Регулярность и аппроксимативные свойства линейных методов суммирования двойных рядов Фурье тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ ДВОЙНЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ радов

§ I. Основные обозначения и определения

§ 2. Достаточные условия типа Сидона-Теляковско-го интегрируемости двойных тригонометриче ских рядов из косинусов

§ 3. Достаточные условия типа Сидона-Теляковско-го интегрируемости двойных тригонометриче -ских рядов из синусов и косинусов и из си нусов

§ 4. Достаточные условия типа Фомина интегриру -емости двойных тригонометрических рядов из косинусов

ГЛАВА II. АППРОКСИМАТИВНЫЕ СВОЙСТВА ПРЯМОУГОЛЬНЫХ СРЕД -НИХ РИССА ДВОЙНЫХ РЯДОВ ФУРЬЕ

§ I. Оценка уклонения непрерывных функций двух переменных от их прямоугольных средних Рис

§ 2. Точная оценка уклонения непрерывных функций двух переменных от их прямоугольных средних

Рисса четных показателей

§ 3. Порядок уклонения J- € [j ( от их прямоугольных средних Рисса.

ГЛАВА III. РЕГУЛЯРНОСТЬ И АППРОКСИМАТИВНЫЕ СВОЙСТВА СРЕДНИХ ТИПА БЕРНШТЕЙНА-Р0Г03ЙНСК0Г0 ДВОЙНЫХ РЯДОВ ФУРЬЕ

§ I. Регулярность средних типа Бернштейна-Рогозин-ского в случае частичных сумм по параллело граммам и треугольникам.

§ 2. Средние Бернштейна-Рогозинского в случае частичных сумм по произвольным многоугольникам

§ 3. Регулярность средних типа Бернштейна-Рогозин-ского в случае распределения меры по некото рым фигурам и линиям

§ 4. Аппроксимативные свойства двумерных прямо

В диссертации изучаются линейные методы суммирования (линейные средние) двойных рядов Фурье. При этом основное внимание уделяется регулярности линейных средних двойных рядов Фурье непрерывных функций и аппроксимативным свойствам этих средних в терминах различных модулей гладкости рассматриваемых функций.

В одномерном случае эти вопросы изучались в работах многих авторов, и в большинстве случаев здесь найдены окончательные ответы, изложенные в фундаментальных монографиях Н.К. Бари [i] и А. Зигмунда [2] , [з] . Отметим также монографии Н.И. Ахие-зера [4] , А.Ф. Тимана [5] , В.К. Дзядыка [б] , широко и обстоятельно освещающие вопросы по данной тематике.

Иная ситуация в случае двойных (и вообще кратных) рядов Фурье. Теория этих рядов (кроме отдельных результатов Л. Тонел-ли, С. Бохнера) получила широкое развитие в последние 15-20 лет. По кратным рядам имеются отдельные главы в монографиях А. Зиг -мунда [з] , G.M. Никольского [71 , И.Стейна и Г. Вейса [8 J , обзоры [9] , [10] , [II] (см. также [12] , [13] ). Среди отдельных результатов отметим здесь работы Ч. Феффермана, И. Стейна, К.И. Бабенко, В.А. Ильина, Ш.А. Алимова, Е.М. Никишина.

Тем не менее, теория кратных рядов Фурье развита значи -тельно слабее, чем в одномерном случае. Трудности, связанные с кратными рядами Фурье, являются как чисто техническими (порой они значительные), так и специфическими для кратного случая, связанными иногда с существенными отличиями отдельных моментов теории простых и кратных рядов Фурье (скажем, неоднозначность определения частичной суммы кратного (уже двойного) ряда, причем каждый отдельный случай здесь так же оправдан, как и все остальные).

Так что получение новых результатов по двойным рядам, несомненно, представляет интерес.

Отметим, что подавляющее большинство результатов диссертации (во всяком случае результатов глав I и II) может быть легко перенесено на К - мерный ( И 7 &) случай с использованием тех же методов доказательств.

Любой функции двух переменных £ С(Т*) (обозначения в § I главы I), ТС периодической по каждой переменной и , поставим в соответствие ее ряд Фурье jM-L е С к itj, ) ~ последовательность ее коэффициентов Фурье. Известно, что этот ряд может расходиться в каждой точке. Поэтому естественно рассмотреть линейные средние (метод суммирования) ряда Фурье ^f (мк)

Г itMbTL I- к. определяемые матрицей Ц Д || (в частности, здесь получаются различные частичные суммы ряда Фурье, например, прямоугольные, сферические при соответствующем выборе множителей Актуальными здесь являются две группы вопросов. Одна из них связана с нахождением условий регулярности рассматриваемых средних, а вторая - с выяснением скорости сходимости (аппроксимативных свойств) таких средних к порождающей их функции.

