Расстояние между соседними нулями дзета-функции Римана, лежащими на критической прямой тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ



□□3462564

На правах рукописи

Хайруллоев Шамсулло Амруллоевич

Расстояние между соседними нулями дзета-функции Римана, лежащими на критической прямой

01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 о озз

Душанбе 2009

003462564

Работа выполнена в Институте математики Академии наук Республики Таджикистан

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор, член-корреспондент АН РТ, Рахмонов Зарулло Хусенович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Чубариков Владимир Николаевич

кандидат физико-математических наук, доцент Негматова Гавхар Дехконовна

Ведущая организация:

Таджикский национальный университет

Защита состоится 11 марта в 11ч. 00 мин. на заседании диссертационного совета К 047.007.01 при Институте математики Академии наук Республики Таджикистан по адресу: 734063, г.Душанбе, ул. Айни 299/1.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики АНРТ.

Автореферат разослан 6 февраля 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Каримов У.Х.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Одним из главных направлении исследований в теории дзета-функции Римана является изучение распределения нулей С(а), лежащих на критической прямой.

Функция ((s) на всей s плоскости является аналитической е единственной особенностью и точке s = 1, где она имеет полюс перво-i'o порядка с вычетом, рапным 1. Функция £(s) обращается и пуль при s = —2, —4,..., —2п,...; эти нули £(s) называются "тривиальными". Кроме тривиальных, £(s) имеет бесконечно много нулей в полосе О < Res < 1, которая называется "критической". Нетривиальные нули комплексно сопряжены и расположены симметрично относительно прямой Res =

Риман высказал гипотезу ("гипотеза Римана"), что вес нетривиальные нули ((s) лежат на прямой Res — которую называют "критической" прямой. Гипотеза Римана является одной из центральных проблем аналитической теории чисел и математического анализа. К настоящему времени опа не доказана.

Нули £(s) на критической прямой это вещественные нули C(l/2+it). Первым результатом, связанным с пулями £(.s) па критической прямой, явилась теорема Г.Харди1, в 1914 г. оп доказал, что ({1/2 4- it) имеет бесконечно много вещественных нулей. Э. Ландау'2 писал по этому поводу "К самым значительным успехам математики настоящего времени принадлеэ/сгпп заметка господина Г. Харди о нулях функции ф) Римана".

В 1918 г. и 1921 г. Харди и Литтлвуд3,4,0-и доказали следующие утверждения, которые значительно перекрыли первую теорему Харди:

а) промежуток (Г, Т + II) при Т > То > 0, Н > T°-2S+' содержат нуль нечетного порядка (,(1/2 + it);

'lliirilv С.11. .Sur lis М'ПВ ill- la U>m-1i->ii <(.->) (К- [¡immun Uunpi lii-inl. .Vad.Si-i 1911. v.lSS. Р.1Ш2 HIM.

'Landau Fl Ub'4- <lit- Hunlvjiclu- ftiiuk-rkmi^; un'-ndliili vick-r NulLstollon ck-r X<LU-itiiikti->n mit reok-u r. ij 1. Mal i-ii. Aim.. 1915. В. 7(1. S. 212 243.

:1Иап1у CM1., Lit lit-wood .1.1;. Contrilmt ions to tho theory of liiemami -/.etu hint-lion um! Ulf theory о Г distribution of primes ,.'Asta Math, 191«. v.41. P.Iii) lOti.

'Hardy G.H., Littlmwl -I.E. Tin- zeros of Hiemamfs zela functions au the critual liuo /'.'Math.Z. 1021. Bil 10. S.283 317.

"Ilardy G.H.; LillU-u'iHxl Л.Е. Ihr I rinoaoniet rical series associated with Ihr elliplic в f'unciion. Acta luaili.. 11)11, ЭТ, р. 19.4-239.

''Hardy G.H., I.itlli-нчю'! .I.E. The approximate functional сцпииои iu the theory of i In- zota-fuuctioti \villi applications to I he divisor problems of Dirichlet and Pillli. I'roc. Loudon Math. Soc. (2), 1922, 21, p. 39 74.

б) в промежутке (Т,Т + Н) при Г > Т0 > О, Я > Т°-5+г содержатся не меньше чем сН нулей нечетного порядка ((1/2 + tf). с = с(е) >0 постоянная.

Эти утверждения стали источником двух направлений исследований, одно из которых касается оценки сверху расстояния между соседними вещественными нулями £(1/2-Ht), а другое - "плотности" нулей ((1/2 + ;i) на промежутках вида (Т,Т + Н), Я = Та+е с возможно меньшим значением а.

Выдающимся достижением явилась теорема А. Сельбсрга7 1942 г. о том, что в промежутке (Т,Т + Я) при Т > Tq > 0, Я > Т0,5"1"5 содержатся по крайней мере сН In Г нулей нечетного порядка C(l/2 + it), с = с(е) >0 - постоянная. Из формулы Маш'ольдта8 о количестве N(t) нулей ((s) в прямоугольнике 0 < Res < 1, 0 < Ims < Т:

следует неулучшаемость результата Сельбсрга.

В той же работе Сельберг высказал гипотезу о том, что его результат должен иметь место при Я = Т™+€, где а- фиксированное положительное число, меньшее 1/2. Эту гипотезу с а = 27/82 решил A.A. Карацуба9.

В 1974 г. Лсвинсон10 доказал, что по крайней мере треть всех нулей ((s) лежит на критической прямой.

Новых важных результатов в названных проблемах достиг чешский математик Ян Мозср11,12. В 1976 и 1980 гг. Мозср доказал, что при Т > Т0 > 0, Я > Т1/й In2 Т промежуток (Г, Т + Я) содержит нуль нечетного порядка функции ((1/2 + it), а при Н > Г0/12 In3 Т этот же промежуток содержит, не меньше чем сН таких пулей.

В 1981 г. A.A. Карацуба13 получил оценку тригонометрическую суммы

'SrllxiR Л. Он 11ю »44» "Г Kicliianii's zcU-fiimliun // Sin', Norske Vid. AkutUfel». 1012. v. 1(1, p. 1 59.

