Операторы типа П. П. Коровкина и асимптотические оценки тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

J

На правах рукописи

ВОЛКОВ АНДРЕЙ ВИКТОРОВИЧ

"ОПЕРАТОРЫ ТИПА П.П.КОРОВКИНА И АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ"

01.01.01 —- "Математический анализ"

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических паук

Тисрь - 1997

Работа выполнена на кафедре математического анализа Тверского I осуди pcruei I но го университета.

Научные руководители: доктор физико-математических наук,

профессор П.П.Коровкин

доктор физико-математических наук, профессор В.Л.Баскаков

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук.

профессор М.К.Потапов

доктор физико-математических наук, профессор М.Л.Голъдман

Ведущая организация: Московский физико-технический институт

(государственный университет)

Защита состоится 10 июня 1997 г. в 16 часов на заседании Диссертационного Совета К 063.68.05 в Московском государственном институте электроники и математики по адресу: 109028, Москва. Большой Трехсвятительский пер., 3/12.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МГИЭМ.

Автореферат разослан б мая 1997 г.

Ученый секретарь Диссертационного Совета

К 063.68.05 МГИЭМ Ц

кандидат физико-математических наук.

доцент П.В.Шнурков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Настоящая работа посвящена построению линейных положительных операторов и операторов класса S? в смысле П.П.Коровкина и оценке приближения этими операторами и операторами Фейера-Коровкина различных классов функций. Особое внимание уделяется получению точных асимптотических оценок для приближения дифференцируемых функций.

Актуальность темы исследования.

П.П.Коровкин в 1960 году предложил1 общий метод построения линейных положительных операторов

an(f;x) = iy f(x + t)un(t)dt, (1)

— т

где

1 n"2

"n(i) = - + Ajt.n COS kt > 0, t e [-7Г; 7r], 1 fc=i

основанный на представле1ши Фейера четных неотрицателыгьгх тригонометрических полиномов:

п-1 ^ -1

«п(о= 21>2

к=i

к-1 4 '

г2 = -1,

где <р(х) — функция, непрерывная на отрезке [0; 1]. Если <р{х) — 1, то операторы (1) — это известные операторы Фейера, если ¡р(х) = 1 — 2\х— \\ — то полиномы Джексона.

П.П.Коровкиным были исследованы основные свойства операторов, которые могут быть построены с помощью данной конструкции. В частности, для <р(х) = sin 7гх им были построены операторы, наилучшим образом (среди всех линейных положительных операторов) приближающие дважды дифференцируемые функции. Эти операторы, получившие впоследствии название операторов Фейера-Коровкина, имеют вид

Kn(f;x) = -sin2- f f{x + t). „2dt. (2)

Ж11 11 J (cosí — eos -)¿

1 Коровкин П.П. Асимптотические свойства положительных методов суммирования рядов Фурье// Успехи мат. наук. 1960. 15, N1. С. 207-212.

Однако, если функция у?(х) достаточно произвольна, то операторы (1) непросто привести к виду, удобному для получения оценок приближения ими различных классов функций (см., например, статью Бутцера и Штарка2 с <р(х) = sin37ra; ).

Однако можно заметить, что ядра многих линейных операторов, которые используются в теории приближений, получаются сходным образом, а именно: берется четная степень функции sin y или cos y и Делится или па соответствующую степень sin | (для операторов Фейера, Джексона и некоторых других) или на (cosí — cos f-J2 — для операторов Фейера-Коровкина. В общем случае можно взять четную степень любого тригонометрического полинома Т2тп(х) и разделить ее на четные же степени разностей (cosí — cosU>n), где í¿>n — нули полинома Тп{х):

Пт(х)

V

П (cosí -cos titn)2m' t=l

Если ti>n —♦ 0 при n —> оо, то после соответствующего нормирования данное выражение может быть использовано в качестве ядра некоторого аппроксимирующего оператора.

В работе изучаются операторы с ядрами вида:

cos2f

fl (cosí — COSQfc)2 Jt=l

(3)

1

где Qjt = тгркП 1, /с = l,m, pt — нечетные числа, такие что 0 < pi < р2 < ... <Рт, а

1 cos2¥ Дт,п = / -2-dt.

П (cosí — cosa*.)2 fc=i

Выбор этого случая объясняется тем, что таким путем получаются операторы типа Фейера-Коровкина, которые, как отмечалось выше, обладают радом замечательных свойств. Сходная конструкция также была

2Butzer P.L., Stark E.L. On a trigonometric convolution operator with kernel having

two zeros of simple multiplicity // Acta Math. Acad. Sci. Hung. 20(1969). P. 451-461.

