О распределении значений L-рядов Дирихле тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи УДК 511.331

Преображенская Татьяна Анатольевна

О распределении значений ¿-рядов Дирихле

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Цкеед,

Москва 2006

Работа выполнена на кафедре математического анализа механико-математического факультета Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор В. Н. Чубариков

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор М. П. Минеев

Защита состоится 17 февраля 2006 г. в 16 час. 15 мин. на заседании диссертационного совета Д.501.001.84 в Московском государственном университете им. М.В.Ломоносова по адресу: 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан 17 января 2006 г.

Учёный секретарь диссертационного совета

кандидат физико-математических наук, доцент Л. П. Постникова

Ведущем организация: Тульский государственный

педагогический университет им. Л. Н. Толстого

Д.501.001.84 в МГУ, доктор физико-математических наук, профессор

В. Н. Чубариков

А 4 О â ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Настоящая диссертация относится к аналитической теории чисел. Предметом исследования является распределение значений ¿-функций Дирихле с характером по модулю, равному степени простого нечетного числа, на критической прямой. Эти функции для произвольного модуля к ввел в 1837 г. Дирихле при исследовании вопроса о распределении простых чисел в арифметических прогрессиях. Дирихле доказал, что в любой арифметической прогрессии Ь, Ь + т, Ь+2т, ..., где (т, Ь) = 1, имеется бесконечно много простых чисел. В полуплоскости Ле а > 1 ¿-функции Дирихле задаются равенством

где х — характер по модулю к.

Теория L-функций Дирихле развилась в одно из важнейших вспомогательных средств аналитической теории чисел. Большую роль в приложениях играет исследование нулей L-функций Дирихле.

Одним из аспектов диссертации является вопрос о расстоянии между соседними нулями L-функций, лежащими на критической прямой. Подобную проблему для дзета-функции Римана исследовали Г. Харди, Д. Литтлвуд, Я. Мозер, A.A. Карацуба.

Г. Харди ввел в рассмотрение действительную функцию Z(t), модуль которой равен модулю дзета-функции Римана на критической прямой; тем самым оценка |С (§ + li)| свелась к оценке \Z(t)\.

В 1918 Харди и Литтлвуд 1 доказали, что при Т > ТЬ(е) > О и Я J Т1/А+е промежуток (Т, Т + Я) содержит нуль нечетного порядка функции Z(t). В работе 1976 г. Я. Мозер 2 показал, что можно взять Н ^ T'^'log2Т. В 1981 г. А. А. Карацуба 3 доказал это утверждение при Я ^ Тъ/32\о^Т.

В настоящей диссертации для исследования вопросов, связанных с распределением значений L-функций Дирихле на критической прямой, вводится в рассмотрение действительная функция Zx(t), являющаяся аналогом функции Z(t).

В получении оценка расстояния между соседними нулями L-функций Дирихле ключевую роль играют оценки так называемых «гибридных сумм», имеющих вид £ x(n)n<i- Впервые на тесную взаимосвязь сумм

1 Hardy G. Я., Littlewood J. Е. Contributions to the theory of Riemann zetar function and the theory of distribution of primes // Acta Math. 1918. V. 41. P. 119-196.

2 Мозер Я. Об одной сумме в теории дзета-функция Римана // Acta Arithm. 1976. V.31. P. 31-43. Об одной теореме Харди—Ляттлвуда в теории дзета-функции Римана // Acta Arithm. 1976. V.31. P.45-51. Добавление // Acta Arithm. 1979. V.35. P.403-404.

3Карацуба А. А. О расстоянии между соседними нулями дзета-функция Римана, лежащими на критической прямой // Тр. МИАН. 1981. Т. 157. С. 49-63.

XÇnÇY

характеров Дирихле по модулю, равному степени простого числа, с суммами Г. Вейля обратил внимание в 1955 г. А. Г. Постников 4. Он получил принципиально новые оценки таких сумм. Последние оценки «гибридных сумм» методом тригонометрических сумм с использованием формулы А. Г. Постникова были получены Б.А. Турешбаевым 5.

Своего рода обобщением задачи о расстоянии между соседними нулями является задача о существовании малых значений, которая также решена в диссертации.

