Асимптотические свойства случайных сумм независимых случайных величин тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В.ЛОМОНОСОВА ФАКУЛЬТЕТ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И КИБЕРНЕТИКИ

ОД

,,,■« ,- и На правах рукописи

О Пни

УДК 519.214

РЫБКО ЕЛЕНА ВАЛЕРЬЕВНА

Асимптотические свойства случайных суш независимых случайных величин

01.01.05 - теория вероятностей и математическая статистика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва

1994

Работа выполнена на кафедре математической статистики факультета Вычислительной математики и кибернетики МГУ им.М.В.Ломоносова

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ - доктор физико-математических наук,

профессор В.М.Круглов ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ - доктор физико-математических наук

В. В.Сенатов

кандидат физико-математических, наук Ю. С.Хохлов

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ - НИИ математики и механики

им.Н.Г.Чеботарева при Казанском университете

Защита состоится " Л У " 199^~г.

в тУ часов на заседании Специализированного Совета Д 053.05.3а по математике в Московском государственном университете им.М.В.Ломоносова по адресу: 119899 Москва, Ленинские горы, МГУ им.М.В.Ломоносова, 2-й уч.корпус, факультет ВМиК, ауд.685.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке факультета ВМиК.

Автореферат разослан 11_" _199_ г.

Ученый секретарь Специализированного Совета профессор

Н.П.Трифонов

АВТОРЕФЕРАТ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы Среди специалистов считается общепринятым, что предельные теоремы для сумм независимых случайных величин определяют лицо и выражают познавательную ценность современной теории вероятностей. Последние десятилетия интенсивно велись исследования по предельным теоремам для сумм случайных величин со случайным числом слагаемых. К настоящему моменту накопилось большое число результатов по случайному суммированию.

Полученные результаты можно условно разделить на две группы. Первая груша включает в себя исследования, посвященные сходимости распределений суш случайного числа случайных величин в предположении, что число слагаемых в суше представляет случайную величину, независящую от слагаемых этой суммы. Вторую группу составляют результаты, в которых такого предположения не делается.

В настоящее время асимптотическая теория суммирования до случайного индекса, когда слагаемые и индекс суммирования между собой независимы, может считаться достаточно завершенной.

Систематическое изложение результатов исследований, относящихся к _ £

этой группе, содержится в монографии Круглова В.М. .Королева В.Ю.

В данной работе получены некоторые результаты,

относящиеся ко второй из упомянутых групп, т.е. случаю, когда

*) Круглов В.М., Королев В.Ю. Предельные теоремы для случайных суш. М., МГУ, 1990.

предположения о независимости числа слагаемых в суше от самиз слагаемых не делается.

Цель работы

Целью работы является получение достаточных условий дк слабой сходимости распределений случайных сумм независимых случайных величин с неслучайным центрированием к предельным распределениям при отсутствии предположения о независимости слагаемых е суше и индекса суммирования, а также получение достаточных условий для слабой сходимости максимальных частичных случайных сумм.

Научная новизна работы В настоящей работе получены достаточные условия для слабой сходимости случайных сумм с неслучайным центрированием при отсутствии предположения о независимости случайных слагаемых и индекса суммирования. Ранее подобная задача рассматривалась только для случая, когда распределения соответствующих случайным суммам неслучайных сумм независимых случайных величин сходились к нормальному закону. В настоящей работе область исследования значительно расширена, а именно, в первом параграфе фигурирует сходимость к устойчивым распределениям, во втором параграфе -к распределениям класса ь, в третьем параграфе - к безгранично делимым распределениям.

Практическая ценность Работа носит теоретический характер. Однако думается, что полученные результаты могут быть использованы в случаях, когда

рассматриваются объекты, поддающиеся описанию с помощью сумм случайного числа независимых случайных величин.

Методика исследования В работе используются методы и результаты классической теории суммирования независимых случайных величин, других областей теории вероятностей, а также математического анализа.

Апробация работы Основные результаты работы докладывались на международном семинаре по проблемам непрерывности и устойчивости стохастических моделей (Сухуми, октябрь, 1987) и обсуждались на заседаниях кафедры математической статистики факультета ВМиК МГУ.

