Аппроксимация локальными L-сплайнами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи УДК 519.65

Стрелкова Елена Валерьевна

Аппроксимация локальными £-сплайнами

01.01.01 - математический анализ

2 2 ОКТ 2899

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Екатеринбург 2009

003480306

Работа выполнена в отделе аппроксимации и приложений Института математики и механики Уральского отделения РАН, г. Екатеринбург

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук

А. Г. Бабенко

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор

доктор физико-математических наук

В. М. Бадков Ю- С. Волков

Ведущая организация:

Уральский государственный университет им. А. М. Горького

Защита диссертации состоится 26 ноября 2009 г. в 10 часов на заседании диссертационного совета Д 004.006.02 при Институте математики и механики УрО РАН по адресу: г. Екатеринбург, ул. С. Ковалевской, 16.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИММ УрО РАН.

Автореферат разослан & октября 2009 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д004.006.02, кандидат

физико-математических наук

Н.Ю. Антонов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертация посвящена исследованию аппроксимативных свойств локальных полиномиальных и ¿-сплайнов, построенных по значениям аппроксимируемой функции в точках или ее значениям в среднем.

Актуальность темы. В настоящее время основным аппаратом автоматизированного геометрического проектирования при описании сложных кривых и поверхностей являются методы сплайн-функций. Одномерные полиномиальные сплайны в их простейшей форме представляют собой кусочные многочлены, гладко состыкованные между собой в заданных точках. Наряду с полиномиальными сплайнами в вычислительной математике хорошо известны и активно применяются их обобщения, названные ¿-сплайнами (см., например, [1,23]). Дадим необходимые определения.

Пусть С и Ьр, 1 < р < оо - пространства функций /, заданных на отрезке числовой прямой или на всей прямой К с обычным определением нормы.

Пусть £г = Ст(V) (V - оператор дифференцирования, г £ К) - произвольный линейный дифференциальный оператор порядка г с постоянными действительными коэффициентами (старший коэффициент полагаем равным 1). Символом 3Ст или 5£г(Д) обозначим множество всех ¿-сплайнов порядка г минимального дефекта (т.е. дефекта 1) с узлами на сетке Д : а — хо < х\ < ... < хлг = Ь, т.е.

5£г = 3Сг(А) = _

= {5€С"-2М: £г(Р)5(®) = 0, хе(х!,хН1), з = 0,^-1).

Ясно, что если оператор СГ{Т>) является оператором взятия г-ой производной, т.е. СГ(Т>) = Т>т, то множество БСг совпадает с множеством полиномиальных сплайнов порядка г (степени г — 1) с узлами на сетке Д. Аналогичным образом определяются ¿-сплайны и на всей числовой оси Е.

Для функции / : К К обозначим через

конечную разность г-го порядка с шагом к > 0. Полиномиальным В-сплайном (см., например [3]) порядка г (степени г — 1) называется функция

г

г-1

Вг{х) = Сг{К)/\1

г/г

(2)

где = тах{0,4}. Нормирующий множитель Сг(к) > 0 выбирается так, чтобы имело место равенство 12 Вг(х - ]К) = 1 (х £ I).

"Г В 1975 году Т.Лич и Л.Шумейкер [22] (см., также [3,5]) построили Локальные полиномиальные сплайны г-го порядка вида Зг(х) = к

£<•(/, г) = Е 12+ в)Ь)Вг{х-]К) {х € М) для любой функ-

3

ции / : Тй Ж, где к = и действительные коэффициенты 75

выбраны из условия точности формулы Зт(/,х) = f(x) для многочленов степени г — 1. В книге Ю.С. Завьялова, Б.И. Квасова, В.Л. Мирошниченко [3] было показано, что в ряде случаев построенные локальные полиномиальные сплайны 5Г обладают наилучшими аппроксимативными свойствами на классах функций

= \¥тр-1[а,Ъ] = {/ : 6 АС, У^Ч^.ь] < 1} (3) (1 <Р< 00, г > 2)

на отрезке [о, 6], обеспечивая по порядку к такую же точность, какую дает соответствующий колмогоровский поперечник указанного класса функций. Здесь АС - класс функций, абсолютно непрерывных на отрезке [а, Ь]. Аналогичные построения локальных полиномиальных сплайнов были выполнены в [3,22] также для полиномиальных сплайнов с неравномерными узлами. Этот аппарат успешно применялся в вычислительной математике для решения прикладных задач, поскольку он имел очевидные преимущества перед интерполяционными сплайнами на оси М, значения которых зависели от значений аппроксимируемой функции / во всех точках равномерной сетки на оси К (см., например, [6,10]).

' С точки зрения создания простых вычислительных схем для аппроксимации ■ быстро растущих и разрывных функций большой интерес представляет построение локальных £-сплайнов, аналогичных по своей конструкции выше описанным полиномиальным сплайнам. Этим вопросам посвящена первая глава диссертации.

