Приближение классов периодических функций линейными средними их рядов Фурье тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Основные обозначения.

Введение.

§ B.I. Постановки задач и краткий обзор результатов.б

§ В.2. Краткое содержание диссертации.II

ГЛАВА I. Приближение классов С? суммами Зигмунда.зо

§ I.I. Основные определения и используемые результаты.

§1.2. Приближение классов Cf суммами Зигмувда, если sm+j- = 0 *.

§ 1.3. Приближение классов cf^ суммами Зигмунда, если

• и о sik1-^ - Ф

ГЛАВА П. Приближение классов периодических функций линейными положительными операторами.

§2.1. Определения, обозначения и известные результаты.

§ 2.2. Об асимптотически наилучшем приближении классов if линейными положительными операторами.

§ 2.3. Об асимптотически найлучшем приближении классов дифференцируемых функций операторами u*(A;f;x).

ГЛАВА Ш. О реализации точных верхних граней наилучших приближений в метрике С на классах W1,1 и W^'J суммами Фавара. П

§ 3.1. К приближению функций класса Wi,d суммами Фавара. цд

§ 3.2. Приближение функций класса суммами Фавара. Литература.

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

Цусть L C/>eIi;+oo)) , L^ и С - пространства 2%-периодических измеримых функций, соответственно суммируемых в р-й степени, существенно ограниченных и непрерывных, с нормами

2Ж -L flps(JlHWPdi) > ^ l^^supvrai I to) I, ||f||c = так \U*)l;

Тп{(х)- тригонометрический полином порядка не выше (п-i) ;

En(f)x = inf Ifw-V^x)!! и - sup £n(f\- наилучшее

Tn-{ fefflc приближение соответственно функции f(x)eX и множества Ж <= X тригонометрическими полиномами Т ^ж) в метрике пространства X

X=Z.D ), X = с );

VCfl- вариация функции fсх") на сегменте Па;61; ср * к = ^ Jcp(t)K(x-t)dt- свертке функций if (log L и као е А; -J wCf;tt = sup||tea)-to||c и vr(f;t) = sup ||fo>uWfx)|L ul$t Р р

- соответственно модуль непрерывности функции fcooeC и

Up6oo) ;

Hur={f;f£C' Vi W(f;t)£W(t)}, Vi ШСЩ* w(t)j

- классы 2%-периодических функций, где wit) - фиксированная функция типа модуля непрерывности;

Wp (г=1,2,3,.) - классы 2J-периодических функций f(x) , у которых (r-i) производная f(r*\х) локально абсолютно непрерывна, а f(rb Ир

W. - классы 25-периодических функций fCx) ,представимых в Р'Р , 25ЕГ виде свертки f(х) = ^ср* к , где ]|q>||p < 1 , Jq>(u)clu = О, ^ -~-cos(kt > r>0 , p> - любое действительное число; k=i К > J

Ln и Ll. " произвольные линейный и линейный положительный операторы, действующие из множества в пространство всех тригонометрических полиномов степени не выше о-о ;

Ak(f-, х)= akcoskx + 6ksin кх; Ak(f;x) = aksinkx - 3kcos кх

2Я 2зг где ак=. L J fd) cos ki dt и 6k-^Jf(t) sin ki di коэффициенты Фурье функции f(x)eL ;

S(fi) = i° + f A (fx)- частные суммы ряда Фурье функции и> ' 2 , , к '

23Г n-i

-i J1Л = i' С «■ I A/f; srt. uUM;f;X)- i ffft*)dt -- ai % A/f;x>.ft Ak(f;x)), ft, vL «/ k—i

W n-i

- линейные и линейные положительные операторы соответственно с ядрами = j ^ + 1 (*"'coski -f™ Si* kt)i

А . ^ .,.1 к=i n-i n-i + ' = 1 С- ^/^свНчфьЫро, it ^ о k=i к где и ^ - элементы бесконечных треугольных числовых матриц

Л={Д(П и м = С=<°? = ° ' если к*л '>

M;P„)V = sup ||fCx)-P (f;X) IIх, ' л * Рп нш где P^Cf;*-) - один из операторов и^л,M;f;x\ иа(л>*>а:)

В каждом параграфе, кроме введения, нумерация формул двойная: первая цифра - номер параграфа, в котором помещена формула, вторая - ее порядковый номер в этом параграфе. При нумерации утверждений и при ссылках на формулы из другой главы употребляется тройная нумерация, где первая цифра - номер главы, вторая-номер параграфа в этой главе, третья - номер формулы в этом параграфе.

