Точные постоянные в неравенствах типа Джексона и Бернштейна тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ
|
Виноградов, Олег Леонидович
АВТОР
|
||||
|
доктора физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Санкт-Петербург
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2007
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.01.01
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
На правах рукописи УДК 517.5
ВИНОГРАДОВ Олег Леонидови*
ТОЧНЫЕ ПОСТОЯННЫЕ В НЕРАВЕНСТВАХ ТИПА ДЖЕКСОНА И БЕРНШТЕЙНА
01 01.01 — математический анализ
АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук
ООЗ 1 ( 1 ^о
Санкт-Петербург 2007
003171708
Работа выполнена на кафедре математического анализа Санкт-Петербургского государственного университета.
Научный консультант.
доктор физико-математических наук, профессор
B. В Жук
Официальные опноненты
доктор физико-математических наук, профессор А. Б. Александров
доктор физико-математических наук, профессор М.А.Скопина
доктор физико-математических наук, профессор
C. А. Теляковский
Ведущая организация:
Российский государственный педагогический университет имени А.И.Герцена
Защита состоится "¿5 " 12008 г. в часов на заседании диссертационного совета Д 002.202.01 в Санкт-Петербургском отделении Математического института имени В. А. Стеклова РАН по адресу: 191023, Санкт-Петербург, наб. р. Фонтанки, д.27, к.311.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербургского отделения Математического института имени В. А. Стеклова РАН.
Автореферат разослан " ^ " М&ии 2008 г.
Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Диссертация посвящена установлению ряда классических неравенств теории приближений с точными постоянными. Исследуются неравенства типа Джексона, Ахиезера—Крейна—Фавара, Берн-штейна и приближение тригонометрическими многочленами, целыми функциями конечной степени и сплайнами.
Актуальность темы. Экстремальные задачи играют важную роль как в самой теории приближений, так и в ее приложениях. Вместе с тем, вопросы нахождения точных постоянных в неравенствах теории приближений, как правило, трудны и изучены недостаточно полно.
Неравенствами типа Джексона в теории приближений принято называть неравенства, в которых приближение функции оценивается посредством модуля непрерывности (самой функции, ее производной и т.п.) Первым такое неравенство
для наилучшего приближения Еп(/) непрерывной периодической функции / тригонометрическими многочленами и модуля непрерывности первого порядка получил Д.Джексон в 1911 году Первое точное неравенство типа Джексона установил Н.П Корнейчук для пространства С. Н. И. Черных доказал точное неравенство типа Джексона в пространстве Ь
В 1937 году Ж. Фавар, а также Н. И. Ахиезер и М. Г. Крейн построили линейный метод приближения ХПгГ со значениями в пространстве 7гп-1 тригонометрических многочленов порядка не выше п — 1, такой, что для любой / 6 С^
(1)
причем константу
з
на классе С^ уменьшить нельзя, даже если заменить левую часть на наилучшее приближение. Кроме того, Н. И. Ахиезером и М. Г. Крей-ном были построены линейные операторы ХПгГ, реализующие аналогичное точное неравенство с константой
г Н)*г
для класса
2тг-периодических функций /, таких что тригонометрически сопряженная функция / принадлежит Неравенства, в которых приближение функции оценивается через норму (полунорму) производной, производной сопряженной функции и т.п. будем называть неравенствами типа Ахиезера—Крейна—Фавара. Впоследствии аналоги неравенства (1) были установлены для многих классов сверток периодических и непериодических функций; такие результаты получали Н. И.Ахиезер, М.Г Крейн, Б Надь, С.М.Никольский, С.Б.Стечкин, Сунь Юн-шеп, В. К. Дзядык, А. И.Степа-нец, Т. Х.Нгуен Тхи и другие математики.
Многие результаты, касающиеся точных неравенств для приближений классов сверток, вошли в монографии Н. И. Ахиезера,
A.И.Степанца и А.Пинкуса.
Соотношение (1) для нечетных г было усилено В. В. Жуком (г = 1) и А. А.Лигуном (г > 1), которые установили неравенство типа Джексона с точной константой:
(/<",;) Р)
для любой / е
А.Ю.Громов доказал аналог неравенства (2) для приближения целыми функциями конечной степени. Затем
B. В. Жук усилил неравенства (1) и (2), заменив правые части на линейные комбинации модулей непрерывности возрастающих порядков. Н.И.Мерлина перенесла этот результат на приближения целыми функциями конечной степени. Неравенства для периодических функций содержатся в монографии В. В. Жука.
Сплайны, наряду с полиномами, служат важнейшим аппаратом теории приближений. При этом имеет место тесная связь и глубо-
кая аналогия между приближениями тригонометрическими многочленами и сплайнами. Точные оценки наилучших приближений дифференцируемых функций сплайнами принадлежат В.М.Тихомирову, Н. П Корнейчуку, А.А.Лигуну и другим математикам. Этот круг вопросов освещается в монографиях Н П. Корнейчука.
Вопросами нахождения точных постоянных в неравенствах типа Джексона для приближения линейными (в том числе, положительными) операторами занимались С Б Стечкин, В Т.Гаврилюк, В.В.Жук, Г И.Натансон, Н.И Мерлина, А.А.Лигун, А. Н.Давид-чик и другие
Большинство известных точных неравенств типа Джексона относится к первому модулю непрерывности, точных неравенств со вторым модулем непрерывности (особенно, если исключить неравенства в ¿2) известно сравнительно немного. Это вызвано значительно большей трудностью и отсутствием общих методов получения точных неравенств со вторым модулем непрерывности Некоторые результаты принадлежат В. В. Жуку и В.А.Шалаеву
Классические неравенства для производных и разностей целых функций конечной степени и, в частности, тригонометрических многочленов играют важную роль в теории аппроксимации. Наиболее известно неравенство Бернштейна
11/(г)1Юг||/||
Здесь г € а > 0, функция / принадлежит множеству В^ ограниченных на М целых функций степени не выше а. Имеются многочисленные обобщения неравенства Бернштейна в различных направлениях. Из них укажем на работы М.Рисса, С Н.Берн-штейна, С М. Никольского, С. Б. Стечкина, Р. Боаса, В Ф. Бабенко, А.А.Лигуна, В.Г.Доронина. Некоторые точные неравенства для производных и разностей полиномов п сплайнов, тесно связанные с другими экстремальными задачами теории приближений, вошли в монографию Н.П.Корнейчука, В. Ф.Бабенко и А. А Лигуна.
Цель работы. Целью работы является исследование точных постоянных о различных неравенствах теории приближения функций тригонометрическими многочленами, целыми функциями конечной степени и сплайнами.
Общая методика исследования. В работе используются методы теории приближения функций вещественной переменной, теории тригонометрических рядов Фурье, функционального анализа и вычислительной математики.
Научная новизна и основные результаты. В диссертации доказан ряд неравенств теории приближений с точными постоянными. Разработан метод получения точных неравенств типа Джексона для приближений классов сверток целыми функциями конечной степени. В частности, доказаны точные неравенства типа Джексона для производных сопряженной функции Построены линейные операторы со значениями в пространствах сплайнов, реализующие точную оценку наилучшего приближения через норму производной С помощью построенных операторов получены точные неравенства типа Джексона для приближений сплайнами. Установлена точная оценка отклонения сумм Рогозинского через второй модуль непрерывности. Решена задача о линейном положительном полиномиальном методе приближения, реализующем точную константу в неравенстве типа Джексона для первого модуля непрерывности приближаемой функции. Установлены точные неравенства для производных и разностей целых функций конечной степени, развивающие классические неравенства в направлении формул численного дифференцирования .
Все результаты диссертации являются новыми.
Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Основные результаты и идеи работы могут найти применение при решении родственных задач теории приближений.
Апробация. Результаты работы докладывались на следующих конференциях и семинарах:
Саратовские зимние математические школы но теории функций (1998, 2000, 2004);
Международная конференция "Всплески и сплайны", С.-Петербург (2003);
Международная конференция "Колмогоров и современная математика", Москва (2003);
Воронежская зимняя математическая школа по теории функций (2005);
Городской (С.-Петербург) семинар по конструктивной теории функций под руководством профессора Г.И.Натансона и профессора М. Л. Скопиной (1997-2005);
Городской (С -Петербург) семинар по теории операторов и комплексному апалиэу под руководством профессора В.П.Хавина
(2004);
Семинар по теории функций в ИММ УрО РАН под руководством член-корреспондента РАН профессора Ю. Н. Субботина, Екатеринбург (2002);
Семинар по теории ортогональных рядов в МГУ под руководством член-корреспондента РАН профессора Б. С. Кашина и профессора С В Конягина (2004);
Семинар по теории функций в Белорусском государственном университете под руководством профессора В.Г.Кротова (2004);
Семинар по теории функций в МИРАНе под руководством профессора С А Теляковского (2005);
Семинар по теории вариационною исчисления и оптимального управления в МГУ под руководством профессора В М Тихомирова
(2005);
Семинар по теории функции в МГУ под руководством член-корреспондента РАН профессора П. Л Ульянова и член-корреспондента РАН профессора Б.С.Кашина (2006).
Публикации. Список работ по теме диссертации приводится в конце реферата Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-13], из которых 4 написаны в соавторстве с В. В. Жуком. Тезисы докладов указанных выше конференций опубликованы в [14-19].
Структура и объем диссертации. Работа состоит из списка обозначений, введения, шести глав, разделенных на параграфы и списка литературы. Нумерация утверждений отдельная для каждого типа утверждений в каждой главе. Нумерация формул двойная и указывает номер главы и номер формулы в главе Библиография содержит 107 наименований Общий объем диссертации составляет 272 страницы.
ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ РАБОТЫ
Во введении дается обзор результатов по исследуемой тематике и формулируются основные результаты диссертации.
1. В первой главе разрабатывается метод получения точных в равномерной и интегральной метриках неравенств типа Джексона для приближения целыми функциями конечной степени классов сверток функций, как периодических, так и непериодических, заданных на всей оси. Метод применим к широкому классу сверток, в том числе, к сверткам с "классическими ядрами": Пуассона, теплопроводности, ядрами некоторых дифференциальных операторов, а также ядрами, сопряженными к перечисленным ядрам. Оценки достигаются с помощью линейных методов приближения, остаются точными, даже если заменить левую часть на наилучшее приближение, и усиливают классические неравенства типа Ахиезера— Крейна—Фавара. Устанавливаются точные неравенства, в которых правая часть представляет собой линейную комбинацию модулей непрерывности возрастающих порядков. Частными случаями установленных неравенств являются неравенства для приближений периодических функций тригонометрическими многочленами и почти-периодических функций обобщенными тригонометрическими многочленами. Оценки справедливы для широкого класса пространств с полунормой, инвариантной относительно сдвига.
