Конструкции операторов класса Sm и их аппроксимационные свойства тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Кб 2 7

САРАТОВСКИМ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Н.Г. ЧЕРНЫШЕВСКОГО

На правах рукописи

СИДОРОВ Сергей Петрович

КОНСТРУКЦИИ ОПЕРАТОРОВ КЛАССА 5т И ИХ АППРОКСИМАТИВНЫЕ СВОЙСТВА

01.01.01. - математический анализ

Автореферат

диссертации на соискание леченой степени кандидата физико- математических наук

САРАТОВ - 1997

С

У^7

Диссертационая работа выполнена на кафедре теории функций ц приближений Саратовского государственного университета пм. Н.Г. Чернышевского

Научные руководители —

доктор физико-математических наук профессор

А.А.ПРИВАЛОВ

Официальные оппоненты—

Ведущая органзация —

доктор флзико-мате матнческих наук профессор А.Н.ХРОМОВ доктор физико-математических наук профессор В.А.БлСКАКОВ канд. фпзпко-матеыатичеекпх наук доцент А.Ю. ТРЫНИН Институт математики п механики УрО РАН

Защита состоится 1997г. в 15.30 на заседании Диссерта-

ционного Совета К063.74.04 при Саратовском государственном университете пм. Н.Г.Чернышевского по адресу: 410026, г.Саратов, Астраханская, 83.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Саратовского государственного университета.

Автореферат разослан 0-/.ун~^М997г.

Ученый секретарь Диссертационного Совета кандидат физико-математических наук

доцент '^¿¿^у^^О П.Ф.Недорезов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Изучение свойств линейных операторов, действующих в пространствах непрерывных функций, является одной из основных задач в теории приближения функций. Наиболее широкое применение в теоретических исследованиях п в прикладных областях математики получили линейные положительные операторы, многие важные свойства которых были открыты П.П. Коровкпным.

Недостатком этих операторов является их медленная сходимость к приближаемой функции. П.П. Корвкппым [1] было доказано, что порядок приближения полиномиальными линейными положительными операторами степени п не может быть выше н~2 в пространстве С[о,Ь].

В 1962 году П.ГГ. Коровкпн [2] впервые ввел понятие операторов класса Sm. Не являясь положительными, эти операторы vorvT обладать лучшими аппроксимативными свойствами на классах дифференцируемых функций. П.П. Коровкип также сформулировал и доказал теорему об условиях сходимости последовательности таких сасраторов ко всякой непрерывной функции. Кроме того, им было установлено [3], 'что порядок приближения линейными полиномиальными операторами класса Sm на системе из m + 3 функций 1, х, .г2,... , хт+2 по норме пространства С[а;6] не может быть выше, чем .

В дальнейшем теория линейных положительных операторов и операторов класса S,n развивалась в двух основных направлениях: получение аналогов л ообщенпй классических результатов П.П. Ксровкина и построение конструкций операторов класса Sm с хорошими аппроксимативными свойствами на классах дифференцируемых функций.

Одной из других возможностей построения линейных операторов, обладающих лучшими аппроксимативными свойствами па классах -дифференцируемых функций ио сравнению с линейными положительными операторами, является построение операторов в виде конечной линейной комбинации линейных положительных операторов.

Цель работы. Привести конструкции линейных операторов конечного ранга класса 5т с оптимальным порядком приближения, исследовать аппроксимативные свойства предложенных операторов. На основе операторов В.А. Баскакова [4] построить линейные операторы с хорошими аппроксимативными свойствами на классах дифференцируемых функций.

Общая методика выполнения исследований. Используются классические методы конструктив поп теории функций, идеи, указанные П.П. Коровкиным в работах [1-3] и получившие дальнейшее развитие в работах других математиков.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми, онп приведены с полными доказательствами.

Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер, разработаны новые положения, развивающие классические результаты. Полученные в диссертации результаты могут быть использованы в исследованиях аппроксимативных свойств линейных операторов конечного ранга класса 5т, а также в вычислительной математике.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на 6-ой, 7-ой, 8-ой Саратовских зимних школах по теории функций и приближений (1992, 1994, 1996 гг), на Международной конференции, посвященной памяти М.П. Кравчука (Киев, 1992), а также на семинарах

А.Л.Привалова и А.П. Хромова в Саратовском государственном уни-

верситете пм. Н.Г. Чернышевского.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [1-5].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения и двух глав. Список литературы содержит 53 наименования. Общий объем работы 100 стр.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении содержится краткий исторический обзор, обсуждаются задачи исследования п формулируются основпые результаты.

