Условия сближения сверток и необходимые условия в ЦПТ для некоторых типов зависимости тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

Г Г 5 ОД - 3

На правах рукописи

Шоломнцкий Алексей Геннадьевич

УСЛОВИЯ СБЛИЖЕНИЯ СВЕРТОК И НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ В ЦПТ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ ТИПОВ ЗАВИСИМОСТИ

01.01.05 - Теория вероятностей и математическая статистика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата фшико-математически* наук

Москва, 1997

Работа выполнена в Центральном Экономико-математическом институте РАН

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор В.И.Ротарь

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор В.Ф.Колчин, доктор физико-математических наук, профессор В.М.Круглов

Ведущая организация: кафедра Теории вероятностей и

математической статистики Санкт-Петербургского государственного университета

Защита диссертации состоится 1997 ГОда в /2 часов

на заседании Диссертационного совета К063.68.05 в Московском Государственном институте электроники и математики по адресу: Москва, Большой Трехсвятительский переулок, 3/12

С тектом диссертации можно ознакомиться в библиотеке МГИЭМ

Автореферат разослан 1997 года

Ученый секретарь Диссертационного Совета К063.68.05 МГИЭМ кандидат физико-математических наук, доцент

■сС ии^ркеВ.

П.В.Шнурков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

1. Актуальность темы исследования. Изучение асимптотического поведения сумм случайных величин (с. в. ) - одна из классических задач теории вероятностей. Предельные теоремы остаются одним из важных разделов и современной теории, продолжая оказывать значительное влияние на ее развитие (см., например, [2,4,7,11,14,15]).

Настоящая работа посвящена некоторым предельным теоремам в схеме серий для независимых слагаемых (разделы II и III) и для некоторых типов зависимости (разделы IV и V).

2. Цель работы. Рассмотрим серии заданных на некотором вероятностном пространстве (П, Р) случайных величин (с.в. ) {х^ п) и {Y} n}, j, nsl, где п - номер серии, j - номер с. в. в серии. Образуем суммы

S = Z X ,

n J, п

I

S = 2 У . П J. П

Обозначим число суммируемых с.в. к , считая к в том

п п

случае, когда суммы бесконечны, будем считать ряды сходящимися абсолютно Р-почти наверное (п. н. ).

Обозначим, как обычно, символом £) закон

распределения (или просто закон) с. в. символом Jü( £ )-•£(£)

п

сходимость законов в смысле слабой сходимости соответствующих распределений.

Целью той части работы, которая посвящена независимым величинам, является установление необходимых и достаточных условий сходимости

Ец( Z X ) - Еи( Z Y ) - О при л**« (1)

I, п J, п

j € В J6B

п п

для любых последовательностей множеств В s{l, 2, 3, ... ) и для

п

всех и, принадлежащих множеству U непрерывных и ограниченных

функций на вещественной прямой. Рассматривается также применение указанных условий к доказательству предельных теорем.

Целью второй части работы, посвященной зависимым величинам, является обобщение некоторых классических предельных теорем на случай зависимых слагаемых, в частности, доказательство необходимости условия Линдеберга в центральной предельной теореме для мартингалов.

3. Методы исследования. В работе широко используются методы классической теории суммирования независимых случайных величин [2,11].

Результаты первой части работы опираются на идеи и методы неклассической теории суммирования, развитой в работах В.М.Золотарева (см., например, [5-7]), а также В.Н.Круглова [9,10], Ю.Ю. Мачиса и др. авторов. Используются условия близости распределений в интегральных метриках, предложенные В.И.Ротарем [16,17].

Во второй части работы используются мартингальные методы, развитые в работах Р. Ш. Липцера и А.Н.Ширяева [12-14] (см. также [4]). Применяются также методы общей теории слабой сходимости вероятностных мер в метрических пространствах, построенной Ю.В.Прохоровым [15] и др..

4. Научная новизна. В первой части работы найдены необходимые и достаточные условия сходимости (1). Постановка задачи (1) является новой. Получены новые предельные теоремы о сходимости законов сумм к предельному закону.

