Неравенства Джексона в пространствах Lp, 1≤p≤2, с весом тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

4859496

На правах рукописи

ЧЕРТОВА Дарья Вячеславовна

НЕРАВЕНСТВА ДЖЕКСОНА В ПРОСТРАНСТВАХ Ьр, 1 < р < 2, С ВЕСОМ

01.01.01 — вещественный, комплексный и функциональный анализ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 О НОЯ 2011

Тула — 2011

4859496

Работа выполнена на кафедре прикладной математики и информатики в ФГБОУ ВПО «Тульский государственный университет».

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Иванов Валерий Иванович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

Бабенко Александр Григорьевич

кандидат физико-математических наук Рождественский Алексей Валерьевич

Ведущая организация: Петрозаводский государственный

университет

Защита состоится 8 декабря 2011 г. в 10.00 часов на заседании диссертационного совета Д 004.006.02 при Институте математики и механики УрО РАН (620990, г. Екатеринбург, ул. С. Ковалевской, 16).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИМИ УрО РАН.

Автореферат разослан 3 ноября 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 004.006.02 кандидат физико-математических наук

Н. Ю. Антонов

Общая характеристика работы

Диссертация посвящена решению экстремальных задач теории приближений — доказательству точных неравенств Джексона в пространствах Lp, 1 < р < 2, на прямой R со степенным весом и торе Т с периодическим весом Якоби.

Актуальность темы. Задача о точных константах в неравенствах Джексона между величиной наилучшего приближения и модулем непрерывности функции в пространствах Lp, 1 < р < оо, является важной и трудной экстремальной задачей теории приближений. Первое точное неравенство Джексона было доказало Н.И. Черных в 1967 году в пространстве L2{Т). Он же в 1992 году доказал и первые точные неравенства Джексона в пространствах LP(T), 1 < р < < 2. Точные неравенства Джексона в пространствах Lp, р > 2, отсутствуют.

В настоящее время точные неравенства Джексона в пространствах Lp, 1 < р < 2, доказаны для тора Td (Н.И. Черных, В.А. Юдин, В.И. Иванов, В.Ю. Попов), евклидова пространства Rd (И.И. Ибрагимов и Ф.Г. Насибов, В.Ю. Попов, O.JI. Виноградов, А.Г. Бабенко, А.В. Московский), евклидовой сферы Sd_1 (В.В. Арестов и В.Ю. Попов, В.Ю. Попов, А.Г. Бабенко, Д.В. Горбачев), гиперболоида Hd (В.Ю. Попов, Д.В. Горбачев и М.С. Пискорж, р = 2), проективных пространств (А.Г. Бабенко, р = 2).

В пространстве ¿2 большой цикл работ был посвящен доказательству точных неравенств Джексона с к- м и обобщенными модулями непрерывности. Отметим работы Н.И. Черных, А.Г. Бабенко, А.И. Козко и А.В. Рождественского, С.Н. Васильева, B.C. Балаганского.

В пространствах Lp, 1 < р < 2, трудным является как получение оценки сверху (необходимо учесть строгую выпуклость пространств), так и доказательство ее точности (экстремальные последовательности функций принимают всего два значения ±1). Нижние оценки в пространствах Lp, 1 < р < 2, получены в работах В.И. Бердышева, В.И. Иванова, Д.В. Горбачева, А.В. Московского. Дополнительные трудности в получении нижних оценок появляются, если на многообразии нет группового сдвига.

Следующим этапом в развитии этой тематики может стать доказательство точных неравенств Джексона в пространствах Lp на многообразиях с весом. К неравенствам Джексона в пространствах Lp на полупериоде или полупрямой с весом мы уже приходим, рассматривая известные неравенства Джексона на подпространствах

зональных сферических функций. При этом получаются неравенства Джексона в пространствах Ьр с весом только для четных функций. Так неравенства Джексона на евклидовом пространстве и евклидовой сфере приводят к неравенствам Джексона на прямой со степенным весом и торе с периодическим весом Якоби для четных функций (А.В. Московский, Д.В. Горбачев). Возникает необходимость распространить их на все функции, а также обосновать их точность.

Цель работы. Основной целью диссертации является доказательство точных неравенств Джексона в пространствах Ьр, 1 < р < 2, на прямой К со степенным весом и торе Т с периодическим весом Якоби.

Методы исследования. Применяются методы теории функций, теории приближений, функционального анализа, гармонического анализа в пространствах с весом, теории вероятностей, теории матриц.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1. Доказаны неравенства Джексона для наилучших приближений целыми функциями экспоненциального типа в пространствах ЬР1\(Ш), 1 < V < 2, с весом |а;]2Л+1, А > -1/2. Их точность установлена при р = 2 и А > О, <р < 2.

2. Доказаны точные неравенства Джексона для наилучших приближений тригонометрическими полиномами в пространствах 1^(1), 1 < р < 2, с весом | зта;|2а+1, а > -1/2.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты и разработанные методы могут быть использованы при доказательстве точных неравенств Джексона в других пространствах с весом.

•Апробация работы. Результаты работы докладывались на Международной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики» в г. Туле (2006, 2008, 2011), VIII Казанской летней научной школе-конференции «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы» в г. Казани (2007), Международной летней математической школе С.Б. Стечкина по теории функций в г. Алексине (2007), научном семинаре д.ф.-м.н., профессора В.И. Иванова в ТулГУ (2006-2009, 2011).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 4 статьях [1, 3, 4, 5] в журнале, входящем в перечень ВАК РФ.

