\ rr t—h<t<t+2h ~ 900 In In Я

Дальнейшие продвижения в этом направлении сделаны в работе [174].

Следующие результаты связаны с так называемым законом Грама. При t > 0 определим функцию $(t) как приращение непрерывной ветви аргумента функции 7г~в/2Г (|) при изменении s вдоль отрезка, соединяющего точки s = 0,5 и s = 0, b +it. Выбрав ветвь аргумента, значение которой в точке 5 = 0, 5 равно нулю, получаем где

00 t f p(u)du , . н , ,

2 J {иЛ/А? + т' = V2 - {«}■ о

Пусть п > 0 - целое число. Назовем точкой Грама дп единственный корень уравнения

9п) = тг- (та - 1), а п-ым промежутком Грама Gn - промежуток (gn-i> 9п\- Справедливы асимптотические формулы при п —» +оо

2irn.l 2тг . /1NN

9п = + o(l)), дп+1 -дп = —(1 + о(1)).

В 1903 г. Дж.Грам [53] установил, что первые 15 промежутков Gn содержат только по одному нулю функции £(0,5 + it). Иными словами, первые пятнадцать нулей функции £(0, 5+it) отделены друг от друга точками Грама. Грам предположил, что обнаруженная закономерность не является общей.

В 1925 г. Дж.Хатчинсон [54] нашел два исключения: промежуток С127 не содержал ни одного нуля функции £(0,5-И£), а промежуток С135 содержал даже два нуля.

Тем не менее, в большинстве рассмотренных случаев каждый промежуток Грама содержал ровно один нуль функции £(0,5 + И). Свойство нулей функции £(0,5 + И) быть отделенными точками Грама было названо правилом Грама (законом Грама).

В 1934 г. Е. Титчмарш [58] получил оценку снизу для количества промежутков Грама, лежащих на (0, Т) и содержащих не менее одного нуля функции £(0,5-И£). Тем самым Е. Титчмарш доказал, что бесконечно много промежутков Грама содержат по крайней мере один нуль функции £(0, 5 + И).

В 1946 г. А. Сельберг [61] доказал существование положительных постоянных К и N0 таких, что для любого N > N0 среди первых N промежутков Грама найдется не менее КМ промежутков содержащих не менее одного нуля функции £(0, 5 + И) и не менее К N промежутков С?п, не содержащих ни одного нуля функции £(0, 5 + И).

В 1977 г. Я. Мозер [62] получил оценку снизу для количества промежутков Грама, лежащих на (Т, Т + Н] и содержащих хотя бы один нуль £(0,5 + й), Н = Т°>5ф(Т)ЫТ, где ір(Т) - возрастающая к бесконечности функция, уточнив результат Е. Титчмарша.

В 2008 г. Т. Траджин [68] доказал, что число интервалов Грама, лежащих на промежутке (Т, Т + Н] и содержащих к ординат последовательных нулей дзета-функции Римана не превосходит Сі Н 1п Т ехр (■— с2 к).

Обозначим через — количество промежутков Грама п с номерами п < ЛГ, содержащих к ординат последовательных (одинаковые ординаты различных нулей получают различные номера) нулей дзета-функции Римана из критической полосы.

Справедлива оценка сверху для количества промежутков Грама, лежащих на коротком интервале и содержащих к ординат последовательных нулей дзета-функции Римана из критической полосы.

Теорема 20. Пусть 0 < е < 0.001, N > #0(е) > 0, М = [7\г2Т/82+е]. Тогда для любого целого к > 4/к справедливо неравенство М) - ^(ЛО) < — ехр(-х^),

3=к где я = .

Замечание 12. Неравенство теоремы с М = [ЛГе] справедливо для всех N £ (Х,2Х), X > Хо(е), за исключением значений, образующих множество Е с мерой теэ(Е) < Х10 04е.

