Распределение нулей производных кси-функции Римана тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Введение.

Обозначения.

Глава 1. Вспомогательные утверждения

§1.1. Вспомогательные леммы.

§1.2. Основные леммы.

Глава 2. Доказательство основного результата

§2.1. Оценка доли нулей функции лежащих на критической прямой, через интеграл Зк.

§2.2. "Явная" формула для интеграла Зк.

§2.3. Асимптотическая формула для интеграла 3к- Доказательство теоремы.

В теории дзета-функции Римана одним из интереснейших является вопрос о справедливости гипотезы Римана, которая утверждает, что все нетривиальные нули функции C(s) лежат на прямой Res = Гипотеза Римана до сих пор не доказана и не опровергнута. Кси-функция Римана £(s) для комплексного числа s = а + it определяется равенством е w = !*(* - 1)ъ-''2т g) см, где r(s) — гамма-функция Эйлера. Функция £(s) — целая, первого порядка, и ее нули являются нетривиальными нулями дзета-функции Римана (т.е. отличными от тривиальных нулей s = —2, —4,.). Кси-функция Римана удовлетворяет функциональному уравнению является вещественной при вещественных s и на прямой Res = Легко показать, что £(s) не имеет нулей при Res > 1. В 1896 г. Валле-Пуссен доказал, что на прямой Res = 1 нет нулей кси-функции Римана. Поэтому из функционального уравнения будет следовать, что ^-функция не имеет нулей при Re s < 0. Таким образом, все нули £(s) лежат в полосе 0 < Re s < 1, которая в теории дзета-функции Римана называется критической полосой. Прямая же Res = | получила название критической прямой. Поскольку функция £(s) вещественно аналитическая, то ее нули симметричны относительно вещественной прямой, и достаточно, к примеру, исследовать нули с Ims > 0. Можно занумеровать нули рп = ßn + (n = 1, 2,.) функции £(s) в области 0 < Res < 1, Ims > 0 таким образом, что 7n < 7„+i, причем если 7?г = уп+1, то (Зп < (Зп+\. Еще Б. Риманом были вычислены первые несколько нулей. В 1986г. [1] найдены первые 1,5 х 109 + 1 нулей, и все они лежат на критической прямой. В настоящее время ведутся компьютерные вычисления нулей с очень большими номерами. В статье А. Од-лыжко сборника [2, рр. 139—144] говорится, что найдены нули с номерами 1022 — 109 < п < 1022 + Ю9 и ни один из них не лежит вне критической прямой.

Обозначим через Ы(Т) число нулей кси-функции Римана в прямоугольнике 0 < Кея < 1, 0 < 1ш 5 < Т. Согласно формуле Римана-Мангольдта справедливо равенство:

Эта формула доказана Мангольдтом в 1905 году, а позже Зигель обнаружил доказательство этой асимтотической формулы в неопубликованных записках Б. Римана. Утверждение о том, что на критической прямой лежит бесконечно много нулей было доказано Г. Харди в 1914 г. (см. [3]). Г. Харди и Д. Литтлвуд в 1921 г. доказали, что если и = Та, а > то на промежутке (Т, Т + 17) содержится не меньше, чем с11 нулей нечетного порядка функции + с = с{а) > 0, Т > Т\{а) (см. [4]). При доказательстве они использовали прием "улавливания" точек перемены знака вещественной функции, восходящий к Э. Ландау (см. [5, стр. 78—85]). Он заключается в следующем: если для вещественной гладкой (и нигде не плоской) функции /(£), для некоторых чисел и и /г, К > 0, выполняется неравенство и+1г (/(¿)И> и и+1г

I /т то интервал (и, u-\-h) содержит точку перемены знака, или нуль нечетного порядка, функции /(£).

В 1932 г. Зигель предложил другой подход к оценке количества нулей £(s) на критической прямой. Он доказал (см. [8]), что на промежутке 0 < t <Т,Т > Ть содержится ¿е"3/2 • Т нулей f(l/2 + it). В 1934 г. эта оценка была улучшена P.O. Кузьминым [9] в 4 раза. Идея Зигеля состоит в том, что функция £(s) представима в виде суммы ф) = <Э(*) +<2(1-3), причем аналитическая функция (¿(я) может быть выбрана различными способами. При я = 1/2 + й имеем

Поскольку действительная часть функции комплексного переменного имеет, вообще говоря, больше нулей, чем сама функция, то можно ожидать, что на критической прямой удастся уловить много нулей функции £(«), выбирая подходящую функцию (¿(в).