В работе [1] В.И. Иванову принадлежит общая схема доказательства нижней оценки, а автору — ее реализация.

Тезисы докладов на конференциях опубликованы в [2, 6, 7, 8, 9].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы. Главы разбиты на 9 параграфов. Объем диссертации - 117 страниц. Список литературы содержит 66 наименований.

Краткое содержание диссертации

Во введении дается краткая история вопроса, приводятся постановки задач и основные результаты.

Первая глава содержит 5 параграфов и посвящена доказательству неравенств Джексона для наилучших приближений целыми функциями экспоненциального типа в пространствах LPi\(R), 1 < < р < 2, на прямой R со степенным весом |х|2Л+1, А > —1/2.

В §1 излагаются элементы гармонического анализа на прямой со степенным весом. 2Л+1

Пусть Л > -1/2, иЛ(х) = 2Д*г(л+1) - степенной вес на прямой R, dfi\(x) = v\{x)dx, 1 < р < оо, LPia(R) - пространство комплексных измеримых по Лебегу на R функций / с конечной нормой ||/||р,а =

= Q" \f(x)\pd/ix(x)^ , Cb(R) - пространство непрерывных ограниченных функций.

Пусть J\ (х) — функция Бесселя первого рода порядка A, j\ (х) = = 2аГ(А+1) — нормированная функция Бесселя, q\ — наименьший положительный нуль J\.

В пространстве L2,a(®)> А > -1/2 гармонический анализ осуществляется с помощью оператора и преобразования Данкля. Дифференциально-разностный оператор Данкля имеет вид

Ра/(«) = /Ч*) + ( X + l/2)fix)'J{~X).

Обобщенные экспоненциальные функции е\(ух) = j\{yx) - ijx(yx) являются его собственными функциями: D\e\(yx) — iye\(yx). Для них выполняются неравенства

|елОг)К1, |ja(X)K1, \Зх(Х)\<1.

Разложение функций из ¿2,а№ осуществляется с помощью прямого и обратного преобразований Данкля

1(У) = J f(x)ex(-yx)dnx(x), f(x) = J f(y)e\ (yx)dfi\ (y). ж ®

Равенства понимаются в смысле сходимости частичных интегралов по норме пространства 1/2,а(®0- При этом справедливо равенство

Парсеваля И/Иг,а = ||/||2,А-

Через Ер х, а > 0 обозначим множество функций / g LPt\(M), являющихся сужениями на Ж целых в С функций f{z) экспоненциального типа сг, для которых выполняется оценка |/(z)| < c/ealzL Известен следующий вариант теоремы Пэли — Винера. Функция / g € Ер х, 1 < р < 2, тогда и только тогда, когда / € LPi\(R) f) Сь(Ж) и

носитель supp/ С [—<т, сг].

Величину наилучшего приближения функции / G LPt\(R) целыми функциями экспоненциального типа определим равенством

ER(f)P,x = inf{]|/ - 9\\р,х ■ 9 е Е*х}.

Следующая лемма дает «действительное» разложение функций из Ь2,л(М). Она доказывается не опираясь на теорию Данкля. Лемма 1.1. Если А > -1/2, / g L2,a(M), mo

F(f)(y) = J f{x) (jx(xy) - j'x(xy)) dnx(x) g L2ta(R) u r

f(x) = J F(f)(y)(jx(xy) - j'x(xy))dfix(y). R

При этом выполняется равенство Парсеваля ||/||2,а = Ц-РХЛЦг.А-

В §2 определяются и изучаются операторы обобщенного сдвига и модули непрерывности в пространствах LPt\(R).

В пространстве Ь2,х(Щ оператор обобщенного сдвига определен М. Рёслер равенством

т'/Ог) = J ex(ty)f(y)ex(xy)d^(y), t g R. r

Она же нашла его интегральное представление, позволившее распространить оператор обобщенного сдвига на все пространства Ьр,\(Ж).

Оператор т* не является положительным и он не удобен для работы, если р ф 2. Поэтому в пространстве L2,a(jK.) определяется другой (положительный) оператор обобщенного сдвига

T'fix) = J (ty)f(y)e\(xy)d(X\(у), t g R.

r

Опираясь на теорему сложения для нормированных функций Бесселя, выводим его интегральное представление

ж

Т*№ = У(А){1 + В) + Д-Л)( 1 - Б)}зт2Л^,

где

v —1—, А = sjx2 +12 - 2xt cos (p, B=-

CA

V5rT(A +1/2)

Так как |B| < 1, то оператор Ть — положительный, может быть распространен на все LPi\(R) и для него при интегрировании как по переменной х, так и по переменной t справедлива оценка:

Г70г)||Р1Л < ||/||р,А.

