О приближении операторами Баскакова функций, имеющих конечное число точек разрыва производных

Шерстюк, Татьяна Юрьевна

О приближении операторами Баскакова функций, имеющих конечное число точек разрыва производных тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Шерстюк, Татьяна Юрьевна АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Чита МЕСТО ЗАЩИТЫ

2010 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.01 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «О приближении операторами Баскакова функций, имеющих конечное число точек разрыва производных»

Автореферат диссертации на тему "О приближении операторами Баскакова функций, имеющих конечное число точек разрыва производных"

Шерстюк Татьяна Юрьевна

О ПРИБЛИЖЕНИИ ОПЕРАТОРАМИ БАСКАКОВА ФУНКЦИЙ, ИМЕЮЩИХ КОНЕЧНОЕ ЧИСЛО ТОЧЕК РАЗРЫВА ПРОИЗВОДНЫХ

01.01.01 - вещественный, комплексный и функциональный анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

О О 1.1,41 ¿0 (I

Красноярск - 2011

4856576

Работа выполнена в Читинском государственном университете (ЧитГУ)

на кафедре информатики, вычислительной техники и прикладной математики

Научный руководитель кандидат физико-математических наук, доцент

Абакумов Юрий Георгиевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

доцент Сафонов Константин Владимирович

Ведущая организация Петрозаводский государственный университет

Защита состоится 4 марта 2011 года в 14 часов на заседании диссертационного совета Д 212.099.02 в Сибирском федеральном университете по адресу: 660041, г. Красноярск, пр. Свободный, 79.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Сибирского федерального университета.

Автореферат разослан « V » февраля 2011г.

Ученый секретарь

доктор физико-математических наук, доцент Шлапунов Александр Анатольевич

диссертационного совета

Бушуева Н.А.

Общая характеристика работы

Актуальность темы

По всей видимости, как самостоятельная часть математики теория приближений ведет начало с работы П.Л. Чебышева1 1854 г., в которой он задается вопросом: как наилучшим образом приближенно представить заданную функцию?

В 1885 г. Вейерштрасс доказал, что каждая непрерывная функция на отрезке может быть с любой степенью точности приближена полиномами. Этот результат натолкнул на мысль искать связи между свойствами функций и скоростью приближения ее полиномами. Функции с одинаковой скоростью приближения образуют некоторый функциональный класс. Приближение целых функциональных классов тригонометрическими полиномами начатое в трудах Лебега, Валле-Пуссена, Фейера, Бернштейна, Джексона2 и продолженное затем в работах Колмогорова, Корнейчука, Крейна, Стечкина, Никольского3 и многих других, нашло весьма полное освещение во многих монографиях и обзорных статьях.

Первым методом нахождения тригонометрических полиномов, приближающих периодические функции, явился метод, основанный на построении рядов Фурье4.

Однако в 1876 г. П. Дюбуа-Реймон построил пример непрерывной 2л -периодической функции, ряд Фурье которой не сходится равномерно5.

' Чебышев П.Л., Поли. собр. соч. Т. 2. М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1947, 520 с. Jackson D. The theary of approximat. New York: Amer. Math. Soc., 1930 См. также Тихомиров, В.M. Теория приближений / В.М. Тихомиров И ИНТ. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т.Н.-Москва, 1987.-С. 140-142. Никольский, С.М. Избранные труды. Т. 1 : Теория приближений. - М.: Наука, 2006. - 432 с. Вилейтнер, Г. История математики от Декарта до середины XIX столетия. - Москва, 1960. - 468 с. См., например, Тихомиров, В.М. Теория приближений / В.М. Тихомиров // ИНТ. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т.14. - Москва, 1987. - С. 142-143.

функций, являются, тем не менее, весьма «некачественным» аппаратом приближения. Они приближают любую дифференцируемую функцию с порядком 0(я-1) (в том числе и sin í). В 1911 г. Д. Джексон предложил операторы, приближающие дважды дифференцируемые функции с порядком 0(п~2). Операторы Фейера и Джексона укладываются в некоторую общую схему. Они получаются с помощью так называемых методов суммирования рядов Фурье.

В дальнейшем было предложено большое количество других аппроксимирующих операторов, получаемых с помощью методов суммирования рядов Фурье. Среди них операторы Зигмунда и операторы Коровки-наб.

В работе В.А. Баскакова7 была предложена аппроксимирующая последовательность, относящаяся к тому же классу. В 2001 г. В.А. Баскаков нашел аналитическое представление множителей суммирования, таким образом, ввел понятие - тригонометрические операторы Баскакова.

Среди последних работ по аппроксимативным свойствам операторов следует отметить статьи Ю.Г. Абакумова8, Е.С. Когана9, Т.В. Дубровиной10.

Во второй половине двадцатого столетия идеи и методы теории аппроксимации находят свое применение в различных разделах математиче-

6 Коровкин, П.П. Линейные операторы и теория приближений / П.П. Коровкин. - М.: Физматгиз, 1959. -212 с.

7Баскаков, В.А. Об одном методе построения операторов класса S^m " Теория функций и приближений. Интерполяция по Лагранжу / В.А. Баскаков - Саратов, 1984. С. 19-25.

Баскаков, В.А. Об операторах класса iS^m > построенных на ядрах Фейера / В.А. Баскаков // Применение функционального анализа в Теории приближений. - Тверь: ТвГУ, 2001. - С. 5-11.

Абакумов, Ю.Г. Приближение периодических функций тригонометрическими операторами Баскакова. Научное издание / Ю.Г. Абакумов. - Чита: ЧитГУ, 2006. - 158 с.

Коган, Е.С. Оценка приближения функций операторами Баскакова в точке разрыва производной и вблизи этой точки / Е.С. Коган // Применение функционального анализа в теории приближений: Сб. науч. тр. - Тверь: ТвГУ, 2004. - С. 107-115.

Дубровина, Т.В. Оценка характеристик, определяющих аппроксимативные свойства тригонометрических операторов Баскакова и некоторых других методов суммирования рядов Фурье / Т.В. Дубровина. // Дис.... канд. физ.-мат. наук. Чита, 2005. 68 с.

ской науки, в том числе прикладного характера (теория приближений, теория обработки сигналов), по этой причине данная тематика остается актуальной.

Цель диссертации

Цель диссертации состоит в получении универсального вида оценки приближения операторами Баскакова функций, имеющих изолированные точки разрыва производных, и исследовании свойств функций, фигурирующих в этих оценках, от приращения аргумента которых зависит поведение главного члена в асимптотическом разложении.

Методы исследования

В работе используются отработанные в исследованиях по теории приближений (С.М. Никольским, П.П. Коровкиным, С.Б. Стечкиным и др.) приемы преобразования операторов типа свертки.

Научная новизна

Основные результаты диссертации являются новыми.

