Некоторые вопросы целостности L-функций числовых полей тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи

КРИВОБОК Валерий Викторович

НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ЦЕЛОСТНОСТИ ¿-ФУНКЦИЙ ЧИСЛОВЫХ ПОЛЕЙ

01 01 06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ульяновск

003169909

Работа выполнена на кафедре компьютерной алгебры и теории чисел государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования Саратовский государственный университет им Н Г Чернышевского

Научный руководитель доктор технических наук,

профессор Кузнецов Валентин Николаевич

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук,

профессор

Добровольский Николай Михайлович доктор физико-математических наук, профессор

Бредихин Дмитрий Александрович

Ведущая организация ГОУ ВПО Белгородский государственный

университет

Защита состоится «18» июня 2008 года в 15 00 на заседании диссертационного совета Д 212 278 02 при Ульяновском государственном университете по адресу г Ульяновск, Набережная р Свияги, 106, корп 1, ауд 703

Отзывы по данной работе просим направлять по адресу 432000, г Ульяновск, ул J1 Толстого, д 42, УлГУ, Управление научных исследований

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ульяновского государственного университета, с авторефератом — на сайте вуза http //www um ulsu ru

Автореферат разослан «_£_» 2008 г

Ученый секретарь диссертационного совета

М А Волков

Общая характеристика работы

Актуальность темы Данная диссертационная работа посвящена дальнейшему развитию так называемого метода редукции к степенным рядам с целью получения новых результатов в теории ¿-функций числовых полей Суть метода редукции к степенным рядам заключается в том, что доказательства отдельных аналитических свойств рядов Дирихле сводится к проверке определенных граничных свойств соответствующих (с теми же коэффициентами, что и ряды Дирихле) степенных рядов Так как граничное поведение определенных классов степенных рядов, например, с конечнозначными, с целыми коэффициентами достаточно хорошо изучены1, то это позволяет получать новые результаты в теории рядов Дирихле, в частности, в теории ¿-функций

Идея использовать поведение степенного ряда в точке 2=1 для решения вопроса аналитического продолжения соответствующего ряда Дирихле восходит к G H Hardy2 Позднее, в конце 70-х годов, H Г Чудаков34 указал на возможность приложения этого подхода в вопросах, связанных с проблемой обобщенных характеров Первый серьезный результат в теории ¿-функций в этом направлении был получен В H Кузнецовым5 в середине 80-х годов Он показал, что в классе эйлеровых произведений с конечнозначными характерами классические L-функции Дирихле определяются как мероморфные функции с единственно возможным полюсом первого порядка в точке s ~ 1 и с определенным порядком роста модуля в левой полуплоскости комплексной плоскости

1БибербахЛ Аналитическое продолжение M Наука, 1967

1Hardy G Я Proc Lond M S (2) Т 8 1910 С 277-294

3 Чудаков Я Г Аналитические условия периодичности числовых функций // Тезисы всесоюзной конференции по актуальным вопросам теории чисел Самарканд Изд-во Самарк гос ун-та, 1972 С 87

4 Чудаков H Г, Назаров Э H Аналитический критерий периодичности числовых функций // Исследования по тории чисел Межауз сб науч тр Саратов Изд-во Сарат ун-та, 1976 С 115-119

8Кузнецов В Я Аналог теоремы Сеге для одного класса рядов Дирихле // Математические заметки, 1984 Т 36 Вып 6 С 805-813

Чуть позже пояляются работы В Н Кузнецова6 7 8, в которых изучается взаимосвязь между отдельными аналитическими свойствами рядов Дирихле и граничным поведением соответствующих степенных рядов без условия регулярности этих рядов в точке г = 1 Кроме того, в этих работах рассматривались задачи, которые требовали изучения граничного поведения соответствующих степенных рядов во всех точках единичной окружности Здесь же подход изучения аналитических свойств рядов Дирихле, основанный на изучении граничного поведения соответствующих степенных рядов, впервые получил название метода редукции к степенным рядам.

Дальнейшее развитие метода редукции к степенным рядам получил в работах В Н Кузнецова и его учеников, опубликованных в еприод с 2002 по 2005 годы9 10 1112, что позволило получить новые результаты в теории ¿-функций

Так в работе 9 показано, что известная гипотеза Н Г Чудакова о том, что неглавный обобщенных характер является характером Дирихле13, сводится к тому, что соответствующий степенной ряд определяет на отрезке [0,1] функцию, допускающую полиномиальную аппроксимацию с показательной ско-

8Кузнецов В Н Об аналитическом продолжении одного класса рядов Дирихле // Вычислительные методы и программирование Межвуз науч сб Саратов Изд-во Сарат ун-та, 1987 С 17-23

7Кузнецов В Н К задаче описания одного класса рядов Дирихле, определяющих целые функции // Вычислительные методы и программирование Межвуз науч сб Саратов Изд-во Сарат ун-та, 1988 С 63-72

8Кузнецов В Н Метод редукции к степенным рядам в задаче о целостности композита рядов Дирихле // Труды 4-ой Сарат зимней школы по теории функций и приближений Саратов Изд-во Сарат ун-та, 1989 Ч 1 С 147-149

8Кузнецов В Н, Водолазов А М К вопросу аналитического продолжения рядов Дирихле с вполне мультипликативными коэффициентами // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам Межвуз сб научн тр Саратов Изд-во Сарат ун-та, 2003 Вып 1, С 44-59

10Водолазов А М, Кузнецов В Н Аппроксимационный критерий периодичности конечнозначных функций натурального аргумента // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам Межвуз сб науч тр Саратов Изд-во Сарат ун-та, 2003 Вып 2 С 3-11

11 Кузнецов В Я, Сорокина ЕВ К вопросу о целостности композита ¿-функций числовых полей // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам Межвуз сб науч тр Саратов Изд-йо Сарат ун-та, 2003 Вып 1 С 31-43

12Сецтская ЕВ Граничное поведение степенных рядов, отвечающих ¿-функциям числовых полей Дис канд физ -мат наук Саратов, 2005

13 Чудаков НГ, Лин ник Ю В Об одном классе вполне мультипликативных функций // ДАН СССР, 1950, Т 74, № 2, С 193-196

ростью В связи с этим в этой работе были разработаны общие положения полиномиальной аппроксимации функций, заданных на отрезке [0,1] степенными рядами с мультипликативными коэффициентами.

