Равномерное приближение классами функций с ограниченной старшей производной тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

Мироненко Александр Васильевич

РАВНОМЕРНОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ КЛАССАМИ ФУНКЦИЙ С ОГРАНИЧЕННОЙ СТАРШЕЙ ПРОИЗВОДНОЙ

Специальность 01.01.01 - математический анализ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 з ОПТ 2008

Екатеринбург 2008

Работа выполнена в отделе теории приближения функций Института математики и механики Уральского отделения Российской академии наук.

Научный руководитель: член-корреспондент РАН,

доктор физ.-мат. наук, профессор Бердышев Виталий Иванович.

Официальные оппоненты: доктор физ.-мат. наук

Ведущая организация: Уральский государственный университет

им. А. М. Горького.

Защита состоится 13 ноября 2008 года в 10 часов на заседании диссертационного совета Д 004.006.02 при Институте математики и .механики УрО РАН" по адресу: 620219, г. Екатеринбург, ул. С. Ковалевской, 16.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИММ УрО

Бабенко Александр Григорьевич, доктор физ.-мат. наук Горбачев Дмитрий Викторович.

РАН.

Автореферат разослан 6 октября 2008 года.

Ученый секретарь диссертационного совета

Д 004.006.02, кандидат физ.-мат. наук

Антонов Н. Ю.

Общая характеристика работы

В работе рассматриваются вопросы теории равномерного приближения функций на отрезке. Основное внимание уделено приближению классами функций с ограниченной старшей производной, что дает в итоге возможность применить метод промежуточного приближения и получить оценки на приближение алгебраическими полиномами.

Актуальность темы. Метод промежуточного приближения заключается в следующем: сначала по функции, которую требуется приблизить, строится близкий к ней, но более гладкий агрегат. Потом этот агрегат приближается требуемым классом или пространством функций. Величина наилучшего приближения функции при этом оценивается как сумма уклонения агрегата от функции и величины наилучшего приближения агрегата. Этот приём был использован В. А. Стекловым в 1922 году при доказательстве теоремы Вейерштрасса о плотности пространства полиномов [4, гл. I, п. 18]. В качестве такого агрегата он применил функции, которые позднее назвали средними функциями Стекло-ва. Эти же функции использовались и для доказательства неравенств типа Джексона (см., например, Ахиезер [1. гл. V, п. 105], Стечкин [5], Бердышев [2]). Кроме средних функций Стеклова в качестве промежуточных часто используется класс ломаных (см., например, многие работы Н.П.Корнейчука).

Несмотря на кажущуюся грубость метода промежуточного приближения, он иногда позволяет получать точные (неулучша-емые) оценки. Так, например, произошло в найденном Н. П. Корнейчуком доказательстве неравенства Джексона с точной константой. Корнейчук использовал в качестве промежуточного класс Липшица, т. е. класс абсолютно непрерывных функций с ограниченной первой производной:

MV1 = {д Е АС{а, Ъ] : \д'\ ^ М почти всюду} .

Для этого он получил критерий элемента наилучшего приближения (ЭНП) в классе MV1 и с его помощью нашел выражение для величины наилучшего приближения (ВНП) классом MV1:

Теорема 1 (Н. П. Корнейчук). Пусть / е С[а,Ь] \ МТ)1. Тогда имеет, место следующее равенство:

£(/; MVl) = Е{2}(1; М©1) = С/{2}(/; М2?1) =

ö SUP

Здесь:

E(f;Q) = min{||/ - g\\ • g € Q} — величина наилучшего приближения функции / классом функций Q на отрезке

E(f\Q]Xо,..., ж*) = min max {j (/ - g)(x)j} - ВНП функции

g€Q x€{xo,-,xk}

f классом функций Q на сетке {xo,..., x^};

E{k}(f\ Q) — max E{f\ Q\xq, ..., Xk) — максимальная величина наилучшего приближения функции / классом функций Q по всем /¿-точечным подмножествам множества определения;

fW/;Q) = max E(f\Q;x,x + h,...,x + (k-l)h) —

x,h

максимальная величина наилучшего приближения функции / классом функций Q по всем равномерным к-точечным сеткам из множества определения;

т

х) - И (I) / + ("г - k)h) — конечная разность fc=0

порядка т от функции / в точке х с шагом h\

h) = sup{| Д™(/, x)I : 5 6 [0, h], x £{a,b- m<5]} — классический модуль непрерывности функции / порядка т.