Практическая и теоретическая ценность

Результаты представляют теоретический интерес.

Апробация работы

Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на VI Всероссийской научно-практической конференции «Кулагинские чтения» (ЧитГУ, г. Чита, 2006), Всероссийской научно-практической конференции «Энергетика в современном мире» (ЧитГУ, г. Чита, 2006), VII Всероссийской научно-практической конференции «Кулагинские чтения» (ЧитГУ, г. Чита, 2007), VIII Всероссийской научно-практической конференции «Кулагинские чтения» (ЧитГУ, г. Чита, 2008), научных семинарах кафедры математики Читинского государственного университета (20052009 гг.), VIII Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (осеняя сессия) (Адлер, 2007), Всероссийской конференции по математике и механике, посвященной 130-летию Томского го-

сударственного университета и 60-летию механико-математического факультета (Томский государственный университет, г. Томск, 2008).

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы с исчерпывающей полнотой в 12 статьях и 6 тезисах, из них 9 работ выполнены без соавторов. Статья [4] опубликована в издании, входящем в перечень ВАК.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, двух глав основного текста и заключения. Список литературы содержит 47 наименований. Работа изложена на 77 страницах.

Содержание работы

Во Введении раскрывается актуальность темы диссертационного исследования, а также кратко перечисляются основные результаты.

Основной текст разбит на две главы.

Первая глава посвящена изучению тригонометрических операторов Баскакова.

Одной из основных задач теории приближений является исследование аппроксимативных свойств операторов, построенных с помощью линейных методов суммирования рядов Фурье. Суммы Фурье имеют вид

а "

= "Г" + Z(a* cos кх + bk sinfcx), 2 *=1

где у = /(/) -2л- периодическая функция, суммируемая на [-я-, л-], ак, Ьк - коэффициенты ряда Фурье:

1 " 1 *

ак=— fУ(/)cosktdt, bk-~ \f(t)smktdt.

Методы суммирования рядов Фурье представляют собой правила нахождения элементов матрицы

A = п = °Д>2,..., k = l,...,îj(n), lim 77(л) = оо,

Л-»со

а операторы

¿„(Л,/(Г), х) = + ']£Ам(в* С08 Ад: + 81п кх) (5)

называются А-средними сумм Фурье или просто Л.-средними. Коэффициенты называются множителями суммирования.

Основное содержание диссертации относится к исследованию аппроксимативных свойств конкретных Л-средних - операторов Баскакова. Каждый конкретный вид оператора определяется целым параметром т> О

и набором целых параметров [к^^, о<А, <к2 <...<к„, <-■ О™ могут

быть представлены в виде

п п-т-1 .

М^'^'-^ЧДО,*) = у + I " со*кх+Ькьткх).

к=\

Здесь а к, Ьк - коэффициенты Фурье функции Д?), множители суммирования получены Баскаковым и имеют вид11:

" п у-1

гт Г ^

п ««——

2к ¡л втА——

\1-Utj

2 к.л 2к,яЛ сое—!--сое—-

2к}я

Другая форма операторов Баскакова

. лк.

М„ 2' ""{/('),*) =

_У=1 » |

/(/ + *)-ип2 — 2

-ж , , т !

5111 - П (сов/-СОв--)

2 у'=1 и

Л/'

его

Обозначение введено в работах Ю.Г. Абакумова и

аспирантов12. В монографии Ю.Г. Абакумова13 подведен итог работы по

" Баскаков В.А. Об операторах класса , построенных на ядрах Фейера // Применение функционального анализа в теории приближений. - Тверь: ТвГУ, 2001. - С. 5-11.

изучению аппроксимативных свойств операторов д/МЛ и постав-

лен ряд задач по более детальному их исследованию.

Одной из актуальных задач является исследование качества приближения функций вблизи точки разрыва первого рода производной z'-го порядка.

В первом параграфе «Тригонометрические операторы Баскакова и некоторые их свойства» даны определения и перечислены свойства операторов Баскакова.

Под классом С2л понимается класс 2тг -периодических функций, непрерывных на [-я-, л-].

Теорема 1.1. Пусть f(t) £ С2ж ■ Если fit) имеет в некоторой окрестности точки t=x непрерывную производную (i-\)-ro порядка, а производная г-го порядка непрерывна в проколотой окрестности и терпит разрыв первого рода в самой точке х, то для действительного г>0 и i<2m+\ выполняется асимптотическое равенство

M[nm]{k......K\f(t), х + 2rn~x) = f(x + 2m~]) +

+ ^НУ'+1Ф ДгХ/Ям - /_(0(*Ж' + о(п-'), г!

Л ,Jn(A'-'!) ■

7=1

Функции Ф,0"), от приращения ар1умента которых зависит поведение главного члена в асимптотическом разложении, будем называть функциональными характеристиками.

12 Абакумов, Ю.Г., Каримова, Е.Ю., Коган, Е.С. Тригонометрические операторы Баскакова. Общие положения // Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. - Петрозаводск, 2000. - Вып. 2. - С. 87-103.

Абакумов, Ю.г. Приближение периодических функций тригонометрическими операторами Баскакова. Научное издание. - Чита: ЧитГУ, 2006. -158 с.

где

При 1 < z < 2т интеграл, фигурирующий в равенстве, определяющем ф;(г), сходится, при i > 2т теорема не применима.

При ¡' = 1 теорема доказана Е.С. Коган14 в 2004 г. Теорема 1.1. дает

общую информацию об уклонении величины М[™]{к.....■km){f(t),x+2rn~x) от

Дх + 2пГ1). Конкретизацию этой информации дает знание свойств функций Ф¡(г).

Заметим, что полное исследование свойств функций Ф,(/) представляет весьма трудную задачу, которая в настоящее время далека от завершения. В третьем параграфе «Свойства функций Ф,(г)» включены основные, известные к 2009 г. результаты. Все перечисленные далее свойства, кроме отраженного в теореме 1.11, получены автором. Теорема 1.11 получена совместно с Ю.Г. Абакумовым и P.P. Батыровой, при этом Ю.Г. Абакумову принадлежит идея доказательства, P.P. Батырова разобрала случай т=3, случай т=4 доказан автором15.

Предложение 1.1. При 1 < i < 2т, т>0, при целых

0 < <■■■ <кт выполняется

lim Ф,(г) = 0.

Г-> оо

Теорема 1.2. При фиксированных т, 0<ку<---<кт и при

1 < i < 2т имеет место равенство = -2/Ф, .(г).

Предложение 1.2. При 0 < i < т имеет место равенство Фъ (0) = 0. Предложение 1.3. При т = 1 и любом допустимом значении к выполняется неравенство ФДО)>0.

