Закон Грама в теории дзета - функции Римана тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Российская .Академия наук

Математический институт им. В.А. Стеклова

На правах рукописи УДК 511.331

КОРОЛЁВ Максим Александрович

Закон Грама в теории дзета - функции Римана

01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

7 НОЯ 2013

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико -математических наук

. Москва — 2013

005537313

005537313

Работа выполнена в Отделе алгебры и теории чисел ФГБУН Математический институт им. В.А. Стеклова РАН

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук Сергей Александрович Гриценко, профессор кафедры алгебры, теории чисел и геометрии Белгородского государственного национального исследовательского университета;

доктор физико-математических наук профессор Антанас Лауринчикас, заведующий кафедрой теории вероятностей и теории чисел Вильнюсского университета;

доктор физико-математических наук Дмитрий Александрович Попов, старший научный сотрудник Научно-исследовательского института физико-химической биологии им. А.Н. Белозерского МГУ им. М.В. Ломоносова.

Ведущая организация:

Хабаровское отделение ФГБУН Института прикладной математики Дальневосточного отделения Российской Академии наук

Защита диссертации состоится 26 декабря 2013 г. в 15 часов на заседании диссертационного совета Д 002.022.03 при Математическом институте им. В. А. Стеклова Российской академии наук по адресу: Москва, ул. Губкина, д. 8, 9-й этаж, конференц-зал.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Математического института им. В.А. Стеклова

Автореферат разослан " 2013 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 002.022.03 при МИАН, д. ф.-м.н. профессор

Н. П. Долбилин

Общая характеристика работы

Актуальность темы. В 1903 году датский математик Йорген Пе-дерсен Грам1' предложил метод приближённого нахождения нулей дзета- функции Римана С(^). Ключевую роль в методе Грама играли свойства последовательности точек {¿„} («точки Грама»), каждая из которых определялась как единственное решение трансцендентного уравнения

0(іп) = (п- 1)тг,

удовлетворяющее условию і9'(і„) > 0 (см. рис. 1). Символ і9(і) обозначает здесь приращение непрерывной ветви аргумента функции 7Т~!!/2Г(з/2) вдоль отрезка, соединяющего точки в = 0.5 и я = 0.5 + й; с ростом і эта функция ведёт себя как

і і і і я" Л / і \

Рис. 1. Точки Грама являются абсциссами точек пересечения графика функции у = (£) с горизонтальными прямыми у = (п - 1)тт, п = 0,1,2____Символ С обозначает точку минимума

со-

относительная простота вычисления величин tn, с одной стороны, и близость ряда характеристик последовательности {7П} упорядочен-

'> J.-P. Gram, "Sur les Zéros de la Fonction ф) de Шетаглі", Acta Math., 27(1903),

289-304.

ных по возрастанию положительных ординат нулей дзета-функции Ри-мана и последовательности точек Грама, с другой стороны, привлекли к последним внимание многих исследователей, в числе которых - Дж.И. Хатчинсон2', Э.Ч. Титчмарш3), А. Сельберг4', Я. Мозер5), А.А. Лаврик6) и др. По сути, их работы сформировали отдельное направление в изучении свойств ((s), которое иногда называют дискретной теорией дзета-функции Римана. К самым последним её достижениям следует отнести работы Т. Труджиана7), Й. Штойдинга, Ю. Кал-покаса и Т. Крайста8).

Вычисления, проделанные Грамом в 1902-1903 гг., позволили ему сделать следующее замечательное наблюдение: первые пятнадцать положительных ординат нулей Ç(s) отделены друг от друга точками tn (см. рис. 2):

to < 71 < il < 72 < h < ... < tu < 715 < ¿15- (1)

Осторожность в сочетании с глубокой интуицией позволили Граму предположить, что рано или поздно подмеченная им закономерность нарушится. Это предположение блестяще подтвердилось в ходе более обшир-

2' J. I. Hutchinson, "On the roots of the Riemann zeta-function", Trans. Amer. Math. Soc., 27(1925), 49-60.

3> E. C. Titchmarsh, "The zeros of the Riemann zeta-function", Proc. Roy. Soc. London Ser. A, 151(1935), 234-255; Proc. Roy. Soc. London Ser. A, 157(1936), 261-263.

4) A. Selberg, "The zeta-function and the Riemann hypothesis", C.R. Dixième Congrès Math. Skandinaves (1946), 10, Jul. Gjellerups Forlag, Copenhagen, 1947, 187-200 (см. также: A. Selberg, Collected papers. Vol. I. - Berlin, Springer-Verlag, 1989, 341-355).

5) Я. Мозер, "Арифметический аналог одной формулы Харди -Литтлвуда в теории дзета-функции Римана", Acta Mathematica Universitatis Comenianae, 37(1980), 109120; "О порядке одной суммы Е.К. Титчмарша в теории дзета-функции Римана", Czechoslovak Math. J., 41(116)(1991), 663-684.

6) А.А. Лаврик, "Проблема Титчмарша дискретной теории дзета-функции Римана", Теория чисел и анализ, Сборник статей. Труды Международной конференции по теории чисел, посвященной 100-летию со дня рождения академика И. М. Виноградова, Тр. МИАН, 207, Наука, М., 1994, 197-230.

7) T. S. Trudgian "On the success and failure of Gram's Law and the Rosser Rule", Acta Arith. 148:3 (2011), 225-256.

8> J. Kalpokas, J. Steuding, "On the value distribution of the Riemann zeta-function on the critical line", Moscow J. Combinatorics and Number Theory, 1:1(2011), 26-42; T. Christ, J. Kalpokas, "Upper bounds of discrete moments of the derivatives of the Riemann zeta function on the critical line", Lithuanian Math. J., 233-248; 52:3(2012), J. Kalpokas, "Discrete moments of the Riemann zeta function and Dirichlet L -functions". Doctoral dissertation. Vilnius university, Vilnius, 2012; T. Christ, J. Kalpokas, "Lower bounds of discrete moments of the derivatives of the Riemann zeta function on the critical line" (готовится к публикации в Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux).

ных вычислений -Хатчинсона (1925) и Титчмапша (1935), когда были обнаружены соседние ординаты, между которыми нет ни одной точки Грама, а также промежутки (£„_],£„], вовсе не содержащие ординат нулей

Рис. 2. Первые пятнадцать нулей функции Харди Z(t) = ei,,('>£(0.5 + it). Чёрным отмечены

точки Грама.

Попытки нахождения общей закономерности во взаимном расположении точек tn и 7„, которая учитывала бы как результаты вычислений Грама, так и обнаруженные впоследствии «исключения», привели к появлению понятия, известного как «закон Грама».

В настоящее время имеется несколько «разновидностей» закона Грама, принципиально отличающихся друг от друга. Одна из них была предложена в 1946 г. Сельбергом9' и состоит в следующем. Пусть 7„ -произвольная ордината нуля ((s). Тогда ввиду монотонности последовательности Грама можно выбрать номер т = т(п) так, чтобы выполнялись неравенства

^m—1 Тп ^ tm-

А. Selber?:, ук. соч

Следуя Сельбергу, положим Д^ — тп — ть и будем говорить, что ордината 7„ удовлетворяет закону Грама в том. и только том случае, когда Д„ = О или, что то же, когда 7„ € (£п-1, ¿п]- В частности, этому закону подчиняются все ординаты, вычисленные Грамом, а также большая часть всех ординат, приближённые значения которых известны в настоящее время.