Аналогичными рассуждениями выводим интегральное представление и для оператора г£, более удобное, чем представление М. Рёслер. Если С = (х + t)/A, то

■к

T*f(x) = {f(A)( 1 + С) + f(-A)( 1 - С)}(1 - cos <р) sin2A Vdtp. 0

С помощью операторов обобщенного сдвига модули непрерывности определим двумя способами. Пусть г > 1,1 - единичный оператор,

Д№) = (I - тГ/21(х) = E(-i)s (rf) (WW,

s=0 ^ S J

Artf(x) = (1-тГ/2Кх) = f)(-l)-(rfV)V(*)

s=0 ^ '

- разностные операторы. Так как в I^.aW ll^ll ~ 11Г'Н = 1»

оо

а ряд Y^ (~l)s(s) сходится абсолютно, то разностные операторы

s—0

действуют ИЗ 1у2,\(Щ В

Следуя Х.П. Рустамову, для функции / 6 L2,a(R) положим

ur(S,f)2,A=sup{|| Д[ /||2,А : Щ <

ВД/кл - sup{||Är/|]2,x : |t|< S}. При втором способе

W(*,/)2jA=SUp ( f (^|/(у)-/(х)|2)| ^Л(Х)) ,

iw Vi /

1/2

2(5, /)2,х = sup ( f {rim - f{x)|2) | dn\(x)

Модули непрерывности связаны соотношениями Wr№/b,A ^ wr(5,/)afл, w(i,/)2>A = 5№/)2,л = f)2,x-

Второй способ позволяет определить модуль непрерывности, удобный для работы и в LP:\(R), 1 < р < 2,

/ \ 1/Р

/)р,л = sup J {Tim - f{x)|y=x

Vr

В §3 доказываются неравенства Джексона в пространстве Ь2,\{Щ-

ТЕОРЕМА 1.1. Если А > -1/2, г ^ 1, Д > 0, то для любой функции / € L2,a(R) справедливы точные неравенства

EzU)ад «•* (jt<') < ('Ж•

В случае единичного веса (Л = -1/2) последние два неравенства, когда модули непрерывности совпадают с классическим, были доказаны И.И. Ибрагимовым, Ф.Г. Насибовым и независимо В.Ю. Поповым, а при Л > -1/2 для четных функций — A.B. Московским. Первое неравенство для четных функций было доказано А.Г. Бабенко.

Теорема 1.1 доказывается по стандартной схеме, предложенной Н.И.Черных [45]. Используются работы А.Г. Бабенко и A.B. Московского. При доказательстве их точности применяется известная в оценках снизу лемма В.В. Арестова.

Основным результатом §4 и всей первой главы является неравенство Джексона в пространствах 1 < р < 2.

теорема 1.2. Если А > -1/2, 1 ^ р < 2, R > 0, то для любой функции f б LPia(R) справедливо неравенство

В случае единичного веса это неравенство доказал O.JI. Виноградов. Для А > —1/2 и четных функций его доказал A.B. Московский. Его точность обсуждается в следующем параграфе. Только заметим, что при А = —1/2, как показал A.B. Московский, оно точное.

При доказательстве теоремы 1.2 следуем схеме, предложенной В.И. Ивановым и являющейся развитием подхода Н.И. Черных. Также опираемся на работы Д.В. Горбачева, А.Г. Бабенко, A.B. Московского. Обозначим

Л(К) = {/ б Xi,a(1) п C*(R) : f € ¿i,a(R)>.

Основная трудность при доказательстве теоремы состояла в построении приближающего интегрального оператора. Хорошие оценки уклонений в Lp, учитывающие строгую выпуклость пространств, известны для положительных операторов, записанных в форме

Af(x) = J f(y)K{x,y)dßx{y), а

где К(х,у) — симметричное, положительно определенное в R2 ядро. Ядро называется положительно определенным, если для любой g 6

J J K(x,y)g(x)g(y)dfix(x)dfix{y)>0-

r r

Для четных функций A.B. Московский использовал ядро вида К(х,у) = J F(t)j\(xt)j\(yt)dij,\(t) — TvF(x),

R

где F(x) —четная неотрицательная функция. Для произвольных функций оно не годится. Нами предложена следующая конструкция:

К(х,у) = JF(t) (jx(xt)jx(yt) + j'x{xt)jx(yt)) dßx(t). r

Это ядро обладает следующими свойствами. Если F(t) — четная неотрицательная функция, F € А(Ж), supp F(y) С [~2R,2R], F{y) > 0, F(0) = 1, то К(х,у) — положительно определенное ядро, К(х,у) ^ 0 на R2, К(х,у) € A(R) по х, у и для / е Lp,a(R) Af е ¿Pia(K) — целая функция экспоненциального типа 2R. Это и есть искомый приближающий оператор. Нужная функция F была построена A.B. Московским.

В §4 исследуется точность неравенства Джексона в пространствах LPtx(R), 1 < р < 2, доказанного в теореме 1.2.

Точную константу в неравенстве Джексона с параметрами R и 5 определим равенством

D(R,ö)p,x= sup . .

Теорема 1.3. Если Л > 0, < р < 2, R > 0, 5 > 0, то

Доказательство следует схеме, предложенной В.И. Ивановым и Лю Юнпином, которыми получена правильная оценка снизу константы Джексона в пространствах Lp, 1 < р < 2, на торе с периодическим весом Якоби |sinx|2a+1, а > -1/2. В нашем случае возникают дополнительные трудности, связанные с неограниченностью R и сложностью приближающего аппарата.

Экстремальная последовательность функций fN строится по следующему алгоритму. Пусть N е N, ам выбрано так, что /¿а([0, ajv])

atf

= / dßx(x) = N, отрезки Аг, ...,AN2 С [0,аД ßx(Ai) = jj, U =

о i_1

= [0 ,aN], c(i)G{-l,l},

' \0, х£(ам,оо),

Константы с(г) считаем независимыми случайными величинами, принимающими значения ±1 с одинаковыми вероятностями. При их выборе используем оценку Хёфдинга для сумм независимых случайных величин, теорему Мирского о разложении дважды субстохастической матрицы в линейную выпуклую комбинацию матриц, у которых в каждой строке не более одной единицы, а остальные

элементы —нули, оценку мощности наименьшей е-сети компактного в С [О, Ь], Ъ > 1 класса целых функций экспоненциального типа R:

Wn,M = {/(*) : |/(z)| < Meñ'Imz', z 6 С},

равномерную по s, М и Ь.