В работе10 была получена аппроксимационная характеристика классических ¿-функций Дирихле в классе эйлеровых произведений с конечнознач-ными коэффициентами А именно, показано, что ¿-функции в этом классе характеризуются тем свойством, что в некотрой полосе допускают аппроксимацию полиномами Дирихле с показательной скоростью Более того, указывается явная конструкция этих аппроксимирующих полиномов

В работах11'12 изучалась задача о целостности композита двух рядов Дирихле Результаты, полученные в направлении решения этой задачи, позволили решить задачу о целостности скалярного произведения двух ¿-функций Дирихле числовых полей в случае, когда каждая из этих ¿-функций допускает разложение в произведение классических ¿-функций Дирихле, что, в свою очередь, частично решает известную гипотезу Ю В Линника о целостности скалярного произведения ¿-функций Гекке числовых полей14

Условие разложения ¿-функции в произведение классических ¿-функций Дирихле связано с тем, что применение метода редукции в этом случае требует знания о граничном поведении соответствующих степенных рядов во всех точках единичной окружности. В работе12 частично описан класс числовых полей и характеров Дирихле, для которых такое разложение в произведение имеет место

Цель данной работы заключается в решении следующих трех задач

1 Получить новые результаты в плане дальнейшего развития метода редукции к степенным рядам и применить полученные результаты в клас-

14 Фоменко О М Продолжимость на всю плоскость и функциональное уравнение скалярного произведения Ь-рядов Гекке двух квадратичных полей // Труды Матем ин-та им В А Стеклова АН СССР М Наука, 1972 Т 128 С 232-242

сической теории ¿-функций Дирихле

2 Указать приложение метода редукции к степенным рядам в теории Ь-функций Дирихле числовых полей

3 В ряде случаев вычислить ¿-функции Артина и показать, что и в этом случае работает метод редукции к степенным рядам

Как следует из вышесказанного эти задачи являются актуальными

Методы исследования В работе использовались аналитические методы, применяемые в теории степенных рядов, и методы алгебраической теории чисел

Научная новизна К новым результатам, полученным в данной работе в

направлении решения вышеприведенных задач, нужно отнести следующие результаты

В плане первой задачи

1 Получен критерий того, что ряд Дирихле определяет целую функцию с определенным условием роста модуля в левой полуплоскости Этот критерий заключается в том, что соответствующий степенной ряд, то есть степенной ряд в теми же самыми коэффициентами, определяет функцию, регулярную в точке г = 1

Следует отметить, что в данном случае в отличие от соответствующего результата, доказанного в5 рассматриваются ряды Дирихле с произвольными (а не обязательно конечнозначными) коэффициентами

2 Полученный выше результат позволил описать ряды Дирихле с ко-

нечнозначными мультипликативными коэффициентами, которые определя-

ют функции, удовлетворяющие функциональному уравнению римановского типа

Замечание Можно показать, уравнению такого типа удовлетворяют Ь-функции Дирихле ¿(в, х)

Еще в 1859 году в знаменитой работе15 Риман показал, что ^-функция удовлетворяет функциональному уравнению, позже названному уравнением римановского типа Там же15 Риманом была поставлена задача о том, в какой степени данное уравнение характеризует ^-функцию

Полный ответ на этот вопрос был получен в 1922 году немецким математиком Гамбургером16, который фактически показал, что если функция /(s) определяется рядом Дирихле, абсолютно сходящимся в полуплоскости а > 1, и удовлетворяет функциональному уравнению римановского типа, то эта функция с точностью до константы является (^-функцией Римана

Известно, что существуют ряды Дирихле с периодическими коэффициентами, которые удовлетворяют функциональному уравнению римановского типа и которые имеют «достаточно много» нулей в полуплоскости о >\ (По этому поводу см 17)

Тем не менее, автору удалось показать, что в классе рядов Дирихле с конечнозначными мультипликативными коэффициентами уравнению римановского типа удовлетворяют только L-функции Дирихле

3 Изучение граничных свойств степенных рядов, отвечающих рядам Дирихле, определяющих функции, регулярные в полуплоскости а > позволило определить условие, сформулированное в терминах поведения сумматорной функции коэффициентов логарифмической производной L-функции, равносильное расширенной гипотезе Римана о нулях L-функций Дирихле Это позволило, в какой-то степени, иначе посмотреть на задачу относительно взаимосвязи основной и расширенной гипотез Римана (По этому поводу см параграф 2 3 диссертационной работы)

' Что касается второй задачи, которая изучалась в данной работе, то в этом направлении получены следующие результаты

1 Получен критерий того, что ряд Дирихле определяет целую функцию

lBRieman В Uber die Grosse, Monatsher Berliner Acad Wiss, 1859-1860 S 671-680

18Hamburger H Uber die Riemansche Funktionalgleichung der ¿-Funktion, 1, Math Z , 10,1921 S 240-254

17 Воронин С M , Карацуба А А Дзета-функция Римана М Физматгиз, 1994

/(в), с определенным условием роста модуля в левой полуплоскости Этот критерий выражен в терминах роста радиальных производных в точке 2 = 1 соответствующего степенного ряда

Отметим, что условию роста модуля, указанному в теореме, удовлетворяют ¿-функции Дирихле числовых полей

2 Исследована задача граничного поведения в точках единичной окружности, определяемых корнями из единицы, степенных рядов, отвечающих ¿-функциям Дирихле числовых полей В соавторстве с В Н Кузнецовым и Е В Сецинской18 показано, что при некоторых ограничениях у функций, определяемых такими рядами почти во всех точках единичной окружности, отвечающих корням из единицы, существуют радиальные производные любого порядка

Замечание Вопрос о существовании конечных радиальных производных у функции, определяемой степенным рядом, соответствующим ¿-функции Дирихле числового поля к, почти во всех точках единичной окружности, остается открытым Положительное решение этого вопроса позволило бы до конца решить задачу о целостности композита ¿-функций Дирихле числовых полей

3 Определен непустой класс характеров Дирихле, которые по аналогии с числовыми характерами, получили название обобщенных Для таких характеров выдвинуто утверждение, которое является аналогом известной гипотезы Н Г Чудакова Этот результат получен в соавторстве с В Н Кузнецовым и А В Ермоленко19

