Dm-сплайны в задачах приближения функций на хаотических сетках тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ D -СПЛАЙНЫ.

§ I. Существование и единственность. Теоремы сходимости.

I.I, .предварительные- сведения из теории соболевских пространств.

1.2. Определение и свойства D -сплайнов

1.3. к. -сети и теорема сходимости.

§ 2. Оценки сходимости-.

2.1. Специальное покрытие области.

2.2. Равномерная эквивалентность норм.

2.3. Лемма о соболевских функциях со сгущающимся семейством нулей.

2.4. Сходимость сплайнов в нормах if

2.5. Сплайны по локальным средним.

§ 3. Сплайны с краевыми условиями.

3.1. Существование и единственность.

Свойство ортогональности.

3.2. Оценки сходимости в L

ГЛАВА 2. СЛЕДЫ Ъ -СПЛАЙНОВ НА ГЛАДКИХ МНОГООБРАЗИЯХ.

§ 4. Следы сплайнов на неалгебраических многообразиях.

4.1. Пространства HS(I~)

4.2. Существование и единственность.

Теорема сходимости.

4.3. Скорость сходимости в HSCO и С С Г)

§ 5. Следы сплайнов на алгебраических многообразиях.

5.1. Следы полиномов на Г

5.2. Единственность следа сплайна.

5.3. Сходимо с ть.

§ 6 . £> -сплайны в «с

ГЛАВА 3. ЧИСЛЕННЫЕ АЛГОРИТМЫ ПОСТРОЕНИЯ СПЛАШОВ.

§ 7. Алгоритмические аспекты метода сплайнов на подпространстве.

§ 8. Сходимость бикубических сплайнов в задаче интерполяции функции на хаотическоей сетке.

8.1. Дискретизация задачи.

8.2. Оценки погрешности.

§ 9. Приближение функций, заданных на сфере.

9.1. Разложение пространства

9.2. Алгоритм построения -сплайна на сфере.НО

Современная теория сплайнов представляет собой быстроразви-вающийся раздел вычислительной математики, ориентированный на решение задач гладкой аппроксимации функциональных зависимостей, заданных в дискретной форме. Эта теория, зародившаяся в работах Шенберга как алгебраический аппарат построения гладких восполнений сеточных функций, получила новый импульс для развития, когда был открыт (Дж.Холидей, 1957) вариационный принцип, которому подчиняются сплайн-функции. (Следует отметить, что алгебраическая теория сплайнов продолжает успешно развиваться, в основном благодаря усилиям советских математиков во главе с Ю.С.Завьяловым и Ю.Н.Субботиным). В конечном итоге это привело к общему определению сплайна как элемента гильбертова пространства, принимающего заданные значения на некоторых линейных функционалах и минимизирующего квадратичный функционал типа энергии (М.Аттья, 1966). В дальнейшем был предложен общий алгоритм построения таких сплайнов (П.-Ж.Лоран, Ф.Анселон, 1968), окончательно выяснены вопросы существования и единственности сплайнов. С этого времени стала очевидной связь между теорией сплайнов и теорией регуляризации некорректно поставленных задач, разделом, созданным советскими математиками во главе с А.Н.Тихоновым.

Вопросам сходимости сплайнов в общей форме был посвящен цикл работ В.А.Василенко. На основе введенного им понятия правильной системы операторов (1973) ему удалось доказать общую теорему сходимости сплайнов и применить ее для анализа сходимости интерполяционных сплайнов на хаотических сетках, кривых и т.д. (Это приложение весьма важно для дальнейшего изложения материала). В дальнейшем было показано (А.Имамов,. 1977), что понятие правильности системы операторов является фундаментальным и необходимо для сходимости интерполяционного процесса.

Поскольку сплайн-функции многих переменных на хаотических сетках, минимизирующие функционал энергии, заимствованный из вариационного принципа для решения полигармонического уравнения, представляют собой сложные неполиномиальные конструкции, для вычисления которых, кроме того, необходимо решать системы алгебраических уравнений с плотными матрицами, В.А.Василенко предложил использовать метод конечных элементов для их приближенного расчета (алгоритмические проблемы и конкретное программное обеспечение, реализованное автором диссертации дня решения такого типа задач, обсуждается в § 7 диссертационной работы). В общем случае это привело к понятию сплайнов на подпространствах и доказательству факта сходимости таких аппроксимаций.

Тем самым, к настоящему времени многие принципиальные теоретические и алгоритмические вопросы в теории сплайнов на хаотических сетках (в современной терминологии V -сплайнов) решены. Однако оставались неясными методы получения порядков сходимости £^сплайнов на сгущающихся (i—сетях. По-видимому, наибольшего успеха в этом направлении добился К.Дюшон (1977), получивший такие оценки в нормах типа Lp . Однако для этого он рассмотрел конструкцию, не являющуюся сплайном в гильбертовом пространстве.

Основные усилия в главе I направлены на получение оценок ha. сходимости D-сплайнов и их производных в ограниченных областях, без учета краевых условий и с их учетом. При этом используется техника теорем вложения, теорем о следах, и доказываются специальные леммы о поведении соболевских функций со сгущающимся семейством нулей.

