Теоремы Джексона в пространствах Lp, и некоторые экстремальные свойства полиномов и сплайнов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

,6 0*' .. л» «да

На правах рукописи УДК 517.5

МОСКОВСКИЙ Александр Владимирович

ТЕОРЕМЫ ДЖЕКСОНА В ПРОСТРАНСТВАХ 1Р И НЕКОТОРЫЕ ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ПОЛИНОМОВ И СПЛАЙНОВ

(01.01.01 — математический анализ)

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ТУла —1998

г

Работа выполнена в Тульском государственном университете на кафедре прикладной математики и информатики

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Иванов В.И. Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Черных Н.И. кандидат физико-математических наук, доцент Попов В.Ю.

Ведущая организация:

Математический институт РАН им. В.А. Стеклова

Защита диссертации состоится " " Я^сфрР 1999г. в_чач

сов на заседании диссертационного совета К 063.78.03 по ирису-ждевию ученой степени кандидата физико-математических наук в Уральском государственном университете им. A.M. Горького по адресу: 620083, г. Екатеринбург, К-83, пр. Ленина, 51 (комн. 248).

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Уральского государственного университета,

Автореферат разослан -30" 1998 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, к. ф.-м. н., доцент

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

1

| '

Актуальность темы. Нахождение точных констант в неравенствах Джексона между наилучшим приближением и модулем непрерывности в пространствах Ьр на торе Т", евклидовом пространстве К", евклидовой сфере Й"-1 является важной экстремальной задачей теории приближений и ей посвящено много работ.

Точные результаты в Ьр(Тп) получены Н.П. Корнейчуком [10] (тг=1, р=оо, случай непрерывных функций), Н.И. Черныхом [17, 18] (п=1, В.А. Юдиным [19] (п>1, р-2), В.И. Ивановым [9]

(п> 1, 1^р<2). В пространстве ), тг^З точные неравенства

Джексона установлены В.В. Арестовым и В.Ю. Поповым [1] (гг=3,4) и А.Г. Бабенко [2] (п^5). В пространствах £Р(Е") точные неравенства Джексона доказаны Й.И. Ибрагимовым и Ф.Г. Насибовым [б] (р=2, п= 1), В.Ю. Поповым [13, 14] (р=2, п=1,2,3) и О.Л. Виноградовым [5] (1^р<2, п=1, оценка сверху).

Важной задачей теории приближений является и задача изучения экстремальных свойств дифференцируемых функций, полиномов и сплайнов. , [

Мощным средством для изучения экстремальных свойств функций являются теоремы сравнения для их перестановок. Теоремы сравнения позволяют единообразно для различных классов функций доказывать как известные неравенства, установленные ранее разными методами, так и новые.

Теоремы сравнения для перестановок дифференцируемых периодических функций, тригонометрических полиномов и сплайнов установлены Н.П. Корнейчуком [11], Л.В. Тайковым [15], А.А. Лигу-ном [12], В.И. Ивановым [8] и другими авторами.

Оценке интегральных норм алгебраических многочленов на большем отрезке через интегральные нормы на меньшем отрезке посвящены работы П.Л. Чебышева, Н.И. Черныха [16], В.И. Иванова [7] и других.

Цель работы. Диссертация посвящена доказательству точных неравенств Джексона в пространствах Ьр (Мп), п^ 1 и Ьрд ) = Ьр(К+,а;2А+1 йх), А^ — \ при доказательству теорем сравне-

ния для перестановок производных дифференцируемых периодических функций, тригонометрических полиномов и сплайнов на произвольных отрезках; оценке интегральных норм алгебраических многочленов на большем отрезке через интегральные нормы на меньшем

отрезке равномерно по параметрам.

Методы исследования. Применяются методы теории приближений, гармонического анализа, теории представления группы движений К".

Научная новизна, а) В пространствах 1,Р(КП), п^1,1^р<2 и 1,2,а(®+)'> ' доказаны точные неравенства Джексона. В

пространствах 1^р<2 для констант Джексона получены

оценки сверху такие же как и в пространствах Ьр (Е"). В неравенствах Джексона в пространствах Ьг(К3) и Х2,1/2(®+) найдены точки Черныха.

