Интерполирование Дм-сплайнами хаотических сетках тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

1 5 ДЕК

\) V/ >1

юс

МАТВЕЕВ Олег Владимирович

ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ % -СПЛАЙНАМИ НА ХАОТИЧЕСКИХ СЕТКАХ

01.01.01 - математический анализ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Екатеринбург - 1996

Работа выполнена в Институте математики и механики УрО РАН.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор А.П.Буслаев; доктор физико-математических наук, профессор А.А.Женсыкбаев; доктор физико-математических наук, профессор Н.И.Черных.

Ведущая организация - Санкт-Петербургский государственный университет.

Защита состоится "/0я Pß-CüSfLo?1996 г. в /О " часов на за/ *

седании диссертационного совета Д 002.07.02 по присуждению ученой степени доктора физико-математических наук в Институте математики и механики УрО РАН по адресу: 620219, г.Екатерин -бург, ул. С.Ковалевской, 16.

С диссертацией моино ознакомиться в научной библиотеке Института математики и механики УрО РАН.

Автореферат разослан "$ " 1996 г.

Ученый секретарь диссертационного

совета, доктор . физ.-мат.наук В.М.Бадков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теш. Проблеме интерполирования функций Ц. переменных на хаотических (т.е. произвольных) сетках посвя -щено значительное количество работ разных авторов (см. биб -

лиографический обзор на с.105-106 диссертации), что объясня-

%

ется большим теоретическим и прикладным значением этой задачи. Несмотря на это, в теоретико-аппроксимативном аспекте вопросы интерполирования функций на хаотических сетках были изучены слабо: оценки погрешности приближения были известны только при дополнительных условиях, значительно снижающих общность ситуации. В основном здесь исследовались задачи интерполяции гладкими кусочно-полиномиальными функциями на регулярных (т.е. прямоугольных)сетках, а также на сетках, специальным образом сконструированных в соответствии с заданной, достаточно хорошей триангуляцией.' Наиболее существен -ные, хотя и весьма немногочисленные, результаты в этом направлении были получены именно для г? -сплайнов, введённых Э 1966 г. М.Атья £[9]. Это оценки погрешности интерполяции 'З^-сплайнами функций из соболевского класса

на произвольных сетках Д , где - ограниченная об -ласть в , полученные Ж.Дюшоном £26^ и А.Ю. Бежаевым

Используемый ими метод, однако, неприменим к классам У/рС-О.} приближаемых функций ^ , отличным от Кроме того, хорошие аппроксимативные свойства ЗЛ^-сплай -нов (на (К, ) были выявлены в численных экспериментах ( Р. франке [27], В.А.Василенко М.И.Игнатов, А.Б.Певный £7]). Так, в сравнительных тестах, проведённых Р.Франке ¡^т] для

большой группы разнообразных методов приближённого восстано-т-

вления функций, 2) -сплайны показали наилучший результат

3

по-точности приблихения. За последние десятилетия достигнут зна -чительный прогресс в теории сплайнов одного переменного, и проб -лема порядковых оценок для них была в основном решена. Несмотря на это, результаты по многомерным 2) -сплайнам, известные до исследований автора, затрагивали лишь немногие, относительно простые частные случаи. Таким образом, актуальность изучения аппроксимативных свойств -сплайнов многих переменных бесспорна.

Цель работы - получить точные по порядку оценки погрешности приближения функций и их производных порядка

в ЦОФ интерполяционными <%) -сплайнами при произвольных ^ , И- , К , , р , \ и исследовать сходимость интерполя -цисиного процесса в пространствах Соболева , гае

- область в К

Методы исследования. Методы, которые применялись в предав -ствувпшх работах в тех или иных частных случаях, не могут быть перенесены на общую ситуацию, поэтому для достижения поставленной цели необходим специальный, более сложный аппарат. Используемый автором аппарат включает три основных момента: I) теория дифференцируемых функций многих переменных; 2) свойство зкспонен -циального убывания интерполяционного 2) -сплайна на подобла -сти О. , содержащей нули (при атом вводится специальная метрика на , отличная от евклидовой); 3) неравенства типа Никольского для сплайнов.