. В настоящее время имеется значительное число работ (см., например, [2,4,8,9,13,19]), посвященных численным аспектам аппроксимации полиномиальными сплайнами функций одного переменного, связанных с локальным наследованием сплайном свойств монотонности и выпуклости (обобщенной выпуклости, ковыпуклости, к-монотонности и т.д.) исходных данных. Однако, сохранения монотонности и выпуклости для интерполяционных сплайнов удается достичь только при дополнительных, довольно жестких ограничениях на исходные данные и сетки узлов (см., например, [2,8,9]).

В 1993 году Ю.Н. Субботин [13] на классе функций IV¡^ с ограниченной почти всюду второй производной и заданных на отрезке на равномерной сетке построил локальный неинтерполяционный метод аппроксимации, сохраняющий локально геометрические свойства (монотонность и выпуклость) исходных данных - значений приближаемой функции / в узлах равномерной сетки. В периодическом случае этот метод оказался оптимальным в смысле поперечников по А.Н. Колмогорову и по В.Н. Коновалову. В.Т. Шевалдин и К.В. Косто-усов [7,21] развили этот метод применительно к экспоненциальным и тригонометрических сплайнам с равномерными узлами, соответствующим линейным дифференциальным операторам третьего порядка вида Т>{Т)2 ± /З2). Вторая глава диссертации посвящена развитию отмеченных результатов.

Если аппроксимируемая функция / не является непрерывной, а только интегрируемой, то неестественно рассматривать вопросы приближения такой функции, исходя из ее значений в узлах сетки, т.к. значения в отдельных точках несущественны для таких функций. Обычно в задачах теории приближения функций используют интерполяцию в среднем. Полиномиальный сплайн 5Г с равномерными узлами X] = {] £ Щ называется интерполяционным в среднем для функции /, если он удовлетворяет следующим равенствам

2

^ I /О'Л + = 5гул) и € /11 > 0).

-¿1

2

Вопросы существования, единственности, аппроксимативные и экстремальные свойства интерполяционных в среднем полиномиальных сплайнов изучались в работах Ю.Н.Субботина [12,14,15].

Для функций /, определенных и интегрируемых на всей числовой оси К, рассмотрим функционалы вида

МЛ =

тгг I /О'Ь + ОЛ, Ь > 0, _ (4)

2 /ДО), Ь = о,

Представляет интерес изучение аппроксимативных и формосо-храняющих свойств локальных полиномиальных сплайнов г-го порядка вида 5г(а;) = 5Г(/, х) = ^ Ь^(/)Вг(х — ]Ь) (х Е К).

з

Эти сплайны не являются интерполяционными в среднем (несмотря на то, что при /11 > 0 они построены по значениям функции

/ в среднем). Важной задачей является вычисление явной зависимости величины погрешности аппроксимации такими сплайнами на соболевских классах W™(M) (т < г — 1) не только от величины шага сетки h, но и от величины шага усреднения hj. Решению этой задачи в случае, v = 3 (т.е. в случае параболических сплайнов) посвящена третья глава диссертации.

Цель работы. Построение и изучение аппроксимативных свойств локальных ¿-сплайнов с равномерными узлами, сохраняющих базисные функции из ядра линейного дифференциального оператора Сг порядка® г с постоянными действительными коэффициентами!'Построение и изучение аппроксимативных свойств локальных ¿-сплайнов третьего порядка с произвольным расположением узлов, обладающих формосохраняющими и сглаживающими свойствами, Изучение аппроксимативных и формосохраняющих свойств параболических локальных сплайнов, построенных на основе интерполяции в среднем.

Методы исследования. В работе используются методы математического анализа и теории приближения функций, в частности, теории сплайнов.

Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми. Основные из них заключаются в следующем.

1. Результаты диссертации, полученные в первой главе, развивают, но не обобщают отмеченные выше результаты Т. Лича, JI. Шу-мейкера [22], Ю.С. Завьялова, Б.И. Квасова, B.J1. Мирошниченко [3]. Построены локальные ¿-сплайны r-го порядка S(x) = S(f, х) с равномерными узлами, сохраняющие базисные функции из ядра линейного дифференциального оператора £г = CT{V) с постоянными действительными коэффициентами, корни характеристического многочлена которого попарно различны. Приведена оценка погрешности аппроксимации некоторых соболевских классов функций (зависящих от оператора ¿г) построенными ¿-сплайнами в терминах ядра интегрального представления разности f(x) — S(x).

2. Построены локальные формосохраняющие экспоненциальные и тригонометрические сплайны на оси и на отрезке с произвольным расположением узлов, соответствующие линейным дифференциальным операторам третьего порядка вида ¿зС^) = V(D2 ± /З2). Получена поточечная оценка погрешности приближения указанными ¿-сплайнами. Данные результаты являются продолжением аналогичных исследований Ю.Н. Субботина [13], К.В. Костоусова и В.Т. Ше-валдина [7,19,21].