рассмотрена Р.К.Васильевым3 в целях построения операторов классов S2 и Si Однако, представление полученных им операторов в виде, удобном для получения асимптотических оценок приближения функций различных классов значительно более сложно, чем аналогичное представление, для операторов (4), ввиду того, что формулы для коэффициентов Aj>n, полученные с помощью методов теории вычетов, хотя и компактнее, но гораздо более сложны для преобразований и построения конкретных примеров операторов, ,чем полученные, например, в теореме 1.1.1 настоящей работы.

Цель работы заключается в изучении аппроксимациопных свойств построенных линейных положительных операторов и операторов класса S2 в смысле П.П.Коровница. Особое внимание уделяется получению точных асимптотических оценок для приближения дифференцируемых функций.

Научная новизна. В работе

- построено новое семейство линейных положительных операторов, обеспечивающих наилучший возможный порядок равномерного приближения для дважды дифференцируемых фупкций,

- исследованы аппроксимационные свойства построенных операторов,

- получены точные асимптотические оценки для приближения указанными операторами, а также операторами Фейера-Коровкина, дифференцируемых фупкций,

- построено новое семейство операторов класса S2, обеспечивающих наилучший возможный порядок равномерного приближения для четырежды дифференцируемых функций, изучены аппроксимационные свойства построенных операторов.

Практическая ценность работы. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты использовались автором при проведении занятий со студентами, специализирующимися в области теории приближений на кафедре математического анализа Тверского государственного университета.

Апробация результатов. Результаты настоящей работы докладывались на 7-й Сарггговской зимней школе по теории функций и приближений (Саратов, январь 1994 г.), научной конференции, посвященной 25-летию Тверского госуниверситета (Тверь, май 1996 г.), международной конференции по теории приближений, посвященной памяти профессора П.П.Коровкина (Калуга, июнь 1996 г.), научном семинаре кафедры

3VassiIiev R.K. Certaines méthodes de sommation de séries de Fourier donnant le meilleur ordre d'approximation // Acta Math, iïungar. 63 (1) (1994), P. 65-102.

математического анализа Тверского госуциверситета (рук. проф. Тай ков Л.В. и проф. Шеретов В.Г.).

Публикации. Материалы диссертации послужили основой для напи сания 5 статей, список которых приводится в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, тре; глав, списка литературы, содержащего 26 наименований, и списка обо значений. Полный текст диссертации занимает 148 страниц.

В заключение автор хочет еще раз с чувством глубокой признательно сти вспомнить о своем покойном учителе, Павле Петровиче Коровкине общение с которым во многом определило круг научпых интересов авто ра.

Автор считает своим приятным долгом выразить благодарность своему паучному руководителю доктору физико-математических паук, профессору В.А.Баскакову за постоянное внимание и помощь.

Автор также хочет поблагодарить заведующего кафедрой математического анализа Тверского госуниверситета д.ф.-м.н., проф. В.Г.Шеретовг за помощь и поддержку на всех этапах выполнения работы.

Автор признателен своей сестре, инженеру Е.В.Киселевой, а также к.ф-м.н. Целыбееву Б.В. и инж. Дороховой М.В., за помощь в оформлении материалов диссертации.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается краткий обзор исследований по тематике работы и описываются основные результаты диссертации.

Первая глава посвящена построению семейства операторов типа Фейе-ра-Коровкина с ядрами вида (3). В §1 работы вычислен нормирующий множитель Дт,„ и, таким образом, показано, что изучаемые операторы имеют вид:

1 Г cos2 —

= Г / /(« + 0 m-2-Л, (4)

wnvw П (cosí-cos at)2

fc=i

где

^ A2

v^E-тф-, (5)

Sln °к

1

при 771 = 1,

* ~~ i П (cosQfc — cosa¿)_1, при т > 1. ¿=1 ijiiк

(б)

Доказана

Теорема 1.1.1. Для операторов (4) имеет место следующее предстанле-ггае:

L„(/;x) = i J f(x + t)un(t)dt,

где

n—2т

"«(О = ^ + ¿ Aj,n cosj'í > 0, ге[-тг;тг], i=i

а коэффициенты А_,.т, имеют вид:

1 I /. j \ ^ А\ eos akj , 1 sin a* j

sm2ak

i _ 1 J/i \ ^ Alcosakj i- sr^

+

2 v-^ Ak sin ak j

* £

E;

i=i ¿5¿fc

nf—' sinafc f—'eos at — cosa¿

>, j = l,n — 2m,

где Ак и трп заданы (6) и (5) соответственно.