Научная новизна. В диссертационной работе предложена новая конструкция, позволяющая продолжить оператор сплайн-интерполяции, в частности, на классы приближаемых функций ( в

этой ситуации неприменим вариационный принцип), доказана соответствующая теорема существо!ания и единственности сплайна, исследованы гладкостные свойства сплайнов, получены точные по порядку

А

оценки погрешности приближения функций £ у/^ в по-

лунормах 1(2) I интерполяционными З}"1, -сплайнами, исс -. ледованы свойства сходимости сплайнов к интерполируемой функции в пространствах . Все эти вопросы изучены в их естественной общности: для областей

а (кал огрММОД-ННХ, та^ и неограниченных) с липшицевой границей, при произвольном расположении узлов интерполяции и при некоторых естественных условиях на параметры ГП , И , й: , £. , р , ^ типа влочсе -ния пространства V/рС^О в

. Ранее также предприни -мались поыгтки изучения многомерных л) -сплаиноз, однако они привели к результатам только в следующих случаях: I) 1 (для сплайнов с краевыми условиями также ), р =2» ,

О, - ограниченная область с лилшицевой границей (М.Атья£[9], П.-Ж.Лоран [V}, Н.Дюшон \jtfb, 2б], В. А.Василенко £4]. А.Ю.Бежа-епЕХ] и ДР* ) и 2) К*" , сетка Д - равномерная кубическая (У.Мэдич, С.Нельсон , 30}). В данной диссертационной работе, таким образом, сняты все ограничения, накладываемые в задачах аппроксимации -сплайнами предшествующими иссле.до-вателями. Кроме того, в диссертации (с помощью'З) -сплайнов) впервые построены базисы в пространствах Соболева ,

где £2. - ограниченная область с границей, удовлетворяющей условия Липшица. Ранее такие базисы были известны только для областей , граница которых имеет гладкость либо "склеена" из конечного числа частей, имеющих такую гладкость

Практическая ценность. Задача интерполирования функций нескольких переменных на хаотических сетках возникает в таких областях, как геология (построение карт изолиний различных пара -метров месторождений), медицина (диагностика заболеваний серд -ца), системы автоматизированного проектирования (изготовление деталей и агрегатов сложной Форш), экономика (анализ зависимостей ме-кду экономическими показателями) и др.

5

'Как показывают результаты численных экспериментов (Р.Франке • £27], В.А.Василенко [43, М.И.Игнатов, А.Е.Певный ), удобным аппаратом для решения задачи интерполирования на п'р-а к т и к е являются 2> -сплайны на . Нахождение

2) -сплайна на ¡ЯК' в явном виде сводится к решению системы линейных уравнений порядка Л/+ ^) » где Ы -число узлов интерполяции. В связи с этим возникает проблема оценок погрешности приближения такими сплайнами. В диссертации получены оценки погрешности приближения функций где О. - ограниченная область в интерполяционными -сплайнами на в полунормах

104. , при

этом мультипликативные константы в оценках являются эффектов -ними, т.е. могут быть найдены в явном виде. Ранее такие оценки были известны лишь для случая , ^> = 2. . Кроме то -

го, в дополнении к диссертации рассмотрены другие конструктивные методы интерполирования на хаотических сетках, для которых приводятся оценки погрешности приближения и оценки вычислите -льной сложности.

Апробация -работы. Результаты диссертации докладывались на Республиканской конференции "Экстремальные задачи теории приближения и их приложения" (Киев, 1990 г.), на Всесоюзном семинаре "Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов решения задач математической физики" (Москва, 1990 г.), на Всесоюзных (Миасс, 1987, 1989 гг.; Свердловск, 1990 г.) и Международной (Магнитогорск, 1993 г.) школах по теории функ -ций, на Саратовской зимней школе по теории функций и прибли -жений (1994 г.), на семинаре по теории функций действительного переменного в МГУ, на семинаре по теории функций несколь -

ких действительных переменных и её приложениям в ЫИРАН, на семинаре по прикладному численному анализу в ВЦ СО РАН, на

Б

• семинаре по теории приближения функций в Институте математики и механики УрО РАН и на семинаре по теории функций в Институте математики Болгарской Академии Наук (София).

Публикации. Все основные результаты диссертации принад -

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав и дополнения. Список литературы вклго -чает 89 наименований. Объём диссертации - 115 с.

СОДЕРЖАНИЕ деСЕРТАЦИИ Будут использоваться следующие обозначения.

лежат её автору и опубликованы в работах

~ mcuc C-fc,о} Cte Ю = {K(=RK:lx-*,i<x?s (аеШ^геЮ

—

l

IV-.. Pn-i

(. ^(^..^Рь) - мультииндекс с целыми неотрицательными компонентами) множество таких множеств » что

не существует ненулевого полинома степени , равного О на Р

Нике -О. - открытое множество в (Я*" , К - целое неотрицательное, ; эквивалентные функции отождествляются.