Следующие результаты посвящены изучению распределения абсолютных значений специальных тригонометрических сумм. В 1956 г. А. Г. Постников [77] доказал следующую теорему о распределении значений показательной тригонометрической суммы. р-1

Теорема (А.Г.Постников). Пусть 5(а) = е2*га9х? г()е х—0

0 < а < 1, д~целое, д > 2. Интервал [0,1) эффективно разбивается на два подмножества и Ш2, причем если а £ ЗЯ1, то

0 < £ < 0.5, и теэШ^ = О (е-а(1пр)3) , а > 0—некоторая постоянная. Справедлива следующая теорема. Теорема 21. Пусть даны лакунарные последовательности натуральных чисел Fj(x), 1 < Э < к, т.е. такие, что для любого х > 1 выполняются неравенства где x,j, натуральные числа. Рассмотрим тригонометрическую сумму р

Sk(ä) = Sk(ab ., ak) = .

X=1

Для любого Л > 0 k-мерный куб [0,1]к разбивается на два непересекающихся подмножества 9#i(A) и ШІ2(А). Множество ШІі(А) определяется как множество тех а Є [О, l]fc, для которых |5fe(ä)| < Ау/Р, а Ш12(А) = [0, l]fc - Шх{\). Тогда для меры второго множества ШІ2(А) справедлива оценка сверху mes Ш')

А) < ехр(1 - хА2), где х = в = тах /?,-. eß 1 <3<k 3

Замечание 13. При k = 1 и

А = (1пР)3/2 теорема 21 дает улучшение результата А. Г. Постникова, а именно получаем, что |5(а)| < у/Р In3 Р для всех а Є [0,1] за исключением множества точек а, мера которого не превосходит величины ехр(1 — хА2), где х =

Замечание 14. Теорема 21 верна и для суммы р

Wk(cx) = e2Tti(a1miF1(x)+-+akmkFk(x)) х=1 где ті,., тк~целые числа, не все равные нулю. В этом случае х = 7 = тах в*.

Замечание 15. Теорема 21 верна и для сумм вида

ReSfc(ä), Im Sk(ä).

В этом случае х = /3 — тах

Замечание 16. Теорема 21 верна и для сумм вида

Ке\Ук(а), 1т\¥к(а).

В этом случае к = 7 = тах в«.

67 1^<к,т3^0 3

Замечание 17. В силу замечания 3 результаты теоремы 21 для сумм вида

Яе^а), 1т Бк(а) при к — 1 и А > (1пР)3/2 уточняют результаты работы [135].

В заключение автор выражает глубокую благодарность научному консультанту профессору В.Н.Чубарикову, академику РАН Ю.В.Прохорову и руководителям семинара по аналитической теории чисел профессору Г.И. Архипову и профессору М.П.Минееву за полезные обсуждения, внимание к работе и поддержку.

1. Riemann В. Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse//Monatsberichte der Berliner Akademie, November 1859.

2. Риман Б. О числе простых чисел, не превышающих данной величины// Б. Риман, Сочинения, ОГИЗ, М., 1948, 216-224.

3. Bohr Н., Landau Е. Beiträge zur Theorie der Riemannschen Zetafunktion// Math. Ann., 74:1 (1913), 3-30.

4. Backlund R.-J. Sur les zeros de la fonction £(s) de Riemann// C. R. Acad. Sei. Paris, 158 (1914), 1979-1981.

5. Backlund R.-J. Uber die Nullstellen der Riemannschen Zetafunktion//Dissertation, Helsingfors, 1916, p. 1-31.

6. Виноградов И. M. Sur la distribution des residues et des non residues des puissances.// Журн. физ.-матем. об-ва при Пермском ун-те. 1918. 1. 94 98.

7. Виноградов И. М. О распределении квадратичных вычетов и невычетов.// Журн. физ.-матем. об-ва при Пермском ун-те. 1919. 2. 1 16.

8. Виноградов И. М. Основы теории чисел.// М., Наука, 1972.

9. Виноградов И. М. Избранные труды.// Изд. АН СССР, 1952.

10. Burgess D. А. О распределении значений модулей неполных сумм Гаусса.// The distribution of quadratic residues and nonresidues.// Math. 1957. 4. №8. 106 112.

11. Davenport H., Erdos P. The distribution of quadratic and higher residues.// Publ. Math., Debrecen. 1952, 2, №3 4. 252 - 265.

12. Демидович Б. П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу.// Изд. Московского университета, 1997.

13. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа// Изд. Наука, 1976.