"Maugoltlt H. Zur Verteilniig der Nullstelleii der Rmiaiiusclier Funktion C(í) : Math.Aun. 11)05. В<1 ВО. S.l-19.

9Карацуба Л.Л. С) нулях функции в OKjHHrrmxrni крнтичеекон прямой / ibi:. Л11 СССР, <rp. матеы. 1984, т. 40, №2, с. 326 383.

"'Leviusou N. More üum ош; tUird of the у.огчл of llieuiaim's wty-hmuion art* оц о ~ 1/2 // Adv. in Math., 1974, v. 13, p. 383-436.

1 'Mo:юр Я. Некоторые ешистиа ;víO'ru функции Римана на кричичеекоц up-лмпй .',' AeUi Arilli. 1974. V. 2«. Г. 33-39.

|:гМо:юр Я. Улучшение теоремы Харди Лштлмуда о нлопностн пулен фушшпн il) '/ Acia

шаth UHiv.Coineri.Bratislava. 10S3. V. 42 43. P. 41 50.

'•'Карацуба A.A. О расстоянии между (-<><-одними нулями диета функции Рнмапа, лежащих на критической прямом " Груды .MMAII.lüSl. т. 1.'.7.(М!Ий.

2тг 2тг 2тг

1'Де

t>io>0, yfä<M<^ М\ < 2А/, Р1 =

которая позволила ему получить более точный результат, чем результат Яна Мозера:

Теорема 1. При Н > Т" In'2 Т, а = 5/32, Т > Т0 > 0 промежуток (Т,Т + Н) содержит нуль начетного порядка функции ((1/2 + it).

Показатель а = 5/32 интересен в силу следующих обстоятельств. Мо-зер связал показатель а в подобном утверждении с оценкой |С(1/2 + it)| и, в частности, с гипотезой Линделефа.

При доказательстве этой теоремы А.А.Карацуба, следуя Хардп Лнтттлвуду-Мозсру, изучил вещественные нули функции Харди Z{t), которые являются вещественными пулями ((1/2 + it). Можно предполагать, что при любом е > О, Т > То = Tq(c) > О, Н = Т€ промежуток (Т, Т + Н) содержит нуль нечетного порядка функции Z(t). Однако эта гипотеза не следует даже из гипотезы Рпмана. В то же время А.А.Карацуба обнаружил эффект «сближения» с ростом к нулей функции Z^k\t) и доказал:

Теорема 2. Пусть к- натуральное число, Т > То(к) > О, Н > сГ1/(б1-+б) ln2/(t+i) Т) с= > 0 Тогда промежуток (Т,Т + Н) содержит нуль нечетного порядка функции Z^(t).

A.A. Карацуба14 но пово,цу этих теорем сделал замечание: Еаш для оценки тригонометрической суммы С(и, М) пргшенить более сложные методы, например метод жспопепциа.о,ъиых пар. то дм суммы С(и, М) получит,ся более точная оценка.

Решение поставленных задач A.A. Карацубы оценок специальных тригонометрических сумм через теорию экспоненциальных нар и его применение к исследование расстояния между соседними пулями дзета функции Римана, лежащими па критической прямой, является основным результатом настоящей диссертации.

Цель работы. Целью работы является доказательство новых теорем о длине промежутка критической прямой, в которой заведомо содержится нудь нечетного порядка функции Харди п се производных.

Методика исследований. В основе исследований лежи:' метод Виноградова - Вандер Корнута об оценке специальных тригонометрических сумм.

11С.М.Во1кшш1.А.А.КараиуГш Дача функция Римана. М.:Фюиатл>!т, Ш1 ЗТ(к-. 1SBX 5 02 01412(1 S.

Научная новизна.. Основные результаты диссертации являются новыми и заключаются в следующем: •

задача о величине промежутка (Т.Т + Н) критической прямой, в которой содержится пуль нечетного порядка функции Хардн и се производных, сведена к проблеме отыскания экспоненциальных нар дли оценки специальных тригонометрических сумм:

- применением метода оптимизации экспоненциальных пар длина промежутка критической прямой, в которой содержится нуль нечетного порядка дзета-функции, выражена через константу Ранкина.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты и методы исследовании могут быть применены к дальнейшим исследованиям проблем распределения нулей дзета-функции Рнмана, лежащих на критической прямой.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались па общопнетитутеком семинаре, на семинаре по аналитической теории чисел под руководством члена-корреспондента АН РТ З.Х. Рахмонова, на международных научных конференциях "Математика н информационные технологии" (2006г.), "Актуальные вопросы математического анализа, дифференциальных уравнений и ипформатики"( 2007г.), "Комплексный анализ и пекласеическпе системы дифференциальных уравнений^ 2007г.) в Институте математики Академии наук Республики Таджикистан; па научно исследовательском семинаре кафедры алгебры н теории чисел и на ежегодных апрельских конференциях в ТГНУ (2004-2008 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 6 научных работах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура И объём работы. Диссертация состоит из введения и двух глав, разбитых па параграфы. Общий объем работы 66 страниц. Список цитированной литерат-уры включает 50 наименований.

Содержание диссертации

Диссертационная работа посвящена сведению задачи о длине промежутка критической прямой, в которой заведомо содержится пуль нечетного порядка функции Хардн и ее производных, к проблеме отыскания экспоненциальных нар для оценки специальных тригонометрических сумм и применению оптимальных экспоненциальных пар, позволяющих чту длину выразить через константу Ранкина.

Диссертация состоит из двух глав. В первой главе рассматривается рас-

стояние между соседи и ми пулями дзета-функции Римана, лежащими на критической прямой.

Функция Хардн Z(t.) задастся равенством

2„> = «»<■><(i + .<), ^..-«r(i+|)|r(i+|)

Функция Хардн Z(t) принимает вещественные значения при вещсствси-ных значениях t и вещественные нули Z(i) являются нулями £(s), лежащими на критической прямой.

Определение. Если В >1, 0 <h< В, F(u) 6 СХ(В,2В), А > 1,

АВ1~Г |F«(u) ABl~r, г = 1,2,3, • • • ,

где постоянная под знаком <SL зависит только от г, и имеет место оценка

e(F(n)) < AkBl, 0 < fc < 0,5 0,5 < I < 1,

B<n<B+h

то пара (k; I) называется эгхпоненциалънай парой.