Правильный порядок по е мощности наименьшей £-сети для класса Wr^m в С[0,Ь] при фиксированных М и Ь был найден А.Г. Витушкиным.

Ограничения на параметры в теореме 1.3 связаны с тем, что для целой функции дм наилучшего приближения /дг в LPt\(R) используется оценка \д^(х)\ «С iV*/p, которая вытекает из неравенства разных метрик для четных целых функций экспоненциального типа, доказанного С.С. Платоновым. При р = 2, когда известен явный вид целой функции наилучшего приближения, она может быть улучшена. Возможно, это можно сделать и при 1 < р < 2. Это позволило бы доказать теорему 1.3 для всех Л > —1/2 и 1 < р < < 2.

Результаты первой главы анонсированы в [2, 7, 9] и опубликованы с доказательствами в [1, 4, 5].

Вопросам приближения функций на прямой и полупрямой посвящены также работы Е.С. Белкиной и С.С. Платонова.

Вторая глава содержит 4 параграфа и посвящена доказательству точных неравенств Джексона для наилучших приближений тригонометрическими полиномами в пространствах LPta(Т), 1 ^ р < 2, на торе Т = (—7г,7г] с весом Якоби | sinx|2a+1, а > —1/2.

В §1 развивается гармонический анализ на торе с периодическим весом Якоби.

Пусть Т = (—7г, 7г] — одномерный тор, а ^ —1/2, va(x) = = |sinx|2a+1 — периодический вес Якоби (ультрасферический вес), dva(х) = va(x)dx, 1 ^ р ^ 2, LPta(Т) — пространство 27Г-периодичес-ких комплексных измеримых по Лебегу функций / с конечной

нормой ||/||р,а = (f \f(x)\pdva(x) \r

Если тригонометрическую систему {1, cos х, sin х,... } ортогоно-лизовать по методу Шмидта, то получим полную ортогональную систему в пространстве Z/2,a(T):

{l,Pia'a)(cos^),P^t1,a+1)(cosx)sinx : n = 1,2,...}. Здесь PÍQ'a\t) — ортогональные многочлены Якоби на отрезке

[-1,1] с весом (1 - Ь2)а, для которых Рка'а)(1) = 1 • Отметим, что функции системы являются четными и нечетными тригонометрическими полиномами. Пусть

<Ро(«) = 1, *>„(*) = созх), ■фп(х) = (п(гг + 2а + 1)Гг/Уп(ж)> тг = 1,2,...

При а = -1/2 система {<рп,Фп} сводится к тригонометрической системе. Тригонометрическая система может быть записана в эквивалентной комплексной форме {е™*}п6г. Это возможно сделать и при а > -1/2 с помощью системы обобщенных экспонент. Положим

= УМ + (« + ~ёУх('Х),

ео,а(®) = 1, еп,а(«) = ¥>«(*) - гФп(х), е_п,а(») = еп,а(х) (п € М).

Дифференциально-разностный оператор £>« является периодическим аналогом дифференциально-разностного оператора Данкля. Для полной ортогональной системы {е„,а}„ег в пространстве Ь2,а(Т) выполнены следующие свойства:

еп,«(0) = 1, \епАх)\ < 1. еп,а{~х) = еп,а{х), ОаеПуа{х) = тг)^/|п|(|п|+2а + 1) еп,а(ж).

Ряд Фурье и равенство Парсеваля по системе {еп1а}п&г залишут-

(/1 вп,д)д (бп.ап егг,а)а

■ „ |2

2;>а = /п (еп,а1еп,а)с

ся так ff\

Г/ \ V*1 г I \ / (1>^п,а)а

пем

2.1

пег'

Наилучшее приближение функции / € Ьр,а(Т) определим равенством

Еп{ЛР,а = тш

Ск

/-22 скек'°

к=-п

Р,а

В §2 определяются и изучаются операторы обобщенного сдвига и модули непрерывности в пространствах 1.р1а(Т).

Для t 6 R ограниченные операторы обобщенного сдвига в пространстве ¿2,а(Т) определим равенствами

Tbf{x) = V|fc| (í)/fcefc,e(®), =

fcez fcez

Опираясь на теорему сложения для многочленов Якоби, выводим их интегральные представления:

7Г

= У j {/(Л)(1 + в) + f(-A)(l - B)}sin2a ^

о

ir

/(*) = у /+ С) + Я-Л)(1 - С7)}(1 - cos¿) sin2"

rf

где

Г(а +1)

са =

^Г(а +1/2)

, А = arccos (cos х cos t + sin x sin t eos <p),

sin x eos i — eos x sin icos (fi sin(x + t)

В =-:—-, O =-:—-—.

sin A sin A

Эти интегральные представления позволяют операторы обобщенного сдвига распространить на все пространства Lp¡a(T). Оператор Т1 является положительным и при интегрировании как по переменной х, так и по переменной t справедливы оценки:

\\Т'№\\р,а < ||/||р,а, ||г7(г)||р,а < 4||/||р,а.