14. Hardy G. Н., Ramanujan S. The normal number of prime factors of a number п.// Quart. J. Pure and Appl. Math. 1917, 48. 76 92.

15. Прахар К. Распределение простых чисел// Из-во "Мир", Москва, 1967.

16. Hardy G. Н., Littlewood J. Е. A new proof of a theorem of rearrangements//Jour, of the L.M. Soc.,1948, v. 23, №91, p. 163-168.

17. Конягин С. В. О проблеме Литтлвуда// Изв. АН СССР, сер. матем., 1981, т. 45, №2, с. 243-265.

18. Конягин С. В. Об оценке L\ нормы одной экспоненциальной суммы// Теория приближений функций и операторов, тезисы докладов международной конференции, посвященной 80-летию со дня рождения С. Б. Стечкина. Екатеринбург, 2000, с. 88-89.

19. Salem R. On a problem of Littlewood// Amer. Jour, of Math., 1955, v. 77, №3, p. 535-540.

20. Олевский A. M. Ряды Фурье и функции Лебега//Успехи матем. наук, 1967, т. 22, вып. 2 (134), с. 237-239.

21. Olevskii А. М. Fourier series with respect to general orthogonal systems// Berlin Heidelberg - New York, Springer - Verl., 1975.

22. Бочкарев С. В. Логарифмический рост средних арифметических от функций Лебега ограниченных ортонорми-рованных систем// Докл. АН СССР, 1975, т. 223, №1, с. 16-19.

23. Бочкарев С. В. Метод усреднений в теории ортогональных рядов и некоторые вопросы теории базисов// Тр. матем. ин-та им. В. А. Стеклова АН СССР, т. CXLVI, 1978.

24. Бочкарев С. В. Об одном методе оценки Ь\ нормы экспоненциальной суммы //Тр. МИАН, 1997, т. 218, с. 74-76.

25. Cohen P. J. On a conjecture of Littlewood and idempotent measures//Amer. Jour, of Math., 1960, v. 82, №2, p. 191-212.

26. Pichorides S. K. On the L\ norm of exponential sums//Annales de l'lnstitut Fourier, 1980, v. 30, №2, p. 79-89.

27. Turan P. On a theorem of Hardy and Ramanujan.// J. London Math. Soc. 1934, 9. №4. 274 276.

28. Карацуба А. А. Распределение обратных величин в кольце вычетов по заданному модулю.// Докл. РАН. 1993. 333. №2. 138 139.

29. Карацуба А. А. Аналоги сумм Клостермана. // Изв. РАН. Сер. матем. 1995. 59. №5. 93 102.t

30. Карацуба А. А. Двойные суммы Клостермана. // Матем. заметки. 1999. 66. вып. 5. 682 687.

31. Карацуба А. А. Основы аналитической теории чисел.// Едиториал УРСС, 2004.

32. Карацуба А. А., Королев М. А. Поведение аргумента дзета-функции Римана на критической прямой // Успехи математических наук, т. 61, №3(369), с. 3-92 (2006).

33. Карацуба А. А., Королев М. А. Аргумент дзета-функции Римана // Успехи математических наук, т. 60, №3(363), с. 41-96 (2005).

34. Карацуба А. А. Плотностная теорема и поведение аргумента дзета-функции Римана// Матем. заметки, 60:3 (1996), 448-449.

35. Карацуба А. А. О функции S(t)// Изв. РАН. Сер. матем., 60:5 (1996), 27-56.

36. Карацуба А. А. Об оценке Ь\ нормы одной экспоненциальной суммы//Матем. заметки, 64:3 (1998), с. 465-468.

37. Гараев М. 3. О нижних оценках Li нормы некоторых экспоненциальных сумм//Матем. заметки, 68:6 (2000), с. 842-850.

38. Fujii A. On the difference between r consecutive ordinates of the zeros of the Riemann zeta function// Proc. Japan Acad., 51:10 (1975), 741-743.

39. Fujii A. On the gaps between consecutive zeros of the Riemann zeta function// Proc. Japan Acad. Ser. A Math.Sci., 66:4 (1990), 97-100.