Следствие. Если /(х) — 27г-периодическая, 1штегрируемая функция, то операторы (4) могут быть также представлены через интегралы по всей действительной оси

+ СО

:„(/;*) = —L- [ f(x + t)Vn(t)dt

■КПфп J

где

I Л

1 ' sin ak

t2 + a'l akdgak

[(í2_a2)2 t2_al¡

2E-

Z—< с,

Ak

k=l

Э1П СХк

Qk

t2 - a2,

k J

£

i=i

At

nt

eos au — eos a¿

Данное представление подобно представлению Балле- Пуссена hojuihomoi Фейера4.

В §2 рассмотрены некоторые вспомогательные соотношения, которые используются как в первой, так и в последующих главах. В частности, показано, что

А>,„ = 1 - + 0(п~3), з = Х.п-гт,

где то) — известная константа, не зависящая от п.

В §3 изучаются аппроксимационные свойства операторов (4). В частности, показано, что операторы рассматриваемого семейства обеспечивают наилучший возможный полиномиальный порядок приближения для дважды дифференцируемых функций 0(п~2). Доказаны

Теорема 1.3.1. Для любой f(x) 6 Сг* и для п> рт справедлива оценка IM/;*) - /(х)||са. < "(/; i) (l + ^

где u.>(f\8) — модуль непрерывности функции /.

Следствие. Для произвольной f(x) 6 Со* последовательность операторов (4) сходится к ней равномерно.

Теорема 1.3.2. Если функция /(х) имеет в точке х вторую производную Шварца

75 fM lim f(^ + h)-2f(x) + f(x-h) V2f{x) = lim--2-,

то

Пусть

6n(Ln,a) = sup \\Ln(f\x)-/(z)||c2„. fez„

An(Ln,q)= sup \\Ln(f-,x) - /(x)||c2»-/ebipi a

4см. Ахиеэер H.И. Лекции по теории аппроксимации. M.-Л., 1947. С. 125.

В Теореме 1.3.3. найдены константы Д„(а), а £ (0; 2], такие что

{0(п~-~'"), при 0 < а < 1. 0(7г~;) Inn), при а = 1, 0(п~3), при 1 < а < 2.

Следствие. Если а € (0; 1], то указанные выше оценки справедливы и для An(Lrl,a).

В §4 рассматриваются примеры операторов изучаемого семейства (4). В частности, показано, что операторы Фейера-Коровкина принадлежат семейству (4) при т = 1, pj =1. Построен также пример операторов (4) при т = 2, pi = 1, р2 — 3.

Целью §5 является получение индивидуальных асимптотических оценок приближения операторами рассматриваемого семейства функций из классов насыщения. Показано, что операторы (4) насыщены с порядком 0(п~2), а классом насыщения для них является множество функций

V = {/(*) 6 tfcvfo) = g(j), 9 е т,

где f(j) и g(j) — комплексные коэффициенты Фурье функций /(х) и д(х) соответственно, L^ — класс 27Г-периодических, существенно ограниченных функций, что хорошо согласуется с результатом теоремы 1.3.2.

Если операторы Ln(f:x) насыщены с порядком 0(о4^) и f(x) £ V, то, если

Ы/; *)-/(*) д , ч hm -m-=Pi(x),

tl —ОО лЛ '

то назовем, следуя В.Л.Баскакову, произведение а^-pi{x) первым ядром насыщения для функции f(x). Если же для некоторой монотонно убываем

ющей и стремящейся к нулю последовательности а;, справедливо, что lim =

П—.ос. _,(2)

«П

/ 9 \

то произведение а), ■ 02(х) будем называть вторым ядром насыщения для функции f{x), и так далее. Справедлива

Теорема 1.5.1. Если /(х) 6 такова, что E¡.(/) < -f ос, где (]

к= i

— величина ее наилучшего равномерного приближения тригонометр!-ческими полиномами порядка не выше к, то для операторов (4) имеел что

1 Г 1 m jd2

L„(/; х) - /(*) = + «к) - 2/(х) + /(х - Qfc)]-

I jfeí sm

1 т А2

-г-Г-1/Ь + ок) + /'(X - ак)]+ nVn ~ sur а*

Е ^ЭД*+«О " 7(® ~ «01+

пуп ~ sin¿a*

+4- £ Е —-—+- я* - а*4 +

nwn f—' sin a¡t ' eos ajfe — eos a¿

X ytk J

1 °°

+0(En(f) + - E £*(/)),

71 *-'

П ,

где / — функция, сопряженная к /.