Во второй части работы доказана (при некоторых дополнительных условиях симметричности слагаемых) необходимость условия Линдеберга в центральной предельной теореме в схеме серий для некоторых классов зависимых величин, в частности, в случае мартингальной зависимости. Результаты являются новыми по сравнению с публиковавшимися ранее (см., например, [4]) необходимыми условиями в «принципах инвариантности», так как функциональная

сходимость и распределению гауссовского процесса не предполагается.

Получены также новые результаты, касающиеся условий нормальной и пуассоновской сходимости для одного специального класса зависимых величин.

5. Практическая ценность. Результаты работы носят теоретический характер и могут быть использованы в различных областях науки и техники, где применяются методы теории вероятностей и математической статистики.

6. Апробация результатов. Результаты работы были предметом докладов на Шестом Советско-японском симпозиуме по теории вероятностей и математической статистике, а также на научных семинарах в Математическом институте РАН им.Стеклова, на кафедре Математической статистики МГУ, в ЦЭМИ РАН, в Вильнюсском университете.

7. Структура работы. Диссертация состоит из аннотации, пяти разделов, включая введение, и списка литературы. Объем работы - 81 с. , библиогр. - 57 назв. .

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В первом разделе дается вв приводятся наиболее наглядные и примеры, поясняющие смысл ранее известных.

едение в проблематику работы, следствия основных результатов результатов и их отличие от

Во втором разделе доказаны теоремы о необходимых и достаточных условиях выполнения (1) для сумм независимых слагаемых. При формулировке условий используются интегральные метрики.

В третьем разделе доказываются предельные теоремы о

сходимости к фиксированным распределениям, основанные на использовании результатов раздела II.

В четвертой разделе доказаны теоремы о необходимости условия Линдеберга в центральной предельной теореме для мартингальной схемы серий при некоторых дополнительных предположениях о симметричности слагаемых.

Пятый раздел посвящен необходимым и достаточным условиям нормальной и пуассоновской сходимости для одного специального класса зависимых величин, который можно рассматривать как расширение класса условно независимых величин.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Случай независимых слагаемых.

Полное решение задачи о сходимости 5 ) к какому-либо

п

закону

ПЭ ) -> £ при п-х» (2)

пО

в том случае, когда слагаемые удовлетворяют условию равномерной предельной пренебрегаемости, дано классической теорией суммирования [2,11]. На возможность освободиться от условия предельной пренебрегаемости в схеме суммирования указывал еще П.Леви [11]. Систематическое изучение этого вопроса было предпринято В.М.Золотаревым, работами которого было положено начало развитию "неклассической" теории суммирования. Неклассические теоремы об условиях сходиности (2), доказанные в [5-7], а также в работах В.М.Круглова [9,10], Ю.Ю. Мачиса, основываются на подходе, предложенном В.М.Золотаревым. Рассмотрим более общую задачу, чем (2), а именно задачу о сближении распределений сумм и в

слабой топологии:

Еи{Б ) - Ец( § ) -> 0 при П"*оо (3)

для всех и, принадлежащих множеству и непрерывных и

ограниченных на К1 функций.

Неклассический подход основан на специальном подборе

с. в. У , таких что £[ У ) - компоненты разложения закона

.1, п и п

а, ЩХ У )-£. При этой условия сходимости (2)

О 1, п О

J

описываются в форме "близости" законов слагаемых X к

п

законам У Полное решение задачи построения

и п

"неклассических" предельных теорем в русле описанного подхода для одномерного случая было найдено Золотаревым [6], а в случае гильбертова пространства - Кругловым [9, 10].

