Дзета-функции и их приложение к решению некоторых задач математической физики тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ РАДИОТЕХНИКИ, ЭЛЕКТРОНИКИ И АВТОМАТИКИ (ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)

Кафедра высшей математики

На правах рукописи УДК 517.958 КИСУНЬКО АЛЕКСАНДР ГРИГОРЬЕВИЧ

ДЗЕТА-ФУНКЦИИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЕ К РЕШЕНИЮ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Специальность 01.01.03 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель доктор физико-математических наук профессор

Вшивцев А.С.

Научный консультант доктор физико-математических профессор Жуковский В.Ч.

Москва 1999

СОДЕРЖАНИЕ

Введение......................... 3

Глава 1. Некоторые дзета-функции, возникающие в связи с задачами математической физики и эффективные потенциалы...... 10

Глава 2. Дзета-функция Эпштейна-Бернса и некоторые их свойства ... 21

Глава 3. Фазовая структура модели Гросса-Неве с учетом влияния

температуры и конечного объема ...............34

Глава 4. Расчет эффективного потенциала,, порождаемого нетривиальной топологией типа .................71

Глава 5. Рассеяние упругих волн на планарных периодических структурах в анизотропных средах начальными напряжениями ... 84

Приложение 1...................102

Приложение 2....................................104

Заключение..................................109

Список литературы ...............112

ВВЕДЕНИЕ

Настоящая диссертация посвящена решению задач математической и теоретической физики на основе унифицированной процедуры использования обобщенных дзета-функций. Необходимость такого рассмотрения связана, с одной стороны, с развитием компьютерных методов расчета различных задач математической физики, а с другой стороны - бурным развитием решеточных теорий поля. Другое применение обобщенных дзета-функций в задачах математической и теоретической физики обуславливается все возрастающим интересом к рассмотрению задач на нетривиальных топологических структурах для получения не локальных свойств решений уравнений математической физики, а глобальных. По-видимому, исторически этот подход в одномерном случае восходит к Леонарду Эйлеру и Бернгарду Риману. Затем, в силу исторически сложившихся причин, решение задач математической физики, ввиду трудности нахождения точных решений, в значительной мере было сосредоточено на изучении локальных свойств решений. Однако, вследствие работ Пуанкаре по теории гиперэллиптических функций и в связи с дифференциальными уравнениями нетривиальной топологической структуры стало ясно, что для полного решения задач математической физики существенны теоретико-числовые свойства обобщенных дзета-функций. С другой стороны, еще один нетривиальный вопрос связан с так называемыми асимптотическими рядами теории возмущений, которые возникают при рассмотрении простейших задач одномерной квантовой механики. Полное решение этой задачи связано с построением так называемой топологической теории возмущений, предложенной А.С.Вшивцевым и В.Н.Сорокиным в работе [1] и продолженной в других многочисленных работах (см., например, работы [2], [3]). Топологическая теория

возмущений фактически основывается на глобальном характере поведения решения данного дифференциального уравнения. С третьей стороны, Н.С.Кошляков в работе [4] , написанной, как известно, в лагере, под псевдонимом Н.С.Сергеев, проводит замечательное исследование функционального уравнения Римана, навеянное уравнением теплопроводности. В этом исследовании вводятся и изучаются функции, обобщающие функцию гамма, полиномы Бернулли и т.п. В качестве функции, обобщающей дзета-функцию Римана, Н.С.Кошляков рассматривает ряд Дирихле:

Исторически, первой была введена дзета-функция Римана (известная еще Эйлеру):

Для дзета-функции Римана доказано аналитическое продолжение, функциональное уравнение и множество соотношений, эквивалентных функциональному уравнению. Основные факты, относящиеся к дзета-функции Римана приведены в монографии Титчмарша [5]. После классической работы Римана появился ряд исследований Гурвица, Лерча, Аппеля, Стилтьеса, Э.Ландау , Гамбургера, Н.С.Кошлякова и др., посвященных различным обобщениям дзета-функции Римана и их

где А,15...,А,п -положительные корни уравнения Фурье, играющего основную роль в аналитической теории распространения тепла:

р бш пХ + X соб %Х = 0, р>0.