Цель работы:

- получение эффективных оценок для величины наилучшего приближения на отрезке и его подмножествах классами функций

с ограниченной старшей производной, т. е. исследование возможности переноса теоремы 1 на классы

МЪп = {д е АС71-1 [а, Ь] : \д™ | < М почти всюду} .

- исследование возможности применения этих оценок в методе промежуточных приближений, в частности для получения неравенства Джексона-Стечкина для модулей непрерывности старших порядков;

- исследование возможностей использования полученных результатов в смежных областях математики.

Методика исследований. Использовались методы математического анализа, в частности классические для теории равномерного приближения методы оценивания мощности альтер-нанса, анализ возможного количества и взаимного расположения нулей у функций и их производных, а также теория сплайнов.

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

- найдено конструктивное доказательство критерия ЭНП в классе функций МТ>п;

- с использованием этого критерия получены точные оценки ВНП классом МТ>2 через максимальные ВНП на трёхточечных сетках и через модуль непрерывности второго порядка;

- показана возможность применения этих оценок в разных областях теории функций, в частности, доказано неравенство Джексона-Стечкина для пространства алгебраических полиномов и модуля непрерывности второго порядка;

- показана принципиальная невозможность получения аналогичных оценок в случае класса МТ>3, т. е. найдена граница применимости метода.

Все результаты диссертационной работы получены автором самостоятельно.

Отдельно остановимся на критерии ЭНП в классе функций МТУ1. Он был доказан автором в 2000-2001 годах и опубликован в журнале «Мат. заметки» [2] в 2003 году. Позднее автор случайно нашёл упоминание об аналогичном результате, содержа-

щимся в диссертации 1980 года немецкого математика У. Затте-са [8]. Дальнейшее изучение базы ссылок AMS показало, что этот результат также был передоказан А. Брауном в 1985 году и Дж. Орамом в 1992. Из всех этих авторов лишь доказательство Орама опубликовано в общедоступном журнале.

Авторское доказательство включено в работу, т. к. оно было получено независимо и является более конструктивным, чем ранее известные. Идея этого доказательства состоит в явном построении сплайновых добавок, уменьшающих уклонение, пока не выполнятся условия теоремы.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы в теории приближений, в частности, они могут быть использованы для уточнения констант в неравенствах Джексона-Стечкина в случае приближения функции алгебраическими полиномами на отрезке. Некоторые другие приложения полученных результатов собраны в главу 5.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в центральной печати, а также в трудах и материалах различных конференций. Среди публикаций по теме диссертации выделим статьи в журналах, которые входят в список ВАК — это уже вышедшие работы [2,4,5] и принятые в печать [8,9]. Кроме того, по теме диссертации есть одна публикация в международном (но не входящем в список ВАК) журнале «East Journal on Approximation» [11].

Апробация. Результаты диссертационной работы докладывались на следующих конференциях:

- на Международной конференции, посвященной 80-летию со дня рождения С. Б. Стечкина (Екатеринбург, 2000 г.);

- на Международных летних научных школах С. Б. Стечкина по теории функций (Миасс, 2000-2006; Алексин, 2007; Миасс, 2008);

- на Молодежных конференциях «Проблемы теоретической и прикладной математики» (Екатеринбург, 2002. 2004);

и на научных семинарах:

- совместный семинар отдела теории приближения функций

и отдела аппроксимаций и приложений Института математики и механики УрО РАН;

- семинар под руководством профессора В. И. Бердышева в ИММ УрО РАН (1998-2008).

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав и списка литературы. Общий объем работы — 137 страниц. Библиография содержит 62 наименования.

Автор выражает искреннюю признательность научному руководителю Виталию Ивановичу Бердышеву за постоянную поддержку его работы.

Основное содержание работы

Первая глава посвящена критерию ЭНП в классе ТУ1. В ней излагается история вопроса и приводятся несколько формулировок критерия, полученных ранее разными математиками. Также приводится полученное автором конструктивное доказательство этого критерия, который сформулирован следующим образом:

Теорема 1.4. Пусть / € С [а, &] \ Т>п, где п — 1,2,... Для того, чтобы функция д* € Т>п была ЭНП для функции /, необходимо и достаточно, чтобы:

1) на отрезке [а, Щ нашлись такие точки {¿¿}|=0 (з > 0, ¿о < ¿1 < ... < Ь8), что д* е Г„[£о, -, Ц,

2) на отрезке нашелся альтернат функции / — д* из в + п точек ,

3) на каждом из интервалов (¿¿.£г+1) выполнялось тождество

Здесь:

^(Тя) = о,...,%] С Ст~1 — множество сплайнов степени ■т, дефекта 1. построенных по разбиению Тм, т. е. функций,

7

являющихся полиномами степени т на каждом из отрезков [¿¿1^+1];

Гт[£0,— Гт(Т„) с — класс идеальных сплайнов

степени т, построенных по разбиению Т^, т. е. сплайнов, у которых производная порядка т на каждом отрезке разбиения тождественно равна +1 или —1 и в каждой точке и меняет знак.