Следствие 1. Если }{х) £ С2т имеет вторую производную /"(х)еЬгра, а € (0; 1], то

2 п2 ' V«24"

где константа Сш\ не зависящая от п, та же, что и выше.

Следствие 2. Если }{х) 6 Сг* имеет третью производную }'"{х)е Ыра, а £ (0; 1], то

+ о' 1

М/; ®) - /(х) = - [/'(») + /'"(«)_

где Cm1 = cWipt,... ,pm) — известная константа, не зависящая от п

Следствие 3. Если f(x) 6 С2* имеет четвертую производную J,v(x)e Lipa, а €(();!], то

£»(/; *) - f(x) = -^hf'ix) - [/'(*) + /'"(*)] +

где С*\п) 7

i j • • • j Рт) •— известная константа, не зависящая от п.

Таким образом для операторов (4) характерно так называемое многоядерное насыщение и чем выше степень гладкости функции — тем больше ядер насыщения проявляется. В трех вышеприведенных следствиях построены первое, второе и третье ядра насыщения, проявляющиеся на дважды, трижды и четырежды дифференцируемых функциях соответственно. При т = 1, pi = 1 получаем, что CÍP = 1, Cff = —1, Crf? — 1 и теорема 1.5.1 вместе со следствиями дает нам вид соответствующих ядер насыщения для операторов Фейера-Коровкина, впервые полученных В.А.Баскаковым5.

Глава 2 посвящена изучению свойств операторов, построенных с помощью вышеописанной конструкции П.П.Коровкина. В §1 построены операторы, соответствующие случаю <р(х) = sin2 ттх:

* •> Tit

L;(/;*) = -i-sin4- f f{x + t) <ft. (7)

37ГП Tí J tg - I (eos t - COS ~ Y

— 7Г

В атом случае

7Г

/,;(/;:r) = i J f(x + t)un{l)dl,

— г

где, как показано в Теореме 2.1.1

1 "~2

<№ = « + X]AZ,ncoskt > 0, t G [-тг.тг], 1 A-=l

5Васкаков В.А. Асимптотика приближения функций из классов насыщения полиномами Джексона и Фейера-Коровкина// Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь. 1994. С. 9-16.

А,, = i

w, k\ л 2*k 1 л ^ 2?л . 2тга

2 1--4-1--cos--Ь - 2ctg--ctg — sin--

1 Tl J \ 71 J П П \ П Tl / Tl

В §2 получено разложение величины Д„(£/*, а) в асимптотический р* по степеням Впервые подобное разложение было нолучено С.А.Тел: ковским0 для полиномов Фейера. Затем В.А.Баскаков7 получил анал гичное разложение для полиномов Джексона. Впоследствии разложеш: величины Дп(Ьп,а) в асимптотический рядно степеням ~ бьши получ ни и для ряда других операторов.

В Теореме 2.2.1. найдены константы , такие что при

О < а < 1 справедливо разложение

+

16

37ГП

оо

4тг1+а f

пЫ*

0

7Г 2

/7г\«-1 Г sin2 ^ du W / u2-°(u2-4)2

¿^ „2 i ^

х'= 1

a)n3+a J ul~a ^ n2i + n2 ^ n2i + n4 ^ n ' Jn i=i i=i t=i

Г(

oo s(4) ~2i

а при a = 1

Зтгп

тгш(2тг) + у + In | - ci(27T)+

+ c--— V -V+

71 ^ П2' 1=1

1 00 c(o) , oo c(C)

+L У + _L У £i_

n2^ n2i n4 n2' 1=1 i=l

еТсляковский С.А. О приближении функций, удовлетворяющих условию Липши

ца, суммами Фейера// Украинский мат. журнал. 1969. Т.21, N3. С. 334-343.

7Баскаков В.А. Асимптотика приближения непрерывных функций классов Ыр с полиномами Джексона// Изв. вузов. Матем. 1979. N5. С. 3-12.

где С - постоянная Эйлера.

