Аппроксимация сплайнами с нефиксированными узлами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

О 11 91

министерство науни, высшей школу и темшческсп политики российской федерации урмьскга ордена трудового красного знамени государственный университет юл. а.н. горького

аппроксшащ'л спланнаш с кеэдкс1гровлнния1 узлами

01.01.01 - математический анализ

Автореферат диссертант! на соиска!ше ученой стопени ' кандидата физико-матоматичесюнг наук

На правах рукописи

Васильев Юрий Сергеевич

УДК Ы7.618.865

у

Екатеринбург 1992

Работа выполнена в Институте математики и к ханшш УрО РАН. Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор Н.И. Черных. Официальные оппоненты : доктор физико-математических наук,'

профессор Ю.Н. Субботин; кандидат физико-математических наук A.B. 1^лушов.

Водущэе учреждение - Саратовский ордена Трудового Красного

Знамени государственный ущшорситет им. Н.Г. Чернышевского. Защита диссертации состоится 25 ноября 1992 г. в 15 часов нп заседании специализированного совета К 063.70.03 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических ноук в Уральском ордени Трудового Красного Знамени государственном ушшорситете им. А.М. Горького (620083, Екатеринбург, К-83, пр. Ленина 51, ком. 248).

С диссертацией можно "ознакомиться в научной библиотеке Уральского утшврситета. •

Автореферат разослан yf^"йИЩ1992 г.

Ученый секретарь специализированного совета кандидат физико-математических

наук, доцент . fi^l^ В,Г' П1И',ЗН0В

,,(.! Втдзл ....... ,л,Члш1?тгаа1

byazJ.hU А 1

ОБЩАЯ ХЛРАКТЕРИСГ.ИСА РАБОТЫ

ПРЕДМЕТ ИССЛЕДОВАНИЯ. В диссертации рассматривается приближение классов йСО,оо) докйеронцируемнх функций ла полуоси поли-номиалышми сплайнами в метрике Ь ЕО,«>). Исследуются порядки совместных приближений при увеличении количество узлов приблиыа^пс сплайнов.

При приближении сплайнами на отрезка одна из мор сложности сплайна - количество узлов. Если речь идет о приближении на но. ограниченном множестве - полуоси 1, то количество узлов прл-ближаюцего сплвйнп в общем случае следуот считать бесконечным. Тогда в роли "количества узлов" можно задать но число, а функцию, определяющую или огршшчиващую количестьо узпоа но конечных отрезках из Г. Исходя из этого естественно определить следующие

классы сплайнов для приближения:

1) Ц, ^ - класс сплайнов степени 1 дефекта 1 с узлами в точках заданного ¡тожество Т-(0=г0<1,<т2<...);

2) г - класс сплайнов стопою! I дефекта 1 с нефиксированными узлами. Для кьздэго сплайна из этого класса количество узлов на любом отрезке [О,и] но нроьшигют соотиотствутого значения заданной функции //(и). Узли сплайна р-.зрошается располагать в зависимости от приближаемой функции, соблюдая это ограниченно.

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕШ. На отрозке функция из класса ¡Vрк(а,Ы при из-за оо диффорепцируемости и непрерывности автоматически принадлежит классу а,Ы .д>0); сплайн с коноч!шм количеством узлов токо из Ь^Га.Ь1, так как он по крайней мере кусочно непрерипон и ограничен. По втой причино при приближетга на отрезке диМоронцнруомих Функция сплайнам! не возникает всп; ~>с о конечности приближений. При приближении на неограниченном мно-

коства - полуоси, приближаемая функция /(хкйр^Ю.оо) может на принадлежать пространству 1.^(0,«) , о уклонение класса 1Трй[0,со) = =(/(•): (,)1р1о1ш)< 1} от классов Ф,],^ шш Зу^ но2:эт оказаться босконечшм. Поэтому естественно встает вопрос о конечности приближений. То есть, пусть дан класс 17 &[0,<»), метрика приближения Ь^, степень сплайнов I, при каюк условиях на параметры множество узлов Т иди на ограничивающую

функцию Я (и) величины

/(х)^ *[(),») аеЦд

= ^ '1п[ I /-э! д [ о, со)