При доказательстве этого критерия была получена лемма о некоторых свойствах сплайнов минимального дефекта:

Лемма 1.3. Пусть п ^ 1 и дан набор точек ¿0 < ^ < ... < Ьп, а также набор чисел {^К^о- Пусть выполняются равенства

г^ = (—1)г при г = 0, ...,п — 1. Тогда существует единственный сплайн к б £„[¿0, ¿ъ ¿¡-г]. удовлетворяющий краевым условиям = 0 « = г» при г € 0,п —1. Более того, выполняются следующие условия:

1) /г > 0 на промежутке (¿о>£п],

2) принимает на интервалах значения с чередующимися знаками, начиная с положительного, т. е.

Устанавливаемые леммой свойства 1) и 2) были хорошо известны для В-сплайнов, но класс сплайнов, удовлетворяющих условиям леммы, не ограничивается только В-сплайнами.

Во второй главе доказываются соотношения между глобальными и сеточными ВНП при приближении классом V2. При помощи критерия из главы 1 получены точные оценки на ВНП на всём отрезке через приближения на равномерных и неравномерных трёхточечных сетках. Основная теорема главы формулируется следующим образом:

Теорема 2.2. Пусть / € C[a,b}\V2. Тогда:

\E{z}{f^) < С/{3}(/;Р2) ^ ;

Константы \ и \ во всех этих неравенствах точные.

Эта теорема показывает, что в случае класса V2 равенство, аналогичное равенству из теоремы 1, недостижимо, но можно найти эффективные оценки.

В третьей главе показана невозможность существования аналогичных теореме 2.2 соотношений для класса Х>3, т. е. показано, что отношение максимальной ВНП на трёхточечных множествах к глобальной ВНП на всём отрезке не может быть ограничено никакой константой:

Теорема 3.1. Для любого числа К > 1 существует такая функция / е С[а, Ъ] \ V3, что:

В последнем параграфе третьей главы приводится гипотеза о виде неравенства, связывающем сеточные и глобальные ВНП классом V3, а именно, высказывается предположение, что может иметь место следующая теорема:

Теорема 3.2. Существуют числа Мг > 0 и М2 > 0 такие, что для любой функции f 6 С[а, b] \ £>3 выполняется неравенство

E{f; Р3) ^ maх {м, • 2>3), М2 • (/;2>3)} ■

В четвёртой главе исследуется взаимосвязь между классическим модулем непрерывности функции и её ВНП классами Т>п. В параграфе §4.1 доказывается теорема о связи приближений на равномерной сетке и модуля непрерывности порядка п:

9

Теорема 4.3. Пусть / G С[а, b] \ Vn. Тогда:

U{n+1}(J;Vn) = ¿ sup [а?„(/, h) — hr' ¿ лф^Г

Таким образом, часть равенства из теоремы 1 всё же удаётся перенести на классы Vn при всех п.

В параграфе § 4.2 соединение теоремы 4.3 с теоремой 2.2 даёт эффективную оценку:

Теорема 4.4. Пусть f € С[а, b] \ MV2. Тогда

E(f; MV2) < 1 • sup Lj(/, h) - Mh2 . Цо,^]1

Здесь константа 1 в правой части является точной.

Аналогичное применение теоремы 3.1 даёт утверждение для класса Х>3:

Теорема 4.6. Для любого числа М > 1 существует такая функция / 6 С[а, 6] \ Т>г, что

E{f-V*)>M sup U (f,h)~h* Цо,^]1

Также в четвертой главе рассматривается вопрос о возможности достижения супремума из теоремы 4.4 в наперёд заданной точке ho € [0, ^р], т. е. о возможности подбора такой константы М*. что

sup

о;2(/, К) - МЛ2] = u2(f, h0) - MX-

Вообще говоря, такое равенство оказывается недостижимым, но в работе доказывается, что для любой точки Но существует такая константа М», что

sup

w2(M) - МЛ2J < 5сo2{f,h0) - МЛ1 10

Это неравенство играет важную роль в вынесенных в пятую главу приложениях.