В докладе «Дзета - функция и гипотеза Римана»10^, прочитанном на 10 Скандинавском математическом конгрессе в Копенгагене (1946), Сельберг, желая продемонстрировать, сколь осторожным следует быть при высказывании теоретико-числовых гипотез, основанных на одних лишь численных данных, привёл найденные им формулы

£ Д» = + О (ЛЧ1оё1о§Л0*-С1-5), (2)

n^N

Y,£g-1=0{N{log\ogN)k-1), (3)

n^N

где к ^ 1 - любое фиксированное целое число, а N —> +оо.

В том же докладе Сельберг высказал гипотезу о том, что для любой сколь угодно медленно растущей функции Ф(г), положительной и неограниченной при х —> +оо, число номеров п ^ N. не удовлетворяющих неравенствам

—j-r \/loglog п < |Д„| < Ф(п) Vloglogn, Ф(п)

есть o(N) при неограниченном возрастании N. Это означает, в частности, что Д„ ф 0 для «почти всех» п.

Насколько можно судить, долгое время эти результаты Сельберга оставались без должного внимания. Вероятно, этому способствовало то обстоятельство, что Сельберг так и не опубликовал доказательства формул (2) и (З)11).

Таким образом, представляют интерес вопросы, связанные с обоснованием формул Сельберга, а также их обобщений на случай «короткого» промежутка суммирования вида N < п^ N + М, где М = o(N), на случай нецелых показателей к и т.д.

10' А. Seiberg, ук. соч.

п)Хотя в примечании к тексту упомянутого доклада в «Избранных трудах» Сельберг отметил, что предположение о том, что Д„ ^ 0 для почти всех га следует из того факта, что величины Д„/lyloglogn имеют нормальное распределение. Последнее же «... стандартным образом выводится» из формул (2) и (3) (см.: А. Seiberg, Collected papers. Vol. I. - Berlin, Springer-Verlag, 1989, p.355).

Отдельного исследования требует и задача о распределении значений величин Д„. Помимо теоремы Титчмарша о неограниченности Ап (1935) и приведённых выше результатов Сельберга ничего не было известно о том, насколько большой по абсолютной величине может быть разность А„ и как часто может она принимать заданное значение/;;. В частности, не было известно, для какого числа номеров n^N равенство Дп = О всё же имеет место (или, что то же, какова доля ординат 7„, n^N, удовлетворяющих закону Грама).

Сопоставляя результаты вычислений Грама, Хатчинсона, Титчмарша и других исследователей с различными формулировками закона Грама, несложно заметить, что в последних строгие неравенства для ординат 7„ заменены нестрогими. Так, в рассматриваемой нами интерпретации Сельберга закона Грама ставится вопрос о попадании ординаты 7„ не в открытый интервал (ím_i,fm), а в полуинтервал (ím_i,ím]. Причина такой замены очевидна и состоит в скудости наших знаний в вопросе о том, может ли ордината нуля £(s) совпасть с какой-либо из точек Грама.

Такое совпадение кажется практически невероятным. Так возникает интересная задача обоснования или опровержения невозможности обращения в нуль величины С (0-5 + itn) при целом га ^ 0. Первые результаты в этом направлении были получены в 2011 г. Й. Штойдингом и Ю. Кал-покасом12), которым удалось доказать, что неравенство С(0.5 + itn) ф 0 имеет место по крайней мере для

Атт 7V

точек Грама tn, n ^ N.

Цель работы состоит в всестороннем исследовании разностей Д„ и связанных с ними величин £(0.5+¿í„), включая доказательство формул Сельберга и решения ряд задач о распределении Д„.

Научная новизна. Все результаты диссертации (включая найденные автором доказательства формул Сельберга) являются новыми.

Методы исследования. В работе используется метод Сельберга приближения функций, связанных с ((s), специальными тригонометри-

12> J. Kalpokas, J. Steuding, "On the value distribution of the Riemann zeta-function on the critical line", Moscow J. Combinatorics and Number Theory, 1:1(2011), 26-42.

ческими полиномами и метод Гоша13' нахождения моментов случайных величин с нецелым показателем, наряду с некоторыми новыми приёмами, разработанными в последние годы Р.Н. Бояриновым14), М. Радзи-виллом10) и автором.

Теоретическая и практическая ценность. Работа имеет теоретический характер. Её результаты могут быть использованы для исследования распределения значений достаточно широкого класса тригонометрических полиномов вида

^ ар sin (t log р), J] ар cos (i log р), ^Г dp рг\

P^x P^X

где p пробегает простые числа, a ap - вещественная последовательность, удовлетворяющая некоторым естественным ограничениям, а также распределения коротких сумм Клоостермана по простым числам.

Апробация работы. Результаты работы докладывались автором на семинарах «Аналитическая теория чисел и приложения» под руководством А.А. Карацубы (МГУ, механико-математический ф-т, 2007 г.), «Семинар по арифметической и алгебраической геометрии» под руководством А.Н. Паршина (МИАН, 2009, 2010 гг.), «Московский семинар по теории чисел» под руководством Ю.В. Нестеренко и Н.Г. Мощевити-на (МГУ, механико-математический ф-т, 2009-2012 гг.), научный семинар Хабаровского отделения Института прикладной математики ДВО РАН под руководством В.А. Быковского (2010 г.), «Современные проблемы теории чисел» под руководством C.B. Конягина и И.Д. Шкре-дова (МИАН им. В.А. Стеклова, 2012 г.), Семинар отдела алгебры и теории чисел и отдела алгебраической геометрии (семинар И. Р. Ша-фаревича) (МИАН, 2012, 2013 гг.), а также на международных конференциях «Zeta-functions» (Москва, 04.12.2008, 24.06.2010 и 20.11.2012), «Arithmetic Days in Moscow» (Москва, 13.06.2011), «27th Journées Arithmétiques» (Вильнюс, 27.06.2011), «Диофантовы приближения. Co-

13> A. Ghosh, "On Riemann's zeta-function - sign-changes of S(T)", Recent progress in analytic number theory (Durham, 1979), 1, Academic Press, London, New York, 1981, 25-46; "On the Riemann zeta-function - mean value theorems and the distribution of |S(i)|':, J. Number Theory, 17:1 (1983), 93-102.

14)P.H. Бояринов, "О дробных моментах случайных величин", Докл. РАН, 436:3(2011), 295-297; "Вероятностные методы в теории аргумента дзета-функции Римана", ТВП, 56:2(2011), 209-223.

151 M. Radziwill, "Large deviations in Selberg's central limit theorem", arXiv:math 1108.5092vl [math.NT],

временное состояние и приложения» (Минск, 05.07.2011), «Global Fields» (Москва, 25.10.2011), «Elementare und Analytische Zahlentheorie» (Лихтенфельс, 17.08.2012), «Международная китайско-российская конференция по теории чисел» (Москва, 08.10.2012), «Conference on Number Theory» (Гонконг, 29.11.2012), «28th Journées Arithmétiques» (Гренобль, 02.07.2013), «Palanga Conference in Combinatorics and Number Theory» (Паланга, 05.09.2013).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах, список которых приведен к конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация изложена на 294 страницах и состоит из введения, 6 глав и 3 приложений. Библиография содержит 66 наименований.