множество бесконечно дифференцируемых функций {: К.""-* К , имеющих

компактные в носители

С(£0

множество сужений на Л из' ©СЛ"*)

функций

пространство ограниченных и равномерно непрерывных функций с

нормой Ц» ||,

пространство функций : ,

у которых все обобщённые производные порядка ^к: принадлежат /.„

если р <оо ли р =оо

, или сса)

, с нормой

ее-

О пространство функций ^: —. прикад-лэ;<ащпх Iпоя любом г>0 , где

с топологией, порожденной семейством полунорм -£7/"/"//)

У/р(£И,Еос) пространство функции / -> , принадле-

нащихпри любых %>0} £>0,

с топологией, порожденной семейством полунорм

' ЦрС^О ' пространство 'локально"суммируемых функций

, у которых все обойденные производные порядка к принадлежат , если Р<оо , или

, если р —оо,

с нормой

здесь £ - область, 8 - замкнутый шар, лежащий в

пространство функций ^ : , прпнад-

лагщпх\1/р (Кг) ' при любом г > О и удовлетворяющих условию ^ — при £.-*>оо дм любого , с топологией, порожденной семейством норм

с&тш)

и т.д. г*.

здесь О. - область, К^ - компонента мнокесх-ва £ Л в Сл,г) , содержащая а. , где Си - некоторая точка .62

замыкание в соответствующем простран-

СПХ>С«9,»'Р,6Я) »Т.Д.

ъдатм» й*<52) в №£¿£2}

Г(1 Е

(рнак -Р' /

при

оо.

(53.)

Л

при Г

=ос

«С^О, «{пах

¿«»и*; |й1=К |дл<т £.«

где - множество точек таких,

что отрезок [зс, ос+си] содержится вО.(г>ф

Обозначения Ц^!^ ^ и <л> г)^ ^ мы будем использовать в случае • подразумевая, что эти величины могут быть равны оо . Всюду ниже - область в К с минимально гладкой .границей [3, с.224], гп. - целое, 1г< 2.т_, функции из Н^-) считаются определён -ными и непрерывными на

В простейшем случае -сплайн, интерполирующий фу-

нкцию / на множестве Д , есть функция

ТО

-минимизирующая функционал %*L£(SL\ )=f£t) Д (И. At ья- [19]). Минимизирующий элемент здесь существует и единствен, если и

метод интерполирования является линейным и коммутирует с движениями пространства. Сплайн $ является полигармонической функцией порядка кг на множестве J2\ Д . В частности, при Н='( получаем обычные кусочно-полиномиаль -ные сплайны степени 2m—'f дефекта \ . В случае, когда Si^"" и множество Д конечно, сплайн S(jc) имеет вид

где X^eR, Gibc)s|3c|am",t-при нечетном м. и G-fe) = =rf3ciam""n"£ft,при четном К , Р - полином степени , причём Х^ и коэффициенты Р могут быть найдены из системы линейных уравнений.

При ПИ ,

. к сожалению. неизвестны какие-либо подобные представления сплайна S в явном виде (при , в отличие от случая К = 4 , сплайн зави-

сит от области, т.е. если SlC Q , то, вообще говоря,

Дф $(f}A3r».,Q') hslQ ).

Во Введении диссертации дан библиографический обзор по

зг

' -сплайнам. Положим

k-k(A)- к=к(ДЫп{{1яЦ1 Ч^А**}} < I >

(предполагаем, что Д содержит не менее двух точек). По вопросам сходимости сплайнов з пространствах Соболева и оценкам погрешности приближения вида

, (2)

имеется большое число работ. В неравенствах (2), (2') Q -

константы, зависящие от ? Ц} } р f

и С, кроме того, моч?ет зависеть от величины 56 , IX

где эе>0 удовлетворяет условию к>3e./t . Рассмагри-вались также сплайны с краевыми условиями (они определяются в простейшем случае как функции, минимизирующие /|2)

при условиях: ff- ¿¿СЯ)^^-^ V-X6Ä ) . Одномерный случай изучался следующими авторами: Дас. Алберг, Э.Нильсон, Да. Уолш §5, 15-18З.Чесельскиа g3j, Г.Биркгоф, К.де БорЦо ], А.Шарыа, А.Меир [33,34], С.Норд (32], К.де Бор [21,22 J, D.H. Субботин , •• Т.Лукас j28j, М.Марс-

ден j~3lj, Н.Л.батраков jj&J, А.Ю.Шадрин £l4j; см. такае монографии £1,5,8,10 J. Например, известно, что если 0<к<т} {^р^со , то_судествуот такие последователь-