40. Fujii A. On the distribution of the zeros of the Riemann zeta function in short intervals//Bull.Amer.Math.Soc., 81:1 (1975), 139-142.

41. Fujii A. On the zeros of dirichlet L-functions. II//Trans.Amer.Math.Soc., 267:1 (1981), 33-40.

42. Cheer A. Y., Goldston D. A. Simple zeros of the Riemann zeta-function Proc. Amer. Math. Soc., 118:2 (1993), 365-372.

43. Conrey J. В., Ghosh A., Gonek S. M. Simple zeros of the Riemann zeta-function Proc. London Math. Soc., 76:3 (1998), 165-372.

44. Ivic A. On small values of the Riemann zeta-function on the critical line and gaps between zeros// Liet. Mat. Rink., 42:1 (2002), 25-36.

45. Littlewood J. E. On the zeros of the Riemann zeta-function// Proc. Cambr. Phil. Soc., 22 (1924), 295-318.

46. Королев M. А. О больших значениях функции S(t) на коротких промежутках// Изв. РАН. Сер. матем., 69:1 (2005), 115-124.

47. Королев М. А. Изменение знака функции S(t) на коротких промежутках//Изв. РАН. Сер. матем., 69:4 (2005), с. 7588 .

48. Королев М. А. О больших расстояниях между соседними нулями дзета-функции Римана // Изв. РАН. Сер. матем. 2008. 72. №2. 91 104.

49. Королев М. А. О кратных нулях дзета-функции Римана// Изв. РАН. Сер. матем., 2006, 70:3, 3-22

50. Королев М. А. Закон Грама и гипотеза Сельберга о распределении нулей дзета-функции Римана//Изв. РАН. Сер. матем., 74:4 (2010), 83-118.

51. Королев М. А. Об аргументе дзета-функции Римана на критической прямой//Тр. Мат. Ин. В.А.Стеклова. 2002. 239. 215-238.

52. Королев М. А. Гипотеза Сельберга о распределении значений мнимых частей нулей дзета-функции Римана// ДАН, 2008, 421, №3, 308-311.

53. Gram J.-P. Note sur les zeros de la fonction £(s) de Riemann// Acta Math. 27:1 (1903), 289-304.

54. Hutchinson J. I. On the roots of the Riemann zeta function//Trans. Amer. Math. Soc. 27:1 (1925), 49-60.

55. Титчмарш E. К. Теория дзета-функции Римана// 1-е изд. М.: ИЛ, 1953.

56. Titchmarsh Е. С. The zeros of the Riemann zeta function//Ргос. Roy. Soc. London Ser. A 151 (1935), 234255.

57. Titchmarsh E. C. The zeros of the Riemann zeta function//Ргос. Roy. Soc. London Ser. A 157 (1936), 261263.

58. Titchmarsh E. C. On van der Corput's method and the zeta-function (IV)// Quart. J. Math. 5 (1934), 98-105.

59. Selberg A. Contributions to the theory of the Riemann zeta-function//Arch. Math. Naturvid., 48:5 (1946), 89-155.

60. Selberg A. On the remainder in the formula for N(T), the number of zeros of £(s) in the strip 0 <t<T// Avh. Norske Vid. Akad. Oslo I, 1944, №1.

61. Selberg A. The zeta function and the Riemann hypothesis//Dixième Congrès Math. Skandinaves 1946, vol. 10, Jul. Gjellerups Forlag, Copenhagen 1947, pp. 187-200.

62. Мозер Я. О законе Грама в теории дзета-функции Рима-на// Acta Arith. 32 (1977), p. 107-113.

63. Mueller J. H. On the Riemann zeta-function Ç(s) gaps between sign changes of S(t) // Mathematika. 1983. 29, №58, 264-269.

64. Montgomery H. L. Extreme values of the Riemann zeta-function // Comment. Math. Helv. 1977. V. 52. №4. p. 511518.

65. Montgomery H. L. The pair correlation of zeros of the zeta function, Analytic number theory, 24 (1973), 181-193.

66. Tsang К. M. Some Q-theorems for the Riemann zeta-function// Acta Arith. 1986. V. 46. №4. p. 369-395.

67. Tsang К. M. The distribution of the values of the Riemann zeta function// Ph.D. dissertation, Princeton University, 1984.