В 1942 г. А. Сельберг [6] создал новый метод, позволивший ему доказать, что при условиях теоремы Харди-Литтлвуда на промежутке (Т, Т + II) содержится не менее, чем сО 1п Т нулей нечетного порядка функции £ (§ + ■ Идея состоит в том, что он сравнивает интегралы u+h

J \g\t)f(t)\dt и / g2(t)f(t)dt и и где f(t),g(t) — вещественные гладкие (и не плоские) функции. Если u+h u+h j \g2(t)f(t)\dt> I g2(t)f(t)dt u+h то на промежутке (и, и 4- К) содержится точка перемены знака функции g2(t)f(t), а значит нуль нечетного порядка /(£). Функция g(t) выбирается таким образом, чтобы в среднем произведение g2(t)f{t) вело себя как константа (функция g2{t) называется "успокаивающим" множителем). Тем самым, потеря точности в неравенствах Коши, используемых при доказательстве, оказывается меньше, что позволяет получить правильный порядок числа нулей кси-функции на критической прямой (из формулы Римана-Мангольдта следует неулучшаемость оценки, полученной Сельбергом, по порядку). В работе [7] А. А. Карацуба доказал аналогичную нижнюю оценку для количества нулей £(1/2 + it) на более коротких промежутках (Т, Т + U), когда U = Та7 а > 27/82.

Значения постоянных с в упомянутых выше оценках Харди-Литтлвуда, Сельберга и Карацубы получаются очень маленькими. Например, из результата Сельберга следует, что на отрезке критической прямой 0 < t <Т, Т > Ть лежит Ю-6 • ТЫТ нулей £(s).

В 1974 г. Н. Левинсон [10], используя идеи Зигеля и Сельберга, доказал, что треть всех нулей ^-функции Римана лежит на критической прямой. Дальнейшие улучшения этого результата см. в [11], [12] (в последней работе доказано, что 2/5 всех нулей функции £(s) лежит на критической прямой).

Пусть к — натуральное число, — к-ая производная кси-функции

Римана. Все нули функции лежат в полосе 0 < Res < 1; оказывается, что если справедлива гипотеза Римана, то для каждого к все нули функции лежат на критической прямой (доказательство приведено, например, в лемме 3 диссертации на стр. 17).

При Т,17 > 0 определим функции ЛОс(Т), Л^0)(Г), ак(Т, и) равенствами:

ЫТ) = £ 1,

0<1т/э<Т

Л^0)(Т) = £ 1, £Ю(р)= О, 11е/>=1/2, 0<1тр<Г Л^Г+ [/)-<> (Г) ' >~ Мк(Т + и) - Ык(Т) ■

Заметим, что 0 < II) < 1, и равенство ао(Т,и) = 1 эквивалентно гипотезе Римана.

В 1983г. Б. Конри [11] доказал следующую теорему: X

2тг' пусть L = ln£-, и = TL"10. Тогда liminf afc(T, СЛ = 1 + 0(к~2): к->+ ос.

Т—>+оо 4 ' '

Таким образом, для больших значений & почти все нули лежат на прямой Res =

Основным результатом диссертации является следующая равномерная по параметрам Т и к теорема.

Теорема. Существует положительная постоянная Т\ такая, что для произвольного Т > Т\, любого натурального к из промежутка 1 < к < \inlninT и U — ^О11^) 10 справедлива следующая оценка:

Отметим, что задача о нулях функций похожа на задачу о нулях производных ^-функции Харди, задаваемой равенством

2(4) = ^(5+«), где

Г4+2,

Функция Z{t) является вещественной при вещественных и вещественные нули функции Z{t) являются нулями дзета-функции Римана, лежащими на критической прямой.

В 1981г. А. А. Карацуба [14] доказал, что для любого целого числа к > О, Т > Тг(к) > О, Я > (1пТ)2/(к+1\ где с = с{к) > 0, промежуток

Т, Т + Я) содержит нуль нечетного порядка функции Z^k\t).