Тривиальная оценка показывает, что (0; 1) является экспоненциальной парой. Е. Phillips10 показал, что если (k\ I) экспоненциальная пара, то

А{к;= (»TS' \ + 2ГГ2) (Л - 11Р°ЦеСС)

В(к; 1) = (1- 0,5, к + 0,5) (В - процесс)

также являются экспоненциальными парами.

В втором параграфе первой главы доказывается следующая основная лемма об оценке тригонометрической суммы С (и, М) методом экспоненциальных пар, которая затем применяется при доказательстве теорем 1.3.1 и 2.2.1:

Лемма 1.2.1. Пусть (к, I) произвольная экспоненциальная пара и

й " — « I / 4 10' '

Тогда для тригонометрической суммы

t > tu > 0, VPi<M<-^, A h<2M, U—

с(и,м) = Y.

Phillips Б. Т1к; »Ча fuculkm of ßitfuuuu: funhor drvolopuK*m.s of vau tier Corpui's method // Quart. .1. MaUi.(C)xforl). 1033, v. 4, 20j 225.

спрюсдливп следующая оценки

Заметим, что эта лемма доказывается по схеме доказательства леммы A.A. Карацубы, в сочетании с методом экспоненциальных нар.

В третьем параграфе первой главы доказывается основная теорема о расстоянии между соседними нулями дзета-функции Римана, лежащими на критической прямой.

Теорема 1.3.1. Пусть (к,1) - произвольная экспоненциальная пара, Т>Т0> 0, Я>Т^:'>1п2Т,

Тогда промежуток (Г, Т+Н) содержит нуль нечетного порядка функции Харди Z(t).

При доказательстве этой теоремы и теоремы 2.2.1 мы существенно пользуемся методами работ А.А.Карацубы10, в которых, соответственно, доказаны гипотезы Сельберга о нулях дзета-функции Римана на критичес-кой прямой и в ее окрестности, и работой 3-Х. Рахлюиова1,. в которой доказана плотностная теорема для нулей дзета функции Римана в коротких прямоугольниках критической полосы. Основные этапы доказательства теоремы 1.3.1 таковы. Считаем, что t принадлежит промежутку Не ограничивая общности, можно считать число Т таким, что

Т 7Г

— + — = 2тгК, А' целое число. 2 8

Воспользуемся формулой Рнмапа-Знгеля

m = 2 £ cos(^-ilnn)+0(Hlnt) (1)

1 "Карадуба A.A. О нулях функции ((s) ли к^югкнх промежутках критическом прямой // Iii». АН СССР, сор. .чэтем. ШЛ, т. 18. ЪЮ öiH.

1'Рахмонои З.Х.' Ну.ш д юга-функции Римана к коротких щхшожутках критической примой "Чсбышом'кий сборник. 200Ö. т. ü. ими 3(10). стр. 45-ÖS.

Выводя асимптотическую формулу для 0(f) и заменяя величину \ —

2тг

величиной \/ —, отчего правая часть к (1) изменится на величину поряд-V 27Г

ка ие выше получим для Z(t) следующую формулу

COS (t 111 Рj77.)

n<P V

Определим числа t„ из уравнения t„ In P = irv и будем рассматривать v такие, чтобы выполнялись ие])аве1ктва

тти

Для этого возьмем

i/o

Т\пР

Т <-^-<Т + Н. \иР

+ 1. г = [In Г], #1 =

(2)

Н\аР

irr

и определим числа v равенством

v = i>0 + щ + ... + иг, 0 < vi,...,ur < Hî-l,

в котором V{) -постоянное число, а числа и\, v-i,.... vT могут принимать значения любых целых чисел из промежутка [О, Н\). Очевидно, что таким образом определенные числа v удовлетворяют указанным неравенствам (2). Далее, рассмотрим две суммы Si и Si,

/1,-1 11 i-l //i-l /Л-1

ь = Е - Е ад. ь = E - Е(-1)"ад-

t/j-,0 !/,.=() 1/1=0 i\-0

Если будет доказано неравенство | Sr>| > |Si|, то тем самым будет доказано изменение знака у функции Z(t) при некотором t = t„. то есть будет доказано существование нечетного нуля функции Z(t) на промежутке (Т, Т + Н). Поэтому модуль суммы Si оценим сверху, а модуль суммы So снизу.

Пользуясь определением t.„ и формулой приведения для косинуса, имеем

111 p 11 J

ni-1 /Ji-i 1 ,

5.= E-EE4 COS(

fi=0 fr=0 n<P V 4

^ 1 ( Ж(Г0 + "l + ••• + "r)

— n „ —n ..«г' Г> V

in « +0(я;т-з1пт).

Выделяя в S-2 слагаемое с n = 1 и имея » виду, что оно будет равно числу Я[, имеем

52 = Я[ + Д + 0(Я;Т-5 1пГ),

где R та же сумма S2, в которой слагаемое с п = 1 отсутствует. Оцепим снизу IS2I. Имеем

|Sal > Я[ - |Я| + 0{Н[Т~* InТ),

V V^ (7r(t/° + + - +

1 W1-1 /

2<n<P v Kl=0 fr=0 4

InP

Innj

л Я,-1

= E 4= E« for» bin)

Применяя к внутренней сумме по v, которая является линейной, из-

lnn _ 1

всстную оценку и имея в виду, что ——— < -, последовательно получим:

111 i и

^ (и\цп\ . ( Inn -Л . ( 21nP\

g ЧШРJ " mm P 2bP J ^ min

21nP\ ^ 2 InP Inn

Подставляя найденную оценку в правую часть неравенства для |Я|, заменяя сумму интегралом, покажем, что |Д| < 8(21пТ)г Н{Т~*, то есть для |52| находим

|52| > Щ - 8(21пТ)г + 0(ЩТ~* 1пТ) > Н[ + 0{ЩТ~< 1пТ).