ЛхЮуЧО.си) асЬ'{,л

КОНОЧНЫ? Ясно, что при атом ДЛЯ ИШриКС»1М1фУЩИ0

сплаШш том долины обладить свойством о(хЕсли указанные ведичшш конечны, то следует дать оцошен о тих величин 'через параметры задачи п исследовать возмоалесть совместного приближения функции и ее производив.. Эти вопроси рассматривал 11.11. Черных [3,4]. Рассматривались фушещщ Щи), в основном, •степенного роста: Ц(и)~ иа, фушецнп //(и) х иа1пРи(1п 1п конечность н сцошсп приближений в зависимости от показателей а, ¡3,

7.....порядки прпбли2:ош1й с и{п)=И1р'+Ь щ;и увеличешш !■! и Ъ. Км

были даны оценки для совместного приближения функции и ее производных, получены условии коночности величины г в терминах сравнения функции Н(и) с функциями указанного вида, и был поставлен вопрос о получении необходимых и достаточных условий конечности приближений для Функции 1({и) произвольного вида.

При изучении этих вопросов возшжают специальные конструкции сплайнов, поэтому их- рассмотрение может дать указания для построения численных влгоримов приближения функций. ,

I

ЦЕЛЬ РАБОТЫ

1. Установить необходима и достаточнее условия на шюгество узлов или ограничивБ!хчую Функщсо //(и) для конечности приближений.

2. Дать оценки приближений для функций и их производных.

3. Установить порядки приближений при увеличении количество узлов.

А. Установить побудки совиестних приближений функций н 1« произподшх.

МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИИ. Доказательства имеют конструктивней характер. Используется способ приближения сплайнами с нефиксированными узлами, лрэдлождашй Ю.Н. ' Субботтшм и Н.И. Чернихом [11, их оценки приближения по атому способу. При получении условий конечности приближения сплайнами с шфиксирооашшш узлами применяется неравенство Харди-Ландау для рядов, состивлошшх из частичных сум.'.!. Применяются тоореми ■ дифференциального и интегрального исчисления, теории рядов, Факта из теории функций, постоянно используется неравенство Гельдера.

НЛРШЛЯ НОВОМ. Ранее, в рпЗзтил'Н.И. Черииха, рассматривались функщга Щи), ограничивающие количество узлой, только стопо1шого и правильного роста. В настоящей диссертации получепи необходимые л достаточный условия конечности приОлиг:о1гнй для функций М(и) с минимальными и рстесг&сша/кл ограничениями на во вид, в этом сиислэ являщнесл окг 'чатс-льншп. Получони оценки приближений в виде, вытекающем из этих условия. При изучении вопросов конечности оказалось целесообразным ввести ограничена на кошивстпо узлов но только с помощьп функц;м К и). но и с ломощьэ "огршпгнтвецого множества". В терминах характеристик этого мпокоства естественна записываются условия конечности

приближении и их оценки. Такоо изменение первоначальной задачи позволило снять многие технические трудности, возникающие при ее исследовании, и том самим решить задачу до конца.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Работа имеет теоретический характер. Результаты могут использоваться в теории функций, а конструкции . аппроксимирующих сплайнов - в вычислительной математике.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результата диссертации обсуждались на семинарах отдела теории приближений Института математики-и механики УрО АН СССР в г. Свердловске, на Всесоюзных летних школах по теории приближения функций под руководством профессора С.Б. Стечкина (Мг.есс, 1989 ; Свердловск, 19Э0), на 5-Й Всесоюзной Саратовской зимней школе (19Э0), на кафедро математического анализа и теории функцкй Уральского госуниверситета.

СТРУКТУРА ДИССЕРТАЦИЯ. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка цитированной литературы. Общий объем - 73 страницы. Библиография содержит II наименований.

ПУБЛИКАЦИИ. По результатам диссертации опубликовано- три статьи.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приводятся необходимые определения и результаты Н.И. Черныха и Ю.Н. Субботина о конечности приближений.

Пусть I - полуось (О.га), 0<q$n. Пусть Lq(il) - множество функций f(x), определенных на измеримом множестве И с конечным значением функционала

¡/lq(if)=<£|/(z>|W/q, 0<д<»,

^lq(if)= es^up

Пусть УУрй(1) - класс определенных на I функций f{x), имеющих локально абсолютно непрерывную производную порядка к-1 и

~ ь

й-ю производную из пространства I), о 1 Ур (I)- множества функций из I'!рк{1), для которых : - целое,

показатель нормы производной р: Кр<со.