В работе улучшена постоянная в оценке максимального числа Н последовательных целых чисел, таких, что все они являются либо квадратичными вычетами, либо квадратичными невычетами по модулю простого числа Р-

В 1918 г. Г. Пойа 6 и И. М. Виноградов 7 получили оценку Я < р1/2 \ogp-В 1952г. Х.Дэвенпорт и П. Эрдёш 8 показали, что Я <р'/2. Современный порядок оценки величины Я был получен в 1963 г. Д. А. Берджессом Я ^С р1/41о%р. В 1973г. К.К.Нортон 10 анонсировал следующий результат:

Цель работы. Исследование распределения значений ¿-функций Дирихле на критической прямой, улучшение постоянной в оценке числа последовательных квадратичных вычетов или невычетов.

* Постников А. Г. О сумме характеров по модулю, равному степени простого числа. «Изв. АН СССР», сер. матем., 1955, 19, с. 11-16.

5 Турешбаев В. А. О средних значениях сумм характеров Дирихле от рациональных функций и приложения: Дисс. канд. физ.-мат. наук. — М.: МГУ, 2000. — 78 с.

ePölya G. Über die Verteilung der quadratischen Reste und Nichtreste, GSttinger Nachrichten, 1918, 21-29.

7 Виноградов И. M. Sur la distribution des résidus et des non-résidus des puissances, Журн. физ.-матем. об-ва при Пермском ун-те, 1918, т. 1, с. 94-96.

8Davenport П., Erdös P. The distribution of quadratic and higher residues, Publ. Math. Debrecen, 1952, 2, 252-265.

9Burgeis D. A. A note on the distribution of residues and non-residues, J. London Math. Soc., 1963, 38, 253-256.

10 Norton К. K. Bounds for sequences of consecutive power residues. I, Analytic number theory (Proc. Sympoe. Pure Math., Vol. XXIV, St. Louis Univ., St. Louis, Mo., 1972), Amer. Math. Soc., Providence, R.I., 1973, 213-220.

Я < 4,lp1/4logp при всех p, и

Я < 2,5p1/4 logp при p > e .

,15

В диссертации получена оценка

Методы исследования. В работе используются метод тригонометрических сумм И.М. Виноградова, метод А.Г. Постникова в теории характеров по модулю, равному степени простого числа, методы теории £-функции Ри-мана, методы теории диофантовых приближений.

Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми и заключаются в следующем:

1. Получена оценка расстояния между соседними нулями Ь-функций Дирихле по модулю, равному степени простого нечетного числа, на критической прямой.

2. Результаты о существовании нулей ^-функции Римана и ¿-функций Дирихле на коротких промежутках критической прямой обобщены на случай произвольных (малых) значений этих функций.

3. Улучшена постоянная в современной оценке максимального числа Н последовательных целых чисел таких, что все они являются либо квадратичными вычетами, либо квадратичными невычетами по модулю простого числа р.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее результаты и методы могут быть использованы специалистами в области аналитической теории чисел.

Апробация диссертации. Результаты диссертации докладывались на специальных семинарах по аналитической теории чисел в МГУ под руководством профессоров Г. И. Архипова, В. Н. Чубарикова (2003-2005 гг.), на VI Международной конференции «Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения» (г. Саратов, 2004 г.), на Ломоносовских чтениях в МГУ (2004 г.)

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в трех работах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Текст диссертации изложен на 64 страницах. Список литературы содержит 28 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Пусть <1 = р*, р—простое нечетное число, к ^ 2. Обозначим через д наименьший из первообразных корней по модулю <1 (как известно, по модулю, равному степени простого нечетного числа, первообразные корни существуют). Пусть т<1п—индекс числа п, (п,й) = 1, по модулю в, при основании д, т.е. такое число 7 = 1п<1п, что д*1 = п {той<1).

Характером Дирихле по модулю с1 — р*, р > 2— простое, к ^ 2— на-туралъное, называется функция х(п), определенная на множестве целых чисел, такая, что

Х(п) = *(n,m,d) =

если (n,d) > 1, если (n, d) = 1,

где т—целое число.

Характер х(п)> равный 1 на числах, взаимно простых с модулем, на-

зывается главным.

Неглавный характер х(п) по модулю d = р*, р > 2—простое, к ^ 2, называется примитивным, если (т, (!) = 1.