Батырова, P.P. Некоторые свойства функций фДр), характеризующих аппроксимативные возможности тригонометрических операторов Баскакова / P.P. Батырова, Т.Ю. Шерсток // Применение функционального анализа в теории приближений. - Тверь: Твер. гос. ун-т, 2008. С. 18-21.

Теорема 1.3. Ф1(4)(О) = 0(1п£).

Теорема 1.4. При т = 1 существует А0 удовлетворяющее равенству

1 .2/,2 2 = такое, что Ф,(г) на отрезке [ОД0] убыва-

п I ук. л Т )

Ло

ет, при этом ФДЛ)) < 0 , на [Л'00) Ф^) возрастая стремится к нулю при Г -> оо .

Теорема 1.5. При т = 1 Ф2(г) < О при Г € [0, со). На промежутке [0,оо) существует г0 удовлетворяющее равенству |-* 2 <Й = 0, такое, что Ф2(г) на отрезке [О,г0] убывает, на промежутке

[Гс»00) Ф2(0

возрастает, при этом Ф 2 (г) = О

Теорема 1.6. Существуют ао, Д>> такие, что 0 < а0 < /?0 < 1 и для

Ад

(которое фигурирует в предложении 1.6.) выполняется ао < < Ро.

Теорема 1.7. Д^1")®!^) = ^(^о) равномерно по к ограничен.

Обозначим г0 - точку минимума Ф2(/) (фактически г0 зависит от к). Условимся обозначать г0 = (1 — ук )кк.

Теорема 1.8. Существует В > 0 не зависящее от к такое, что выполняется У ¡с <\ — £ .

Фактически доказано, что существует = Ц™ Ук. При этом 0.600 <у" <0.6007.

Теорема 1.9. При к -»оо выполняется |Ф2(г0)| = 0(к).

Предложение 1.4. При т-2 и любых целых 0выполняется Ф3( 0)<0.

Теорема 1.10. При т = 1, если кх < к2, то Фкм(0) < 0,^(0).

Теорема 1.11. Равенство sig«®f(0) = (-l) 2 выполняется: при /72 = 3 для /' = 1,3,5,при /77 = 4 для /' = 1,3,5,7.

Для т = 3 теорема 1.11 доказана P.P. Батыровой. Результат представлен в печать.

Изложение иллюстрируется изображением графиков функций Ф,-(г) при некоторых отдельных наборах параметров.

В четвертом параграфе «Элементарные свойства функций Ф2('") при т=2» выясняется характер изменения функций ФДг) (г'=0, 1, 2, 3,4) в зависимости от изменения параметра г: значение в нуле, промежутки монотонности, знаки экстремумов, предел при г -»со.

Вторая глава посвящена исследованию линейных комбинаций тригонометрических операторов Баскакова. Линейные комбинации естественно возникают в проблемах приближения тригонометрическими операторами Баскакова функций вблизи точек разрыва /-ой производной. Теорема

1.10 говорит о том, что приближение операторами

функций вблизи

точки разрыва второй производной дает с ростом параметра к все более худшие результаты. Этот факт дает основание поставить задачу о поиске линейных комбинаций операторов Баскакова, аппроксимативные свойства которых по возможности более предпочтительны по сравнению с аппроксимативными свойствами самих операторов Баскакова.

В первом параграфе приводятся общие сведения о линейных комбинациях. Во втором параграфе исследуются линейные комбинации из двух слагаемых. Доказывается, что функции , фигурирующие в an-

проксимационной оценке, равномерно по к и Г ограничены, что показывает улучшение аппроксимативных свойств операторов Баскакова.

Доказаны следующие теоремы.

Теорема 2.1. Функции Ф^ДО равномерно по к и Г ограничены.

Теорема 2.2. Функции Ф2,к,хк(г) имеют следующие свойства:

Теорема 2.1 показывает, что свойства функции Ф]¿х значительно

лучше свойств как функции Ф,(1), так и Ф1(4). Однако, согласно теореме 2.2

свойства функции ®2(t)> если улучшаются, то незначительно. Последний

факт объясняется тем, что построение линейных комбинаций из двух операторов имеет «ограниченные возможности маневра» в том смысле, что улучшать свойства одновременно двух функций не получается, изменяя только один параметр.

В третьем параграфе рассматриваются комбинации операторов из трех слагаемых

М™\ AfJP>

. Комбинация из трех слагаемых возникла в связи с двумя фактами, имеющих негативное значение: фк*)(°) = 0(\пк) (см. теорему 1.3), |фад(г0)| = 0{к) (см. теорему 1.9).

Комбинация из трех слагаемых имеет вид:

+(1-4 - я2)м^к\т,х).

Исследуется вопрос, при каких значениях Я; и Я 2 операторы имеют по возможности более благоприятные свойства. При этом Я j и Л 2 подбираются так, чтобы выполнялись равенства:

А,Ф1(1)(0) + A2®,(2)(0) + (1 - Л, - ^)<V)(0) = О, 4Ф2(1)(го) + ^2(2)(r0) + (1 - К - ^)Ф2(/1)(>о) = -<Р-где (р постоянная не зависящая от к, г^ - точка минимума функции Ф0/.ч(г) (от к зависит, причем lim rn =со).

Также получены некоторые результаты при выборочно взятых значениях к и (р. В приложении 2 приведены графические иллюстрации функций ф<м"Лг)(г)-

Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю Юрию Георгиевичу Абакумову за постановку задачи и внимание к работе.

Основные результаты

1. Найдена асимптотическая оценка приближения 2л -периодической функции вблизи точки, где ее производная заданного порядка имеет разрыв первого рода.

2. Получено аналитическое выражение главного члена асимптотики приближения тригонометрическими операторами Баскакова функций с разрывными производными заданного порядка.

3. Доказано, что аппроксимативные свойства операторов Баскакова могут быть улучшены в классе их линейных комбинаций.

Работы автора по теме диссертации

Статьи

1. Шерстюк, Т.Ю. О «парадоксальных» свойствах некоторых линейных комбинаций вида + (1 -Х)М{^{кг) / т.Ю. Шерстюк // Вестник Читинского государственного университета: Выпуск 40. - Чита, ЧитГУ, 2006. С. 123-129.

2. Шерстюк, Т.Ю. О некоторых величинах, характеризующих аппроксимативные свойства операторов Баскакова / Т.Ю. Шерстюк // Вестник

Читинского государственного университета: Выпуск 40. - Чита, ЧитГУ,

2006. С. 129-135.

3. Шерстюк, Т.Ю. О некоторых характеристиках аппроксимативных свойств операторов Баскакова / Т.Ю. Шерстюк // Математический анализ и его приложения: сборник научных трудов / Забайкал. гос. гум.-пед. ун-т. -Выпуск 6. - Чита, 2006. С. 58-60.