ности конечных множеств

АссЯ (tetf) , что для любой функции i^CQi) s({)Ai}m)Q)-*'f в при

. ¿—Р'оо . о другой стороны, узе при П~2.}C0j"O (кубические сплайны) обнаружилось, что при некоторых К » р для любой функции f 6 ЩСЯ) sCikj^^-f в Wp(&) .если Ii(Ai)-*0 , а при других /с , р это неверно, но сходимость имеет место, если налокить на последовательность •[ j-некоторое дополнительное условие. В качестве такого условия в одномерном случае часто берется условие квазиравномерности:

Ккшт)

при 00 ; впрочем, рассматривались и другие ограничения. В большинстве работ, посвященных одномерному случаю, используется алгебраический подход: сплайн является кусочно-полиномиальной функцией, причем коэффициенты соответствующих полиномов удовлетворяют некоторой системе линейных уравнений; используются свойства возникавших при этом матриц (диагональное преобладание, цикличность и т.д.). В работах £22,13,14 ][ используется свойство экспоненциального убывания фундаментального

сплайна (в соответствующих нормах), однако з доказательствах это-

12

го свойства также существенную роль играет представление сплайна в заде кусочно-полиномиальной функции.

3 многомерном случае Е.Дюшон [25,25 ^ и А. Ю. Бежаев [2 ^использовали подход, основанный непосредственно на вариационном принципе. В показано, что если область ограничена, /г^)"* ->0 , го для любого {^¿[Ш в'

, я получена оценка (2) при К = Ш} р=2., ^/¿^(В(0} 1 У/,^(В(0}{)) , ограниченном с константами

= • в [25,26 получены анало-

гичные результаты для приближения функций ^ , определенных на » сплайнами (¡2^) . Кроме того, в [2]]

получена оценка вида (2) для сплайнов с краевыми условиями при

СОД«) , ограниченном с константами С —} &—2.М.—•

У.Мэдич и С.Нельсон [29~[, применю! методы гармонического анализа, доказали экспоненциальное убывание фундаментального сплайна в норме И'Ц. в случае, когда Д— Л(/0 - мкожесг-

(«я

во точек вида (к^ , где -целые

(при этих условиях удается найти в явном виде преобразование Фурье фундаментального сплайна); отсюда можно получить оценки вида (2), (2') в указанном случае.

Далее,будем говорить, что имеет место безусловная (условная) сходимость сплайнов в пространстве » если для любой функции и любой последовательности множеств Д£С.<эН такой, что (соответственно ХСЛс^о, Шс^ОСЦ^))) ¿({¿с^я.-)-*?

в ' А-налогично 1 оценку погрешности приближения ви-

да (2) или (21) назовём безусловной, если мультипликативная

13

константа в ней не зависит от , и условной в противном случае. В диссертационной работе ( главы Ш, 1У ) рассматриваются две основные задачи: I) при каких /И , И, , к. , р имеет место безусловная сходимость сплайнов в 2.), в

каких случаях - условная сходимость; 2) при каких т. , К. »

К , •£- , р , у , вьшолняются безусловные оценки (2), (2'), в каких случаях - условные оценки и каково наибо -льшее возможное значение ? Аналогичные вопросы исследуются для сплайнов с краевыми условиями.

Кроме того, получены оценки погрешности приблгке -

ния функций { , определенных на О. , сплайнами $({}

/т*; Щ^) (эти оценки выводятся из неравенств (2), (2') путем оценивания нормы разности (Я"') 1 однако в некоторых случаях аппроксимативные свойства сплайнов ¿С/, Д,/^ оказываются хуже, чем свойства сплайнов

AJ^)). Рассматриваемые в работе сплайны, вообще га-воря, не являются сплайнами в гильбертовом пространстве, т.к. не всегда оказывается возможным определить сплайн как решение вариационной задачи. Вопросам существования и единственности сплайнов в общей ситуации, а таюке их свойствам посвящена гл.П.

Ниже даётся краткое изложение результатов диссертации по главам. Через обозначаются некоторые

положительные константы, выбранные специальным образом.

Глава I. здесь доказывается ряд вспомогательных утверждений, в том числе три следующие леммы.

14

Лемма I. Существуют такие £0>£?, М, М' , зави -сящие от .О. , что для любого найдутся области

Я^С^ЛЦ^ j £ удовлетворяющие условиям:

а) сЬы*-;

б) область £)• звёздна относительно некоторого шара радиуса (т.е. звездна относительно каждой точки этого шара);

в) для любого существует такое У^^- , что

^п о с 2)у ;

г) любой шар радиуса £_ пересекает не более чем Д/ множеств .

