Одновременное приближение функций и их производных тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Академия наук Украинской ССР Ордена Трудового Красного Знамени Институт математики

ЛРОЩ Вячеслав Иладитровт

ОДНОВРЕМЕННОЕ ПРИЕШШШЕ &УНВДЙ И ИХ ПРОИЬВДИЫХ

01.01.01 - матейатический анализ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

На правах рукописи

Киев

Работа выполнена в Киевском ордена Ленина политехническом институте им. 50-летия Веникой Октябрьской социалистическ революции ,

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор СТЕПАН ЕЦ, А. И.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

профессор РШИЕВСКИЙ Г. 3.,

кандидат физико-математических на; доцент ШАНСКИЙ А. В.

Ведущая организация: днегшопетровский государственный университет.

Защита диссертации состоится б -/.Г^чаоов на заседании специализированного совета Д 016.50.С пои Институте математики АН ГССР по адресу. 252004 Киев 4, ГС ■ул. Репина, 3-

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке института.

Автореферат разослан

Ученый секретарь

специализированного совета ГУСАК Д.6.

*

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

дуальность темы. Работа посвящена вопросам приближения линейных 1мбинащ"й производных и линейных комбинаций сдвижек функций по-юдстлом целых функций экспоненциального типа. Благодаря работам

.Бернштейна, задачи приближения целыми функциями экспоненци-1ьного типа заняли важное место в теории приближения. Многие за-1чи теории приближения, решенные ча классах периодических функ-ш, остаются открытыми для более широких совокупностей функций, »данных на всей де: лттеяьной оси. Решения таких задач пред-?авляют большой теоретический интерес.

Основными объектами, оаосмотренными в работе, являются вели-

1НЫ

} V

Ф; (*,£)--ХМ

не оС.^ и - действительные числа, которые в общем случае огут зависеть от б' и равномерно ограничены по 6Г , (х.) .

ак называемые (Ц',^-) -производные функций из классов Т, £ ТС определения дани низке). ^ А \

ель работы - получение для функций (*) и >:

асимптотических равенств для верхних граней уклонений операто-ов Фурье, являющихся континуальными аналогами сумм Фурье;

оценок таких уклонений .виоаженных через наилучшие приближения у, -производных индивидуальных функций;

точных равенств для верхних гоаней наилучших приближений целы-и функциями экспоненциального типа. <

сновнне_методи исследования - изучение интегральных п'редставле-ий отклонений целых функций экспоненциального типа на классах веоток, а также конкретные методы, развитые в работах З.К.Дзядн-д, С.Б.Сгечкича, Сунь Юн-шена и других авторов, посвяценных рвению задачи гагара и ее аналогов.

аучная новизна »заботы заключается а том, что рассмотрения прово-

дятся на классах ТС функций, определенных на всей действ!

тельнсй оси, которые в периодическом случае переходят в хорошо изученные классы КХ. . Вое основные результаты диссертацш

являются новыми.

Теоретическая и практическая ценность работы. Райота носит тео] тический характер. Полученные результаты могуг быть использова; в дальнейших исследованиях, посвященных приближениям целыми фу! ниями экспоненциального типа, а также приближениям тригонометр1 ческими полиномами.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладшзалш на семинаре по гармоническому анализу в Институте математики АН УССР, на Всесоюзной школе "Теория приближения функций" в го] де Луцке (1989г.) и на республиканской научной конференции "Эк< тремальнье задачи теории поиближения и их приложения" в городе Киеве (1990г.).

Публикации.' Все основные результаты диссертации опубликованы I восьми работах, список которых приведен в конце автореферата. Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, дв) глав, разбитых на восемь параграфов, и списка литературы. Ее о< ем - 143 машинописные страницы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Будем пользоваться следующими определениями и обозначения» которые введены А.И.Степанцом (см., например, Степеней А.И. 1и сн функций, заданных на действительной оси, и их приближения це л ими функциями. I. // Укр. мат. *урн. - 1990. - 42, Н. - С. К .112 ).