68. Trudgian T.S. Gram's Law fails a positive proportion of the time// arXiv:0811.0883

69. Tpoem Э. Простые числа//Государ, из-во физ.-мат. литературы, 1959.

70. Кубилюс Й. П., JIuhhuk Ю. В. Арифметическое моделирование броуновского движения.// Изв. вузов. Математика. 1959. 6(13). 88 95.

71. Кубилюс Й. П. Вероятностные методы в теории чисел.// Госполитнаучиздат Литов. ССР, Вильнюс. 1962.

72. Кубилюс Й. П. Об асимптотических законах распределения аддитивных арифметических функций.// Литов. ма-тем. сб. 5, №2. 1965. 261 272.

73. Постников А. Г. Аддитивные задачи с растущим числом слагаемых// ИАН, сер. матем. 20, №6, 1956, 751 764.

74. Постников А. Г. Эргодические вопросы теории диофан-товых приближений// Труды МИ АН СССР, 1966. 82.

75. Постников А. Г. Об очень короткой показательной рациональной тригонометрической сумме// ДАН СССР, 1960. 133. №6.

76. Постников А. Г. Введение в аналитическую теорию чисел// М., Наука. 1971.

77. Постников А. Г. Оценка показательной тригонометрической суммы// Изв. РАН. Сер. матем., 1956. 70. 661-666.

78. Марков А. А. Исчисление вероятностей// Москва, Гос. из-во, 1924.

79. Минее в М. П. Метрическая теорема о тригонометрических суммах с быстрорастущими функциями// Успехи матем. наук 1959. 14. в. 3, 169 171.

80. Минеев М. П. Диофантово уравнение с показательной функцией и его приложение к изучению эргодической суммы// Изв. АН СССР, серия матем. 1958. 26. №5. 282 298.

81. Минеев М. П. О проблеме Тарри для быстрорастущих функций// Мат. сб. 1958. 46(88). №4. 451 454.

82. Мухутдинов Р. X. Диофантово уравнение с матричной показательной функцией// ДАН СССР 1962. 142. №1, 36 38.

83. Fortet R. Sur une suite également repartie.// Studia math., 1940. 1. 54 69.

84. Frechet M. and Shohat A proof of the generalized second limit-theorem in the theory of probability// Trans. Amer. Math. Soc. 33, 1931, №2, 533 543.

85. Лидл P.; Нидеррайтер Г. Конечные поля.// 1. 1988, M., "Мир".

86. Линник Ю. В. Эргодические свойства алгебраических полей.// Л., 1967. 208.

87. Линник Ю. В. Асимптотическое распределение приведенных бинарных квадратичных форм в связи с геометрией Лобачевского.// Вестник ЛГУ, №2, 3 23, 1955; №5, 3 -32, 1955; №13, 63-68, 1955.

88. Линник Ю. В. Некоторые применения неевклидовых геометрий к теории характеров Дирихле; аналоги эргоди-ческих теорем.// Тр. 3-го Всесоюзн. матем. съезда. 3. М. 1958.

89. Линник Ю. В., Скубенко Б. Ф. Асимптотическое распределение целочисленных матриц третьего порядка.// Вестник ЛГУ, №13, 25 36, 1964.

90. Лоэв М. Теория вероятностей.// Из во иностр. лит. 1962. 719.

91. Гашков С. Б., Чубариков В. Н. Арифметика. Алгоритмы. Сложность вычислений.// М., Высшая школа. 2000. 312.

92. Архипов Г. И., Садовничий В. А., Чубариков В. Н. Лекции по математическому анализу.// М., Высшая школа. 1999. 695.

93. Розанов Ю. А. Теория вероятностей, случайные процессы и математическая статистика.// Москва, "Наука", 1989.

94. Хамитов Г. П. Производящая функция в теории вероятностей. Новосибирск, 1999.

95. Спринджук В. Г. Закон ошибок Гаусса в распределении значений коротких сумм Вейля. // Докл. АН БССР. 1969. 13. № 10. 873 875.

96. Спринджук В. Г. Достижения и проблемы теории дио-фантовых уравнений. // Усп. мат. наук. 1980. 35. вып. 4. 3-68.