I е м и а 5. Выполняются влокения

«у

(т.е. соответсгвушше операторы влоаения-непрерывны)плот-во в . 2сля вкладывается в^^Д

зкладазается в

Л е м м а 8 (свойство экспоненциального убывания). Допу-с-гии, что } , причем либо р , ли-

бо является ограниченным множеством, Фс/^Сй*«?)

и выполнены условия:

а) для любого ^£[зс€£(эс)=о}, ^ ^

б) еслз на Р и ^(аг} постоянна на К , где /С - некоторое ограниченное множество, то для любого

з) существует такое И^ф* , что

15

Тогда для любого"

Здесь , )? , С - подоаителыше констангн, зависящие от т. , , причем 2Рс/г) = 06Й\( и ^ плл(г)) ,

где (т~) - компонента множества «¿.£2 Л , содер-

жащая точку а , при Т>0 и /7а.о£.(г)= 0 при 1^0.

Глава П. Полоаим

5 Д, *ь 3) = »<*{ ЦЮ^ Ц^ ^ •• $ ег

£ 1*1(0.)} <з>

е £ , до

(3')

где . Показано, что ыинимизирукхуай эле-

мент в (3), (3') существует зсегда, а при условии А € единствен и линейно зависит от 4 . Будем считать, что

• Тогда определена линейдое операторы 5-' /->-5А,

хь

Но нам нугно определять интерполяционный сплайн в более общей ситуация, чем ^^С^С-О.) ; ллд этого конструкции (3), (3') непригодны, т.к. допустимые множества в (3), (3') могут оказаться пустыми. Например, в неравенства:: (2) естественно считать {еСрС^О • Яяя того чтобы определить интерполяционный сплайн при € р (£2) > ш используем продолжение оператора с плотного подмножества на всё пространство. Вообще говоря, Ц^СО) Л не плотно в , поэтому вместо пространств Ц^СО) будем рассматривать пространства МрС-О.^ (см. лемму 5).

Для того чтобы существовали непоеоывяые опеоаторы ,5.. ,

л/ ^ . - i

БНр • ИЗ Мр(&) В И/^ , созпаданагае с операторами

5 » Б соответственно на • необхо-

димо наложить некоторые ограничения на Н , р и Л . Будем считать, что з случае оператора 5 либо заполняется влоаение

ссвсо,о) (4)

и к (А) > 0 , либо выполняется влечение

/v

в случае оператора 5 должно выполняться вложение (5). Существенность этих условий подтверждается следующими примерами. Предположим, что -куб (0,1)П' . Бели I) вложение (4) не выполняется, к(Д)>0 или 2) к<лг; (к,р")Ф (т-^со)^

Д = = • к } , то существую?

Функции ^.е^Г^ПУ/^) (¿ею

и компакт

П

такие, ™ ¡^¿Ц^гОЮ, МЪс^^Щ] ч(К)~+оо

ара 1-*-оо ; если 3) К<Пг, (К, р)ф(тЧ,оо)} ¡г(Д)>0 .то

аналогичное утверждение справедливо для сплайнов с краевыми условиями.

По лемме 5 выполняются вложения: Мр М^

при условии (4) и М£М^СШ!) ПРИ условии (5), по-

этому ыоено считать, что интерполируемая функция £ берется из пространства Д1соС^) 1Ш

Определение I. Пусть >к(А)>0

или

■ . Интерполяционным сплайном будем называть функцию I удовлетворяющую условиям:

а) если с^е И^^Й) » имеет ограниченный носитель в ^(рО = О на А • го

^ Я

б)5(х)=р(х) на А.

Определение 2. Пусть М^(^) • Ин-

терполяционным сплайном с краевыми условиями будем называть функцию б~б({} А} т}Я.) е , удовлетворяющую усло-

виям:

о «•

а) если £ имеет ограниченный носитель и

с^(х)=:0 ка А . то

ха

6)e>Ca:)=ffc) ка Л; B)f-CГбЙ5(Й)т- -

Теорема, I. При условиях, указанных з определениях I, 2, сплайны .S , <э существуют и единственны. Линейные one--рагорн Т- -f : \

тМрСЯ) в M^CQ) (где в случае Т К«О, при к(Д)>0 и К=т. Р=2 при k(A)~0 . а в случае Т" К=М., ) непрерывны, совпадают с операторами

5 . S соответственно на ¿.¿('jQ) и определяются этими условиями однозначно.

Huse S= S(f} Д^т,^) , где f . - функ-

ция, прянадлеаацая соответствующему пространству.