В пятой главе показывается возможность применения полученных в предыдущих главах результатов. Параграф §5.1 посвящен улучшению константы В2 в следующей теореме Ю. А. Вруд-ного в формулировке Бл. Сендова [9]:

Теорема (Ю. А. Брудный, Бл. Сендов). Пусть f £ С[0,1], п — заданное натуральное число, тогда для любого 0 < h < ^ найдётся такая функция Д 6 ЛС"г_1[0,1], что:

Константы Ап и Вп не зависят от f и к.

В частности, Бл. Сендов показал, что в этой теореме можно положить Ап ~ 1, Вп = пп{п + 1). При п = 2 это утверждение даёт нам константы А% = 1 и Вч = 12. Мы уточняем теорему следующим образом:

Теорема 5.3. В предыдущей теореме можно положить А2 = 1,

В параграфе § 5.2 мы обращаемся к неравенству Джексона-Стечкина. В работе 1962 года }3] Н. П. Корнейчук переносит свой знаменитый результат — точное неравенство Джексона для тригонометрических полиномов — на случай приближения алгебраическими полиномами:

Теорема 5.3. Пусть / £ С[а, Ь]. Тогда

Здесь Рп есть пространство алгебраических полиномов степени не выше п. Результаты главы 4. опирающиеся на основную теорему главы 2, которая, в свою очередь, использует основную теорему главы 1, дают возможность получить следующее

II / - ЛИ < К uin(f> Л), ' fín) < Вп

В2 = 4.

неравенство Джексона-Стечкина для алгебраических полиномов и модуля непрерывности второго порядка:

Теорема 5.10. Пусть / € С[а,Ц. Тогда

ви;П<

Среди подобных неравенств, установленных в работах А. Ф. Тимана, В. К. Дзядыка, Г. Фройда, Ю. А. Брудного, Н. П. Корнейчука, А. И. Половины нет неравенств с явной константой и явным аргументом модуля непрерывности.

Параграф § 5.3 посвящен связи между /i-функционалом Пе-етре и модулем непрерывности. Под /С-функционалом Пеетре порядка г понимается следующая величина:

Kr(t,f) ■■=g€^MVA\\í-~9\\c+49(nj-

и> о

Уже в одной из самых первых работ, посвященных К-функционалам — статье Я. Пеетре 1969 года [7] — приводится формула

Ki{tJ) = ^i(/,2í),

где ¿>i есть вогнутая мажоранта модуля непрерывности первого порядка.

В монографии Р. ДеВора и Дж. Лоренца [б] доказывается соотношение 2~rojr(f, í?) ^ Kr(t,f) ^ Arwr(/, ir), справедливое при некоторой константе Лг, зависящей только от т. В работе мы уточняем эту формулу при г = 2:

Теорема 5.12. Пусть f € С[а,Ъ] и уД ^ ^ • Тогда

K2(t,f)<5u2{f,t*).

Работы автора по теме диссертации

[1] МиРОНЕНКО, А. В. Приближение функциями с ограниченной производной // Проблемы теоретической и прикладной математики. Труды 33-й Региональной молодежной конференции (28 января - 1 февраля 2002 г.). Екатеринбург. 2002. С. 74-75.

[2] Мироненко, A.B. Равномерное приближение классом функций с ограниченной производной // Матем. заметки. 2003. Т. 74, № 5. С. 696-712.

[3] Мироненко, A.B. Равномерное приближение функциями с ограниченной второй производной // Проблемы теоретической и прикладной математики: Труды 35-й Региональной молодежной конференции. Екатеринбург: УрО РАН, 2004. С. 91-94.

[4] мироненко, A.B. Оценка величины наилучшего приближения классом функций с ограниченной второй производной // Сибирский математический журнал. 2006. Т. 47, № 4. С. 842-858.

[5] Мироненко, А. В. О точности оценок приближения классом функций с ограниченной второй производной // Сибирский математический журнал. 2007. Т. 48, № 6. С. 1285-1294.

[6] Мироненко, А. В. Об оценке равномерного уклонения от класса функций с ограниченной третьей производной // Труды Международной летней математической школы С. В. Стечкина по теории функций. Ид-во ТулГУ. 2007. С. 93-95.

[7] Мироненко, A.B. Об одной теореме Ю. А. Брудного // Материалы международной математической конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики», Тула: Изд-во Тульского ун-та. 2007, стр. 64-65.

[8] Мироненко, A.B. Точная оценка равномерного уклонения функции от класса функций с ограниченной второй производной // Матем. заметки, принята в печать.