00

ф)= п где Яе5> 1. п=1

применением к различным задачам анализа и теории чисел, завершением которых явилась упомянутая выше работа Н.С.Кошлякова.

Дальнейшее направление теории дзета-функций связано с введением Дирихле так называемых Ь - рядов, свойства которых можно найти в монографии Н.Г Чудакова [6]. Общий вид Ь - ряда Дирихле:

00

п=1

где х(п) " характер Дирихле. Функции Дирихле возникают в физике твердого тела как суммы Маделунга и в квантовой теории поля в связи с понятием «скрученных полей» [8]. Ряды Дирихле впоследствии обобщались в работах Дедекинда, Э.Артина , Хассе, Гекке, Зигеля, А.Вейля, Тейта, Тамагавы, Ленглендса и других авторов. Итоговая монография на эту тему - книга Э.Жаке, Р.Ленглендса [7].

Наконец, в работах Р.Эпштейна, Л.А.Дикого, С.Минакшисундарама, А.Плейеля, А.Сельберга, Л.Д.Фаддева, С.Хокинга и очень многих других были введены понятия: «дзета-функция Эпштейна», «обобщенная дзета-функция Эпштейна», «дзета- функция Сельберга», «дзета-функция Плейеля-Минакшисундарама», «дзета-функция дифференциального оператора» и установлены многочисленные связи с теорией возмущений, спектральной геометрией, квантовой статистической механикой, квантовой теорией поля и т.д. Необходимые сведения и многочисленные ссылки можно найти в книгах Н.Харта [8], ив коллективной монографии [9].

Таким образом, весь перечень перечисленных вопросов позволяет сформулировать задачу использования обобщенной дзета-функции в приложении к решению задач математической физики в более широком плане. А именно: вычисление на основе дзета-функции или с ее использованием необходимых в теоретической физике величин, таких как

эффективный потенциал, статистическая сумма и т.д. А также решение классических задач теории рассеяния для двух измерений.

Первая глава диссертации является вводной. Она разделена на три параграфа. В § 1 рассматривается связь между оператором Лапласа и дзета-функцией. В § 2 рассматривается между уравнением теплопроводности и дзета-функцией. В § 3 напоминаются некоторые известные дзета-функции, приводятся их свойства и устанавливается связь дзета-функций и эффективных потенциалов.

Вторая глава диссертации также разделена на два параграфа. В § 1 рассматриваются некоторые примеры дзета-функций возникающих в задачах теоретической и математической физики. В результате мы приходим к задаче изучения общей дзета-функции, которую автор назвал дзета-функция Эпштейна-Бернса. В §2 изучаются некоторые свойства двумерной дзета-функции Бернса, для которой доказывается несколько необычное функциональное уравнение.

Третья глава посвящена исследованию фазовой структуры модели Гросса-Неве с учетом влияния температуры и конечного объема. Предложена регулярная процедура вычисления эффективного потенциала модели Гросса-Неве на двумерной решетке с различными типами граничных условий. Процедура основана на использовании дзета-функции Римана-Эпштейна. Для разных типов граничных условий найдены эффективный потенциал и фазовая структура модели. Показано, что в двумерии ( в отличие от трехмерия ) фазовая картина не зависит от константы связи (при смешанных граничных условиях). Установлено существование критической длины такой, что если длина пространственного измерения меньше критической , то при любой температуре ос - 0 и фазового перехода нет ( ас - параметр порядка ). Если длина пространственного измерения больше критической, то существует фазовый переход: при температурах ниже температуры

фазового перехода ас Ф 0, выше сгс=0. Кроме того, рассматривается задача факторизации двумерной дзета-функции Эпштейна

{гп,П)Ф{ 0,0)

в сумму произведений множителей более простого вида. Это возможно только для некоторых пар чисел а и Ь, которых имеется конечное число и которые перечислены в настоящей главе. Эти результаты могут найти применение при квантовании 6-мерного обобщения теории Калуцы-Клейна, рассмотрении эффектов в сверхпроводниках, в некоторых моделях квантовой гравитации и, возможно, некоторых других задачах.