Оценим сверху | »5*1 [ - Интервал суммирования по п в сумме разобьем па два интервала вида

1 < п < (1 - Д)Р и (1 - Д)Р < п < Р, где Д = 8ЯГ11п Р.

Соответственно этому разбиению, 5] представится суммою двух слагаемых:

¿>1 = Йз + 54 + 0[ЩТ~* 1пТ), (3)

где

Я,-1 Я,-1 , ,

1/1=0 1'г=0 1<п<(1—v 4

InP

э-

¡,,=0 1'г=0 (1-Д)Р<п<Р V \ /

Оценит»! сумму |5;(| как сумму 5'_>, имеем

|5;(| < 2\/Р//;'8"'' < ш-цт-1.

Легко показать, что

< щ

У

1 (I —^е — • ш п

ф1 \27Г

(1-Л)Р</1<Р

Применяя формулу частного суммирования, найдем

<«т од- е

7П/ Т г г ™

< ЬР ' ¡11Р

(1--Д)Л<я<и

и < Р.

(4)

/ 1 \!ъг

Заменяя в эгой сумме Р па Р\ суммирования » через Р\ — т, находим

V- / <1п(Р| - т)

)', ■ н< и<Р, Л 4

и обозначая переменную

+ 0(1).

Разбивая промежуток суммирования но т не более, чем на 1п'Г ироме-жутков вида М < т < ЛД, ДД < 2Л/, Р\-и < М. ДД < Р)Д и переходя к оценкам,найдем

\С(и)\ < шаХ |С(|/, Д*)|1иГ + 1; С(и, Л/) = ]Г с. (

I1п(Р, - т)

М<т< л/,

Применяя к сумме С(а.М) основную лемму об оценке тригонометрической суммы С(и,М) методом •-жешшепиннльпих пар (лемма 1.2.1), находим

Подставляя найденную оценку для С (и) в соотношение (1). получим

' ^ 1 ТГ ■>>

^СЩ-Т-Г-'Н1-^ 1п Т.

Переходя в соотношение (3) к оценкам, и подставляя найденные оценки для |5з| и )5*4]. находим

1-5-11 < |53| + |54| + 0(Я[Т^1пГ)« < 11[{Т~* 1и Г + Т^-'Я1^ 1пГ).

(■о

Показатель Я — отрицательное число. Поэтому, подставляя в неравенство (5) вместо Я величину Т№[кХ> 1и2 Т и имея в виду, что Я > ТЙ(М) 1п2 Т,

найдем

^¡«ЩЬ^Т.

Из ранее найденной оценки для ¿2 следует, что |5г| > |5х|.

Заметим, что неравенство Я > Т5'321п2 Т в теореме А.А.Карацубы является следствием теоремы 1.3.1, при

" = (т4-п) = ААт 0~4-п) - т - 8(3)'

в(п'Ш = 1=0'15625-

Минимизация в(к;1) равносильно минимизации 61 (А"; I). Применение метода оптимизации экспоненциальных пар позволило выразить в\ (к:\1) через константу Ранкина Я = 0,8290213508591335924092397772831120

Теорема 1.4.1. Пусть "Р\ мноэ/сг.ство всех экспоненциальных пар (к,1) отличных от. (1/2,1/2) и

Тогда справедливо соотношение

Ы в,{к;1) = Л + 1.

(М)е7>,

где В. = 0,8290213568591335924092397772831120... постоянная Ранкина.

Следует отметить, что этот результат является улучшением теоремы 1 н является окончательным в рамках данного метода.

Во второй главе рассматривается расстояние между соседними пулями производной функции Харди, то есть (;' > 1). Здесь нам также

удалось свести задачу о величине промежутка (Г,Т+Я) критической прямой, в которой заведомо лежи:' нуль нечетного порядка функции Z^J'Цt) и > 1), к проблеме отыскания экспоненциальных пар для оценки тригонометрических сумм.

Основным результатом второй главы является следующая теорема:

Теорема 2.2.1. Пусть (к,1) прошволыим окспоие.нцшыьпая iia.pi, ] натуральное, число, Т > T(\(j'¡ > 0,

Я> с^ШЦ*, =

Тог да промежуток (Т, Т + Н) содержит нуль нечетного порлдка функции

Заметим, что теорема 2 является следствием теоремы 2.2.1, при

Доказательство теоремы 2.2.1 проводится по схеме доказательства теоремы 1.3.1.

В заключении автор выражает благодарность профессору З.Х.Рахмонову за научное руководство и постоянное внимание и помощь в работе.

Публикации по теме диссертации

1. Рахмоиов З.Х., Хайруллосв Ш.А. Расстояние между соседними нулями дзета - функции Римаиа, лежащими на критической прямой ,'/ ДАН РТ, 2006, т. 49, №5, стр. 393 - 400.

2. Хайруллосв Ш.А. Расстояние между соседними нулями функции

] > 1 / ДАН РТ, 2006, т. 49, №9, стр. 803 - 809.

3. Хайруллосв Ш.А. Расстояние между соседними нулями дзета - функции Римаиа, лежащими на критической прямой. Институт математики АН республики Таджикистан. Материалы научной конференции "Математика и информационные технологии", посиящеи-иой 15 - летаю независимости Республики Таджикистан. Душанбе, 27 октября 2006 г. стр. 90 92.

4. Рахмонов З.Х.. Хайруллосв Ш.А. Нули дзета функции Римана, лежащие в коротких интервалах критической прямой. Институт математики АН республики Таджикистан. Материалы международной

научной конференции "Актуальные вопросы математического анализа, дифференциальных уравнений и информатики", посвященной 70 лстню академика Академии наук Республики Таджикистан Усма-иова Зафара Джураевпча, Душанбе, 24 25 августа 2007 г. стр. 99 101.

5. Хайруллоев Ш.А. Расстояние .между соседними пулями производных функции Хард и. Материалы научно - теоретической конференции профссеореко - преподавательского состава и студентов, посвященной "800 - летию поэта Мавлоно Джалолудцина Валхи" и "16 - й годовщине независимости Республики Таджикистан", Душанбе 2007 г., стр. 11.