Структура и объем работы Диссертация состоит из введения, четырех параграфов и списка литературы, содержащего 36 наименований. Общий объем работы 139 машинописных страниц.

Публикации

Основное содержание диссертации изложено в работах И-з].

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Перейдем теперь к обзору результатов диссертации по параграфам.

Первые два параграфа посвящены случайным сушам с неслучайным

центрированием. В статье Finkelstein М., Kruglov v., Tucker Н.* были приведены необходимые и достаточные условия слабой сходимости распределений случайных сумм с неслучайным центрированием к предельным распределениям в предположении, что число слагаемых в суше представляет случайную величину, независящую от слагаемых, этой суммы. Мы указываем условия, являющиеся достаточными для слабой сходимости случайных суш с неслучайным центрированием при отсутствии такого предположения.

Первый параграф посвящен случайным величинам { Хп }п>1, имеющим одну и ту же функцию распределения ¥{х). Причем в первом случае F принадлежит области притяжения устойчивого распределения с характеристическим показателем а > 1, во втором - F принадлежит области нормального притяжения устойчивого распределения с а > 1, и наконец, в третьем случае - F принадлежит области нормального притяжения устойчивого распределения с характеристическим показателем а = 1. Во втором параграфе рассматриваются независимые, но необязательно одинаково распределенные случайные величины, удовлетворяющие условиям: 7аг(Хп) < (некоторого) о < оо для всех п и ЕХп=р. > о.

Формулируется 4 теоремы. Основной результат каждой теоремы может быть сформулирован следующим образом: обозначим через Zn случайную сумму с неслучайным центрированием, через Тп -соответствующую случайную сумму со случайным центрированием, обе суммы рассматриваются либо при случайной, либо при неслучайной

*)

' Finkelstein М., Kruglov У., Tuoker Н. Convergence in Law of Random SumB with Non-Random Centering// Journal of theoretioal Probability, 1994, v.7, * 3, p.565-598.

нормировке. Положим ип=гп-гп. Тогда при определенных условиях, обеспечивающих слабую сходимость распределений сумм неслучайного 'числа случайных величин, соответствующим образом нормированных и центрированных, к некоторому предельному распределению каждая теорема утверждает: Р

Если и -» и, то ъ г, где р = р * Р.

п г V и

Третий параграф также посвящен слабой сходимости случайных

суш с неслучайным центрированием, но уже для схемы серий

независимых в каждой серии случайных величин, подчиненных условию

бесконечной малости. Причем рассматриваются два случая: первый -

когда число слагаемых в суше не зависит от самих слагаемых, и

второй - когда такого предположения не делается. Пусть

,£п1,£п2. ... определены на одном вероятностном пространстве

(П,Л,Р). И пусть {шп} - последовательность положительных чисел,

сходящаяся к бесконечности при п - со. Как и в первых двух

параграфах через ъп обозначим случайную сумму с неслучайным

центрированием, через Тп - соответствующую случайную сумму со

случайным центрированием, а 11^=2^-0^. Тогда при определенных

условиях ( эти условия указываются в работе ), обеспечивающих

[квп]

слабую сходимость распределений суш Е для

произвольного V вида у=1 или у=1/1 (1-натуральное число) к некоторому предельному распределению Ру, имеем:

в первом случав ( в предположении о независимости числа слагаемых в суше от слагаемых в данной суше): =» г тогда и только тогда, когда ип и; во втором случае ( без такого предположения ):

р

если и -» и, то 1 * 1.

п * п ^

Наконец, параграф 4 посвящен вопросу о слабой сходимости максимальной случайной суммы. Мы рассматриваем два случая: первый, когда число слагаемых в сумме не зависит от самих слагаемых, и второй - когда такого предположения не делается, но зато рассматриваются суммы более специальной структуры по сравнению с первым случаем.

Пусть - независимые случайные величины с

функциями распределения Р^.г^,..., ип - случайная величина, независимая от »£пг» • • ■ и принимающая целые неотрицательные значения, {шп} - последовательность натуральных чисел, сходящаяся к бесконечности, А(х) и в(г) - функции распределения, сосредоточенные на неотрицательной полуоси и удовлетворяющие условиям а(+о)=о, в(+о)=о. Фиксируем произвольное число т>о и обозначим

ап.(т) = ап1с = а.(т),

|х|<т

0^(1) = I X* Я?п.(х) - [ | ^ <№п.(х)]а,

\Х{ <1 <т

тп к **

в: = / ^СС). = Е м* = ЕП <Л(т),

¡=1 1

шах {о, X}

Зпк= Е с (г) | ехр{-иг/2}й.и.