б) Доказаны теоремы сравнения для перестановок производных дифференцируемых периодических функций, тригонометрических полиномов и сплайнов на произвольных отрезках. !

в) Получены оценки норм алгебраических многочленов степени п в пространстве Ь9[-г},т)] через их нормы в пространстве Ьр\-1,1], равномерные по п£М, г/^1, д^оо.

Все результаты являются новыми. ;

I

Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы при решении экстремальных задач теории приближений.

Аппробадия работы. Результаты работы докладывались на Международных конференциях по теории приближений и гармоническому анализу в г. Калуге (1996 г.) и в г. Туле (1998 г.), 9-ой Саратовской зимней школе (1998 г.), на семинарах С.А. Теляковского в МИР АН и В.И. Иванова в ТулГУ.

Публикации. Основные результаты опубликованы в 4 работах, список которых приведен в конце автореферата. Одна работа написала в соавторстве с В.И. Ивановым.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка цитированной литературы. Общий объем диссертации — 92 страницы. Библиография содержит 62 названия.

с

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Диссертация состоит из двух глав. Первая глава содержит б параграфов и посвящена доказательству точных неравенств Джексона в пространствах £Р(Е"), и ), А^ — | при

Пусть К" — п-мерное действительное евклидово пространство с нормой |я|; 5П-1 — единичная сфера в К";

Ьр{№) = < : ИГ С

11/11?= / \№\ Ш"

р с1х < оо > (1^р< еж);

ВпЯ — множество целых функций в -ТЕ" сферического типа Н\

ЕлЬ)р = Ш{У-д\\р | 5еЛпЯЛ^(Г)} -

величина наилучшего приближения, функции / € £Р(Е") целыми функциями сферического типа Д; \

Г(г) — памма-функция, 3\(х) —* функция Бесселя первого рода порядка А, |

х'

¿Ц\(х) =

Г2АЧ-1

■С

2АГ(А+ 1)

ос

Н/Нр,а= / 1/и!рфх(г)

йх,

<00 > (1^р<оо);

оо

/(/>) = JУСОла{рг)Л(1к{г)

преобразование Фурье-Ганкеля (Бесселя) функции /€£2,а(!+);

А = ш£ II/ - дя||р,А,

), для которых

где нижняя грань берется по функциям дя_£Ьр \( носитель зирр^д С [О, Л];

В § 1 излагаются элементы гармонического анализа в Х^К"), связанны® с представлением группы движений Ж".

Пространство К" является локально компактным метрическим пространством с метрикой ¿(х, у)=|г—на котором действует

транзитивная группа движений С=К0(7?) [4]. Квазирегулярное представление группы 1БО(п) в пространстве ¿2(К"), задаваемое формулой Ь(д)$(х)=}{д~1х), разлагается в прямой интеграл попарно неэквивалентных неприводимых представлений Ьр{д), действующих на пространствах Опр, р>0. Пространство Впр состоит из функций вида

где

ffi(x) = f f(y)4>p{\x~y\)dy,

и\ • t л 27Г"/2

(2тг)" w-"1""" Г(п/2)'

Оно является гильбертовым с нормой

Ш1= I I /P(*)7(*)d* I = / / /Cv)7(ar)vp(|® - уП dacdy

\r" / rnrn

и скалярным произведением

[/р,3р] = J J f(x)g{y)ifip{\x-y\)dxdy.

r" rn

Разложение функции /€¿2(11") в прямой интеграл и равенство Парсеваля записываются так

оо оо

Л*) = J fp(x)pn~1dp, \\f\\l = J ||/p||Vn_1 dp. (1) о 0

При этом справедливо равенство

оо

Яя(/) 2 = / II/pIIV"-1^- (2)

r

Разложение (1) при п=2 приведено в [4, с.218].

В § 2 в пространствах Lp(Rn) определяются три модуля непрерывности.

