Распределение единиц числового поля при локализации тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. ЕДИНИЦЫ ГЛОБАЛЬНЫЕ И ЛОКАЛЬНЫЕ.

§ I.I. Единицы и расширения с ограниченным ветвлением. U

§ 1.2. Лемма Шапиро и модули Галуа.

§ 1.3. Ограничение и норма на индуцированных модулях. с-<

§ 1.4. Гомоморфизм локализации.

§ 1.5. Мультипликативная группа циклического расширения локального поля. ^

§ 1.6. Старшие члены локальных единиц и параллелограммы Валина. ^

ГЛАВА 2. ЛОКАЛИЗАЦИЯ ЕДИНИЦ ЦИКЛИЧЕСКОГО РАСШИРЕНИЯ

ПОЛЯ CM-ТИПА

§ 2.1. Локализация единиц bZ^, -расширениях. ^

§ 2.2. Е^пдницы полей СМ-типа.

§ 2.3. Нормы единиц.

§ 2.4. Групповое кольцо группы диэдра.

§ 2.5. Модульная структура глобальных и локальных единиц.

§ 2.6. Независимость гомоморфизмов локализации.

§ 2.7. Старшие члены единиц.

ГЛАВА 3. РАВНОМЕРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЕДИНИЦ ПРИ

ЛОКАЛИЗАЦИИ В Zf -РАСШИРЕНИЯХ.

§ 3.1. Стабилизация норменного отображения. ®

§ 3.2. Устойчивая часть параллелограмма Валина.

§ 3.2. Локальные нормы и асимптотика параллелограммов Валина. ®

§ 3.4. Равномерное распределение старших членов единиц. ух

Группа единиц и группа классов идеалов - два основных инварианта числового поля, определяющие его арифметические свойства. Они характеризуют отклонение арифметики поля алгебраических чисел от арифметики рациональных чисел. К изучению этих групп сводятся многие задачи теории чисел и алгебраической геометрии (см. [40] ). Хотя структура группы единиц хорошо известна и задается классической теоремой Дирихле (см. [II]), практическое вычисление единиц конкретных числовых полей является чрезвычайно трудной задачей. Реализация существующих алгоритмов вычисления единиц (например [II ] ) наталкивается на колоссальный объем вычислений, приводящий к тому, что реально такими алгоритмами можно пользоваться только для полей, которые либо являются расширениями поля рациональных чисел маленьких степеней (2,3,4 -Г.Ф.Вороной, Б.М.Делоне, Д.К.Фаддеев, Х.Хассе и другие), либо принадлежат специфическим классам числовых полей (например, круговые поля: Куммер, абелевы расширения поля рациональных чисел: Х.Леопольдт). Такая же ситуация и с группой классов идеалов - хотя и существуют алгоритмы ее вычисления, но пользоваться ими можно только в очень специальных случаях.

Поэтому особое значение имеют косвенные методы изучения указанных групп. Одним из таких методов является р-адический метод (см. [ill » 1.161 ). Он заключается в том, что единицы числового поля вкладываются в более просто устроенное локальное поле -^адическое пополнение числового поля. Если -делитель f в поле К и х - единица поля К , то такое вложение осуществляется разложением ос в Ч? -адически сходящийся степенной ряд по степеням : х = а0 + at ТР -v V4---

Целое число <L будем называть степенью старшего члена единицы ос , если i = tain. 1У; f>0, OLj. фо}

Если i. > О » то единица ое удовлетворяет следующим сравнениям: ое - а0 = 0 mod у ; ое - а0 fk 0 -тос/ Чрс+

Основная задача диссертации состоит в выяснении того, для каких указанные сравнения тлеют решения в единицах поля К » или, другими словами, каковы старшие члены единиц.