Пусть d—некоторое натуральное число, х~какой-либо характер по модулю d. Ь-рядом Дирихле называется следующий ряд

, п п=1

Если характер Дирихле отличен от тривиального, то L-ряд сходится при Rea > 0; в случае главного характера он сходится при Ree > 1.

Во введении приводится краткий исторический обзор исследований, формулируются основные результаты, полученные в диссертации.

В первой главе диссертации получена оценка расстояния между соседними нулями L-функций Дирихле по модулю, равному степени простого нечетного числа, на критической прямой.

Пусть х ~ примитивный характер mod d, d = р*, k ^ 2, р-простое нечетное число, а = | + it. Рассмотрим действительную функцию Zx(t) = е«в(<)£ (I -f it, х), модуль которой равен модулю L(s, х) на критической прямой Rea = Формула для Zx(t) может быть получена из приближенного функционального уравнения А.Ф. Лаврика 11 для JD-функций Дирихле и является аналогом формулы Римана-Зигеля для функции Харди:

ад., Е -faWeJ--') + Д>(,),

где Rx(t) = О ((£)* log2t), 6(t) = ílog^/l"-! - f + cd>x, cd,x - некоторая константа, зависящая от d и х-

11 Лаврик А. Ф. О приближенном функциональном уравнении ¿-функций Дирихле // Тр. ММО. 1968. Т. 18. С. 91-104.

На коротком промежутке (Г; Т + Я) при Я = О ((«¿Г)*), Т > эту формулу можно привести к более простому виду:

= 2 £ + о (г-./» ^г) ,

п^Р *

где Р = Такое представление Zx(t) будет использоваться при полу-

чении основных результатов.

Ключевую роль в оценке расстояния между соседними нулями играют оценки сдвинутых «гибридных сумм».

Лемма 1. Пусть \ — примитивный характер по модулю й = —

простое нечетное, р ^ ехр {¿1о8* |*|}, А > О, к € N. к > 2, ЛЧ-АГо = р" <

N = о(ЛГ0) при |£| оо, и — вещественное ■число. Тогда при > <1 существует абсолютная постоянная у > 1,4 -Ю-9 такая, что для суммы

ЛГ0<п£ЛГ0+ЛГ

справедлива оценка

|5| <

Теорема 1. Пусть х —примитивный характер по модулю й = р*, р — простое нечетное, р ехр (Ло^м), Л > О, А е N. к 2 2, Т 2 То > О,

Т > <Р, Н > (¿Г)*-А(\ogdT)2, где 7 > 0 — постоянная из леммы об оценке *гибридной суммы*. Тогда промежуток (Т, Т + Я) содержит нуль нечетного порядка функции

Во второй главе результаты о существовании нулей С-функции Рима-на и ¿-функций Дирихле на коротких промежутках критической прямой обобщены на случай произвольных (малых) значений этих функций.

Получены следующие результаты.

Пусть неравенство ^ М выполнено на всем интервале {Т,Т + Л) длины Л. Максимальную из таких длин Л обозначим через Я = Н{М,Т).

Теорема 2. При 0 < Мо ^ М < Г1^в1о^Т имеет место оценка

М '

Теорема 3. Пусть х —примитивный характер по модулю d = pk,

р — простое нечетное, р ^ exp ^Alog2^3!*!^, А > 0, k € N, к ^ 2,

Т ^ То > О, Т ^ d3, Af = M{d,T)— некоторая функция, такая, что (dT)-7/e4log2(dr) < м < (dT)l/4-r/e4log2(dr); Я > W^'^'og^^),

где 7 > О — постоянная из леммы об оценке *гибридной суммы*. Тогда на промежутке (Т, Т + Н) найдется точка Т\, такая, что |ZX(7\)| ^ Af.

В третьей главе улучшена постоянная в современной оценке максимального числа Н последовательных целых чисел, таких, что все они являются либо квадратичными вычетами, либо квадратичными невычетами по модулю простого числа р. Современный порядок оценки величины Я был получен в 1963 г. Д. А. Берджессом : Н < р1/4 log р. Эта оценка была получена с помощью неравенства Дэвенпорта-Эрдёша12:

р-1 I 2г

£

1=0

£ х(х + Тп)

т=1

< (4г)г+1рЛг + 2ry/ph2r.