Как известно, изучение регулярности линейных средних рядов Фурье, а часто и их аппроксимативных свойств непосредственно связано с выяснением ограниченности констант Лебега. Проверка ограниченности их часто затруднительна. Как правило, она осуществляется путем проверки (по возможности нетрудной) принадлежности множителей некоторому классу множителей, для которого уже доказана ограниченность соответствующих констант Лебега.

Впервые эта задача в общем виде сформулирована, а в случае класса выпуклых \ и решена в работе С.М. Никольского [14] . После этого появился ряд работ, где оцределялись новые Ог) классы, как правило, в терминах различных разностей A„ ; отметим здесь работы Надя [15] , А.В. Ефимова [16] , С.А. Те-ляковского

17] - [22] см. также

23] ).

Поскольку константы Лебега представляют собой обычно ин -тегралы от модулей сумм некоторых тригонометрических рядов, то вопрос ограниченности констант Лебега, значит, тесно связан с вопросом интегрируемости сумм соответствующих рядов. По интегрируемости рядов в одномерном случае имеется большое количество работ. Сошлемся здесь на обстоятельный обзор в работе С.А. Теляковского [18] и отметим полученные позже результаты в работах [22]-[27].

Сказанное выше относится к одномерным тригонометрическим рядам. В кратном же случае по вопросам интегрируемости сумм тригонометрических рядов имеются лишь единичные результаты. Отметим работы Я.С. Бугрова [28] , С.А. Теляковского

19] , [291

Задача получения новых признаков интегрируемости двойных тригонометрических рядов является, таким образом, актуальной.

P.M. Тригубом [41] впервые в одномерном случае получены двусторонние оценки уклонений функций от линейных средних их рядов Фурье через модули гладкости этих функций. Для средних Рисса такая задача решена P.M. Тригубом и В.В. Жуком. Представляют интерес оценки уклонений функций двух переменных от их прямоугольных средних Рисса через модули гладкости этих функций.

Средние типа Бернштейна-Рогозинского в общем виде введены P.M. Тригубом в [30] . В этой же работе изучается регулярность этих средних в некоторых случаях. Средние типа Бернштейна-Рогозинского - довольно общие средние. Несомненный интерес представляют вопросы, связанные с их регулярностью в различных ситуациях (в частности, когда сходимость ряда понимается в смысле сходимости его частичных сумм по различным многоугольникам, а соответствующая мера дискретная).

Вопросы, близкие к затронутым, изучались в кратном случае рядом авторов. Отметим здесь работы P.M. Тригуба [30 ] - [32I Э.С. Белинского [33] , P.M. Тригуба и О.И. Кузнецовой [34] , А.Н. Подкорытова [35] , [Зб], С.П. Байбородова [37], В.Т. Гаври-люк [38], А.И. Степанца [12, главы У и У1] , А.Г. Лебедя [39], М.§. Тимана и В.Г. Пономаренко [55] .

Настоящая работа посвящена двойным рядам. Получены новые (для двумерного случая) признаки интегрируемости тригонометрических рядов. Затем исследуются аппроксимативные свойства прямоугольных средних Рисса, Бернштейна и Рогозинского двойных рядов Фурье непрерывных функций, а также исследуется регулярность группы линейных методов, а именно, средних типа Бернштейна-Рого-зинского.

Остановимся подробнее на содержании настоящей диссертации. Работа состоит из введения, II параграфов, сгруппированных в три главы, и списка цитированной литературы.

1. Бари Н.К. Тригонометрические ряды. - М.: Физматгиз, 1961. - 936 с.

2. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. т. I. М.: Мир, 1965. - 615 с.

3. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. т. 2. М.: Мир, 1965. - 537 с.

4. Ахиезер Н.И. Лекции по теории аппроксимации. М .: Наука, 1965. 407 с.

5. Тиман А.Ф. Теория приближения функций действительного переменного. М :: Физматгиз, I960. - 624 с.

6. Дзядык В.К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. М .: Наука, 1977. - 508 с.

7. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М.: Наука, 1977. - 455 с.