3. На классе функций с ограниченной почти всюду вто-

рой производной точно вычислена величина погрешности аппроксимации функций / и их производных локальными параболическими сплайнами, построенными на основе интерполяции в среднем.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Построенные в диссертации локальные ZI-сплайны могут быть использованы в вычислительной математике для создания пакетов программ формосохраняющей аппроксимации.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на следующих математических конференциях и научных семинарах: совместный семинар отдела теории приближения функций и отдела аппроксимации и приложений Института математики и механики УрО РАН под руководством члена-корреспондента РАН Ю. Н. Субботина и профессора Н. И. Черныха; научный семинар под руководством члена-корреспондента РАН В. И. Бердышева в Институте математики и механики УрО РАН; научный семинар под руководством профессора В.В.Арестова в Уральском госуниверситете им.А.М.Горького; научный семинар под руководством В.Л.Мирошниченко и Ю.С.Волкова в Институте математики СО РАН (г. Новосибирск); научный семинар под руководством профессора К.Еттера в г. Штутгарте (Германия); Международная конференция "Прикладной анализ, теория аппроксимации и вычисоительная математика"(17. Rhein-Ruhr-Workshop) (г.Боркен, Германия, 2007 г.); Международная летняя научная Школа С.Б. Стечкина по теории функций ( г. Миасс, 2007 г.); 37-я, 38-я и 40-я Региональные молодежные конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики"^. Екатеринбург, 2006г., 2007г., 2008г.).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы автором в работах [30]- [36].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Главы разбиты на параграфы. Объем диссертации - 88 страниц. Список литературы содержит 36 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Обзор результатов главы 1. В главе 1 построены локальные ¿-сплайны г-го порядка с равномерными узлами, сохраняющие базисные функции из ядра линейного дифференциального оператора Cr — Cr(D) с постоянными действительными коэффициентами, корни характеристического многочлена которого попарно различны. Построение этих сплайнов, в отличие от [3,22], проводится без использования тождеств Марсдена (т.е. представлений базисных функций яд-

pa оператора через базисные В — ¿-сплайны, см. определение ниже) и без применения реккурентных соотношений для В — ¿-сплайнов, хотя известно, что эти свойства имеют место даже для более общих чебышевских сплайнов (см. [29]).

Пусть г 6 N, V - оператор дифференцирования и

г

= (5)

з=1

- линейный дифференциальный оператор порядка г с постоянными действительными коэффициентами, все корни 8j характеристического многочлена которого попарно различны. Пусть </?(ж) = <рт(х) -решение линейного однородного уравнения Cr{V)f — 0, удовлетворяющее условиям: <¿>^(0) = {j = 0,г — 1), где <5j>_i - символ Кронекера. Заметим, что этими условиями однозначно определяются

г

числа Aj в представлении tp(х) = Yl Aje&x. Для функции / : М Е,

j=1

следуя А.Шарме и И.Цимбаларио [16], определим

= П(Г - e?'hE)f(x) = ¿(-1Г>5/(х + sh) (6)

j = 1 9=0

- конечную разность с шагом h > 0, соответствующую оператору ¿г. Здесь Г/6г) = f{x + h),Ef{x) = }{х),ц3 = ц${Ст) > 0 (s = Щ7).

В - ¿-сплайн Всг(х) (см., например, [23]) с носителем у-]

и узлами в точках {jh + |}:)-__fe_1 при г = 2к +1 и с узлами в точках {j/ijjL^ при г — 2к определяется формулой

В(х) = = CcAQbfo ((* " у)+) • W

Нормирующий множитель С*£г (Л) > 0 для дальнейшего изложения удобно взять равным 1.

Для любой функции / : Е Е полагаем yj = f(jh) и y^+i =

/((;' + I) h) (j S Z). При r = 2k +1 рассмотрим последовательность функционалов

-fj = Ij,2k+1 = ClVj-k + c2yj-k+i + ■■■ + C2k+lVj+k, (8) а при г = 2к

h = htk = biVj-k+i + ЬгУ^к+1 + - + b2kyj+k-i- (9) 8

Локальный £-сплайн г-го порядка, соответствующий функции

/, определим формулой S(x) = S(f,x) — — jh){x e 1), где

j_ _

B(x) = Bcr(x), а неизвестные числа cs (s = 1,2k + 1) и is (s = 1,2k) выбираются таким образом, чтобы имели место равенства

S{e0'x,x) = e^x, j = (х е Ж). (10)

Для того, чтобы сформулировать основные результаты первой главы, введем еще некоторые обозначения. Пусть А - матрица вида

/ 1 еАЛ e2ß>h _ eßi[r-l)h \

А = 1 e02h е202h _ e02(r-l)h

\ 1 eßrh е2ßTh ' Q0r{r—l)h /

и р(х) = pr(x) = J] (х — - характеристический многочлен раз-i=1

ностного оператора с = (сьс2, ..., с2*>и)т, b = (bu b2,..., b2k)T. В случае нечетного г = 2к + 1 положим dj = dj:2k+i =

= е/ gJ- (j = 1,2fc + 1), а в случае четного г = 2к определим dj = р (с J Mj

= dj,2k = e¿.-ц . (i = !> и пУсть d = (di,d2, ...,dr)T - соответ-

P Iе )лз

ствующий вектор-столбец.