4. Шерстюк, Т.Ю. О приближении тригонометрическими операторами Баскакова функций, производные которых имеют разрывы первого рода / Т.Ю. Шерстюк // Вестник СамГУ - Естественнонаучная серия. 2007. №6(56). С. 317-326.

5. Абакумов, Ю.Г. О динамике изменения одной величины, связанной с аппроксимационной характеристикой операторов Баскакова / Ю.Г. Абакумов, Т.Ю. Шерстюк // Математический анализ и его приложения: сборник научных трудов / Забайкал. гос. гум.-пед. ун-т. - Выпуск 7. - Чита,

2007. С. 7-10.

6. Шерстюк, Т.Ю. Оценка приближения тригонометрическими операторами Баскакова функций, имеющих точки разрыва г'-й производной / Т.Ю. Шерстюк // Применение функционального анализа в теории приближений. - Тверь: ТвГУ, 2007. С. 22-29

7. Шерстюк, Т.Ю. О некоторых характеристиках приближения тригонометрическими операторами Баскакова достаточно гладких функций / Т.Ю. Шерстюк // Вестник Читинского государственного университета: Выпуск 42. - Чита, ЧитГУ, 2007. С. 111-114.

8. Батырова, P.P. Некоторые свойства функций ФДр), характеризующих аппроксимативные возможности тригонометрических операторов Баскакова / P.P. Батырова, Т.Ю. Шерстюк // Применение функционального анализа в теории приближений: Сб. науч. тр. - Тверь: Твер. гос. ун-т, 2008. С. 18-21.

9. Абакумов, Ю.Г. О динамике изменения аппроксимативных свойств тригонометрических операторов Баскакова при изменении параметра к!Ю.Г. Абакумов, P.P. Батырова, Т.Ю. Шерстюк // Математический анализ и его приложения: сборник научных трудов / Забайкал. гос. гумм пед. ун-т. - Выпуск 8. - Чита, Изд-во ЗабГГПУ, 2008. С. 5-9.

10. Карымова, Е.Ю. Тригонометрические операторы Баскакова и расчет цифровых фильтров нижних частот / Е.Ю. Карымова, И.Ю. Кобысова, Т.Ю. Шерстюк // Обозрение прикладной и промышленной математики. Т. 15, Выпуск 2, 2008. С. 310-311.

11. Шерстюк, Т.Ю. О некоторых линейных комбинациях тригонометрических операторов Баскакова и / Т.Ю. Шерстюк // Применение функционального анализа в теории приближений: Сб. науч. тр. -Тверь: Твер. гос. ун-т, 2009. С. 18-22.

12. Лямина, О.С. Некоторые аппроксимационные характеристики приближения тригонометрическими операторами Баскакова функции класса Lipa / Лямина О.С., Шерстюк Т.Ю. // Вестник Читинского государственного университета № 10 (67) 2010. - С. 112-120.

Тезисы

1. Шерстюк, Т.Ю. Приближение операторами Баскакова функций вблизи точек разрыва производных / Т.Ю. Шерстюк // IV Всероссийская научно-практическая конференция «Кулагинские чтения» (материалы конференции). - Чита: ЧитГУ, 2006. Ч. III. С. 196-200.

2. Шерстюк, Т.Ю. Приближение тригонометрическими операторами В.А. Баскакова функции с разрывными производными / Т.Ю. Шерстюк // Всероссийская научно-практическая конференция «Энергетика в современном мире» (тезисы докладов). - Чита: ЧитГУ, 2006. С. 194-196.

3. Абакумов, Ю.Г. О линейных комбинациях операторов Баскакова

M[¿]m и М™к) / Ю.Г. Абакумов, Т.Ю. Шерстюк // VII Всероссийская на-

учно-практическая конференция «Кулагинские чтения» (материалы конференции). - Чита: ЧитГУ, 2007. Ч. I. С. 207-209.

4. Батырова, P.P. Приближение периодических функций, имеющих разрывные производные i-ro порядка / P.P. Батырова, Т.Ю. Шерстюк // Всероссийская конференция по математике и механике, посвященная 130-летию Томского государственного университета и 60-летию механико-математического факультета: Сборник тезисов (Томск, 22 - 25 сентября 2008 г.) - Томск: Томский государственный университет, 2008. С. 71-72.

5. Абакумов Ю.Г. О некоторых свойствах функциональных характеристик аппроксимативных свойств тригонометрических операторов Баскакова / Ю.Г. Абакумов, P.P. Батырова, Т.Ю. Шерстюк // VIII Всероссийская научно-практическая конференция «Кулагинские чтения» (материалы конференции). - Чита: ЧитГУ, 2008. Ч. II. С. 3-6.

6. Батырова, P.P. О функциях, характеризующих аппроксимативные свойства операторов Баскакова / P.P. Батырова, Т.Ю. Шерстюк // VI Всероссийская научно-практическая конференция «Энергетика в современном мире» (материалы конференции). - Чита: ЧитГУ, 2009. Ч. I. - С. 170-172.

Подписано в печать 31.01.2011 г. Формат 60х841/16. Уч.-изд.л. 1,0 Тираж 100 экз. Заказ № 15

Отпечатано в типографии Читинского государственного университета, 672039, г. Чита, ул. Алекзаводская, 30

РИК ЧитГУ

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Шерстюк, Татьяна Юрьевна

Введение

Глава 1. Приближение операторами Баскакова функций с разрывными производными

1.1. Тригонометрические операторы Баскакова и некоторые их свойства

1.2. Поведение величины Мп (/(/), х + 2т~1), если х - изолированная точка разрыва /(°(0.

1.2.1. Оценка величин Мп (/' ,0) , Мп , —) и некоторых дру

1.2.2. Вспомогательное утверждение

1.2.3. Оценка приближений 2тг -периодических функций вблизи точки, где У^ (0 имеет разрыв первого рода.

1.3. Свойства функций Ф ,• (У)

1.4. Элементарные свойства функций Ф ,•(/*) при ш=2.

Глава 2. Линейные комбинации операторов Баскакова

2.1. Вводные замечания.

2.2. Линейные комбинации операторов и

2.3. Линейные комбинации операторов М£К1), МЦ](2) и

Введение диссертация по математике, на тему "О приближении операторами Баскакова функций, имеющих конечное число точек разрыва производных"

По всей видимости, как самостоятельная часть математики теория приближений ведет начало с работы П.Л. Чебышева [29] 1854 г., в которой он задается вопросом: как наилучшим образом приближенно представить заданную функцию?

В 1885 г. Вейерштрасс доказал, что каждая непрерывная функция на отрезке может быть с любой степенью точности приближена полиномами. Этот результат натолкнул на мысль искать связи между свойствами функций и скоростью приближения ее полиномами. Функции с одинаковой скоростью приближения образуют некоторый функциональный класс. Приближение целых функциональных классов тригонометрическими полиномами начато в трудах Лебега, Валле-Пуссена, Фейера, Бернштейна, Джексона [28] и продолженное затем в работах Колмогорова, Корнейчука, Крейна, Стечкина, Никольского [25] и многих других, нашло весьма полное освещение во многих монографиях и обзорных статьях.