0. Хайруллоев Ш.А. Нули функции Хардп, лежащие в коротких интервалах критической прямой. Тезисы докладов Республиканской научно - теоретической конференции "Современные проблемы теории функций, дифференциальных уравнении и их приложений", посвящсн-ной научной и педагогической деятельности заслуженного работника Республики Таджикистана доктора фпзико - математических наук профессора Карнмовой М.М. 27 - декабря 2007 г. стр. 68 70.

Сдано в 19.01.09. Подписано в печать 26.01.09. Формат 60x84. Бумага офсетная. Гарнитура литературная. Печать офсетная. Тираж 100 экз. Заказ №6. Цена договорная.

Отпечатано в типографии ООО «Ховарон» г.Душанбе улДж.Расулова 6/1

Обозначения.

Введение

1 Расстояние между соседними нулями дзета-функции Римана, лежащими на критической прямой

1.1 Вспомогательные леммы.

1.2 Основная лемма.

1.3 Основная теорема

1.4 Оптимизация экспоненциальных пар.

2 Расстояние между соседними нулями функции j >

2.1 Вспомогательные леммы.

2.2 Основная теорема.

Одним из главных направлений исследований в теории дзета-функции Римана является изучение распределения нулей £(s), лежащих на критической прямой.

Пусть s = (т + it комплексное число. При Res > 1 дзета-функция Римана £(s) задается рядом

ОО

71=1

Следовательно, (($) является аналитической функцией при Res > 1. Имеет место тождество Эйлера:

CW^nf1"^) ' Res>l, (2) р где справа стоит бесконечное произведение по всем простым числам р. При вещественных s функция изучалась Эйлером [1]. В частности, пользуясь тождеством (2), Эйлер дал аналитическое доказательство теоремы Евклида о бесконечности количества простых чисел. Риман [2] стал изучать £(s), как функцию комплексного переменного. Риман показал, что с помощью применения теории функций комплексного переменного к исследованию £(s) можно получить новые глубокие результаты о распределении простых чисел. Следующие две формулы "продолжают" £(s) на всю 5- плоскость:

ОО ч 1 1 [ p(u)du 1 1

-»г (§) см = (Izi) С(1 в).

Из этих формул следует, что функция £(s) на всей s- плоскости является аналитической с единственной особенностью в точке s = 1, где она имеет полюс первого порядка с вычетом, равным 1. Функция £(s) обращается в нуль при s = —2, —4,., —2п,.; эти нули £(s) называются "тривиальными". Кроме тривиальных, £(s) имеет бесконечно много нулей в полосе 0 < Res < 1, которая называется "критической". Нетривиальные нули комплексно сопряжены и расположены симметрично относительно прямой Res = \.

Риман [2] высказал гипотезу ("гипотеза Римана"), что все нетривиальные нули C(s) лежат на прямой Res = которую называют "критической" прямой.

Гипотеза Римана является одной из центральных проблем аналитической теории чисел и математического анализа. К настоящему времени она не доказана. Можно выделить три направления в исследованиях, связанных с нетривиальными нулями £(s) :

1) граница нулей £(s);

2) нули на критической прямой;

3) плотность распределения нулей в критической полосе.

Нули £(s) на критической прямой — это вещественные нули £(1/2+г£). Первым результатом, связанным с нулями £(s) на критической прямой, явилась теорема Г.Харди [3], в 1914г он доказал, что £(1/2 + it) имеет бесконечно много вещественных пулей. Э. Ландау [4] писал по этому поводу иК самым значительным успехам математики настоящего времени принадлеэюит заметка господина Г. Харди о нулях функции £(s) Римана".

В 1918 г. и 1921 г. Харди и Литтлвуд [5]-[8] доказали следующие два утверждения, которые значительно перекрыли первую теорему Харди: а) промео/суток (Т, Т + Я) при Т > Т0 > 0, Н > Т0,25+£ содероюитп нуль нечетного порядка С,{1/2 it); б) в промежутке (Т,Т + Н) при Т > Tq > О, Н > Т0,5+£ содержится не меньше чем сН нулей нечетного порядка £(1/2 + г£); с = с(е) > 0-постоянная.

Эти утверждения стали источником двух направлений исследований, одно из которых касается оценки сверху расстояния между соседними вещественными нулями ((l/2-j-it), а другое - "плотности" нулей ((l/2+it) на промежутках вида (Т, Т + Н), Н — Та+£ с возможно меньшим значениям а.

Выдающимся достижением явилась теорема А. Сельберга [9] 1942 г. о том, что в промежутке (Т, Т + Я) при Т > Т0 > 0, Я > Т0,5+е содержится по крайней мере сН In Т нулей нечетного порядка С(1/2 + it); с = c{e) > 0 - постоянная. Из формулы Мангольдта [10] о количестве N(t) нулей £(s) в прямоугольнике 0 < Res < 1, 0 < Ims < Т:

Т Т Т следует неулучшаемость результата Сельберга.

В той же работе Сельберг высказал гипотезу о том, что его результат должен иметь место, при Н = Та+е, где а- фиксированное положительное число, меньше 1/2. Эту гипотезу с а = 27/82 решил А.А.Карацуба [23].

В 1974 г. Левинсон [11] доказал, что по крайней мере треть всех пулей C(s) лежит на критической прямой.

Новых важных результатов в названных проблемах достиг чешский математик Ян Мозер [12]-[17]. В 1976 и 1980 гг. Мозер доказал, что при Т > То > 0, Н > Т1/6 In2 Т промежуток (Т,Т + Я) содержит нуль нечетного порядка функции £(1/2 + й); а при

Н > Т5/12 In3 Т этот же промежуток codepoicum не меньше чем сН таких нулей.

В 1981 г. А.А. Карацуба [18] получил оценку тригонометрической суммы

С[щМ)= Е

M<m<Mi ^ где t>t0>0, лЛ\<М<^ Mi < 2М, = которая позволила ему получить более точный результат, чем результат Яна Мозера:

Теорема 1. При Н > ТаЫ2Т, а = 5/32, Т > Т0 > 0 промежуток (Т,Т + й") содержит нуль нечетного порядка функции £(1/2 + it).