Л (X) =

о, г<о

со

Как и ранее условимся обозначать оп о и Рп => г сходимость числовой последовательности {оп) к числу о и слабую сходимость последовательности функций распределения {Рп} к функции распределения Р при п - т.

Предположим, что вшолнены следующие условия:

1ш

ЕПр(|£ |>е) - О (1)

для каздого б>о и каждого натурального числа 1, [г*»п]

Е - ( о < о* < ш ) (2)

для кавдого числа V вида v=l или v=^/lг где 1 - натуральное число,

г N л

Р[ -¡Г < х \ => к(х), (3)

Г М2 л

р[ < х} =»

Теорема 1. Если вшолнены условия (1),(2),(3), то р[ < хип ] „

"" — п

Р( Г? < ]

Теорема 2. Если выполнены условия (1),(2),(3),(4), то

00

р( < х ) I ^ )<ш(1:) '

— п

О

09

р[ мах |Зпк-Апк| < X Вп ] =, | Л( хф }<1В(1;).

Пусть теперь независимые случайные величины с

функциями распределения Р1,Р2..... Ып- случайная величина,

принимающая целые неотрицательные значения, {шп} - последовательность натуральных чисел, сходящаяся к бесконечности. Предположим, что случайные величины имеют конечные математические ожидания и?j и дисперсии ., 3=1,2,... Обозначим

к ш N

J=i

Предположим, что выполнены следущие условия:

ст

I

(я) - о (5)

для каждого натурального 1 и каждого е>0,

~ £ вб. - о" ( о < о?, < оо ) (6)

В ¿=1 1 у у

п

для кавдого рационального числа V, причем о* как функция от V непрерывна в точке г>=1 и удовлетворяет следувдему соотношению: Оу хг> < ор х01> для произвольных рациональных и

Далее пусть N

-¡¡р -» N по вероятности, (7)

п

—- - м по вероятности, (8)

В

п

при этом функции распределения айв случайных величин N и М удовлетворяют условиям А(+0)=0 и в(+0)=0.

Теорема з. Если выполнены условия (5),(6),(7), то

pf max ( Sk-MSk ) < I Kn | « G(X), I. l<k<N J

— — n

pf max I Sk-USk | < X Kn 1 * A(X).

V. l<k<M i

- ~ n

Теорема 4. Если выполнены условия (5),(6),(7),(8), то

00

max ( Sk-MSk ) < X Dn j =, J o[ X/Jt jdB(t) ,

i<k<N

I

О

00

шах I Зк-МЗк I < X Бп j =» | Х/^Х ^с!В("Ь).

о

В заключении автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю Виктору Макаровичу Круглову за постановку задач, постоянное внимание к работе и ценные советы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

1. Получены достаточные условия слабой сходимости случайных суш независимых случайных величин с неслучайным центрированием в случае отсутствия предположения о независимости индекса суммирования и случайных слагаемых.

2. Получены достаточные условия слабой сходимости максимальных случайных сумм независимых случайных величин как в предположении о независимости индекса суммирования и случайных слагаемых, так и в отсутствии такого предположения.

Основные результаты диссертации изложены в следущих

публикациях:

1. Рыбко Б.В. О слабой сходимости максимальной случай® суммы// Проблемы устойчивости стохастических моделе! Труды семинара. М.: ВНИИСИ, 1988, с.124-127.

2. Круглов В.М., Рыбко Е.В. Слабая сходимость максимальш случайных сумм// Вестн. Моск. ун-та. Сер.15. Вычислительнг математика и кибернетика. 1989, * 2, с.83-85.

3. Рыбко Е.В. Слабая сходимость распределений случайных сумм/ Вест. Моск. ун-та. Сер.15. Вычислительная математика кибернетика. 1994, * Э, с.49-54.

Подписано к печати 4.01.95 Печ.л. 1.0 Тирак 100 экз. Заказ 285

Издательство ЕПК, Погонный пр-д, 10