.Пусть р - некоторой счетное, упорядоченное по неуСивашга, бесконечное множество точек нз Г, содержащее точку р^ 0: р={0=рд$р1Ср2^..Л. Пазовом функцией распределения множества р функцию Ур(и), равную количеству элементов множества р, попавших в отрозок [0,и].#эвдому сплайну з(х), определенному на I, сопоставим множество его узлов 11 «г£2<. -• >. включая в него в качестве узла точку Г0=0. Обозначим функщш распределения множества узлов (и). Определим классы полиномиальных сплайнов

зг(х) степени 1 (т.е. состоящих из алгебраических многочленов степени не выше 1) с фиксированными узлами в точках заданного множества Т:

^ = 1зг(х): ТдС Т, аг(х) имеот дефект 1, т.е.

31(1-1)(х) € 0(1».

Пусть дана неубивакхдая на Г функция Щи), .У{и)>1 - Опролиам классы сплайнов с нефиксированными узлами: I = тя(и)!5//(и), иш,

г = {зг(х): па(и)<Л'(и), и«сГ, з^х) шеет дефект 1). Обозначим соответствующие наилучшие приблихения фугагдШ и • их производных этими классами так:

I) сплайнами с фиксированными узлами произвольного дефекта: Г£л(/,д)= 1лГ 1/(г)-з(г)|д(Г);

£• ?,1-®,;<1(»рйа).д)- «шр ШГ |/(г'|-з(г)[

дефекта 1:

í'?tl(/.9). Inf l/(r)-a(r,|q(iJ;

ÍWÚlpR[I) e€í,j,tl . .

2) сплайнами с нефиксированными узлами произвольного дефокта: e^l(/,q)= Inf l/(r)-s<r)|q(I)S

/U)€)Vpß(I) acS^

дефекта 1:

¿a.!</•<?>= ^ i/(r,-a(rVi)*

/(*>e»p*(I) SiSjf^ Здесь r=0,1,...fe-1. Наилучшие приближения самих классов функций будем записывать без верхнего индекса производной: Б'т ir'rp^г,

ен,1' с11,1ш Нап?и?,,(ЭР> Введем величину

% г = % г^Лп.д) = 1пГ ,

- наилучшее приближение сплайнами с фиксированными узлами дефек

~ ь

та 1 с "самым хорошим относительно всего класса йр (I) располо кением узлов" из таких, чтоЯт(иКЯ(и).

Приведем часть результатов Н.И. Чершха по этим вопросам, них предполагается Ш , , 1/4-1 /р^О, 0<䧻, Эт

результаты являются следствием из § 5, § 6 работы [4], где рас сматривалась более общая ситуация приближений с весами.

ТЕОРЕМА 0.1 (фиксированные узлы). Пусть Щи) растет по порядку как иж, т.е. М(и)хиж. ГогЗа бяя конечности приближения еа | необходило и достаточно выполнение условия эе>1 при р^д, ге при р>д.

ТЕОРЕМА 0.2 (фиксированные узлы). Пусть рЩ. Тогда, если и=0(Я(и)), то е^ 2<® , если М(и)=о(и), по

ТЕОРЕМА 0.3 (нефиксировшшшо у а ли). Пуст ь а= (/г+1/д-1/р)/й. Если, функция У (и) растет по порядку не л«3лекнее, чел и36, зйа при или растет не ледленнее чел их, ге>а при р>д, т величина £у г конечна. Если //(и) растет блеете с иа по порядку не быстрее, чел и32, ге<а при при р>щ, то

Эти результат удобно свести в таблицу 1.

Таблица 1

Результаты И.И. Черныха о конечности приближения

р>0

наилучшио фиксированные узлы а=(й+1/д-1/р)/?г //(и) * иг: V « е^ ¿<а> и-0(Я(и)) =» е^ #(и)=о(и) » е^ г=« и) X и21: х>а <«• е^

нефиксированные узлы а=(й+1/д-1/р)/й И(и) х иж: эе5а «=» С^ г<га иа=0(#(и)) - ^ г<® Я(и)=0<иж), зе<а * ^.г*00 //(и) * иж: ге>а и^ОМи)), ге>а Н(и)=0(иа) *€цг1=*>

вид пограничной функции для сравнения ^а(и)=1+ца

' а>1 'и

Как видно, с помощью этих результатов не для всякой функции Щи) можно выяснить конечность приближения класса ¡Ур^(1) классами сплайнов о! | и

Аналогичный вопрос о конечности приближений рассматривал' Ю.Н. Субботин [Ь. С. 232-228) в связи с восстановлением функции и ее производных по значениям, заданным на сотко. Из доказательства его теоремы 3 вытекает, что справедлива также следующая