В диссертации дано доказательство нового варианта неравенства Дэвенпорта-Эрдёша:

Теорема 4. Пусть ^^ обозначает символ Лежандра, г — произвольное положительное целое число. Тогда справедливо неравенство

1(0 +(■?))* х ((l±fc=*) + (**=*)) + <

<p + r(vi+l/2)22r-1.

Доказательство теоремы опирается на следующие леммы: Лемма 2. Пусть сгг(2А;) обозначает число тех многочленов вида

х(х + ni)(x + пг)... (ж + n2r_i), щ € {»- 1,г'},

для которых справедливо представление

х(х + п i)(x + п2)... (ж + n2r-i) = P?r-2k{x){Qk{x)f,

12 Davenport Н., Erdos P. The distribution of quadratic and higher residues, Publ. Math. Debrecen, 1952, 2, 252-265.

где P2r-2k(z) не содержит квадратов (нижний индекс обозначает степень многочлена). Тогда

С2г(2*) =

где — биномиальный коэффициент.

Лемма 3. Пусть г — положительное целое число. Справедлива формула

2кС£ = г22т~1.

1

Лемма 4.13 Пусть — символ Лежандра, f € Ер[х] — нормированный многочлен положительной степени, не являющийся квадратом другого многочлена. Если d — число различных корней многочлена f в его поле разложения над Ер, то справедлива оценка

1

Следующие леммы из теории диофантовых приближений, наряду с теоремой 4, являются ключевыми в доказательстве основной теоремы 5.

Лемма б.14 Пусть I(q, t) — интервал вещественных значений z вида » N + pt ^N + H+pt

I -— <2 -—,

I Я Я

целые числа q ut изменяются в пределах

*

О < t < q ^ H/(log2p).

Тогда существуют фиксированные взаимно простые целые числа а ^ 1 и Ь, такие, что для любой пары пересекающихся интервалов /(?i, ti) и 1{яг, h) выполняется равенство

ah +b _ atï +b Я1 92

Лемма в. Если а ^ 1 и Ь — фиксированные взаимно простые целые числа, то количество различных чисел вида где t и q изменяются в пределах

O^tKq^X,

13Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля, т. I, М.,«Мир>, 1988. 14Burgess D. A. A note on the distribution of residues and non-residues, J. London Math. Soc., 1963, 38, 253-256.

не меньше, чем

^Х2-СХ \ogX-

Теорема 5. Пусть ^^ обозначает символ Лежандра. Если

то

я < Ый+•«) < 1'850328Ж

В заключение автор приносит благодарность научному руководителю д.ф.-м.н., профессору В. Н. Чубарикову за поставленные задачи и внимание к работе, а также д.ф.-м.н., профессору Г. И. Архипову за полезные обсуждения.

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Преображенская Т.А. О длинах интервалов больших значений модуля дзета-функции на критической прямой // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1, Математика. Механика. 2005. №4. С. 11-14.

2. Преображенская Т.А. О постоянной в оценке числа последовательных квадратичных вычетов //VI Международная конференция «Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения», посвященная столетию Н. Г. Чудакова. Тезисы докладов. Саратов. 2004. С. 97-99.

3. Преображенская Т.А. О расстоянии между соседними нулями Ь-функции Дирихле на критической прямой // Чебышёвский сборник. Т. 6. вып. 2 (14). С. 153-159.

Издательство ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ им. М.В. Ломоносова. Подписано в печать 1/. О < ОЬ Формат 60x90 1/16. Усл. печ. л. 3,5

Тираж '/ОС экз. Заказ ОЗ

200GA -HOS

P - 1 1 0 8

Введение

Глава 1. О расстоянии между соседними нулями L-функции Дирихле, лежащими на критической прямой

§ 1. Функция Zx(t)

§ 2. Преобразование формулы для Zx(t)

§ 3. Основная теорема

Глава 2. О существовании малых значений дзета-функции Римана и L-функции Дирихле на коротком промежутке критической прямой

§1.0 существовании малого значения дзета-функции Римана на коротком промежутке критической прямой

§2.0 существовании малого значения L-функции Дирихле на коротком промежутке критической прямой.