8. Стейн И. , Вейс Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах. М.: Мир, 1974. - 331 с.

9. Жижиашвили Л.В. О некоторых вопросах из теории простых и кратных тригонометрических и ортогональных рядов. УМН, 1973, 28, вып. 2 С170), с. 65 - 119.

10. Алимов Ш.А., Ильин В.А., Никишин Е.М. Вопросы сходимости кратных тригонометрических рядов и спектральных разложений. I.- УМН, 1976, 31, вып. 6 (192), с. 28 83.

11. Голубов Б.И. Кратные ряды и интегралы Фурье. В кн.: Итоги науки и техники. Мат. анализ. М.: ВИНИТИ, 1982, 19, с. 3 - 54.

12. Степанец А.И. Равномерные приближения тригонометрическими полиномами. Киев : Наук, думка, 1981. - 339 с.

13. Тригуб P.M. Суммируемость рядов Фурье и некоторые вопросы теории приближений. Донецк, 1980. - 235 с. Рукопись пред -ставлена Донецк, ун - том. Деп. в ВИНИТИ 8 дек. 1980, № 5145 -80.

14. Никольский С.М. О линейных методах суммирования рядов Фурье. Изв. АН СССР, сер. мат., 1948, 12, с. 259 - 278.

15. В, Sur u/te cfasre ^енеха^е de pzocedes de soht^aitotb /?ouz series de Four set,—71u*.h Clct* AfaU.} //<4 J, Afo 3, />•

16. Ефимов А.В. О линейных методах суммирования рядов Фурье. Изв. АН СССР, сер. мат., I960, 24, с. 743 - 757.

17. ТЕляковский С.А. О нормах тригонометрических полиномов и приближении дифференцируемых функций линейными средними их рядов Фурье. I. В кн: .Тр Мат. ин - та АН СССР, 1961, 62, с. 6197.

18. Теляковский С.А. Условия интегрируемости тригонометрических рядов и их приложение к изучению линейных методов сумми -рования рядов Фурье. Изв. АН СССР, сер. мат., 28, № 6, 1964, с. 1209 - 1236.

19. Теляковский С.А. Некоторые оценки для тригонометричес -ких рядов с квазивыпуклыми коэффициентами. Мат. сборник, 1964, 63 (105), № 3, с. 426 - 444.

20. Теляковский С.А. Асимптотическая оценка интеграла от модуля функции, заданной рядом из синусов. Сиб. мат. журн., 1967, УШ, № 6, с. 1416 - 1422.

21. Теляковский С.А. Оценка нормы функции через ее коэффи -циенты Фурье, удобная в задачах теории аппроксимации. В кн.: Тр. Мат. ин - та АН СССР, 1971, 109, с. 65 - 97.

22. Теляковский С.А. Об одном достаточном условии Сидона интегрируемости тригонометрических рядов. Мат. заметки, 1973, 14, № 3, с. 317 - 328.

23. Тригуб P.M. Суммируемость и абсолютная сходимость ря -дов Фурье в целом. В кн.: Метрические вопросы теории функций и отображений. - Киев : Наук, думка, 1971, с. 173 - 266.

24. Фомин Г.А. Об одном классе тригонометрических рядов. -Мат. заметки, 1978, 23, № 2, с. 213 222.

25. Kctho Takes Ac. CoeffCeteris of someCc rm>r. L Fete. £ct\, 1963, Mo />.

26. R. Bojechic, С. к Siancjet/Cc. Ct с fas of L -С*и\/ггgeнее r Trans. GLwt Mctti Soc, 19$l, 169, No Z,

27. С. V. Uanojevic. Tau/etian сои^ЖоиLcdhi/s?-ae».ce of FoutCez setces. Trans. (Хмег. Soey /

28. Бугров Я.С. Приближение функций нескольких переменных тригонометрическими полиномами. В кн.: Труды научн. объед. преподав. физ. мат. фак. пед. ин - тов Дальы. Вост., Хабаровск, 1962, I, с. 28 - 49.

29. Теляковский С.А. Интегрируемость тригонометрических рядов с квазивыпуклыми коэффициентами. \(fA 1*3 ЦогЬ cefrMHicaiiOHc (afcttactc) VU Sec-бсо* в,раг-бЛр.20.

30. Тригуб P.M. Абсолютная сходимость интегралов Фурье, суммируемость рядов Фурье и приближение полиномами функций на торе. Изв, АН СССР. сер. мат., 1980, 44, № 6, с. 1379 - 1409.