Диссертация посвящена исследованию ряда вопросов, относящихся к приближению периодических функций тригонометрическими полиномами, порожденными линейными методами суммирования рядов Фурье.

Задача приближения заданного класса функций при помощи фиксированного линейного метода состоит в исследовании величин sup II f(x) - A (f;x) II х , {еМ где Х=> Ш - заданный класс функций, содержащихся в нормированном пространстве X и обладающих заранее известными нам свойствами, A(f-,x)- линейный оператор, отображающий пространство X во множество F с X .

Если X = С , то точное нахождение величины т-,ил(А))£ sup ||fCx)-^CA;f;x)||c» п с {еШ где Ж заданный класс непрерывны* функций, в общем случае очень сложно даже для одного какого-нибудь фиксированного значения п . Поэтому задача об отыскании асимптотических равенств для величины Л))с стала одной из наиболее важных в теории приближения функций.

Первый результат в этом направлении был получен А.Н.Колмогоровым в[1б]в 1935 году. Им установлено, что при справедливо асимптотическое равенство СВЛЛ) Ш

ОО

Исследования А.Н.Колмогорова были продолжены В.Т.Пинкевичем Е 32 1• Он доказал, что равенство (B.I.I) справедливо и для классов W^o , где г >о » a W^- множество непрерывных 2S-периодических функций f (х), представимых в виде свертки Вг,

2S 00 л т llcpllc^l, j>(u)du = 0, BP(lO = I ^Fcos(kU^1f). о

Следующий существенный шаг в развитии этой теории принадлежит С.М.Никольскому С 27, 28 3 » распространившему эти результаты на классы WrH^.» где WrH - класс непрерывных 2%-периодических

-/г4 функций их"), представимых в виде свертки f(x)-J?cp*B, Н^ и urct) - выпуклый вверх модуль непрерывности.

Указанные исследования А.Н.Колмогорова и С.М. Никольского положили начало новому направлению в теории приближения функций.

Их результаты распространяли на более общие классы функций, а в качестве приближающих агрегатов рассматривали тригонометрические полиномы, порождаемые различными линейными методами суммирования рядов Фурье.

Задача об отыскании асимптотических равенств для величин ; aft(A))c , где Ш - фиксированный класс непрерывных функций, стала одной из наиболее важных в теории приближения Функций и в теории суммирования рядов Фурье. Ее мы, следуя А.И.Степанцу (см., например, [35> с.9] ), называем задачей Колмогорова-Никольского и, если получено равенство для величины иЛ(Л)) , которое является асимптотически точным, т.е., если в явном виде найдена такая функция ср(иО » для которой и^сА))с =g>oo + 5Ccpc*V), л — оо, то говорим, что решена задача Колмогорова-Никольского для класса функций Ж и метода U^CA).

Дальнейшее развитие теории, фундамент которой заложен исследованиями А.Н.Колмогорова и С.М.Никольского, проходит в разных направлениях.

Б.Надем L2324 1 , С.Б.Стечкиным $0-421 и С.А.Теляковским [ 46-50 3 к началу 60-х годов был разработан метод, позволяющий решать задачу Колмогорова-Никольского на классах W^^ для широкого класса линейных методов ип(Л) , определяемых бесконечными треугольными числовыми матрицами n,k=o,l,2,.; Д%0 при к ' Jc к»и., элементы которых удовлетворяют определенным условиям, которые заведомо выполняются для ряда классических методов.

На классах Н , 2% - периодических функций fM , пред

Г 00 i Р.Г ставимых в виде свертки ^x) = icP*B„ » где В O0=Z~f иС р £

ЮеН^и W(t) - выпуклый вверх модуль непрерывности, асимптоys тика величины ^(VV^H^; S^с была найдена Ефимовым в С ] .