В настоящей работе рассматриваются условия "близости" законов слагаемых в неклассических предельных теоремах, предложенные В.И.Ротарем [16,17]. В [16,17] для случая нормальной сходимости были доказаны предельные теоремы с использованием интегральных метрик. В указанных работах была доказана необходимость и достаточность для нормальной сходимости сумм условия

Д (С) = £ / 1*1 |Г (х) - О (х)\с1х -> О при П->00

п I, п I, п

J I хI>С

для любого с>0. (Д)

Раздел II настоящей работы посвящен необходимым и достаточным условиям "сближения" законов сумм в смысле (1). В случае конечных дисперсий основным результатом является теорема 1, сформулированная ниже.

Пусть т =ЕХ , т =ЕУ , а2 =ЭХ , <г2 =0Г .

,)п .(п ,)п ,)п Jn Jn Jn

Теорема 1. Пусть

вир £ |т | + |т I <

|п Jn

П ]

_ 2,-2 эцр Е а +ст < .)п Jn

п J

Ит вир Л (Ь) = О

п

•»00 п

Тогда для справедливости (1) необходимо и достаточно, чтобы при л-»со

Д (с )->0 для любого с>0,

п

Е |т -т I -> О, 2 \сгг ~ С? I - О.

л Jг^ Jn

Заметим, что условие Итвир & (Ь)=0 является достаточно

Ь-*оо п

слабый. В частности, оно выполнено при равнонерной интегрируемости с. в. и

В тон случае, когда конечность моментов не предполагается, решение поставленной выше задачи об условиях выполнения (1) дается формулируемой ниже теоремой 2. Для любого множества целых чисел В положим

Г - П*Г , в - П*С

В |п В 1п

Положим Г (х) = 1-Г(х)+Г(-х) для любой ф. р. Г(х).

Теорема 2. Пусть для любой последовательности множеств В последовательности распределений Г и плотны. Тогда

п п

для справедливости (1) необходимо и достаточно, чтобы для любых Ь, С > О при п->03

<1х -> 0,

п *

I I

} С<1 х I < Ь

У I Г (Т (х)-в (х))с1х\ - О,

J Зп Зп

J I х I <С

с

£ ||хсг*поо-с*пе*лс1х-| - о.

J О

Усло-вие плотности распределений F и G есть условие

п п

«правильной нормированности» слагаемых. В частности, можно использовать методы нормировки, предложенные В.М.Золотаревым [6, 7].

Раздел III посвящен приложению результатов раздела II к тому частному случаю, когда Y ^ являются компонентами разложения некоторого закона, то есть задаче (2) об условиях сходимости распределений сумм к предельному распределению. Соответствующие теоремы для случая конечных дисперсий приведены в п. III. 1, для общего случая - в п. III. 2.

Доказательства разделов II и III используют как результаты классической теории суммирования, так и идеи и методы "неклассической" теории, развитые в

[5, 6, 7, 9, 10, 16, 17] .

2. Некоторые случаи зависимости слагаемых.

Разделы IV, V работы посвящены обобщению классических условий сходимости законов сумм на случай, когда слагаемые зависимы. Основные результаты касаются необходимости условия Линдеберга в ЦПТ для мартингалов (раздел IV). В разделе V рассматривается один более специальный тип зависимости.

Обобщение классической теоремы Линдеберга в схеме серий с использованием сходимости по вероятности для условных моментов и "условного" условия Линдеберга было получено А.Дворецким (Dvoretzky) [3].

Пусть при каждом п с. в. {X }, l^j^k <™, есть квадратично интегрируемые мартингал-разности относительно сигма-алгебр 3>~i=crlX .....X ), ?°-(и,П), то есть

n l,n J-l,n п

Е( X |J_1) = О Р-П. Н. (4)

J, п п

Как показано в [3], в случае сходимости сумм условных дисперсий

Г Е( X2 l?J_1) ст2 (5)

J J, П п

для сходимости к нормальному закону

ПТ. X, ) -> jV (О, er2) при п~*со (N)

J J>"

достаточно выполнение "условного" условия Линдеберга Z Е{Х2 X [ IX |2=с] ->р О при п->оо

J,n J, п п г

)

для любого С>0 { L)

(здесь и далее Х[. ] - индикатор).