К основным результатам, полученным в данной работе в плане решения

1В Кузнецов В Н, Сецинская В В, Кривобок В В О граничных свойствах одного класса степенных рядов // Исследования по алгебр«, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам Межвуз сб научн тр Саратов Изд-во Сарат ун-та, 2003 Вып 3 С 40-47

19Ермоленко А В, Кузнецов В Н, Кривобок В В К проблеме обобщенных характеров для числовых полей // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам Межвуз сб научн тр Саратов Изд-во Сарат ун-та, 2007 Вып 4 С 31-33

третьей задачи, нужно отнести следующие результаты, опубликованные в работах20 21 22

1 В случае, когда группа Галуа £7 расширения числового поля к С К является объединением попарно различных циклических групп, получено уточнение теоремы Брауэра, что позволило для групп бесквадратного порядка применить индуктивный подход при вычислении ¿-функции Артина, и показать, что ¿-функция Артина в этих случаях является произведением ¿-функций Дирихле промежуточных числовых полей Таким образом, показано, что метод редукции к степенным рядам применим к ¿-функциям Артина в этих случаях

2 В ряде случаев, рассматриваемых в работе, предложен подход вычисления ¿-функций Артина, основанный на разложении на множители и последующего частичного сокращения тех ¿-функций Дирихле циклических расширений, которые, согласно теореме Брауэра, определяют ¿-функции Артина как мероморфные функции Такой подход позволил показать, что ¿-функции Артина в этих случаях также являются произведением ¿-функций Дирихле

Все приведенные выше результаты являются новыми и получены либо самостоятельно автором, либо в соавторстве Эти результаты определяют основное содержание диссертации и выносятся на защиту

Теоретическая и практическая значимость Диссертационная работа носит теоретический характер Методы и результаты работы могут быть полезны специалистам работающим в теории Ь- функций Результаты работы могут быть использованы в учебном процессе при чтении специальных курсов

20Кривобок В В К вопросу о разложении Ь-функций Артияа в произведение Ь-функций Дирихле // Математика Механика Сб науч тр Саратов Изд-во Сарат ун-та, 2003 Вып 5 С 71-73

21 Кузнецов В Я, Сецииская Е В, Кривобок В В К задаче о разложении в произведение Ь-функций Дирихле числовых полей // Чебышевский сборник Труды VI Международной конференция «Алгебра и теория чисел современные проблемы и приложения» Тула Изд-во ТГПУ, 2004 Т 5 Вып 3 С 51-63

22Кузнецов В Я, Кузнецова ТА , Сецинская Е В, КривобокВВ О граничных свойствах од-ного класса степенных рядов // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам Межвуз сб научн тр Саратов Изд-во Сарат ун-та, 2007 Вып 4 С 69-76

студентам Саратовского государственного университета, Ульяновского государственного университета, Белгородского государственного университета.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинаре кафедры алгебры и теории чисел СГУ, на научных конференциях на механико-математическом факультете СГУ (2003-2007), на VI Международной конференции «Алгебра и теория чисел современные проблемы и приложения», посвященной 100-летию Н Г Чудакова (Саратов, 2004), на Международной конференции по алгебре и теории чисел, посвященной 80-летию В Е. Воскресенского (Самара, 2007)

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 12 работах, в том числе 1 статья из списка ВАК Список статей приведен в конце автореферата

Структура и объем работы Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы Список литературы содержит 43 наименования Общий объем диссертации — 84 страницы

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается постановка задачи и краткий исторический обзор результатов, полученных ранее и связанных с тематикой данной работы

Первая глава посвящена развитию метода редукции к степенным рядам, включая степенные ряды, отвечающие ¿-функции Дирихле числовых полей В этом направлении в данной главе доказаны следующие результаты

ТЕОРЕМА 1.1. Ряд Дирихле

оо _

= 8 = а±гь (1)

*—* Т1 гс—* оо п=1

тогда и только тогда определяет целую функцию, порядок роста модуля

которой удовлетворяет условию

|/(л)| < сеИЬФН-АМ <г < О, (2)

когда соответствующий степенной ряд

00

П=1

определяет функцию, регулярную в точке г = 1

ТЕОРЕМА 1.3. Ряд Дирихле (1) тогда и только тогда определяет целую функцию с условием роста модуля

[/(-п)\^0(еЫЬп+Ап),

где к — некоторое натуральное, к ^ 1, а А — положительная константа, когда соответствующий степенной ряд д(г) имеет в точке г = 1 конечные радиальные производные вида ап = 1ш1 д(п)(х), для которых выполняется условие

\ап\ = 0(еЫЫп+Ап).

ТЕОРЕМА 1.4. Пусть степенной ряд д(г) отвечает Ь-функции числового поля к и пусть для него существует полином Рп(г), корни которого лежат на единичной окружности, такой что

|д(г) ВД|<с, |*| <1.

Тогда почти во всех точках г = е21Т1,р единичной окружности, аргументы которых ¡р являются рациональными числами, существуют конечные радиальные производные вида

Ьт я(т)(

ге2"^), т = 0,1,2,.. , п, .

г—>1—0

Вторая глава посвящена некоторым приложениям результатов в теории ¿-функций числовых полей, полученных в первой главе

Так в первом параграфе этой главы получен результат, отвечающий на вопрос о том, в какой степени функциональное уравнение римановского типа определяет ¿-функцию Дирихле А именно, доказана

ТЕОРЕМА 2.1. Пусть /(я) — целая функция и в полуплоскости а > 1

П=1

где Л(п) — конечнозначная мультипликативная функция Далее, пусть /(й) удовлетворяет функциональному уравнению вида

где /(в) — функция, определяемая в полуплоскости а > 1 рядом Дирихле с коэффициентами, сопряженными к соответствующим коэффициентам ряда Дирихле, определяющего функцию /(я), а — некотрая ненулевая константа; 5 и §\ — величины, равные либо 1, либо 0 Тогда /(в) является Ь-функцией Дирихле

Во втором параграфе для норменного характера Дирихле числового поля к, то есть такого характера х, для которого существует числовой характер XI такой, что для любого простого идеала р поля к

х(р) = »№)),

доказывается следующее утверждение

ТЕОРЕМА 2.6. Пусть х ~ норменный характер числового поля к, отличный от единичного Тогда сумматорная функция

5(«)= £ х(21)