[9] Мироненко, А. В. Об оценке равномерного уклонения от класса функций с ограниченной третьей производной / / Труды ИММ УрО РАН, принята в печать

[10] Мироненко, А. В. Равномерное приближение классами W^ на отрезке // Тезисы Международной математической конференции посвященой 100-летию со дня рождения С. Л. Соболева. Новосибирск. 5-12 октября 2008 года. Принято в печать.

[11] mironenko, а. v. On a theorem of Yu. a. Brudnyi // East Journal on Approximation, 2008. Vol. 14, № 2. P. 235-239.

Список литературы

[1] Ахиезер, H. И. Лекции по теории аппроксимации. Издание 2-е, переработанное и дополненное, М.: Наука. 1965.

[2] вердышев, В. И. О теореме Джексона в Lp // Тр. Матем. ин-та АН СССР. 1967. Т. 88. С. 3-16.

[3] Корнейчук, Н. П. Точная константа в теореме Д. Джексона о наилучшем равномерном приближении непрерывных периодических функций // Докл. АН СССР. 1962. Т. 145, № 3. С. 514-515.

[4] СтЕКЛОВ. В. А. Основные задачи математической физики, часть первая. Петербург, Российская Государств. Академич. Типография. 1922.

[5] стечкин, С. Б. Замечание к теореме Джексона // Тр. Матем. ин-та АН СССР. 1967. Т. 88. С. 17-19.

[6j DeVore, R. A., LORENTZ, G. G. Constructive Approximation, Springier-Verlag, Berlin, New York, 1993.

[7] Peetre, J. Exact interpolation theorems for Lipschitz continuous functions // Ricerche Math., 18 (1969) 239-259.

[8] Sattes, U. Beste Approximation durch glatte Funktionen und Andwendungen in der intermediären Approximation /'/ Dissertation, Universität Erlangen-Nürnberg, 1980.

[9] Sendov, Bl. On a Theorem of Ju. Brudnyi // Mathematica Balkanica, New Series, Vol. 1, 1987, Fase. 1, pp. 106-111.

Мироненко Александр Васильевич

Равномерное приближение классами функций с ограниченной старшей производной

АВТОРЕФЕРАТ

Подписано в печать 2 октября 2008 года. Формат 60x84/16. Объем 1 пл. Тираж 100 экз. Заказ 2908. Размножение с готового оригинал-макета в типографии ИП Заворохина О.В. «Копи-А». 620027, г.Екатеринбург, ул.Мамина-Сибиряка, 71.

Обозначения

Введение

Определения и предварительные сведения.

Глава 1. Характеризация элемента наилучшего равномерного приближения в классе Т>п

§ 1.1. История'вопроса.

§1.2. Лемма 1.3.

§ 1.3. Основная теорема.

§ 1.4. Конструктивное доказательство основной теоремы

§ 1.5. Однозначность определения ЭНП характеризацией

Глава 2. Соотношения между величинами наилучшего приближения классом Т>

§ 2.1. Основная теорема

§ 2.2. Вспомогательные утверждения

§ 2.3. Доказательство основной теоремы.

2.3.1. Доказательство неравенства (2.1) между ВНП на всём отрезке и ВНП на трёхточечных сетках

2.3.2. Доказательство неравенства (2.2) между ВНП на равномерных трёхточечных сетках и ВНП на произвольных трёхточечных сетках

2.3.3. Точность константы | в неравенстве (2.1)

2.3.4. Точность константы \ в неравенстве (2.2)

2.3.5. Точность константы | в неравенстве (2.3)

Глава 3. Соотношение между величинами наилучшего приближения классом Vz

§ 3.1. Основная теорема

§ 3.2. Гипотеза о возможном виде неравенства.

Глава 4. Связь между величиной наилучшего приближения классом Т>п и модулем непрерывности

§4.1. Основная теорема о связи между модулем непрерывности и величиной локального приближения на равномерных сетках

4.1.1. Доказательство основной теоремы.

§ 4.2. Оценки величины наилучшего приближения классами V2 и V3.

Глава 5. Применения полученных результатов

§ 5.1. Теорема Ю. А. Брудного

§ 5.2. Неравенство Джексона-Стечкина

5.2.1. Краткая история вопроса.

5.2.2. Промежуточное приближение.

5.2.3. Приближение алгебраическими полиномами

§ 5.3. К-функционал Пеетре второго порядка.

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Вопросы равномерного приближения функций имеют давнюю историю. Одним из основных методов изучения этих вопросов является исследование точек максимального уклонения приближаемой функции от приближающей. Приведём следующую характеризацию элемента наилучшего приближения (ЭНП) в пространстве алгебраических полиномов:

Теорема (П. Л. Чебышёв). Функция д* € Рп является ЭНП для функции / £ С[а, 6] в классе Рп тогда и только тогда, когда существует набор точек {¿о, ¿п+1} такой, что (/ — = а(—1)г||/ — д*||, где константа а равна +1 или —1.