Пусть ЯЛ — замкнутое подпространство пространства LP(K) (1 ^ р < со) или пространства UCB(R) равномерно непрерывных ограниченных на R функций с равномерной нормой (р = оо), Р — полунорма, заданная на 9Л. Если выполняются условия:
1) пространство инвариантно относительно сдвига, т.е. для любых / € 9Л и Л € R будет /(• + h) € 9Л и Р(/( + h)) = P(f),
2) существует такая постоянная В, что P(f) ^ В||/||р для всех /€ЯЯ,
то будем говорить, что пространство (9Л, Р) принадлежит классу/?. Примерами пространств класса В являются* (UCB(R), Ц-Цоо), (ip(R),|| • ||р) (1 ^ р < оо), пространства периодических функций (С, |] • ||р) (1 ^ р ^ оо), а также более общие пространства почти-периодических функций
В §2 устанавливается несколько лемм, необходимых для даль-
нейшего. В § 3 описывается построение операторов, реализующих точные константы в неравенствах типа Ахиезера—Крейна— Фавара для приближений классов сверток В §4 вводится класс ядер, свертки с которыми изучаются дальше, и доказываются некоторые свойства ядер этого класса.
Далее Е^ (Е^-.о) — множество целых функций степени не больше (меньше) ст; Асг(/)р [А^-о(/)р) — наилучшее приближение функции / целыми функциями степени не больше (меньше) а по полунорме Р; St(f) — центральная разность порядка г £ Z+ функции / с
шагом t; ur(f,h)P = sup Р(£[(/)) — модуль непрерывности по-
o^h
рядка г функции / с шагом h относительно полунормы Р; индекс р у наилучшего приближения, модуля непрерывности и т.п. означает, что P(f) = 11/Цр, а отсутствие индекса — что P(f) = Ц/Ц»; C-B(R) — пространство непрерывных ограниченных на R функций с равномерной нормой; а(/), b(f) и с(/) — косинус-преобразование, синус-преобразование и комплексное преобразование Фурье функции /.
Обозначим через СМ с(уо) и СМ3{уо) (% > 0) множества соответственно четных и нечетных функций G из L(R), преобразование Фурье которых при у ^ уо представляется в виде
Г + ОО р + ОО
a(G,y)= e~yud^(u) или b(G, у) = / е~у и <№(и),
J о J о
где Ф и Ф — возрастающие на (0, +оо) функции, такие что интегралы конечны. Положим еще ■----2 ---2 —-2
СМ (уо) — СМс(у0) U CMs(y0). Многие классические ядра (Пуассона, теплопроводности, ядра дифференциальных операторов) при—- 2
надлежат массам СМ (i/o)-
Пусть а > 0. Рассматривается приближение функциями и.) Е^
.-. 2
(Eff_o) классов сверток с ядром G из СМ (i/o):
/ = Т + у * G. (3)
Функция ip принадлежит некоторому пространству, а Т € Еа (Ест_о); на функцию <р могут также накладываться условия ортогональности пространству (ai ^ а или а\ < а)
Пусть м — 0, если С? четно, х— 1, если С? нечетно;
с(^)
вш (**-*(!-*))
= Еи)"
к=—оо
2 2и
— четная или нечетная функция из П интерполирующая
функцию в в точках (»*+*-*)« (к £ Я);
К,
сг,<?
А § Ие^я!, С нечетно,
(4)
и=о
оо
^ Счетно.
1/=0
Тогда € Е^. В некоторых случаях можно представить
^<7,6 в виде оператора свертки и распространить на более широкие классы функций /, чем задает формула (4). Если Т — постоянная, а <р имеет период 2п, то ~ тригонометрический многочлен
степени меньшей, чем ст.
Доказываются неравенства типа Ахиезера—Крейна—Фавара
____ 2
для сверток с ядрами классов СМ (уо). Следующее утверждение содержится в работе в расширенном виде в леммах 1.5 и 1.6.
Лемма 1.5-6. Пусть (ЗЛ, Р) € В, <р е Ш, у0 > О, С € СМ2(у0), с(С?) € С(2)(К), функции / « <р связаны равенством (3), а ^ уо-Тогда
Р{/-Хг,а(Л)<£°,оР(<р)- (5)
В пространствах (С-В(К),|| • ||оо) « • Ц1) константу
в неравенстве (5) нельзя заменить меньшей, даже если заменить левую часть на А(Т(/)р, а в пространствах периодических функций с равномерной и интегральной нормой — даже если заменить левую часть на Аа-о(/)р-
Выполнение неравенств леммы основано на том, что для функ-—_ 2
ций G из CM (t/o) разность G — Lff(G) меняет знак в точках интерполяции, и только в них Б Надь доказал, что для выполнения неравенства типа (5) в случае четной функции G достаточно трехкратной монотонности a(G) (т.е. чтобы а(6?) 6 C^(R) и (— l)ra'r'(G,у) ^ 0 при 0 ^ г ^ 3 и у ^ <т), а в случае нечетной функции G — двукратной монотонности b(G). Но лемма 1.5-6 не
следует из теоремы Надя, так как преобразования Фурье функций -—2
из классов СМ (уо) могут не удовлетворять условиям кратной монотонности.
■—-2
В §5 для функций класса СМ (уо) при любом ш € N получено разложение
т — 1
G— 6vH{Khv) + 6?(Ghm) + Mhm, i/=0
где Mhm € E^/o n a Функции К ht, H G km удовлетворяют специальным условиям, обеспечивающим точность последующих оценок. При а ^ г/о положим
UohmU) = UvhmMf) = T + <p*Mhm + S?(<p) * La{GHm),
Ahu — Abu,G и Bahm = ^<rhm,G — некоторые явно построенные константы. Ясно, что Uahm,G{f) € ео
В § 6 получены основные результаты главы— неравенства типа Джексона
Теорема 1.1. Пусть (9Л,Р) € В, у € Ш, у0 > О, G € СМ2(у0), c(G) € C'2)(R), функции / и <р связаны равенством (3), m £ N, Q<h<^,(T^y0. Тогда
т — 1
P(f - Uahm(j)) ^ J2 + Bohmp(6Z(<p)),
и—О
т — 1
PU - UahmU)) ^ AhvUv{ip,h)r-\- BahmUm{^,h)p. i/=0
Если, сверх того, ядро G нечетно, то
m —1
+ £ AhvP(6*h(v>)) + BahmP(6?fr)),
f-i
m—1
+ ^/n/^j/iv, Л)р -f Bvhmum(y>, h)p
При m = 1 из теоремы 1.1 следует неравенство типа Джексона для первого модуля непрерывности.
Следствие 1.3. Пусть (ЯК, Р) € В, у € Ш, у0 > О, G G СМ*(г/о), c(G) € функции f и (р связаны равенством (3), 0 < h <
а ^ у0. Тогда
PU - IW(/)) ^ +
В случае равномерной нормы и шага /г = а — нечетное натуральное число, неравенство следствия 1.3 точно. Более того,
вш> A^oißoo _ SUD ^,0
sup ----—- _ sup ---—- = ——--h #<7,-3-, 1
v€CB(R) ^UV) SïJoo VÇCB(R) )oo Z
Верхние грани не изменятся, если брать их по множеству ¿^(R), а также если ограничиться ^-периодическими функциями с нулевым средним (теорема 1.2).
При шаге модуля непрерывности, равном j, построенные операторы не зависят от т:
Ua,f,m,G = -^<7, G
(лемма 1.13). Кроме того, для нечетного ядра G (замечание 1.12).
Следствие 1 А. Пусть (9Л, Р) £ В, £ ЯЛ, у0 > О, О € См1(у0), с((3) € функции / и <р связаны равенством (3), <т ^ уо- То-
гда
При ~ правая часть неравенств теоремы 1.1 убывает по ш, а левая не зависит от т. Поэтому наилучшая оценка получается в пределе при т —>• оо (следствие 1.6).
В § 7 общие теоремы предыдущего параграфа применяются к конкретным операторам. Частными случаями следствия 1.4 являются неравенства типа Джексона для производной (2), неравенства для производной сопряженной функции:
(6)
(г четно, Ха,г — линейный оператор, реализующий точную постоянную в неравенстве типа Ахиезера—Крейна—Фавара для производной сопряженной функции), а также более общие неравенства для дифференциальных операторов, примененных к самой функции или ее сопряженной. Для периодических функций неравенство (6) принимает вид
2. Во второй главе строятся аналоги сумм Ахпезера—Крейна—Фавара для периодических сплайнов.
Далее И^ — множество 2л--периодических функций /, для которых /(г-1) абсолютно непрерывна на любом отрезке, а принадлежит Ьр; ¿>2п,т — 27г-мерное пространство 2тг-перподических сплайнов порядка то 6 дефекта 1 по равномерному разбиению ^ ({; 6 2), Еп,т — наилучшее приближение пространством ¿>2п,т-
Для приближения сплайнами минимального дефекта известны, в частности, следующие точные соотношения типа Ахиезера—
Крейна—Фавара. Пусть г 6 Н, т ё то > г - 1, р — 1, оо. Тогда
Обозначим через <тП)т(/) сплайн из ¿?2п,т, интерполирующий функцию / в точках 2кг+Е'"- (к <=■ 2), где
го, I я-,
m нечетно, m четно.
При т = г - 1 константа в (7) реализуется линейным проектором, а именно, с помощью интерполяционного сплайна:
вир -и г,viii--- "г7- v8;
few.
(г)
!1/(г)11р
Соотношения (7) при m = г — 1, р = оо и (8) при р — ос установил В.М.Тихомиров; соотношения (7) в остальных случаях — А А.Лигун; соотношение (8) при р — 1 — H П.Корнейчук А А Лигун доказал существование линейного оператора из С в <i>2n,mi реализующего константу в соотношении (7) при m ^ г,р = оо (явный вид этого оператора у Лигуна отсутствует)
Во второй главе при тп ^ г строятся линейные операторы Xn,r,m '• L (аналоги сумм Ахиезера—Крейна—Фавара), ре-
ализующие константу в соотношении (7).
Построение операторов основано на той же идее, что и
в полиномиальном случае — интерполировании ядра Бернулли dr: d0{t) = 1,
, , л НГ е'"*
г е
V— — 00
и^О
Как известно, метод Ахиезера—Крейна—Фавара ХПгГ на функциях
ir)
из WI определяется равенством
*»,г(/, t) = coif) + - Г /(Г,(«)£п,г(* - и) du,
К J-я
гДе ^п,г — тригонометрический многочлен из T^n-i, интерполирующий ядро dr в точках (fc G Z).
На функциях из оператор ХП)Г<т задается формулой
п,г,ш
Хп,г,М 0 = СО(/) + - Г (и)£„,г,т(*, и) Лх,
"" ^ —7г
7Г
где при каждом и функция £п,г,т("> является сплайном из ¿>2п,т 0 удовлетворяет интерполяционным условиям
Интегрированием по частям оператор ХПуГ^т, как и Хгцг, распространяется па все пространство Ь.
В § 2 исследуется разрешимость интерполяционной задачи, находится явный вид функции £п,г,т (в гсрминач коэффициентов разложения по функциям Бернулли и коэффициентов Фурье) и устанавливаются некоторые ее свойства. Важнейшим из них является то, что разность и) ~ — и) меняет знак в точках интер-
поляции, и только в них (с небольшими оговорками о возможности тождественного обращения в нуль на некоторых промежутках).