Для функции /eLp(!Rn) "классический" модуль непрерывности u(S, f)p определяется равенством

и,(6, /)р = sup \\J(.r + h) - f(x)||p {6 > 0).

При определении двух других модулей непрерывности используется оператор среднего значения по сферам

^ц 1 У

5n-i

Он играет роль оператора обобщенного сдвига в

1/р

dx

f{X) = — [ /(i + rode.

^ и i j

атора о

Для JeLp(Mn) положим

/)p = ' sup ( [ Mry\f(y)-f(x)\"

О^г^б \ J \Rn

•= sup f f— f \f(x + rO-f(x)\pd^dx] = i O^r^S V J J /

W> S"-1 /

sup f — f f \f(x + rO-f(x)\pdxdA . o^r^s I wn-i У У /

\ 5n_1 Я" /

Назовем u>i /)р усредненным модулем непрерывности. При р=2 он определен в [14].

Третий модуль непрерывности определим в соответствии с конструкцией, которую ранее использовал Х.П. Рустамов. Если %р(и) = (1—u)1//2, I — тождественный оператор, то положим

ДР/(х) = (I - М г)1/2/(*) = £ T)kf(x)

и

^г(<5, Яр = sup ||Аг/(а;)||р. о^г^г

При р=2

оо

"?(i,/b = 2 sup / (1-]Е/2_1Ы)||/,||2рп-1Ф = 2ы22((5,/Ь. (3)

Для 1^р<оо, Я>0, 5>0 определим три константы Джексона Д(<5, П,п)р— вир

Ен(ЛР

""г I! Г\ '

/ем»") ш\д'1>Р зир Д*(/)р (« = 1,2).

Они связаны соотношениями

Равенства (2), (3) наводят на мысль, что константы Джексона £>1(6, Д, 71)2,1?2(<5, Я, п)г совпадают с некоторыми константами Джексона в пространствах 1-2,а(®ч- ) •

В § 3 определяются модули непрерывности и константы Джексона в пространствах £,Р1а(К+), устанавливается взаимосвязь между константами Джексона в пространствах £2(®п) и ¿2 а(®+ ) при

г ; '

Модули непрерывности в Х7,д(®+) будем определять с помощью оператора обобщенного сдвига на полупрямой

{/(г+г)+/(|г-(|) \x__i

2 ' Л Г 2'

Для /еХрд(М+) положим

п(г,/)Лл = [|/(а) - /ЫП8=Р ФА(Р) ) =

(со /

О

.0

со

Г(А + 1)

1(\/р2 +г2 т 2рг соБуз) - /(р)|р 8Ш2А у <1<р<1ц\(р) |

W](<5, Яр,a= sup ft(r, Ярд.

Далее положим

Л4/(г) = (1-Т')1/2/(Я = f;

к=о

W2(i,/)p,A= sup ||Д(/||р,А.

При р=2

оо

= 2 sup /(1 - jA(pi))|/(p)|2 ¿мл(р) = 2и>\(5, /)г,л-

О

о

Для А^ — <5>0, Д>0, 1^р<оо положим

Дд(/)р,Л

di(S,R,\)p= sup (г = 1,2).

Отметим, что

= -j=d2(6,R, А).

Несмотря на то, что модули непрерывности /)г и (<5, Яг различаются, тем не менее справедлива следующая лемма.

Лемма 1.1. Дллп<ЕК, ¿>0, л>0 справедливы равенства

я(г,д,п)2 = г>!(г, д,п)а = ^2(«,д,п)! =

•Л

В § 4 устанавливаются точные неравенства Джексона в пространствах £2(КП) и Ь2ух( 1+)

ТЕОРЕМА 1.1. Если Е>0, Л^ —t\ — первый положительный нуль функции Бесселя Ла(^), то для любой /€1/2,а(®+) справедливы точные неравенства

(4)

так что

Чт-Ч-ХМ.-Т!-

ТЕОРЕМА 1.2. Если п£И, Я>0, ¿п/2-1 ~~ первый положительный нуль функции Бесселя Л„/2-1(0> 7710 любой (Кп) справедливы точные неравенства

м

_ ^п/2-1

л/г'Ч Д 1 /2

ЯдС/Ь ^ , (6)

V),

/ 2

(7)

/ 2-

] , (8)

так что

1 п ( Хп/2-1 р \ 1

/I 2 V-й-' ] = 71'

Доказательство теоремы 1.1 следует схеме Н.И. Черныха [17]. При оценке сверху для всех построена весовая функция, со-

впадающая при с весовой функцией Н.И. Черныха [17] (тг=1)

и весовой функцией В.А. Юдина [19] (п^2).