В дальнейшем основное направление исследований - сплайн-аппроксимация неоднозначных пространственных поверхностей. Несмотря на успехи теории сплайнов, решение такого сорта задач представляет определенные трудности. В диссертации предлагается использовать для этих целей следы V -сплайнов на многообразиях N меньшей размерности, чем размерность исходной области. Удалось доказать соответствующие оценки сходимости следов D -сплайнов в случае, когда сгущение интерполяционных точек происходит не во всей области, а только на многообразии.

И, наконец, предметом рассмотрения главы Ш были алгоритмические вопросы аппроксимации функций многих переменных на хаотических сетках, а также неоднозначных поверхностей.

Перейдем к краткому изложению результатов диссертации. Она состоит из введения, трех глав и приложения.

1. Альберг Дж., Нильсон Э., Уолш Дж. Теория сплайнов и ее приложения. - М.: Мир, 1972. - 316 с.

2. Аркангели (R. Arcangeli). Etude de problemes de tupe ellip-tique on parabolidue avec condition ponctuelles. France, Toulouse, 1974.

3. Атья (M.Atteia). Existence et determination des fonctions7 > -- \ •spline a plusieurs variables. C.E.Acad. Sci. Paris 262, 1966, c. 575-578.

4. Бежаев А.Ю., Василенко B.A., Зюзин M.B., Ковалков А.В., Роженко А.И. Библиотека программ ЬЮА-2 по аппроксимации и цифровой фильтрации. Автометрия № 6, 1984, 12 с.

5. Бежаев А.Ю. Оценки ошибки сплайн-интерполяции в многомерных ограниченных областях. Новосибирск, 1984. - 17 с. -(Препринт / ВЦ СО АН ССОР; В 102).

6. Бежаев АЛО. О сходимости сплайн-интерполяций с краевыми условиями в ограниченной области. В сб.: Метод конечных элементов в некоторых задачах численного анализа, Новосибирск, 1984.

7. Бежаев А.Ю. Следы Бт-сплашов на гладких многообразиях.-Новосибирск, 1985. 22 с - (Препринт / ВЦ СО АН СССР;113..

8. Бесов О.В., Ильин В.П., Никольский С.М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М.: Наука, 1975.-480с.

9. Библиотека программ LIDA-2 по аппроксимации функций и цифровой фильтрации:Оперативно-информ.материал. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1983. - 162 с.Ю.Варга Р.С. Функциональный анализ и теория аппроксимациив численном анализе. М.: Мир, 1974. - 126 с.

10. Василенко В.А. Сплайн-функции: теория, алгоритмы, программы. Новосибирск: Наука, 1983. - 234 с.

11. Василенко В.А., Зюзин М.В., Ковалков А.В. Сплайн-функции и цифровые фильтры. Новосибирск, 1984. В надзаг.: ВЦ СО АН СССР. - 216 с.

12. Василенко В.А. Конечномерная аппроксимация в методе наименьших квадратов. В кн.: Вариационно-разностные методы в метематической физике. Новосибирск, 1975, с. 160-172.

13. Дени, Лионе (Deny J*» Lions J.L.). Les expaces du type de Beppo Levi, Ann. Inst. Fourier 5» 1953» s. 305-370.

14. Дюшон Ж. (Duchon J.) Interpolation des fonction de deux variales suvivant le principe de la flexion de plaque minces. EAIRO, Ana. Num. 10, N 12, 1976, c. 5-12.

15. ДЮШ0Н Ж.(Duchon J.). Sur ,1'erreur d1interpolation des fonctions de plusieurs variables par les Dm-splines. -RAIRO, Anal. Num., 1978, vol 12, N 4, p. 325-334-.

16. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.А. Методы сплайн-функций. М.: Наука, 1980. - 352 с.

17. Имамов А. Некоторые вопросы теории сплайнов в гильбертовом пространстве: Дис. на соиск. учен, степени канд. физ.-мат.наук (01.01.07). / Науч.рук. Ю.С.Завьялов. -Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1977, 130 с.

18. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1981. - 543 с.

19. Ковалков А.В. Функции Грина и сплаин-аппроксимация в многомерных областях. Новосибирск, 1980. - 21 с. - (Препринт/ВЦ СО АН СССР; ^ 70).

20. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики.-М.: Наука, 1973. 407 с.

21. Лионе Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М.: Мир, 1971. - 371 с.

22. Лоран П.-Ж. Аппроксимация и оптимизация. М.: Мир, 1975. - 496 с.

23. Марчук Г.И., Кузнецов Ю.А. Итерационные методы и квадратичные функционалы. В кн.: Методы вычислительной математики. Новосибирск, 1975.

24. Морозов В.А. Теория сплайнов и задача устойчивого вычисления значений неограниченного оператора. Журн. вычисл. математики и мат. физики, 1971, т. II, № 3, с. 545-548.

25. Нечас (Necas J.) Les meth.od.es directes en theorie des equations elliptiques. Prance, Paris, 1967. 273 s.

26. Никольский G.M. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М.: Наука, 1977. - 455 с.

27. Рябенький B.C. Локальные формулы гладкого восполнения и гладкой интерполяции функций по их значениям в узлах неравномерной прямоугольной сетки. М.: Ин-т прикладной математики АН СССР, препринт № 21, 1974. - 26 с.

28. Цецохо В.А., Белоносов А.С., Белоносова А.В. Об одном методе гладкого приближения функций многих переменных.-Препринт ВЦ СО АН СССР, вып. 8, Новосибирск, 1974.-16 с.