Оценки сверток в пространствах дифференцируемых функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ. ВЫСШЕЙ 1ШШ И ТЕХНИЧЕСКОЙ ПОЛИТО1Ш РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУНЫ НАРОДОВ

На правах рукописи

БАТЫРОВ Болатбек Ескеновнч

ОЦЕНКИ СВЕРТОК В ПРОСТРАНСТВАХ ДИФФЕРЕНШРУИШ ФУНКЦИЙ

(ОТ.01.ОТ - математический анализ )

Автореферат

диссертация па соискание ученой отепеня капдидата фззяко-математпческях наук

М о с к в а - 1993

■-""У

¿С г-г ,

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений в функционального анализа Российского Университета друябы народов.

Научный руководитель -

доктор физико-математических наук, профессор З.И. Цуренков.

доктор фазико-математяческих наук, профессор П.И. Лязоркин кандидат физико-математических наук, доцент Г.Г. Магарил-

в 15 час. 30 мин. на заседании специализированного совета К 053. 22. 23 по присуждению ученой стег.ена кандидата физико-математических наук в Российском Университете дружбы народов по адресу: 117293, Москва, ул. Орджоникидзе, д. 3, ауц. 485.

О диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Российского Универск.ега дружбы народов по адресу: 117198, Москва, ул. Миклухо-Маклая, д. 6.

Автореферат разослан " 1 УУЗ г.

Учений секретарь специализированного совета кандидат физико-математических наук.

Офяцяалыше оппоненты:

Ильявв

Ведущая организация - Воронежский Государственный университет.

доцент

М.В. ДРАГНЕЗ

ОЫАЯ .'ЛРМТЕП'.СТШ РАБОТА

Актуальность те;/ы. Диссертация относится к теории пространств дифференцируемых функций многих действительных переменных. Одним из важных вопросов в это1 теории. которы.1 изучался в работах многих авторов , является вопрос об оценках сверток в различных функциональных пространствах.

Целью настоя";е^ работы является изучение не исследованных ранее оценок такого вида/ например, для операторов усреднения в пространстзах ¿р при 0 < р < 1 / или исследованных с недостаточной полнотой /оценки сверток в пространствах Никольского - Бесова л в пространствах Лизоркина - ТТрибеля / .

Научная новизна.

1. Построены операторы усреднения для пространств I, р при 0 < р < 1 и изучены их свойства.

2. Найдены необходимые и достаточные условия на параметры, при которых справедливы оценки сверток в пространствах Никольского - Бесова.

3. Доказаны достаточные условия, близкие к необходимым, при которых справедливы оценки сверток в пространствах Лизорки-на - Трибеля.

4. В качестве приложения построены устойчивые приближенные решения интегральных уравнений типа свертки с ядрами степенного типа и даны точные оценки их норм и скорости сходимости в пространствах Лизоркина - Трибеля.

Научна^ и. тактическая ценность. Результаты, полученные в диссертации, имеют теоретический характер. Они могут быть использованы в теории функциональных пространств и ее приложениях к теории дифференциальных уравнений в частных производных и теории интегральных уравнений типа свертки.

Апробация работы. Результаты диссертации по мере их получения докле ¡вались на научном семинаре " Функциональные пространства " кафедры дифференциальных уравнений и функционального

анализа РУДН (. руководитель - д.ф.-м. н. профессор В.И. Бурен-ков ) , на XX111 Воронежской зимней математической шг.оле (1 ув^» г.) на ХУ Всесоюзной ижоло - конференции по теории операторов в функциональных пространствах (г. Ульяновск, -1^0 г. ) . В ЫВ8 - 1 гг. результаты диссертации неоднократно докладнваллсь на ежегодных конференциях молодых ученых ц на научных конференциях тйкультета физико - математических и естественных наук РУДН.

Р.уочикачич. Содержание диссертации опубликовано в 3 работах, список которых помещен в конце автореферата.

Стгукттга л обьем гзбэтн. Диссертация состоит из введения, четнрех глав и списка литературы, содержалего 60 наименований. Обьем диссертации - 125 страниц.

ООДКР^МЕ ГАБОи

Во введен;'.и дан краткий обзор литературы по исследуемой теме и изложены основные результаты каидой главы диссертации.

В главе 1 построена операторы усреднения, которые для функций ^(. ир(П ) с 0 < р <М. обладают тега; же свойствами что и операторы усредне;гия ¿оболева при р ъ 1.