Как и в первой главе с помощью операторов обобщенного сдвига в пространстве £2,с<(Т) определяем модули непрерывности а>r(S, f)2¡a,

Mr(5, /)2,а, /)2,а, /)2,а.

Они связаны соотношениями Ur(5,fh,a < Wr(5,/)2)a, w(S,f)2,a = Ü(S,fh,a = /)2,а-

Как и в первой главе с помощью оператора Т' в пространствах Ьр,а(Т), 1 < р < 2, определяем модуль непрерывности uj(5,f)Pia.

В §3 доказываются точные неравенства Джексона в пространстве

Ь2,а{Т).

Пусть tn - наибольший нуль Pna,a\t), т„ = arccos tn.

Теорема 2.1. Если а > -1/2, г ^ 1, тг € N, то для любой функции f € 1*2,с* (Т) справедливы точные неравенства

Bn-itfka < wr(2rn, f)2,a, En-i(fh,a < wr(2т„, f)2,a>

En-l(fh,« < /)2(a, En-i(fh,a < -jf(2TП. /b,a-

В случае единичного веса (a = -1/2) последние два неравенства, когда модули непрерывности сводятся к классическому, были доказаны Н.И. Черных. Первое неравенство для четных функций было доказано А.Г. Бабенко.

Теорема 2.1 доказывается по стандартной схеме, предложенной Н.И.Черных. Используются работы А.Г. Бабенко. При доказательстве их точности применяется лемма В.В. Арестова.

Основным результатом §4 и всей второй главы является точное неравенство Джексона в пространствах LPla(T), 1 <р <2.

Теорема 2.2. Если а > -1/2, 1 < р < 2, п 6 N, то для любой функции f € £p,a(T) справедливо точное неравенство

^2n-2(/)p,a<21/P-ia;(2Tn,/)p,a.

При а = -1/2 теорема 2.2 была доказана Н.И. Черных. Для четных функций при a = (п - 3)/2, п € N, п > 3 она вытекает го неравенства Джексона в пространстве Lp на сфере Sn , доказанного Д.В. Горбачевым. При а = -1/2 точность константы 2Vp-i доказана В.И. Бердышевым, а при а > -1/2 — В.И. Ивановым и Лю Юнпином. При доказательстве теоремы 2.2 следуем схеме, предложенной В.И. Ивановым. Также опираемся на работы Д.В.

Горбачева и А.Г. Бабенко.

В качестве аппарата приближения используем линейный положительный интегральный оператор A f{x) = f fiv)Kix,v)dvaiv), У

т

которого неотрицательное, положительно определенное на Т2 ядро

2п-2 „

имеет вид Kix,y) = Fq+ £ Fi (<Мх)<Му) + ^¿(яШу))-Коэффици-

г=1

енты Fi являются коэффициентами положительного четного тригонометрического полинома, построенного Д.В. Горбачевым.

Результаты второй главы анонсированы в [6, 8] и опубликованы с доказательствами в [3].

Автор благодарит своего научного руководителя В.И. Иванова за постановку задач и внимание к работе.

Работы автора по теме диссертации

1. Иванов В.И., Чертова Д.В. Об оценке снизу констант Джексона в пространствах Lp, 1 < р < 2 на прямой со степенным весом // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2011. Вып.2. С.81-93.

2. Иванов В.И., Чертова Д.В. Об оценке снизу констант Джексона в пространствах Lp, 1 < р < 2 на прямой со степенным весом // Современные проблемы математики, механики, информатики: матер. Межд. научн. конф. Тула: ТулГУ, 2011. С.25-27.

3. Чертова Д.В., Теоремы Джексона в пространствах Lp, 1 < р < 2 с периодическим весом Якоби // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2009. Вып.1. С.5-27.

4. Чертова Д.В. Теоремы Джексона в пространстве Ь2{Щ со степенным весом // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2009. Вып.З. С. 100-116.

5. Чертова Д.В. Оценка сверху констант Джексона в пространствах Lp, 1 < р < 2 на прямой со степенным весом // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2011. Выл.2. С.94-109.

6. Чертова Д.В. Неравенство Джексона в пространстве Lp, 1 < р <

< 2 с весом Лежандра // Современные проблемы математики, механики, информатики: матер. Межд. научн. конф. Тула: ТулГУ, 2006. С.98-99.

7. Чертова Д.В. Теорема Джексона в пространстве L2 на прямой со степенным весом // Теория функций, ее приложения и смежные вопросы: матер. VIII Межд. Казанской летней научной школы-конф. Труды Математического Центра им. Н.И. Лобачевского. Казань: Казанское мат. об-во, 2007. Т.35. С.267-268.

8. Чертова Д.В. О теоремах Джексона в пространствах Lp, 1 < р <

< 2 с периодическим весом Якоби // Современные проблемы математики, механики, информатики: матер. Межд. научн. конф. Тула: ТулГУ, 2008. С.97-100.

9. Chertova D.V. Jackson theorems in Lp-spaces, 1 < p < 2 on the line with power weight // Труды Международной летней математической школы С.Б. Стечкина по теории функций. Тула: ТулГУ, 2007. С.160-161.

Изд. лиц. ЛР № 020300 от 12.02.97. Подписано в печать 31.10.2011. Формат бумаги 60 х 84/16. Бумага офсетная. Усл. печ. л. 1,0. Уч.-изд. л. 1,1. Тираж 100 экз. Заказ ОЦ Тульский государственный университет 300012, г. Тула, просп. Ленина, 92. Отпечатано в Издательстве ТулГУ 300012, г. Тула, просп. Ленина, 95.