Исследуются гладкостныа своЗстза сплайнов. Показано, что

при , и что

п-ш или

Кроме того, получены неравенства типа Никольского для сплаЗ-sob: если 1 ,¿¿(Л) , S,

В(а-,2)с*Я , то

гдз С= С (fojf)-

Глаза Щ. Предположил, что }

;0<ик*З0^зе£зе* . Пусть

При >*И^(В(0^)) мокно рассмотреть величины

(показано, ч;о Л'^Фф ). Исследуется вопрос о конечности величин ^ и об их порядке относительно А при О. Нетрудно установить, что, во-нервых., = °° > если .£2. не-ограничено я , и, во-вторых, ^

, где

С>0

не зависит от к . Далее будем считать, что либо

.й ограничено, либо . Константы в оценках вида

— ОСЬ? ) , которые встречаются, кике, ке зависят от к . Теорема 2. Допустим, что

и эе>Р .Для того чтобы (у^00) , необходимо я

достаточно выполнение одного из двух условии: либо К^-Ш. , либо , К (соответственно либо , лпбо /с< ).Если>^.<оо , го^ОСк*) (1=1,2). Теперь рассмотрим случай 3е = 0 . Псдоетл

20

'Р

и полоним

Теорема 3. Допустим, что выполняются вложения

WpCBCOjO) WT- (B(o,ij) VfSC&Co, О), (6)

*№, ActfUl,йеЛ} (ЫЛХ

Если . к=т или iRn , , а

если -1с<ап,£=РЛ. -.то ^ =

Кроме того, показано, что если ^<2.in— tl и 3 ~ не~

который шао, содержащийся в Я , то для того чтобы величина SUp ¡j3)^s(-fJA^mJQ')ll, ^была конечной при любом $€Щ(<2)}

необходимо выполнение одного из трех условий:

I) v/^свед cb(o,O)j

3) K=/rt4, WZsjBCo^V/iCBCojy),

p г/1+31-''

где при ft-> оо (можно взять^л=2|_—^-J

с о

I £ J ). Случай I) "в пределе при со "

как раз был рассмотрен в теореме 3. Л

Ери -CiLtn—tl получена оценки погрешности при-

блшкещгя на множествах

А именно, если {^^(О.), зг>0,

и либо £.>0 , либо П=т4?£=0 , ТО

при к^Пь или К^2т.,0.= (к'г' и

при К< Щ. или К<2.т3 . ЗдесьС=С0я,/>^.,3,Э2,£)„

Для сплайнов с краевыми условиями получены результаты, аналогичные приведенным выше. Б частности, доказана

Теорема 4. Пусть выполняются влоаения (6) и

=зор{^ • щся),

(¿=1,2).

Для того, чтобы (ц^соо) , необходимо и достаточно

(соответственно К<2.т )• Если , то

Ъ^ООь*) (¿4,2).

Для сплайнов на ¡^^ имеет место

Следствие. Пусть , Л - ко-

нечное множество, К^М- £> О и либо 2е.>0 <

у

1 л^ выполняются вложения (5). Тогда спразедлизо 22

неравенство

£

где 1—2. при К<т. и С=-\ приК=/д,С=С(Цр,^Дэе,£).

Установлен танасе следующий факт, который говорит о некоторых преимуществах сплайнов по сравнению со сплайнами ¿(^ Д^ т.} ¡$Л) (в случае приближения функций, определенных на ^ )• Предположим, что к>4} К>0} и обозначим через р множество точек с целочисленными координатами. Существует такая область , удовлетворяющая, сильному условию конуса, ..зависящая от /п ., И , что при.

Ая=Р0ЯХР, &хе®П1Ч №>) и опеРат°Р

Д-. /П. из ЙС-бр) , наделенного топологией

не является непрерывным. Глава 17. Пусть ^(Я), Д£<=& (Се к^Ш^к ,

1^0 при

(при соответствующих условиях). На основании предыдущего сплайны 5- {б^) определены и принадлежат в следующих

случаях:

I) р-а;

3) ¿2= Г, ^(ВСО^ССШ^У), К-±<2т-п} ¡±¿>0;

4) У$(В(о,Ц)-*С(В(о,1)), к-^<2т-лук1 >0

(соответственно в случаях

I) к=т} р=2. ■

2>) ^(ВСо^Я^СВЩ^к-^п-п^Щ

3') ПЧ, к-£<2.гп-л,к?0).

В указанных случаях мокко поставить вопрос ой условиях на Ш. , , {Д;} , при которых имеет место сходимость

Б при ¿->«з.

Теорема 5. При условии I) •/•-¿¿-»'О,

при О ОО и

.....

Теорема 6. Пусть выполняется условие 2) и Тогда •р-^-»-О -в при 1-*-оо9 и если , то

(8)

Показано, что если выполнено условие 3) и кг = 0(кО • т0 у — в ' П-Ри С-*-оо и справедлива оценка.