Первым методом нахождения тригонометрических полиномов, приближающих периодические функции, явился метод, основанный на построении рядов Фурье [12].

Однако, в 1876 году П. Дюбуа-Реймон построил пример непрерывной 2тг -периодической функции, ряд Фурье которой не сходится равномерно [28].

Для периодического случая первый пример приближающей последовательности был построен в 1904 г. Л. Фейером. Было выявлено, что операторы Фейера, решая проблему равномерного приближения непрерывных функций, являются, тем не менее, весьма «некачественным» аппаратом приближения. Они приближают любую дифференцируемую функцию с порядком 0(п~1) (в том числе и 5Ш/). В 1911 г. Д. Джексон предложил операторы, приближающие дважды дифференцируемые функции с порядком 0{п~г). Операторы Фейера и Джексона укладываются в 3 некоторую общую схему. Они получаются с помощью так называемых методов суммирования рядов Фурье.

В работе В.А. Баскакова [9] была предложена аппроксимирующая последовательность, относящаяся к тому же классу. В 2001 г. В.А. Баскаков [10] нашел аналитическое представление множителей суммирования, таким образом, ввел понятие — тригонометрические операторы Баскакова.

Среди последних работ по аппроксимативным свойствам операторов следует отметить статьи Ю.Г. Абакумова [2], Е.С. Коган [21], Т.В. Дубровиной [13].

Во второй половине двадцатого столетия идеи и методы теории аппроксимации находят свое применение в различных разделах математической науки, в том числе прикладного характера (теория приближений, теория обработки сигналов), по этой причине данная тематика остается актуальной.

В диссертации рассматривается приближение периодических функций специального вида (точнее будет сказано далее) тригонометрическими полиномами. Норма разности функции и полинома определяется равенством ||/(дс) - /К-*0|| = sup|/(Ac) - р(х)\. Если f(x)— непрерывна, то л такая норма называется чебышевской. Название связано с тем, что П.Л. Чебышев поставил и в принципе решил (нашел критерий) задачу поиска полинома, наименее уклоняющегося от функции именно в смысле выше указанной нормы.

Ряды Фурье приближают в чебышевской метрике любую 2тт-периодическую дифференцируемую функцию, то есть, если fif)— дифференцируема, то ИтЦ«^ (/(*)»*) ~~ /С*) I = 0. п—>00

Ряд Фурье функции f(x) имеет вид я °° f{x)---+ cos АаС + А^ sin kx), (1)

2 к=i

1 п Iя" где ak=— \ f(t) cos ktdt, bk=— \f(t)smktdt.

Отрезок ряда (1)

SntfVhx) = ¿(«A cos кх + Ък sin кх) (2)

2 а=1 называется частной суммой Фурье (или просто суммой Фурье) порядка п.

Задачу равномерного приближения любой непрерывной 2л -периодической функции можно решить, используя операторы Фейера

• 2 М

7-1 > 1 я Sin

5Х(/(0,*) /я = J fit + X)-\dt. (3) sin — 2

Для любой непрерывной 2ж -периодической функции /(/) (то есть для ДО е с2х) выполняется lim]|сг„(/(/),х) - /(х)|| = 0.

Я—>оо "

Операторы Джексона в интегральной форме имеют вид

Dn(f(.t),x)= \ ¡fit+x) г . nt ^ sin— t sm— dt- (4)

Методы суммирования рядов Фурье представляют собой правила нахождения элементов матрицы

Л = {Лк,„}, п = 0,1,2,к = 1,.,Т]{п), Шп 17(11) = 00, иЬ. ГШ

И—>00 а операторы

Ln(A,f( í),x) = -f- + + К sinbr) A=J

5) называются Л -средними сумм Фурье или просто Л -средними. Коэффициенты называются множителями суммирования.

Применив преобразования, операторы (5) можно записать в виде

Ш.

Ln(A,f(t),x) = K 1 J f(t + х)

-я 1 тт 1

-+ Z Як cos{kt) v2 Л = 1 '

Функцию и (*) = — + X Л-. cos(Aí¿) называют ядром оператора Х„ . И 2 А= 1 К,П

Для операторов Фейера множители суммирования Лк п=1--, для п операторов Джексона г}{п) = 2п — 2, при 0 ^ к ^ п - 2 1

2п(2п +1) при п - 2 < к < 2п - 2, Лк<„ = 1

2п -к + 1)1 (п -к + 1)0 <{2п-к-2)\ \п-к-2)\

2л -к +1)!

2п(2п +1) (2п-к-2)1

Для операторов Зигмунда Хк п = 1 - — , ¡3>\.

Для операторов Коровкина к ynj

Лк,п к ) кж 1 . кл ж 1--Icos-+-sin-ctgп +2) /1 + 2 п + 2 п +2 п + 2

Также для операторов Коровкина известно интегральное представление 2 п Sin — ясое nt mi diсое / — сое

71 п

Известно, что для того, чтобы оператор ХИ(Л,-,-) приближал равномерно любую непрерывную 2яг -периодическую функцию необходимо и достаточно выполнения двух условий:

1) при любом к выполняется lim Як п = 1,

Я-» 00

2) | ХЙ|| равномерно по п ограничены. Здесь норма оператора определяется равенством

Хй||= sup

1/11

Общие условия гарантирующие равномерную ограниченность норм Ln{Л,-,-) были получены в разное время С.М. Никольским, A.B. Ефимовым, С.Б. Стечкиным, Г.А. Фоминым (см. [28])

Основное содержание диссертации относится к исследованию аппроксимативных свойств конкретных Л -средних — операторов Баскакова (они введены в работах В.А. Баскакова [9], [10] и изучались в ряде работ, например, в диссертационных исследованиях Е.С. Коган [20] и Т.В. Дубровиной [14]).

Они могут быть представлены в виде п п-т-2 X /С*1' (e4cosfa + Ькsin/tv)J

2 к=1 здесь ак, Ък коэффициенты Фурье функции fit), т> 0, {кЛ]"=1, п

О <к1<к2<.<кт<~.

Множители суммирования у операторов Баскакова определяются по формуле г кик2,.,кт) J к + ^ п п

J=1

ГТ ( 1к1ж i 11 cos—---1

1=1,1* j\ п т п

2 к.тг 2кжл cos—---cos—-— п п

2кя sin£—— п

2к ¡я sin—— п о {гп\{к^1у. Л„) Приведенное аналитическое выражение множителеи найдено В.А. Баскаковым (см. [10]).