А. А. Лаврик [15] в 1989г. распространила результат этой теоремы на случай растущих вместе с Т значений к: существует постоянная Т\ > 0 такая, что при Т > Тх, 0 < к < |1пТ, Я > тах (9тг 1п Т, 7п1/(6/с+6) (1пТ)2//^+1^ промежуток (Т,Т + Я) содержит нуль нечетного порядка функции Z^k\t).

Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы. Основным результатом является теорема, сформулированная во введении (см. также работы [13], [21] автора). Вспомогательные утверждения (леммы 1— 30) вынесены в отдельную первую главу. Эти леммы разбиты на две группы — "вспомогательные леммы" (§1.1 главы 1) и "основные леммы" (§1.2 главы 1). К вспомогательным отнесены леммы, которые используются при доказательстве основных лемм. В число основных входят те леммы, ко

1. van de Lüne J, te Riele H.J.J., Winter D.T. On the zeros of the Riemann zeta function in the critical strip 1. // Math. Compt. vol. 46 (1986). p. 667-681.

2. Dynamical, Spectral, and Arithmetic Zeta Functions, M.L. Lapidus, M. van Frankenhuysen, eds.— AMS, Contemporary Math. Series, № 290, 2001, 195 pp.

3. Hardy G.H. Sur les zeros de la fonction £(s) de Riemann // Compt. Rend. Acad. Sei. t. 158 (1914). p. 1012-1014.

4. Hardy G.H., Littlwood D.E. The zeros of Riemann's zeta-function on the critical line // Math. Zs. b. 10 (1921). s. 283-317.

5. Landau E. Vorlesungen über Zahlen theorie.— Leipzig, 1927.

6. Selberg A. On the zeros of Riemann's zeta-function // Skr. Norske Vid. Akad. Oslo. v. 10 (1942). p. 1-59.

7. Карацуба A.A. О нулях функции £(s) на коротких промежутках критической прямой // Изв. АН СССР. Сер. мат. т. 48 (1984). № 3. с. 569— 584.

8. Siegel C.L. Über Riemanns Nachlaß zur analytischen Zahlentheorie // Quellen Stud. Geschichte Math. Astronom. Phys. Abt.B Stud.2 (1932). p. 45-80.

9. Кузьмин Р. О. О корнях функции Римана ф) // ДАН т. 2 (1934). № 7. с. 398-400.

10. Levinson N. More than one-third of zeros of Riemann's zeta-function are on <j — 1/2 // Adv. in Math. v. 13 (1974). p. 383-436.

11. Convey B. Zeros of derivatives of Riemann's ^-function on the critical line // J. of Number Theory, v. 16 (1983). p. 49-74.

12. Convey B. More than 2/5 of the zeros of the Riemann's zeta-function are on the critical line // J. Reine Angew. Math. v. 399 (1989). p. 1-26

13. Резвякова И. С. О количестве нулей производных кси-функции Римана на критической прямой // Докл. АН. т. 400 (2005). № 4. с. 454—456.

14. Карацуба A.A. О расстоянии между соседними нулями дзета-функции Римана, лежащими на критической прямой // Тр. МИАН. т. 157 (1981). с. 49-63.

15. Лаврик.А.А. Равномерные приближения и нули в коротких интервалах производных Z-функции Харди // Anal. Math. v. 17 (1991). p. 257— 279.

16. Воронин C.M., Карацуба A.A. Дзета-функция Римана.— М.: Физмат-лит, 1994.

17. Титчмарш Е.К. Теория функций: Пер. с англ. —2-е изд. перераб. —М.: Наука, 1980.

18. Titchmarsh Е. С. The theory of the Riemann Zeta-function, 2nd ed. revised by D.R. Heath-Brown.— Oxford University Press, 2001, 412 pp.

19. Сегё Г. Ортогональные многочлены: Пер. с англ. — М.: Физ.-мат. лит., 1962, 500 стр.

20. О леер Ф. Асимптотика и специальные функции: Пер. с англ. — М.: Наука, 1990, 528 стр.

21. Резвякова И. С. О нулях производных кси-функции Римана // Изв. РАН. Сер. матем. т. 69 (2005). № 3. с. 109-178.