ЛГ(И)<1

является ограниченной

Этот факт позволяет по аналогии с числовыми характерами ввести понятие обобщенного характера числового поля

Определение 2. Обобщенным характером числового поля к называется мультипликативная функция h (21), определенная на группе идеалов и удовлетворяет следующим условиям

1 Л(21) — конечнозначная,

2 Л(р) ф 0 почти для всех простых идеалов р,

3 s(x) = £ л(а) = о( 1)

Как показано в работе существует достаточно много числовых полей, для которых обобщенные характеры существуют

Относительно обобщенных характеров числовых полей высказывается гипотеза, аналогичная гипотезе Н Г Чудакова

Гипотеза. Любой обобщенный характер числового поля, отличный от единичного, является характером Дирихле этого поля

В заключении второй главы с помощью метода редукции к степенным рядам доказаны следующие результаты, относящиеся к основной и расширенной гипотезам Римана

ТЕОРЕМА 2.8. Следующие условия эквивалентны

1 для нулей С-функции имеет место гипотеза Римана,

2 имеет место следующая ассимптотическая оценка

п^х

где е — произвольная положительная величина ТЕОРЕМА 2.9. Следующие условия эквивалентны'

- 141 для нулей Ь-функции Дирихле ¿(5, х), где х ~ неглавный характер Дирихле, имеет место расширенная гипотеза Римана,

2 имеет место следующая ассимптотическая оценка

$>(п)х(п) =

7г<2.

где е — произвольная положительная величина

Третья глава посвящена разработке методов и явному вычислению в отдельных случаях с помощью этих методов ¿-функций Артина Показано, не только, что в этих случаях ¿-функции Артина являются целыми функциями, но и тот факт, что к ним применим метод редукции к степенным рядам

Пусть группа Галуа б неабелева расширения числовых полей к С К пред-ставима в виде

т

о = и я„,

а=1

где На — попарно различные циклические группы, имеющие общий элемент е В этом случае получено одно уточнение известной теоремы Брауэра о разложении неабелевого характера

В случае, когда [С] = рур2 и подгруппа Я, [Я] = р2, состоит из двух классов сопряженности показано, что для характера ф «толщины» с1 имеет место разложение

Ш = ¿1 (Е Х?) + 5 ( £ ^){9) -

\ X. / /

где (I = ¿1ри XI, Хъ , Хр, ~ одномерные характеры подгруппы Ни [Ях] = рь X] — одномерные характеры подгруппы Я, хо ~~ главный характер поля к, X*, X*] ~ сопряженные характеры

Этот факт позволил доказать следующее утверждение

ТЕОРЕМА 3.1. Пусть к С К расширение Галуа, б — его группа Галуа, для которой [С] = Р1Р2, рг\р2 — 1, пусть, далее, Н — ее подгруппа, [Я] = рг

и Н состоит из двух классов сопряженности, и пусть ф — неодномерный простой характер этого расширения Тогда Ь-функция Артипа ф, К /к) является целой функцией Более того, имеет место равенство

Ь\з,ф,К[к) = П Ца,Ъ,К/К3),

Хз^Хо

где (I = ф(е) — «толщина» характера Дирихле ф, согласованного с группой Галуа Са1(К/К2) = Н расширения К2 С К

В последнем параграфе рассматривается случай бесквадратной группы £7, [С] = Р1Р2 р$ Пусть Нх такие подгруппы, что [Нг] = рг Рассмотрим цепочку гомоморфизмов

г, Ч>\ г< Рг V3 Р"-1 г< Ь -> Ьх -> Сг2 -> -► 1*8-1,

где <3, = М(Я,)

Пусть в этом случае выполнены ограничения

1 для г = 1,з — 2 все группы С, не являются абелевыми,

2 в группе Сг подгруппа Н3-г является нормальной и состоит из двух классов сопряженности

При данных предположениях, на основании индуктивного подхода доказана

ТЕОРЕМА 3.2. Пусть к С К — неабелево расширение Галуа с группой Галуа (3, для которой выполнены все сделанные выше предположения Тогда Ь-функция Артина Ь(в,ф, К/к) является целой и, более того, имеет место равенство

Хз^Хо

где (¿2, 1"2 — некоторые натуральные, X] ~~ пробегает все неединичные характеры Дирихле расширения К\ С К, согласованные с группой Галуа Нв этого расширения

-16В заключении приводится обзор некоторых вопросов, непосредственно связанных с тематикой диссертационной работы и не вошедших в данную диссертацию

Автор выражает глубокую благодарность и сердечную признательность научному руководителю профессору Валентину Николаевичу Кузнецову

Работы автора по теме диссертации

В журналах, входящих в список ВАК

1. Кривобок В В О рядах Дирихле с кокечнозначными мультипликативными коэффициентами, удовлетворяющих функциональному уравнению римановского типа // Известия Сарат ун-та Новая серия Серия Математика Механика Информатика Саратов Изд-во Сарат ун-та, 2007 Вып 1 Т7 С 13-15 (0,2 п л)

В журналах, не входящих в список ВАК

1 Кузнецов В Н, Сецинская Е В , Кривобок В В О граничном поведении степенных рядов, отвечающих ¿-функциям Дирихле числовых полей // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам Межвуз сб научн тр Саратов Изд-во Сарат унта, 2003 Вып 2 С 11-14 (0,2 п л , соискателем выполнено 35% работы)

2 Кузнецов В Н, Сецинская Е В , Кривобок В В К задаче о разложении в произведение Ь-функций Дирихле числовых полей // Чебышевский сборник Труды VI Международной конференции «Алгебра и теория чисел современные проблемы и приложения». Тула Изд-во ТГПУ, 2004 Т 5 Вып 3 С 51-63 (0,25 п л., соискателем выполнено 35% работы)

3 Кузнецов В Н, Сецинская Е В, Кривобок В В О граничных свойствах одного класса степенных рядов // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам Межвуз сб научн

тр Саратов Изд-во Сарат ун-та, 2003 Вып 3 С 40-47 (0,5 п л , соискателем выполнено 35% работы)

4 Кузнецов В Н, Сеципская Е В,, Кривобок В В О рядах Дирихле, определяющих целые функции первого порядка // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам Межвуз сб научн тр Саратов Изд-во Сарат ун-та, 2003 Вып 3 С 47-58 (0,8 п л , соискателем выполнено 35% работы)