Пусть , р > 1, - множество функций , заданны)

на всей действительной оси и имеющих конечную норму ,

где при р <£ С <*0

аг

№

РП «

йбВ.

5иРП

г, л О -V

-зг

еЧ5 Зи? 1 ' так что1^ ё^М.

Пусть, далее, - функция, непрсрывня при всех

О , и & фиксированное действительное число,

' ОО

(I)

фLt)= ф ct, f) = J y(v-) (vt t ^«r/2)i| гг

7 * ° f

Тогда через L ^ обозначим множество функций ] £ Lt ;

эчти всюду на R- предстанимнх равенством

foo - A + \ vp(x+t)ya;p)dt,

- oo ^

котором A0 - некоторая постоянная, ip £ L^ , а интеграл

снимается как предел интегралов по симметричным расширяющимся зомекуткам. Если.-f б и при этом ip<= Tft- , где IfL -

L , то полагаем -f £ 1-Л 'Л. ,

1 * t * /YY Р

«множества непрерывных функций ¡:з U^ и L^ обозначаются

^ответственно С^ и

В качестве множеств TL будем брать единичные шары \ в пространствах L^ и L^ ; Sp= {

¡которое подмножество ИЗ , ш чилагасп -J- t.

■ £ Ч"" -8 _ £ У ^Ч-^^Ч

>=!,«£>, и тогда полагаем - и Lp = Lp { f

также классы Н^ = [if : l>f (tblf(t')l и

I ={«f: w(-t)} , где <0(t) -

жсировагный модуль непрерывности.

Функцию Ч'(х) называют (H^f)-производной функции

обозначают (X).

В качестве приближающих агрегатов для £ £ Lp TL будем юсматрнвать функции

оо

.е ^©(t) - преобразование вида (I) &унк1Гии

Г^) , ЛГЙ. 6--1,

I О , гг>бг.

Функции х) будем называть операторами Фурье. На клас-

сах операторы §урье являются целыми функциями экспоней-

г V

циального тила. Когда же -^(х) есть <23Г-париодическая со средним значением на периоде, равным нулю, а 6"= п-^ Д/" , то клас-

сы

совпадают с классами L^flb , причем F^i-f, х) —

где " суммы Фурье

В свою очередь, классы и С^ Нш при = Ь ,

"£">0 , совпадают с хорошо известными классами и которые при =■ X. .есть классы и У/^Н^ функций, Т -е про--

иэводные в смысле Вейля которых принадлежат либо , либо Мш.

•п У

Наряду с наилучшим равномерным приближением на классе определяемым равенством

где множество целых функций экспоненциального типа <6",

ограниченных на Я- , оассмотрим величины

С^Р^ *«(р->. с»

(О

(5)

Ос7.»> - '^Свд.-

Изложенные в работе результаты можно условно разбить на три группы, каждая из которых непосредственно примыкает к традиционным направлениям теории приближения, восходящим к таким классическим задачам, кг к проблема £е.вара, задача Колмогорова-Никольского (задача K-Ii) и неравенство Лебег,...

Говорят, что др-< данного класса и данного аппарата приближения эеиека задача Ä-'.i, ее пи получено асимптотическое равенство

л ля верхних граней соответствующих уклонений на рассматриваемом классе. Пеивые результаты в этом направлении связаны с именами К.Н.Колмогорова и С.М.Никольского. В дальнейшем, благодаря исследованиям С.А.Теляковского, А.В.Ефимова, А.И.Степанца и др.,стало

возможным решить задачу К-Н на классах \ХЛ „ \Х/} И ,(Ч>0 ßeftN л t ? > ^'

Lp для различных методов приближения.

В.начале 30-х годов в работах А.И.Степанца оформилась задача типа К-Н, 1. которой в качейтве приближаемого объекта вместо функции £(х) рассматриваются величины F^ (х). Решение этой задачи на

различных классах периодических функций,в частности.показало, что оумми Фурье приближают некоторые линейные комбинации производных Функции по порядку в общем случае лучше, чем саму функцию. В первой главе диссертации такая задача решается на классах L^TC-.