(8). В случае 4); при ^Ф^ • сходимость в

¡^рСИнО , вообще говоря, не имеет места, даже при условии к;=0(кО » т-к- значение (х) в граничной точке равно 0. В случае 20 = . Наконец, если выполнено условие 3') и д£1<=А1} кс=0(кс>) , то{-6^0 в ЩЗ) при • С-г*-оо и имеет место оценка (7).

Согласно теореме 5 для сходимости 5.->/ <$.->£ в

С 13 С [

[/ (£) > без каких-либо дополнительных ограничений на последовательность {Д^} , достаточно, чтобы К=т.} . Приведем соответствующие необходимые условия. А именно, если

24

Мр(В(0,О) влохеао в С(В>(0>0)} К-^<2.т-П} В - шар,

я для любой функции -р ^ , любых множеств

С^Ю таких, что 1(Асик*, Ъ(А$-*0 при 1-*-оо} к(Д^)>0 . имеет место сходимость ^

в \VpCB) пр!г ¿->оо , то выполняется одно из трех услоаиЗ:

а) К=/П. и при » кроме того,

б) Л.^*/, к=т+43 />=•/;

в) ,к=т-1 ,р=со*]

Аналогичные необходимые условия получены и для сплайнов с краевыми условиями. Заметим, что указанные здесь необходимые условия асЕклпготнчеСлз блязки к достаточному условию к=/п, р=<2. при М—> со.

Теперь дредполоаш, что выполняогся вложения

£2 ограничено, • ]€ (№} - плотное в & множество,

, при ' И обо~

значим через некоторый элемент множества

Теорема 7. Функции , ¿Е Ц\[} образуют базис в пространстве

Кроме четырех глад имеется Дополнение, в котором отражены Этот результат недавно был несколько усилен А.Ю.Шадриным.

25

результаты дальнейших исследований автора, не вошедшие в диссертацию. Здесь ставится задача о нахождении методов приближенного восстановления функций по их значениям в точках хаотической сетки, удовлетворяющих заданным условиям. Рассматриваются методы, дающие наилучшую по порядку погрешность приближения функций -f и их производных порядка I в/.с02) на классе функций flT={feW/*(.ß) : ЮkfüL и классах Д. -

сеток, а также на классе функций при фиксированной, сетке. Получены новые .методы интерполирования гладкими кусочно-полиномиальными функциями, обладающие указанными свойствами. Приводятся порядковые оценки вычислительной слонности для этих методов (область Sit* предполагается ограниченной)*^

Основными результатами диссертации являются теоремы 1-7.

' ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Алберг Дж.. Нильсон Э.. Уолш Дж. Теория сплайнов и ее приложения. М.: Мир. 1972.

2. Бежаев А.Ю. 55т-сплайны в задачах приближения функций на хаотических сетках. Автореф. канд. дисс. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР. 1985.

3. Стейн II. Сингулярные" интегралы и дифференциальные свойства функций'. М.: Мир, 1973.

4. Василенко В.А. Сплайн-функции: теория, алгоритмы, программы. Новосибирск: Наука, 1983.

5. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы ж)

Эти результаты опубликованы в [39, 4<0, а так«е,с подробными доказательствами, в работе автора "Методы приближенного восста-', заданных на хаотических сетках" - Изв.РАН.Сер. мат. 1УУо. i.dU, jp о. г

сплайн-функций. М.: Наука. 1980.

6. Зматраков Н.Л. Сходимость интерполяционного процесса для параболических и кубических сплайнов // Тр. МИАН. 1975. 'Т.138. С. 7193.

7. Игнатов М.И., Певный А.Б. Сплайн-аппроксимация плавных поверхностей. Препринт Коми филиала АН СССР. Серия "Научные доклады", N 149. Сыктывкар: Кош филиал АН СССР, 1986.

8. Корнейчук Н.П. Сплайны в теории приближения. М.: Наука. 1984.

9. Лоран П.-1. Аппроксимация и оптимизация. М.: Мир, 1975.

10. Стечкин С.Б., Субботин Ю.Н. Сплайны в вычислительной математике. М.: Наука. 1976.

11. Субботин Ю.Н.' Приближение функций класса W^H^ сплайнами порядка т. // Докл. АН СССР. 1970. Т.195, N5. С. 1039-1041.

12. Субботин Ю.Н. Приближение "сплайн"-функциями и оценки поперечников // Тр. МИАН. 1971. Т.109. С.35-60.

13. Субботин Ю.Н. Сплайн-аппроксимация // Теория функций и приближений. Труды Саратовской зимней школы (1982). Часть 1. Саратов: Изд-во Саратовского ун-та, 1983. С.81-90.