97. Бернштейн С. Н. Теория вероятностей.// ГИТТЛ, 1946.

98. Бредихин Б. М., Линник Ю. В. Бинарные аддитивные задачи с эргодическими свойствами решений.// ДАН СССР. 166. № 6. 1966.

99. Венков Б. А. Элементарная теория чисел.// ОНТИ, 1937.

100. Гелъфонд А. Ю., Линник Ю. В. Элементарные методы в аналитической теории чисел.// М., Физматгиз, 1961.

101. Кузьмин Р. О. Об одной задаче Гаусса.// ДАН СССР, сер. А, 375 380, 1928.

102. Bachman Р. Die Arithmetik der quadratischen Formen.// 1. Leipzig. 1898.

103. Haimos P. R. Lectures on ergodic theory.// Math. Soc. Japan, 1956.

104. Kac M. Statistical independence in probability and analysis and number theory.// N. Y., 1952.

105. Kac M. On distribution of values of sums of the type £/(24)11 Ann.Math. 1946. 47. №1. 33 49.

106. Weil A. On some exponential sums.// Proc. Nat. Acad. Sci. USA. 34. № 5. 204 207. 1948.

107. Weyl H. Uber die Gleichverteilung der Zahlen mod. Eins// Math. Ann., 1916. 77. 313 352.

108. Vaughan R. C., Wooley T. D. On the distribution of generating functions// Bull. London Math. Soc., 1998. 30. 113-122.

109. Шабагп Б. В. Введение в комплексный анализ, Часть I.// Москва, "Наука", 1976 г.

110. Ширяев А. Н. Вероятность.// Москва, "Наука", 1979 г.

111. Сираждинов С. X., Азларов Т. А. Об одной равномерной локальной теореме// И АН Уз.СССР, сер. физ.-матем. 1963, №2, 32 37.

112. Хинчин А. Я. Математические основания квантовой статистики// Гостехиздат 1951.

113. Фрейман Г. А. Проблема Варинга с растущим числом слагаемых// Учен. зап. Елабуж. гос. пед. ин-та. №3, 1958, 105 119.

114. Усолъцев Л. П. Аддитивная задача с растущим количеством слагаемых с показательной функцией// Известия высших учебных заведений СССР, Математика 3(58), 1967, 96 104.

115. Галочшн А. И., Нестеренко Ю. В., Шидловский А. Б. Введение в теорию чисел// Из во МГУ. 1995.

116. Фельдман Н. И. Седьмая проблема Гильберта// Из во МГУ. 1982.

117. Salem R., Zygmund A. On lacunary trigonometric series// Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A.33 (1947), 333 348; 34 (1948), 54 - 62.

118. Зигмунд А. Тригонометрические ряды// т. II, M., ИЛ, 1964.

119. Ghosh A. On Riemann's Zeta-function — Sign Changes of S(T)// Recent Progress in Analytic Number Theory, 1, 1981 Academic Press, New York.

120. Ghosh A. On the Riemann zeta-function-mean value theorems and the disribution of |S(T)|// J. Number Theory, 17:1 (1983), 93-102.

121. Ибрагимов И. А. Центральная предельная теорема для сумм функций независимых случайных величин и сумм вида 2^)//Теория вероятностей и ее применения, 1967. 12, вып. 4, 655 665.

122. Chebysev P. Sur les valeurs limites des intégrales//Journal de Mathématiques pures et appliquées, 19(1874), 157-160.

123. Stieltjes T. Recherches sur les fractions continues//Ann. Fac. Sci. Univ. Toulouse (1894-95), 8, J1-J122; 9, A5-A47.

124. Liapounoff A. Sur une proposition de la théorie des ргоЬаЫШёз//Извест1я Императорской Академш Наукъ, 13:4 (1900), 359-386.

125. Kolmogoroff A. Uber die Grenzwertsâtze der Wahrscheinlichkeitsrechnung//Изв. АН СССР. VII серия. Отд. матем. и естест. наук, 1933, N®3, 363-372.

126. Прохоров Ю. В. Некоторые уточнения теоремы Ляпуно-ва//Изв. АН СССР. Сер. матем., 16:3 (1952), 281-292.