Аналогичный результат доказан дли операторов Фейера-Коровкина, а именно: в Теореме 2.2.2. найдены константы Т-к\ к — 1,4, такие что при О < а < 1 справедливо разложение

Ап(КГ1,а) « —

7ГП

оо оо

/тгу»-1 Г и" соя2 ^ ¿и 2тг1 + п /" сое2 ^ Ли 4\п) ] (и2 - 1)2 + Зп1+" У и2 - 1 +

+

{СО СО

0 2 7Г2 /•(ГЬ.Л

27Г У —+ —

•7Г

г1 + а

+

7Г1-П,(3 — а) 3(1-а

1 1 °° Т.(2)

+ г.1+« Е "ГэГ + Г2

¡=1

п-4 —' пх 1=1

а при а = 1

ДП(К„,1)« —

7ГП

... 7Г2 Л ТГ21ПП

2 о п*

к I 5 1т , .

4тг21пп^Т<3>

1=1

1 00 гр(.4)~

72" ^ П2' 1=1

В §3 исследуется проблема насыщения для построенных в §1 операторов (7). Доказано, что операторы насыщены с порядком 0(п~2), а класс насыщения имеет вид

2,1-21.2 „

V = {/(аг) € С2,| —Нк) = д(к), д €

откуда следует, что операторы (7) приближают дважды дифференцируемые фупкиин с наилучшим возможным полиномиальным порядком приближения (){п~2).

Операторы (7) могут быть представлены в в ил с::

где •/%,(/;.т) —известные полиномы Фейера

* ■> , 1 Г бш -—

7ГП У 2з1П £

—

а £**(/; х) — уже неположительные линейные операторы вида

где

, АЛ 2тг/г 1 „ = 1 - - соз-+ -

1 71 1 П П

7Г 2ж

2ctg--—

п п

. 2тг/с __ ьт-, к — 1,71.

Теорема 2.3.1. Если / 6 Сзж такова, что ^^ < +°°1 гДе

— величина ее наилучшего равномерного приближения тригонометр ческими полиномами порядка не выше п, то для операторов £**(/; справедливо, что

¿Г(/;х)-/(х):Л {

£

71 1

+ -71

Отг 9тг

/(х + ^)-2/(х) + /(х--)

71 П

. 2тт. . 27Г /'(!+_ +/'!-—) + п п

7Г 2тг

2ctg--^ —

тг п

7<*

+

1 °°

+ 0(Еп(/) + 1 £ £*(/)).

71 ---*

/с=п+1

Теорема 2.3.2. Если функция / £ такова, что величина ее наил} шего приближения удовлетворяет соотношению Еп{}) — О | , г а > 1, то для операторов (7) справедливо, что

L'nU\x) -f(x)

■H

2тг 2тг

Дх+—)-2/(х) + Пх-—) n n

1 Tl 1

+-n

2тr

2тг.

n

■n 27Г

2ctg - - ctg — n n

+

~ 2тг. ~ 2я\

/«+— "Л®" —

n тг

+

1 00

+ 0(En(f) + - £ ExU))-

n ' '

i=n+l

Как видим, для операторов (7) также характерно многоядерное насыщение. Конкретный вид ядер насыщения дает следующая Теорема 2.3.3. Если /(х) е IVНа при г > 2, то

L*n{f]x)-f{x) = -

IS)

¿i (2Л)! w

2 2 (27г)2к {

+ Е ^{«Е/^-Л

2(*- —»)-2 _

1)|Д2(*-о1

Аг=2

(2г + 1) !(2(fc — г))!

2/(2fc+1)(x)(fc- 1)' (2к -f 1)!

О

где jSjt — числа Бернулли.

Аналогичный результат доказан для операторов Фейера-Коровкина: Теорема 2.3.4. Пусть Kn(f; х) — операторы Фейера-Коровкипа (2). Тогда, если f(x) € WrЛ" при г > 2, то

Ш-

(-')''+3

■.<**>-/(.,-eQ?©"

к

¿J LtS M(2i + ])!(2(/:-j + l))!

+

(2* + l)!(2fc + 3)

1

Ядра, соответствующие г — 2, 3 виервые приведены В.Л.Баскаковы При г — 2 результат (с другим остаточным членом) впервые полу1 П.П.Коровкиным9. Заметим, что операторы (7), в отличие от опсрато] Фейера-Коровкина, не имеют ядра насыщения порядка п~3. В форму, ровках теорем 2.3.3 и 2.3.4 предполагается, что при т > н =

Как видим, при построении ядер насыщения для операторов Фейе] Коровкина (как, впрочем, и для операторов (4) и (7)) необходимы зна ния производной сопряженной функции в некоторой окрестности точ х. В §4 построен аналог операторов Фейера-Коровкина, ядра насьги ния которого строятся только с помощью значений самой функции ] функции /, сопряженной к ней. Интересно отметить, что первое яд насыщения для этих операторов совпадает с таковым для оператор Фейера-Коровкина.