В 1983 году появилась работа А.И.Степанца [ 36 ] , в которой предложен новый, более общий подход к определению классов периодических функций. В его основу положено разбиение функций на классы в зависимости от скорости убывания к нулю их коэффициентов Фурье.

А.И.Степанец ввел в рассмотрение классы и С^ следующим образом.

Пусть f(x) - непрерывная 2Х-периодическая функция и

CL 00 у t I (akcoskcc, +£>ksin.kx)

- ее ряд Фурье.

Цусть, далее, ft (к) - произвольная фиксированная функция натурального аргумента С^(к)фо) и ^-фиксированное действительное число, ^(-«'i+oo). Предположим, что ряд

I JL (ака*(кх*%) * 6к s,n является рядом Фурье некоторой суммируемой функции. Эту функцию обозначим через f/te) , а множество функций fCx) , удовлетворяю

Р пф щих таким условиям будем обозначать через

Если fe С^ и, кроме того, llf^ H^sJ , то будем говорить, что функция f (х) принадлежит классу С ^ ■

Если ж efecj и Vi,t'e [-£Д], wdl - фиксированный модуль непрерывности, то соответствующий класс функций будем обозначать через С^ Н^ .

При <])(к) = к~г , г>о , классы С^ совпадают с классами г Р' ф

Wp^, введенными Б.Надем [233> а классы С^ н ^ - с классами

W^H^i которые,.впервые рассматривал А.В.Ефимов ] .

В [37 ] показано, что если функция ) при и»{ удовлетворяет условиям: a) if)(и) выпукла вниз; i " оо в)

• lla^ll da = ; оо 1 то при и — оо справедливы асимптотические равенства

С/Ьгоо'>5л\ П. + 0(фсю)9 (В.1.2) O(^rour^)) , (B.I.3) где SyL(ur) = Qw. J2ur(-£L)s;>tt dt, -§'<9ur-i ' пРичем еиг = ^ о если wd) выпуклый вверх модуль непрерывности.

Так как функция (jJ(u) = u~r , г>0 , удовлетворяет условиям а)-г), то равенства (В.1.2), (В.1.3) содержат все полученные ранее результаты, относящиеся к задаче Колмогорова-Никольского на г г классах Wtt и МЛ Н „ для сумм Фурье.

Д00 уз

Обозначим через n-f 5 I CC0S С = 5 > 0 , о суммы Зигмунда функции ffx). р

Порядок убывания к нулю величины )с был выяснен в работах А.Зишунда [15 ] и Б.Надя [24 ], С.А.Теляковским в [49 ] решена задача Колмогорова-Никольского на классе w!l оо для сумм Зигмунда (f jx") . Им установлено, что при справедливы асимптотические равенства r . r<s-i, s > 4, l^sup ||fSCx)||c,0(^), r>S;

B.I.4)

AVr ; = -j

Зро и/С 1 g ACT) + О (^4+т) , r-s, sinf=0, где x<s,n 2 op . CO ns

J | 5

B.I.5)

T (it) a

-r i&u, f (x> - непрерывная функция, имеющая ряд Фурье X kSAkfbx), fc=l

Отметим, что асимптотика величины • Z"5"^ ПРИ

Ь,«=о > Л. ' С а также r = s и |sinAr| = 4 была найдена Б.Надем в [24 ].

При s=i суммы Зигмунда становятся суммами Фей ера G^C-fjx). Поэтому из равенств (В.1.4) и (В.1.5) следует, что при

•)+0(4г), o<r< i,

Щ яДМ

ДоО И. с f £ W рро ri'c Л

4 Л4 л п

1, (В.1.6)

В.1.7) п (В.1.8) / (В.1.9) 1 где f (сv) - функция, сопряженная к функции ffa). 1

Формула (В. 1.9) для класса W^ принадлежит С.М.Никольскому [29] , формула (В.1.8) - С.Б.Стечкину [46] . Формулу (В.1.7) для классов И^ ^ при целых р получили С.М.Никольский [28,30] и Б.Надь [22,24] . При этом Б.Надем [22] для классов Й^ при четном г и IV при нечетном г доказана формула, более точная, чем (В.1.7): оо f/

В работе исследовано поведение величины •§(С. i % ) при некотоjOO П, £ рых естественных условиях, накладываемых на функцию у/(и) . Этому посвящена глава I.