Кроме того, оказывается, что значения построенных операторов принадлежит некоторому (2п — 1)-мерному подпространству «52Жп,т пространства ¿>2п,т- Это замечание позволяет при приближении функций классов И^ сплайнами ограничиться пространствами сплайнов размерности на единицу меньше, чем было привычно, и показывает, что, если иметь в виду размерность приближающего пространства, сплайны ничуть не хуже полиномов.
В § 3 устанавливаются неравенства типа Ахиеэера—Крейна— Фавара для отклонений операторов Хп,Г;т.
Теорема 2.1. Пусть п, г, ш £ М, т ^ г, 1 ^ р со, / € \УрГК
( 2к1г + е„ \ , (2кж + еЛ , _
Тогда
К,.
|р-
(9)
При р = 1, оо неравенство точное, т.е
Далее с помощью операторов Хп>,^т устанавливаются результаты для наилучших приближений (следствие 2.3):
К,
Еп,т{1)р ^ (Ю)
1С
точные при р = 1,оо {Е*т — наилучшее приближение пространством <52Хп,т)
Соотношения (10) при р = 1,оо вместе с утверждением об их точности ранее были получены Н.П.Корнейчуком с помощью теорем двойственности.
В § 4 исследуется поведение операторов Хп,г,т при т —»• со (теорема 2.2). Доказывается, что
Игл Хпгт = Хп г,
ТО-+0О
например, по норме операторов из Ь в С и, следовательно, равномерно
Ьт Хпгт(/) = Х«,г(Я,
т-*оо
так что, например, соотношение (1) может быть получено из (9) предельным переходом. Родственные результаты, связывающие приближение сплайнами растущего порядка и тригонометрическими полиномами, содержатся в работе В. Л. Великина
3. В главе 3 разрабатывается общая схема построения линейных методов приближения периодических функций, допускающих оценки через линейные комбинации модулей непрерывности производных, и эта схема применяется к приближению сплайнами.
При доказательстве неравенства (2) использовались неравенства (1) и формула Эйлера—Маклорена; при установлении разложений по модулям непрерывности возрастающих порядков типа теоремы 1.1 формула Эйлера—Маклорена итерировалась. С помощью
этой конструкции В В. Жук оценивал не только отклонение линейных методов приближения, но и функционалы общего вида, для которых справедливы неравенства типа (1).
В § 2 описываются применявшиеся ранее В. В. Жуком итерации формулы Эйлера—Маклорена, в §3 на их основе строятся линейные операторы общего вида, отклонение которых допускает оценки типа теоремы 1.1. В § 4 общая схема применяется к сплайновым операторам Хп,г,ц построенным в главе 2. На этом пути получаются неравенства типа Джексона для приближений сплайнами. Пусть
АГ}1> — некоторые явно построенные константы (вообще говоря, отличные от А/^о из главы 1).
Следствие 3.12. Пусть п, г, ^ € /х ^ г + 1, 1 ^ р ^ оо,
/ 6 Тогда
11—1—1
+
\\/~Хп,гЛЛ\\р<:
+
Следствие 3.10. Пусть п,г,/1 £ М, г нечетно, ц ^ г + 1,
причем при р — 1, оо константа не может быть заменена меньшей, даже если заменить левую часть на ЕПф(/)р.
При р = оо неравенство
доказано другим способом А. А. Лигуном. В этом случае, однако, оно верно при всех г € вне зависимости от четности.
Следствие 3.10 усиливает неравенства (9), аналогично полиномиальному случаю.
В случае равномерной нормы устанавливаются также точные неравенства для шага модуля непрерывности, равного —а — нечетное натуральное число (следствие 3 13) Точные неравенства, аналогичные следствиям 3 12 и 3.10, доказываются и для (1 = г, но с другими операторами вместо ХП1Г<11, действующими в с>2п,г (а пе
Другая модификация общей схемы позволяет построить операторы со значениями в S2n.fi ПРИ М ^ 2) и получить для их отклонений неравенства типа Джексона со вторым модулем непрерывности.
1 р ^ оо, / 6 УУ^. Тогда
Следствие 3.20. Пусть п, /х Ç. N, 1 ^ р ^ оо, / € Lp. Тогда
Л/-•
Это следствие обобщает оценки отклонений полиномиальных методов приближения через второй модуль непрерывности, рассматривающиеся в следующей главе. В свою очередь, эти оценки для полиномиальных методов (в метриках Lp) могут быть получены из следствия 3.20 предельным переходом.
4. В четвертой главе доказывается точное неравенство типа Джексона для сумм Рогозинского и второго модуля непрерывности.
Пусть Ш — замкнутое подпространство пространства С, Р — полунорма, заданная на 9Я. Если выполняются условия:
1) пространство инвариантно относительно сдвига, т.е. для любых / € Ш и h € R будет /(• + h) € Ш и P(f(■ + h)) = P(f),
2) существует такая постоянная В, что P(f) «С -ВЦ/Ц для всех
/€2Я,
то будем говорить, что пространство (2Jt, Р) принадлежит классу Л. Величину
/еал v2{j, п)р
где U : 9Л -> 9Л, h > 0, принято называть точной постоянной в неравенстве
P(f-U(f))^Mu2(f,h)P.
Если Un : —ï T2n-i П 3JÎ, 7 > 0, то может ставиться вопрос о нахождении в неравенстве
константы, точной для всех п в совокупности, т.е. величины вир В (ип, -1—)р- Ранее автором были получены константы £)({/„, Л)
«ем
для некоторых положительных операторов 11п (как и ранее, отсутствие индекса Р означает равномерную норму) Что касается нахождения констант, точных для всех п в совокупности, то известен лишь единственный такой результат. В 1974 году В. В. Жук получил неравенство
(П)
(Уп — некоторый линейный оператор из С в 72п-1)- Позже В. В Шалаев обнаружил, что константа 1 является точной для всех п в совокупности не только в неравенстве (11), но и в неравенстве
£„(/)< 1 •<*(/, (12)
а именно:
ЕМ) \\f-Vn(f)\\ .
sup sup = sup sup " I 1 = 1.
n6N fee w2(/, 2^) net!/ее
Таким образом, точная константа 1 в неравенстве (12) реализуется последовательностью линейных операторов {Vn}.
В той же работе В В. Жук получил неравенство для отклонений сумм Рогозинского
11/-Я„(/)|К (13)
и впоследствии перенес оценки на случай произвольного пространства (9ÏÏ, Р). Положим
V п/ fee "2 (/,*)
Очевидно, что Di = 1/2. В главе 4 показано, что константа 5/8 не является точной в неравенстве (13). В §2 найдено значение Di-
Теорема 4.1. Пусть (9Л, Р) 6 A, / е Ш, С2 = \ - . Тогда
В пространстве С неравенство точное, т.е. JD2 = С%.
В §§ 3-5 доказывается основной результат — теорема 4.3. Теорема 4.3. Пусть (ЯЛ, Р) G A, / € ЗЛ, п е N,
„ 3 1/.J■ Зтг\ 1 1 Г/2 ( 1 ctgz\
4- тг 2 ~ я* 2я Jo
Тогда справедливы соотношения:
Р(/-Ип(/)К (14)
sup Dn = lim Dn = D.
Таким образом, константа D является точной для всех п в совокупности в неравенстве (14) для равномерной нормы. Отметим, что
3 = 0,625, £2 = 0,559.., 0 = 0,581...
о
Для доказательства точных неравенств этой главы использовались специально найденные представления отклонения сумм Ро-гозинского в виде линейной комбинации интегралов, содержащих вторые разности функции с шагом, не превосходящим шага модуля непрерывности.
5. В пятой главе доказывается точное неравенство типа Джексона для первого модуля непрерывности и приближения линейными положительными операторами.
Пусть С* — множество линейных положительных операторов U : С —»■ Tin-i (т.е. таких, что U(f) ^ 0 для всех / & 0), (<р, ф) = Jq (рф — скалярное произведение функций из вещественного пространства Ь2[0,1], S = 6 £2[0,1]: fg <рг = 1 j — единичная сфера пространства L2[0,1].
При к > 0, и : С С полагаем
/ее щ{/,п)
Величины А (С/, Л) называют точными постоянными в неравенствах
у-ит^миуМк).
Известно, что если оператор II имеет вид
и(/,х) = - Г /(х + 1)К(г)<Н, (15)
К «/ — 7Г
где ядро К ^ 0, четно, ±К = 1, то
(здесь квадратные скобки означают целую часть). Если и 6 М, 1/п • С —У %п-1, 7 > 0, то представляет интерес изучение величин
Мт) = А (ип, —) , А(7) = вир Ап(7) ипес+ ^ п / „е^
и методов приближения, реализующих инфимум Исследованием точных постоянных в неравенствах типа Джексона для приближения различными положительными операторами занимались многие математики. Так, известно, что для операторов Джексона вир А ([/„,—) = |, а для операторов Коровкина и Бома-пбК "
на—Коровкина вир А ^ 1,3424. Н. И Мерлина построила
последовательность положительных операторов {/„, для которой
Бир А (ип, ^ 1,33701.
«ем
Доказывается, что при нахождении величин Ап(7) инфнмум можно брать по множеству Л+ операторов IIп вида (15) с ядром
71-1
к= 1
(лемма 5.1)
Используя теорему Фейера—Ф. Рисса об общем виде неотрицательного тригонометрического многочлена, А. Н. Давидчик установил, что М Х(ип,~) равен минимуму квадратичной формы
tf.GAÍ
п-1
Е
к=0
хке
ikt
dt
на единичной сфере Sn_1 пространства R". В свою очередь, этот минимум равен наименьшему собственному числу матрицы А^ и достигается на соответствующем собственном векторе Затем, подсчитав Ап(1) при п ^ 50, А. Н. Давидчик получил оценку А(1) ^ 1,30.
Аналогичная теорема (вместе с очевидным доказательством) справедлива и для произвольного 7 > 0.
Теорема 5.1. Пусть п 6 N, 7 > 0 Тогда величина А„(7) равна минимуму квадратичной формы
«'-ЧГНЙ)
п-1
£
fc=0
ikt
dt
на З"-1, т.е. наименьшему собственному числу матрицы А^К Оператор 1]п, реализующий инфимум, задается формулой
2
Un(f,r) = ~ Г f(T + t)
J —7?
п-1 Jt=0
(™)„«fcí
dt,
где х(п) = г^п'(7) = — единичный собственный вектор
матрицы отвечающий собственному числу А„(7).
Основным результатом главы является то, что при 7 е (0,1] величина А(7) равна инфимуму на 8 квадратичного функционала
2
jT (1+ I J\(x)ettxdx
(конечного, правда, не на всем £г[0,1]). Положим
/*( 7) = inf'{Ву(р,ср). ves
dt
Теорема 5.2. При всех 7 > О будет \(j) ^ /¿(т), 0 пРи 7 € (0,1] справедливо равенство \(-у) =
Похожий результат верен и для приближений целыми функциями конечной степени (теорема 5.3).