Неравенство (6) и его точность доказаны И.И. "Ибрагимовым и Ф.Г. Насибовым [6] (п=1), В.Ю. Поповым [13, 14] (га=1,2,3). Неравенство (8) анонсировано и А.Г. Бабенко [3].

Отметим, что операторы обобщенного сдвига на отрезке, прямой и полупрямой при определении модулей непрерывности в ЬТ систематически использует М.К. Потапов. С помощью этих модулей

непрерывности он доказывает прямые и обратные теоремы для приближений алгебраическими многочленами.

Обозначим через

тЛ =шт | т > 0 | йх ( Д,А)2 = при Я > о| =

= тт|г > 0 | Л,А)2 = 1 при Л > о] (9)

точку Черныха в неравенствах Джексона (4), (5) в ¿2,л(К+)- При т\ будет согласно лемме 1.1 и точкой Черныха в неравенствах Джексона (6)-(8) в Ь2(®п).

теорема 1.3. Для константы тд (9) при А=| (п—З) справедливо равенство

т\ = 2п.

I 2

В § 5 доказывается точнее неравенство Джексона в пространстве при 1^р<2.!

Пусть для р' — сопряженный показатель +

Теорем^ 1.4. Если п€М, Н>0, ¿п/2-1 — первый положительный нуль функции Бесселя Лп/2_1(^), тпо для любой /£Ьр(Ш.п), 1^р<2 справедливы точные неравенства

-^»/1 , (ю)

_1_ /4^2-1 Я

р

так что

Неравенство (10) без доказательства его точности при тг=1 установлено О .Л. Виноградовым [5]. Доказательство теоремы 1.4 основано на работах [9, 18, 19].

В § 6 доказывается неравенство Джексона для пространства £р,а(®+) при;1$р<2, \~2-\-

1

ТЕОРЕМА 1.6. Если Л>0, Л^ —/л — первый положительный нуль функции Бесссля Ла(<), тпо для любой /£ЬР<\(К+), 1^р<2 справедливо неравенство

(11)

так что

Вопрос о точности константы 2-1/р в неравенстве (11) открыт. При он эквивалентен возможности получения оценки снизу

константы Джексона в Ьр(Шп) с помощью радиальных функций.

Для доказательства неравенства (11) в ЬР,\{Щ.) установлен аналог оценки уклонения линейного положительного метода приближения в пространстве Ьр(Шп) [9], учитывающей строгую выпуклость пространства Ьр при 1<р<оо.

Пусть для /е1р,л(®+) ;

оо оо

A(XJ) = J f(y)T*K(y)d»x(y) = J Tx f(y)K(y)dfiX(y) =

— (/)Тг K)\ — (Т1 f,K),

(12)

линейный интегральный оператор свертки (обобщенной) с ядром K(t), для которого выполнены условия

оо

K(t) ^ 0, K(t) > О, К{0) = J K(t)d»x{t) = 1;

(13)

£р,Р,а(®+ X К+) =

g(x,t):R+x С |Ы|р,р,а =

- //

\

j

R+R+

\g{x,t)\p dfiX{x)K{t)dvx{t)

< 00

У

> (l^p^oo).

Теорема 1.5. Если оператор А - вида (12), для ядра которого К{€) выполнены условия (13), то для любой / 1^2, А5г

II/ 1 -4(/)||Р < ^¿МО ^ •

В качестве линейного положительного метода приближения используется аналог метода Бомана-Коровкина, определяемый ядром

1 Кц,х{х) = Я1Х+2^(11х),

где

А ' Ж!)