В § 1 приводится определение оператора усреднения Д _ .

.(Г>0 , и перечислены его свойства з пространствах ¿р при

1 < р< о<г> .

Обозначим (.х) = 1»ьх I ■{(*)1-(х- ~ "'лх {' !'{Х>, . Для 0 < р < 1, для любого и. :еримого множества £ , л.«бо£:

функций £ , принадлежащей ^р на пересечении £ с лгбым шаром из .и для любого сГ> О положим для

любого хе!\ ■

(г)

<3 (I с ^

В § 2 доказана следующая теорема.

»V

Теорема 1.1. Пусть 0 < р < 1, £- измеримое множество в

(* и*

и функция £ измерима на

Тогда ' ' Ьр(Е) 5

&o,ll&f-t!l =О. СО-.

Глава 2 посвящена вопросу об о^чнках сверток в пространствах Никольского - Бесова.

В § 1 изложены некоторые сведения из теории пространств { п

Никольского - Бесова fop^iR )•

Опред( .ение 2.1. Обозначим через ) совокуп-

ность всех систем с5(%') таких, что

% с *

для всех кьМ

для л--5бого сиХ'" существует число С >о . при котором о **

для лчбих X с /Я и для всех < с ¡Ы

г""'1{Ъ«-1ГК),Х)1± Сл ;

для всех

оэ

2 ч>к<.х) -- 1 •

Определение 1,1. Пусть - о« < £ < оо , о < р, о оо ,

■к £ ъ.

Ч> = {Ч>ЛХ)1 С- ) • Говорят, что ),

если -^¿'(Т^) я

где -преобразование )/урье ¡ункнии £ :

если Г*/. (]£ ) ( -Т» ? — 1 (А ) или понижаемое в смысле

пространства ) , если £ /

В § 2 рассматриваются условия принадлежности пространствам Никольского-Бесова функций с положительным преобразованием Лурье.

В § 3 приводятся оценки сверток в пространствах Накольского-Бесова. Здесь и далее мы пользуемся следующим определением свертке. ОПРед<И<?Чие ?,3. Пусть ¿^¿Ц?), 3'№") .ила Ь^Щ

/де У(1к1 . или ) . их преобразования Фурье

и являются регулярными обобщенными фупкцияма а по-

точечное произведение

Тогда 11 *

= Мр^) . „ у ^ _

•При этом ърМпР

Для определим на

бин1)

оператор свертки

= • (5) Тогда имеет место следующие теоремы.

Тзорема 2.1, Пусть -<=» < < с*>, ,

оо , • Тогда оператор £ ограничен как

оператор из ^ ) в ) тогда п только тогда,

когда Т1= ^ /в смысле

Доказательство Теоремы 2.1 основывается на следующей лемив.

Лемт/а 2.2. Пусть - < ¿г. . Если о , то для

£

любах •/• ' а всуш © ^ 00 Д^ любых .

/в справедливо равенство

■ <6)

%

Теорема 2.2. Пусть — ^ £ о», оо

о <

Для того чтобы существовало такое число С^О, что для лю-

бшс ^ 6 В^о/^) . /¿е&Д (£*) . таких, что и Цг

{ / *

регулярные обобщенные функций и их / поточечное / проаз-

ведение Г/^ • 6 5 ) . имело место неравенство

необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия: О Р^'Р, > 'у ,

и одно из условий За) +

или

Глава 3 посвявдна вопросу об'оценках сверток в пространствах Лизорккпа - Три беля.

3 § 1 изложены некоторые сведения из теории пространств

{ »V

Лизоркина - Трабеля ) •

Определение 3.1. Пусть - ©о <; ^ < оа , о <*р ^^

0<0<оо . ф=. { Vх)} М * ^(О • Гов;Ряг» что

/с- (¡О . если £ 6 ¿'(¡О й

¡¡Ни а ,„.<<*»•.

рР,о№ ) м« ^

В $ 2 рассматриваются условия принадлежности пространствам Лизоркина-Трибеля функций с положительным-преобразованием Фурье.

В § 3 приведены оценки сверток в пространствах Лизоркина- . Трибеля. Доказаны следующие теоремы.

Теоп'^а 3.1. Дусть -от « , <р,, - и-э .