31. Тригуб P.M. Линейные методы суммирования простых и кратных рядов Фурье и их аппроксимативные свойства. В кн.: Теория приближения функций. М.: Наука, 1977, с. 383 - 390.

32. Тригуб P.M. Суммируемость кратных рядов Фурье и при -ближение полиномами функций на торе. ДАН СССР, 1978, 250,2, с. 276 279.

33. Белинский Э.С. Приближение средними Бохнера-Рисса исферический модуль непрерывности. Докл. АН УССР, сер. А, физ.-мат. н. , 1975, № 7, с. 579 581.

34. Кузнецова О.И., Тригуб P.M. Двусторонние оценки приближения функций средними Рисса и Марцинкевича. ДАН СССР, 1980, 251, Ш , с. 34 - 36.

35. Подкорытов А.Н. Средние Фейера в двумерном случае. -Вестник Ленингр. ун та. Мат., мех., астрон., 1978, № 13, с. 32 - 39.

36. Подкорытов А.Н. Суммирование кратных рядов Фурье по полиэдрам. Вестник Ленингр. ун - та. Мат., мех., астрон., 1980, № I, с. 51 - 58.

37. Байбородов С.П. 0 приближении функций мног^их переменных прямоугольными суммами Балле Пуссена. ДАН СССР, 249, № 2, с. 265 - 267.

38. Гаврилюк В.Т. Приближение непрерывных периодических функций тригонометрическими полиномами. В кн.: Теория приближения функций. М.: Наука, с. 101 - 103.

39. Лебедь А.Г. Линейные методы суммирования и абсолютная сходимость двойных рядов Фурье. Изв. вузов, сер. мат., 1971, № 12, с. 91 - 102.

40. МагЖаь Г. М. Он aeneta&jed fbasc- cont/exsequence and ch a^ucajton . 7ftdean, J. joureapf L /ИаЫ- -19??, / jVO -.

41. Тригуб P.M. 0 J суммах Фурье. - В кн.: Тезисы докладов 2-й Всесоюзной конф. по констр. теории функций. Баку, 1962, с. 162.

42. Тригуб P.M. Конструктивные характеристики некоторых классов функций. Изв. АН СССР, сер. мат., 1965, 29, № 3, с. 615 630.

43. Жук В.В. О приближении периодических функцийзначениями некоторого ограниченного оператора. II. Вестник Ленингр. ун - та, мат., мех., астрон., 1967, № 13, с. 41 - 50.

44. Жук В.В. Аппроксимация периодических функций. 1982. Ленинград : Изд - во Ленингр. ун - та. 366 с.45'CAaKc(7cts*6Aatan К., t\C&ci6.s6isuttda*aM S, S о hi г хаи I Is он double Four Се* series -J)u£e /Uct^-6. I 1947, W No3, />. ?3<f-?S~3.

45. Scdoa S. Uinzecc4ende Bedtпринял flit с/ея Fo-Utiet~C4ataMet ir^ohome-ltcscAeh fee/е. J.1.ndon MctM- Soc*, 19'3 9, 44, Л/о z, ^ ffa.

46. Челидзе В.Г. Некоторые методы суммирования двойныхря -дов и двойных интегралов. Тбилиси : Изд - во Тбилис. ун-та, 1977. - 399 с.

47. QsA /. Mais&tt, Wetland Grant К Cowe*fence, llvCfytf-entss cthd sutotoaSitifoofMuUitle {гс4омоме/ис setces.- Тъаис, С1шг. /Иа& Soc., January, p.

48. Белинский Э.С., Тригуб P.M. Некоторые числовые неравенства и их црименение в теории суммируемости рядов %рье. В кн.: Конструктивная теория функций и теория отображений. Киев : Наук, думка, 1981, с. 70 - 81.

49. Sianoj'evtc Caslmi/. К Classes of L -cowtfenc* of Fount г* and Fouxcet-SiceLijzs seues.- Ptoc* ССне*.foe. 1611f No X l09-i<fs-.51 . Btay, Wc I leapt 0% a Utote*, of Hanojevfc'-Ptoc. Umer.Mafc for 49S/JI, Mo /, ^

50. Гришин В.Б. 0 линейных методах суммирования двойных рядов Фурье. В кн.: Исследования по современным проблемам суммирования и приближения функций и их приложениям, ч. I. - Днепро -петровск: Изд - во Днепропетр. ун - та, 1967, с. 41 - 48.