В §3 исследуется функционал {В^<р, ip) и, конкретно, спектральные свойства оператора В1. Похожие задачи минимизации квадратичного функционала возникали при исследовании приближения положительными операторами функций классов Зигмунда, собственно задачи минимизации возникающих функционалов решал Х.М Коган.
В качестве области определения оператора В7 удобно выбрать
плотное в Хг[0,1] множество L ^ (\/ж(1 — я); 0, l) абсолютно непрерывных на [0,1] функций <р, таких что
р(0) = у>(1) = 0 и [ у/х(1- x)tp'2(x) dx < 00.
J о
Теорема 5.4. Спектр оператора В~, дискретный. Оператор В7 имеет единственную положительную на (0,1) собственную
функцию у € L ^ {у/х(1 — ¿У; 0, l) ns, причем <р~,(1 — х) = у7(ж) Соответствующее ей собственное число А(7) — положительное, простое и наименьшее. При этом
Л(7) = min (В7у>, <р) = (В7<^7,
veii1* (^/x(i-x),o,i) ns
Величины Л(7) могут быть подсчитаны с любой степенью точности каким-либо из стандартных методов вычисления собственных чисел интегральных операторов. Метод Ритца дает для Л(7) оценку сверху, для оценки снизу можно использовать значения Лп(7). Подсчет показывает, что А(1) = 1,312 ...
6. В последней, шестой, главе устанавливаются точные неравенства для производных и разностей целых функций конечной степени.
Классические неравенства для целых функций конечной степени-
(16) (17)
а
ШЛЁ
О < и < Л < —,
(18)
а
и, в частности, для тригонометрических многочленов играют важную роль в теории аппроксимации. Здесь г £ <т > 0, / ё В„. Неравенство типа (16) впервые было установлено в 1912 году С.Н.Бернштейном сначала для тригонометрических многочленов, затем — для целых функций конечной степени, типа (17) (для тригонометрических многочленов) — М. Риссом, типа (18) — Р. Боа-сом. В связи с неравенствами типа (17) укажем также на важные работы С. Н. Бернштейна, С. М. Никольского и С. Б. Стечкина.
Неравенство (17) было усилено в работе В. Г. Доронина, где при Л € (0, установлено, что
для / € Тзя—1 в пространстве Ьр (1 ^ р < оо), и отмечено, что в пространстве С аналогичный результат был ранее получен В. Ф. Ба-бенко и А. А.Лигуном. При 0 < Л < ^ неравенство (19) усиливает
В данной главе неравенства типа (16)—(19) значительно усиливаются в следующих направлениях. Рассматривается широкий класс разложений, примером которых могут служить формулы численного дифференцирования вида
г / ( пН/2 у _ ^ V
||/(г)|1"< (1) (и^(яиР+ ¡¿^ 1к+2(/)иР] аэ)
неравенство (17).
= 1), и даются точные на классах целых функций конечной степени оценки погрешностей этих формул — в данном случае
1/=0
— через первый отброшенный член разложения. В формуле (20) коэффициенты ¡3^ определяются разложением
^1п(./2+уТ+1у4)у =
Примером может служить следующая теорема (сформулированная в частном случае пространства В^).
Теорема 6.2. Пусть т + 1 6 г е Н, а > 0, / €
0 < к < Тогда
^ то
>=о_
(2 вт^У
<__Р (¿г+2т+2 (П)
При таком подходе оказывается, что неравенства (17) и (19) являются начальными случаями этих оценок, соответственно, при т = — 1 и га = 0 (следствие 6.3). В рассматриваемый класс разложений попадают, в частности, формулы Стирлинга и Бесселя численного дифференцирования (теоремы 6.2 и б 3), формула Эйлера—Маклорена (теорема 6.6) и разложение разности с меньшим шагом по разностям с большим шагом (теорема б 4). Начальным случаем оценки погрешности последней формулы является неравенство (18) (следствие 6.7). Все неравенства верны для широкого класса пространств с полунормой; в частности, для пространств
(Вст, || -1|), (ВстП£<р(К), || -[|р), пространств тригонометрических многочленов. В перечисленных пространствах неравенства точны. В пространстве (В^, ¡| • ||) они обращаются в равенство на функциях вида }*(х) = а е1ах + Ь е~,сгх.
§ 2 содержит несколько вспомогательных утверждений, связанных с абсолютно монотонными фупкциями. В §3 излагается общая схема получения точных неравенств для целых функций конечной степени. В §4 получены основные результаты — точные оценки погрешностей формул типа численного дифференцирования. В § 5 устанавливаются точные неравенства для отклонений функций Сте-клова. Эти неравенства носят более тонкий характер, так как выполняются не все условия общих теорем.
ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ
1. Виноградов O.JI. Точное неравенство для отк,юнения сумм Рогозинского и второго модуля непрерывности в пространстве непрерывных периодических функций // Записки научных семинаров ПОМИ. 1997. Т.247. С.26-45.
2. Виноградов O.JI. Точная оценка отклонения сумм Рогозинского через второй модуль непрерывности в пространстве непрерывных периодических функций // Доклады АН России 1998. т.361, т з. с.300-302.
3 Виноградов О. JI. Точная постоянная в неравенстве типа Джексона для приближения линейными положительными операторами // Записки научных семинаров ПОМИ 1998. Т.255. С.36-53.
4. Виноградов О. JI. О квадратичном функционале из задачи о точной постоянной в неравенстве Джексона для приближения линейными положительными операторами // Вестник Санкт-Петербургского университета. Сер 1. 1998 Вып 3 (№ 15). С.6-11.
5. Виноградов O.JI., Жук В.В. Точные оценки погрешностей формул типа численного дифференцирования на тригонометрических многочленах // Проблемы математического анализа 2000. Вып.21. С.68-109.
6 Виноградов О. JI Неравенства для производных тригонометрических многочленов. СПб : Изд. НИИХ СПбГУ, 2002.
7 виноградов О. JI. Аналог сумм Ахиезера—Крейна—Фава-ра для периодических сплайнов минимального дефекта // Проблемы математического анализа. 2003. Вып.25. С.29-56
8. Виноградов O.JI , Жук В.В Точные оценки отклонений линейных методов приближения периодических функций посредством линейных комбинаций модулей непрерывности различных порядков //Проблемы математического анализа. 2003. Вып.25. С.57-98.
9. Виноградов O.JI., Жук В. В. Точные неравенства типа Джексона для сплайновых аналогов операторов Ахиезера—Крейна—Фавара // Доклады АН России. 2003. Т.393, № 2. С.151-154.
10. Vinogradov О L., Zhuk V. V Sharp Jackson-type inequalities for linear methods of spline approximation of differentmble functions ¡I International Conference "Wavelets and splines". July 3-8,
2003, St. Petersburg, Russia. Proceedings. St. Petersburg: St Petersburg University Press, 2005. P.134-143.
11. Виноградов О. Л. Точные неравенства типа Джексона для приближений классов сверток // Доклады АН России. 2005. Т.403, № 3. С.295-299.
12. Виноградов О. JI. Точные неравенства типа Джексона для приближений классов сверток целыми функциями конечной степени // Алгебра и анализ. 2005. Т.17, № 4. С.56-111.
13. Виноградов О. JI. Точные оценки погрешностей формул типа численного дифференцирования на классах целых функций конечной степени // Сибирский математический журнал. 2007. Т.48, №3 С.538-555.
14. Виноградов О. JI. Точная оценка отклонения сумм Ро-гозинского через второй модуль непрерывности // Современные проблемы теории функций и их приложения. Тезисы докладов 9-й Саратовской зимней школы, 26 января — 01 февраля 1998 г. Саратов, 1997. С.39.
15. Виноградов О. Л., Жук В. В. Точные неравенства типа Джексона дм дифференцируемых функций // Современные проблемы теории функций и их приложения. Тезисы докладов 10-й Саратовской зимней школы. Саратов, 2000. С.26-27.
16. Виноградов О. Л., Жук В. В. Модифицированные точные неравенства типа Джексона и Колмогорова для наилучших приближений сплайнами // Межд. конф. " Колмогоров и современная математика" (Москва, 16-21 июня 2003 г.). Тез. докл. C.28Q-281.
17 Виноградов О. Л., Жук В. В. Точные неравенства типа Джексона для линейных методов приближения дифференцируемых функций сплайнами // Международная конференция "Всплески и сплайны". 3-8 июля 2003 г., Санкт-Петербург, Россия. Тез. докл. С.99-100.
1о. Виноградов О. Л. Точное неравенство типа Джексона для приближений сплайнами и второго модуля непрерывности // Современные проблемы теории функций и их приложения. Тезисы докладов 12-й Саратовской зимней школы. Саратов, 27 января-3 февраля 2004 г. Саратов, 2004. С.45-46.
19. Виноградов О. Л. Точные постоянные в неравенствах типа Джексона для приближений классов сверток // Современные методы теории функций и смежные проблемы. Материалы конференции Воронеж: ВРУ, 2005. С.56.
Подписало к печати 0 1 02 2008 г Формат 60x84 1/16 Бумага офсетная Печать ризографическая Ус-ч п л 2,и Тираж 100 экз Заказ 4156
Отпечатано в отдете операшвной полиграфии Химического факультета СПбГУ 198504, Санкт-Петербург, Петродворец, Университетский пр, 26
Обозначения
Введение
Глава 1. Точные неравенства типа Джексона для приближений классов сверток целыми функциями конечной степени
§ 1. Введение.
§ 2. Вспомогательные результаты
§3. Ядра Крейна
§ 4. Вполне монотонные функции и преобразования
Фурье
§ 5. Разложение ядер и построение приближающих операторов
§ 6. Неравенства типа Джексона.
§ 7. Применение общих теорем к конкретным ядрам
Глава 2. Аналог сумм Ахиезера—Крейна—Фавара для периодических сплайнов минимального дефекта
§ 1. Введение
§ 2. Построение и свойства ядра оператора
§ 3. Теоремы типа Ахиезера—Крейна—Фавара
§ 4. Предельное поведение операторов.
Глава 3. Общая схема доказательства неравенств типа Джексона для производных и ее применение к приближению сплайнами
§ 1. Введение.
§2. Формула Эйлера—Маклорена и ее неполные итерации
§ 3. Общая схема построения линейных операторов на основе итераций формулы Эйлера—Маклорена.
§ 4. Оценки для сплайновых аналогов операторов Ахиезера—Крейна—Фавара
Глава 4. Точное неравенство типа Джексона для сумм Рогозинского и второго модуля непрерывности
§1. Введение.
§ 2. Точная оценка для приближения суммами Рогозинского первого порядка
§ 3. Вспомогательные результаты
§ 4. Интегральное представление отклонений сумм Рогозинского
§ 5. Основные теоремы
Глава 5. Точное неравенство типа Джексона для приближения линейными положительными операторами
§ 1. Введение.
§ 2. Свойства элементов и собственных векторов матриц
§ 3. Сведение задачи к задаче минимизации квадратичного функционала
§ 4. Исследование квадратичного функционала.