Глава 3. О постоянной в оценке числа последовательных квадратичных вычетов.

§ 1. Новый вариант неравенства Дэвенпорта—Эрдёша

§ 2. Леммы из теории диофантовых приближений

§ 3. Основная теорема

Настоящая диссертация относится к аналитической теории чисел. Предметом исследования является распределение значений L-функций Дирихле с характером по модулю, равному степени простого нечетного числа, на критической прямой. Эти функции для произвольного модуля к ввел в 1837 г. Дирихле при исследовании вопроса о распределении простых чисел в арифметических прогрессиях. Дирихле доказал, что в любой арифметической прогрессии Ь, Ь + т, Ъ + 2т, ., где (т, Ъ) = 1, имеется бесконечно много простых чисел. В полуплоскости Res > 1 L-функции Дирихле задаются равенством где х ~ характер по модулю к.

Теория L-функций Дирихле развилась в одно из важнейших вспомогательных средств аналитической теории чисел. Большую роль в приложениях играет исследование нулей L-функций Дирихле.

Вопрос о расстоянии между соседними нулями L-функций, лежащими на критической прямой, рассматривается в первой главе диссертации. Отметим, что подобную проблему для дзета-функции Римана исследовали Г. Харди, Д. Литтлвуд, Я. Мозер, А.А. Карацуба.

Г. Харди ввел в рассмотрение действительную функцию Z(t), задаваемую равенством:

Z(t) = e>WС (§ + «), где е»«> = л-"/2Г (| + f) |г (| + f) .

Поскольку модуль функции Z(t) равен модулю дзета-функции на критической прямой, то оценка |С + I свелась к оценке

Для решения обозначенной проблемы функцию Харди было удобно представить в следующем виде (формула Римана-Зигеля): т = 2 £ cos(0(t)-flogn)+o/1/4lo ч

--л/п \ / п^фЩж) где e(t) = e0(t) + b{t), 4t) = t\og^-\-^ A(t) = о .

В 1918 Харди и Литтлвуд [1] доказали, что при Т ^ Той > 0 и Н ^ промежуток (Т, Т + Н) содержит нуль нечетного порядка функции Z(t). В работе 1976 г. Я. Мозер [11] показал, что можно взять Н ^ Т^Чо^Т. В 1981 г. А. А. Карацуба [13] доказал это утверждение при Я ^ T5/32log2T.

В настоящей диссертации для исследования вопросов, связанных с распределением значений L-функций Дирихле на критической прямой, вводится в рассмотрение действительная функция где 6(t) = t log у ^ — | — | + Cd,x, Cd,x — некоторая константа, зависящая от d и х- Формула для Zx(t) получена из приближенного функционального уравнения А.Ф. Лаврика [17] для L-функций Дирихле и является аналогом формулы Римана-Зигеля для функции Харди:

Zx{t) = 2 Е Re(x(n)eJ-^>)+jm где Hx(t) = o((f)ilog2i).

В получении оценки расстояния между соседними нулями L-функций Дирихле ключевую роль играют оценки так называемых «гибридных сумм», имеющих вид

Впервые на тесную взаимосвязь сумм характеров Дирихле по модулю, равному степени простого числа, с суммами Г. Вейля обратил внимание в 1955 г. А. Г. Постников. Он получил принципиально новые оценки таN ких сумм. Последние оценки для сумм вида ^ x{n)n%t были получены п=1

Б.А. Турешбаевым [19] методом тригонометрических сумм И.М. Виноградова [2]—[5] с использованием формулы А. Г. Постникова [15]. Мы используем следующую лемму об оценке «гибридных сумм».

Лемма 1. Пусть х ~ примитивный характер по модулю d = pk, р — простое нечетное, р ^ exp jyllogs J, А > 0, k G N, к ^ 2, N + Nq = Vй ^ И2; N = o(N0) при |£| —» оо, и — вещественное число. Тогда при ^ d существует абсолютная постоянная у > 1,4 • Ю-9 такая, что для суммы справедлива оценка

S= £ Х(п)пи

N0<n^N0+N log3 n

5| < Ne

Таким образом, в первой главе доказана теорема: Теорема 1. Пусть х —примитивный характер по модулю d = pk, р — простое нечетное, р < exp (Alog2/3|£|), А > 0, k G N, к ^ 2, Т ^ Т0 > О, Т ^ d?, Н ^ (dT) 4~ел (log dT)2, где 7 > 0 — постоянная из леммы об оценке «гибридной суммы». Тогда промежуток (Т, Т + Н) содержит нуль нечетного порядка функции Zx(t).