Содержание работы

В диссертации рассмотрены следующие вопросы:

1) моменты тригонометрических полиномов специального вида (глава 1);

2) поведение аргумента дзета-функции Римана в точках Грама (глава 2);

3) формулы Сельберга для моментов величин Дп и их обобщения; распределение значений А„ (глава 3);

4) порядок роста величин Д„ при п —» +оо; множество значений, которые принимает Дп (глава 4);

5) распределение пар, троек, четвёрок и т.д. соседних ординатуп, для которых величина Д„ ф 0 (глава 5);

6) малые значения функции С(0-5 + it) в точках Грама tn (глава 6).

Поясним каждую из этих задач подробнее.

1) Величины Д„ тесно связаны со значениями аргумента дзета-функции Римана на критической прямой, т.е. величины S(t) — 7г-1 argС(0.5 + it), в точках Грама tn. В свою очередь, функция S(t) приближается (в метрике пространств La[T\T + Н], а > 0) тригонометрическими полиномами вида

VM = v(t) =

р^х vP

где х — x{t), а р пробегает простые числа. По этой причине особый интерес приобретает задача нахождения асимптотических формул для «дискретных» моментов V(t), т.е. величин

N+M

Е ИиГ

n = N+\

где а - произвольное (в т.ч. нецелое) положительное число, а длина М промежутка суммирования имеет вид [jVa+£]. а — || = ^ — О < е < 10_3 - произвольное фиксированное число. Именно эта задача и рассматривается в главе 1.

Основными результатами этой главы являются новые формулы, дающие для таких моментов асимптотические разложения по степеням параметра

(5 = V^ — ~ log log х.

В случае целого а такое разложение будет содержать лишь конечное число слагаемых, в то время как для нецелого а главный член разложения представляется бесконечным рядом. Именно, справедливы следующие утверждения16):

ТЕОРЕМА 1. Пусть к ^ 1 - целое число, х0 < х < Тогда

N+M М к (9H-V

Е = ^ETSI^6^ + '^bgtf,

п = N+i Z n = 0 ^ П)-

где \в\ ^ 1, а каждый из коэффициентов Фп представляет собой полином от величин

6Г = Е"Т> г = 2,3,...,п.

¿—J рГ

В частности,

Ф0 = 1, Ф1 = 0, Ф2 = -^е2, Ф3 = ^е3,

26 • 3 25 23 • 3 • 52 22 • З2

11-43 ^ 11 „ 1 2 1 -

229 19 11 1 2

24-33 - 72 ®7 " 25Т3Т52 ®2®5 - ^бТзз6з64 +

16> Нумерация теорем в автореферате отличаются от нумерации в диссертации.

ТЕОРЕМА 2. Пусть xq < х ^ jV0-0001, а - произвольное вещественное число, отличное от целого и удовлетворяющее условиям

О < а < 1 fbgAi40-5 бе \ log X

Тогда справедливо следующее равенство:

N+M Г +ос р/ _ \

£ WW = 4г(а + 0.5) +

п = лг+1 V7T [п = 0 Г(-а)

+ o(Y-log:r

Л1<^аг е ) )у

При этом ряд, стоящий в правой части, является асимптотическим (по в), а постоянная в знаке О - абсолютной.

Метод, применяемый в главе 1, позволяет получать формулы для «интегральных» моментов полинома вида гт+н

\У^)\2асИ, Т^Т0(е), Н = Та+£,

>т

подобные формулам теорем 1 и 2. В качестве примера укажем следующее асимптотическое разложение первого момента У(£):

rT+H rT+H sin (i log р)

dt =

Г1+Н ГТ+Н

2) Приводимое в работе доказательство формул Сельберга (2),(3) построено. на сведении вычисления моментов величин Д„ к аналогичной задаче для чисел

А(п) = 5(<„ + 0),

более удобных для изучения. Исследованию свойств последовательности Д(п) и посвящена глава 2 диссертации.

Прежде всего, теоремы главы 1 позволяют значительно уточнить имеющиеся формулы для дискретных моментов аргумента дзета-функции Римана на критической прямой, т.е. для сумм вида

И+М

Е |Д (п)|2°, а>0.

п = ЛЧ-1

Так, имеют место следующие утверждения.

ТЕОРЕМА 3. Пусть к - целое число, 1 < к ^ с\^/loglogiV, где сі = 8- Ю-4 є. Тогда

N+M № М п , ЛП,Л , 9(С1кУ

¿Л =

n = N+1

3 2

5 (к — 1)! (2тг)Ы-1{ ° g >

лч-м

Е

1 = Л,+1

ТЕОРЕМА 4. Пусть а - произвольное вещественное число с условием О < а ^ С1 отличное от чётного натурального числа. Тогда

справедливо равенство

ы+м м

£ 1ДН|2а = -стГ(а + 0.5)(1оё1о§ЛТ(1 + 0(г(а))),

п = ЛГ+1 Ж

где

г(а) =

\---—— і , если 0 < а < 0.5;

V log log iV )

й (л/log log log N + є_1'5а0'5), если а > 0.5,

„ \/log log N

причём постоянная в знаке О - абсолютная.

Отметим, что ранее17' в качестве верхней границы остаточного члена формулы чётного момента чисел Д (га) указывалась величина вида

с*

с > 1.

V'log log JV'

Наилучшая из оценок остатка г(а) в формуле для момента степени 2а, а $ приводила в отдельных случаях к неравенству вида

(а) e-<Vi°giogiog7V; с>0.

17> См., например, ук. выше работы Р.Н. Бояринова. Также см. статью А. Гоша (1983) и обзор A.A. Карацубы и М.А. Королёва, "Поведение аргумента дзета-функции на критической прямой", УМН 61:3 (2006), 3-92, в которых доказаны формулы для интегральных моментов S(t) с соответствующими оценками остаточных членов.

Кроме того, формулы теорем 1 и 2 существенно расширяют диапазон, в которых могут меняться параметры к и а: 0 < к, а -С \Л°§ log N вместо прежнего 0 < к, а <С log log log N.

Применение стандартных вероятностных методов работы с характеристическими функциями случайных величин наряду с новыми результатами Х.К. Хванга18) о вероятностях «больших уклонений» от среднего значения для распределений, близких к гауссовскому, и теоремой 3 позволяет доказать следующий результат о распределении величин Д(п).

ТЕОРЕМА 5. Пусть

Ф(и) = Jj#{n\N <n^N + М, Д(п) ^^.v'loglogivj,

GW - ж,і

Тогда при любом и справедлива формула

1.78 9

е 2 dv.

Ф(и) = G{u) +

■y/log log log N

Если, сверх того, 1.5 ^ и ^ ^/log log N, то справедливы равенства ф(~ц) _ т , п(т 1-Ф(ц) _ , п(т

в которых

^ _ и(и2 + log log log iV) л/log log N а постоянные в знаках О зависят от е.

