Сходимость числовых характеристик сумм независимых случайных величин тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.'.2

ГЛАВА I. НЕКОТОРЫЕ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

§ I. Верхние оценки для числовых характеристик сумм независимых случайных величин . . . 7

§ 2. Сходимость числовых характеристик и сходимость конечных мер.13

ГЛАВА 2. СХОДИМОСТЬ ЧИСЛОВЫХ ХАРАКТЕРИСТИК СУММ НЕЗАВИСИМЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕКТОРОВ В ЦЕНТРАЛЬНОЙ ПРЕДЕЛЬНОЙ ТЕОРЕМЕ

§ I. Постановка задачи и формулировка основного результата

§ 2. Некоторые оценки для распределений сумм усеченных случайных векторов.17

§ 3. Доказательство основного результата . 23

§ Ц . Некоторые следствия.30

ГЛАВА 3. СХОДИМОСТЬ ЧИСЛОВЫХ ХАРАКТЕРИСТИК СУММ НЕЗАВИСИМЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН К СООТВЕТСТВУЮЩИМ ХАРАКТЕРИСТИКАМ УСТОЙЧИВЫХ ЗАКОНОВ

§ I. Постановка задачи и формулировка основного результата . . 3^

§ 2. Некоторые следствия.-70

§ 3. Построение вспомогательного распределения . . .¿/7

§ Ц . Доказательство основного результата . 55

Пусть , - независимые случайные величины или векторы со значениями в К-мерном евклидовом пространстве и пусть 5а ~ их нормированная сумма. Мы будем предполагать, что выполнены условия, при которых последовательность таких суш сходится по распределению к некоторому случайному вектору ¿Г В диссертации исследуются вопросы, связанные со сходимостью при математических ожиданий к при некоторых, по возможности слабых, ограничениях на функцию

В частном случае степенной функции и нормального предельного распределения достаточные условия такой сходимости были получены С.Н. Бернштейном [I] и Зарембой [2б]. Браун в 14-15] обобщил эти результаты на случай произвольного безгранично делимого предельного распределения. Необходимые и достаточные условия сходимости Е>р($п) ^ Е^(^) в более общей ситуации, когда функция ^ принадлежит некоторому широкому классу функций, а случайные векторы принимают значения в произвольном банаховом или гильбертовом пространстве, были получены В.М. Кругловым в [5] Дб] и ['23] .

В диссертации рассматриваются некоторые случаи, когда имеет место сходимость распределений к распределению £ , и в этих случаях доказывается сходимость Ь^ (5п) к при довольно слабых ограничениях на функцию ^ . Кроме того, получены оценки скорости сходимости к при некоторых дополнительных ограничениях.

Введем некоторые обозначения. Если Х£ Я , то через (Х| мы будем обозначать норму вектора X . Через С ('»••) с индексами и без них будем обозначать, вообще говоря, различные в разных местах константы, зависящие только от указанных в скобках аргументов.

В главе 2 рассматривается случай, когда представляет собой нормированную сумму независимых случайных векторов

X,,. Х^ 3 таких, что при

В этом случае при некоторых естественных дополнительных предположениях имеет место центральная предельная теорема, и наша задача сводится к оценке величины где ^ - распределение ^ , а - стандартное нормальное распределение в К .В частном случае где

О 5 такие оценки были получены фон Баром [12] и Холлом [17-19] . В книге Бхаттачария и-Ранга Рао [3] получен ряд оценок величины » справедливых для любой измеримой функции, правые части которых выражаются через модуль непрерывности функции ^ . Однако при этом предполагается, что функция £ ограничена по модулю либо константой, либо величиной вида С (4 + ) , где £ - натуральное число, такое, что ¡ЕIХ-при всех С ( /3] , теорема 18.1). Послед

I» нее условие ослаблено Суитингом в [25], где предполагается лишь выполнение неравенства ¡((ш). Здесь некоторая неубывающая на (офункция достаточно общего вида, такая, что Е-Ц^Хс!) ^ 00 * Вместе с тем в этой работе предполагается одинаковая распределенность случайных векторов х£ и конечность момента Е/Хг¡3 .