Теорема 1. Пусть г = 2к и действительные числа ßj (j = l,2fc) попарно различны. Тогда система линейных алгебраических уравнений Ab = d относительно b = {bi,b2,...,b2k)T однозначно разрешима и ее решение обращает в тождества равенства (10).

Теорема 2. Пусть г = 2k + 1 и действительные числа ßj (j = l,2fc + l) попарно различны. Тогда система линейных алгебраических уравнений Ас = d относительно с = (ci,c2,..., C2fe+i)T од позначно разрешима и ее решение обращает в тождества равенства (10).

Сформулированные устверждения имеют место и для случая, если оператор СТ имеет комплексные корни при выполнении неравенства ah < 7г. Здесь а - максимум из модулей мнимых частей корней характеристического многочлена.

В § 3 - 4 главы 1 указаны оценки погрешности аппроксимации некоторых соболевских классов функций (зависящих от оператора

£г) построенными сплайнами в терминах ядра интегрального представления разности /(х) — S(x) и рассмотрены частные случаи полученных результатов.

Обзор результатов главы 2. В главе 2 на оси и на отрезке строятся локальные формосохраняющие £-сплайны третьего порядка с произвольным расположением узлов, соответствующие операторам вида£3(Х>) = V(V2±P2) (/3 > 0). Для формулировки результатов ограничимся здесь только случаем £3(Т>) = V(T>2 —/З2), приводящим к экспоненциальным сплайнам. Пусть £2 = £2(Т>) = V2 - /З2 (/3 > 0), I - отрезок числовой прямой К или вся ось И и

W£(l) = {/:/'€ AC, \\C3(V)f\\Leo(I) < 1}.

Рассмотрим на оси М бесконечную в обе стороны сетку узлов: • ■ • < х-2 < Х-1 <X0<X1<X2<---. Пусть hj = Xj+i — xj\ Xj+i/2 = (j € Щ. Для функции /, определенной на оси К,

положим yj = }{xj) и построим обобщенную разделенную разность

. г f , sh/9/i,-+i sh/3(/i7- + hj+i)

д 'fo.w-и,W+3] = W-щ- - W+1--+ УН2,

соответствующую оператору £2(1?) = D2 —/З2, но значениям функции ¡/ = /(ж) в точках ij,Xj+i,a:j+2. Разность Д^2[j/j,2/j-i-i>Уу-ьг] обращается в нуль на сеточных значениях yj = f{%j) любой функции / из ядра линейного дифференциального оператора C2CD). В случае /3 = 0 эта разность с точностью до постоянного множителя совпадает с обычной разделенной разностью второго порядка. Отметим, что обобщенные разделенные разности, соответствующие произвольной, линейно независимой системе функций и произвольным узлам, были введены Т. Поповичу [25] в 1959 году в терминах определителей. Функции /, определенной на оси Е, поставим в соответствие локальный экспоненциальный сплайн, соответствующий линейному дифференциальному оператору £з(Г>) = Т>(Т>2 - /З2), вида

S(x) = S(f,x) = а + bsh/3(x — xj) + ссЬ/3(ж - xj)+

+ -¿¡2 (ch^ ((а - ®j+i/a)+) - l) , х € [х}\х^у] (j е Z), (11)

где i+ = max{Q,t,} и коэффициенты a,b,c,d определяются следующим образом:

ь =

У~Уз сЬ/З/Ъ' ~

эЬ

л 1сЬ , 4_4

С = У] +

/ЗЛ,-

(12)

вЬ | ч-Л^вЬ^- у'

В главе 2 доказаны формосохраняющие и сглаживающие свойства функции 5(/, х). В качестве иллюстрации приведем один из результатов.

Теорема 3. Локальный экспоненциальный сплайн 5(х), определенный формулами (11) —(12), локально наследует свойство обобщенной монотонности исходных данных {ув том смысле, что:

a) если у^+1 - > 0 , ^ - > 0, ун2 -Уj+1 ch|3hj+l > 0 и сЬ/З/г^ — у^ > 0, то 5(ж) не убывает на промежутке (xj■,xj+l);

b) если у1+х - у] сЬ/З^- < 0 , у, сЬ/3/г^_1 - у^-х < 0, у^+2 — 1 < 0 и yj+l сЬДЛ^- — У} < 0, то Б(х) не возрастает на

промежутке (xj^,xj+l).