Четвертая глава посвящена далеко идущему обобщению результатов предыдущей на случай пространства с нетривиальной топологией

Т х Л . Разработана процедура вычисления эффективных потенциалов для пространств с этой топологией при произвольных граничных условиях: периодических, антипериодических, смешанных и с произвольными фазами. При этом изложение ведется в форме, близкой к аксиоматической, что позволяет легко выписать эффективный потенциал в любом случае, когда тепловое ядро соответствущей задачи допускает тэта-соотношение (модулярное соотношение). Основа изложения в настоящей главе - взаимосвязь задачи вычисления эффективного потенциала и теории нестандартных функциональных уравнений для рядов Дирихле, удовлетворяющих обобщенному функциональному уравнению типа Гекке, которому удовлетворяют возникающие в задаче дзета-функции типа Эпштейна.

Пятая глава посвящена изучению характера поведения асимптотических решений волнового уравнения при рассеянии плоской волны на двояко-периодических локальных неоднородностях, имеющих планарное расположение. Задача изучения точных и асимптотических решений волновых уравнений для таких структур обуславливается необходимостью

моделирования сплошных сред с неоднородностями, а также изучением распространения упругих волн в тонких пленках (сегнетоэлектрики и пьезоэлектрики ). В задачах данного класса необходимо учитывать не только первое приближение, но и детально исследовать более тонкие эффекты. Это исследование сводится к математической задаче теоретико-числового типа: нахождение асимптотического поведения функций специального вида, представляемых в виде двойных сумм по решетке неоднородностей. В настоящей главе представлена одна из возможных процедур построения таких асимптотик. Хотя математически это всего лишь частный пример, корни его расположены очень глубоко. А именно, в теории рядов Дирихле важную роль играют тождества, равносильные функциональному уравнению: они называются нестандартные функциональные уравнения или «явные формулы» ( в дальнейшем мы будем писать этот термин, обходясь без кавычек ). Мы имеем цепочку равносильностей: «функциональное уравнение» <=> «модулярное соотношение» О «разложение на простейшие дроби» О «формула суммирования» <=> «асимптотическая явная формула» О и т.д. Наша задача является как раз примером асимптотической явной формулы, выписанной для очень специфической дзета-функции из рода «сдвинутых дзета-функций Эпштейна». Такой пример в математической литературе не рассматривался, хотя тематике явных формул посвящены многочисленные работы Вороного, Вигерта, Оппенгейма, Эдмунда Ландау, Вальфиша, Харди, Литтлвуда, Уилтона, Гамбургера, Гекке, Диксона, Феррара, Гинанда, Кошлякова, Кузьмина, Бохнера, Чандрасекхарана, Нарасимхана, Берндта, Лаврика, Морено и др. (см. [8],[9],[10] и указанные там ссылки). Из формулы, представленной в настоящей главе, следует, что в главном асимптотическом приближении ( с точностью до экспоненциально малых поправок ) в дальней волновой зоне, что соответствует пределу малых периодов решетки неоднородностей, решение волнового уравнения

представимо в виде плоской волны, распространяющейся ортогонально плоскости расположения узлов неоднородности, а добавочные слагаемые к главному асимптотическому приближению носят осциллирующий характер и их амплитуда промодулирована убывающей экспонентой.

Приложение 1 посвящено доказательству функционального уравнения для дзета-функции Эпштейна.

Приложение 2 посвящено доказательству теоремы разложения двумерной дзета-функции Эпштейна в сумму произведений множителей более простого вида.

Заключение посвящено формулировке основных результатов, полученных в диссертации.

ГЛАВА I Некоторые дзета-функции, возникающие в связи с задачами математической физики, и эффективные

потенциалы

§ 1.1. Оператор Лапласа и его связь с дзета-функцией

Пусть М - компактное риманово многообразие с метрикой g , где для локальных координат (яХ'-'-'Яп) оператор Лапласа-Бельтрами

определяется формулой

/ _ \

д

V )

У

Относительно сведений об операторах Лапласа на римановых многообразиях см. [19], [20], [21]. Во многих случаях операторы Шрёдингера квантовых систем оказываются операторами Лапласа-Бельтрами на компактных римановых многообразиях. Квантовая система описывается дифференциальным оператором в частных производных, который называется гамильтонианом этой системы и обозначается Н. Он действует на элементы гильбертова пространства Н. Основным объектом изучения является уравнение Шрёдингера НЧ/=ЕУ¥. В квантовой статистической механике считается, что квантовомеханическая система, описываемая гамильтонианом Н , находится в состоянии с энергией Еп , где индекс п - не одно число, а совокупность квантовых