Набор точек {¿г} называют алътернансом длины п + 2. Функция д*, удовлетворяющая этим условиям — единственна.

Здесь в качестве приближающего множества используются линейное подпространство алгебраических полипомов степени п. Позднее эта теорема была обобщена Хааром на более общие линейные подпространства.

Мы будем рассматривать равномерное приближение классами Т>п, т. е. классами функций, имеющих почти всюду ограниченную по модулю единицей производную порядка п:

Классы Т>п являются одними из самых простых представителей классов функций, задаваемых ограничением на гладкость содержащихся в них функций, которые играют важную роль в теории приближений. Результаты, полученные для классов Vй, могут служить ориентирами при исследовании более сложно устроенных классов. д^ 1 всюду, где существует д^

Отметим, что классы Т>п не являются линейными подпространствами, и поэтому теоремы типа Чебышёва или Хаара здесь не имеют места. Эти классы являются выпуклыми и локально компактными, поэтому для любой функции / хотя бы один ЭНП в классе Vй всегда существует, но, как правило, этот ЭНП не единственен. Но всё же и в этом случае понятие альтернанса позволяет охарактеризовать множество функций, являющихся ЭНП.

Среди задач теории приближения достаточно важной считается задача получения эффективных, по возможности точных, оценок на величину наилучшего приближения произвольной функции некоторым, наперёд заданным, линейным пространством или классом функций. Классическими приближающими классами являются пространства полиномов и сплайнов. Одним из продуктивных приёмов решения этой задачи является промежуточное приближение, когда для аппроксимируемой функции сначала строится близкий к ней, но более гладкий агрегат, который, в свою очередь, приближается требуемым классом функций. Величина наилучшего приближения при этом оценивается как сумма уклонения агрегата от исходной функции и величины наилучшего приближения самого агрегата. Этот приём был использован В. А. Стекловым в 1922 году при доказательстве теоремы Вейерштрас-са о плотности пространства полиномов [36, гл. I, п. 18]. В качестве такого агрегата он применил функции, которые позднее назвали средними функциями Стеклова. Эти же функции использовались и для доказательства неравенств типа Джексона (см., например, Ахиезер [1, гл. V, п. 105], Стечкин [38], Бердышев [4]). Кроме средних функций Стеклова в качестве промежуточных часто используется класс ломаных (см., например, многие работы Н.П.Корнейчука).

Несмотря на кажущуюся грубость метода промежуточного приближения, он иногда позволяет получать точные (неулучшаемые) оценки. Так, например, произошло в найденном Н. П. Корнейчуком доказательстве неравенства Джексона с точной константой. Корнейчук использовал в качестве промежуточного класс Липшица, т. е. класс функций с ограниченной первой производной. Для этого он сначала получил критерий ЭНП в этом классе:

Теорема. Пусть / е С[а,Ь] \ МТ)1. Для того, чтобы функция д* е МТ)1 была ЭНП для функции /, необходимо и достаточно, чтобы нашлись две точки х\ < Х2 из отрезка [а, Ь] такие, что

1) (/ - д*)(хг) = (~1У+1а\\/ - где а = -д*)(Х1));

2) д*(х2) — д*{х\) = —осМ ■ (х2 — Х\), т. е. д^ = —аМ на интервале {хъх2).

На отрезке [х\,х2] все ЭНП совпадают.

Отметим, что здесь требуется наличие альтернанса из двух точек на том отрезке, где производная ЭНП принимает максимальное значение. При помощи этого критерия Н. П. Корнейчук получил следующее соотношение для величины наилучшего приближения (ВНП) классом МТ)1:

Теорема. Пусть / Е С[а,Ь] \ МТ>1. Тогда имеет место следующее равенство:

Здесь величина наилучшего приближения непрерывной функции / классом МТ)1 выражается через её модуль непрерывности первого порядка. Если теперь найти оценку величины наилучшего приближения самого класса МТ)1 пространством полиномов, то сумма этих двух величин даст оценку величины наилучшего приближения функции / полиномами.

Одним из побудительных мотивов для моей работы был вопрос о возможности переноса этого метода Н. П. Корнейчука на производные (и, соответственно, модули непрерывности) более высоких порядков. Полностью это удалось проделать лишь для класса

Р2, что поззир волило в итоге получить неизвестное ранее неравенство Джексона-Стечкина для модуля непрерывности второго порядка. Было также показано, что одно из ключевых для этого метода неравенств не имеет места уже в случае класса Р3, т. е. указана граница применимости метода.