51. Фомин А.А. О линейных методах суммирования двойных рядов Фурье. Изв. вузов, сер. мат., 1969, 2, № 81

52. Кучерова К.И, 0 линейных методах суммировании двойных рядов Фурье. Изв. вузов, сер. мат., 1968 , б

53. Тиман М.Ф., Пономаренко В.Г. О приближении периодических функций двух переменных суммами типа Марцинкевича. Изв. вузов, сер. мат., 1975, № 9, с. 59 - 67.

54. Степанец А.И. Приближение непрерывных периодических функций многих переменных сферическими средними Еисса. Мат. заметки, 1974, 15, № 5, с. 821 - 832.

55. Тригуб P.M. Приближение функций с данным модулем гладкости на внешности отрезка и полуоси. В кн.: Исследования по современным проблемам конструктивной теории функций. М.: Наука, 1961, с. 47 - 51.

56. Стечкин С.Б. Методы суммирования С.Н. Бернштейна и В. Рогозинского. В кн.: Харди Г. Расходящиеся ряды. - М .: Изд. иностр. лит., X95I. - 504 с.

57. Власов В.Ф., Тиман А.Ф. Об одной зависимости интегралов от модулей тригонометрических полиномов. ДАН СССР, 1961, 138,6, с. 1263 1265.

58. Фомин Г.А. О линейных методах суммирования рядов Фурье, подобных методу Бернштейна-Рогозинского. Изв. АН СССР, сер. мат., 1967, 31, № 2, с. 335 - 348.

59. Огиевецкий И.И. Суммирование двойных рядов методом Бернштейна и Рогозинского. Научн. зап. Днепропетр. ун - та. Днепропетровск; Изд. Днепропетр. ун - та, 1948, 34, с. 163 - 178.

60. Бендукидзе А.Д. О суммировании двойных рядов Фурье-Лебега методом Бернштейна. Труды Груз, политехи, ин - та. Тбилиси : 1964, № 30, с. 67 - 82.

61. Габисония О.Д. О множестве точек суммируемости двойныхрядов Фурье. В кн.: Теория приближения функций. - М.: Наука, 1977, с. 94 - 97.

62. Кибалко П.И. О приближении периодических функций двух переменных одним классом линейных методов суммирования двойных рядов Фурье. Изв. АН БССР, сер. физ.-мат. н., 1977, № I, с. 34 - 43.

63. Носенко Ю.Л. О сравнении линейных методов суммирования двойных рядов Фурье. В кн.: Метрические вопросы теории функций и отображений. Киев: Наук, думка, 1975, вып. У1, с. 89- 101.

64. Носенко Ю.Л. Аппроксимативные свойства средних Рисса двойных рядов Фурье. Укр. мат. журн., 1979, If0 2, с. 157-165.

65. Носенко Ю.Л. Об условиях типа Сидона интегрируемости двойных тригонометрических рядов. В кн.: Теория функций и отображений. Киев: Наук, думка, 1979, с. 132 - 149.

66. Носенко Ю.Л. Точная оценка уклонений непрерывных функций двух переменных от их прямоугольных средних Рисса. В кн.: Конструктивная теория функций и теория отображений. Киев: Наук, думка, 1981, с. 129-134.

67. Заставный В.П., Носенко Ю.Л. Регулярность средних типа Бернштейна-Рогозинского двойных рядов Фурье. В кн.: Международная конференция по теории приближения функций, Киев, 30 мая 6 июня 1983. Тез. докл. Киев: Ин-т мат., 1983, с. 83.

68. Носенко Ю.Л. Суммирование двойных рядов Фурье методами типа Бернштейна-Рогозинского. В кн.: Теория отображений и приближение функций. Киев: Наук, думка, 1983, с. 89-97.

69. Носенко Ю.Л. 0 регулярности и аппроксимативных свойствах средних типа Бернштейна-Рогозинского двойных рядов Фурье. Донецк, политехи, ин-т. Донецк, 1983. 18 с. (^копись депонирована в УкрНИИНТИ 27 окт. 1983 г. № 1229 Ук-Д 83).

70. Носенко Ю.Л. Суммируемость двойных рядов Фурье методами типа Бернштейна-Рогозинского. В кн.: Теория функций и приближений. Труды Саратовской зимней школы, 24 января - 5 февраля 1982. Саратов: Саратовск. ун-т, 1983, ч. 2, с. II5-II8.