Теорема 5 даёт асимптотику числа номеров п из промежутка N < n^N + М, для которых величина Д(п) имеет порядок u\/loglogN, при условии, что «отклонение» и от «среднего значения» не слишком велико: и — о( '{/loglog N). Случай больших и охватывается следующей теоремой, которая позволяет оценить искомое количество снизу для всех и с условиями Ii » 1, и = o(y/log log TV).

ТЕОРЕМА 6. Пусть F(x) - произвольная монотонно возрастающая и неограниченная при х —»• +оо функция, такая, что 1 F(x) <С

18)Н.-К. Hwang, "Large deviations for combinatoril distributions. I: central limit theorems", Ann. Appl. Prob., 6:1(1996), 297-319.

-\Zlog х при N < х < N + М. Пусть, далее,

Тогда на промежутке N < п^ N + М найдётся не менее М8 номеров п. удовлетворяющих условию А(п) ^—(^гF)~1loglogN, и не менее Мб номеров, удовлетворяющих условию А(п) > (кГ)-1 \og\ogN.

3) Некоторые характеристики последовательностей Д„ и Д(п) = 5(£п + 0) оказываются во многом схожи, и это обстоятельство оказывается ключевым в доказательстве формул Сельберга.

Эта «схожесть» находит отражение в следующих леммах главы 3.

ЛЕММА 1. Пусть е(а,Ь) и$(а,Ь) обозначают, соответственно, числа решений неравенств а < Ап^Ь и а < А(п)^Ь с условием N < п < N + М. Тогда для любых целых чисел а и Ъ, а < Ъ, справедливо соотношение

с(а,Ъ) = |(-(Ь+1),-(а + 1)) + 0(|а| + |Ь|),

в котором \в\ ^ 1.

ЛЕММА 2. При любом целом справедливо тождество

ЛГ+М

£ Дт = (-1)" Е А*(") + Ж*) "ПОЗ),

tN<Чm^:tN+^í П = ДГ+1

в котором а = -Д(-ЛГ), 0 = + М),

а Ви - числа Бернулли.

Леммы 1 и 2 независимо друг от друга позволяют вывести формулы Сельберга из теоремы 3. Кроме того, лемма 1 позволяет перенести утверждения теорем 4 - 6 на случай последовательности Д„. Основным результатом главы 3 является следующая

ТЕОРЕМА 7. Все утверждения теорем 3-6 остаются справедливыми при замене в них величин А(п) членами последовательности Ап. В частности, аналоги формул (2) и (3) Сельберга справедливы и в случае «короткого» промежутка NN + М изменения п.

Также оказывается, что величины А„ хорошо приближаются значениями S(t) в точках разрыва, т.е. числами 5(7„±0), а также величинами

(

Kln In) 2п ■

Поэтому прямым следствием формул Сельберга оказываются асимптотические выражения для сумм

N+M N+M

Е |5(7n±0)|2a, Y, bn-tn\2a, а > 0.

п = Лг+1 n = N+1

Кроме того, методы, использованные при доказательстве теорем 5 и 6, позволяют исследовать распределение величин S(-yn i 0), 7„ — tn. Доказательства соответствующих утверждений также содержатся в главе 3.

4) Из формул Сельберга (2), (3) несложно заключить, что

liminf Дп = — оо, limsupAn = +оо. (4)

П-*+ОС П-> + 00

Связь величин Д„ с аргументом дзета-функции Римана£(з) позволяет воспользоваться наиболее точными на сегодняшний день результатами о порядке роста функции S(t) и значительно уточнить соотношения (4). На этом пути получается

ТЕОРЕМА 8. Существует положительная постоянная с, зависящая лишь от £ и такая, что

, , Л , / log N N1/3

max {±A„} ^ с -—--—

N<n^N+Ml ' \\0gl0gN,

Если верна гипотеза Римана, то при любом ß с условием

¿(logA02(loglogiVr3/2</^ j

справедливы неравенства:

шах {±Д„}> N-3n<n^N+2ßl- J 400 \log log/i

Непосредственным её следствием является

ТЕОРЕМА 9. При п +оо справедливы следующие соотношения тn-tn = n±((log nj-^iloglogn)"1/3),

Если гипотеза Римана верна, то ln-tn = ^((lognr^floglogn)-1/2),

при неограниченном возрастании п.

Верхняя оценка величин |А„| оказывается теснейшим образом связана с верхней оценкой функции |5(i)|:

ТЕОРЕМА 10. Пусть f(t) - положительная функция, неограниченно возрастающая при t +00 и такая, что при всех t^t0 выполнено неравенство |5(i)|^/(i). Тогда при всех п^ щ имеет место оценка: |Ап| ^/(п) + 0.01. В частности, при сколь угодно малом 6 > 0 справедливы неравенства

|А„| < (0.138 + 5) log п, и |Д„| < (О.б + Л),1^" ,

log log п

если верна гипотеза Римана.

Ряд дополнительных соображений, в основе которых лежит метод Сельберга оценки числа перемен знака вещественной функции на заданном отрезке, даёт возможность доказать, что всякое целочисленное значение /с, лежащее между максимумом и минимумом Д„, N < п^ N+M, принимается величиной Д„ на указанном промежутке, и притом достаточно часто. Так, имеет место

ТЕОРЕМА 11. Пусть целое число к удовлетворяет условию

1

(5)

Тогда для числа номеров п с условиями N < п ^ N + М, Д„ = к, выполнено неравенство

Зк > Л/ехр{-6яУтг(|А:| +c)v'loglogiV},

где с = с(е) > 0 - некоторая постоянная.

В частном случае к = О оценку теоремы 11 можно заменить более точной, если воспользоваться результатами А. Сельбсрга19^ и К,-М. Тсанга20) о числе точек перемены знака S(t):

ТЕОРЕМА 12. Для числа ординат 7„ промежутка N < n ^ N+M, удовлетворяющих закону Грама {т.е. таких, для которых Ап — 0) справедлива оценка

So > Me~c^og]og]ogN^, с = с(е) > 0.

Если гипотеза Римана верна, то

до > Me-cloglogIogiV = M(\og\og N)~с.

Отметим, что существует гипотеза, согласно которой величина 5о должна иметь порядок M (log log TV)-0-5.

Ограничение (5) на параметр к, которое содержится в условии теоремы 11, в ряде случаев оказывается обременительным. За счёт некоторого ослабления точности оценок область изменения к можно несколько расширить. Так, имеет место

Теорема 13. Пусть А > 0 - сколь угодно большое фиксированное число, Л). Тогда при любом целом к с условием ^ AyloglogTV справедлива оценка:

"М „ , , , , ехр{-(2тгА)2}

Ï^Ï^Oogloglog.ogW)--, '■>.

Кроме того, существует постоянная с = с(е) > 0 такая, что для любого целого к, удовлетворяющего неравенствам

( log N У/3

имеет место оценка: > N£.

19) A. Selberg, "Contributions to the theory of the Riemann zeta-function", Archiv Math. Naturvid., 48:5(1946), 89-155 (см. также: A. Selberg, Collected papers. Vol. I. - Berlin, Springer-Verlag, 1989, 214-280).

20>K.-M. Tsang, The distribution of the values of the Riemann zeta-function. A dissertation presented to the faculty of Princeton University in candidacy for the degree of Doctor of Philosophy. Princeton, 1984.