В работе Гётце и Хиппа [1б] , как и в книге [з] , выписываются асимптотические разложения для величины • При этом предполагается, что для некоторого вещественного » такого, что Е1ХС/'V ^ при всех С . Одновременно здесь предполагается, что функция является достаточно гладкой, и оценивается лишь порядок остаточного члена.

Из результатов Б.В. Сазонова ( [2^] , глава 2) следует оценка величины Ап({1 справедливая для одинаково распределенных векторов Х£ и для любой измеримой функции -^(х) , такой, что

Сх)1£ С(1+ • Эта оценка имеет порядок 0 | ? но она справедлива лишь в том случае, когда распределение р случайного вектора X./ достаточно близко к нормальному, точнее, требуется малость абсолютного псевдомомента

1 $ к !х1зи(Г-<р)(х)1 к

Следует также упомянуть работу Хиткоута [20 ] , где полу-ченн асимптотическое разложение величины, аналогичной но для ненормированных сумм и достаточно быстро.убывающих функций ^ , и работу 127] , где получено некоторое обобщение и уточнение этого результата.

В главе 2 (теорема 2.1) получена оценка величины справедливая для функций, удовлетворяющих условию

С (1+1 (1X1)), где А[И) - некоторая возрастающая на (о}+ь°) функция достаточно общего вида, такая, что (¡Х^)^-00 ПРИ всех ^ • При этом на функцию .^(х) налагаются некоторые дополнительные ограничения, которые в одномерном случае сводятся к конечности величины при некотором (сколь угодно большом) + IX/ г т -1

ГЛ. . В отличие от оценок, полученных в [3] и [25 } , правая

часть оценки в теореме 2.1 всегда может быть представлена в виде где величина Д^ не зависит от ^ . Более того, в одномерном случае при и) — и* величина фактически совпадает с оценкой величины 9 имеющейся в книге В.В. Петрова [9] (глава 5, теорема 8), а при

Ц.2*^ ' где , оценивается так же, как в теореме б той же главы.

Из теоремы 2.Г-при некотором дополнительном предположении, являющемся в некотором смысле аналогом известного условия Лин-деберга, следует сходимость к £ fife) (гДе ? 1 имеет стандартное нормальное распределение в Як ). При этом от функции ^ требуется лишь измеримость, непрерывность почти всюду и выполнение условия ^(следствие 2.2).

В главе 3 рассматривается случай, когда X/,.,Х/г. ЯБЛЯЮТ~ ся одномерными случайными величинами, имеющими общую функцию распределения Fix) . При этом предполагается, что Fix) принадлежит нормальной области притяжения устойчивого закона

Cr^Lx) с характеристическим показателем

Если при этом ещё предположить, что EXy~0 при d>i , то наши нормированные суммы будут иметь вид С = fl~и J^Х% с =/ 6 '

Вопрос о сходимости числовых характеристик в этом случае еще мало исследован. Здесь следует упомянуть лишь работу В.М. Круг-лова ["22"] , где получены необходимые и достаточные условия сходимости числовых характеристик для одного довольно широкого класса функций (в частности и в указанном случае).

В главе 3 (теорема 3.1) получена оценка величины f(x)d(Fn-6-J(x)i в правую часть которой, помимо величин, зависящих только от функции £ , входят усеченные абсолютные псевдомоменты, усеченные разностные моменты, а также величина, характеризующая близость "хвостов" распределений

F и . При этом на функцию ^ приходится налагать несколько более жесткие ограничения, чем в случае одномерной центральной предельной теоремы 'в главе 2. Из теоремы 3.1 следует сходимость

Е^ 11) ( гДе имеет распределение Q^ ) для любой измеримой и почти всюду непрерывной функции ^ , такой, что О

Через 11(и.) здесь обозначена возрастающая на (о,*60) Функция довольно общего вида, такая, что § ( Последнее условие обеспечивает конечность Ь1(1Х,1) и

ЕШ 0. ( следствие 3.2) Из теоремы 3.1 следуют также некоторые неравномерные оценки величины ( следствия 3.3 и 3.5). Оценка, приведенная в следствии 3.5, уточняет неравномерную оценку В.И. Паулаускаса из [7 ] .