Во второй главе рассматривается следующая задача. Пусть Ш^К и Fcx - линейное многообразие в X . Задача о наилучшем линейном методе приближения заданного множества Щ состоит в нахождении величины cLf elf m-,F) = inf шр lfto)-A(fix)L=* inf £(m,A)r ? (B.I.10) A(X)<=F fern где A(f>x) - линейный оператор, отображающий пространство X во множество F .

Линейный оператор A (A(X)C^F) (если он существует), реализующий в (B.I.I0) точную нижнюю грань, т.е. такой, что вир llffa)

-Л^Лл)! =£(M)F) определяет наилучший линейный метод приближения. х х

Обозначим через E(ffl;F) = вир inf || f(x) - и(л)|| л fem <i€F х

- наилучшее приближение множества Ш множеством F . Ясно, что ёСШ-.F) >Е(т->Р)х .

X л

Известные результаты по решению задачи о найлучшем линейном методе приближения в основном таковы, что если Е(Ж;F)x=&(ЩПХ> т.е., если наилучшее приближение множества^ реализуется с помощью линейных методов, то одновременно находится и наилучший линейный метод.

На этом пути впервые результаты были получены в 1936 году Фаваром С53-55 Пив 1937 году Н.И.Ахиезером и М.Г.Крейном С j 1. Исследования Фавара, Н.И.Ахиезера и М.Г.Крейна были продолжены Б.Надем [23 ], С.М.Никольским C3I ]» В.К.Дзядыком [8-10] ,С.Б.Стеч-киным [41], Оунь Юн-Шеном [45 ].

П.П.Коровкин построил положительный полиномиальный метод приближения, который является асимптотически наилучшим среди всех положительных методов f',x) на классе . Он доказал [ 20 ] , что при и-*~оо справедливо асимптотическое равенство f£Zo I 2£ где ^(fj^ri J f(x+t) X^Ct) dt - оператор Коровкина,

Yl-i

Ю , , f in) K-k+l kfi i j. Tl kX \

Z« - класс ZUl -периодических функций, удовлетворяющих условию

I 2.

А.Н.Давыдчиком в [7 3 доказано, что при п^оо и г =2,3,4,. имеет место асимптотическое равенство

L 29 /.окСк-иГ где К -b-ii------константы Фавара.

Известно (см., например, [II , с. 193]), что

Zg = w^ (B.I.12) и (см. [21]) при г=1,2,3,. sup lite)-<(A;f;x)U = sup . (B.I.13) fcvC L fewf L

Если Ш - множество, инвариантное относительно сдвига, т.е. из включения $(х)еШ следует, что f(x+t)e Ж и, кроме того, из включения Нх)еш следует, что Н-х) &Ш, , то $m-,L[)K = &(Ж;и*л(Ш)х = (B.I.I4)

Из равенств (B.I.II)-(B,I.14) следует, что при г=2,3,4,. т.е. метод Коровкина является асимптотически наилучшим среди всех линейных положительных операторов A*n(f;x) на классах и wf. С ^ =2••«)•

ЧУСТЬ 2Г „, ) f;x) (B.I.15)

О k=i

-линейный положительный оператор с ядром П-1 u+a;t)=-j + ZAfcostitO, где Ит ik х = fc* (B.I.I6)

В настоящей работе найдены асимптотические значения величин и £(Ш;и*(/D) для некоторых классов дифференцируемых л. * х функций.