ТЕОРЕМА 0.4 (фиксированные узлы). Пусть 1 < р,д и ке выполнено хотя бы одно из равенств к-г= 1, р=ю, д=1; Для пего, чпооы величина (0.3) ^ аила конечна, необходило и достаточно, чтоби а) при 1 < р ^ д ^ -

б) при 1 < q < р £

sup < 00

2 hU{k-r)pq/(q-p) < w #

В главе 1 •"Условия конечности приближений в терминах ограничивающего множества" выведет необходимые и достаточные условия для конечности приближения сплайнами на полуоси. При этом применены ограничения не в терминах функции N(u), ограничивающей количество узлов на каждом' отрезке [0,и], «а в терминах множоства р, ограничивающего расположоние узлов. Пусть p={C=pg^p1 ..) - счетное, упорядоченное по неубыванию множество точек на.Г, max (1,1). Каждому сплайну s(x)

сопоставим множество части его узлов Т^Ст;^: (=0,1,...).

Определим множества сплайнов с нефиксированными узлами:

sp,i = { Зг(х): %u*Pi> t=i.2,...},

sj I = { 3j(:r)€Sp аг(х) имеет дефект 1). При р=(0=рд<р1<р2<...) определим множества сплайнов с частично

[иксироввнными узлами:

Фр j ={3j(x)e®p 3j(r) ими от декокт 1).-Обозначим соответствующие наилучкиэ приближения класса iУ ^(Г)

. ................................ о d А - Л1

р.I' P.I* p.i

соответственно е

р, Z' ер,1' i.l (г-0,1,.. .А-1). Например,

' «up Inf l/(r)-a(r\(I).

fW^p(I) 3fSp>l

приближения самих функций будем обозначать без верхнего индекса,

аолримвр ер>г=е°>г.

Решение поставлешшх задач позволит в дальнейшем найти

полное решение задач о конечности и порядках величин х» % I*

BN,l•

В § 1 приведена необходимая в дальнейшем При выводе оценок сверху процедура приближения интерполяционными эрмитовыми сплайнами с дополнительными узлами,предложенная в [1] и использованная з [2-41 (см. также: [7,81). В § 2 приведены первоначальные оценки сверху и лемма об оценке снизу приближений на конечном . отрезке в зависимости от его длины. 3 .§ 3 рассматривается приближение с частично фиксированными узлами. ■ .

ТЕОРЕМА 3.2 (случай p$q). Пусть U:p<q<™, 04?<-Н1 равенства р=1, q=oo, £=1 не выполняются одновременно, р=(0=рд<р1<р2<...> -неограниченное множество точек на I; ц=2, если р=1, д=м и ц=1 при других p,q. Тогда для конечности величин Е^ j и j (r=0,1,... необходимо и достаточно, чтобы пооледпвателъностъ (Api)={pi-pi_1) была ограничена. Если Ар^с, то

-ой,...ж

Более того, для maimx множеств р функции 11 указанные их производные с той же погрешностью'лото одновременно приблизить.

соотдотаг&уюяии сплайнали и их-производньии;

- . Аг)Лг). * • " 8 I (7 Í 7" Í

sup luí шах ъ-r+Uq-V/p < 1 •

J(x)04pR{I) zeC'pil г

Здесь и далее Cr=Crip,q,k,l) - некоторые константы, не

зависящие от. множества

ТЕОРЕМА 3.4 (случай p>q). Пусть Q<q<p&>, р21, (Кй-К!,

P={0=Pq<p1 <р2<...} - неограниченная последовательность, Др{=

=Р[~Р(_1 dr=1 + (íe-r)/(l/í7-1/p)Ддя конечности любой из величиз

í , uí , (г=0,1 ) необходило и босяточно, чтобы

Р. i p.t ю d

соответствующий ряЗ Apt охотился. £сии при нанол-то v

} ря) Ry сход'ися, по

с. Гр(1 < í С^1^"1^, r=Q,1.....v.

Более тога, при. жол

sup lnl шах Wq-1%11 < 1 •

/(х)е«р (Г) аеФр(1 W

В § 4 рассматривается приближение сплайнами с нефнхсировш!

ными узлами классов S„ 7, si ,.