Введем дополнительные обозначения. Пусть рассматриваемые функции H4t) при "t ? 1 выпуклы вниз, исчезают на бесконечности и имеют производную с ограниченной вариацией на СО,°°) . Каждой такой функции при -t > 1 поставим в соответствие две функции .

Тогда положим

OCe= {if : О 4К, К>0),

^ - [Ч1: fi^ot^ .

Множество таких для которых суммируема на [1,°°) функция

и, кроме того,

о< fcUKK , t > 1, l'ti) & l'(t<-0),

обозначим через F0 .

Наконец, через °Р0 обозначим множество пар следующего вида;

Ы>>р) = \

!3 § I пепвой главы получено следующее утверждение. Г е о n е и в I.I.I. Пусть (у, f), , , (ф/^ ,f-$>C) . -nanu, гиинадлешацие множеству Я^ . Тогда mit л»бых

■ «Я «Л *а„д „

^аЛ-^Ч .юн)*« , л»ЛЧ/

где - действительные числа, равномерно ограниченные по , = ¿с^со^/Д , ^ «¿Sih.fiЗГ/А, Г0,иЬ1о

Числа определяются из условий: е С^о

при с , ЧУ^е СЯ^ при ¿= , ^/ц/. е СХ^ пр

1=(П1+4) 1И , причем эти слагаемые упорядочены по возрастанию значений

функции ДЮ =

, в частности, при и

= у., а при

0(0- величины, равномерно Ограниченные по б" и р .

Аналогичные равенства получены для оаосов^Н^Ь.

/ Г' Р 1

В § 3 рассматриваются следствия из доказанных теорем, соде{ жащие условия на Ы^ и ^ , при которых главные члены в полученных асимптотических равенствах равны нулю. Таким образом, исследс ваны случаи, когда изучаемые отклонения операторов Фурье по поря; ку совпадают с наилучшим приближением целыми функциями зкспоненци ального типа на рассматриваемых классах.

3 исследованиях С.Н.Бернштейна, А.Ф.Гимена, Макинтайра и др. посвященных вопросам интерференции целых функций, было установлено, что величины и Ф^С*;^) обладают сходными свойствами

Окапаюсь, зто сходство сохраняется и для их аппроксимационных свойств .-П 3 й для линейных комбинаций едг .жек функции из Ь^'ТС доказано с'елучцее утверждение.

Т е о р е м а т .и. т. Пусть , оС^ « - числа,

:">;\зномепно спаниченчие но 6" . Тогда, лсли при ^к^6)^

= 0(^1®)/б) , и>= 'I,'" , то V €Г ^ выполняемся оавенство

где

sup I! 2. ot. с f cxtБ,) - Fe(f, x* s.)] 11 =

Ph = AKS-bil oi^ceseear/z-e-^), É>= 6><4 S-J = 2 sin. (рж/г

O(l) - величины, равномерно ограниченные по 5 и jb .

Такие же равенства получены для /слассов С*Н, . L'f , .

Р fA Р ui Из этой теоремы получен ряд следствий, аналогичных следствиям

предыдущего параграфа. В частности, исследованы случаи, когдаР=0

Вторая группа результатов идейно восходит к классическому неравенству Лебега, дающем) оценку отклонения суммы 5урье через наилучшее приближение функции. -А.И.Степанцом были получена аналогичные оценки на классах L^ Yt и L^ ТС , внрахенные через наилучшие приближения -производных. В § 5 такие оценки получены для отклонений от операторов Фурье функций Fj^Cx) и ф*(х,&) . Приведем одну из теорем. д Теорема 1.5.2. Зиновиях теоремы 1.^.1 V;f<=Lp

ct£M ) при любых и jbeR-

- F6(f MCA i¿ < ( & ♦ P\,

где X = С , если je CjM , и , если £ £ L ^ ¡

O(t) - величины, равномерно ограниченные по б" t fi -и -f , Теорема I.5.1 содержит аналогичную оценку для линейной комбинации уклонений (Ч1)^) -производных функции от операторов Фурье, Во второй главе диссертации изучаются верхние грани наилучших приближений функций F^M и целими функциями

экспоненциального типа, т.е. величины (3)-(5).