127. Hamburger H. Uber eine Erweiterung des Stieltjesschen Momentenproblems I-III//Math. Ann. 81(1920) 235-319; 82(1921) 120-164; 82(1921) 168-187.

128. Nevanlinna R. Asymptotische Entwickelungen beschränkter Funktionen und das Stieltjessche Momentenproblem//Ann. Acad. Sei. Fennicae A18 (1922) N5, 1-53.

129. Riesz M. Sur le problème des moments. Première Note (Arkiv for Mathematik, Astronomi och Fysik 16, 1921, article 12.)

130. Hellinger E. Zur Stieltj esschen Kettenbruchtheorie//Math. Ann. 86, 1922, 18-29.

131. Carleman T. Sur les équations intégrales singulières a noyau réel et symétrique// Upsala, Lundequis, 1923.

132. Carleman T. Sur le problème des moments//C. R. Acad. Sei. Paris 174 (1922), 1680-1682.

133. KpeÛH M. Г., Рехтман П. Г. До проблемы Nevanlinna-Ршк//Труды Одесск. гос. ун-та, 1938, т. 2, с. 63-68.

134. Ахиезер Н. И., Крейн М. Г. О некоторых вопросах теории моментов//Харьков: ГНТИУ, 1938.

135. Гапошкин В. Ф. О скорости приближения к нормальному закону распределений взвешенных сумм лакунарных рядов// Теория вероятностей и ее применения, 1968. 13, вып. 3, 445 461.

136. Гапошкин В. Ф. О центральной предельной теореме для некоторых слабо зависимых последовательностей// Теория вероятностей и ее применения, 1970. 15, вып. 5, 666 -684.

137. Жимбо Э. К. О распределении значений модулей неполных сумм Гаусса.// Вестник Моск. ун-та. Сер. 1, Математика. Механика. 2001. №2. 66 67.

138. Жимбо Э. К., Чубариков В. Н. О распределении арифметических функций по простому модулю.// Дискр. ма-тематика.2001. №2. 47 58.

139. Жимбо Э. К., Чубариков В. Н. Об асимптотических распределениях значений арифметических функций.// Докл. РАН. 2001. 377. №2.

140. Нгонго И. С. Диофантовы приближения и наименьший невычет / / Современные проблемы теории чисел и ее приложения: Тезисы докл. IV Межд. Конф. Тула. 2001. 87.

141. Нгонго И. С. О распределении значений коротких сумм характеров дирихле по простым числам// Вестник МГУ. Сер. 1,мат. мех., 2002. №6. 45 48

142. Бояринов Р. Н. Об асимптотическом поведении сумм, связанных с дробями Фарея// Вестник МГУ. Сер.1, мат. мех., 2000. №3, 51 53.

143. Бояринов Р. Н. Многомерный аналог теоремы Форте-Каца// Современные проблемы теории чисел и ее приложения: Тезисы докл. IV Межд. Конф. Тула. - 2001 г. 97-98.

144. Бояринов Р. Н. Центральная предельная теорема для равномерного распределения дробных долей быстрорастущих последовательностей.// Вестник МГУ. Сер.1, мат. мех., 2001. №5, 52 54.

145. Бояринов Р. Н., Чубариков В. Н. О распределении значений функций на последовательности Фибоначчи.//ДАН, 2001. 379. №1. 9 11.

146. Бояринов Р. Н. О кратных нулях дзета-функции Римана //Тезисы докл. межд. конф. «Комплексный анализ и его приложения в дифференциальных уравнениях и теории чисел» Белгород, 2011. с. 30-30.

147. Бояринов Р. Н., Нгонго И. С., Чубариков В. Н. О новых метрических теоремах в методе А. Г. Постникова.// Актуальные проблемы теории чисел : Труды IV Межд. Конф.-Тула. 2002. 5 31.

148. Бояринов Р. Н. Об одной предельной теореме типа Форте-Каца.// Третий всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике. Тезисы докладов. "Обозрение прикладной и промышленной математи-ки"2002. 9. вып. 2. 343 344.