Приведенную выше теорену можно рассматривать как следствие доказанных позднее общих теорем о функциональной сходимости семимартингалов к гауссовским процессам. Центральной предельной теореме для нартингалов, в том числе в схеме серий, было посвящено большое количество работ. Наиболее общие результаты в этой области были получены Р.Ш. Липцером и А.Н.Ширяевым [12,14] (см. также [4]).

В настоящей работе рассматривается вопрос о необходимых условиях нормальной сходимости для мартингалов в схеме серий.

Необходимые условия в функциональных теоремах о сходимости к непрерывному гауссовскому процессу были получены Ганслером и Хауслером (Ganssler and Hausler) [1] , Ротзеном (Rootzen) для схемы серий, для общего случая -Липцером и Ширяевым [13] (см. также [4]).

В упомянутых выше работах Р.Ш. Липцера и А.Н.Ширяева [12-14] были развиты методы, позволяющие получать широкий класс предельных теорем для мартингалов. На эти методы (для дискретного случая) существенно опирается и диссертационная работа.

Раздел IV посвящен доказательству теорем о необходимости условия (L) для нормальной сходимости мартингалов (6) в классической схеме суммирования, точнее, обращению (при некоторых дополнительных условиях) сформулированной выше теоремы. Отличие результатов диссертационной работы от результатов, касающихся

<Ю

необходимых условий в функциональных теоремах, заключается в том, что накладываются требования лишь на законы полных сумм с. в. и, соответственно, сумм условных дисперсий, тогда как в функциональных предельных теоремах дополнительно к этому делаются предположения и об асимптотике частичных сумм. Пусть

тах Е(Х2 -р О при п->и. (6)

I , П П

J

Это условие предельной пренебрегаемости следует из (Ь).

Теорема 3. Пусть для схемы серий с. в. {Х^ выполнены условия (5) и (6). Тогда для сходимости при п -> т

х(У с х ; -> *(о,<г2) гм ;

ь-» .ьп .ьп с

>

для любых наборов чисел с, принимающих значения 1 и -1, необходимо выполнение (Ъ).

Смысл условия (N^1 в том, что нормальная сходимость предполагается при любом изменении знаков слагаемых. Поэтому появляется возможность в ходе доказательства осуществить «симметризацию» слагаемых. Этим объясняется то, что в теореме формально не используется мартингальное условие (4). в частности, если условные распределения с. в. XJ относительно сигма-алгебр п. н. симметричны, то

{N ) и (N1 эквивалентны.

с

Условие симметричности можно ослабить, вводя дополнительные требования на слагаемые. Пусть для некоторого

М <со о

I Е1\/ 3 Мо- (7)

J

Это условие достаточно слабо, поскольку оно означает требование ограниченности суммы моментов "уже

отнормированных" с.в., т.е. таких, для которых верно (5).

В качестве «условия симметричности» рассмотрим условие

а

J <1

ЕХ X

1,п .1,4

о.

(8)

Теорема 4. Пусть для серий с. в. {х }, lsj<h , выполнены

)»п п

условия (4) - (В). Тогда из (и) следует (Ь).

В работе приведен пример, показывающий, что в рамках условий теорем 3 и 4 распределения частичных сумм могут не быть асимптотически нормальными (или даже

взвешенно-нормальными) и, соответственно, "принцип

инвариантности" не иметь места.

В разделе V работы доказывается необходимость (Ь) для нормальной сходимости (6) для некоторого класса зависимых величин (не являющихся, вообще говоря,

мартингал-разностями). Для с. в. из рассматриваемого там класса (описываемого в п. V. 1 работы и включающего, в частности, класс условно независимых величин) получены и условия пуассоновской сходимости (п. V. 3). Условия теорем также формулируются с использованием сходимости по вероятности условных м. о. относительно класса о—алгебр, удовлетворяющего некоторым специальным требованиям.