5 Ермоленко А В , Кузнецов В Н, Кривобок В В К проблеме обобщенных характеров для числовых полей // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам Межвуз сб научн тр Саратов Изд-во Сарат ун-та, 2007 Вып 4 С 31-33 (0,2 п л , соискателем выполнено 35% работы)

6 Кривобок В В К вопросу о разложении Ь-функций Артина в произведение Ь-функций Дирихле // Математика Механика Сб науч тр Саратов Изд-во Сарат ун-та, 2003 Вып 5 С 71-73 (0,2 п л )

7 Кузнецов В Н, Кузнецова ТА , Сецинская ЕВ , Кривобок В В О граничных свойствах од-ного класса степенных рядов // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам Межвуз сб научн тр Саратов Изд-во Сарат ун-та, 2007 Вып 4 С 6976 (0,5 п л , соискателем выполнено 25% работы)

8 Кузнецов В Н, Сецинская Е В , Кривобок В В К задаче о разложении в произведение Ь-функций Дирихле числовых полей // Чебышевский сборник Труды VI Международной конференции «Алгебра и теория чисел современные проблемы и приложения» Тула Изд-во ТГПУ, 2004 Т V Вып 3(11) С 51-63. (0,8 п л , соискателем выполнено 35% работы)

9 Кривобок В В К вопросу целостности Ь-функции Артина // Алгебра и теория чисел современные проблемы и приложения Труды VI Между-

нар конф Саратов 13-17 сентября 2004 г Саратов Изд-во Сарат ун-та, 2004 С 111-112. (0,125 п л)

10 Кузнецов В Н, Сецинская Е В, Кривобок В В Об одном аналоге гипотезы Н Г Чудакова для характеров числовых полей // Алгебра и теория чисел современные проблемы и приложения: Труды VII Междунар конф Самара 21-25 мая 2007 Самара Изд-во «Универс групп» 2007 С 33 (0,06 п л , соискателем выполнено 35% работы)

11 Кузнецов В Н, Сецинская Е.В, Кривобок В В О рядах Дирихле, определяющих целые функции с определенным порядком роста модуля // Алгебра и теория чисел современные проблемы и приложения Труды VII Междунар конф Самара 21-25 мая 2007 Самара Изд-во «Универс групп» 2007 С 32 (0,06 п л , соискателем выполнено 35% работы)

Введение

1 Метод редукции к степенным рядам в теории L-функций числовых полей

1.1 К задаче описания целых функций, определяемых рядами Дирихле, удовлетворяющих определенному порядку роста модуля

1.2 О граничном поведении степенных рядов, отвечающих L-функциям числовых полей

2 Некоторые приложения метода редукции к степенным рядам в теории L-функций числовых полей

2.1 L-функции Дирихле и функциональное уравнение римановского типа.

2.2 К проблеме обобщенных характеров.

2.2.1 Гипотеза Н.Г. Чудакова и ее эквивалентные формулировки

2.2.2 Обобщенные характеры числовых полей и обобщенная гипотеза Н.Г. Чудакова.

2.3 Расширенная гипотеза Римана; ее взаимосвязь с основной гипотезой.

2.3.1 Постановка одной задачи В.Г. Спринджука.

2.3.2 Об иной постановке задачи В.Г. Спринджука.

2.3.3 Об одном условии, эквивалентном основной и расширенной гипотезам Римана.

3 К задаче о целостности L-функции Артина

3.1 Характеры конечных неабелевых групп. Общие сведения

3.2 L-функции Артина, их свойства.

3.3 Об одном уточнении теоремы Брауэра.

3.4 Задача разложения на множители L-функций Дирихле числовых полей и ее связь с гипотезой Артина.

3.5 Иные подходы в задаче о целостности L-функции Артина

3.5.1 Подход А.И. Виноградова в задаче о целостности L-функции Артина.

3.5.2 Случай сверхразрешимой группы и теорема Блик-фельда.

3.5.3 Индуктивный подход в задаче о целостности L-функции Артина.

В последние годы в работах В.Н. Кузнецова и его учеников был разработан метод исследования аналитических свойств функций, заданных рядами Дирихле — метод редукции к степенным рядам, который позволил выразить отдельные аналитические свойства этих функций в терминах граничных свойств соответствующих степенных рядов. Этот метод позволил получить новые результаты в теории классических L-функций Дирихле, что нашло приложение в решении отдельных теоретико-числовых задач.

Данная работа посвящена продолжению исследований в данном направлении и получении подобных результатов для L-функций числовых полей, включая L-функции Дирихле и L-функции Артина.

Нужно сказать, что исследования, связанные с развитием метода редукции к степенным рядам, проводятся в данной работе для целых функций. Поэтому, что касается L-функций Артина, то в работе в ряде случаев решается задача о целостности L-функций, возникающих в случае неабе-левых расширений Галуа основного поля, а за одно показывается, что для таких L-функций возможно получить результаты такие же, как и в случае L-функций Дирихле числовых полей.

Остановимся более подробно на вопросах, связанных с постановкой задач и их решением в данной диссертации.

Основные положения метода редукции к степенным рядам были разработаны в работах В.Н. Кузнецова в конце 70-х годов [1,2]. Рассмотрим ряд Дирихле оо f(s) = J24> = з = а + г% (1) z—' Пь п—>оо п—1 и соответствующий ему (с теми же коэффициентами) степенной ряд оо g(z) = J2a>nZn. (2)

П=1

В [1,2]. было показано, что поведение соответствующего степенного ряда (2) на границе круга сходимости позволяет судить о некоторых аналитических свойствах рядов Дирихле (1). Нужно сказать, что для определенных классов степенных рядов, например, рядов с конечнозначными коэффициентами и рядов с целыми коэффициентами, задача, связанная с их поведением на границе круга сходимости достаточно хорошо изучена (см., например, [3]), что позволяет получать новые результаты относительно аналитических свойств соответствующих рядов Дирихле.

В начале 80-х на основании применения этого метода В.Н. Кузнецовым была получена аналитическая характеристика L-функций Дирихле в классе эйлеровых произведений с конечнозначными коэффициентами [4]. А именно, была доказана

Теорема 1. Конечнозначная мультипликативная неединичная функция h(n) тогда и только тогда является характером Дирихле, когда ряд Дирихле s = a + (3) 1

71—1 определяет целую функцию, удовлетворяющую следующему условию роста модуля в левой полуплоскости s)|^ce|s'In|s|+>1|s|, <7<0, (4) где А — некоторая положительная константа.