Цель работы:

- получение эффективных оценок для величины наилучшего приближения на отрезке и его подмножествах классами функций с ограниченной старшей производной;

- изучение возможности применения этих оценок в методе промежуточных приближений, доказательство неравенства Джексона-Стечкина для модуля непрерывности второго порядка;

- использование полученных результатов в некоторых смежных областях математики.

Методика исследований

Использовались методы математического анализа, в частности классические для теории равномерного приближения методы оценивания мощности альтернанса, анализ возможного количества и взаимного расположения нулей у функций и их производных, а также теория сплайнов.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, пяти глав и списка литературы. Главы разбиты на параграфы, разделённые на пункты. Нумерация формул и утверждений двойная, на первой позиции номер главы, на второй — номер формулы или утверждения внутри главы. Нумерация иллюстраций сквозная. Общий объем работы — 137 страниц. Библиография содержит 62 наименования.

1. Ахиезер, Н. И. Лекции по теории аппроксимации. Издание 2-е, переработанное и дополненное, М.: Наука. 1965.

2. Бабенко, В. Ф., Шалаев, В. В. Об оценках наилучшего приближения, вытекающих из критерия Чебышёва // Матем. заметки, Т. 49, № 4. (1991) С. 148-150.

3. Бари, Н. К., Стечкин, С. Б. Наилучшие приближения и дифференциальные свойства двух сопряженных функций // Труды Московского математического общества, 1956,Т. 5, С. 483-522.

4. Бердышев, В. И. О теореме Джексона в Ьр // Тр. Матем. ин-та АН СССР. 1967. Т. 88. С. 3-16.

5. Брудный, Ю. А. Обобщение теоремы А. Ф. Тимана // ДАН СССР, 148. 1963. С. 1237-1240.

6. Брудный, Ю. А. Приближение функций п переменных квазимногочленами // Изв. АН СССР, Сер. матем. Т. 34, №3, 1970, С. 564-583.

7. Даугавет, И. К. Введение в теорию приближения функций. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1977. 184 с.

8. Демьянов, В. Ф., Малоземов, В. Н. Введение в минимакс, М.: Наука, 1972. 368 с.

9. Дзядык, В. К. Дальнейшее усиление теоремы Джексона о приближении обыкновенными многочленами непрерывных функций // ДАН СССР, 121, № 3. 1958. С. 403-406.

10. Дзядык, В. К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. М. : Наука, 1977. 512 с.

11. Завьялов, Ю.С., Квасов, Б. И., Мирошниченко, В. Л. Методы сплайн-функций, М.: Наука, 1980. 352 с.

12. КОРНЕЙЧУК, Н. П. О наилучшем равномерном приближении на некоторых классах непрерывных функций // Докл. АН СССР. 1961. Т. 140, № 4. С. 748-751.

13. Корнейчук, Н. П. Точная константа в теореме Д. Джексона о наилучшем равномерном приближении непрерывных периодических функций // Докл. АН СССР. 1962. Т. 145, № 3. С. 514-515.

14. Корнейчук, Н. П. О наилучшем приближении непрерывных функций // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1963. Т. 27. С. 29-44.

15. Корнейчук, Н. П. Экстремальные задачи теории приближения. М.: Наука, 1976. 320 с.

16. Корнейчук, Н. П. О точной константе в неравенстве Джексона для непрерывных периодических функций // Мат. заметки. 1982. Т. 32, вып. 5. С. 669-674.

17. Корнейчук, Н.П. Сплайны в теории приближения. М.: Наука, 1984. 352 с.

18. Корнейчук, Н. П. Точные константы в теории приближения. М.: Наука, 1987. 424 с.

19. Корнейчук, Н. П., Половина, А. И. О приближении непрерывных и дифференцируемых функций алгебраическими многочленами на отрезке // ДАН СССР. 1966. Т. 166, №. 2. С. 281-283.

20. Корнейчук, Н. П., Половина, А. И. О приближении функций, удовлетворяющих условию Липшица, алгебраическими многочленами // Матем. заметки. 1971. Т. 9, №. 4. С. 441-447.

21. Корнейчук, Н.П., Половина, А. И. О приближении непрерывных функций алгебраическими многочленами // Укр. мат. журнал. 1972. Т. 24, №. 3. С. 328-340.

22. Малоземов, В.Н., ПевныЙ, А. Б. Полиномиальные сплайны: Учеб. пособие. — J1.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1986. 120 с.