В предлагаемой диссертационной работе используется представление операторов Баскакова в виде свертки пк> . . . , и/ вт -1 |(соз г - соэ--)

Та™ " 2тгк1 | ](СОЗ£-СОЭ

2 у=1 п

Известные операторы Фейера можно считать частным случаем операторов Баскакова при ш = 0.

Известно [2], [10], что при любых допустимых значениях параметров м, к^ последовательность {м,[г'"1(/С1""'А'")} имеет равномерно по п ограниченные нормы и является аппроксимирующей, то есть для любой непрерывной периодической функции У (О€ выполняется

Нш и—»СО 0.

Исследование порядка величины (¿), х) - /(х) когда /(*") принадлежит тому или иному классу функций, является одной из основных задач исследования аппроксимативных свойств операторов

В диссертационном исследовании рассматривается задача оценки приближения функций, /-ая производная которых имеет разрывы первого рода в изолированных точках. Задача оценки наилучшего приближения подобных функций рассматривалась в работах С.Н. Бернштейна, С.М. Никольского (см. [25]). С.М. Никольский получил также оценку скорости приближения операторами Фейера функций в точке разрыва первой производной. В работе (см. [27]) С.А. Теляковский рассмотрел аналогичную задачу в случае приближения функций на отрезке [ОД] многочленами Бернштейна.

Основные результаты диссертации являются новыми, перейдем к их краткому изложению.

В первой главе рассматривается задача приближения операторами Баскакова функций, которые имеют непрерывные производные порядка i — 1, но производные порядка i при этом могут иметь разрывы в изолированных точках.

В первом параграфе «Тригонометрические операторы Баскакова и некоторые их свойства» излагаются известные результаты, касающиеся аппроксимирующих последовательностей операторов Баскакова. Эти результаты изложены, например, в [2], [14], [15], [16].

Определение 1 ([2], п. 1.4). Если 2л -периодическая функция непрерывна на [-яг, я-], то говорят, что она принадлежит классу С2/Т .

Определение 2 ([2], п. 1.4). Если для найдется константа

М> 0, такая, что При условии -¿2| <2/Z" выполняется

1> то говорят, что f(t)eLipMl т Класс Lip\ определяется равенством Lip\ — LipM 1

Определение 3 ([2], п. 1.5). Если fit) Е С2я. имеет непрерывную 2ж -периодическую производную порядка i (то есть, то говорят, что /(0 £ Сг1п . Если при этом /(/)(0 е LipM 19 хо пишут до е wihi .

Если константа М не фиксируется, то пишут fit) е JГ Я1.

В дальнейшем будем рассматривать 2л -периодическую функцию, равную \а при t G (-7Г, .

В работах Е.С. Коган [19], Т.В. Дубровиной [13], Н.А. Забелиной [16] имеются точные оценки ||Мд(/(*)»*)-/(л;)|. Сформулируем основные свойства тригонометрических операторов Баскакова: если f(t)<EWl~'Hl, при i<2m + l (Е.С.Коган [19]); \\мп (/(О, X) - Дх)|| = 0(п-2т'1 In п), если f{t) е W2mHl (Н.А. Забелина [16]); \\M„(At),x)-f(x)\\=0(n-2m-1) если ДО е W2m+1Hl (Т.В. Дубровина [13]).

Из данных результатов видно, что операторы Баскакова приближают с наилучшим порядком функции классов WH1 при условии i < 2т.

Во втором параграфе «Поведение величины Mn(f(t), х + 2гп~1), если х — изолированная точка разрыва (t) » приводится оценка величин Mn(tl,0), Mn{t\2rnx).

Доказана лемма 1.1- вспомогательное утверждение, использующееся при доказательстве теоремы, имеющей ключевое значение.

Теорема 1.1. Пусть fit) G С2л. Если fit) имеет в некоторой окрестности точки t=x непрерывную производную (i-\)-vo порядка, а производная z-ro порядка непрерывна в проколотой окрестности и терпит разрыв первого рода в самой точке х, то для действительного г > 0 и г<2т+1 выполняется асимптотическое равенство

M\^-k'"\fit),x + 2rn-l) = f{x + 2m-l) + + ir)ifi°(х) - + о(п-1), где

-dt

ПИ,2-'2) '

2 sin21 т

Функции ФД>), от приращения аргумента которых зависит поведение главного члена в асимптотическом разложении, будем называть функциональными характеристиками.

При 1 < / < 2т интеграл, фигурирующий в равенстве, определяющем Ф,(У) сходится, при / > 2т теорема не применима.

При 1 = 1 теорема доказана Е.С. Коган [21].

Теорема 1.1. дает общую информацию об уклонении величины (f(t),x + 2rn~~l) от f(x + 2rn l), конкретизацию этой информации дает знание свойств функций Ф,- (г).

В третьем параграфе «Свойства функций Фг(г)>> включены основные, известные к 2009 г. результаты. Все перечисленные далее свойства, кроме отраженного в теореме 1.11, получены автором. Теорема 1.11 получена совместно с Ю.Г. Абакумовым и P.P. Батыровой, при этом Ю.Г. Абакумову принадлежит идея доказательства, P.P. Батырова разобрала случай т-3, случай ш=4 разобран автором [34].

Предложение 1.1. При 1 < i < 2т., т>0, при целых 0 < кл < • • • < кт выполняется lira ФДг) = 0.

Теорема 1.2. При фиксированных т, 0 < кх < • • • < кт и при

Предложение 1.2. При 0 <i<m имеет место равенство

1 < / < 2т имеет место равенство = —2/Ф (1 (г).

Ф2,(0) = 0.

Предложение 1.3. При да = 1 и любом допустимом значении к выполняется неравенство Ф, (0) > 0.

Теорема 1.3. Фт (0) = 0(1п к).

Теорема 1.4. При т = 1 существует Л0 удовлетворяющее равенству sin2/

J Л/1 2 2 ,2ч , такое, что Ф^г) на отрезке [О,Я0] убывает, при о / ^/с 7Г t ) л0 этом Ф1(Я0)<0, на [Л0,оэ) возрастая стремится к нулю при

Г —> со.

Теорема 1.5. При т- 1 Ф2М < 0 при Т Е [0,ао). На промежутке оо . • , 2 , г sin t

10, оо) существует TQ удовлетворяющее равенству J-j-!-¿-ut = \), t(k 7С —i ) такое, что Ф2(г) на отрезке [О,г0] убывает, на промежутке К,00) Ф 2 (г) возрастает, при этом ^^ФгС7') = 0.

Теорема 1.6. Существуют <%о, Аь такие, что 0 < ос0 < Д, < 1 и для

1 А) Г) а0 (которое фигурирует в теореме 1.4.) выполняется ао < — < Ро.

КЛ

Теорема 1.7. Ф 1 (г) ~ Ф1 (Л>) равномерно по к ограничен.