Обозначения.

Введение.

Глава 1. Неравенства Джексона в пространствах ЬР1\(Ш) на прямой со степенным весом.

§ 1. Элементы гармонического анализа на прямой со степенным весом

§ 2. Операторы обобщенного сдвига и модули непрерывности в пространствах Ьр>л(М)

§ 3. Неравенства Джексона в пространстве 1,2,\(Щ.

§ 4. Неравенство Джексона в пространствах £Р)д(М), 1 ^ р < 2.

§ 5. Оценка константы Джексона в пространствах 1 ^ ^ р < 2, снизу.

Глава 2. Неравенства Джексона в пространствах ЬР;а(Т) на торе с периодическим весом Якоби.

§ 1. Элементы гармонического анализа на торе с периодическим весом Якоби.

§ 2. Операторы обобщенного сдвига и модули непрерывности в пространствах Ьр,а(Т)

§3. Неравенства Джексона в пространстве 1,2,.

§ 4. Неравенство Джексона в пространствах Т), 1 ^ р < 2.

б

Общая характеристика работы

Диссертация посвящена решению экстремальных задач теории приближений — доказательству точных неравенств Джексона в пространствах Lp, 1 < р < 2, на прямой К. со степенным весом и торе Т с периодическим весом Якоби.

Актуальность темы. Задача о точных константах в неравенствах Джексона между величиной наилучшего приближения и модулем непрерывности функции в пространствах Lp, 1 < р < оо, является важной и трудной экстремальной задачей теории приближений. Первое точное неравенство Джексона было доказано Н.И. Черных [45] в 1967 году в пространстве L2 (Т). Он же [47] в 1992 году доказал и первые точные неравенства Джексона в пространствах LP (Т), 1 < р < < 2. Точные неравенства Джексона в пространствах Lp, р > 2, отсутствуют.

В настоящее время точные неравенства Джексона в пространствах Lp, 1 < р < 2, доказаны для тора Td (Н.И. Черных [45], В.А. Юдин [55], В.И. Иванов [25], В.Ю. Попов [40]), евклидова пространства Md (И.И. Ибрагимов и Ф.Г. Насибов [23], В.Ю. Попов [38, 39], O.JI. Виноградов [15], А.Г. Бабенко [3], А.В. Московский [33]), евклидовой сферы Sd~1 (В.В. Арестов и В.Ю. Попов [1], В.Ю. Попов [41], А.Г. Бабенко [2], Д.В. Горбачев [18]), гиперболоида Hd (В.Ю. Попов, Д.В. Горбачев и М.С. Пискорж [17], р = 2), проективных пространств (А.Г. Бабенко [4], р = 2).

В пространстве L2 большой цикл работ был посвящен доказательству точных неравенств Джексона с к-м и обобщенными модулями непрерывности. Отметим работы Н.И. Черных [46], А.Г. Бабенко [24], А.И. Козко и А.В. Рождественского [30], С.Н. Васильева [11, 12], B.C. Балаганского [6].

В пространствах Lp, 1 <р< 2, трудным является как получение оценки сверху (необходимо учесть строгую выпуклость пространств), так и доказательство ее точности (экстремальные последовательности функций принимают всего два значения ±1). Нижние оценки в пространствах Ьр, 1 < р < 2, получены в работах В.И. Бердышева [9], В.И. Иванова [24, 26], Д.В. Горбачева [18], А.В. Московского [33]. Дополнительные трудности в получении нижних оценок появляются, если на многообразии нет группового сдвига.

Следующим этапом в развитии этой тематики может стать доказательство точных неравенств Джексона в пространствах Ьр на многообразиях с весом. К неравенствам Джексона в пространствах Ьр на полу периоде или полупрямой с весом мы уже приходим, рассматривая известные неравенства Джексона на подпространствах зональных сферических функций. При этом получаются неравенства Джексона в пространствах Ьр с весом только для четных функций. Так неравенства Джексона на евклидовом пространстве и евклидовой сфере приводят к неравенствам Джексона на прямой со степенным весом и торе с периодическим весом Якоби для четных функций (А.В. Московский [33], Д.В. Горбачев [18]). Возникает необходимость распространить их на все функции, а также обосновать их точность.

Цель работы. Основной целью диссертации является доказательство точных неравенств Джексона в пространствах Ьр, 1 < р < 2, на прямой М со степенным весом и торе Т с периодическим весом Якоби.

Методы исследования. Применяются методы теории функций, теории приближений, функционального анализа, гармонического анализа в пространствах с весом, теории вероятностей, теории матриц.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1. Доказаны неравенства Джексона для наилучших приближений целыми функциями экспоненциального типа в пространствах 1/Р)д(М), 1 < Р < 2, с весом |ж|2Л+1, Л > —1/2. Их точность установлена при р = 2 и Л > О, <р< 2.

2. Доказаны точные неравенства Джексона для наилучших приближений тригонометрическими полиномами в пространствах Lp,a(T), 1 <р < 2, с весом |sinx|2a+1, а > -1/2.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты и разработанные методы могут быть использованы при доказательстве точных неравенств Джексона в других пространствах с весом.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на Международной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики» в г. Туле (2006, 2008, 2011), VIII Казанской летней научной школе-конференции «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы» в г. Казани (2007), Международной летней математической школе С.Б. Стечкина по теории функций в г. Алексине (2007), научном семинаре д.ф.-м.н., профессора В.И. Иванова в ТулГУ (2006-2009, 2011).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 4 статьях [28, 48, 49, 50] в журнале, входящем в перечень ВАК РФ.