В главе I собраны некоторые вспомогательные результаты, используемые как в главе 2, так и в главе 3. В §1 оцениваются сверху величины вида (1$гг1) ДЛЯ некотоРого класса функций . Результат, приведенный в §2 позволяет довольно простым способом получать из сходимости е^^п) к для некоторого класса функций такую сходимость для более широкого класса функций.

В заключение отметим, что основные результаты диссертации опубликованы в работах [28-30] 4

1. Бернштейн С.Н. Несколько замечаний по поводу предельной теоремы Ляпунова. - Собрание сочинений, т.^ , с.358-363. М., Наука, 19бу.

2. Биллингсли II. Сходимость вероятностных мер. М., Наука, 1977.

3. Бхаттачария Р.Н., Ранга Рао Р. Аппроксимация нормальными распределениями и асимптотические разложения. М., Наука, 1982.у. Золотарев В.М. Одномерные устойчивые распределения. Ы., Наука, 1983.

4. Круглов В.М. Сходимость числовых характеристик сумм независимых случайных величин со значениями в гильбертовом пространстве. Теория вероятн. и ее примен., 1973, т.18, , с.734 -752.

5. Круглов В.М. Метод сопровождающего безгранично делимого распределения. Диссертация на соискание уч. степени д-ра физ.-мат. паук, М., 1974.

6. Паулаускас В.И. Оценки остаточного члена в предельной теореме в случае устойчивого предельного закона. Литовский матем. сб., 1974, т.IV, № I, с.165-187.

7. Паулаускас В.И. Равномерные и неравномерные оценки остаточного члена в предельной теореме с устойчивым предельным законом. Литовский матем. сб., 1974, т.14, ШЧ, с.171-185.

8. Петров В.В1 Суммы независимых случайных величин. М., Наука, 1972.

9. Ротарь В.И. Неравномерные оценки скорости сходимости в многомерной центральной предельной теореме. Теория вероятн. и ее примен., 1970, т.15, №4, с.647-665.

10. Srourtu ß,JU. £1 rucúe- о/ cjf топсл^ — (Un,. cMalL* Stattet., mi, ,/>.

11. Kdíí R Qu, -tfy^ roác of corurer-geaec of пъо/7Ш£& in i/ьс ¿'¿mit 't/wor^v- fos- /ú^¿¿eedidH&iüotvs. CfcuiJboeUo/íS oj¡ t/:u¿ ßnutr-Ccosb xAútA§0(1, /9П , tí. ¿?7<¿f, /.

12. Hurtcote. C.ß. expansion reject /о t/u>.nil ¿inut theorem. JZ Ousir&t J/a&t. Soe. /963,23.ТП/0 f./

13. Swesttrtfj У J Speeds of Corurer^erute, fir mieteoUm-rvslonat iien£rcbt fault /Аелг^п-, У/ж faui 0f-Pro i. , , К a- y,

14. Zzremfa S.tf. /tote centred 0Hcd/U. , /9SS / ¡г. £9, .p. <295--29г.

15. Даугавет А.И. Об асимптотических разложениях некоторых числовых характеристик сумм независимых случайных величин. -Вестник ЛГУ, 1980, № I, с.16-22.

16. Даугавет А.И. О скорости сходимости некоторых числовых характеристик распределений в центральной предельной теореме. -Вестник ЛГУ, 1980, 13, с.12-18.

17. Даугавет А.И. О сходимости некоторых числовых характеристик распределений в многомерной центральной предельной теореме. Вестник ЛГУ, 1983, № 19, с.12-18.

18. Даугавет А.И. Сходимость некоторых числовых характеристик сумм независимых случайных величин к соответствующим характеристикам устойчивых законов. Рукопись деп.'в ВИНИТИ27 марта 198И г, Ш I68I-8Ч Деп.