Показатель а = 5/32 интересен в силу следующих обстоятельств. Мозер связал показатель а в подобном утверждении с оценкой |£(1/2+г£)| и в частности, с гипотезой Линделефа.

При доказательстве этой теоремы А.А. Карацуба, следуя Харди-Литттлвуду-Мозеру, изучил вещественные нули функции Харди Z(t), которые являются вещественными нулями С(1/2+г£). Можно предполагать, что при любом е > 0; Т > Tq = То (s) > 0, Н = Те промежуток (Т, Т + Н) содерэюит нуль нечетного порядка функции Z{t). Однако эта гипотеза не следует даже из гипотезы Римана. В то же время А.А.Карацуба [18] обнаружил эффект «сближения» с ростом к нулей функции Z^ (t) и доказал:

Теорема 2. Пусть к-натуральное число, Т > То(к) > 0; Н > cTi/(6fc+6)ln2/(fc+i)T^ с > q Тогда Пр0ме0,суток (Т,Т + Я) содержит нуль нечетного порядка функции Z^{t).

А.А. Карацуба [19] по поводу этих теорем сделал замечание: Если для оценки тригонометрической суммы С(и,М) применить более сложные методы, например метод экспоненциальных пар, то для суммы С (и, М) получится более точная оценка.

Решение поставленных задач А.А. Карацубы — оценок специальных тригонометрических сумм через теорию экспоненциальных пар и его применение к исследование расстояния между соседними нулями дзета-функции Римана, лежащими на критической прямой, является основным результатом настоящей диссертации.

Диссертационная работа посвящена сведению задачи о длине промежутка критического прямой, в которой заведомо содержится нуль нечетного порядка функции Харди и ее производных, к проблеме отыскания экспоненциальных пар для оценки специальных тригонометрических сумм и применению оптимальных экспоненциальных пар, позволяющих эту длину выразить через константу Ранки на.

Диссертация состоит из двух глав. В первой главе рассматривается расстояние между соседними нулями дзета-функции Римана, лежащими на критической прямой.

Функция Харди Z(t) задается равенством

Z(t) = eW<Q + tt), e^'W-tr g + f)

Функция Харди Z(t) принимает вещественные значение при вещественных значениях t и вещественные нули Z(t) являются нулями £(s), лежащими на критической прямой.

Определение. Если В >1, 0 <h< В, F(u) <Е С°°(В,2В), А>1,

ABl~r < |F(r)(и) |< АВХ~Г, г = 1,2,3,-•• , где постоянная под знаком зависит только от г, и имеет место оценка

Y^ e(F(n)) CAkBl, 0 < fc < 0, 5 0,5 </<1,

B<n<B+h то пара (k; I) называется экспоненциальной парой.

Тривиальная оценка показывает, что (0; 1) является экспоненциальной парой. Е. Phillips [20] показал, что если (к; I) экспоненциальная пара, то

0 = Ут~2' \ + мТг) - процесс)

В (к; 1) = (1- 0.5, к + 0.5) {В - процесс) также являются экспоненциальными парами.

В втором параграфе первой главы доказывается следующая основная лемма об оценке тригонометрической суммы С (и, М) методом экспоненциальных пар, которая затем применяется при доказательстве теорем 1.2.1 и 2.2.1: Лемма 1.2.1. Пусть (/с,/) - произвольная экспоненциальная пара и t>t0>0, у/Ъ < М < Мг< 2М, Pi =

Тогда для тригонометрической суммы

С(и, М) = £

M<m<Mi ^ справедлива следующая оценка

Заметим, что это лемма доказывается по схеме доказательства леммы А.А. Карацубы([19], стр. 162), в сочетании с методом экспоненциальных пар.

В третьем параграфе первой главы доказывается основная теорема о расстояние между соседними нулями дзета-функции Римаиа, лежащими на критической прямой.

Теорема 1.3.1. Пусть (k,l) - произвольная экспоненциальная пара, Т >Т0> 0, Н > Тв^1Чп2Т,

Тогда промежуток (Т, Т + IT) codepotcum нуль нечетного порядка функции Харди Z(t).

При доказательстве этой теоремы и теоремы 2.2.1 мы существенно пользуемся методами работ А.А.Карацубы [23], в которых, соответственно, доказаны гипотезы Сельберга о нулях дзета функции Римана на критической прямой и в ее окрестности, и работой З.Х. Рахмонова [44], в котором доказана плотностная теорема для нулей дзета функции Римана в коротких прямоугольниках критической полосы.

Основные этапы доказательства теоремы 1.3.1 таковы. Считаем, что t принадлежит промежутку Не ограничивая общности, можно считать число Т таким, что

Т 7Г + — = 2пК, Я-целое число. 2 8

Воспользуемся формулой Римана-Зигеля г,/\ - cos(0(£) — tInn) i , v

Z{t) = 2 -v v '-J-+ 0(t" In t).

3) t

Ъг

Выводя асимптотическую формулу для 9{t) и заменяя величину у^

Гт величиной W ——, от которых правая часть (3) измениться на величину порядка не выше , получим для Z{t) следующую формулу п<Р

Определим числа tv из уравнения tv In Р = 7rv и будем рассматривать v такие , что выполнялись неравенства

Для этого возьмем

Щ =

Tin Я

7Г

7Г1/ т < -—- < Т + Я. m Я 1, г = [1пТ], Ях =

4)

Я In Я кг и определим числа г/ равенством = VQ + Vi + . + vr, 0 < Ui,., vr < Hi — 1, в котором uq -постоянное число, а числа г^, vr могут принимать значение любых целых чисел из промежутка [О, Н\). Очевидно, что таким образом определенные и удовлетворяют указанным неравенствам (4). Далее, рассмотрим две суммы S\ и S2,

Я1-1 Ях-1 Щ-1 Hi-1 Е - Е zw. = £ - Е (-ч'ад. j/1=0 г/г=0 i/i=0 z/r=0

Если будет доказано неравенства IS2I > l-S'ib т0 тем самым будет доказано изменение знака у функции Z(t) при некотором t = tv, то есть будет доказано существование нечетного нуля функции Z(t) на промежутке (Т, Т + Я). Поэтому модуль суммы Si оценим сверху, а модуль суммы $2 снизу.