р, i р, i

ТЕОРЕМА 4.2 (сл;. шй p<q). Пусть 04г-К1,

р={0=р0<р1^р2^...} - ограничивающее множество для классов Sр г u Sp г; u fc-v+1 /q-1/pjíO. íljycr/ib 7v=fií-vJ/f/q-1/pj

(v=0,1,.. Для конечности величин e^L 7 u e^ 7 кеобхоаидо

р,i

7 7

u бооаиочно, члобы pn=0(m v). Бели при некоторол v Pm=0(m v) i

/ Ь

cv= su^i pm/n t no

Кроле того, для mcucur Лнохеств p=p(v)

ТЕОРЕМА 4.4 (случай p>ç). Пуспъ 0<q<p&>, p>1 , Oift-Kl, р={0=р0$р1^р2^...} - неограниченная последовательность на I,

dr=1+77FT7p (г=0,1, ...й-1 ).

Длй нонечносгглх .иоСой из величин е7! 7, е^ 7 (г=0»1 )

р » с р, t

ю fPti

необходило и достаточно, чтобы соопветствуххций ряд Ur~^¿.^

"Г

¿р

и (или) У_= 2 г £=1

ûpf сходился. Если при кшюл-то v

(CKv^fc-1) рж) üv и fiuu,) 7V сходится, no

r=0,1,....v.

£atee пого,

1/<г)-з(г)30(I)

sup Inf max -тЖГТр * 1 •

f(x)OYrtk(I) stS 1 7 O^psv cr[(dr_1 )Уг]

p p, L

Результата относительно конечности приближений можно представить в виде таблицы 2. °

Теоремы из § 3, 4 показывают, какой характеристикой ограничивающего множества р определяется конечность приближений и их оценки сверху при фиксированных параметрах p-,q,h,l. В зависимости от соотношений между ними и способа приближения (с фиксированными, с нефиксированными узлами) такими характеристиками' являются:

-у ет Л га fPil" вир Др., sup р„/п', 2 Ар. и 2 -т— . Одновременно возможно

•Ы 1 m t=1 1 i=114

-приблизить и производные функций (быть может не все). Чтобы убедиться, что именно эти характеристики являются определяющими,.в § 5 выводятся оценки наилучших приближений снизу через эти »е величины. Тем самым устанавливается справедливость двухсторонних ■

' оценок с участием этих характеристик. Результаты представлены ; таблице 3. Отмети?.!, что в случае--нефиксированных узлов при р>д . соответствующие оценки сверху можно обеспечить за счет одновременного приближения функций и их производных сплайнами и их про изводными, причем с фиксированными (зависящими только от р) узлами.

Таблица

~ ь

Условия конечности приближоиий класса У/р (1) сплайнами, задаваемым!!'ограничивающим множеством Ш, 1, Кр^оо, 0<дй», &+1/д-1/р^0.

Р>9

частично фиксировашше узлы с= ВЦ]Э ¿Р£ < ю ,1'£Р.1<са 03 Г1 Й= 2 Ар, < со ~ Ер,1'ер,г< И

нефиксированные узлы с=лацр р„/тУ < а> Ш т О — ер.г,ер,г< 00 и=<Ш<а <=> Т.Е. ■■< оо Р.1' Р.I

Если й+1/д-1/р=0, т.е. й=1, р=1, то приближения Е^ г ер,г> Ер,г конечны независимо от огра1ШЧиващего множеств Р-

- и -

• Двухсторонние оценки наилучших приближений fei, 1«p$»,'o<q$», ft+l/g-1/р/О, cZr=1 fT7ipr7p'

г-0,1,...ft-1. Константа D.Ö. на зависят от р.

Р^Я p>q

частично фиксировашше узлы С- SUD ÜP{ i ücA-r+1/g-1/par Pt1 CO cL r (=1 1 V'H'PÄJ,^ ^1/q-l/p

нефиксированные узлы k-r+Wq~Wp br= Bim - ' ,тЫ гГ r • CO Г t=1 ^1/q-l/p^ у 1/q-1/p Г

В главе 2 осуществляется переход от ограш'пшакщих множеств к граничивающим функциям и(и) и определяются порядки приближений ри увеличении количества узлов. Параграф 1 состоит из вспомога-ельных утверждений об эквивалентности характеристик в терминах граничивввдих множеств и ограничивающих функций. В § 2 выводятся словия конечности и оценки приближений с нефиксированными узла-и. В § 3 рассматриваются приближения с наилучшими фиксированными злами. Результаты относительно конечности приближений представ-юны в таблице 4. В § 4 выводятся порядки приближений при гереходе от класса сплайнов, определяемого функцией Я(и), к ;лассу, определяемому функцией ПК {и), при М—«о.