Глава 6. Точные оценки погрешностей формул типа численного дифференцирования на классах целых функций конечной степени
§ 1. Введение
§ 2. Абсолютно монотонные функции
§ 3. Точные неравенства общего вида для целых функций конечной степени.
§ 4. Построение формул типа численного дифференцирования и оценки их погрешностей.
§ 5. Оценки для отклонений функций Стеклова
Диссертация посвящена установлению ряда классических неравенств теории приближений с точными постоянными. Исследуются неравенства типа Джексона, Ахиезера—Крейна—Фавара, Берн-штейна и приближение тригонометрическими многочленами, целыми функциями конечной степени и сплайнами.
Диссертация состоит из шести глав, разделенных на параграфы. Нумерация утверждений отдельная для каждого типа утверждений в каждой главе. При ссылках внутри главы указывается только номер соответствующего утверждения. При ссылках на утверждение другой главы первым указывается номер главы, например: следствие 3.10. Нумерация формул двойная и указывает номер главы и номер формулы в главе, например: формула (1.22).
1. Первая глава посвящена точным неравенствам типа Джексона для приближений классов сверток целыми функциями конечной степени.
Неравенствами типа Джексона в теории приближений принято называть неравенства, в которых приближение функции оценивается посредством модуля непрерывности (самой функции, ее производной и т.п.) Первым такое неравенство C(7)wi (fA) для приближений непрерывных периодических функций тригонометрическими многочленами и модуля непрерывности первого порядка получил Д. Джексон в 1911 году.
Первое точное неравенство типа Джексона установил Н. П. Корнейчук [57], который доказал, что для любых вещественнозначных функций / из С и п £ N
Яп(/К l-u,i (/, , причем константа 1 точная при всех п в совокупности, т.е.
ЕпЦ) л sup sup ——— = 1. nGN fee ШД/, -)
H. И. Черных [96, 97] доказал неравенство типа Джексона в пространстве L/2: точное при каждом фиксированном п.
В 1937 году Ж. Фавар [101] и Н. И. Ахиезер и М. Г. Крейн [4] построили линейный метод приближения Хп,г со значениями в пространстве тригонометрических многочленов порядка не выше п — 1, такой, что для любой / £
-хпд/)|К§||/М||, (1) Ь причем константу Кг на классе С^ уменьшить нельзя, даже если заменить левую часть на наилучшее приближение. Кроме того, в [4] были построены линейные операторы Хп,г, реализующие аналогичное точное неравенство для класса
Неравенства, в которых приближение функции оценивается через норму (полунорму) производной, производной сопряженной функции и т.п. будем называть неравенствами типа Ахиезера—Крейна—Фавара. Впоследствии аналоги неравенства (1) были установлены для многих классов сверток периодических и непериодических функций. Из большого числа работ на эту тему укажем на статьи [1, 2, 62, 63, 102, 103, 75, 87, 37, 73, 74]. Многие результаты вошли в монографии [3] и [104].
История вопросов и некоторые известные результаты, касающиеся исследования верхних граней приближений (как наилучших, так и приближений линейными методами) на различных классах функций, отражены в обзорных статьях [77, 88, 89] и монографиях [90, 83, 60].
Соотношение (1) для нечетных г было усилено В. В. Жуком [40] (г = 1) и А. А. Лигуном [67] (г > 1), которые установили неравенство типа Джексона с точной константой: г)
7Г П
2) для любой / £ СМ А.Ю.Громов [34] доказал точное неравенство
С,
2сг' г) I о
3) г нечетно, / Е Ci?(r)(R)) для приближений целыми функциями конечной степени и его аналог в интегральной метрике (Хст?г — линейный оператор). В. В. Жук [43] установил следующее усиление неравенств (1) и (2):
-Хп>г(/)|| < (^)r{Ar,o||/W|| + 7Vn,r,w(/W)} (4) при всех г Е N, а если, кроме того, г нечетно, то f-xnAf)\\ < (/w,9 + JV-"""(/W'}' (5> а также аналогичные неравенства для ряда полунорм. В этих неравенствах n, т Е N, т — 1
Nn,r,m(f{r)) = J2Ar,» ЯЦ/(Г)) м^ П
JT m1 \ и=0 ' a — некоторые явно построенные константы. Н. И. Мерлина [71, 72] получила аналогичные (4) и (5) неравенства для приближения целыми функциями конечной степени.
В первой главе разрабатывается метод получения точных в равномерной и интегральной метриках неравенств типа Джексона для приближения целыми функциями конечной степени классов сверток функций, как периодических, так и непериодических, заданных на всей оси. Метод применим к широкому классу сверток, в том числе, к сверткам с "классическими ядрами": Пуассона, теплопроводности, ядрами некоторых дифференциальных операторов, а также ядрами, сопряженными к перечисленным ядрам. Оценки достигаются с помощью линейных методов приближения, остаются точными, даже если заменить левую часть на наилучшее приближение, и усиливают классические неравенства типа Ахиезера—Крейна—Фавара. Устанавливаются точные неравенства, в которых правая часть представляет собой линейную комбинацию модулей непрерывности возрастающих порядков. Частными случаями установленных неравенств являются неравенства для приближений периодических функций тригонометрическими многочленами и почти-периодических функций обобщенными тригонометрическими многочленами. Оценки справедливы для широкого класса пространств с полунормой, инвариантной относительно сдвига.
Пусть Ш — замкнутое подпространство пространства ЬР(Ш) (1 ^ р < оо) или пространства UCB(M) (р = оо), Р — полунорма, заданная на Ш1. Если выполняются условия:
1) пространство инвариантно относительно сдвига, т.е. для любых / G ЯЛ и h е R будет /(• + h) G Ш и Р(/(- + К)) = P(f),
2) существует такая постоянная В, что P(f) ^ i?||/||p для всех fern, то будем говорить, что пространство (Ш, Р) принадлежит классу В. Примерами пространств класса Б являются: (UCB(К.), || • ||оо)? (Lp(M),|| • ||р) (1 ^ р < оо), пространства периодических функций (С, || • ||р) (1 ^ р ^ оо), а также более общие пространства равномерно непрерывных почти-периодических функций [66], показатели которых принадлежат фиксированному множеству, с различными нормами (равномерной, Степанова, Вейля, Безиковича).
В § 2 устанавливается несколько лемм, необходимых для дальнейшего. В § 3 описывается построение операторов, реализующих точные константы в неравенствах типа Ахиезера—Крейна—Фавара для приближений классов сверток. В § 4 вводится класс ядер, свертки с которыми изучаются дальше, и доказываются некоторые свойства ядер этого класса. 2 .— 2
Обозначим через СМс(уо) и CMs(yo) (Уо > 0) множества соответственно четных и нечетных функций G из L(IR), преобразование Фурье которых при у ^ уо представляется в виде л+оо /»+оо a(G,y)= e~y2ud${u) или b(G,y) = e~y2ud^(u), J о Jo где Ф и Ф — возрастающие на (0,+оо) функции, такие что интегралы конечны. Положим еще
---2 --- 2 —— 2
СМ (уо) = СМс(у0) U СМ8(уо). Многие классические ядра (Пуассона, теплопроводности, ядра дифференциальных операторов) при— 2 надлежат классам СМ (г/о)
Пусть а > 0. Рассматривается приближение функциями из Ест (Есто) классов сверток с ядром G из СМ (г/о): f = Т + ср * G. (6)
Функция (р принадлежит некоторому пространству, aTGE^ (Е^-о); на функцию ср могут также накладываться условия ортогональности пространству ECTl (cri ^ а или <7\ < а).
Пусть к = 0, если G четно, к — 1, если G нечетно;
• / ^ G((2k+i-*)*\ L,(Giz) = S1" ~ J Е v . , , 7Г к=-оо 2 2еГ
3, с. 199-203] — четная или нечетная функция из П L(Е), интерполирующая функцию G в точках ^ (к G Z);
7) К r,G
2EM^±iM G нечетно, и-О 00 l' i\!/ i E G четно.
Тогда G Ее-. В некоторых случаях можно представить
XCT)G в виде оператора свертки и распространить на более широкие классы функций /, чем задает формула (7). Если Т — постоянная, а ср имеет период 27т, то XCTjg(/) — тригонометрический многочлен степени меньшей, чем а.
Доказываются неравенства типа Ахиезера—Крейна—Фавара
---- 2 для сверток с ядрами классов СМ (уо)- Следующее утверждение содержится в работе в расширенном виде в леммах 1.5 и 1.6.
Лемма 1.5-6. Пусть (Ш1, Р) G В, <р G ЯЛ, Уо > 0, G G См\у0), c(G) G С(2)(М); функции f и (р связаны равенством (6), сг ^ у0. Тогда
P(f-X^G{f))^JCatGP(ip). (8)
В пространствах (СВ(Ж), || • Цоо) и (L(К.), || • J|i) константу Ka,G 6 неравенстве (8) нельзя заменить меньшей, даже если заменить левую часть на Aa(f) р, а в пространствах ^--периодических функций с равномерной и интегральной нормой — даже если заменить левую часть на Аст0(/)р.
Выполнение неравенств леммы основано на том, что для функ
-----2 ций G из СМ (уо) разность G — La(G) меняет знак в точках интерполяции, и только в них. Б.Надь [103; см. 3, п.88] доказал, что для выполнения неравенства типа (8) в случае четной функции G достаточно трехкратной монотонности a(G) (т.е. чтобы a(G) £ и (—1 (G, у) ^ 0 при 0^г^3ит/>сг),ав случае нечетной функции G — двукратной монотонности b(G). Но лемма 1.5-6 не следует из теоремы Надя, так как преобразования Фурье функций из классов
--- 2
СМ (уо) могут не удовлетворять условиям кратной монотонности.
В §5 для функций класса СМ (уо) при любом т £ N получено разложение т — 1
G = Z 5h(Khv) + W(Ghm) + Mhm, v=0 где Mhm £ EУо П L(\R), а функции Khv и Ghm удовлетворяют специальным условиям, обеспечивающим точность последующих оценок. При а ^ уо положим
Uahm(f) = Uahm,g{f) = Т + <р * Mhm + 5% {(р) * La(Ghm),
Ahv = Akv^a и -Bcr/im = Bahm,G — некоторые явно построенные константы (А/^, вообще говоря, не совпадают с Аг,и из формул (4) и (5)). Ясно, что UahrrijG(f) £
В § 6 получены основные результаты главы — неравенства типа Джексона.
Теорема 1.1. Пусть (Ш,Р) £ В, р £ Ш, у0 > 0, G £ СМ2(у0), c(G) £ C(2)(IR)? функции f и <р свлзаны равенством (6); га £ N, 0 < h < а > Уо. Тогда т — 1
P(f ~ uahm(f)) < £ AhvP{8vh{<p)) + BahrnP{5^^)), v=0 m—1 p(f - uahm(f)) и u=Q
Если, сверх того, ядро G нечетно, то т — 1 £ AhvP(6vh(<p)) +BahmP(5Z(v)), и=1
P(f-U„hm(J))<Ahl>^^- + т— 1 52 h)p + Bahmujm((p, h)p.
V=1
При m = 1 из теоремы 1.1 следует неравенство типа Джексона для первого модуля непрерывности.