В работе [28] В.И. Иванову принадлежит общая схема доказательства нижней оценки, а автору — ее реализация.

Тезисы докладов на конференциях опубликованы в [28, 51, 52, 53, 57].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы. Главы разбиты на 9 параграфов. Нумерация утверждений идет по главам, а формул — по главам и параграфам.

1. Арестов В.В., Попов В.Ю. Неравенство Джексона на сфере в Ь2 // Изв. Вузов. Математика. 1995. №8. С.13-20.

2. Бабенко А.Г. Точное неравенство Джексона-Стечкина в пространстве Ь2 на многомерной сфере // Матем. заметки. 1996. Т.60, №3. С.333-355.

3. Бабенко А.Г. Точное неравенство Джексона-Стечкина в пространстве Ь2(Шт) 11 Труды ИММ УрО РАН. 1998. Т.5. С.183-198.

4. Бабенко А.Г. Точное неравенство Джексона-Стечкина для Ь2-приближений на отрезке с весом Якоби и проективных пространствах // Изв. РАН. Сер. Матем. 1998. Т.62, №6. С.27-52.

5. Бадков В.М. Введение в единую теорию алгебраических и тригонометрических ортогональных полиномов. Учебное пособие. Екатеринбург: УрГУ, 2006. 132 с.

6. Балаганский B.C. Точная константа в неравенстве Джексона-Стечкина в пространстве L2 на периоде // Труды ИММ УрО РАН. 2009. Т.15, №1. С.79-101

7. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т.2. М.: Наука, 1966. 296 с.

8. Белкина Е.С. Гармонический анализ Фурье-Данкля и приближение функций: дис. . канд. физ.-мат. наук. Петрозаводск. 2008. 92 с.

9. Бердышев В.И. О теореме Джексона в Lp // Труды МИАН СССР. 1967. Т.88. С.3-16.

10. Бернштейн С.Н. О многочленах, ортогональных на конечном отрезке. Собр. соч. Т.2. М.: Изд-во АН СССР, 1954. С.7-106.

11. Васильев С.Н. Неравенство Джексона в L2(TN) с обобщенным модулем непрерывности // Труды ИММ УрО РАН. 2009. Т.15, т. С.102-110.

12. Васильев С.Н. Неравенство Джексона в Ьс обобщенным модулем непрерывности // Труды ИММ УрО РАН. 2010. Т. 16, №4. С.93-99.

13. Ватсон Г.Н. Теория бесселевых функций. 4.1. М.: ИЛ, 1949. 798 с.

14. Виленкин Н.Я. Специальные функции и теория представления групп. М.: Наука, 1991. 576 с.

15. Виноградов О.Л. О константе в неравенстве Джексона для пространства Ьр{—оо, оо) // Вестник СПбГУ. Сер.1. 1994. Вып.З. С.15-22.

16. Витушкин А.Г. Оценка сложности задачи табулирования. М.: Физматгиз, 1959. 228 с.

17. Горбачев Д.В., Пискорж М.С. Точное неравенство Джексона в 1/2 на гиперболоиде // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 1998. Т.4. Вып.1. С.54-58.

18. Горбачев Д.В. Точное неравенство Джексона в пространстве Ьр на сфере // Матем. заметки. 1999. Т.66, №1. С.50-62.

19. Горбачев Д.В. Приближение в Ь2 частичными интегралами Фурье по собственным функциям оператора Штурма-Лиувилля // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 1999. Т.5. Вып.1. С.38-50.

20. Горбачев Д.В. Избранные задачи теории функций и теории приближений и их приложений. Тула: Гриф и К, 2005. 192 с.

21. Горбачев Д.В. Экстремальные задачи теории функций и теории приближений и их приложения: дис. . д-ра физ.-мат. наук. Тула. 2006. 200 с.

22. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. Т.2. М.: Мир, 1965. 538 с.

23. Ибрагимов И.И., Насибов В.Г. Об оценке наилучшего приближения суммируемой функции на вещественной оси посредством целых функций конечной степени // ДАН СССР. 1970. Т. 194, №5. С.1013-1016.

24. Иванов В.И. Приближение в кусочно-постоянными функциями // Матем. заметки. 1988. Т.44, №1. С.64-79.

25. Иванов В.И. О приближении функций в пространствах Ьр // Матем. заметки. 1994. Т.56, №2. С.15-40.

26. Иванов В.И., Смирнов О.И. Константы Джексона и константы Юнга в пространствах Ьр. Тула: ТулГУ, 2010. 174 с.

27. Иванов В.И., Лю Юнпин. Оценка снизу констант Джексона в пространствах Ьр, 1 < р < 2 с периодическим весом Якоби // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2011. Вып.2. С.59-69.

28. Иванов В.И., Чертова Д.В. Об оценке снизу констант Джексона в пространствах Ьр, 1 < р < 2 на прямой со степенным весом // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2011. Вып.2. С.81-93.

29. Иванов В.И., Чертова Д.В. Об оценке снизу констант Джексона в пространствах Ьр, 1 < р < 2 на прямой со степенным весом // Современные проблемы математики, механики, информатики: матер. Межд. научн. конф. Тула: ТулГУ, 2011. С.25-27.