Ях(х) =

Вторая глава содержит 3 параграфа и посвящена изучению некоторых экстремальных свойств ¡дифференцируемых периодических функций, полиномов и сплайнов.:

Пусть Т = [0,27г) — одномерный тор; ШГ(Т),—-.класс 27Г-периодических функций /{х), у которых (?—1)-я производная абсолютно непрерывная, а.

||/(г'||оо=8ируга1|/(т)(®)|<1; '

52п,г — множество 27Г-периодических сплайнов порядка г дефекта 1 по равномерному разбиению (г=0,1,..., 2п); <£>2п,г£-52п,г —

идеальный сплайн Эйлера, являющийся г-м периодическим интегралом с нулевым средним значением на периоде от функции <Р2п,о{х)= sgnsm пх\ Тп — множество 2тг-периодических тригонометрических полиномов порядка п; отрезок Д=[а,/3]сК, |Д| = /?—а — его длина,

Ад(х,/) = теэ { у £ Д | |/(у)| > х } — функция распределения, а

гд(х, /) = и* { г € [О, |Д|] | Ад(г, /) $ аг }

I

невозрастающая перестановка |/| на отрезке Д. Для функций из 1¥Г(Т) с условием

1 11/11« ^ ||<Лп.г|1оо ' (14)

)

в 1939 году А.Н. Колмогоров доказал точное неравенство для производных

ll/'IU ^ IlvUrlU (15)

Его значительным усилением стало, доказанное в 1971 году Н.П. Корнейчуком [11], неравенство, сравнивающее перестановки производных,

X .1

J гт(г, Л dr ^ I тт{т, ip'2n,T) dr, Vz € Т. (16)

о о

Из одного результата М. Тимича вытекает, что (16) эквивалентно справедливости неравенства

J Ф(\Пх)\) dx < I (17)

т т

для любой непрерывной неубывающей выпуклой вниз на В+. функции Ф(х). ;

Для сплайнов из S2n,г с условием (14) неравенство (15) установил В.М. Тихомиров, а (16) — A.A. Лигун [12]. '

В 1965 году Л.В. Тайков [15] для любого тригонометрического полинома tn€Tn с условием

llinlloo ^ 1 (18)

и любой непрерывной неубывающей выпуклой вниз на 1+ функции Ф доказал неравенство

Jt${\fn(x)\)dx*z J m(cosnx)'\)dx,

т т

что эквивалентно теореме сравнения для перестановок

х I

j гт{т, t'n) dr ^ j rT{Т, (cos пх)') dr, Vx £ Т.

о о

В.И. Иванов [8] доказал аналог неравенства (16) для перестановок не на всем периоде, а на любом отрезке длины Он же поставил вопрос о справедливости (16) для перестановок на произвольном отрезке.

В § 1 доказываются теоремы сравнения для перестановок производных дифференцируемых периодических функций и сплайнов.

теорема 2.1. Если отрезок ДсК, гбм, /€иГТ(Т) и выполнено условие (14), то для некоторого сЕТ и все£

X X

Iгд(г,/')А-< I гА(т,^Т(х + с))с1г.

0 о

Следствие 2.1. Если отрезок ДсЕ, геК, /€И:Г{Т) и выполнено условие (14), то для некоторого с£Т и любой непрерывной неубывающей выпуклой вниз на функции Ф(л:)

1 Ф(|/'(*)|)<г®^ I Ф(\^Г{х + с)\) ¿X.

Л д

Теорема 2.2. Если отрезок ДсК, 8€5гп,г и выполнено

условие (14), то для некоторого с(ЕТ и 0$С:г^|Д|

I X

^ J + с)) ¿т.

0 о

следствие 2.2. Если отрезок ДсК, гек, веБгп.т и выполнено условие (14), то для -некоторого с€Т и любой непрерывной неубывающей выпуклой вниз на К+ функции Ф(х)

1 I Ф(Ия,г(х + с)|)Аг.

д д

В теоремах 2.1, 2.2 и следствиях 2.1, 2.2 экстремальной функцией является идеальный сплайн Эйлера у>2п,г€52п,г-

В § 2 доказывается теорема сравнения для перестановок производных тригонометрических полиномов.