Пусть / е и 6 Щ и

ФЛ1(Х), X 6 [х^Х^/г] , Ф^гОс), ж е [^+1/2,,

где

бЬ|(Х 1(1^+1 -х)

сЬ

/3/1,-

+

+

зЬ2 I(х - х,+1/2)

/?2

эЬ ^(х — Ху) эЬ |(х^+х — х)

сЬ

/ЗЛ,-

+

+

зЬ^сЬ 2

Теорема 4. Для любой функции f £ W£>2[Xj-1,Xj+2] (j G Z) для сплайна S(x) — S(f,x), определенного формулами (11) — (12), имеет место точное неравенство |/(z) — < ^j(x), х € \xj,xj+1] (j 6 Z), причем знак равенства при х € [xj,xj+^] достигается для любой функции / такой, что £2 ("С)/(f) = — 1 для почти всех t 6 [ij'-ijij+i], а при х G [Xj+i,Xj+i] - для любой функции / такой, что C%^D)f{t) = —1 для почти всех t € \xj,xj+ 2].

Аналогичные оценки погрешности аппроксимации получены для функций /, заданных на фиксировапнном отрезке (с выбором краевых условий типа второго рода) и в периодическом случае. Теоремы 3 и 4 в случае /3 = 0 и hj = h доказаны Ю.Н. СуббЬти-ным [13], в случае hj = h и /? ф 0 - К.В. Костоусовым и В.Т. Шевалдиным [7,21], а в случае (3 — 0 и произвольных узлов - В.Т. Шевалдиным [19]. Предложенная схема построения экспоненциальных сплайнов перенесена автором и на случай тригонометрических сплайнов, соответствующих линейному дифференциальному оператору вида Сз(Т>) = V{V2 + а2) (а > 0) при выполнении условий 0 < hj < I (j е Z).

Сформулированные в главе 2 результаты были получены автором [31] в 2006 году. В 2007 году Ю.Н. Субботин [28] модифицировал описанные выше схемы построения локальных параболических и тригонометрических сплайнов с произвольным расположением узлов, соответствующих линейному дифференциальному оператору Сз(Т>) = V(V2 + а2). Конструкции локальных ¿-сплайнов, построенные им, приводят к меньшим погрешностям при аппроксимации локальными сплайнами на соответствующих классах функций, чем в теореме 4, и обладают в определенном смысле лучшими сглаживающими свойствами.

Обзор результатов главы 3. В главе 3 для функций /, определенных и интегрируемых на всей числовой прямой М, рассматриваются функционалы вида

мя =

Г, f f(jh + t)dt, hi>0, _ (13)

f{jh), hi = о,

¿1

2

Пусть Вз(х) = зЬ^Дд ((я - - нормализованный пара-

болический Б-сплайн с равномерными узлами -Локальный параболический сплайн определим в этом случае формулой

S(x) = S(/,x) = ЕЪМ)В3{х - jh.) (x 6 R). i

Этот сплайн не является интерполяционным в среднем. Он также обладает формосохраняющими и сглаживающими свойствами. Основными результатами этой главы являются следующие утверждения.

Теорема 5. При 0 < hi < 2h имеет место равенство sup ||/-S||oo = Ç + g.

f€Wl( R) » ¿4

Теорема 6. При 0 < h\ < 2h имеет место равенство

sup +

При /ii = 0 оба утверждения были доказаны Ю.Н.Субботиным

[13].

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю Александру Григорьевичу Бабенко за ценные замечания и внимание к работе.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

[1] Алберг, Дж. Теория сплайнов и ее приложения / Дж. Алберг, Э. Нильсон, Дж. Уолш - М.: Мир, 1972.

[2] Волков, Ю. С. Хорошо обусловленные методы построения сплайнов высоких степеней и сходимость процессов интерполяции: дис. ... доктора физ.-мат. наук : 01.01.01 / Волков Юрий Степанович. - Новосибирск, 2006.

[3] Завьялов, Ю. С. Методы сплайн-функций / Ю.С.Завьялов, Б.И.Квасов, В.Л.Мирошниченко - М.: Наука, 1980.

[4] Квасов, Б. И. Методы изогеометрической аппроксимации сплайнами / Б.И.Квасов - М.: Физматлит, 2006.

[5] Корнейчук, Н. П. О приближении локальными сплайнами минимального дефекта / Н.П.Корнейчук // Укр. матем. журнал. - 1982. - Т. 34, №5. - С. 617-621.

[6] Корнейчук, Н.П. Сплайны в теории приближения / Н. П. Корнейчук - М.: Наука, 1984.

[7] Костоусов, К. В. Аппроксимация локальными тригонометрическими сплайнами / К. В. Костоусов, В. Т. Шевалдин // Матем. заметки. -2005.- Т. 77, №3. - С. 354-363.

13

[8] Мирошниченко, В. Л. Достаточные условия монотонности и выпуклости для интерполяционных кубических сплайнов класса С2 / В.Л.Мирошниченко // Вычислительные системы. - 1990. -Вып. 137. Приближение сплайнами. -С. 31-57.