Дальнейшее развитие метод редукции к степенным рядам получил в работах В.Н. Кузнецова и его учеников, опубликованных в период с 2002 по 2005 годы [5-7].

Как видно из теоремы 1, известная гипотеза Н.Г. Чудакова о том, что неглавный обобщенный характер является характером Дирихле [5,8], сводится к задаче аналитического продолжения ряда Дирихле (3), где h(n) — неглавный обобщенный характер, целым образом на комплексную область с условием роста модуля (4). Метод редукции к степенным рядам сводит эту задачу к тому, что степенной ряд оо g(z) = J2 Цп)*п (5) п—1 определяет функцию, регулярную в точке z = 1. Хорошо известно, что последнее будет иметь место, если функция, определенная на отрезке [0,1] рядом (5) допускает полиномиальную аппроксимацию с показательной скоростью.

В связи с этим в работе [9] были разработаны общие положения полиномиальной аппроксимации функций, заданных на отрезке [0,1] степенными рядами с мультипликативными коэффициентами.

Замечание 1. По мнению автора, более детальные исследования в направлении работы [9] позволят до конца решить гипотезу Н.Г. Чудакова об обобщенных характерах. Но работа в этом направлении является самостоятельной темой исследования, и эти вопросы не вошли в данную диссертацию.

Описанный выше подход в задаче аналитического продолжения рядов Дирихле позволил получить аппроксимационную характеристику L-функций в классе эйлеровых произведений с конечнозначными коэффициентами. А именно, в работе [9] доказана

Теорема 2. Пусть h{n) — неединичная мультипликативная конеч-нозначная функция натурального аргумента. Тогда следующие условия эквивалентны:

1. h(n) — характер Дирихле;

2. функция п=1 продолжима регулярным образом в полуплоскость а > 0 и в любой полосе а ^ а0 > О, ^ Т допускает аппроксимацию полиномами Дирихле Tn(s) со скоростью ' 2de q> и где константа зависит только от Т.

Более того, в работе [9] доказан результат, характеризующий целые функции, порядок модуля которых удовлетворяет условию (4), и которые определяются рядами Дирихле. А именно, в [9] доказана

Теорема 3. Ряд Дирихле оо 71=1 тогда и только тогда определяет целую функцию, порядок роста модуля которой удовлетворяет условию (4), когда для любой полосы а ^ его > 1, \t\ < Т существует последовательность полиномов Дирихле Tn{s), аппроксимирующих функцию f(s) в этой полосе со скоростью и где константа зависит только от Т.

Замечание 2. Как показано в [10] для любой L-функции Дирихле коэффициенты полиномов Tn(s) определяются явным образом. Это позволяет получить новую информацию о нулях и значениях (алгебраических или трансцендентных) L-функций на числовой прямой. Но эти вопросы определяют самостоятельные темы исследований и не вошли в данную работу.

Далее, в диссертации Е.В. Сецинской [11] показано, что метод редукции к степенным рядам позволяет в отдельных случаях ответить на вопрос о целостности функций, определяемых композитом двух рядов Дирихле. Это,в свою очередь, дает положительный ответ в известной задаче Ю.В. Линника о целостности композита L-функций Гекке числовых полей. А именно, в работе [11] получен следующий результат. Рассмотрим две L-функции числовых полей к\ и = (в)

21 ^ ' п=1

В ^ ' 71=1 и их композит оо , м = Е^г- <8>

П=1

При данных обозначениях имеет место

Теорема 4. Пусть к\ и — числовые поля и L(s,xъ и L(s,x2Д2) — соответствующие им L-функции Дирихле вида (6) и (7), которые допускают разложение в виде произведения классических L-функций Дирихле, и пусть неглавные характеры Xi и Х2 имеют взаимно простые над полем рациональных чисел Q модули.

Тогда композит этих L-функций вида (8) определяет целую функцию.

Замечание 3. В работе [11] описан класс числовых полей к и характеров Дирихле х, для которых L-функция допускает разложение в произведение классических L-функций Дирихле.

Замечание 4• В основе доказательства теоремы 4 лежит метод редукции к степенным рядам. Его применение в данном случае предлагает достаточно полную информацию о поведении степенного ряда, отвечающего L-функции Дирихле числового поля. Такая информация в [11] получена только в случае, когда L-функция поля к допускает разложение в произведение классических L-функций Дирихле.

Данная диссертация посвящена решению следующих вопросов:

1. Дальнейшему развитию метода редукции к степенным рядам, и применению полученных результатов в классической теории L-функций Дирихле.

2. Развитию метода редукции к степенным рядам с целью дальнейшего его применения в теории L-функций Дирихле числовых полей.

3. Вычислению в ряде случаев L-функций Артина с целью показать, что и в этих случаях работает метод редукции к степенным рядам.

Как следует из вышесказанного эти задачи являются актуальными. К новым результатам, полученным в данной работе в направлении решения вышеприведенных задач, нужно отнести следующие результаты. В плане первой задачи.

1. Получен критерий того, что ряд Дирихле (1) определяет целую функцию с условием роста модуля (4), когда соответствующий степенной ряд (2) определяет функцию, регулярную в точке z — 1.

Следует отметить, что в данном случае в отличие от соответствующего результата, доказанного в [4] рассматриваются ряды Дирихле с произвольными (а не обязательно конечнозначными) коэффициентами.

2. Полученный выше результат позволил описать ряды Дирихле с конечнозначными мультипликативными коэффициентами, которые определяют функции, удовлетворяющие функциональному уравнению римановского типа, то есть функциональному уравнению вида где а — некотрая ненулевая константа; 5 и <5i — величины, равные либо 1, либо 0; f(s) — функция, определяемая рядом Дирихле с коэффициентами, сопряженными к коэффициентам ряда Дирихле, определяющего функцию м

Замечание. В случае а = 5 = уравнению (??) удовлетворяют Lфункции Дирихле L(s, х), где характер Дирихле х имеет период кпд — 5i, и равен 0 или 1 в завсимости от того, чему равно значение

Еще в 1859 году в знаменитой работе [12] Риман показал, что функция удовлетворяет функциональному уравнению ж-iF (|) ф) = (I^i) С(1 " в) ■ (Ю)

Там же [12] Риманом была поставлена задача о том, в какой степени уравнение (10) характеризует С-функцию.