При этом мы работаем не с самими единицами, а с теми расширениями поля К , которые они задают. Если ^рс К* , то единица ос задает расширение которое не разветвлено вне делителей р в К Свойства единицы ос проецируются в свойства такого расширения. Порядку старшего члена ОС. соответствует по некоторым формулам скачок ветвления локального расширения К С^^А» / ^ ъе г <Г

Из-за наличия неразветвленных расширений поля VC и существования S-единиц, не всякое расширения К степени р задается какой-либо единицей. Поэтому, изучая расширения поля информацию о единицах можно получить только с точностью до подгрупп и факторгрупп, индекс которых ограничен числом делителей р в поле К и размерностью группы элементов периода р в группе £ -классов поля К • р . Если мы предположим, что УС^ - YI -ый этаж 21 р -расширения числового поля, в котором ограничены указанные два числа, то полученная информация о единицах будет асимптотически точной. Итак, рассмотрим гомоморфизм локализации : ■■ нЧ -у нЧКп.», >f)

На образе введем фильтрацию, индуцированную фильтрацией группы главных единиц локального поля. Основным объектом изучения диссертации являются скачки полученной фильтрации lm jj> уь » которые С с учетом кратностей ) асимптотически совпадают с множеством степеней старших членов некоторого базиса группы единиц поля К w.

Перейдем к обзору содержания диссертации по главам. Первая глава содержит предварительные сведения, необходимые для доказательства основных результатов диссертации, которые содержатся в главах 2 и 3 . В §§ I.I - 1.4 описывается связь между приведенной группой единиц числового поля SGO/£(K у, группой Я -классов дивизоров C&s (К) и расширениями с ограниченным ветвлением. Приводится для удобства ссылок известная информация о группах Галуа таких расширений. Вводятся различные модульные структуры на группах когомологий Галуа и исследуются связи между ними. Описываются ядра и коядра гомоморфизмов ограничения и коограничения в когомологиях групп. Изучается гомоморфизм локализации в когомологиях Галуа в терминах индуцированных модулей, устанавливается связь между локализациями по различным продолжениям одного нормирования.

В §§1.5.-1.6. изучается приведенная мультипликативная груп па циклического расширения локального поля. Основным инструментом при этом является следующий результат Д.К.Фаддеева Г251 .

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.5.1. Пусть VC/1R, - расширение степени p локальных р-адических иррегулярных полей; А= lL]f7L ГДЗ ;

Л= Qa^(VC/fe);U=Lfe'QPl« Тогда А -модули изоморфны :

К/Кр ^АФЛФ'" ФА

- 'Уъ слагаемых А и dim. М = Z .

В § 1.6. строится канонический базис циклического расширения локального поля, обладающий хорошими модульными свойствами. Аналогичный базис использовался И.Р.Шафаревичем [27] при вычислении символа Гильберта. В [49] Валин, работая с базисом, который совпадает с нашим в старших членах, поставил в соответствие старшим членам главных единиц циклического вполне разветвленного расширения степени р иррегулярных локальных полей целые точки параллелограмма .О» :

-С2. ~ { С*, у) : О ^ рх р\ ■ О L £ L р }

Ь- b - скачок ветвления расширения . В § 1,6. вычисляется действие группы Галуа, гомоморфизмов ограничения и нормы на параллелограмме .

Вторая глава посвящена описанию старших членов образа гомоморфизма локализации единиц циклического расширения поля СМ-ти-па. В § 2.1. приведены известные результаты о р -расширениях числовых полей, исследованы условия, при которых нЧкУк., jv) означает квазиизоморфизм, т.е. гомоморфизм, ядро и коядро которого ограничены равномерно по п ), - максимальное р-расширение \С » неразветвленное вне Л.

В § 2.2 изложены результаты М,И.Башмакова и Р.А.Кештова [5] о локализации единиц: в полях СМ-типа. В § 2,3 изучаются решения норменного уравнения на единицах : х.: ckvV&CKJ ■—> ъсьнут.ор где - конечное р-расширение. Установлена квазиэпиморфность

Jf^ ,если и H^fe^feco, TL/fTL) =-0 .

Если К - циклическое расширение степени р поля СМ-типа » ТО либо абелева группа и тогда VC тоже поле СМ-типа, либо является группой диэдра. В § 2,4 изучав ются представления группы диэдра, вводятся фильтрации, которые необходимы для описания структуры единиц.