[9] Мирошниченко, В. Л. Достаточные условия монотонности и выпуклости для интерполяционных параболических сплайнов /

B. Л. Мирошниченко // Вычислительные системы. - 1991. -Вып. 142. Сплайны и их приложения. -С. 3-14.

[10] Стечкин, С. Б. Сплайны в вычислительной математике /

C. Б. Стечкин, Ю. Н. Субботин - М.: Наука, 1976.

[11] Субботин, Ю.Н. Порядок наилучшей сплайн-аппроксимации некоторых классов функций / Ю.Н.Субботин, Н.И.Черных // Матем. заметки. -1970 - Т. 7, № 1. - С. 31-42.

[12] Субботин, Ю. Н. Экстремальные задачи функциональной интерполяции и интерполяционные в среднем сплайны /

■ Ю. Н. Субботин // Тр. МИАН СССР. -1975,- Т. 109. - С. 35-60.

[13] Субботин, Ю. Н. Наследование свойств монотонности и выпуклости при локальной аппроксимации / Ю.Н.Субботин // ЖВМ и МФ. -1993.- Т. 33, № 7. - С. 996-1003.

[14] Субботин, Ю.Н. Экстремальная функциональная интерполяция в среднем с наименьшим значением п-ой производной при больших интервалах усреднения / Ю. Н. Субботин // Матем. заметки. -1996,- Т. 59, № 1. - С. 114-132.

[15] Субботин, Ю. Н. Экстремальная в Ьр интерполяция в среднем

- ' при пересекающихся интервалах усреднения/Ю.Н.Субботин //

- Изв. РАН. Сер. матем. -1997.- Т. 61, №1. - С. 177-198.

[16] Шарма, И. Некоторые линейные дифференциальные операторы и обобщенные разности / А. Шарма, И. Цимбаларио // Маг тем. заметки. -1977.- Т. 21, №2. - С. 161-173.

[17] Шевалдин, В. Т. Некоторые задачи экстремальной интерполяции в среднем для линейных дифференциальных операторов / В. Т. Шевалдин // Тр. МИАН СССР. -1983.- Т. 164. - С. 203-240.

[18] Шевалдин, В. Т. Экстремальная интерполяция в среднем при перекрывающихся интервалах усреднения и £-сплайны /

B. Т. Шевалдин // Изв. РАН. Сер. матем. -1998.- Т. 62, №4. -

C. 201-224.

[19] Шевалдин, В. Т. Аппроксимация локальными параболическими сплайнами с произвольным расположением узлов / В. Т. Шевалдин // Сиб. журн. вычисл. математики - 2005. - Т. 8, №1. - С. 77-88.

[20] Kolmogoroff, A. N. Uber die besste Annaherung von Funktionen einer gegebenen Funktionklassen / A. N. Kolmogoroff // Ann. of Math. - 1936. - V. 37. - P. 107-110.

[21] Kostousov, К. V. Approximation by local exponential splines / К. V. Kostousov, V. T. Shevaldin // Proc. of the Steklov Institute of Mathematics. Supple 10. - 2004. - P. 147-157.

[22] Lyche, T. Local spline approximation methods / T. Lyche, L. L. Schumaker //J. Approxim. Theory. - 1975. - V. 15, №4. -P. 294-325.

[23] ter Morsche, H. G. Interpolation and extremal properties of £-spline functions: Dissertation / H. G. ter Morsche. - Eindhoven.: Technische Hogeschool Eindhoven, 1982.

[24] Piegl, L. The NURBS Book / T. Piegl, W. Tiller. - Berlin etc.: Springer; 1997.

[25] Popoviciu, T. Sur le reste dans - certains formules lineares d'approximation de l'analyse / T. Popoviciu. // Mathematica (Cluj). - 1959. -V.I.- P. 95-142.

[26] Schoenberg, I. J. Contributions to the problem of approximation of equidistant data by analytic functions, Part A: On the problem of smoothing of graduation, a first class of analytic approximation formula / I.J. Schoenberg // Quart. Appl. Math. - 1946. - V.4. -P. 49-99.

[27] Shevaldin, V. T. Approximation by Local £-splines Corresponding to a Linear Differential Operator of the Second Order / V. T. Shevaldin // Proc. of the Steklov Institute of Mathematics. Supple 2. - 2006. - P. 189-208.

[28] Subbotin, Yu. N. Approximationes by Polynomial and Trigonometric Splines of Third Order Preserving Some Properties of Approximated Functions / Yu. N. Subbotin // Proc. of the Institute of Mathematics and Mechanics of Russian Academy of Sciences. -2007. - V. 13, № 2. - P. 231-242.