~ ь

Условия конечности приближений класса ff (I) классами сплайнов, задаваемыми ограничивающей функцией Ш, 1, 0<ф5°°, fc+l/g-1/р/О, //(и) но убивает, W(u)

..... <. p^q P><?

ю к

наилучшие фиксироаатше узлы u=0(W(u)) «=» сд, J 0 Г и Ti(üУ \Jq-\/p ~ etf,Z<to

CO к

i. нефиксирован- Ua=0(/v (U) ) «==> J 0 u W(u) i. j '^"'^du < со.

1ше узлы

a=(P.i\/q-\/p)/k

ТЕОРЕМА 4.1, Яри всех значениях параметров 1 , 0<q<oo, , X^fe-1, Q^r^fc-I, лххЗой тубивахцей Фуюсцт N (и), //(, соответствущьз величин* eJJ г и j конечна или беснакечш одновреленио. Боли они конечны, то при И—»«

Эта теорема устанавливает порядок приближения класса г-х производных функций из 17 k(I). Дальнейшие рассмотрения показыва-

г

ют,- что такой порядок приближения можно обеспечить и за счот совместного приОлижонил функций и соответствующих производных. Точнее, справедлива

ТЕОРГМА 4.4. Пусть Кр$», 0<q$», , 1, Л",ч) - неуби-вскщая на I=tO,co) фун..-ция, if(u)>1, и величины I (ОЯ-1^^-1) конечны. Тогда при И—ю>

sup Inf max (i/(r)-a(r)| (1)У г) 1.

В глава 2, кроме приближений с огратгавотаой функцией, рассматриваются приближения классами сплайнов, задаваемыми эгроничивающкм множеством р. В тэоремо 4.2 фактичеаш- дано дано уточнение тооре;м 4.2 глови I , состоящее в тем, что оцешш зпорху в случае, соответствующем левому тштму углу таблицы 3, .;ожо такяо объединить за счет одновременного приОлн.четш функции !1 ое производных сплайном (с нефиксированными узлами) и ого соответствую^!!,4«! производными.

СПИСОК ЛИТЕРАТУР J

!. Субботин ¡0.11., Черных H.H. Порядок наилучших сплайн-прибликозшй некоторых хлвссса фушецяй// Математические заметки. 1970. Т.7. С. 31-12.

2. суисотяп D.H. йвлзь сгоюйх-прябяяшшЯ с зпдэтзй лрчблютешм класса классом// Магенатечосгсяо оамоэта. 1971. Т. 9.. С. 501-510.

3. ЧОр'ЛК II.If. еттле^па*.*!! О злд8!!!юй плотность» распределения узлов// Тр. ИШ1. 1975. Г? 133. С. 174-197.

•1. Чзрнк:: II.И. Еркблжстю клгссов доМоропчируе!ütx fyimctft сплайн?:';.! в г-оссвпг. пространствах// Тр. МИЛН. 1980. Т.145. С.159-247. . .

5. Субботин Ю.Н. Однссторсшгао приближения сплайна™ при дополнительных-ограничениях, восстановление функций и производных // Матомаппесшю заметки. 1980. Т. 28. С. 501-510.

6. Харди Г.Г., Литтльвуд Ди.Е., Полна Г. Неравенства. М., 1948.

7. ЛигунЛ.А., Сторчай В.Ф. О наилучшем выборе узлов при ПрКбЛПВШВ! ФУПКЦУ.Д ЛОКОЛЬНКМЯ ЭрКИТОЕИМИ СПЛБЙН8МИ//Укр. МВТ. курн. 1930. Т. 32, N 6.-С. 824-830.

8. Лигун A.A., Шумейко A.A. Оптимальный выбор- узлов при

¡гриблда.бшаш функцийсшюйнамл//Докл. АН-УССР. Сер. А. 1934. N 6. С. 18-22.

Основные положения диссертации изложены а следуиц!

публикациях:

9. Васильев Ю.С. ПртЗлт'енив сплайнами на бесконечном промежутке// Тр. ЫЛРАН. 1991. Т. 198. С.89-110.

10. Васильев Ю.С. Условия конечности приближения дифференцируем; функций полиномиальными спла?нами на бесконечном промежутке/ Теория функций и приближений. Саратов, 1992.(Тр. 5-fi Саратовской зимней школы. 1990).

II., Васильев JO. С. Приближение сплайнами с нефиксированными узла на полуоси в зависимости от расположения узлов// Тр. 1Ш УрО РАН. 1992. Вып. 2. С. I-I8.