В § 2,5 описана модульная структура приведенной группы единиц циклического расширения поля СМ-типа. Выяснение модульной структуры группы единиц - интересная самостоятельная задача алгебраической теории чисел - см.рб], [38j,]433, [W]. Следующий результат, полученный в диссертации, является аналогом 1,5,1.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2,5.1. Пусть fe, - числовое поле; JLtp cfe; р -нечетное простое число; К ~ циклическое расширение fe, степени р ; fe^ 2, - расширение \l; Кс*>= К' &оо Ф & оо ;

А- 2/рЖ ПА]; Д-Qci СКА) • п^сть W/КЛ/Р^У 0 » где S содержит все делители р. Тогда А. -модули квазиизоморфны :

UK.ymJ ~ л

В дальнейшем изучается действие на единицах диэдральной группы операторов. Здесь установлена:

ТЕОРЕМА 2.5.2. Пусть tt - числовое поле СМ-типа; рф Z ) Ju.р С fe^ - квадратичное вполне вещественное подполе; круговое 2р -расширение fe* ; - расширение поля степени р , не являющееся полем СМ-типа. kU^VVC \ A^Ga^C^/^)группа диэдра; суР- Г)г= 4 ; А= .

Предположим, что U^CfeV^oo, ^/р ТогАа -Ли -модули квазиизоморфны:

В этом случае приведенная группа единиц уже не квазисвободна, хотя локальные группы о

Л к^/к»^ — Л *т остаются квазисвободными и для диэдральных операторов.

В § 2.6 изучается независимость гомоморфизмов локализации по различным делителям р . Гомоморфизмы f^ L^C^O называются квазинезависимыми, если

Ф kS.(tL) ~ W ф SiCn)

• с

ТЕОРЕМА 2.6.1. Пусть \i - числовое поле СМ-типа; Jjup С fe ; квадратичное вполне вещественное подполе в fe j круговое -расширение ; ^оо' ^ J ^ " конечное р-расширение ; = V^^q - К . Пусть ■[ у* J - все неэквивалентные продолжения р-адического нормирования Q на » "^С " какое-либо продолжение ^ на . Предположим, что VV^Ck/^te,^ TLjfUj) — О . Тогда гомоморфизмы локализации единиц: h о*.) •. и^УШ^--> к квазинезависимы. Если ~1лГс является продолжением такого if-который распадается при переходе в feoo , то J. {лъ) -квазиэпиморфизм.

В § 2.7 описываются старшие члены единиц. Основной является следующая

ТЕОРЕМА 2.7.2. Пусть fe, - числовое поле СМ-типа; JJL^> С fe ^ Vb* - квадратичное вполне вещественное подполе; круговое 2р -расширение; К -расширение \b степени р , не являющееся полем СМ-типа; Qa£ (VC/k+3 ~ GatCWoo/feoo)— Д ~ гРУппа Диэдра; К©о= VC • ; ^oQis. fe-VV^G \ У - один из делителей р в поле ^Ля > который вполне разветвлен в расширении К ©о о .

Предположим, что И (k^fe^, Ж/pZ) ^ О • Пусть - скачок ветвления J О = -fern. S-n . Тогда множество степеней старших членов образа локализации единиц: fv Си) -> v асимптотически совпадает со следующими множествами:

I) если & - четное, то с множеством четных чисел из

О > I и) > не Дел^ся на Р » гДе

2) если (!) - нечетное, то с пересечением (O^j^ky^ и следующими рСр-4) арифметическими прогрессиями по модулю % р^ ; грой-Ц + грЧ ; + 01 ^р • i е. z

Центральную роль в доказательстве 2.7.2 играют введенные в § 1.6 параллелограммы

Если в главе 2 мы всегда работали с круговым Ж.р -расширением, то в главе 3 изучается образ гомоморфизма локализации единиц произвольного -расширения. г

В § 3.1 устанавливается стабилизация норменного отображения на единицах ; ш^ут^f—* и равномерная по 1г и TKL ограниченность коядра Л/vL+nv/ft^ изучается место стабилизации и его зависимость от "Ж р -расширения. В § 3.2 в параллелограммах » соответствующих расширениям ЛС*1+1-у/Кп v выделяется область однозначной определенности старших членов решений локальных норменных уравнений. Показывается, что такая область асимптотически совпадает со всем -О. . В § 3.3 строятся аналоги параллелограммов