5) Закон Грама (в интерпретации Сельберга) выполняется редко: как следует из результатов главы 3, равенство Ап = О имеет место не более чем для (^(Л^к^к^^ ./V)-0-5) = о(7У) номеров п^М. Отсюда несложно заключить, что и неравенство

выполняется для всех п ^ N. за исключением о(Лг) номеров.

Далее, из теорем главы 3 о распределении значений Д„ следует, что как число положительных, так и число отрицательных среди первых п членов последовательности Дп при N —> +оо асимптотически эквивалентно О.БЛ''. Естественно поставить следующий вопрос: как распределены знаки величин Д„, Д„+1, отвечающих условию (6)? Эта задача обобщается на случай трёх, четырёх и вообще любого фиксированного числа в подряд идущих величин ДП) Дп+1, ■ ■ ■, Дп+в-1-

Оказывается, что среди всех возможных 2я наборов длины составленных из «+1» и «—1», имеется два «особых» набора е* = (1,1,..., 1) и е~ = (—1, —1,..., —1), каждому из которых отвечает 0.5N-i-o(N) наборов Д„, Дп+ь ..., Дп+5_1, п^ N, с соответствующим распределением знаков. Все же остальные комбинации знаков или вовсе не реализуются, или же встречаются не более чем в о(Ы) случаях. Это означает, грубо говоря, что перемены знака в последовательности Д„ встречаются очень редко. Все эти результаты находят отражение в следующей теореме главы 5:

ТЕОРЕМА 14. Пусть е = (£1,...,£8) - произвольный набор с условиями £] € { — 1,1}. з = 1,..., 5, £] < £г ^ ■ • • ^ и пусть Е = Е5(е) -множество тех п. для которых выполнены равенства

Тогда для числа — Ы, М) номеров п промежутка N<п ^ АТ+М, принадлежащих Е, справедлива формула

Д„Дп+1 ф О

(6)

М л. П(Т?\ г? 52А<По51о§к^1оё

д = к ■ — + О (К), н =--=

2 £

/л = к- — + О (Я), Я =

а постоянная в знаке О - абсолютная.

Кроме того, оказывается возможным исследовать поведение произведений |ДП ... Ап+5_1 | с условием отвечающих наборам чисел одного знака. Эти произведения, должным образом нормированные, имеют распределение, сходящееся при N —> +оо к т.н. гамма-распределению с плотностью

е-"

9(и) = -т=, и> 0.

7TU

ТЕОРЕМА 15. Пусть фиксированное целое число, Е - любое из

множеств Е3(е+), Ев(е~). Тогда при любом х > 0 число и(х) номеров п, N < п^ N + М, принадлежащих Е и отвечающих условию

0 < | Д„... An+S_i | ^ (тГ1 sjx log log N )s, выражается формулой

_ М ( Г g(u) du 1 2'Ш \ |0|<1

2 \Jo \Л°§ log log log N) ' ^

Теорема 15 позволяют доказать существование сколь угодно большого числа подряд идущих аномально больших или аномально малых значений величины Д„. Именно, при любом s ^ 2 можно указать функции h{x) и Н(х) с условиями

Ых) п Н(х)

, : ->• 0, : + 00, X +00,

-y/loglogx v/log log X

такие, что каждое из неравенств

0 < Д„, Д„+ъ • • •, Д„+в-1 ^ h(n), Д„, Д„+1,..., Д„+5_1 > Н(п)

имеет бесконечно много решений.

6) Как отмечалось выше, попытка придать формулировке закона Грама вид, наиболее полно отвечающий подмеченной Грамом закономерности, приводит к вопросу о том, могут ли точки Грама совпадать с ординатами нулей ((s) или, что то же, возможно ли при каком-нибудь п равенство С (0.5 + itn) = 0.

Методы, используемые в главах 1-5 диссертации, позволяют, с одной стороны, показать, что £(0.5 + itn) ф 0 для достаточно большого числа номеров п (и усилить упомянутый ранее результат Й. Штойдинга и

Ю. Калпокаса), и, с другой стороны, показать, что значения могут неограниченно приближаться к нулю.

Основными результатами главы 6 являются следующие утверждения.

ТЕОРЕМА 16. Пусть Q обозначает количество номеров п с условием N < п ^ N + М, удовлетворяющих условию С (0.5 + itn) ф 0. Тогда существуют положительные постоянные ах, а.2, зависящие лишь от е и такие, что выполняются неравенства:

Q ^ Me-ai(I°gloglog N)^

и, если гипотеза Римана верна,

Q ^ Me-a2logloglogAr = M(loglog N)~a2.

ТЕОРЕМА 17. Пусть F(u) - произвольная монотонная функция, неограниченно возрастающая при и —> +оо и удовлетворяющая на промежутке N ^и^ N + М неравенствам 1 F(u) «С y'loglogu, и пусть F = F(N). Тогда на указанном промежутке найдётся по крайней мере

^-^ехрНЗ/^)™)

номеров п, для которых выполнены неравенства

|C(0.5 + it„)| < ехр (— (1/F) log log N).

Прямым следствием теоремы 17 является следующая нижняя оценка дискретного момента степени (—1) дзета-функции Римана на критической прямой.

ТЕОРЕМА 18. При любом фиксированном 6 > 0 и N ^ Nq(e, 6) имеет место неравенство

Работы автора по теме диссертации

1. Ni.А. Королёв, О больших значениях функции S(t) на коротких промежутках, Изв. РАН. Сер. матем., 69:1 (2005), 115-124.

2. М.А. КОРОЛЁВ. Изменение знака функции S(t) на коротких промежутках, Изв. РАН. Сер. матем., 69:4 (2005), 75-88.

3. М.А. Королёв, О кратных нулях дзета-функции Римана, Язе. РАН. Сер. матем., 70:3 (2006), 3-22.

4. М.А. королёв, О больших расстояниях между соседними нулями дзета-функции Римана, Изв. РАН. Сер. матем., 72:2 (2008), 91-104.

5. М.А. КОРОЛЁВ, Гипотеза Сельберга о распределении мнимых частей нулей дзета-функции Римана, Докл. РАН, 421:3 (2008), 308-311.

6. М.А. Королёв, Закон Грама и гипотеза Сельберга о распределении нулей дзета-функции Римана, Изв. РАН. Сер. матш., 74:4 (2010), 83-118.

7. М.А. Королёв, О формулах Сельберга, связанных с законом Грама, Матем. сб., 203:12 (2012), 129-136.

8. М.А. Королёв, О новых результатах, связанных с законом Грама, Докл. РАН, 446:4 (2012), 378-379.

9. М.А. Korolev, Gram's Law and the Argument of the Riemann Zeta Function, Publications de l'Institut Mathématique. Nouvelle série (Beograde), 92(106) (2012), 53-78.

10. M.A. КОРОЛЁВ, О задаче Карацубы, связанной с законом Грама, Теория чисел, алгебра и анализ, Сборник статей. К 75-летию со дня рождения профессора Анатолия Алексеевича Карацубы, Тр. МИ АН, 276, МАИК, М., 2012, 162-172,

11. М.А. Королёв, О законе Грама в теории дзета-функции Римана, Изв. РАН. Сер. матем., 76:2 (2012), 67-102.