Пользуясь определением tv и формулой приведения для косинуса имеем

Si = Е . Е Е \ cos (*{Р0 + г +0" + Vr) Ьг1+ 0(Й1Г* ШТ);

1/1=0 иг=0 п<Р V ^

Я1-1 Яг-1

In Р тт(щ + VI + . + vr) In Р п cos ^ r>'" Inn + In Г).

Л/ 7/, 1 ° '

J/1=0 г/г=0 п<Р

Выделяя в l^l слагаемое с n = 1 и имея в виду, что оно будет равно числу Я[, имеем

S2 = H{ + R + 0(ЩТInТ), где R тот же сумма 62, в которой слагаемое с п = 1 отсутствует. Оценим снизу |52|. Имеем

52| > Щ - |Д| + 0{ЩТ-* InТ),

R£ ^

2<п<Р v

ЕЯг 1 Я1 1 , ^^ + + . + уг) COS I -;---ЩИ i/i=0 i/r=0

Я1-1

In P E

2<n<P

Ее (Inn) \21nP J i/=0

Применяя к внутренней сумме по г/, которая является линейной,

Inn 1 известную оценку и имея в виду, что получим: яг-1 ,

2 In Р последовательно

Zu е ( ) — m*n 1 i/=0

2 In jp

Inn

21nP 10 f „ 2 In P\ 2 In P < min Яь -- I <

Inn

Inn

Подставляя найденную оценку в правую часть неравенства для \R\, заменяя сумму интегралом, покажем, что \R\ < 8(21пТ)г -С то есть для |52| находим

S2\ > Щ - 8(2 InТ)г + 0{Н[ТInТ) > Щ + 0(Н[Т1пТ).

Оценим сверху l^il. Интервал суммирования по п в сумме Si разобьем на два интервала вида

1<п<(1-Д)Р и (1 — А)Р < n < Р, где Д = 8-fiTf1 In P. Соответственно этому разбиению, Si представится суммою двух слагаемых:

Si = 53 + 54 + 0(Н[ТInТ),

5) где

1 (7г(и0 + Щ + . + Vr) Р' cos —1--—--- m — п \ In Р п

Hi-l Я1-1 иг=0 1<п<(1-д)р Я1-1 Н\ — 1 vi—Q ur—0 (1 -А)Р<п<Р Оценивая сумму |5з| как сумма S2, имеем

53| < 2л/РЩ8~г < 16ЩТ-1

Легко показать, что

1 /тг(г/0 + + . + z/r) PN cos —11--—--1 m — п \ In Р п

54| < Щ Е

1 (l 1 4 :в - • 1П П у/п \27г m KV m 7TZ/

Т < < т + Я, = t.

In Р

1-д)р<тг<р

Применяя формулу частного суммирования, найдем ft Inn

In Р

54|<Я[^, ОД Е

1-д)р<тг<и

2?Г

U < Р.

6)

2тг

Заменяя в этой сумме Р на Pi = суммирования п через Pi — m, находим

Hn(Pi - га)

С(и) = X) 6

Pi~u<m<PiA

2тг и обозначая переменное о(1).

Разбивая промежуток суммирование по т на не более In Т промежутков вида М < m < Мь М1 < 2 М, Р\ — и < М, М\ < Pi А и переходя к оценкам, найдем

C(u)| <С max\С(и, М) \ InT + 1, С{щМ)= ^ в

M<m<M\ ^ '

Применяя к сумме C(w, М) основную лемму об оценке тригонометрической суммы С(и,М) методом экспоненциальных пар (лемма 1.2.1) находим k-i

С(щ М) \ 'М

Подставляя найденную оценку для С (и) в соотношение (6), получим

I^Ktfr-T^-iff^lnT.

Переходя в соотношение (5) к оценкам, и подставляя найденные оценки для |5з| и ($41, находим

Si\ < |53| + |54| + 0{ЩТ-к* InТ) <

С Н[(Т-к< InТ + Т^Н^ InТ). (7)

Показатель Я - отрицательное число. Поэтому, подставляя в неравенство (7) вместо Я величину Т^1п2Т и имея в виду, что Я > Гб^1п2Т,

Ofcl) = U 1- * У 0i(M) = '

2 \ 2-01~1(£;Г)/ 0,5-fc' найдем

IS'il

Из ранее найденной оценки для S2 следует, что l^l > |5i|.

Заметим, что Я > Т5/321п2Т в теореме А.А.Карацуба является следствием теоремы 1.3.1, при 1.8(3),

4n-i) = fi = °>15625

Минимизация 9{к\Г) равносильно минимизации 9i{k\l). Применение метода оптимизации экспоненциальных пар позволил выразить в\ (к;1) через константу Ранкина [21] R = 0, 8290213568591335924092397772831120

Теорема 1.4.1. Пусть V\ множество всех экспоненциальных пар (k,l) отличная от (1/2,1/2) и

Тогда справедливо соотношение inf 0i(fc;O = #+l, k,l)ePi где R = 0,8290213568591335924092397772831120. - постоянная Ранкина.

Следует отметить, что этот результат является улучшением теоремы 1 и является окончательным в рамках данного метода.

Во второй главе рассматривается расстояние между соседними нулями производной функции Харди, то есть Z^(t), (j > 1). Здесь нам также удалось свести задачу о величине промежутка (Т, Т + Н) критической прямой, в которой заведомо лежит нуль нечетного порядка функции (j > 1), к проблеме отыскания экспоненциальных пар для оценки тригонометрических сумм.

Основным результатами второй главы являются следующая теорема: Теорема 2.2.1. Пусть (/с,/) - произвольная экспоненциальная пара, j- натуральное число, Т > To(j) > 0,

Тогда промесисуток (Т, Т + Н) содержит нуль нечетного порядка функции Z^ (t).

Заметим, что теорема 2 является следствием теоремы 2.2.1, при

Доказательство теоремы 2.2.1 проводится по схеме доказателство теоремы 1.3.1.

1. Hardy G.H., Littlewood J.E. The approximate functional equation in the theory of the zeta-function with applications to the divisor problems of Dirichlet and Pilth. — Proc. London Math. Soc. (2), 1922, 21, p. 39-74.