Своего рода обобщением задачи о расстоянии между соседними нулями является задача о существовании малых значений. Во второй главе доказаны теоремы о существовании малых значений L-функций Дирихле и С-Функции Римана на коротких промежутках критической прямой.

Пусть неравенство \Z(t)\ ^ М выполнено на всем интервале (Т, ТК) длины h. Максимальную из таких длин h обозначим через Н = Н(М, Т). Теорема 2. При 0 < Mq < М T1/6log2T имеет место оценка

ТЩо%2Т

Я < М

Теорема 3. Пусть х —примитивный характер по модулю d = pk, р — простое нечетное, р ^ exp ^Alog2/3|£|^, А > 0, k € N, к ^ 2, Т ^ То > О, Т ^ d3, М = M(d,T)— некоторая функция, такая, что dT)-^\0g2(dT) « м « (dTfi^iQ4og\dT), н » где 7 > 0 — постоянная из леммы об оценке «гибридной суммы». Тогда на промежутке (Г, Т + Н) найдется точка Т\, такая, что |Zx(Ti)| ^ М.

В третьей главе рассматривается задача об оценке максимального числа Н последовательных целых чисел, таких, что все они являются либо квадратичными вычетами, либо квадратичными невычетами по модулю простого числа р.

Эта задача является логическим продолжением задачи о наименьшем квадратичном невычете по простому модулю, постановка которой принадлежит И. М. Виноградову. В 1914 г. он дал элементарное доказательство квадратичного закона взаимности, в котором использовалась оценка Гаусса для наименьшего квадратичного невычета порядка корня квадратного из модуля. В 1918 г. И. М. Виноградов [7] получил оценку наименьшего квадратичного невычета в арифметической прогрессии. Она имеет вид: п^р'^Ыр2, (*) где р—простое число, пр—наименьший квадратичный невычет по модулю Р

В 1926 г. И. М. Виноградов [8] обобщил эту оценку на степенные невычеты и дал оценку наименьшего первообразного корня. В 1952 г. Г. Дэвен-порт и П. Эрдёш [21] уточнили степень логарифма в оценке (*). В том же году И. М. Виноградов [9] получил оценку суммы характеров по «сдвинутым» простым числам, где он нашел оценку момента четвертой степени от неполной линейной суммы характеров, что уже позволяло улучшить оценку наименьшего невычета.

Ю. В. Линник и А. Реньи в начале пятидесятых годов получили ряд условных результатов по проблеме наименьшего квадратичного невычета, которые связывают эту задачу с оценкой модуля L-функций Дирихле на единичной прямой [10].

В 1957 г. Д. Берджесс получил современную оценку для наименьшего квадратичного невычета, которая, грубо говоря, является корнем квадратным из оценки (*). В дальнейшем А. А. Карацуба [14] дал новый вариант доказательства оценки Д. Берджесса и решил ряд родственных задач, связанных с распределением значений сумм характеров на разнообразных арифметических последовательностях.

Возвращаясь к задаче о числе последовательных квадратичных вычетов (невычетов), отметим следующее: в 1918г. Г. Пойа [20] и И. М. Виноградов [7] получили неравенство р1/2 logp, а, следовательно,

Cp1/2logp.

В 1952 г. Х.Дэвенпорт и П. Эрдёш [21] показали, что

Н « р1'2.

Современный порядок оценки величины Н был получен в 1963 г. Д. А. Берджессом [22]:

Я<р1/41о6р.

Эта оценка была получена с помощью неравенства Дэвенпорта—Эрдёша р-1 х=0 х(х + т) т=1

2 г (4r)r+lphr + 2ry/ph . 8

В 1973"г. К. К. Нортон [24] анонсировал следующий результат:

Н < 4,1рх/4 log р при всех р, и

Я < 2,5р1/4 logр при р > е15.