• УУЬ

Х2. Для циклических расширений степени р и предель-ный"параллелограмм" для локального 2Lp -расширения. Изучается согласованность решений локальных норменных уравнений. §3.4 содержит основной результат третьей главы. Здесь рассматривается гомоморфизм локализации единиц: ьы-- шут J—» K.v/Knpv где - числовое поле, содержащее JU.^ * р Ф % 'у K^q ~ 2р - расширение К! , такое, что Н^ОС^ЬСоо, If -один из делителей р в VCoo » пополнение VC*. по ограничению V . Положим

СО*) - множество скачков фильтрации Ivn. £ (jYl) , индуцированной естественной фильтрацией группы главных единиц локального поля, с учетом кратностей. Определим множество л Ы) = / Vpt-n; * btl=e(Kn,v/^p)/(p-i)

ТЕОРЕМА 3.4.2. Множество ^ (п*) распределено равномерно на отрезке X.0i Ц » т'е» йуп I ссш1 [ Ocvu) а (aj))]/cl>~a) } существует и не зависит от выбора (Gijf)) С ПО, 1J

В основе доказательства лежит сравнение решений локальных норменных уравнений с локализацией решений глобальных норменных уравнений.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [7J

-£9]

В заключение автор выражает глубокую благодарность за постановку задачи и постоянную поддержку своему научному руководителю М.И.Башмакову. Автор также благодарен С.В.Востокову и В.М.Цветкову за полезные обсуждения.

1. Алгебраическая теория чисел, (под ред.Днс.Касселса и А.Фрелиха). М., 1969. 483с.

2. Бабайцев В.А. О некоторых вопросах теории Г-расширений полей алгебраических чисел. Изв.АН СССР. Сер.мат., 1976, т.40,3, с.477-487.

3. Бабайцев В.А. О некоторых вопросах теории Г-расширений полей алгебраических чисел. П. Изв.АН СССР.Сер.мат., 1976, т.40, № 4, с.715-726.

4. Бабайцев В.А. О линейном характере поведения инварианта Ивасавы. Изв.АН СССР. Сер.мат., 1981, т.45, № 4, с.691-703.

5. Башмаков М.И.,Кештов Р.А. О локализации единиц числового поля. Зап.науч.семинаров Ленингр.отд.Мат.ин-та АН СССР, 1976, т.64, с.5-11.

6. Башмаков М.И.,Кириллов А.Н. Фильтрация Лютц формальных групп. Изв.АН СССР. Сер.мат., 1975, т.39, № 6, с. 12271239.

7. Блохин А.Л. О фильтрации единиц числового поля. В кн.: Всесоюзная алгебраическая конференция. Тезисы сообщений. Часть I. Минск: Ин-т Мат.АН БССР, 1983, с.28.

8. Блохин А.Л. Распределение единиц при локализации в 2Г© ~ расширениях. В сб.: Кольца и матричные группы. Орджоникидзе: СОГУ, 1984, с.27-35.

9. Блохин А.Л. Равномерное распределение единиц при локализации. Л., 1984, 16 с. (Рукопись деп. в ВИНИТИ 12 июля 1984 г.,5032-84).

10. Боревич З.И. О мультипликативной группе циклических р-расши-рений локального поля. В кн.: Алгебраическая теория чисели представления (Труды Мат.ин-та АН СССР, т.80). М., 1965, с.16-29.

11. Боревич З.И.,Шафаревич И.Р. Теория чисел. М., 1972. 495с.

12. Вейль А. Основы теории чисел. М., 1972. 408с.

13. Востоков С.В. Явная форма закона взаимности. Изв.АН СССР. ' Сер.мат., 1978, т.42, №6, с.1288-1321.

14. Гротендик А. О некоторых вопросах гомологической алгебры. М., 196I. 175с.

15. Картан А.,Эйленберг С. Гомологическая алгебра. М., I960. 5 Юс.

16. Коблиц Н. р-адические числа, р-адический анализ и дзета-функции. М., 1982. 192с.

17. Кох X. Теория Галуа р-расширений. М., 1973. 199с.

18. Кузьмин Л.В. Модуль ТЬйта полей алгебраических"чисел. -Изв.АН СССР. Сер.мат., 1972, т.36, № 2, с.267-327.

19. Кузьмин Л.В. Гомологии проконечных групп, мультипликатор Шура и теория полей классов. Изв.АН СССР. Сер.мат., 1969, т.33, № 6, с.1220-1254.