149. Бояринов Р. Я. О распределении значений сумм арифметических функций//диссертация кандидата физ.-мат. наук, Москва, МГУ им. Ломоносова, мех.-мат. ф-т, 2002.

150. Боярипов Р. Н. О распределении значений сумм, связанных с быстрорастущими последовательностями//Вестник МГУ. Сер.1, мат. мех., 2003. №2, 57-58.

151. Boyarinov R.N., Chubarikov V.N., Ngongo I.S. Asymptotic formulas for fractional moments of special sums// Чебышев-ский сборник , т. 9, вып. 4, 2003, 173-183.

152. Бояринов Р. Н. О распределении значений аналога дзе-товой суммы//Вестник МГУ. Сер.1, мат. мех., 2004. №3. 55-56.

153. Бояринов Р.Н., Нгонго И.С., Чубариков В.Н. О моделировании случайных величин на последовательности конечных абелевых групп// Вестник МГУ. Сер.1, мат. мех., 2004. №2, 69-71.

154. Бояринов Р. Н. О скорости сходимости к предельному показательному распределению//Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения: Тезисы докл. VI Межд. Конф. Саратов. - 2004 г. 25-26.

155. Бояринов Р.Н., Нгонго И. С. О распределении значений коротких сумм характеров Дирихле по простым чис-лам//Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения: Тезисы докл. VI Межд. Конф. Саратов. -2004 г. 26-27.

156. Бояринов Р. Н. О скорости сходимости к предельному показательному распределению//Чебышевский сборник , т. 6, вып. 1, 2005, с.50-57.

157. Бояринов Р. Н. Матричный аналог теоремы Форте-Каца//Восьмой всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике. Тезисы докладов. "Обозрение прикладной и промышленной мате-матики"2008. Т. 15. №1, С. 86-87.

158. Бояринов Р. Н. О поведении аргумента дзета-функции Римана на критической прямой//Восьмой всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной матема-тике. Тезисы докладов. "Обозрение прикладной и промышленной мате-матики"2008. Т. 15. №1, С. 87-87.

159. Бояринов Р. Н. О методе дробных моментов// Конкурс научных работ молодых ученых МГУ имени М.В.Ломоносова: сборник рефератов, №32 (2008), с. 9-11.

160. Бояринов Р. Н. Аргумент дзета-функции Римана// Труды VII международной конференции "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения", посвященной памяти профессора Анатолия Алексеевича Карацубы. Тула 2010, т. 11, вып. 1, 54-67.

161. Бояринов Р. Н. Изменение знака функции 5(£) на коротких интервалах// Вестник МГУ. Сер.1, мат. мех., 2010. №3, 51-53.

162. Бояринов Р. Н. О больших расстояниях между последовательными нулями дзета-функции Римана//Дискр. матем., 2010. Т. 22, №3, 75-82.

163. Бояринов Р. Н. О скорости сходимости распределений случайных величин// ДАН.2010. Т.435. №3. С. 295-297.

164. Бояринов Р. Н. О распределении больших значений аргумента дзета-функции Римана// Вестник МГУ. Сер.1, мат. мех., 2010, №6, 55-58.

165. Бояринов Р. Н. О нулях дзета-функции Римана большой кратности// Матем. заметки, 2011. Т. 89. №5, 652-657.

166. Бояринов Р. Н. О скорости сходимости к предельному распределению// Вестник МГУ. Сер.1, мат. мех., 2011, №2, 20-27.

167. Бояринов Р. Н. О дробных моментах случайных величин// ДАН.2011. Т.436. №3. С. 299-301.

168. Бояринов Р. Н. О больших значениях функции S(t) на коротких интервалах// Матем. заметки. 2011. Т.89. №4, с. 495-502.

169. Бояринов Р. Н. О распределении значений дзета-функции Римана// ДАН.2011.Т. 438. Ш. С. 14-16.

170. Бояринов Р. Н. Омега-теоремы в теории дзета-функции Римана// ДАН.2011.Т. 438. №2. С. 160-161.

171. Бояринов Р. Н. Вероятностные методы в теории аргумента дзета-функции Римана//Теория вероятностей и ее применения, 2011. Т.56. №2. с. 209-223.