Материалы диссертация были опубликованы в следующих работах:

1. Ротарь В.И., Шоломицкий А.Г. Об одном условии сходимости сумм независимых случайных величин. - в сб."Вер. процессы и их приложения", М. , изд-е МИЭМ, 1991.

2. Ротарь В.И., Шоломицкий А.Г. Одно условие близости сверток. - Теория вероятн. и ее примен., 1992, т. 37, вып. 2,' с. 410-414.

3. V.Rotar, A.Sholomitsky On Proximity Of Convolutions. Proceedings of the Sixth USSR-Japan Simposium on Probability Theory, World Scientific, 1992, pp.268-278

4. Шоломицкий А.Г. Об условиях сходимости сумм независимых величин. - Теория вероятностей и ее применения, 1995, т.40, вып.4, с.919-924.

5. Шоломицкий А.Г. Теорема В.Феллера для зависимых величин. - Теория вероятностей и ее применения, 1996, т.41, вып.2, с. 473-477.

Литература.

1. Ганслер, Хауслер (Ganssler P., Hausler Е.) Remarks on the functional central limit theorem for martingales. - Z.Wahr-sch.Geb., 1979, 50, p. 237-243.

2. Гнеденко Б.В., Колмогоров A.H. Предельные распределения для сумм независимых случайных величин. - М.-Л., Гостехиз-дат, 1949.

3. Дворецкий (Dvoretzky A.) Asymptotic normality for sums of dependent random variables. - Proc. 6-th Berkeley Simposium on Math.Stat, and Probability, v.3, Univ.Cal.Press, 1972, p.513-535.

4. Жакод ж., Ширяев A.H. Предельные теоремы для случайных процессов, тт.1,2. - М., "Наука", 1994.

5. Золотарев В.М. Обобщение теоремы Линдеберга - Феллера. -Теория вероятн. и ее примен., 1967, т.12, в.4, с.666-677.

6. Золотарев В.М. (Zolotarev V.M.) Theoremes limites généraux pour les sommes de variables aléatoires indépendantes. C.R. Acad.Sci., Paris, 1970, vol. 270, 889-902.

7.Золотарев В.М. Современная теория суммирования независимых случайных величин.- М.:"Наука", 1986.

8. Кирьянова Л.В., Ротарь В.И. О неклассических условиях сходимости сверток к пуассоновскому распределению.- в сб."Вер.процессы и их приложения", М., изд-е МИЭМ, 1987, с.30-34 .

9. Круглов В.М. Сходимость числовых характеристик сумм независимых случайных величин со значениями в гильбертовом пространстве. - Теория вероятн. и ее примен., 1973, т.18, в.4, 734-752.

10. Круглов (Kruglov V.M.) Weak convergence of distributions for sums of independent Hilbert space valued random variables. - Stud.Sci.Math.Hung., 1974, v. 9, p. 33-44.

11. Леви П. (Levy P.) Theorie de l'addition des variables aléatoires. - Paris, Gauthier-Villars, 1954.

12. Липцер Р.Ш., Ширяев A.H. Функциональная центральная пре-

дельная теорема для семимартингалов. - Теория вероятн. и ее примен., 1980, т.25, вып.4, с.683-703.

13. Липцер Р.Ш., Ширяев А.Н. О необходимых и достаточных условиях в функциональной центральной предельной теореме для

семимартингалов. - Теория вероятн. и ее примен., 1981, т.26, вып. 1, с.132-137.

14. Липцер Р.Ш., Ширяев А.Н. Теория мартингалов. - М.: "Наука", 1986, 512 С.

15. Прохоров Ю.В. Сходимость случайных процессов и предельные теоремы теории вероятностей. - Теория вероятн. и ее примен., 1956, т.1, вып.2, с. 117-238.

16. Ротарь В.И. К обобщению теоремы Линдеберга-Феллера. Мат.заметки, 1975, т.18, No. 1, с.129-135.

17. Ротарь В.И. О суммировании независимых слагаемых в неклассической ситуации. - УМН, 1982, Т.37, N б (228), С. 137-156.

iS