23. Мироненко, А. В. Приближение функциями с ограниченной производной // Проблемы теоретической и прикладной математики. Труды 33-й Региональной молодежной конференции (28 января 1 февраля 2002 г.). Екатеринбург. 2002. С. 74-75.

24. МИТЯГИН, Б. С., СЕМЕНОВ, е. М. Отсутствие интерполяции линейных операторов в пространствах гладких функций // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1977. Т. 41, № 6. С. 1289-1328.

25. Натансон, И. П. Конструктивная теория функций. M., JL: Гос. изд-во технико-теоретической литературы. 1949. 688 с.

26. РЕМЕЗ, е. Я. Основы численных методов чебышёвского приближения, Киев: Нау-кова думка, 1969.

27. СтЕКЛОВ, В. А. Основные задачи математической физики, чг.сть первая. Петербург, Российская Государственная Академическая Типография. 1922.

28. СТЕЧКИН, С. Б. О порядке наилучших приближений непрерывных функций // Изв. АН СССР. Серия матем. 1951. Т. 15. С. 219-242.

29. Стечкин, С. Б. Замечание к теореме Джексона // Тр. Матем. ин-та АН СССР. 1967. Т. 88. С. 17-19.

30. Черных, Н. И. О неравенстве Джексона в L2 // Тр. Мат. ин-та АН СССР. 1967. Т. 88. С. 71-74.

31. Черных, Н. И. О наилучшем приближении периодических функций тригонометрическими полииомами в ¿2 // Мат. заметки. 1967. Т. 2, вып. 5. С. 513-522.

32. Шевчук, И. А. Приближение многочленами и следы непрерывных функций на отрезке, Киев: Наукова думка, 1992.

33. BROWN, A. L. Best approximation by smooth functions and related problems // Parametric optimization and approximation (Oberwolfach, 1983), 70-82, Internat. Schriftenreihe. Numer. Math., 72, Birkhäuser, Basel, 1985.

34. DeVore, R. A., Lorentz, G. G. Constructive Approximation, Springier-Verlag, Berlin, New York, 1993.

35. Foucart, S., Kryakin, Yu., Siiadrin, A. On the exact constant in Jackson-Stechkin inequality for the uniform metric // ArXivrmath CA/0612283, (2006), 1-20 (to appear in Constructive Approximation).

36. JOHNEN, H. Inequalities connected with moduli of smoothness // Mat. Vesnik, Vol. 3. 1972. 389-403.

37. MlRONENKO, A. V. On a theorem of Yu. A. Brudnyi // East Journal on Approximation, 2008. Vol. 14, № 2. P. 235-239.

38. Oram, J. A. Best Approximation from Certain Classes of Functions Defined by Integral Operators // Ph. D. thesis, University of Newcastle upon Tyne, 1992.

39. ORAM, J. A. Best Approximation by Periodic Smooth Functions // Journal of Approximation Theory, Vol. 92, № 1, 1998, P. 128-166.

40. Peetre, J. Exact interpolation theorems for Lipschitz continuous functions // Ricerche Math., 18 (1969) 239-259.

41. Peetre, J. A new approach in interpolation spaces // Studia Math. 34 (1970), 23-42.55. plnkus, A. Best Approximations by Smooth Functions // Journal of Approximation Theory, Vol. 33, 1981, 147-178.

42. Sattes, U. Beste Approximation durch glatte Funktionen und Andwendungen in der intermediären Approximation // Dissertation, Universität Erlangen-Nürnberg, 1980.

43. Sattes, U. Best Chebyshev approximation by smooth functions //in «Quantitative Approximation», Proc. International Symposium, Bonn, August 20-24, 1979 (R. A. Devore and K. Scherer, Eds.), pp. 279-289, Academic Press, New York, 1980.

44. Schoenberg, I. J., Whitney, A. On Polya frequency functions. III. // Trans. Amer. Math. Soc., 1953. vol. 74, № 2, p. 246-259.

45. SCHUMAKER, L. L. Spline functions: basic theory, New York, 1981.

46. Sendov, Bl. On a Theorem of Ju. Brudnyi // Mathematica Balkanica, New Series, Vol. 1, 1987, Fase. 1, pp. 106-111.

47. SlNWEL, H. F. Uniform Approximation of Differentiate Functions by Algebraic Polynomials // Journal of Approximation Theory, Vol. 32. 1981, pp. 1-8.

48. Vasil'ev, S. N. Jackson-Stechkin Inequality in L2-7r,7r] // Proc. Steklov Inst. Math. Suppl. 1. 2001. P. S243-S253.