12. М.А. королёв, О новых результатах, связанных с законом Грама, Изв. РАН. Сер. матем., 77:5 (2013), 71-94.

Тезисы докладов по теме диссертации опубликованы в следующих

сборниках:

1. М.А. Korolev, Gram's law in the theory of Riemann's zeta function, 27th Journées Arithmétique (2011/06/27-07/01, Vilnius, Lithuania). Programme and Abstract book. Vilnius University, Vilnius, Lithuania, 2011, p. 34.

2. M. korolev, On Gram's law in the theory of Riemann zeta function, Международная конференция «Диофантовы приближения. Современное состояние и приложения» (3-8 июля 2011 г., Минск, Беларусь). Тезисы докладов. Институт математики НАН Беларуси, Минск, 2011, 37-38.

3. m.A. korolev, On the small values of the Riemann zela-function on the critical line, Elementare und Analytische Zahlentheorie (Elementary and Analytic Number Theory) (Germany, Schloßchnev, August 13-18, 2012), eds. T. Christ, N. Oswald, R. Steuding, J. Steuding, Universität Würzburg, Würzburg, 2012, s. 21-22.

4. M.A. KOROLEV, On the moments of some trigonometric sums, 28th Journées Arithmétiques (July 1-5, 2013, Grenoble, France). Programme and Abstract book. Institut Fourier - University Joseph Fourier, Grenoble, France, 2013, pp. 58-59.

5. M.A. korolev, On Lp-norms of certain trigonometric polynomials, Palanga Conference in Combinatorics and Number Theory (Palanga, Lithuania, September 01 - September 07, 2013). Programme and Abstract book. Vilnius University', Vilnius, Lithuania, 2013, pp. 24-26.

Автор искренне благодарит B.A. Быковского, C.A. Гриценко, А. Иви-ча, C.B. Конягина, А.П. Лауринчикаса, Н.Г. Мощевитина, Ю.В. Нестеренко, А.Н. Паршина, Д.А. Попова, И.С. Резвякову, К.-М.Тсанга и И.Д. Шкредова за интерес к работе и всестороннюю поддержку. Автор весьма признателен М. Балазару за помощь в переводе с французского статьи Грама, Е.И. Иванниковой за неоценимую помощь в оформлении иллюстраций, Р.Н. Бояринову за многочисленные дискуссии по затронутым в диссертации вопросам, а также всем своим родным, без поддержки которых эта работа не была бы написана. Кроме того, в ходе работы автор пользовался поддержкой РФФИ (грант № 12-01-31165 «мол-а»).

Подписано в печать 19.09.2013 тираж 100 экз.

Отпечатано в Математическом институте им. В.А. Стеклова РАН Москва, 119991, ул. Губкина, 8

Российская Академия наук

Математический институт им. В.А. Стеклова

На правах рукописи УДК 511.331

05201450198

КОРОЛЁВ Максим Александрович

Закон Грама теории дзета - функции Римана

01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва - 2013

Оглавление

Введение ....................................................................4

Дзета-функция Римана и её нули..................................4

Точки Грама..........................................................6

Функции S(t) и N(t)..................................................8

Классификация законов Грама ....................................9

Закон Грама в работах Сельберга..................................11

Предмет исследования ...............................................12

Обозначения..........................................................18

Глава 1. Моменты специальных тригонометрических полиномов ............................................................................20

§ 1 Чётные моменты величины V(tn)..................................21

§ 2 Явные формулы для коэффициентов Фп..........................28

§ 3 Порядок роста коэффициентов Ф„ при п +оо..................42

§ 4 Дробные моменты величины V(tn) ................................51

§ 5 Уточнение оценки остатка в формуле для первого момента . . 75

Глава 2. Поведение аргумента дзета-функции Римана в точках Грама....................................................................89

§ 1 Приближение функции S(t) специальными тригонометрическими полиномами........................................................93

§2 Моменты величин |Д(п)| с целым показателем .........105

§3 Моменты величин |Д(п)| с дробным показателем........110

§4 Распределение величин |Д(п)|...................117

Глава 3. Формулы Сельберга и их следствия...........130

§ 1 Первое доказательство формул Сельберга............132

§ 2 Второе доказательство формул Сельберга............136

§ 3 Третье доказательство формул Сельберга............142

§ 4 Поведение разностей tn — 7„....................147

§ 5 Аргумент дзета-функции Римана в точках разрыва ......151

§6 Промежутки Грама с аномальным числом ординат нулей £(s) 168

§ 7 Новый эквивалент «почти» гипотезы Римана..........175

Глава 4. Порядок роста величин Д„.................180

§ 1 О - и П - теоремы для Дп......................181

§ 2 Значения, которые принимает величина Дп...........189

Глава 5. Соседние ординаты, не подчиняющиеся закону Грама.....................................202

§ 1 Большие расстояния между соседними ординатами нулей £(з) 204

§ 2 Распределение знаков в наборах (Д„,..., Дп+5_1)........207

§3 Распределение произведений Ап ... Ап+з_1............213

Глава 6. Значения функции С(| + И) в точках Грама.....236

§ 1 Верхняя оценка 1о§ + И) | ...................240

§ 2 Основные теоремы..........................246

Приложение I. Вспомогательные утверждения..........254

Приложение II. Фрагменты работ Грама, Хатчинсона, Титч-марша и Сельберга............................263

Й.-П. Грам, «О нулях функции Римана £(5)>:>..........263

Дж.И. Хатчинсон, «О корнях дзета-функции Римана».....272

Э.Ч. Титчмарш, «Нули дзета-функции Римана» ........274

" А. Сельберг, «Дзета-функция и гипотеза Римана».......276

Приложение III. Таблицы .......................280

Статистика нарушений правила Грама..............280

Соседние члены последовательности Ап, отличные от нуля . . 281

Маленькие значения + г£) в точках Грама..........285

Дискретный момент дзета-функции Римана...........288

Литература.................................290

Введение

Светлой памяти моего Учителя Анатолия Алексеевича Карацубы

Дзета-функция Римана и её нули

Для комплексного числа s = сг + it с условием Re s = a > 1 дзета-функция Римана C(s) определяется как сумма бесконечного ряда

+оо п

ns

п=1

Дзета-функцию ввёл в математику Леонард Эйлер. В своих рассуждениях он впервые использовал (при вещественных s > 1) тождество

п=1 Р

теперь носящее его имя1). Дзета-функцию как функцию комплексного переменного первым стал изучать Бернхардт Риман.

Правее единичной прямой Re s = 1 справедливо равенство

(2)

в котором через {w} обозначена дробная доля и. Так как несобственный интеграл в (2) сходится при любом s с положительной вещественной частью, то с помощью этого равенства дзета-функция мероморфно продолжается в область 0 < Res ^ 1. Для продолжения £(s) на всю комплексную плоскость рассматривают функцию

£(з) = Ф-1)тГ2Г(£)С(5),

которая называется кси-функцией Римана. Определённая при Res > 1, кси-функ-ция допускает в этой области представление

/оо

(х8'2-1 + x-{s+1),2)u{x) dx, (3)

DB

правой части (1) стоит бесконечное произведение по всем подряд идущим простым числам.