2. Selberg A. On the zeros of Riemann's zeta-function // Shr. Norske Vid. Akad.Oslo.-1942 -v. 10, p. 1-59.

3. Mangoldt H. Zur Verteilung der Nullstellen der Rimanscher Funktion £(*) // Math.Ann.-1905.-Bd 60.-S.1-19.

4. Levinson N. More than one third of the zeros of Riemann's zeta-function are on <j — 1/2. — Adv. in Math., 1974, v. 13, p. 383-436.

5. Мозер Я. Некоторые свойства дзета-функции Римана на критической прямой // Acta Auith.-1974.-V. 26.-Р. 33-39.

6. Мозер Я. Об одной сумме в теории дзета-функции Римана. — Acta arith., 1976, 31, S. 31-43.

7. Мозер Я. Об одной теореме Харди-Литтлвуда в теории дзета -функции Римана // Acta Auith.-1976.-V. 31.-Р. 45-51; Добавление // Acta Auith.-1979.-V. 35.-Р. 403-404.

8. Мозер Я. Существенное улучшение одной теоремы Харди-Литтлвуда в теории СО). Acta arith., 1980, 38, №4.

9. Мозер Я. Улучшение теоремы Харди-Литтлвуда о плотности нулей функции £(1/2 +it) // Acta math Univ.Comen.Bratislava.-1983.-V. 42-43.-P. 41-50.

10. Мозер Я. Новые теоремы о среднем для функции \£(1 / 2 + it)\2 // Acta math Univ.Comen.Bratialava.-1985.-v.46-47.-c.21-40.

11. Карацуба А.А. О расстоянии между соседними нулями дзета-функции Римана, лежащими на критической прямой // Труды МИАН. 1981.-т. 157.С.49-63.

12. С.М.Воронин,А.А.Карацуба Дзета-функция Римана.-М.: Физматлит, 1994.-376C.-ISBN 5-02-014120-8.

13. Phillips Е. The zeta-fucntion of Riemann: further developments of van der Corput's method. Quart. J. Math. (Oxfort), 1933, v. 4, 205-225.

14. Graham S. W. Kolesnik G. Vander Corput's Method of Exponential sums. Cambridge university press. 1991, Cambridge, New Vork, Port Chester, Melbourne,Sydney.

15. Карацуба А.А. О нулях функции £(s) в окрестности критической прямой // Изв. АН СССР, сер. матем. 1984, т. 49, №2, с. 326-383.

16. Карацуба А.А. О нулях функции £(s) на коротких промежутках критической прямой // Изв. АН СССР, сер. матем. 1984, т. 48, №3, с. 569-584.

17. Карацуба А.А. Распределение нулей функции £(0.5+ г£) // Изв. АН СССР, сер. матем. 1984, т. 48, №6, стр. 1214-1224.

18. Карацуба А.А. Дзета-функция Римана и ее нули // УМН, 1985, т. 40, в.5 (245), 19-70.

19. Карацуба А.А. О количестве нулей дзета-функции Римана, лежащих на почти всех коротких промежутках критической прямой // Изв. АН СССР, сер. матем. 1992, т. 56, №2, стр. 372-397.

20. Карацуба АА. Основы аналитической теории чисел.-2-е изд.-М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1983.-240с.

21. Карацуба А А. Плотностная теорема и поведение аргумента дзета-функции Римана // Мат. заметки. 60(1996). №З.С.448-449.

22. Киселева Л. В. О количестве нулей функции £(s) на "почти всех" коротких промежутках критической прямой // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1988. - Т. 52, №3. - С. 479-500.

23. Виноградов И.М. Особые варианты методов тригонометрических сумм. М.: Наука, 1976.

24. Виноградов И.М. Избранные труды, М.: Издательство АН СССР, 1952.

25. Виноградов И.М. Метод тригонометрических сумм в теории чисел. М.: Наука, 1971.

26. Виноградов И.М. О среднем значении числа классов чисто коренных форм отрицательного определителя. — Сообщ. Харьк. мат. о-ва, 1918.

27. Карацуба А.А., Королев М.А. Аргумент дзета-функции Римана // УМН. 60 (2005). №3 С. 41-96.

28. Королев М.А. Об аргументе дзета-функции Римана на критической прямой // Изв. РАН. Сер. матем. 67 (2003). №. -С. 21-60.

29. Titchmarsh Е. С. The zeros of the Riemann zeta-function Proc. Royal Soc.(A). 151 (1935). - P.234-255.

30. Титчмарш E.K. Теория дзета-функции Римана. M.: ИЛ, 1953.

31. Titchmarsh Е.С. On the remainder in the formula for N(T), the number of zeros of ((s) in the strip 0 < t < T Proc. London Math. Soc. Sec.Ser. 27(1928). Part 6. - P.449-458.

32. Лаврик А.А. Аналитические свойства производных Z- функции Харди. Дис. канд. физ.-мат. наук. — М.: МГУ, 1989. 120с.

33. Tsang К. М. The large values of the Riemann zeta-function Mathemati-ka. 40(1993). №2. - P.203-214.

34. Iwaniec H and Mozzochi I. On the divisor and circle problems.-J. Number Theory 29 (1988), 60-93.

35. Прахар К. Распределение простых чисел М.: Мир. - 1967.

36. Mueller J.H. On the Riemann zeta-function £(s) gaps between sign changes of S(t) - Mathematika. 29(1983). №58. - P.264-269.

37. Рахмонов 3.X. , Хасанов З.Н. Нули дзета-функции Римана в коротких промежутках критической прямой // Чебышевский сборник, 2006, т. 6, вып 3(19), стр. 45-58.

38. Рахмонов З.Х., Хайруллоев Ш.А. Расстояние между соседними нулями дзета функции Римана, лежащими на критической прямой // ДАН РТ, 2006, т. 49, №5, стр. 393 - 400.

39. Хайруллоев Ш.А. Расстояние между соседними нулями функции Z{j\t), j> 1 // ДАН РТ, 2006, т. 49, №9, стр. 803 809.