Отмечается, что если , то j|f Сх) *- а (Л,М ;f; x)jjp = sup ||f(x)- tf (Л,М;f;x)|L,. fe/<*Hp P f€K*H°, ps

Это равенство позволяет найти асимптотику для величины ^?(К*Н,в',£"),> поскольку найдена асимптотика для величины <jf(K* г> где

И L»

К* Hp ( р £оо ) - множество -периодических функций ffrc.) , представимых в виде f(x) = ±fq>(x №) cit , II ср II * 1 ,

СО Q

К(Ю = Z<l/Ck)co&(kl+£f) ь k=i

В главе Ш установлено, что метод Фавара не реализует точную верхнюю грань наилучших приближений на классе , и указано подмножество функций из и/*'*, на которых метод Фавара реализует точную верхнюю грань наилучших приближений.

1. Бари Н.К. Тригонометрические рдцы. М.: Физматгиз, 1961.- 963 с.fjV1

2. Бушев Д.Н. К приближению функций класса п методом Фавара.- Докл. АН УССР, 1984, сер.А, № 2, с. 3-4.

3. Бушев Д.Н. Об асимптотическом найлучшем приближении классов дифференцируемых функций линейнши положительными операторами.- Укр.матем.журн., 1985,37,№ , с.

4. Бушев Д.Н. Приближение классов дифференцируемых функций ли-нейньми положительными операторами. В кн.: Теория приближения функций и ее приложения.-Киев:Ин-т математики АН УССР, 1984, с. 18-29.

5. Бушев Д.Н. Приближение классов непрерывных периодических функций суммами Зиплунда./Препринт 84.56. Киев: Ин-т математики АН УССР, 1984. - 64 с.

6. Давыдчик А.Н. Приближение периодических функций линейными положительными операторами. В кн.: Исследования по современный проблемам суммирования и приближения функций и их приложениям. Днепропетровск, 1982, с. 187-193.

7. Дзядык В.К. О наилучшем приближении в классе периодических функций, имеющих ограниченную s -ю производную ( о < s < 1 ).- Изв. АН СССР, сер. матем., 1953, 17, с. 135-162.

8. Дзядык В.К. О найлучшем приближении на классах периодических функций, определяемых ядрами, являющимися интегралами от абсолютно монотонных функций. Изв. АН СССР, сер.матем.,1959, 23, с. 933-950.

9. Дзядык В.К. 0 найлучшем приближении на классах периодических функций, определяемых интегралами от линейной комбинации абсолютно монотонных ядер. Мат.заметки, 1974, 16, №5,с.691-701.

10. Дзядык В.К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. М.: Наука, 1977. - 510 с.

11. Ефимов А.В. Приближение непрерывных периодических функций суммами фурьер.- Изв. АН СССР, сер.матем. ,1960, 24, № 2, с.243-296.

12. Ефимов А.В. Линейные методы приближения некоторых классов непрерывных периодических функций. Труды Математического ин-та АН СССР им. В.А.Стеклова, 1961, 62, с.3-47.

13. Колмогоров A.H., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1972. - 496 с.

14. Корн1йчук М.П. Про экстремальн1 властивост1 пер1одичних функц1й. Докл. АН УРСР, 1962, 8, с.993-998.

15. Корнейчук Н.П. Экстремальные задачи теории приближений. -М.: Наука, 1976. 320 с.

16. Коровкин П.П. Об одном асимптотическом свойстве суммирования рядов фурье и о найлучшем приближении функций класса Ъг линейными положительными операторами. Успехи матем.наук, 1953, 13, №6184, с.99-103.

17. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. -М.: Наука, 1974. 480 с.

18. Hewman D. and Shapiro S. Some theorems on Gebysev approximation.-Duke mathematical jouraalr1963,v.30,К 4,p.673-681.

19. Никольский C.M. Асимптотическая оценка остатка при приближении суммами Фурье. Докл. АН СССР, 1941,22,№6,с.386-389.

20. Никольский С.М. Приближение периодических функций тригонометрическими многочленами. Труды Математического ин-та им.В.А.Стеклова АН СССР, 1945, 15, с.1-76.

21. Никольский С.М. Об асимптотическом поведении остатка при приближении функций, удовлетворяющих условию Липшица, суммами Фейера. Изв. АН СССР, сер .матем.,1940, 4, с.501-508.

22. Никольский С.М. Оценка остатка сумм Фейера для периодических функций, имеющих ограниченную производную. Докл. АН СССР, 1941, 31, № 3, с.210-214.