Задачи такого рода берут свое начало в работах Л.Фавара, 1! .Я.Ах'дезера, М.Г.Коейиа, .соторнми били получены точные значения верхних гэаней на'/лучаих^приближений тригонометрическими полиномами на классах и \1/г , '/»льнейиев продвижение л огом

направлении было связано с именами Б.Надя, В.К.Дзядыка, С.Б.Ст^ кина, Сунь Нн-шена. Эта задача получила название задачи Фавара.

Параллельно возник и решался аналог задачи Фавара на веер .числовой оси. Первые результаты были получены М.Г.Крейном для классов, которые являются континуальными аналогами классов х

й именно, в принятых здесь обозначениях, имеют место точные равенства для величин (2), если = Ь т ¿-М, р - X. либо £>=Т+1 . Б.Надь получил аналогичный результат для более произвольных НО , но по-прежнему для целых р . Развивая методы З.К.Дзядыка, А. В. Бу шанс кий распространил эти результаты на случе любых ' 1 > О и любых £ К. .

Положительные результаты в области одновременного приближения функций и их производных суммами Фурье породили новую задачу - задачу о наилучшем одновременном приближении функций и их производных. Она была сформулирована А.И.Степанцом и предложена В.А.Соричу, который решал ее на классах . 8 диссертации

подобная задача, т.е. нахождение величин (3) и (4), рассматривается на классах б

В § I приводятся две леммы, доставляющие критерий элементе наилучшего приближения, С их помощью получен ряд точных равенст!

для величины £ (б.? } и оценки для величины ё ' у,«» б,ш

Большую часть точных равенств, о которых идет речь, можно представить в виде соотношения; Уб>50

где ^ - корень уравнения

а функции Ч^ВД и числа в каждой теореме удовлетворяют разным условиям, а именно:

- в теореме 2.1.1 при любом -^б^! Н^/Ц^Ь ■Ь"*',

6 и - любые действительные числа;

в теореме 2.1.2 ^ (О = е х р (- ,

чТ^М } сС">0? и - любые действительные числа; в теореме 2.3.1 ГО, 1ЦДЗ, 3] , либо

«и [3,43. при этом >0 ,

. . _

I <0 , , =

ля всех t > ег0 > 1 Ч'Ю/^г. Ш = ? Т. > 5 (<А) ; Ы ,

де - некоторое число, определяемое выбором чисел .

Теоремы 2.3.2 и 2.3.3 содержат равенства (6)-(7) соответст-енно для случаев и Т^ < *£•+! , где

этих случаях выбор чисел соответствующим образом детерми-ирован выбором чисел ,

Кроме того, в ряде случаев получены равенства для величин ида (4):

де Т* - корень уравнения (7),

3 частности, равенства (8) имеют место в условиях теорем з первого параграфа (^есремы 2.1.1 и 2.1.2) для чисел и довлетворяющих условиям теоремы 2.3.1.

В теореме 2.2.1 эти равенства получены для случая ,

огда и р-фз. есть целые числа различной четности, а фун-

:ции , и - достаточно общей природы, а

ценно: V t - трижды (или дважды) монотонна, а

обладает тем свойством, что ее преобразование

«П1-Р

является ядром Крейна (что, в частности, имеет место для таких функций, как ? 1> 1 и е * р (-"(Л) , <*>0 ).