? С

Для того чтобы существовало такое число, '¿7 О , что ^^

Р( и Г/ регулярные обобщенные Функции л их /поточечной/ проиэ-1 , ' -

ведение • ), имело место неравенство

достаточно, чтобы выполнялись следующие условия:

О ' > ;

з)

причем в случае когда в 2) и в 3) имеет место равенство, то Замечание, Условия -¡- + 4 - 7 "" * ? 0 и ^^ А +

Г1 гг Г} , о /

- я (~ + 4 "¡Г - О являотся такяе необходимыми' для выполнения неравенства (,8) .

Теорема 3.2. Пусть - < • 0 < £,

с . причем если /у =2. . то . а если

рг=3 . то Тогда для любых /7 для которых пре-

образована«?-Фурье Р^ является регулярной обобщенной функ-

£ к

цией такой, что для любых X существует свертка

причем . ~

<1-4

иг;

где не зависит от ^ и . а ^ - ~ -).

3 качестве приложения а главе 4 построены устойчивые приближенные реаетоя интегральных уравнений типа свертки с ядрами степенного типа и для них получены оценки скорости сходимости в пространствах Лизоркнне - Трнбеля.

.! § 1 рассмотрены уравнение типа свертки

К + г = и. (^ю)

относительной с ядром , где предполагается, что функции К и и. принадлежат пространству S(R ) . где

3 предположении, что вместо точно заданной правой части

уравнения (10") нам известно ли:зь ее приближение_ ит + 6

/ит - точно заданная правая часть, {Г - погрешность/ дается постановка задачи сб определении и нахождении устоичи!:ог.1 п; иб-лижонного ре пения уравнения (ю) .

й § 2 рассмотрев, уравнения с яцрагят К степош'эго

типа, т.е. такими, для которых выполняется одно /или оса/ из следу-.тах условий:

V /(?/)(?)/>Д7,( 1 + (п)

где К1 , К,? О

а О

Лалее для таких уравнений вводится понятие регуляризованного

реле кия ь оС

(Определение 4.1. Регуляризовашшм решением уравнетая

(ю)

с одним из условий (_11) или (12) назовем элемент Ъ , вычисляемый по формуле

гг ->( мннгчио } (13)

если

<гк)(-П(^г)(;>

|(гк)(г)|г <.«( ¡и?/')'* '

где положительное <Х будем называть параметром регуляризации,

ь,,5г<,15о , - приближенно заданная правая часть (10) . Зт.-ет,а'г.<е. При некоторых дополнительных предположениях

<Г

относительно К и % элемент Ъ минимизирует сглаживающий ■Хунк::нонал А.Н. Тихонова [ $] .

м*ггл) чр =икчгЮ на пространстве

:-'К ,, норуа II • //_<* л эквивалентна порте /|-|| (' •

£ 3 изложен зопгос о порядке гладкости регулярно ван-:пго р"кеняк уравнения (10) . т.е. о пгзнаалехностя его ю-.чу

t

или иному классу Рр ö(5\ )

Теорема 4Л. Пусть -оо<^(< ©о , cxp^z^fc«?° .

• np046" есЛИ Я/-2- • то и е0ЛИ lj=2j

ю &z 7, Z , и ядро К удовлетворяет условию (12) , причем f2= ^ + 2(3^-5,, Г,= e1-ni±-Jsjt

где Q. + = wax [ ° i . Тогда для лгкЗого <Ч>0 существует такое положительное число С^ (<*) / зависящее от перечисленные параметров К^ , и п /, что

II ъы Ii L < с. (<*) цг а t (и)

04 С ■ г /тп ^ч 4 J TP /тр^Ч *

/ Здесь и далее - точное решение уравнения (ю) ,

т.е. соответствующее точной правой части • д

При атом показатель ^ в (1 i) нельзя заменить на больший.

Теопема 4,2. Пусть - о» , 0<р1 ^ 2<рг<<*> .

О < еь Oz< оо . , причем если Pj—Z. . то иесли

то в^^г . /

Т. Если ядро К удовлетворяет условию (12) , то для любого <Х?о существует такое число C^ioiJ^Q/ зависящее от перечисленных параметров, и n /, что

fj ^п fi „ s 05)

* Р (i?n\ f J гр 1 (TP \

где t3 гьТ^ + + (S^-i,)- я4 ) + . (16)

2. Если ядро К удовлетворяет условию (и) , то для любого с< ? О существует такое положительное число с $ (ос) / зависящее от перечисленных параметров К1 , 1, , п. , что

^ = X + (18)

где

В § 4 получены точные по порядку оценки уклонения ре-гуляризовснного решения от точного. 3 качестве меры этого уклонения берется величина

7); = II г/- ъ п { < сЛп-т Р -Н'/-г.// , _/.