в котором со(х) обозначает сумму ряда

сю

V е-™:

71=1

Так как несобственный интеграл в (3) сходится при любых в, то кси-функция, а вместе с нею - и С(5)) продолжаются на всю комплексную плоскость. Из (3) следует, что

Равенство (4) называется функциональным уравнением дзета-функции Римана.

Кси-функция Римана является целой функцией первого порядка и разлагается в бесконечное произведение Вейерштрасса вида

где д обозначает нули £(s), а = log 2v/7t — 1 — = —0.023 095 708..., Е - постоянная Эйлера2).

Из равенства (5) и свойств гамма-функции следует, что и £(s) имеет бесконечно много нулей. Ими будут, во-первых, «нетривиальные» нули, совпадающие с нулями д кси-функции Римана, и, во-вторых, «тривиальные» нули в точках s = —2п, п = 1, 2, 3,..., совпадающие с полюсами выражения sr(s/2). Полагая s = д в (4) и замечая, что £(s) = заключаем, что вместе с числом д нулями £(s) будут также и величины 1 — д, д и 1 — д. Иными словами, нетривиальные нули дзета-функции расположены симметрично относительно вещественной оси и прямой Res =

Известно, что все нетривиальные нули дзета-функции Римана лежат в вертикальной полосе 0 ^ Re s ^ 1, которая называется в теории £(s) критической полосой. Можно показать, что правая часть (2) отрицательна при 0 < s < 1, и что £(0) = 1 Ф 0. Поэтому все нули C(s)> лежащие в критической полосе, являются комплексными.

Нули д, лежащие в верхней полуплоскости, нумеруются в порядке возрастания их ординат, а в случае совпадения ординат - произвольным образом:

gn = ßn + iln, O^ßn^l, о < 71 < 72 < 7з < n= 1,2,3, ...3> .

Гипотеза Римана утверждает, что все нули дп лежат на прямой Res = которая называется критической прямой. Эта гипотеза в настоящее время не доказана и не опровергнута. В то же время известно, что на критической прямой лежит положительная доля всех нетривиальных нулей £(s)- Положительные ординаты таких нулей, также упорядоченные по возрастанию, обозначаются через сп4'.

математической литературе постоянную Эйлера принято обозначать через 7; в настоящей работе мы отступаем от этой традиции, поскольку символом 7 в дальнейшем обозначаются ординаты нулей дзета-функции Римана, для которых это обозначение также является общепринятым.

Наличие строгих и нестрогих неравенств отражает тот факт, что все нули ((.s), приближённые значения которых известны в настоящее время, являются простыми, однако не доказано, что дзета-функция не имеет кратных нулей.

обозначение не является общепринятым. Несложно видеть, что 7n ^ сп; если гипотеза Римана верна, то с„ = 7П при любом п.

£(s) = ¿(1-е).

(4)

(5)

Знаменитый мемуар Римана «О числе простых чисел, не превышающих данной величины» [1] вызвал к жизни ряд новых направлений в теории чисел и теории функций комплексного переменного, в числе которых - исследования, связанные с вычислением комплексных нулей дп дзета-функции.

Хотя ординаты первых трёх таких нулей были приближённо найдены самим Риманом с помощью созданного им мощного метода, факт этот стал известен лишь после публикации Карла Людвига Зигеля [2] (1932 г.), в которой он восстановил ход рассуждений Римана, основываясь на его черновиках. Первой же публикацией на эту тему следует, по-видимому, считать статью датского математика Йоргена Пе-дерсена Грама [3] (1895 г.), в которой он привёл следующие приближённые значения первых трёх ординат:

7i = 14.135, 72 = 20.82, ъ = 25.1.

Использованный Грамом метод был достаточно трудоёмок и практически непригоден для дальнейших исследований. Последующие многолетние поиски привели Грама к открытию осенью 1902 г. иного, более совершенного способа приближённого вычисления нулей C(s)-

Точки Грама

Для положительного t через #(í) обозначим приращение, которое получает непрерывная ветвь аргумента функции tt~s^2T(s/2) при изменении s вдоль отрезка, соединяющего точки s = |hs = |+zí. Тогда уравнение (4) приводит к равенству

которое означает, что функция

z{t) = é^ C(| + ¿Í)

вещественна при вещественных t, а её вещественные нули совпадают с ординатами нулей C(s), лежащих на критической прямой.

В основу метода Грама [4] легло следующее простое соображение. Пусть A(t) и B(t) - вещественная и мнимая части функции (Q + it). Тогда

С (| + ií) = e-imZ(t) = Z(t)(costf(t)-isintf(i)),

откуда A(t) = Z(t) cos$(í), B{t) = — Z(t) sin$(í). Рассмотрим те значения t, при которых B(t) обращается в нуль. Ими будут, во-первых, вещественные корни функции Z(t), совпадающие, очевидно, с ординатами сп тех нулей C(s)> чт0 лежат на критической прямой. Во-вторых, ими будут корни уравнения sin$(í) = 0, то есть такие í, при которых d(t) принимает значения, кратные 7г (см. рис. 1).

Можно показать, что функция d(t) неограничена сверху и монотонно возрастает при t > t* = 6.289836..., причём = -3.530573.... Поэтому при любом п^О уравнение $(£) = (п — 1)к имеет на промежутке t > t* единственное решение tn. Таким образом, величина +itn) оказывается вещественным числом, причём

С(| + 0 = A(tn) = Z(ín)cos7r(n- 1) = (—l)n~1Z(tn).

Допустим теперь, что в соседних точках и ¿„ функция А^) принимает значения одного знака. Тогда величины Z{tn-\) и Z(tn) будут иметь противоположные знаки, что возможно лишь в случае, когда Z(t) обращается в нуль между точками и 1п нечётное число раз.

10 20 30 40 50

Рис. 1. Точки Грама являются абсциссами точек пересечения графика функции у = с горизонтальными прямыми у = ттт, т — —1,0,1,2 ....

Убедившись с помощью формулы суммирования Эйлера-Маклорена в выполнении неравенства A(tn) > 0 для всех п = 1, 2,..., 15, Грам смог доказать, что все нули C(s), ординаты которых положительны и не превосходят 66, лежат на критической прямой, и нашёл весьма точные приближения для величин 7i, 72, - - •, 7is-

Таким образом Грам обнаружил, что каждый из промежутков Gn = {tn-\,tn\, п = 1,2,..., 15, содержит ровно один нуль Z(t), причём in_i < с„ < tn. По поводу этой закономерности Грам высказал в [4] следующее суждение. " Для значений tn5) в интервале от 10 до 65 величина A(tn) всегда оказывается положительной. По всей видимости, и сама функция A(t) остаётся положительной на большей части этого промежутка. Без сомнения, причина этого явления заключается в том, что

п

первое слагаемое суммы ^n~1//2cos (ilogn), равное единице, приводит к преобла-

1

данию положительных членов (над отрицательными - М.К.). Но если это так, то эта закономерность во взаимном расположении чисел с„ и tn сохранится и для корней с, близких к с15 и следующих за ним, до тех пор, пока мало -помалу не будет восстановлено равновесие."

5^Во избежание недоразумений и излишних пояснений при цитировании статьи Грама используются обозначения, принятые в настоящей работе. С переводом фрагмента статьи Грама можно ознакомиться в Приложении II.