Рассмотрим частный случай. Пусть, например, Ц^СО'

= = 0 , . Тогда

= -Ь~г, Ч'И)/^^)^ к-'1 " в силу теоремы 2.2.1 имеем

£ (Р \ Н Пт зигСакнУГ). соз(аки)Г V' ~%&ъ 11 ^ (Ак+1)3 Г I £ СЯК41)1

Если же использовать свойство полуаддитивности функционала Наилучшего приближения, то получим оценку

2 тЫ ■ ®>

котарая явно хуже, чем соотношение (9), ибо каждое слагаемое в правой части (10) есть максимум соответствующего слагаемого правой части (9). Как известно, оба эти максимума не могут достигаться при одном и том же ^ .

Особый интерес представляют линейные комбинации вида:

Для них имеет место ряд утверждений.

Г е о р е м а 2,1.4. Пусть ^ в VI > =

Л Е

а

Гогда при любых целых ГЬ и К и действительных имеет

место равенство

и

С(£Р - Т - М К ,

где

Аналогичный результат дль функций дает теорема 2.1.3.

Как видим, при нечетных И- наилучшее приближение линейной комбинации двух производных меньше, чем наилучшее приближение каждой из них. Дня линейной комбинации двух (и более) сдвижек имеет место аналогичный факт, который констатирует следующее утверждение.

Т е о р е м а 2.1.5. Пусть суммируема на [1, и

ее преобразование Фурье = , при любом рбЯ соть

ядро Кэейна. Пусть ф^ (х; 5") = (х). . Тогда для любых й" >Е>0,

V Ке при четных IX

а при нечетных ГЪ

Заметим, что функции (х) и у* (х) при Л® 1 к при нечетных К- фигурируют ч, следствиях 1.3.1 и 1.4.1. Как установлено в этих следствиях, верхние грани уклонений этих функций от операторов Зурье по порядку совпадают с наилучшим приближением посредством целых функций экспоненциального типа: 6 ; ^ ^

где )<б2 . а К -* абсолютная постоянная.

Основные положения диссертации опубликованы в счелующих работах:

1. Степ&нец А.И., Дрозд В.В. Одновременное приближение функций и их производных операторами Фурье в равномерной метрике// Одновременное приближение функций и их производных операторами Фурье. -Киев, 1989. - С.3-19. - (Препр./ АН УССР. Ин-т математики; 89,17)

2. Дрозд В.В. Одновременное приближение функций и их производных операторами Фурье в среднем // Одновременное приближение функций и их производных операторами Фурье. - Киев, 1989. - С.20-59. -(Препр./ АН УССР. Ин г математики; 89.17).

3. Дрозд В.В. Наилучшее совместное приближение функций и их '

-производных // Наилучшее совместное приближение функций и их производных. - Киев, 1989. - С.55-63. - (Препр./ АН УССР. Ин-т математики; 89.19).

4. Дрозд В.В. О наилучшем гармоническом приближении линейных комбинаций некоторых функций // Приближение операторами Зигмунда и наилучшее приближение. - Киев, 1989. - С.43-54. - (Препр. /

АН УССР. Чн-т математики; 89.25).

5. Дрозд В.В. Приближение линейных комбинаций сдвижек // Зсесоюз. шк. "Теория приближения функций", Луцк, 31 авг.- 8 сект. 1989г.: Тез. докл. - Киев: Ин-т математики АН УССР, 1989. - С.64.

6. Дрозд В.В. Совместное приближение функций и их производных операторами Фурье//Гармонический анализ и развитие аппроксимаци-онных методов. - Киев: Ин-т математики АН УССР, 1989. - С.55-67.

7. Дрозд В.В. Совместное приближение функций и их производных // Республ. науч. конф. "Экстремальные задачи теории приближения и их приложения", Киев, 29-31 мая 1990г.: Тез. докл. - Киев: Ин-т математики АН УССР, 1990. - С.48.

8. Дрозд В.В. Наилучшее одновременное приближение функций и их производных // Приближение классов -дифференцируемых Функций операторами Стеклова и наилучшее приближение. - Киев, 1990.-С,29-43. - (Препр./ АЛ УССР. Ин-г математики; 90.25).