ТП /т*л Ъ Т С /то*-! . \

/>, о (Ж ) трр/о(Ж)

где -1эт<Р<с>о) о<^<(то/о<0<с>о. Доказаны следующие 2 теоремы.

Теорема 4.3. Пусть , О д ;

О. причем если /э = Д. , то в^?. , а если р, = ^ .то 0^,1. . ядро /\ удовлетворяет условию (11) ^ • (,19)

и

Тогда су .чествует -ило.чнтельное число С^ /зависящее от пер';тпсл<»"1пп. гира-иотров К^п^ и Г) /, что для любых о<>0

л _ , „ , , . .ОТ'..

ч

,оЖ) Т рРиО,(Г)

гд<>

-( — с

* — если

I 1 > если 2 (¿¿-^+

Теорема 4.4. Пусть - < , д<р14-£ £ £¿00 ,

0<в1>в^е>э , причем если = & .то »а

если = 2 .то б, >/ 2*

1. Если ядро . К удовлетворяет условию 02) , и

(20

/ ^ из соотношения (_1б) /, то существует такое положительное число Сд / зависящее от перечисленных параметров

К^ , п^ и /г /, что для любого 0< О

II г*-г II < £ •% II ¿'не, к, (22)

* 01 ч^ао "

где

-4? ) если •

2. Если ядро удовлетворяет условию (11) и

^ еА (гз)

из соотношения (18) /, то существует такое полокитель-ное число / зависящее от перечисленных параметров ич/,

ЧТС ия Л/ОбОГО ? О

г'г- г, il t < а s-ц t, (ai)

где

^ _ ) г ' * еСЛЛ

3 ( О .если .

Если неравенство (21 )/соответственно, (23)/ не выполняется, то неравенство (22) /соответственно', (24) / не имеет места ни для каких С^ л /соответственно, с^ и е^/.

Замечание 1» Вопрос об уклонении регуляризованного решения от точного в пространствах Никольского - Бесова рассматривались в работах £ 3,73 • Там были доказаны аналоги тео-

£

рем 4.1 - 4.4 для пространств о^ )•

Замечание 2. Что касается показателей , то их

нельзя заменить на большие во всяком случае при -/.< р{ = 0) и

■ 6 р < с*3 7 эт° следует из С Р ]

Литература

1. Бесов 0.3., Ильин В.П., Никольский С.М. Интегральные представления функций и'теоремы вложения. - М.: Наука, 1у75. -480 с.

2. Ьуренков З.И. Об цешсах преобразований Зурьб и сверток в пространствах Никольского - Бесова// Тр. ЖАН СССР. - 1У8Э. -Т. 187. - о. 31 - 38.

3. Гуренков Л.!1., Лоро'реев И.5., Панкратов A.C. Оценки регуля-ризозашшх решений типа свертки в пространствах рункций с нецелну порядком дифференцирования //.ДАН СССР. - 1dS8. -

T. 3J3. - i* 2. - с. ¿71 - Ü78 .

4. Никольскип J..M. Приближение функцил многих переменных и гео-реш влоченич. - Ч:: Наука, 1977. - <156.с.

5. Тихонов А.Н.. Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. - М.: Наука. 1975. - 288 с.

6. Трибель X. Теория функциональных пространств, - М.: Мир,. 1986. - 448 с.

7. Панкратов A.C. Регуляризация решений уравнений первого рода типа свертки в пространствах Никольского-Бесова. - М., канд. дисс4 - Т988. - 120 с.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих

работах автора.

1. Батыров Б.В., Цуренков В.И. Об операторе усреднения в пространствах Lp при 0 < р <1 // Математические заметки АН СССР. - 1988. - Т. 43. выпуск 1. - С. 38 - 43.

2. Батыров Б.Е. Об оценках сверток в пространствах Никольского-Бесова // ХУ Всесоюзная школа по теории операторов в функциональных пространствах. - Тез. докл.. часть 1. - Ульяновск. - 1У90. - С. 32.

3. Батыров Б.Е. Об оценках сверток в просгоанствах Лизоркина -Трибеля // ХХУ11' научная конференция факультета физико-математических и естественных наук УДН. - Тез. докл. - М.: 1991. - С. 97.

*