чисел, задание которых полностью определяет волновую функцию и тем самым - состояние системы, с вероятностью

уи —-

П

где (3 - параметр, интерпретируемый как величина обратно

пропорциональная абсолютной температуре: (3 = где ^" постоянная

Больцмана. Тогда величина Z — ¿г (е ) = ^Г е , называется

п

статсуммой\ здесь сумма берется по всем состояниям системы. Следует отметить, что м?п - именно вероятность данного состояния, а не вероятность того, что система имеет определенное значение энергии Еп, т.к. данной энергии может соответствовать не одно, а несколько различных состояний, т.е. может иметь место вырождение. Можно также записать

г = Х апе > гДе ап ~ кратность энергии Еп . Последняя сумма

берется по всем различным уровням.

На языке математики статсумма - это след матрицы плотности

оо

р((3, х, у)= ^ е ^^(х^Су), где собственные значения и

к=О

собственные функции гамильтониана Н. Здесь /г р((3) = |р(Р, х, х), и

м

М - наше компактное риманово многообразие. Напомним, что мы интересуемся случаем, когда гамильтониан является оператором Лапласа-Бельтрами на компактном римановом многобразии, т.е. самосопряженным оператором. Лапласиан является эллиптическим оператором, что легко следует из известных определений [6, 19, 20, 21]. А именно, для линейного дифференциального оператора

|а| <т

где х е и где:

а\<т

Символ является многочленом степени т по с коэффициентами, зависящими от х. Главным символом линейного дифференциального оператора порядка т называется выражение:

а =т

Оператор Р называется эллиптическим, если выполнено следующее условие:

Для любого неотрицательного самосопряженного эллиптического дифференциального оператора, все собственные подпространства конечномерны и отличны от нуля лишь для дискретного множества неотрицательных X [6, 19, 20]. Введем теперь следующее определение. Пусть А - неотрицательный самосопряженный эллиптический оператор и пусть {А,и} - его спектр, причем каждое значение считается столько раз, какова его кратность (т.е. размерность соответствующего ему собственного подпространства); тогда определим дзета-функцию нашего дифференциального оператора так [6, 19,20]:

Для оператора Лапласа-Бельтрами главный символ имеет вид:

(1.1.1)

Здесь штрих над суммой означает, что слагаемые, соответствующие нулевым собственным значениям, опускаются. В частности, определение применимо к оператору Лапласа. Ряд (1.1.1) абсолютно сходится при достаточно больших Яе (б) , если оператор А является регулярным эллиптическим (в частности, это верно для оператора Лапласа на компактном римановом многообразии). Статсумма

= > ПРИ сходится и для р((3) = е~ря выполнено

п

дифференциальное уравнение Блоха [6]:

Я)

— р(р) + Яр(р) = 0, р(0)=1.

Дзета-функцию оператора Н, можно выразить через статсумму так:

1 00

= (1.1.2)

Понятие дзета-функции без особого труда переносится на случай компактных многообразий с краем и регулярных граничных задач. Однако, нам понадобится также случай непрерывного спектра. Рассмотрим простейший случай, когда многообразие является прямым произведением компактного многообразия К и вещественного пространства Иг , а

. -А + т2

дифференциальныи оператор А =-г-, тогда его дзета-функцию

Ц

можно вычислить по формуле, которую можно рассматривать как определение [77]:

<;»= г). а-1.3)

(л \2 П=Х

(4тг)

Г

^ г \ {

8 2 1 00

г

5--

2

где Хп- собственные значения оператора Лапласа компактного

многообразия К.

Основные ссылки к этому параграфу см.: [13], [14], [15], [16], [17], [18], [19], [20], [21], [24], [77].

§ I. 2. Уравнение теплопроводности и его связь с теорией

дзета-функций

Пусть М - компактное риманово многообразие, А - регулярный эллиптический дифференциальный оператор на М, с ним тогда