[29] Wronicz, Z. Chebyshevian splines: Dissertationes Mathematical / Z. Wronicz. - Warszawa.: Polska Academia Nauk, Institute Mathematyczny, 1990.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ АВТОРА

ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[30] Шевалдина, Е.В. Аппроксимация локальными тригонометрическими сплайнами с произвольными узлами / Е. В. Шевалдина

)

// Проблемы теоретической и прикладной математики: Трз'ды 37-й региональной молодежной конференции. 30 января - 3 февраля 2006 г. - Екатеринбург: УрО РАН, 2006. - С. 151-155.

[31] Шевалдина, Е. В. Аппроксимация локальными экспоненциальными сплайнами с произвольными узлами / Е. В. Шевалдина // Сиб. журн. вычисл. математики. - 2006. - Т. 9,№4. - С. 391402.

[32] Шевалдина, Е. В. Аппроксимация локальными параболическими сплайнами функций на основе их интерполяции в среднем / Е. В. Шевалдина // Проблемы теоретической и прикладной математики: Труды 38-й региональной молодежной конференции. 29 января - 2 февраля 2007 г. - Екатеринбург: УрО РАН, 2007. - С. 100-104.

[33] Shevaldina, Е. V. Approximation in the mean by local parabolic splines / E. V. Shevaldina // Angewandte Analysis, Approximationstheorie CAGD and Numerische Mathematik: 17. Rhein-Ruhr-Workshop. Burg Gemen. 09.-10.02.2007. -Gerlind Plonka-Hoch: Universität Duisburg-Essen, 2007. - Р. 1.

[34] Шевалдина, E.B. Аппроксимация локальными параболическими сплайнами функций по их значениям в среднем / Е. В. Шевалдина // Труды Института математики и механики. -2007. - Т. 13,№4. - С. 169-189.

[35] Шевалдина, Е. В. Наследование свойств /с-монотонности при аппроксимации лоокальными кубическими сплайнами / Е. В. Шевалдина // Проблемы теоретической и прикладной математики: Труды 40-й региональной молодежной конференции.

25 - 30 января 2009 г. - Екатеринбург: УрО РАН, 2009. - С. 106-

[36] Шевалдина, Е. В. Аппроксимация локальными ^-сплайнами четного порядка, сохраняющими ядро дифференциального оператора / Е. В. Шевалдина // Известия ТулГУ. Естественные науки. - 2009. - Вып. 2. - С. 62-73.

Подписано в печать Формат 60 х 84 1/16. Бумага типографская. Усл. печ. л. 1 Тираж 100 экз. Заказ ^ ¿5У6 Печать офсетная

110.

Отпечатано в типографии ООО «Издательство УМЦ УПИ» 620078, Екатеринбург, ул. Гагарина, 35а, оф. 2. тел. (343) 362-91-16,362-91-17

Введение

Глава 1. Локальные /.-сплайны с равномерными узлами, сохраняющие ядро линейного дифференциального оператора

§0. Введение.

§ 1. Операторы четного порядка.

§2. Операторы нечетного порядка.

§ 3. Оценка погрешности аппроксимации.

§ 4. Частные случаи общей схемы.

Глава 2. Локальные £-сплайны третьего порядка с произвольным расположением узлов

§ 0. Введение.

§ 1. Построение £-сплайна и его свойства.

§ 2. Поточечная и равномерная оценки погрешности аппроксимации

Глава 3. Аппроксимация локальными параболическими сплайнами функций по их значениям в среднем

§ 0. Введение.

§ 1. Построение и свойства параболического сплайна.

§2. Оценки погрешности аппроксимации функций и их производных

Диссертация посвящена исследованию аппроксимативных свойств локальных полиномиальных и £-сплайнов, построенных по значениям аппроксимируемой функции в точках или ее значениям в среднем. Изучаемые в диссертации одномерные неинтерполяционные локальные сплайны, как правило, обладают формосохраняющими и сглаживающими свойствами. В вычислительной математике задача построения по дискретным данным кривых и поверхностей сложной формы с сохранением выделенных геометрических характеристик (таких, как положительность, монотонность, выпуклость, наличие плоских участков и т.д.) называется задачей изогеометрической аппроксимации. В настоящее время такие трехмерные вычислительные схемы (построенные на основе одномерных конструкций) используются для моделирования самолетных поверхностей, корпусов судов, лопастей гидротурбин, при описании различных геологических, физических и биологических явлений, а также при обработке изображений, в картографии, томографии, индустрии фильмов и т.д.

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы.

1. Алберг, Дж. Теория сплайнов и ее приложения / Дж. Алберг, Э. Нильсон, Дж. Уолш - М.: Мир, 1972.

2. Волков, Ю. С. Хорошо обусловленные методы построения сплайнов высоких степеней и сходимость процессов интерполяции: дис. . доктора физ.-мат. наук : 01.01.01 / Волков Юрий Степанович. -Новосибирск, 2006.

3. Завьялов, Ю. С. Методы сплайн-функций / Ю.С.Завьялов, Б. И. Квасов, В. JI. Мирошниченко М.: Наука, 1980.