Теорема 2.3. Если отрезок Д с К, tn € Тп и выполнено условие (18), тр для некоторого и всех

X X

¡ЫтМ*г< I гА(г,(со5(пх-¥а)У)с1т. (19)

о о

с

Следствие 2.3. Если отрезок ДсК, <П€ТП и выполнено условие (18), то для некоторого осЕТ и любой непрерывной неубывающей выпуклой вниз на функции Ф(х)

I Ф{\1'п(х)\)(1х^ I ${\(™*(пх + а))'\)<1х. Д ; Д

В теоре^ме 2.2 ц следствии 2.3 экстремальными являются поли- . номы со5(пх+а).

Правую часть неравенства (19) можно вычислить. Если |Д|=/3 + ¿=0,1,•.-..,

, " 12п 2 1 2п 2 п 15

то для любого полинома ¿П€ТП с условием (18) и любого |Д|

/гл(г л)ёт<12{к + 0^1^/3^ + 1),

У ГА(Т'Гп)аГ ^ +2вт¥, 0{к + 1К^|Д|.

- о \ - " " - I

Пусть гьбМ, Рп — множество алгебраических многочленов степени п; - |

: ' / Ь Ч1/*

V ■ • Мш = ( / 1/(*)1р ^ а < р < «>).

||/||оо[о,Ч ='8ир|/(з)| (Р = 00), ||/||р[-1Д| = ||/|1Р;

g(z)=z+vz2—1 — аналитическая функция в области С\[—1.1], стремящаяся к оо при z->oо;

T„(z) = cosnarccosz = | { gn{z) + g~n(z) } —

многочлен Чебышева.

В § 3 изучается поведение величины

¥>«»(". ч) = sup { Ы|?[_™) |р„ € Рп, Ibnllp ^ 1}- (20)

I

равномерно по tj^I,

При p—q=оо экстремальным в (20) является многочлен Чебышева Тп(х). Известное неравенство Чебышева имеет вид

bn(>?)U|Tn(77)| ыи (Ol). (21)

В случае фиксированного т? > 1 Н.И. Черных [16] для величины (20) нашел порядок поп

<Pqp{n,T}) х n~*gn{ri)

и асимптотическое поведение при л—>эо для l^g^oo, р=1,2,оо. В случае малых ц правильный порядок (20)

tpqp{n,r}) X 1 + n2(r~i>

получается из неравенства Чебышева (21) и неравенства разных метрик

. Ibn||?^cn2(?-i)||pn||p (Ор)

(Д. Джексон q=00 и Н.К. Бари l^q<oo).

Основная трудность при решении задачи (20) состоит в склеивании оценок в разных областях параметров. В.И. Иванову [7] удалось это сделать при q=00 и р=1.

рсновным результатом § 3 является i

"^Теорема 2.4. Равномерно по neN и ij^l, l^p, q^oo справедливо порядковое соотношение

, V í, ns(H)(„ + V5M)»+í+4 \ <pqp(n,r¡) xmaxi 1,--—----- >.

{ (nv^FТ+1)"7 J

Для оценки величины <pqp{n,r¡) сверху используются следующие представления алгебраических многочленов для 1,1] через значения на отрезке [—1,1]: ; _

рп(.) = ^М Г sin(ra -f 1) arceos £ ^^

■п J z-1,

-1

_ 1

. . _ gn(z)y/z2 - 1 Г Pn(£) eos n arceos £ Pn[z)_ _ j

Jx-Piz-Z)

¿е-

c.

ЛИТЕРАТУРА

1. Арестов В.В., Попов В.Ю. Неравенство Джексона на сфере Ь2 И Изв. вузов. Матем. 1995. 8. С. 13-20.

2. Бабенко А.Г. Точное неравенство Джексона-Стечкина в пространстве L2 функций на многомерной сфере // Математические заметки. 1996; Т. 60. 3. С. 333-355.