Первая глава диссертации посвящена исследованию аппроксимативных свойств операторов конечного ранга г) + 1 класса Sm. Здесь впервые введены л исследованы конструкции линейных операторов конечного ранга класса 5т, обладающих наилучшим порядком приближения. Показано, что введенные операторы имеют наилучшее равномерное приближение тестовых функции по сравнению с другими линейными операторами класса 5„, определенного вида.

Линейный оператор Ln(f;x), определенный n С[0,1], со значениями в пространстве В[0,1], есть оператор конечного ранга п + 1, если пространство образов этого оператора

{Lnf: f в С[0,1]}

имеет размерность п -f 1, В [О,1] есть пространство ограниченных па [0,1] функции с нормой

11/11= sup |Д.т)|.

Х'6[0,1]

Первая глава состоит из шестп параграфов.

В § 1 предлагаются конструкции линейных операторов An:2m(f', х) конечного ранга п + 1 класса Som-, отображающих С[0,1] в С[0,1], таких, что

Лnam(tk] х) = хк, к = 0, . . . , 2/77 + 1, X е [0, 1],

и находится значение величины ||Л„,зт((í — ,г)2т+2; Д")|jc[o,i]-

В § 2 вводится в рассмотрение конструкция лпнепных операторов A„,2m+i(/; х) конечного ранга п+1 класса Ü^m+b отображающих С[0,1] в себя, таких, что

b-n¿m+i{tk\x) = xk,k = Q,. . ,2т + 2, х € [0,1],

и находится ЦЛ^т+Ж* - x-)2m+3;a:)||q(.a].

В § 3 изучаются аппроксимативные свойства операторов Лn,m(/;#)> вв>данных в § 1 и § 2. Показывается, что если / Е С[0,1], то Лп,„,(/;х) сходится равномерно по х € [0,1] к f(x) при п —> со. Также доказано, что если / G С(т+2>[0,1], то

lim пт+2||Лг,,„г(/; х) - /(.х-)||с[ол] = С, (2)

П—<-ОО

где С < +СО- константа, зависящая от т и от /.

В § 4 находятся оценки снизу и сверху для величины

inf \\Ln((t — x)m+2; х)||В[0д], (3)

í"n € «Ь m, n

где Sm,n есть множество лилейных операторов Ln конечного ранга п + 1 класса Sm, определенных в С[0,1], со зпачениямц в пространстве ЗВ[0,1], таких, что Ln(tk; х) = хк, к = 0,... , m + 1, х £ [0,1].

В § 5 показывается, что операторы Л,1<п,(_/; ;г.), введенные в §§ 1 и 2, являются оптимальными в классе операторов впда

= (4)

к=0 ^ '

прппадлежащих классу 5П1, отображающих <С[0,1] в В[0,1] п удовлетворяющих условиям

ьп(гк\х) = хк,И0,...,ш + 1,.гб [0,1],

а именно:

, 1п| ||Ь„((< - *Г+2;.т)||3[0,1] = ||Л„.ТО((« - *Г+2;:г)||Чо,л. (5)

Таким образом, справедливо неравенство

7-Г < Ы ||£п((7 - .т)т+2; хОЦмо-и < -^7,

.у,'„4_2—, т — четое

га- 1

(2±1+0) Д [(1»±1 -г + 6>)] ,т-нечет!ое,

где

[(т+1)!!]2

с= <

{^ + 0)

1=0

где 0 < в < 1 есть единственное решение уравнения

т+1 л

у -= 0.

^ 2!±1 - & - 0 к=0 -

Наконец, в § б первой главы доказывается одно точное неравенство для линейных положительных операторов конечного ранга. Показывается, что если 50,„ есть класс линейных положительных операторов конечного ранга п -Ь 1, действующих из С[0,1] в В[0,1], таких,что £п(1;х) — 1,хЕ [0,1], то справедливо неравенство

При т. = 1 получается неравенство B.C. Впденского [5].