14. Шадрин А. Ю. О приближении функций интерполяционными сплайнами, заданными на неравеномерных сетках // Матем. сб. 1990. Т.181, N 9. С. 1236-1255.

15. Ahlberg J.H.. Nilson E.N. Convergence properties of the spline fit // J.'Soc. Ind. Appl. Math. 1963. V.ll, N 1. P.95-104.

t

16. Ahlberg J.H.. Nilson E.N. Polynomial splines on the real line //J. Appr. Theory. 1970.. V.3.- N 4. P. 398-409.

17. Ahlberg J.H., Nilson E.N., Walsh J.L. Best approximation and convergence properties of higher-order spline approximations // J. Math. Mech. 1965. V.14, N2. P. 231-243.

18. Ahlberg J.H., Nilson E.N.. Walsh J.L. Convergence properties of cubic splines // Not. Amer. Math. Soc. 1966. V.13, N 1. P.140.

19. Attela M. Existence et détermination des fonctions "spline" à plusieurs variables // C.R.Acad. Sel. Paris. Ser. A. 1966. V.262, N 10. P. 575-578.

20. Birkhoff G., de Boor C. Error bounds for spline interpolation // J. Math. Mech. 1964. V. 13, N 5. P. 827-835.

21. de Boor C. On the convergence odd-degree spline interpolation // J. Appr. Theory. 1968. V.l. N 4. P.452-463.

22. de Boor C. Odd-clagree spline Interpolation at a biinfinite knote sequence // Lect. Notes Math. 1976. V. 556. P.30-53,

23. Clesielski Z. Properties of the orthonormal Franklin system // Studia Math. 1963. V. 23, N 2. P. 141-157.

24. Clesielski !.. PIgiel T. ' Spline "bases in classical

Ce»

manifolds // Studia Math.1933.

V. 76, N 2. P. 95-136.

25. Duchon J. Interpolation des fonctions de deux variables suivant le principe de la flexion des plaques minces // RAIRO. Anal. Numer. 1976. V. 10, N 12. P. 5-12.

26. Duchon J. Sur l'interpolation des fonctions de plusiers vari-

yjflt /

ables par les v) -splines // RAIRO. Anal. Numer. 1978. V.12, N 4. P. 325-334.

27. Franke R. Scattered data interpolation: tests of some methods // Math. Comput. 1982. V. 38. N 157. P. 181-200.

28. Lucas T. R. Error bounds for interpolating cubic splines under various end conditions // SIAM J. Numer. Anal. 1974. V.il, N 3. P. 569-584.

29. Madych W.R., Nelson S.A. Polyharmonic cardinal splines // J. ' Appr. Theory. 1990. V.60, N 2. P. 141-156.

30. Madych W.R.. Nelson S.A. Polyharmonic cardinal splines: a minimization property // J. Appr. Theory. 1990. V. 63, N 3. P. 303-320.

31. Marsden M. Cubic spline Interpolation of continuous functions // J. Appr. Theory. 1974. V. 10, N 2. P. 103-111.

32. Nord S. Approximation properties of tiie spline fit // BIT. 1967. V. 7. N 2. P. 132-144.

33. Shartna A., Melr A. Convergence of spline functions // Not. Amer Math. Soc. 1964. V. 11. N7. P. 768.

34. Sharma A., Melr A. Degree of approximation of spline Interpolation // J. Math. Mech. 1966. V. 15, W 5. P. 759-767.

35. Walsh J.L., Ahlberg J.H., Nilson E.N. Best approximation properties of the spline fit // J. Math. Mech. 1962. V.ll, N2. P. 225-234.

36. Матвеев О.В. Интерполяционные сплайны // Экстремальные задачи теории приближения и их приложения. Тез. докл. респ. науч. конф. Киев: Ин-т матем. АН УССР, 1990. С. 90.

37. Матвеев О.В. Аппроксимативные свойства интерполяционных 2) -сплайнов // Докл. АН СССР. 1991. Т.321, N 1. С. 14-18.

38. Матвеев О.В. Сплайн-интерполяция функций нескольких переменных и базисы в пространствах Соболева // Тр. МИРАН. 1992. Т.198. С. 125-152.

39. Матвеев О.В. О некоторых методах восстановления Функций К. переменных, заданных на хаотических сетках // Докл. РАН. 1992. Т. 326. N 4. С. 605-609.

40. Матвеев О.В. Интерполирование функций на хаотических сетках // ДОКЛ. РАН. 1994. Т. 339, N 5. С. 594-597.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