30. Козко А.И., Рождественский А.В. О неравенстве Джексона в Ь2 с обобщенным модулем непрерывности // Матем. сборник 2004. Т. 195, №8. С.3-46.

31. Левитан Б.М. Теория операторов обобщенного сдвига. М.: Наука, 1973. 312 с.

32. Маршалл А., Олкин И. Неравенства: теория мажоризации и ее приложения. М.: Мир, 1983. 576 с.

33. Московский А.В. Теоремы Джексона в пространствах Ьр(Шп) и // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 1998. Т.4. Вып.1. С.44-70.

34. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М.: Наука, 1969. 480 с.

35. Петров В.В. Предельные теоремы для сумм независимых случайных величин. М.: Наука, 1987. 320 с.

36. Платонов С.С. Гармонический анализ Бесселя и приближение функций на полупрямой // Изв. РАН. Сер. Матем. 2007. Т.71, №5. С.149-196.

37. Платонов С.С. Обобщенные сдвиги Бесселя и некоторые задачи теории приближений функций на полупрямой // Сиб. матем. журн. 2009. Т.50, №. С.154-174.

38. Попов В.Ю. О наилучших среднеквадратических приближениях целыми функциями экспоненциального типа // Изв. вузов. Математика. 1972. №6. С.65-73.

39. Попов В.Ю. О точных константах Джексона для наилучших сферических среднеквадратических приближений // Изв. вузов. Математика. 1981. №12. С.67-78.

40. Попов В.Ю. Многомерные приближения в £2(Тт) // Теория функций и приближений: тр. 3-й Саратовской зимней школы. Межвузовский научн. сб. Ч.З. Саратов: СГУ, 1988. С.22-25.

41. Попов В.Ю. Приближение на сфере в L2 11 ДАН СССР. 1988. Т.301, №4. С.793-797.

42. Рустамов Х.П. О приближении функций на сфере // Изв. РАН. Сер. Матем. 1993. Т.57, №5. С.127-148.

43. Сеге Г. Ортогональные многочлены. М.: Физматгиз, 1962. 500 с.

44. Справочник по специальным функциям / Под ред. М. Абрамовица и И. Стиган. М.: Наука, 1979. 832 с.

45. Черных Н.И. О неравенстве Джексона в L2 // Труды МИАН СССР. 1967. Т.88. С.71-74.

46. Черных Н.И. О наилучшем приближении периодических функций тригонометрическими полиномами в L2 // Матем. заметки. 1967. Т.2, №5. С.513-522.

47. Черных Н.И. Неравенство Джексона в Lp(0,2тг), 1 < р < 2 с точной константой // Труды МИРАН. 1992. Т.198. С.232-241.

48. Чертова Д.В. Теоремы Джексона в пространствах Lp, 1 < р < 2 с периодическим весом Якоби // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2009. Вып.1. С.5-27. ТулГУ. Естественные науки. 2009. Вып.2. С.55-61.

49. Чертова Д.В. Теоремы Джексона в пространстве L2(R) со степенным весом // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2009. Вып.З. С.100-116.

50. Чертова Д.В. Оценка сверху констант Джексона в пространствах Lp, 1 < р < 2 на прямой со степенным весом // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2011. Вып.2. С.94-109.

51. Чертова Д.В. Неравенство Джексона в пространстве Lp, 1 < р < 2 с весом Лежандра // Современные проблемы математики, механики, информатики: матер. Межд. научн. конф. Тула: ТулГУ, 2006. С.98-99.

52. Чертова Д.В. О теоремах Джексона в пространствах Lp, 1 < Р < 2 с периодическим весом Якоби / / Современные проблемы математики, механики, информатики: матер. Межд. научн. конф. Тула: ТулГУ, 2008. С.97-100.

53. Эдварде Р. Ряды Фурье в современном изложении. Т.2. М.: Мир, 1985. 400 с.

54. Юдин В.А. Многомерная теорема Джексона в L2 // Матем. заметки. 1981. Т.29, №2. С.309-315.

55. Andersen N.B., de Jeu M. Elementary proofs of Paley-Wiener theorems for the Dunkl transform on the real line // Int. Math. Res. Not. 2005. V.30. P.1817-1831.

56. Chertova D.V. Jackson theorems in Lp-spaces, 1 < p < 2 on the line with power weight // Труды Международной летней математической школы С.Б. Стечкина по теории функций. Тула: ТулГУ, 2007. С.160-161.

57. Dunkl C.F. Differential difference operators associated to reflection groups // Trans. Amer. Math. Soc. 1989. V.311. P.167-183.

58. Mejjaoli H., Sraieb N. Uncertainty Principles for the continuous Dunkl Gabor transform and the Dunkl continuous wavelet transform // Mediterr. J. M. 2008. V.5. P.443-466.

59. Rosier M. Dunkl operators: Theory and applications // Lecture Notes in Math. 2002. V.1817. P.93-135.

60. Rosier M. Bessel-type signed hypergroups on R // Probability Measures an Groups and Related Structures: proc. conf. Oberwolfach, 1994. Would Scientific, 1995. P.292-304.

61. Salem N.B., Kallel S. Mean-periodic functions associated with the Dunkl operators // Integral Transforms and Special Functions. 2004. V.15, №2. P. 155-179.

62. Trimeche K. Paley-Wiener theorems for the Dunkl transform and Dunkl translation operators // Integral Transform. Spec. Funct. 2002. V.13, m. P. 17-38.