4. Квасов, Б. И. Методы изогеометрической аппроксимации сплайнами / Б.И.Квасов М.: Физматлит, 2006.

5. Корнейчук, Н. П. О приближении локальными сплайнами минимального дефекта / Н. П. Корнейчук // Укр. матем. журнал. 1982. -Т.34, №5. - С.617-621.

6. Корнейчук, Н. П. Сплайны в теории приближения / Н. П. Корнейчук М.: Наука, 1984.

7. Костоусов, К. В. Аппроксимация локальными тригонометрическими сплайнами / К. В. Костоусов, В. Т. Шевалдин // Матем. заметки. -2005.- Т. 77, №3. С. 354-363.

8. Мирошниченко, В. JI. Достаточные условия монотонности и выпуклости для интерполяционных кубических сплайнов класса С2 / В.Л.Мирошниченко // Вычислительные системы. 1990. - Вып. 137. Приближение сплайнами. - С. 31-57.

9. Мирошниченко, В. JI. Достаточные условия монотонности и выпуклости для интерполяционных параболических сплайнов /B.Л.Мирошниченко j j Вычислительные системы. 1991. - Вып. 142. Сплайны и их приложения. -С. 3-14.

10. Стечкин, С. Б. Сплайны в вычислительной математике /C. Б. Стечкин, Ю. Н. Субботин М.: Наука, 1976.

11. Субботин, Ю. Н. Порядок наилучшей сплайн-аппроксимации некоторых классов функций / Ю. Н. Субботин, Н. И. Черных // Матем. заметки. -1970.- Т. 7, № 1. С. 31-42.

12. Субботин, Ю. Н. Экстремальные задачи функциональной интерполяции и интерполяционные в среднем сплайны / Ю. Н. Субботин // Тр. МИАН СССР. -1975.- Т. 109. С. 35-60.

13. Субботин, Ю. Н. Наследование свойств монотонности и выпуклости при локальной аппроксимации / Ю. Н. Субботин // ЖВМ и МФ. -1993,- Т. 33, № 7. С. 996-1003.

14. Субботин, Ю. Н. Экстремальная функциональная интерполяция в среднем с наименьшим значением n-ой производной при больших интервалах усреднения / Ю. Н. Субботин / / Матем. заметки. -1996 -Т. 59, №1. С. 114-132.

15. Субботин, Ю. Н. Экстремальная в Ьр интерполяция в среднем при пересекающихся интервалах усреднения / Ю.Н.Субботин // Изв. РАН. Сер. матем. -1997,- Т. 61, № 1. С. 177-198.

16. Шарма, И. Некоторые линейные дифференциальные операторы и обобщенные разности / А. Шарма, И. Цимбаларио // Матем. заметки. -1977.- Т. 21, №2. С. 161-173.

17. Шевалдин, В. Т. Некоторые задачи экстремальной интерполяции в среднем для линейных дифференциальных операторов / В. Т. Шевалдин // Тр. МИАН СССР. -1983.- Т. 164. С. 203-240.

18. Шевалдин, В. Т. Экстремальная интерполяция в среднем при перекрывающихся интервалах усреднения и £-сплайны /В. Т. Шевалдин // Изв. РАН. Сер. матем. -1998.- Т. 62, №4. С. 201224.

19. Шевалдин, В. Т. Аппроксимация локальными параболическими сплайнами с произвольным расположением узлов / В. Т. Шевалдин // Сиб. журн. вычисл. математики 2005. - Т. 8, № 1. - С. 77-88.

20. Kolmogoroff, А. N. Uber die besste Annaherung von Funktionen einer gegebenen Funktionklassen / A. N. Kolmogoroff // Ann. of Math. 1936. -V.37.-P. 107-110.

21. Kostousov, К. V. Approximation by local exponential splines / К. V. Kostousov, V. T. Shevaldin // Proc. of the Steklov Institute of Mathematics. Supple 10. 2004. - P. 147-157.

22. Piegl, L. The NURBS Book / T. Piegl, W. Tiller. Berlin etc.: Springer; 1997.

23. Popoviciu, T. Sur le reste dans certains formules lineares d'approximation de Г analyse / T. Popoviciu. // Mathematica (Cluj). 1959. - V.l. - P. 95-142.

24. Shevaldin, V. T. Approximation by Local £-splines Corresponding to a Linear Differential Operator of the Second Order / V. T. ShevaldinProc. of the Steklov Institute of Mathematics. Supple 2. 2006. -P. 189-208.

25. Wronicz, Z. Chebyshevian splines: Dissertationes Mathematical / Z. Wronicz. Warszawa.: Polska Academia Nauk, Institute Mathematyczny, 1990.Список работ автора

26. Шевалдина, Е. В. Аппроксимация локальными экспоненциальными сплайнами с произвольными узлами / Е. В. Шевалдина // Сиб. журн. вычисл. математики. 2006. - Т. 9,№4. - С. 391-402.