3. Бабенко А.Г. Точное неравенство Джексона-Стечкина в L2(®n) со сферическим модулем непрерывности // Тезисы докладов международной конференции по теории приближений и гармоническому анализу. Тула: ТулГУ, 1998. С. 26-28. '

4. Виленкин Н.Я. Специальные функции и теория представлений групп. М.: Наука, 1965.

5. Виноградов O.JI. О константе в неравенстве Джексона для пространств Lv{—оо, оо) // Вестник С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 1994. Вып. 3 ( 15). С. 15-22. /

6. Ибрагимов И.И., Насибов ф.Г. Об оценке наилучшего среднеквадратичного приближения' суммируемой функции на вещественной оси посредством целых функций конечной степени //Докл. АН СССР. 1970. Т. 194. 5. С. 1013-1016.

7. Иванов В.И. Локальное приближение периодических функций линейными полиномиальными методами // Докл. АН СССР. 1975. Т. 224. 3. С. 25-27.

8. Иванов В.И. Приближение функций из Сг сплайнами минимального дефекта // Математические заметки. 1988. Т. 43. 6. С. 746756.

9. Иванов В.И. О приближении функций в пространствах Lp // Математические заметки. 1994. Т. 56. 2. С. 15-40.

10. корнейчук Н.П. Точная константа в теореме Д. Джексона о наилучшем равномерном приближении непрерывных периодических функций // Докл. АН СССР. 1962. Т. 145. 3. С. 514-515.

11. Корнейчук Н.П. Экстремальные значения функционалов и наилучшее приближение на классах периодических функций // Изв. АН СССР. Сер. Математика. 1971. Т. 35. 1. С. 93-124.

12. Лигун A.A. Точные неравенства для сплайн-функций и наилучшие квадратурные формулы для некоторых классов функций / / Математические заметки. 1976. Т .19. 6. С. 913-926.

13. Попов В.Ю. О наилучших среднеквадратических приближениях целыми функциями экспоненциального типа. // Изв. вузов. Матем. 1972 . 6. С. 65-73.

14. Попов В.Ю. О точных константах Джексона для наилучших сферических среднеквадратичных приближений. // Изв. вузов. Матем. 1981. 12. С. 67-78.

15. Тайков Л.В. Одно обобщение неравенства С.Н. Бернштейна // Тр. МИАН СССР, 1965. Т. 78. С. 43-47.

16. Черных Н.И. О некоторых экстремальных задачах для полиномов // Труды МИАН СССР. 1965. Т. 78. С. 49-89.

17. Черных Н.И. О неравенстве Джексона в Ь2 // Труды МИАН СССР. 1967. Т. 88. С. 71-74.

18. ЧЕРНЫХ Н.И. Неравенство Джексона в Lp(0,27г) с точной константой И Труды МИР АН. 1992. Т. 198. С. 232-241.

19. Юдин В.А. Многомерная теорема Джексона в Z,2 // Математические заметки. 1981. Т. 29 2. С. 309-315.

i

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Иванов В.И., Московский A.B. Одна экстремальная задача для алгебраических многочленов // Изв. Ту л. гос. ун-та. Сер. Математика. Механика. Информатика. Тула: ТулГУ. 1995. Т. 1. Вып. 1. С. 86-96.

2. Московский A.B. Некоторые экстремальные задачи для полиномов в интегральных метриках // Математические заметки. 1995. Т.. 58. 6. С. 940-941.

3. Московский A.B. Некоторые экстремальные свойства дифференцируемых периодических функций, полиномов и сплайнов на отрезках меньших периода // Изв. Тул. гос. ун-та. Сер. Математика. Механика. Информатика. Тула: ТулГУ- 1996. Т. 2. Вып. 1. С. 169-175.

4. Московский A.B. Теоремы Джексона в пространствах LP(R") и £р,х(К+) // Изв. Тул. г.ос. ун-та. Сер. Математика. Механика. Информатика. Тула: 1УлГУ. 1997. Т. 3. Вьш. 1. С. 44-70.