20. Кузьмин Л."В. Когомологичёская размерность некоторых групп Галуа. Изв.АН СССР. Сер.мат., 1975, т.39, № 3,с.487-495.

21. Ify-зьмин Л.В. Некоторые замечания об -адической теореме Дирихле и -адическом регуляторе. Изв. АН СССР. Сер.мат., 1981, т.45, №6, с.1203-1240.

22. Кэртис Ч.,Райнер И. Теория представлений конечных групп и ассоциативных алгебр. М., 1969. 668с.

23. Нойман 0. О р-замкнутых полях"алгебраических чисел с ограниченным ветвлением. Изв.АН СССР. Сер.мат., 1975, т.39, № I, с.259-271.- юз

24. Серр Ж.-П. Когомологии Галуа. М., 1968. 208с.

25. Фаддеев Д.К. К строению приведенной мультипликативной группы циклического расширения локального поля. Изв. АН СССР. Сер.мат., I960, т.24, № 2, с.145-152.

26. Цветков В.М. Теорема стабилизации в Г-расширениях. В кн.: Тезисы докладов и сообщений Всесоюзной школы по теории чисел. Душанбе, 1977, с.126-127.

27. Шафаревич И.Р. Общий закон взаимности. Мат.сб., 1950, т.26, № I, сЛ13-146.

28. Яковлев А.В. Группа Галуа алгебраического замыкания локального поля. Изв.АН СССР. Сер.мат., 1968, т.32, № 6,с.1283-1322.

29. Artin Е, Tate J. Class field theory. Ifew Jork, 1968.259 p.

30. Ax J. On the units of an algebraic number field.- Illinois J. Math.,1965,v.9, p.534-589.

31. Brumer A. On the units of an algebraic number field.-Mate-matica, 1967,v. 14,p. 121-124.

32. Brumer A. Galois group of extensions of number fields with given ramification.- Mich. Math. J, 1966,v.13, N. I,p.33-40.

33. Coates J. p-adic L-function and Iwasawa's theory.-(ed. A.Frohlich). Algebraic number fields. London,1977,p. 269353.

34. Greenberg R. The Iwasawa invariants of Г-extensions of a fixed number field.- Amer. J. Math.,1973,v.45,N. I,p. 204214.

35. Haberland K. Galois cogomology of algebraic number fields. Berlin,1978. 145 p.

36. Herbrand J. Sur les unites d*un corps algebrique.- C.R.Aoad. Sci. Paris.,1931,v.192,p.24-27,138.

37. Iwasawa K. On 21 p -extensions of algebraic number fields.-Ann. of Math. ,1973,v.98,N.2,p.247-326.

38. Jaulent J.-P. Sur la Z^C&J -structure des unites principa-les d'un corps local et des unites globales d'un corps de nombres a groupe de Galois metacyclique.-Abh. Math. Semin. Hamburg,1982,v.52,p.235-253.

39. Lang S. Cyclotomic Fields.vol. 1,2. Few Jork,1979,1980.

40. Lang S. Units and class groups in number theory and algebraic geometry.- Bull.Amer. Math. Soc., 1982,v.6,N.3,p.253-316.

41. Miki H. On the ramification numbers of cyclic p-extensions over local fields.-J. reine iind angew. Math., I98I,Bd.328,S.99-115.

42. Miyake K. On the units of an algebraic number fields.- J. Math. Soc. Japan.,v.34,p.515-525.

43. Mozer N. Unites et nombres de classes d'une extension galoi-sienne diedrale de .-Abh. Math. Semin. Hamburg,,1979,v.48,p.54-75.

44. Nguyen-Quang-Do T. Sur la structure Galoisienne des corps locaux et la theorie d'lwasawa. I,2.Compos. Math.,198I,v.46, f. I,p.85-119, J. reine iind angew Math. , 1982,Bd.333,S. 133143.

45. Nguyen-Quang-Do T. Filtration de K/K et ramification sauvage.-Acta Arithm.,1976,v.30,p.323-340. 46. Shafarewich I.R. Extensions with given ramification points.-Publ. Math. IHES.,1964, N. 18,p.71-95

46. Serre J.-P. Local fields. Ifew Jork,I979. 241 p.