Полный ответ на этот вопрос был получен в 1922 году немецким математиком Гамбургером [13], который фактически показал, что если функция f(s) определяется рядом Дирихле, абсолютно сходящимся в полуплоскости о > 1, и удовлетворяет функциональному уравнению (10), то эта функция с точностью до константы является ("-функцией Римана.

Известно, что для уравнений вида (9) подобный факт не имеет места. Более того, известно, что существуют ряды Дирихле с периодическими коэффициентами, которые удовлетворяют функциональному уравнению римановского типа и которые имеют «достаточно много» нулей в полуплоскости <7 > (По этому поводу см. [15]).

Тем не менее, автору удалось показать [16], что в классе рядов Дирихле с конечнозначными мультипликативными коэффициентами уравнению римановского типа удовлетворяют только L-функции Дирихле.

3. Изучение граничных свойств степенных рядов, отвечающих рядам Дирихле, определяющих функции, регулярные в полуплоскости а > позволило определить условие, сформулированное в терминах поведения сумматорной функции коэффициентов логарифмической производной L-функции, равносильное расширенной гипотезе Римана о нулях L-функций Дирихле. Это позволило, в какой-то степени, иначе посмотреть на задачу относительно взаимосвязи основной и расширенной гипотез Римана. (По этому поводу см. параграф 2.3 настоящей работы).

Что касается второй задачи, которая изучалась в данной работе, то в этом направлении получены следующие результаты:

1. Получен критерий того, что ряд Дирихле (1) определяет целую функцию /(s), с условием роста модуля в левой полуплоскости вида

5)|<Cem|s|ln|s|+B|sl, ст- С 0, (11) где т — натуральное ^ 1, В — некоторая положительная константа. Этот критерий выражен в терминах роста радиальных производных в точке z — 1 соответствующего степенного ряда.

Отметим, что условие (11) удовлетворяет L-функциям Дирихле числовых полей.

2. Исследована задача граничного поведения в точках единичной окружности, определяемых корнями из единицы, степенных рядов, отвечающих L-функциям Дирихле числовых полей {к Ф Q). В соавторстве с Е.В. Сецинской [17] показано, что при некоторых ограничениях у функций, определяемых такими рядами почти во всех точках единичной окружности, отвечающих корням из единицы, существуют радиальные производные любого порядка.

Замечание 5. Вопрос о существовании конечных радиальных производных у функции, определяемой степенным рядом, соответствующим L-функции Дирихле числового поля к (к ф- Q), почти во всех точках единичной окружности, остается открытым. Положительное решение этого вопроса позволило бы до конца решить задачу о целостности композита L-функций Дирихле числовых полей.

3. Определен непустой класс характеров Дирихле, которые по аналогии с числовыми характерами, получили название обобщенных. Для таких характеров выдвинуто утверждение, которое является аналогом известной гипотезы Н.Г. Чудакова. Этот результат получен в соавторстве с В.Н. Кузнецовым и А.В. Ермоленко [19].

К основным результатам, полученным в данной работе в плане решения третьей задачи, нужно отнести следующие результаты, опубликованные в работах [20-22].

1. В случае, когда группа Галуа G расширения числового поля к С К является объединением попарно различных циклических групп, получено уточнение теоремы Брауэра, что позволило для групп бесквадратного порядка применить индуктивный подход при вычислении L-функции Артина, и показать, что L-функция Артина в этих случаях является произведением L-функций Дирихле промежуточных числовых полей к С К{ С К. Таким образом, показано, что метод редукции к степенным рядам применим к L-функциям Артина в этих случаях.

2. В ряде случаев, рассматриваемых в работе, предложен подход вычисления L-функций Артина, основанный на разложении на множители и последующего частичного сокращения тех L-функций Дирихле циклических расширений, которые, согласно теореме Брауэра, определяют Lфункции Артина как мероморфные функции. Такой подход позволил показать, что L-функции Артина в этих случаях также являются произведением L-функций Дирихле.

Все приведенные выше результаты являются новыми и получены самостоятельно автором. Эти результаты определяют основное содержание диссертации и выносятся на защиту.

Объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Общий объем составляет 82 страницы. Краткое содержание работы.

Заключение

Остановимся на отдельных вопросах, которые непосредственно связаны с тематикой данной работы, но не нашли в ней должного отражения.

Во-первых, в данной работе не рассматривались вопросы, отражающие взаимосвязь целостности функции, заданной рядом Дирихле, с определенным порядком роста модуля в левой полуплоскости, и распределением нулей этой функции в критической полосе. Известный пример Девенпорта-Хейльброна показывает, что даже тот факт, что такая функция удовлетворяет функциональному уравнению римановского типа, не гарантирует того, что не все нули такой функции будут римановскими. Тем не менее, «достаточно много» нулей функции Девенпорта-Хейльброна лежат на критической прямой, и в то же время условие мультипликативности коэффициентов рядов Дирихле, определяющих функции, удовлетворяющих римановскому уравнению, как показано в работе, определяет такие ряды, как L-функции Дирихле.

В связи с вышесказанным, для решения расширенной гипотезы Римана существенным моментом может оказаться изучение аналитических свойств эйлеровых произведений.

В этом направлении, по мнению автора, должна решаться и известная гипотеза Н.Г. Чудакова об обобщенных характерах. Можно надеяться, что более детальное изучение вопросов теории полиномиального приближения функций, заданных на отрезке [0,1] степенными рядами с мультипликативными коэффициентами, основные положения которой были изложены в работе [9], приведет к окончательному решению этой проблемы.

К вопросам, связанным с L-функциями числовых полей стоит отнести следующие.

В работе остался без ответа вопрос об аналитической непродолжимости за границу круга сходимости степенного ряда, отвечающего L-функции числового поля, отличного от поля рациональных чисел.

Что касается гипотезы Артина, то в этом направлении следует ожидать результатов, которые задачу разложения и последующего частичного сокращения сомножителей, о которой шла речь в пункте 3.4 последней главы, редуцирует к абелеву случаю.