Следствие 1.3. Пусть (ШТ,Р) G В, <р G Ш, у0 > 0; G G бм1(у0), c(G) £ C(2)(R); функции f и ср связаны равенством (6), 0 < h < а ^ уо. Тогда
P(f - Uahl(f)) < + fUi) «л
В случае равномерной нормы и шага h = а — нечетное натуральное число, неравенство следствия 1.3 точно. Более того,
Ч1Ш Лг-оШоо ll/-^.l(/)l|oo ^.о sup —--——= sup ---—-= —---1-iJo-.-s-.iр£СВ{Щ ^{ip,—) oo ^GCB(M) ^H^^j
Верхние грани не изменятся, если брать их по множеству L00(K.), а также если ограничиться ^-периодическими функциями с нулевым средним (теорема 1.2).
При шаге модуля непрерывности, равном построенные операторы не зависят от га:
Ucr,*,m,G = X<T,G лемма 1.13). Кроме того, для нечетного ядра G замечание 1.12).
Следствие 1.4. Пусть (0Л,Р) Е В, ip Е Ш, у0 > 0; G Е См1(у0), c(G) Е функции f и ip свлзаны равенством (6), а ^ у0.
Тогда р, а/р
При h = ^ правая часть неравенств теоремы 1.1 убывает по га, а левая не зависит от т. Поэтому наилучшая оценка получается в пределе при m —> оо (следствие 1.6).
В §7 общие теоремы предыдущего параграфа применяются к конкретным операторам. Частными случаями следствия 1.4 являются неравенства типа Джексона для производной (2) и (3), неравенства для производной сопряженной функции: г четно, Ха^г — линейный оператор, реализующий точную постоянную в неравенстве типа Ахиезера—Крейна—Фавара для производной сопряженной функции), а также более общие неравенства для дифференциальных операторов, примененных к самой функции или ее сопряженной. Для периодических функций неравенство (9) принимает вид
Результаты главы 1 опубликованы в работах [23, 24].
2. Во второй главе строятся аналоги сумм Ахиезера—Крейна Фавара для периодических сплайнов. К К
Для приближения сплайнами минимального дефекта известны, в частности, следующие точные соотношения типа Ахиезера— Крейна—Фавара. Пусть г 6 N, m 6 m > г - 1, р = 1, оо. Тогда
En rn{f)p /Сг /-| г\\
SUP и/мм = тт- V10)
Обозначим через <7n,m(/) сплайн из <S2n,m, интерполирующий функцию / в точках 2кж+£т (k е Z), где
О, га нечетно, 7Г, га четно.
При га = г — 1 константа в (10) реализуется линейным проектором, а именно, с помощью интерполяционного сплайна:
Соотношения (10) при т = г — 1, р = оо и (11) при р = оо установил В.М.Тихомиров [91]; соотношения (10) в остальных случаях — А. А. Лигун [68]; соотношение (11) при р = 1 — Н. П. Корнейчук [58]. Интерполирование не является единственным линейным методом, реализующим константу при р = оо: известно, что [60, с.221; 59, с.213] ll/-C0(/)-^,r(Jl(/-C0(/)))||oo Кг
Л И/""
Также справедливо равенство -^n,l(/)||oo 7Г sup few, i) ll/'lloo 2n
Перечисленные результаты можно найти в монографиях [59] и [60]; см. также [39, глава 11]. А. А. Лигун [68] доказал существование линейного оператора из С в t>2n,m, реализующего константу в соотношении (10) при т ^ г, р — оо (явный вид этого оператора в [68] отсутствует).
Во второй главе при т ^ г строятся линейные операторы Хп,г,т L —»- <5>2п,т (аналоги сумм Ахиезера—Крейна—Фавара), реализующие константу в соотношении (10).
Построение операторов ХП)Г)ГП основано на той же идее, что и в полиномиальном случае — интерполировании ядра Бернулли. Как известно, метод Ахиезера—Крейна—Фавара ХП)Г на функциях из г)
W{ определяется равенством
Xn,r(f,t) = co(f) + - Г /(r)(w)Cn,r(^ - и) du,
К J-7Г где £П)Г — тригонометрический многочлен из 72п-ъ интерполирующий ядро dr в точках 2kl^£r (к G Z). г)
На функциях из W14 оператор задается формулой
1 />7Г
Xn,r,m(f,t) = Со(/) + - /
J-тг где при каждом U функция £п,г,т(-,Ч) является сплайном ИЗ c>2n,m И удовлетворяет интерполяционным условиям + —, ^J = dr J, kez.
Интегрированием по частям оператор ХП;Г)ГП, как и ХП)Г, распространяется на все пространство L.
В § 2 исследуется разрешимость интерполяционной задачи, находится явный вид функции £nfr,m (в терминах коэффициентов разложения по функциям Бернулли и коэффициентов Фурье) и устанавливаются некоторые ее свойства. Важнейшим из них является то, что разность £,n,r,m(ti и) —dr(t — и) меняет знак в точках интерполяции, и только в них (с небольшими оговорками о возможности тождественного обращения в нуль на некоторых промежутках).
Кроме того, оказывается, что значения построенных операторов принадлежит (2п — 1)-мерному подпространству S*n т пространства <$2п,т- Это замечание позволяет при приближении функций классов Wp^ сплайнами ограничиться пространствами сплайнов размерности на единицу меньше, чем было привычно, и показывает, что с точки зрения размерности приближающего пространства пространства сплайнов ничуть не хуже пространства полиномов.
В § 3 устанавливаются неравенства типа Ахиезера—Крейна—
Фавара для отклонений операторов ХПуГ)ГП. г)
Теорема 2.1. Пусть n,r, m £ т ^ г, 1 ^ р ^ оо, / £ Wp . Тогда f-Xn,r,m(f)\\p<^\\fV\\p. (12) Ь
При р — 1,оо неравенство точное, т.е. ~ Xn^m(f)\\op ||/ - Xn^m(f) ||i Kr ll/МЦоо |l/Wl|l
Далее с помощью операторов Хп?Г;Гтг устанавливаются результаты для наилучших приближений (следствие 2.3):
К,
En,m{f)p ^ "-E'n,?™—г(/ )р, (1^)
ТЬ
ЕХ (Г\ ,f(r)\ n,m w / Р ^ f ti^ttt—r V jpi I ь точные при р — 1,оо — наилучшее приближение пространством S}nrn).
Соотношения (13) при р = 1,оо вместе с утверждением об их точности ранее были получены Н. П. Корнейчуком (см. [60, с.246; 59, с. 144]) с помощью теорем двойственности.
В § 4 исследуется поведение операторов ХП)Г)ГП при т —> оо (теорема 2.2). Доказывается, что lim -X"n,r,ra — Xn,r, т—¥оо например, по норме операторов из L в С и, следовательно, равномерно lim Xnr7n(f)=Xnr(f), оо так что, например, равенство (1) может быть получено из (12) предельным переходом. Родственные результаты, связывающие приближение сплайнами растущего порядка и тригонометрическими полиномами, содержатся в работе B.JI. Великина [14].
Результаты главы 2 содержатся в статье [22].
3. В главе 3 разрабатывается общая схема построения линейных методов приближения периодических функций, допускающих оценки через линейные комбинации модулей непрерывности производных, и эта схема применяется к приближению сплайнами.
При доказательстве неравенства (2) использовались неравенства (1) и формула Эйлера—Маклорена; при доказательстве неравенств (4) и (5) формула Эйлера—Маклорена итерировалась. С помощью этой конструкции В. В. Жук [42, 44, 45] оценивал не только отклонение линейных методов приближения, но и функционалы общего вида, для которых справедливы неравенства типа (1). Известные ранее результаты типа (4) и (5) нашли отражение в книге [46, главы 4 и 8] и статьях [42-45].
В § 2 описываются применявшиеся ранее В. В. Жуком итерации формулы Эйлера—Маклорена, в § 3 на их основе строятся линейные операторы общего вида, отклонение которых допускает оценки типа (4) и (5). В §4 общая схема применяется к сплайновым операторам ХП?Г)А<, построенным в главе 2. На этом пути получаются неравенства типа Джексона для приближений сплайнами. Положим h)p = 2-1<Ш||р, С(<Р, h)P = h)v
Следствие 3.12. Пусть n, г, /л G N, /i > r + 1, 1 < p < oo, / e . Тогда ц — r—l f - Xn,„M)h < НУ E +
4 г/=0
Если, кроме того, г нечетно, то
II/ - <
Следствие 3.10. Пусть п,г,/л £ N, г нечетно, // ^ г + 1, причем при р = 1, оо константа не может быть заменена меньшей, даже если заменить левую часть на En^(f)p.
При р = оо неравенство содержится в [60, с.280], где доказано другим способом. В этом случае, однако, оно верно при всех г £ Z+ вне зависимости от четности.
Следствие 3.10 усиливает неравенства (12), аналогично полиномиальному случаю.
В случае равномерной нормы устанавливаются также точные неравенства для шага модуля непрерывности, равного а — нечетное натуральное число (следствие 3.13). Точные неравенства, аналогичные следствиям 3.12 и 3.10, доказываются и для /г = г, но с другими операторами вместо ХП)Г)/х, действующими в Sm.r (а не ).
Другая модификация общей схемы позволяет построить операторы Vn,h,ii со значениями в S2n,/u (<$2п,/и ПРИ ^ 2) и получить для их отклонений неравенства типа Джексона со вторым модулем непрерывности.
Следствие 3.20. Пусть n, \± £ N; 1 ^ р ^ оо; / £ Lp. Тогда
1 < р < оо, / £ W^П. Тогда г)
Это следствие обобщает оценки отклонений полиномиальных методов приближения через второй модуль непрерывности, рассматривающиеся в следующей главе. В свою очередь, эти оценки для полиномиальных методов (в метриках Lp) могут быть получены из следствия 3.20 предельным переходом.
Результаты главы 3 получены автором совместно с В. В. Жуком и опубликованы в статьях [29-31].
4. В четвертой главе доказывается точное неравенство типа Джексона для сумм Рогозинского и второго модуля непрерывности.
Пусть — замкнутое подпространство пространства С, Р — полунорма, заданная на Ш. Если выполняются условия:
1) пространство инвариантно относительно сдвига, т.е. для любых / G Ш и h е R будет /(• + К) <Е Ш и Р(/(- + h)) = Р(/),
2) существует такая постоянная В, что P(f) ^ Для всех fern, то будем говорить, что пространство (9Jt, Р) принадлежит классу А. Величину пт м PU-UU))
D{U,h)P = sup 4 , fem j,ri)p где U : 9Л —> Ш1, h > 0, принято называть точной постоянной в неравенстве
P(f-U(f))^Muj2(f,h)P.