Параграф 1 главы 2 диссертационной работы посвящен исследованию аппроксимативных свойств линейных операторов, представляющих собой конечные линейные комбинации операторов В.А. Баскакова

-] т+2

2(77. 4-1)

< mf ||£п(|*-*Г+2;*)||в[М<

Lt> t-^O ,п

[4]:

г=О

где

(1 +рх) р ,р ^ 0,р > — 1

Вводятся в рассмотрение операторы

]LM

п = к,к + 1,... ,i£ [0,1],

где

Л1! / к 4- п \

Л1! к 4- п

,ч Jb + n ,,

h0 (п, к) =--b0 (п, р > 2,

рп

М (к+ п \

к) = ("^Г + V (n'к + п)~

к -f П

--bj (ti, к), р > 2, j = 1,2,... 1,

рп J

bp (n, Л) =-^-bp(n, Л + г.), p > 2.

п где {Ln(j:x)} есть последовательность операторов В.А. Баскакова (7), а = —¡ту. с, d- некоторые фиксированные ращгональные числа.

Линейные операторы (8), (9) являются обобщением конструкций М. Френтп и в с глпчпе от операторов, предложенных В.В. Тихомировым, обладают следующим позитивным свойством: дл.т всякой / Е С[0,1] имеет место равномерная сходимость (/; .с) к Д.т) по х € [0,1] при

п —* ос.

Получен также вид асимптотического приближения операторами S"kp(f; х) на классах дифференцируемых функций.

В § 2 главы 2 рассматривается возможность построения операторов класса STn в виде конечных линейных комбинаций линейных положительных операторов. Устанавливается, что на этот вопрос можно дать положительный ответ в случае, когда такие операторы строятся на базе опраторов Вейерштрасса

_

Wn(f;x) = í = 1,2,...,

н отрицательный, когда рассматриваемый лпнепнып оператор представляет собой линейную комбинацию операторов Бернштейна

А-О ^ '

Автор глубоко благодарен своим научным руководителям профес-

сору Андрею Андреевичу Привалову и профессору Августу Петровичу Хромову за постоянное внимание, которое онп оказывали при работе над диссертацией.

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

(1) Коровкин П.П. О сходимости линейных положительных операторов в пространств непрерывных функций //Докл. АН СССР. 1953. Т. 90, №6. С. 914-964.

(2) Коровкин II.П. Сходящиеся последовательности линейных операторов //УМН. 1962. Т. 17. № 4, С. 147-152.

(3) Коровкин П.П. О порядке приближения функций линейными полиномиальными операторами класса Sm /В кн.: Иссл. по совр. пробл. констр. теор. функций. Баку. 1965. С. 163-166.

(4) Баскаков В.А. Пример последое ательности линейных положительных операторов в пространстве непрерывных функций //Докл. АН СССР. 1957. Т. 113, № 2. С. 249-251.

(5) Виденскпй B.C. Об одном, точном неравенстве для линейных положительных операторов конечного ранга //Докл. АН Та-джССР. 1981. Т. 24, № 12. С.715-717.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах автора:

(1) Сидоров С.П. Конструкции операторов класса 5т и их аппроксимативные свойства /Сарат. гос. ун-т. Саратов. 1992.- 23с.-Рус. Деп. в ВИНИТИ. 14.12.92, № 3530- В92.

(2) Сидоров С.П. Об одном примере операторов класса 8т /Саратов. гос. ун-т. Саратов. 1993.-9с.- Рус. Дсп. в ВИНИТИ 0G.12.93, № 3006- В93.

(3) Сидоров С.П. Последовательности операторов класса т «• их аппроксимативные свойства /Саратов, гос. ун-т. Саратов. 1993. -9с,- Рус. Деп. в ВИНИТИ 06.12.93, № 3007- В93.

(4) Сидоров С.П. Об одном неравенстве о ля линейных операторов конечного ранга класса 5т //Совр. пробл. теор. функций п их приложения. Тезисы докл. 8-ой Сарат. нитей школы. Саратов. 1996. С. 98.

(5) Сгдоров С.П. Одно неравенство для линейных операторов конечного ранга класса 5га /Сарат. гос. ун-т. Саратов. 1997.-29с,- Рус. Деп. в ВИНИТИ 14.04.97, № 1228- В97.