Хотелось бы отметить, что по мнению автора, наиболее перспективным подходом к решению гипотезы Артина, является подход, в основе которого лежит редукция задачи о целостности L-функции к абелеву случаю. К сожалению, этот подход нуждается в значительной доработке, и поэтому не вошел в основную часть диссертации. Основные положения этого подхода заключаются в следующем.

Пусть G — неабелева группа и яр — простой характер этой группы. В силу теоремы Брауэра существует покрытие группы G циклическими подгруппами На : G = [J На, и группы На изоморфны в случае их сопряжена ности, существуют единичные характеры ha этих циклических подгрупп такие, что

Ф = ^nah*a, а где па, h* — индуцированные характеры.

Пусть к С К — неабелево расширение Галуа с группой Галуа G. Обозначим через Еа подмножество идеалов, порожденных простыми идеалами р, такими, что

F[p] € tfQ, где F — отображение Фробениуса.

Тогда подмножества Еа образуют покрытие множества всех нераз-ветвленных идеалов поля к.

Метод редукции к абелевому случаю заключается в построении абе-лева расширения Галуа к С L с группой Галуа G\, для которого выполнены следующие условия:

1. существует такое покрытие группы G\ G\ — jj^, H'ai циклическими подгруппами Hfa, что каждая Н'а изоморфна хотя бы одной подгруппе На и обратно, каждая подгруппа На изоморфна одной подгруппе H'ai;

2. системы покрытий {-Ё^*} и {Е'а1} совпадают;

3. для любой подгруппы H'ai, изоморфной подгруппе На существует гомоморфизм Хаг, обладающий свойствами: для любого Еа: ha(p) = ХаМ

В этом случае можно показать, что L-функция Артина L(s, яр, К /к) — целая тогда и только тогда, когда целой является функция L(s, tp, L/k), где для ср = Y2naiXai n&i такие же коэффициенты, как и при соответствующем ai п* в разложении простого характера яр.

1. Кузнецов В.Н. К задаче описания рядов Дирихле, определяющих целые функции // Дифференциальные уравнения и теория функций: Межвуз. сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1991. Вып. 9. С. 2329.

2. Кузнецов В.Н. Метод редукции к степенным рядам в задаче о целостности композита рядов Дирихле // Труды 4-ой Сарат. зимней школы по теории функций и приближений. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1989. Ч. 1. С. 147-149.

3. Бибербах Л. Аналитическое продолжение. М.: Наука, 1967.

4. Кузнецов В.Н. Аналог теоремы Сеге для одного класса рядов Дирихле // Математические заметки, 1984. Т. 36. Вып. 6. С. 805-813.

5. Чудаков Н.Г., Родосский К.А. Об обобщенном характере // ДАН СССР. 1950. Т.73.

6. Сецинская Е.В. Граничное поведение степенных рядов, отвечающих L-функциям числовых полей: Дис. канд. физ.-мат. наук. Саратов, 2005.

7. Rieman В. Uber die Grosse, Monatsher. Berliner Acad. Wiss., 1859-1860. S. 671-680.

8. Hamburger H. Uber die Riemansche Funktionalgleichung der £-Funktion, I, Math. Z., 10, 1921. S. 240-254.

9. Титчмарш E. Теория функций. M.: Наука, 1980.

10. Карацуба А.А. Основы аналитической теории чисел. М.: Наука, 1975.

11. Кривобок В.В. К вопросу о разложении L-функций Артина в произведение L-функций Дирихле // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2003. Вып. 5. С. 71-73.

12. Водолазов A.M. Аппоксимационный подход к проблеме обобщенных характеров: Дисканд. физ.-мат. наук. Саратов, 2003. 82 с.

13. Даугавет И.К. Введение в теорию приближения функций. JL: Изд-во ЛГУ, 1977.

14. Ленг С. Алгебраические числа. М: Мир, 1966.

15. Heche Е. Erne neue Art von Zetafunktionen und ihre Bezehungen zur Verteilung der Primzahlen // Math. Z., 1920. 6. P. 11-67.

16. Hecke E. Zur Theorie der elliptischen Modulfunktionen // Math. Ann., 1926. 97. P. 240-242.

17. Хассе Г. История теории полей классов //В кн.: Алгебраическая теория чисел. Под редакцией Дж. Касселса, А. Фрелиха. М,: Мир, 1969. С. 397-416.

18. Ленг С. Алгебра. М.: Мир, 1968.

19. Хейльброн X. ("-функции и L-функции //В кн.: Алгебраическая теория чисел. Под редакцией Дж. Касселса, А. Фрелиха. М.: Мир, 1969. С. 310— 347.

20. Кузнецов В.Н. К задаче описания одного класса рядов Дирихле, определяющих целые функции // Вычислительные методы и программирование: Межвуз. науч. сб. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1988. С. 63-72.

21. Воронин С.М., Карацуба А.А. Дзета-функция Римана. М.: Физматгиз, 1994.

22. Прахар К. Распределение простых чисел. М.: Мир, 1967.

23. Чудаков Н.Г., Линник Ю.В. Об одном классе вполне мультипликативных функций // ДАН СССР, 1950, Т. 74, № 2, С. 193-196.

24. Бронштейн B.C. Неограниченность сумматорной функции одного обобщенного характера // Уч. зап. МГУ, 1954, Т. 7, Вып. 165, матем., С. 212-220.

25. Глазков В.В. Об одном классе конечных гомоморфизмов // ДАН СССР, 1964, Т. 158, № 1, С. 33-36.

26. Глазков В.В. О распределение значений характеров // Исследования по теории чисел. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1966, Вып. 1, С. 12-20.

27. Глазков В.В. Характеры мультипликативной полугруппы натуральных чисел // Исследования по теории чисел. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1968, Вып. 2, С. 3-40.

28. Чудаков Н.Г. Обобщенные характеры // Тр. междунар. конгресса математиков в Ницце, 1970. М.: Наука, 1972, 335 с.

29. Спринджук В. Г. Вертикальное распределение нулей дзета-функции и расширенная гипотеза Римана // Acta Arithmetica, 1975, Т. XXVII, С. 317-332.

30. Виноградов А.И. L-ряды Артина и его гипотезы./Тр. III Всесоюзного матем. съезда, т.З. М., 1958.

31. Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. М.: Наука, 1972.

32. Постников М.М. Теория Галуа. М., Физматгиз, 1963.