Если Un: Ш —» 72n-i П 9Л, 7 > 0, то может ставиться вопрос о нахождении в неравенстве
P{f-Un(f))^Mu2([f,1—) J~L / константы, точной для всех п в совокупности, т.е. величины sup D {jJn^ р- Ранее автором [15, 16] были получены константы nGN
D(Un, К) для некоторых положительных операторов Un (как обычно, отсутствие индекса Р означает равномерную норму). Что касается нахождения констант, точных для всех п в совокупности, то известен лишь единственный такой результат. В 1974 году В. В. Жук [41] получил неравенство
II/<*(/.£) (14)
Кг — некоторый линейный оператор из С в T^n-i)- Позже В. В. Шалаев [98] обнаружил, что константа 1 является точной для всех п в совокупности не только в неравенстве (14), но и в неравенстве а именно:
EnU) II/"Кг (ЛИ , sup sup —- = sup sup- ^ = 1. n6N пеп fee
Таким образом, точная константа 1 в неравенстве (15) реализуется последовательностью линейных операторов {Кг}
В той же работе [41] В. В. Жук получил неравенство для отклонений сумм Рогозинского и/-я»(/)и<! <■*(/.£) (is) и впоследствии перенес оценки на случай произвольного пространства (ЯЯ, Р). (Упомянутые результаты содержатся также в монографии [46].) Положим
Dn = D тгп, - = sup--.
V nJ f€c (/,-)
Очевидно, что D\ = 1/2. В главе 4 показано, что константа 5/8 не является точной в неравенстве (16). В §2 найдено значение D2.
Теорема 4.1. Пусть (Ш,Р) е A, f С2 = | ~ i ~ •
Тогда
P(f-Mf))^C2u2 (/, В пространстве С неравенство точное, т.е. D2 — С2.
В §§ 3-5 доказывается основной результат — теорема 4.3. Теорема 4.3. Пусть (Ж, Р) G Л, / G Ш, п G N, тл 3 1 о- о-зл 1 1 r/2 f1
Тогда справедливы соотношения:
P(f-Kn(f))<Du2(f,^)p, (17) sup£>n = lim Dn - £>. nGN n-foo
Таким образом, константа D является точной для всех п в совокупности в неравенстве (17) для равномерной нормы. Отметим, что = 0.б25, £>2 = 0,559., £> = 0,581. 8
Для доказательства точных неравенств этой главы использовались специально найденные представления отклонения сумм Рогозин-ского в виде линейной комбинации интегралов, содержащих вторые разности функции с шагом, не превосходящим шага модуля непрерывности.
Результаты главы 4 содержатся в работах [17, 18].
5. В пятой главе доказывается точное неравенство типа Джексона для первого модуля непрерывности и приближения линейными положительными операторами.
Пусть С+ — множество линейных положительных операторов U : С —У 72п-1 (т-е- таких, что U(f) ^ 0 для всех / ^ 0), (<р,ф) = Jq1 (pij) — скалярное произведение функций из вещественного пространства I/2[0,1], § = 6 -^[0,1] : fj (р2 = 1 j- — единичная сфера пространства £^[0,1].
При h > 0, U : С —У С полагаем fee u>i (/,Л)
Величины А(£/, /г) называют точными постоянными в неравенствах
Известно, что (см., например, [106]) если оператор U имеет вид
U{f,x) = - Г f(x + t)K(t)dt, (18)
К J-7T где ядро К > 0, четно, \ f* К = 1, то
K{t) dt.
Если п G N, Un : С —>• l^n-i, 7 > 0, то представляет интерес изучение величин
Лп(7) = inf Л(С/П, —), Л(7) = sup Лте(7) ипес+ v п J пем и методов приближения, реализующих инфимум. Исследованием точных постоянных в неравенствах типа Джексона для приближения различными положительными операторами занимались многие математики. Так, в [106] найдено, что sup Л (Un, = |, где Un — операторы Джексона. В [35] вычислено, что sup Л (Un, -) ^ 1, 3424 для операторов Коровкина, а в [49] — для операторов Бомана—Коровкина.
В [70] построена последовательность положительных операторов Un, для которой sup Л (Un, ^ 1,33701.
Из точных неравенств, касающихся приближения линейными операторами, не являющимися положительными, отметим результаты С.Б.Стечкина [86] для отклонения метода Ахиезера—Крейна— Фавара и В. Т. Гаврилюк [32, 33] для отклонения метода Рогозинско-го.
Доказывается, что при нахождении величин Ап(7) инфимум можно брать по множеству Л^ операторов Un вида (18) с ядром
71 — 1
Kn(t) = рк cos kt ^ 0, ро — 1. к= 0 лемма 5.1).
Используя теорему Фейера—Ф.Рисса (см., например, [79, с.92]) об общем виде неотрицательного тригонометрического многочлена,
А. Н. Давидчик [36] установил, что inf равен минимуму un€a+ квадратичной формы
А^х,х) = -1 (1 +
J о nt
7Г
71 — 1 к=О хке ikt dt на единичной сфере Sn 1 пространства Мп. В свою очередь, этот минимум равен наименьшему собственному числу матрицы и достигается на соответствующем собственном векторе. Затем, подсчитав Л„(1) при п ^ 50, А. И. Давидчик получил оценку А(1) ^ 1, 30.
Аналогичная теорема (вместе с очевидным доказательством) справедлива и для произвольного у > 0.
Теорема 5.1. Пусть п Е N, 7 > 0. Тогда величина Хп(у) равна минимуму квадратичной формы 2 nt
77Г n-1 к= О dt ua§n1, т.е. наименьшему собственному числу матрицы A^. Оператор JJn, реализующий инфимум, задается формулой 2
UM,r) = ±[j(T + t) n-1 Е к=О n) ikt хк е dt, где х^ — = (x^)1=q — единичный собственный вектор матрицы отвечающий собственному числу
Основным результатом главы является то, что при 7 Е (0,1] величина Л(7) равна инфимуму на § квадратичного функционала
Ву<р,<р) = -[ (1 +
7Г t '
77Г ) ip(x)eltx dx dt конечного, правда, не на всем ^[0,1]). Положим
Ку) = inf {В^ч>).
Теорема 5.2. При всех 7 > 0 будет Л(7) ^ ц{у)> а пРи У ^ (0) 1] справедливо равенство Л(7) = //(7).
Похожий результат верен и для приближений целыми функциями конечной степени (теорема 5.3).
В § 3 исследуется функционал (Ву<р, р) и, конкретно, спектральные свойства оператора В7. Похожие задачи минимизации квадратичного функционала возникали при исследовании приближения положительными операторами функций классов Зигмунда [7, 8, 6]; собственно задачи минимизации решал X. М. Коган [53-56].
В качестве области определения оператора Ву удобно выбрать плотное в L2[0,1] множество L^ (у/х(1 — х); 0,1) абсолютно непрерывных на [0,1] функций ср, таких что р(0) = (р{ 1) = 0 и [ у/х{1 - x)ip'2(x) dx < 00.
Jo
Теорема 5.4. Спектр оператора Ву дискретный. Оператор В7 имеет единственную положительную на (0,1) собственную функцию (р-у 6 L^ — х); 0, l) П причем сру( 1 — ж) = ^(х).
Соответствующее ей собственное число — положительное, простое и наименьшее. При этом
Л(7) = о min (Ву(р,<р) = (B-fipy,^).
4>£L (л/£с(1-ж);0,1)п§
Величины Л(7) могут быть подсчитаны с любой степенью точности каким-либо из стандартных методов вычисления собственных чисел интегральных операторов. Метод Ритца дает для Л(7) оценку сверху; для оценки снизу можно использовать значения \n{l)- Подсчет показывает, что А(1) = 1,312.
Результаты главы 5 содержатся в работах [19, 20].
6. В последней, шестой, главе устанавливаются точные неравенства для производных и разностей целых функций конечной степени.
Классические неравенства для целых функций конечной степени (см., например, [90, с.222-223, 228-232, 266; 3, с.182-193, 332-334; 46, с.114-115; 61, глава 3]): ll/WN "1/11, (19) г)|К (dbfIK(/)l1, 0<h<2i' (20)
0<u<h<2JL (21) sinr ^ ^ sin' f' а ' (ZL> и, в частности, для тригонометрических многочленов играют важную роль в теории аппроксимации. Здесь г £ N, сг>0,/еВ(Т. Неравенство типа (19) впервые было установлено С. Н. Бернштейном сначала для тригонометрических многочленов (см. [10, с.25-26 и примечание на с.527]), затем — для целых функций конечной степени см. [11, с.269-270 и примечание на с.539]), типа (20) (для тригонометрических многочленов) — М. Риссом [105, с.365], типа (21) — Р. Боасом [99]. В связи с неравенствами типа (20) укажем также на важные работы [13, 76, 85].
Неравенство (20) было усилено в работе В.Г.Доронина [38], где при h G (0, установлено, что г ( (nh/2 У -1 \
11/(г)11р< (у (ш/)11р+ 4st2 ^ (22> для / G 72n-i в пространстве Lp (1 ^ р < оо), и отмечено, что в пространстве С аналогичный результат был ранее получен В. Ф. Ба-бенко и А. А. Лигуном. При 0 < h < ^ неравенство (22) усиливает неравенство (20).
В данной главе неравенства типа (19)—(22) значительно усиливаются в следующих направлениях. Рассматривается широкий класс разложений, примером которых могут служить формулы численного дифференцирования вида
1 оо и=0
3^ — 1), и даются точные на классах целых функций конечной степени оценки погрешностей этих формул — в данном случае m 1/=0 через первый отброшенный член разложения. В формуле (23) коп(г) эффициенты определяются разложением
1п(г/2 + ^/1 + z*/4) V z/2 )
Примером может служить следующая теорема (сформулированная в частном случае пространства Вст).
Теорема 6.2. Пусть т + 1 G г G N, а > 0; / G Ва; О < /г < —. Тогда ст
-iE^Cwj <
2 sin fr2"+2 ( Л
При таком подходе оказывается, что неравенства (20) и (22) являются начальными случаями этих оценок, соответственно, при тп = —1 и тп = 0 (следствие 6.3). В рассматриваемый класс разложений попадают, в частности, формулы Стирлинга и Бесселя численного дифференцирования (теоремы 6.2 и 6.3), формула Эйлера—Маклорена (теорема 6.6) и разложение разности с меньшим шагом по разностям с большим шагом (теорема 6.4). Начальным случаем оценки погрешности последней формулы является неравенство (21) (следствие 6.7). Все неравенства верны для широкого класса пространств с полунормой; в частности, для пространств (Вст, || • ||), (Во-П.Lp(IR), || • ||р), пространств тригонометрических многочленов. В перечисленных пространствах неравенства точны. В пространстве (Вст, || • ||) они обращаются в равенство на функциях вида /* (х) = а егсгх + Ье~г<тх.
§ 2 содержит несколько вспомогательных утверждений, связанных с абсолютно монотонными функциями. В § 3 излагается общая схема получения точных неравенств для целых функций конечной степени. В §4 получены основные результаты — точные оценки погрешностей формул типа численного дифференцирования. В § 5 устанавливаются точные неравенства для отклонений функций Сте-клова. Эти неравенства носят более тонкий характер, так как выполняются не все условия общих теорем.
Основные результаты главы 6 опубликованы в статье [25]; неравенства для тригонометрических многочленов ранее были получены в работе [28] и вошли в учебное пособие [21].