В главе 3 рассматриваются операторы, представимые в следуюхн форме:

= А/,п, 2 = 1,п —2т — коэффициенты операторов семейст (4), определенные в теореме 1.1.1, Лп_2т+1,п = К,.-2т+2.п — 0, /?„ некая последовательность чисел, п £ N. В §1 показано, что операторы ( принадлежат классу 52 по П.П.Коровкипу, то есть их ядра и'„(0 име! две перемены знака на промежутке [—7г;7г].

8Баскаков В.А. Асимптотика приближения функций из классов насыщения г линомами Джексона и Фейера-Коровкина// Применение функционального анализ: теории приближений. Тверь. 1994. С. 9-16.

°Коровкин П.П. Об асимптотическом свойстве положительных методов сумм рования рядов Фурье и о наилучшем приближении функций класса 2о линейны! положительными полиномиальными операторами// Успехи мат. наук. 1958. 13, >

где

¿ = 1

Р],п =

•\>-1,п ~ 2соэ(Зп ■ + А^-^х Т<. 2(Ах,„ - соб(Зп)

С. 99-103.

Теорема 3.1.1. Операторы (8) допускают следующее представление:

г if \ 1 ft, , Л cos1' f (cost- cos в„) и с,,{/■■>■) = ——ТТ—--^7-Т / /(-*•■ + 0-777-^--dt>

TtllbJj, (А] „ - COSpn) ,/ n / , >•>

[J (cosi - COSQfc)-

*-=l

КРк

где a*. = -, p*. нсчстпыс числа, такие, что 0 < pi < p2 < • ■ ■ <

n

< Pmi Фп и А))П определены соотношениями (5) и теоремой 1.1.1 соответственно, ¡Зп — некая последовательность чисел.

Следствие. Если рп € (—тг;тг],п £ N, то операторы Cn(f-,x) принадлежат классу 5т .

В дальнейшем изучаются условия, при которых

1 -Рк,п = 0(п~4), к = 1,2.

Показано, что полученные условия необходимы и достаточны для того, чтобы операторы (8) приближали четырежды дифференцируемые функции с наилучшим возможным порядком 0(п-4).

В §2 показано, что данные условия выполняются при т = 2 и произвольных нечетных pi и ро, таких, что 0 < ру < ро. Построен пример операторов (8) при pi = 1 и ро = 3. Также показано, что в качестве примера операторов вида (8) может быть рассмотрен один из операторов класса So, построенных Р.К.Васильевым10.

Таким образом, используя операторы (4), можно получить целое семейство операторов класса S->, приближающих четырежды дифференцируемые функции с: наилучшим возможным порядком 0(п~л).

Материалы диссертации публиковались в следующих работах:

1. Волков A.B. О приближении липшицевых функций операторами Фейера-Коровкипа// Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь. 1993. С. 95-100.

2. Волков A.B. Об одном операторе типа Фейера-Коровкина// Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь. 1994. С. 26-30.

3. Волков A.B. Об одном свойстве операторов типа Фейера-Коровкина // Теория функций и приближений. Труды 7-й Саратовской зимней

lnVassiliev R.K. Certaines méthodes de sommation de séries de Fourier donnant le meilleur ordre d'approximation // Acta Math. Ifungar. <¡.4 (1) (19!)4), P. 0Г>—102.

школы 30 января - 4 февраля 1994 года (памяти профессора А.А.При] лова). Межвузовский сборник научных трудов. Часть 2. Издательст Саратовског о университета. 1995. С. 147--152.

4. Волков A.B. Об одном аналоге операторов Фейера-Коровкина Ученые записки Тверского государственного университета. Материал научной конференции, посвященной 25-летию университета. T.l. Tbcj 1996. С. 45.

5. Волков A.B. Об одном семействе положительных операторов ти Фейера-Коровкина// Международная конференция по теории приблил ния функций, посвященная памяти профессора П.П.Коровкина. Тези( докладов. Т.1. Калуга, 199G. С. 58.

1G