Обозначим г0 - точку минимума Ф200 (фактически г0 зависит от к). Условимся обозначать г0 = (1 — ук)кк.

Теорема 1.8. Существует £ > 0 не зависящее от к такое, что выполняется У к < 1 ~ £ .

Фактически доказано, что существует У™=\\тукт При этом 0.600 < у" < 0.6007 .

Теорема 1.9. При к -> оо выполняется |Ф2(г0)| = 0(к).

Предложение 1.4. При т = 2 и любых целых 0 <кх<к2 выполняется Ф3(0)< 0.

Теорема 1.10. При т = 1, если кх < к2, то Фщ)(0) <ФКкг)Ф).

Теорема 1.11. Равенство signO^O) = (-1) 2 выполняется: при т-Ъ для z = l,3,5, при т — 4 для / = 1,3,5,7.

Для т = 3 теорема 1.11 доказана P.P. Батыровой. Результат представлен в печать.

В четвертом параграфе «Элементарные свойства функций Ф20\) при ш=2» выясняется характер изменения функций Ф;(г) (/=0, 1, 2, 3, 4) в зависимости от изменения параметра г: значение в нуле, промежутки монотонности, знаки экстремумов, предел при г -> оо.

Теорема 1.10 говорит о том, что приближение операторами функций вблизи точки разрыва второй производной дает с ростом параметра к все более худшие результаты. Этот факт дает основание поставить задачу о поиске линейных комбинаций операторов Баскакова, аппроксимативные свойства которых по возможности более предпочтительны по сравнению с аппроксимативными свойствами самих операторов Баскакова.

В первом параграфе приводятся общие сведения о линейных комбинациях. Во втором параграфе исследуем линейные комбинации из двух слагаемых. Доказывается, что функции Ф^аД**) , фигурирующие в асимптотическом разложении функции, равномерно по к и Г ограничены, что показывает улучшение аппроксимативных свойств операторов Баскакова.

Доказаны следующие теоремы.

Теорема 2.1. Функции Фи,л*(г) равномерно по к я Г ограничены.

2) = °

Теорема 2.2. Функции ^2,к,як (г) имеют следующие свойства:

VIII к , '

Теорема 2.1 показывает, что свойства функции Ф]значительно лучше свойств как функции Ф1(1), так и . Однако, согласно теореме 2.2 свойства функции > если улучшаются, то незначительно. Последний факт объясняется тем, что построение линейных комбинаций из двух операторов имеет «ограниченные возможности маневра» в том смысле, что улучшать свойства одновременно двух функций не получается, изменяя только один параметр.

В третьем параграфе рассматриваем комбинации операторов из трех слагаемых м™, м™2\ Комбинация из трех слагаемых возникла в связи с двумя фактами, имеющих негативное значение: Фца)(0) = 0(\пк) (см. пункт 1.3, теорему 1.3), Ф2(А)

0о)| = <?(*) (см. пункт 1.3, теорема 1.9).

Комбинация из трех слагаемых имеет вид: м(к, льл2) (/(а х) = ЛхМШ) {Ш х) + я2м^(2) х) +

Исследуется вопрос, при каких значениях и Я2 операторы имеют наиболее благоприятные свойства. При этом Л1 и Л2 подбираются так, чтобы выполнялись равенства:

4Фко(0) + ^ф1(2)(0) + (1 - л - ^)Ф1(,)(0) = о, АФ2(1)(>о) + ¿2Ф2(2)(го) + (1 - Л - ^)Ф2(*)Оо) = -<Р' где ф постоянная не зависящая от к, г^— точка минимума функции

Ф2(от ^ зависит> причем \\т

Также получены некоторые результаты при выборочно взятых значениях к и (р. В Приложении 2 приведены графические иллюстрации функций

Заключение диссертации по теме "Математический анализ"

Основные результаты.

1. Найдена асимптотическая оценка приближения 2п -периодической функции вблизи точки, где ее производная заданного порядка имеет разрыв первого рода.

Заключение

В диссертационной работе рассматривается приближение функций, производные которых имеют разрывы первого рода, тригонометрическими полиномами. При этом задача рассматривается для производных произвольного порядка.

В работе задача решена для случая приближения — тригонометрическими операторами Баскакова, являющимися Л-средними сумм Фурье. Применение используемых методов к другим Л-средним, по-видимому, принципиальных затруднений не вызовет.

Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Шерстюк, Татьяна Юрьевна, Чита

1. Абакумов, Ю.Г. Последовательности линейных функционалов и аппроксимативные свойства линейных операторов. Монография / Ю.Г. Абакумов. - Чита: ЧитГУ, 2004. - 179 с.

2. Абакумов, Ю.Г. Приближение периодических функций тригонометрическими операторами Баскакова. Научное издание / Ю.Г. Абакумов. -Чита: ЧитГУ, 2006. 158 с.

3. Абакумов, Ю.Г. К выводу основных характеристик тригонометрических операторов Баскакова / Ю.Г. Абакумов, Т.В. Дубровина // Вестник ЧитГТУ. Вып. 30. Чита: ЧитГТУ, 2003. С. 138-142.

4. Абакумов, Ю.Г. О последовательностях линейных функционалов и некоторых операторах класса S2m / Ю.Г. Абакумов, Н.А. Забелина, О.Н. Шестакова // Сиб. мат. журнал. 41. № 2. 2000. С. 247-252.

5. Абакумов, Ю.Г. Тригонометрические операторы Баскакова. Общие положения / Ю.Г. Абакумов, Е.Ю. Карымова, Е.С. Коган // Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Петрозаводск, 2000. - Вып. 2. - С. 87-103.

6. Абакумов, Ю.Г. О динамике изменения некоторых аппрокси-мационных констант / Ю.Г. Абакумов, P.P. Батырова // VII Всероссийская научно-практическая конференция «Кулагинские чтения» (материалы конференции). Чита: ЧитГУ, 2007. Ч. I. С. 206-207.

7. Абакумов, Ю.Г. Некоторые замечания об операторах2 мПКО --MJ21.(2) +—Ml](3) //Вестник ЧитГУ, 2008. № 2 (47). С. 108-111. 2 5 10

8. Баскаков, В.А. Линейные методы суммирования рядов Фурье и приближение непрерывных функций / Баскаков В.А. Учебное пособие. -Калинин, 1980. - 78 с.

9. Баскаков, В.А. Об одном методе построения операторов класса S2m II Теория функций и приближений. Интерполяция по Лагранжу / В.А. Баскаков Саратов, 1984. С. 19-25.

10. Баскаков, В.А. Об операторах класса S2m, построенных на ядрах Фей ера / В. А. Баскаков // Применение функционального анализа в Теории приближений. Тверь: ТвГУ, 2001. - С. 5-11.