Величины tn, называемые теперь точками Грама, образуют монотонно возрастающую неограниченную последовательность. Асимптотическое разложение

т ~ -1 -i + Е 1} г»-'»,

п—1 '

где В2п - числа Бернулли (В2 = ВА = В6 = Б8 = £10 = ^ и т. д.; см. [5]), позволяет вычислять величины tn с любой заданной степенью точности. В частности, можно показать, что

log п \ log п ) log п \ log п J

при п —>■ +оо. Так как при переходе отггкп + 1 величина logn изменяется очень слабо, то из последнего соотношения следует, что точки Грама образуют на вещественной оси «почти равномерную» сетку.

Функции S(t) и N(t)

Введём ещё несколько понятий, необходимых для дальнейшего. При t, отличном от ординаты нуля ((s), величину

S(t) = ^arg CQ + ii)

положим равной приращению непрерывной ветви 7г-1 arg£(s) вдоль ломаной линии, соединяющей точки 2, 2 + it и | + it. В противном случае положим

S{t) = J lim(S(i + h) + S{t - h)).

2 /г—>0

Так определённая функция S(t) называется аргументом дзета-функции Римана на критической прямой.

Рис. 2. График функции S{t). Вертикальные отрезки графика отвечают скачкам S(t) в точках разрыва, которые совпадают с ординатами комплексных нулей ((s).

Далее, через N(t) обозначим число нулей £(s) в прямоугольнике 0 < Ims^t, O^Res^l, с той лишь оговоркой, что в точках разрыва (совпадающих, очевидно, с ординатами 7га) величина N(t) определяется как полусумма пределов своих значений справа и слева:

N(t) = - lim (N(t + h) + N(t - h)).

2 h—Iо

Функции iV(i),$(t) и S(t) связаны равенством

N(t) = -0{t) + l + S(t),

7Г

которое называется формулой Римана-Мангольдта (см., например, [6]). Из этой формулы и классической оценки S(t) = O(logi), принадлежащей Дж. И. Литтлвуду [7], следует, что количества точек Грама tn и ординат 7п, попавших на промежуток (0,Т], совпадают с точностью до слагаемого O(logT) с величиной

1 Т л Т Т 1 /1 \

Таким образом, с ростом п величины tn асимптотически ведут себя как ординаты нулей дзета-функции Римана: tn ~ 7„.

Наличие такой связи между просто устроенной последовательностью точек Грама, с одной стороны, и с трудно поддающимися изучению нулями ((s), с другой стороны, вызвало интерес к обнаруженной Грамом закономерности.

Классификация законов Грама

Понятие «закон Грама» впервые появилось в работе Дж.И. Хатчинсона [8] (1925 г.), который подразумевал под ним свойство соседних нулей сп и с„+1 функции Харди быть отделёнными друг от друга точкой Грама tn. Желая подтвердить приведённое выше предположение Грама о том, что найденная им закономерность рано или поздно нарушится, Хатчинсон предпринял вычисление нулей Ç(s) в более широком, чем Грам, диапазоне, и обнаружил в итоге два значения п, этой закономерности не подчиняющиеся, а именно п = 127 и п = 135, когда

¿127 < 7127 < 7128 < ¿128) ¿134 < 7135 < 7136 < ¿135-

Десять лет спустя вычисления Хатчинсона были продолжены Э.Ч. Титчмаршем и Л.Дж. Комри с применением счётных машин «Брунсвига», «Холлерит» и «Ней-шенел». В ходе этих вычислений, результаты которых изложены в статьях [9],[10], были обнаружены новые исключения из закона Грама, доля которых в общем числе изученных случаев не превышала 4.5%6\

Помимо численных данных, статья [9] содержала и первые теоретические результаты, относящиеся к закону Грама. Во-первых, Титчмарш доказал, что последовательность номеров п, для которых нарушено неравенство A(tn) > 0 и первые

6'Сам Титчмарш упоминает о 43 исключениях, встретившихся при вычислении 1041 нуля Z(t) на промежутке 0 < t ^ 1468. В действительности между t = 0 и t = 1468 имеется 1042 нуля функции Харди, 1041 точка Грама tn и 45 значений п, для которых ( —1 )n~1Z(tn) < 0.

два члена которой были обнаружены Хатчинсоном, является неограниченной. Во-вторых, Титчмарш установил, что неограниченной является и последовательность дробей

Ста ^п 1 ^п

(6)

Отсюда сразу следовало, что для бесконечно многих п нуль сп функции Харди не попадает в «свой» промежуток Грама Сп = (£п-ъ£та]-

Рис. 3 График функции Харди .£(£) вблизи точки ^127? отвечающей первому исключению из закона Грама, обнаруженному Дж.И. Хатчинсоном; промежуток 6127 = (¿126; ¿127] не содержит

ни одной ординаты.

Закономерность, допускающая бесконечно много исключений, не может, строго говоря, называться законом. Тем не менее, понятие «закон Грама» стало использоваться достаточно широко, правда, в различных смыслах. Так, ряд авторов подразумевает под ним свойство промежутка Грама Сп = (¿п_1, содержать ровно один нуль функции Харди Z{t). Вместе с этим рассматривается и «ослабленный закон Грама», выполнение которого отвечает наличию на промежутке нечётного числа нулей Z(t). Известно, что каждая из этих разновидностей закона Грама нарушается для положительной доли промежутков Ослабленный закон Грама выполняется в положительной доле случаев, но в то же время неизвестно даже, конечно или нет число промежутков Грама, содержащих ровно один нуль функции Z{t)1\ Ещё более сложным оказывается задача описания множества тех нулей сп функции Харди, каждый из которых попадает в «свой» промежуток Грама

Ввиду такого разнообразия формальных описаний закономерности, подмеченной Грамом на небольшом количестве численных примеров, название «закон Грама» уместно относить ко всякому вообще утверждению о взаимном расположении членов бесконечных последовательностей ординат нулей ("(в) и точек Грама.

Подробное обсуждение этого вопроса см в [11]

8)Очевидным следствием теоремы Титчмарша о неограниченности дробей (6) является тот факт, что нуль сп не попадает в Сп для бесконечного множества номеров п

Закон Грама в работах Сельберга

В докладе «Дзета-функция и гипотеза Римана» [12], прочитанном на 10 Скандинавском математическом конгрессе в Копенгагене (1946 г.), Сельберг, желая продемонстрировать, насколько ошибочными могут быть теоретико-числовые гипотезы, основанные на одних лишь численных данных, привёл два примера.

Первый - классический - относился к неравенству п(х) < И(ж)9\ подкреплённому большим числом примеров, но которое, тем не менее, нарушается для бесконечного множества целых чисел х.

Второй пример относился к численной проверке закона Грама. Поясним этот пример подробнее. Для этого рассмотрим произвольную ординату jn нуля дзета -функции Римана. По её номеру п определим целое число m = m(n) так, чтобы выполнялись неравенства

¿771—1 7n ^ ¿7711

и положим Ап = m — п.

Вычисления, проделанные Титчмаршем для промежутка 1 ^ п < 1041, показывают, что равенство Д„ = 0 имеет место во всех случаях,