23. Никольский С.М. Приближение функций тригонометрическими полиномами в среднем. Изв.АН СССР, сер.матем.,1946,10,с.207-208.

24. Линкевич В.Т. О порядке остаточного члена ряда Фурье функций, дифференцируемых в смысле Вейля. Изв. АН СССР, сер.матем., 1940, 4, №5, с.521-528.

25. Лолиа Г., Сеге Г. Задачи и теоремы из анализа. М.: Наука, 1978, П,. - 431 с,

26. Гукасов В.И. Приближение периодических функций линейными средними их рядов Фурье. -/Препринт 83.62.- Киев: Ин-т математики АН УССР* 1983. 56 с.

27. Степанеп А.И. Равномерные приближения тригонометрическими полиномами. Киев: Наук .думка, 1981. - 440 с.

28. Степанец А.И. Классы периодических функций и приближение их элементов суммами Фурье./Препринт 83.10. Киев: Ин-т математики АН УССР, 1983. - 57 с.

29. Степанец А.И. Классификация периодических функций и приближение их сушами фурье./Препринт 83.69. Киев: Ин-т математики АН УССР, 1983. - 57 с.

30. Степанец А.И. Точная оценка отклоненний сумм Фавара на классах-fЯд g . В кн.: Исследования по теории приближения функций и их приложения. - Киев: Ин-т математики АН УССР, 1978,с.174-181.

31. Степанец А.И., Кушпель А.К. Наилучшие приближения и поперечники классов периодических Функций./Препринт 84.15. Киев: Ин-т математики АН УССР, 1984. - 44 с.

32. Стечкин С.Б. О суммах Балле Цуссена. Докл.АН СССР, 1951, 80, № 4, с. 545-548.

33. Стечкин С.Б. Несколько аамечаний о тригонометрических полиномах. Успехи матем.наук, 1956, 10, №1, с.159-166.

34. Стечкин С.Б. О наилучшем приближении некоторых классов периодических функций тригонометрическими полиномами. Изв. АН СССР, сер.матем., 1956,20, с.643-648.

35. Стечкин С.Б. О приближении непрерывных периодических функций суммами Фавара. Мат.заметки, 1973, 13,№5,с.335-349.

36. Стечкин С.Б., Теляковский С.А., О приближении дифференцируемых функций тригонометрическими полиномами в метрике L . -Труды Математического ин-та им.В.А.Стеклова АН СССР, 1967, 88, с.20-29.

37. Оунь Юн-шен. О наилучшем приближении периодических дифференцируемых функций тригонометрическими полиномами. Изв. АН СССР, сер.матем., 1959, 23, с.67-92.

38. Теляковский С.А. Приближение дифференцируемых функций суммами Балле Дуссена. Докл. АН СССР, 1958, 121, №3, с.426-429.

39. Теляковский С.А. Приближение функций, дифференцируемых в смысле Вейля, суммами Балле Ify-ссена.- Докл.АН СССР, I960, 131, №2, с.259-262.

40. Теляковский С.А. О приближении дифференцируемых функций линейными средними их рядов Фурье. Изв.АН СССР, сер.матем., I960, 24, №2, с.213-242.

41. Теляковский С.А. О нормах тригонометрических полиномов и приближение дифференцируемых функций линейными средними их рядов Фурье. I. Труды Математического ин-та им.В.А.Стеклова АН СССР, 1961, 62, с.61-97.

42. Теляковский С.А. О нормах тригонометрических полиномов и приближение дифференцируемых функттий линейными средними их рядов фурье. П. Изв.АН СССР, сер.матем., 1963 , 27, № 3, с.253-272.

43. Тиман А.Ф. Теория приближения функций действительного переменного. М.: Физматгиз, I960. - 624 с.

44. Тихомиров В.М. Некоторые вопросы теории приближений. М.: Изд-во Московского ун-та, 1976. - 304 с.

45. Favard J, Sur les meilleurs procedes d'approximation de certaines clasess de fonctions par des polynomes trigonometriques, Bull Sci.Hath.61(1937),209*224, 243-256,