В третьей главе дано доказательство нового варианта неравенства Дэвенпорта-Эрдёша, с помощью которого получено улучшение постоянной в современной оценке числа последовательных квадратичных вычетов (невычетов):

Теорема 4. Пусть ^^ обозначает символ Лежандра, р—простое, г — произвольное положительное целое число. Тогда справедливо неравенство х + (*£=*)) ((**=*) + (**=*)) < p + r(y/p + l/2)22r1.

Доказательство теоремы опирается на следующие леммы: Лемма 2. Пусть С2Г(2&) обозначает число тех многочленов вида х(х + ni)(x + П2). {х + пгг-i), Щ € {г — 1, г}, для которых справедливо представление х(х + П\)(х + п2) . . • (х + n2r-1) = P2r-2k(x)(Qk(x))2, где p2r-2k{x) "е содержит квадратов (нижний индекс обозначает сте9 пень многочлена). Тогда c2r(2k) = CfT, где С%г — биномиальный коэффициент.

Лемма 3. Пусть г — положительное целое число. Справедлива формула

J] 2jfeCg* = г22г-1

Ык<г

Лемма 4.(см. [25]) Пусть ^^ — символ Лежандра, f 6 Fp[cc] — нормированный многочлен положительной степени, не являющийся квадратом другого многочлена. Если d — число различных корней многочлена f в его поле разложегшя над Fp, то справедлива оценка ж=0 4 у ■

Следующие леммы из теории диофантовых приближений, наряду с теоремой 4, являются ключевыми в доказательстве основной теоремы 5.

Лемма 5.(см. [22]) Пусть I(q,t) — интервал вещественных значений z вида

N + pt ^ N + H + pt -< ^ <-, q q целые числа q и t изменяются в пределах

О ^ t < q < H/(\og2p).

Тогда существуют фиксированные взаимно простые целые числа а ^ 1 и Ь, такие, что для любой пары пересекающихся интервалов I(qi,ti) и

I(q2, £2) выполняется равенство at\ + b at2 + b qi Q2

Лемма 6. Если a) 1 «6 - фиксированные взаимно простые целые числа, то количество различных чисел вида где t и q изменяются в пределах О не меньше, чем

Х2-СХ logX

7Г

Теорема 5. Пусть ^^ обозначает символ Леоюандра, р—простое. Если т-т-'-т-" то 1,85032828.

В заключение автор приносит благодарность научному руководителю д.ф.-м.н., профессору В. Н. Чубарикову за поставленные задачи и внимание к работе, а также д.ф.-м.н., профессору Г. И. Архипову за полезные обсуждения.

1. Hardy G. Н., Littlewood J. E. Contributions to the theory of Riemann zeta-function and the theory of distribution of primes // Acta Math. 1918. V.41. P. 119-196.

2. Виноградов И. M. Метод тригонометрических сумм в теории чисел. М.: Наука, 1980.

3. Виноградов И. М. Особые варианты метода тригонометрических сумм. М.: Наука, 1976.

4. Виноградов И. М. Избранные труды. М.: Изд-во АН СССР, 1952.

5. Виноградов И. М., Карацуба А. А Метод тригонометрических сумм в теории чисел // Тр. МИАН. 1984. - Т. 168. - С. 4-30.

6. Виноградов И. М. Основы теории чисел. Москва-Ижевск: РХД, 2003. 176 с.

7. Виноградов И. М. Sur la distribution des residus et des non-residus des puissances, Журн. физ.-матем. об-ва при Пермском ун-те, 1918, т. 1, с. 94-96.

8. Виноградов И. М. О границе наименьшего невычета п-ой степени // Изв. АН СССР, сер. матем.-1926.-Т. 20. 47-58.

9. Виноградов И. М. Новый подход к оценке суммы значений х(р + // Изв. АН СССР, сер. матем.-1952.-Т. 16. 197-210.

10. Гельфонд А. О., Линник Ю.В. Элементарные методы в аналитической теории чисел.—М.: Наука, 1962.

11. Мозер Я. Об одной сумме в теории дзета-функции Римана // Acta Arithm. 1976. V. 31. P. 31-43. Об одной теореме Харди—Литтлвуда в теории дзета-функции Римана // Acta Arithm. 1976. V. 31. P. 45-51. Добавление // Acta Arithm. 1979. V.35. P. 403-404.12 1314