11. Батырова, Р.Р. Некоторые замечания о функциях Ф,(/?), характеризующих аппроксимативные свойства тригонометрических операторов Баскакова // Математический анализ и его приложения. Выпуск, 7. Чита: ЗабГГПУ, 2007. С. 17-20.

12. Вилейтнер, Г. История математики от Декарта до середины XIX столетия. Москва, 1960. — 468 с.

13. Дубровина, Т.В. Некоторые свойства тригонометрических операторов Баскакова / Т.В. Дубровина // Вестник ЧитГТУ. Вып. 28. - Чита: ЧитГТУ, 2001. - С. 154-157.

14. Дубровина, Т.В. Оценка характеристик, определяющих аппроксимативные свойства тригонометрических операторов Баскакова и некоторых других методов суммирования рядов Фурье / Т.В. Дубровина. Автореферат дис. . канд. физ.-мат. наук. Красноярск, 2005. 13 с.

15. Ершова, Е.М. Операторы Класса S2m и их аппроксимативныесвойства / Е.М. Ершова. Автореферат дис. . канд. физ.-мат. наук. Москва, 2002.

16. Забелина, H.A. Приближение операторами Баскакова j^-CV-A,) функций класса W2mHl // Технические науки, технологии и экономика. Третья межрегиональная научно-практическая конференция. Материалы конференции. Часть I. Чита: ЧитГУ, 2003. С. 30-34.

17. Карымова Е. Ю. О приближении функции Хевисайда некоторыми линейными комбинациями операторов Баскакова. // Математический анализ и его приложения: сборник научных трудов. Выпуск 7. -Чита: ЗабГГПУ, 2008. С 40-44.

18. Коган, Е.С. Тригонометрические операторы Баскакова и некоторые задачи, связанные с ними / Е.С. Коган // Математика и ее приложения: Журнал Ивановского математического общества. — Иваново: Иван, гос. ун-т, 2004. С. 79-92.

19. Коган, Е.С. Некоторые методы получения точных и экстремальных констант в оценках приближения линейными операторами функций классов LipMa / Е.С. Коган. Автореферат дис. . канд. физ.-мат. наук. — Красноярск, 2004. 15 с.

20. Коган, Е.С. Оценка приближения функций операторами Баскакова в точке разрыва производной и вблизи этой точки / Е.С. Коган // Применение функционального анализа в теории приближений: Сб. науч. тр. Тверь: ТвГУ, 2004. - С. 107-115.

21. Корнейчук, Н.П. Точные константы в теории приближений / Н.П. Корнейчук. М.: Наука, 1987. - 424 с.

22. Коровкин, П.П. Линейные операторы и теория приближений / П.П. Коровкин. М.: Физматгиз, 1959. - 212 с.

23. Коровкин, П.П. Сходящиеся последовательности линейных операторов / П.П. Коровкин //УМН. 1962. Т. 17. вып. 4. С. 147-152.

24. Никольский, С.М. Избранные труды. Т. 1: Теория приближений. М.: Наука, 2006. - 432 с.

25. Стечкин, С.Б. Субботин, Ю.Г. Сплайны в вычислительной математике. М.: Наука, 1976. - 248 с.

26. Теляковский, С.А. О приближении многочленами Бернштейна в точках разрыва производных / С.А. Теляковский // Математические заметки. 2009, т. 85, № 4. С. 622-629.

27. Тихомиров, В.М. Теория приближений / В.М. Тихомиров // ИНТ. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т.14. Москва, 1987. - С. 105-260.

28. Чебышев, П.Л. Полн. собр. соч. Т. 2. М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1947, 520 с.

29. Работы автора по теме диссертации1. Статьи

30. Шерстюк, Т.Ю. О «парадоксальных» свойствах некоторых линейных комбинаций вида АМЦШ + Л)М^.{к2) / Т.Ю. Шерстюк // Вестник Читинского государственного университета: Выпуск 40. — Чита, Чит-ГУ, 2006. С. 123-129.

31. Шерстюк, Т.Ю. О некоторых величинах, характеризующих аппроксимативные свойства операторов Баскакова / Т.Ю. Шерстюк // Вестник Читинского государственного университета: Выпуск 40. — Чита, Чит-ГУ, 2006. С. 129-135.

32. Шерстюк, Т.Ю. О некоторых характеристиках аппроксимативных свойств операторов Баскакова / Т.Ю. Шерстюк // Математический анализ и его приложения: сборник научных трудов / Забайкал. гос. гум.-пед. ун-т. Выпуск 6. - Чита, 2006. С. 58-60. )

33. Шерстюк, Т.Ю. О приближении тригонометрическими операторами Баскакова функций, производные которых имеют разрывы первого рода / Т.Ю. Шерстюк // Вестник СамГУ Естественнонаучная серия. 2007. №6 (56). С. 317-326.

34. Шерстюк, Т.Ю. Оценка приближения тригонометрическими операторами Баскакова функций, имеющих точки разрыва /-й производной / Т.Ю. Шерстюк // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь: ТвГУ, 2007. С. 22-29

35. Шерстюк, Т.Ю. О некоторых характеристиках приближения тригонометрическими операторами Баскакова достаточно гладких функций / Т.Ю. Шерстюк // Вестник Читинского государственного университета: Выпуск 42. Чита, ЧитГУ, 2007. С. 111-114.

36. Карымова, Е.Ю. Тригонометрические операторы Баскакова и расчет цифровых фильтров нижних частот / Е.Ю. Карымова, И.Ю. Кобы-сова, Т.Ю. Шерстюк // Обозрение прикладной и промышленной математики. Т. 15, Выпуск 2, 2008. С. 310-311.

37. Шерстюк, Т.Ю. О некоторых линейных комбинациях тригонометрических операторов Баскаковаи / Т.Ю. Шерстюк //

38. Применение функционального анализа в теории приближений: Сб. науч. тр. Тверь: Твер. гос. ун-т, 2009. С. 18-22.

39. Лямина, О.С. Некоторые аппроксимационные характеристики приближения тригонометрическими операторами Баскакова функциикласса Lipa / Лямина О.С., Шерстюк Т.Ю. // Вестник Читинского государственного университета № 10 (67) 2010. — С. 112-120.1. Тезисы

40. Шерстюк, Т.Ю. Приближение операторами Баскакова функций вблизи точек разрыва производных / Т.Ю. Шерстюк // IV Всероссийская научно-практическая конференция «Кулагинские чтения» (материалы конференции). Чита: ЧитГУ, 2006. Ч. III. С. 196-200.

41. Абакумов, Ю.Г. О линейных комбинациях операторов Баскакова M¡™ и М).т / Ю.Г. Абакумов, Т.Ю. Шерстюк // VII Всероссийская научно-практическая конференция «Кулагинские чтения» (материалы конференции). Чита: ЧитГУ, 2007. Ч. I. С. 207-209.