1. Ахиезер Н. И. О наилучшем приближении одного класса непрерывных периодических функций // Доклады АН СССР. 1937. Т.17, № 9. С.451-453.
2. Ахиезер Н. И. О наилучшем приближении аналитических функций // Доклады АН СССР. 1938. Т.18, № 4-5. С.241-244.
3. Ахиезер Н. И. Лекции по теории аппроксимации. М: Наука, 1965.
4. Ахиезер Н. И., КреЙН М. Г. О наилучшем приближении тригонометрическими суммами дифференцируемых периодических функций // Доклады АН СССР. 1937. Т.15, № 3. С.107-112.
5. Бабенко В. Ф., Громов А. Ю. Точные оценки приближения целыми функциями классов дифференцируемых функций //В сб.: Исследования по современным проблемам суммирования и приближения функций и их приложениям. Днепропетровск, 1977. Вып.8. С.3-6.
6. Баскаков В. А. О порядке приближения дифференцируемых функций некоторыми линейными положительными операторами // Математический сборник. 1968. Т.76 (118), № 3. С.344-361.
7. БАУСОВ Л. И. Порядок приближения функций класса Za линейными положительными полиномиальными операторами // Успехи математических наук. 1962. Т.17, вып.1 (103). С.149-155.
8. БАУСОВ Л. И. О порядке приближения функций класса линейными положительными операторами // Математические заметки. 1968. Т.4, № 2. С.201-210.
9. БеЙТМБН Г., ЭрдеЙИ А. Таблицы интегральных преобразований. Т.1. Преобразования Фурье, Лапласа, Меллина. М.: Наука, 1969.
10. БерыштеЙН С. Н. О наилучшем приближении непрерывных функций посредством многочленов данной степени. Собрание сочинений в 4-х т. Т.1. Изд. АН СССР, 1952. С.11-104.
11. БерыштеЙН С. Н. Об одном свойстве целых функций. Собрание сочинений в 4-х т. Т.1. Изд. АН СССР, 1952. С.269-270.12. берыштейн С. Н. Абсолютно монотонные функции. Собрание сочинений в 4-х т. Т.1. Изд. АН СССР, 1952. С.370-425.
12. БЕРЫШТЕЙН С. Н. Распространение неравенства С.Б.Стеч-кина на целые функции конечной степени // Доклады АН СССР. 1948. Т.60, № 9. С.1487-1490.
13. ВЕЛИКИН В. JI. О предельной связи между приближениями периодических функций сплайнами и тригонометрическими полиномами // Доклады АН СССР. 1981. Т.258, № 3. С.525-529.
14. Виноградов О. JI. Некоторые точные неравенства для второго модуля непрерывности периодических функций и функций, продолженных с отрезка // Записки научных семинаров ПОМИ. 1996. Т.232. С.33-49.
15. Виноградов О. JI. Некоторые неравенства с точными постоянными для второго модуля непрерывности // Доклады АН России. 1997. Т.355, № 1. С. 18-20.
16. Виноградов О. JI. Точное неравенство для отклонения сумм Рогозинского и второго модуля непрерывности в пространстве непрерывных периодических функций // Записки научных семинаров ПОМИ. 1997. Т.247. С.26-45.
17. Виноградов О. JI. Точная оценка отклонения сумм Рогозинского через второй модуль непрерывности в пространстве непрерывных периодических функций // Доклады АН России. 1998. Т.361, № 3. С.300-302.
18. ВИНОГРАДОВ О. JI. Точная постоянная в неравенстве типа Джексона для приближения линейными положительными операторами // Записки научных семинаров ПОМИ. 1998. Т.255. С.36-53.
19. ВИНОГРАДОВ О. JI. О квадратичном функционале из задачи о точной постоянной в неравенстве Джексона для приближения линейными положительными операторами // Вестник Санкт-Петербургского университета. Сер.1. 1998. Вып.З (JY2 15). С.6-11.
20. Виноградов О. JI. Неравенства для производных тригонометрических многочленов. СПб.: Изд. НИИХ СПбГУ, 2002.
21. ВИНОГРАДОВ О. JI. Аналог сумм Ахиезера—Крейна—Фавара для периодических сплайнов минимального дефекта // Проблемы математического анализа. 2003. Вып.25. С.29-56.
22. Виноградов О. JI. Точные оценки погрешностей формул типа численного дифференцирования на классах целых функций конечной степени // Сибирский математический журнал. 2007. Т.48, № 3. С.538-555.
23. Виноградов О. JL, жук В. В. Точные неравенства, связанные с оценками приближений периодических функций посредством модулей непрерывности их нечетных производных с различным шагом // Проблемы математического анализа. 1999. Вып.19. С.69-88.
24. Виноградов O.JL, Жук В. В. Точные неравенства типа Джексона для сплайновых аналогов операторов Ахиезера— Крейна—Фавара // Доклады АН России. 2003. Т.393, № 2. С.151-154.
25. Давидчик А. Н. Приближение непрерывных функций линейными положительными операторами // В сб.: Исследования по современным проблемам суммирования и приближения функций и их приложениям. Днепропетровск, 1975. Вып.6. С.48-51.
26. Давидчик А.Н. Приближение периодических функций линейными положительными операторами //В сб.: Исследования по современным проблемам суммирования и приближения функций и их приложениям. Днепропетровск, 1982. С. 187-193.
27. Дзядык В. К. О наилучшем приближении на классах периодических функций, определяемых интегралами от линейной комбинации абсолютно монотонных ядер // Математические заметки. 1974. Т.16, № 5. С.691-701.
28. ДОРОНИН В. Г. Некоторые неравенства для тригонометрических полиномов J J Международная конференция "Теория приближений и гармонический анализ". Тезисы докладов. Тула, 1998. С.96-97.
29. ЖЕНСЫКБАЕВ А. А. Проблемы восстановления операторов. Москва—Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003.
30. Жук В. В. О некоторых точных неравенствах между наилучшими приближениями и модулями непрерывности // Сибирский математический журнал. 1971. Т.12, № 6. С.1283-1297.
31. Жук В. В. О некоторых точных неравенствах между наилучшими приближениями и модулями непрерывности // Вестник Ленинградского университета, сер. мат., мех., астр. 1974. № 1. С.21-26.
32. Жук В. В. О некоторых точных неравенствах между функционалами, заданными на множествах периодических функций, и модулями непрерывности ]/ Вестник Ленинградского университета. 1975. Вып.2 (№ 7). С.29-34.
33. Жук В. В. К вопросу о постоянных в прямых теоремах теории аппроксимации для дифференцируемых функций // Вестник Ленинградского университета. 1976. Вып.4 (№ 19). С.51-57.
34. Жук В. В. Некоторые точные неравенства между наилучшими приближениями и модулями непрерывности высших порядков // Математические заметки. 1977. Т.21, вып.2. С.281-288.
35. Жук В. В. Некоторые точные оценки для полунорм, заданных на пространствах периодических функций // Математические заметки. 1977. Т.21, вып.6. С.789-798.
36. Жук В. В. Аппроксимация периодических функций. Л.: Изд. Ленинградского университета, 1982.
37. Жук В. В., Кузютин В. Ф. Аппроксимация функций и численное интегрирование. СПб.: Изд. Санкт-Петербургского университета, 1995.
38. Жук В. В., Натансон Г. И. О приближении дифференцируемых периодических функций линейными методами // Вестник Ленинградского университета. 1977. Вып.4 (№ 19). С.16-21.
39. Жук В. В., Натансон Г. И. К вопросу приближения функций посредством положительных операторов // Ученые записки Тартуского гос. ун-та. Труды по математике и механике. Функциональный анализ и приложения. Тарту, 1977. Т. 19, вып.430. С.58-69.
40. КОГАН X. М. О порядке приближения функций класса Za линейными положительными полиномиальными операторами // В сб.: Исследования по современным проблемам конструктивной теории функций. Баку, 1965. С. 157-162.
41. Коган X. М. Об одном сингулярном интегро-дифференциалъ-ном уравнении // Дифференциальные уравнения. 1967. Т.З, № 2. С.278-293.
42. Коган X. М. Расчет точных двусторонних оценок первого собственного значения сингулярного интегро-дифференциального оператора //В сб.: Вопросы точности и эффективности вычислительных алгоритмов (труды симпозиума). Киев, 1969. Вып.З. С.86-97.
43. Корнейчук Н. П. Точная константа в теореме Джексона о наилучшем равномерном приближении непрерывных периодических функций // Доклады АН СССР. 1962. Т.145, № 3. С.514-515.
44. KORNEICUK N. P. Exact error bound of approximation by interpolating splines on L -metric on the classes (1 ^ p < со) of periodic functions // Analysis Mathematica. 1977. Vol.3, № 2. P. 109-117.
45. Корнейчук H. П. Сплайны в теории приближения. М.: Наука, 1984.
46. Корнейчук Н. П. Точные константы в теории приближения. М.: Наука, 1987.
47. Корнейчук Н. П., Бабенко В. Ф., Лигун А. А. Экстремальные свойства полиномов и сплайнов. Киев: Наукова думка, 1992.
48. КреЙН М. Г. К теории наилучшего приближения периодических функций // Доклады АН СССР. 1938. Т.18, № 4-5. С.245
49. Крылов В. И. Приближенное вычисление интегралов. М.: Физматгиз, 1959.66. левитан Б.М. Почти-периодические функции. М.: ГИТТЛ, 1953.
50. СТЕЧКИН С. Б. О приближении непрерывных периодических функций суммами Фавара // Труды математического института АН СССР. 1971. Т. 109. С.26-34.
51. Харди Г. Расходящиеся ряды. М.: Изд. иностранной литературы, 1951.
52. Харди Г. Г., Литтльвуд Д. Е., Полна Г. Неравенства. М.: Гос. изд. иностранной литературы, 1948.
53. Харди Г. X., Рогозинский В. В. Ряды Фурье. М.: Физматгиз, 1962.
54. Xboctehko Е. С. Об одном аналоге теоремы А.А.Маркова для дробно рациональных ядер М. Г. Крейна //В сб.: Исследования по современным проблемам суммирования и приближения функций и их приложениям. Днепропетровск, 1976. Вып.7. С.57-63.
55. ClVlN P. Inequalities for trigonometric integrals // Duke Math. Journal. 1941. Vol.8. P.656-665.
56. Favard J. Sur les meilleurs procedes d'approximation de certaines classes des fonctions par des polynomes trigonometriques // Bull, de Sci. Math. 1937. Vol.61. P.209-224, 243-256.
57. Nagy B. IJber gewisse Extremalfragen bei transformierten trigo-nometrischen Entwicklungen. I. Periodischer Fall // Berichte tiber die Verhandlungen der Sachsischen Akademie der Wissenschaften zu Leipzig. 1938. Bd.90. P. 103-134.
58. Wang Xing-HUA. The exact constant of approximation of continuous functions by the Jackson singular integral // Chinese Math. 1964. Vol.5, № 2. P.254-260.
59. WlDDER D. V. The Laplace transform. Princeton, 1946.
