Оценка характеристик, определяющих аппроксимативные свойства тригонометрических операторов Баскакова и некоторых других методов суммирования рядов Фурье тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

На правах рукописи

Дубровина Татьяна Владимировна

ОЦЕНКА ХАРАКТЕРИСТИК, ОПРЕДЕЛЯЮЩИХ АППРОКСИМАТИВНЫЕ СВОЙСТВА ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРОВ БАСКАКОВА И НЕКОТОРЫХ ДРУГИХ МЕТОДОВ СУММИРОВАНИЯ РЯДОВ ФУРЬЕ

01.01.07 - вычислительная математика

АВТОРЕФЕРАТ диссертаций на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Красноярск - 2005

Работа выполнена в Читинском государственном университете

Научный руководитель - кандидат физико-математических наук,

доцент Абакумов Юрий Георгиевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Добронсц Борис Станиславович;

доктор физико-математических наук, профессор Задорин Александр Иванович

Ведущая организация - Институт математики с ВЦ УНЦ РАН (г. Уфа)

Защита состоится «1 » декабря в 14 часов на заседании диссертационного совета К 212.098.03 в Красноярском государственном техническом университете по адресу 660074 г. Красноярск, ул. Киренского, 26, КГТУ, ауд. Г - 417

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Красноярского государственного технического университета.

Автореферат разослан « ¿О» октября 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность исследования. Классической задачей в теории приближения является суммирование рядов Фурье, однако не менее важен ее вычислительный аспект. Традиционным направлением разработки численных методов является эффективное построение линейных методов суммирования рядов Фурье, имеющих наилучшие (в том или ином смысле) аппроксимативные свойства.

Методы суммирования рядов Фурье представляются в одном из следующих видов

где Л = {л,„} матрица коэффициентов суммирования, а а,, Ь, - коэффициенты Фурье функции /(/), (т}(п)-уао при л -> да). Одна из задач, возникающих при исследовании конкретных методов суммирования, следующая: получить оценку приближения методом ¿„(л,/(?),*) функций класса IVН".

Типична следующая ситуация: существует число г0 (оно зависит от того, какой метод исследуется), такое, что при г + а < гд |1Я(Л,/(г),*)-/(*! = о[п""а), если /еУУНа, т.е. функции класса ИгТ Н" приближаются операторами £„(Л,/(/),*) с наилучшим порядком. При г + а>г0 для / е И/ГНа имеет место ||1п(л,/(г),лг)-/(х| = о(дГ',)), тогда порядок о(л~'°) называют порядком насыщения операторов ¿„(л,/(/),*).

Методы получения оценок, содержащих константы а не только фиксирующих порядок, величины |1П(Л,/(/),*)-/(х| существенно различны для случаев г + а>г0 и г + а <га. В 2001 гВ.А. Баскаков определил совокупность методов суммирования рядов Фурье, а именно, операторы.Л/М*1' 'к'\ где т, к. - целые параметры, определяющие конкретный вид оператора [6].

или

Эта совокупность обладает следующим свойством: для любого класса

1¥гНа найдется аппроксимирующая последовательность, принадлежащая совокупности операторов Баскакова, которая приближает функции этого класса с наилучшим порядком. Кроме того, результаты, связанные с приближением операторами Баскакова периодической функцией Хевисайда, имеют практическое значение и могут быть использованы для проектирования цифровых фильтров [3]. В связи с этим становится актуальным изучение аппроксимативных свойств операторов Баскакова.

Если методы получения аппроксимативных оценок, содержащих константы, для классов «не слишком гладких» функций разработаны и хорошо известны, то получение таких оценок для функций, принадлежащих классам насыщения, в ряде случаев вызывает значительные трудности.

Задача получения аппроксимационных оценок приближения операторами Баскакова функций, принадлежащих классам насыщения, требует нетрадиционных подходов.

Цель работы: получение оценок приближения операторами Баскакова достаточно гладких функций; получение линейных комбинаций операторов Баскакова, коэффициенты которых не зависят от п, а сами комбинации имеют лучшие аппроксимативные свойства, чем образующие их операторы; получение оценок приближения функций классов 1¥3Н] и Ж5Н1 операторами, предложенными в работах Е.М. Ершовой [8] и [9] соответственно.

Научная новизна. Основными новыми результатами работы являются следующие:

• получены оценки приближения операторами Баскакова функций,

ггг2т+1 тг1 -ггт2т+\ тта

принадлежащих классам уу лм п " пм\

• получены линейные комбинации, коэффициенты которых не зависят от п, а сами комбинации имеют лучшие аппроксимативные свойства, чем у тех операторов Баскакова, с помощью которых они образованы;

• получены оценки приближения функций класса , а также класса

операторами, предложенными в работах Е.М. Ершовой [8] и [9].

Теоретическая и практическая значимость. Теоретическая значимость работы заключается в разработке определенных приемов исследования аппроксимативных свойств некоторых операторов, являющихся методами суммирования рядов Фурье, и применении этих приемов к тригонометрическим операторам Баскакова. Результаты диссертации могут быть использованы для оденки приближения амплитудной характеристики идеального цифрового фильтра на отрезках, входящих в полосу пропускания, а так же на отрезках, входящих в полосу'задержания.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались:

- на XXVIV школе-семинаре им. Золотова, г. Владивосток, 2004г.;

- на Всероссийской научно-практической конференции, Чита, ЗабГПУ 2004 г.;

- в Забайкальском государственном педагогическом университете, на семинаре кафедры математического анализа под руководство профессора С.Е. Холодовского (2002 г.);

- на научных семинарах Энергетического института ЧитГТУ, г. Чита, 2002 -2005 г.г.;

- на семинарах кафедры ИВТ и ПМ Читинского государственного университета (2001-2005 г.г.);

- на Второй межрегиональной научно-практической конференции: «Энергетика в современном мире» ЧитГТУ, г. Чита, 2003 г.

Публикации. В процессе работы над диссертацией опубликовано 10 работ, список которых приведен в конце автореферата. Одна работа находится в печати.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, и списка литературы. Работа изложена на 68 листах, содержит список литературы, включающий 40 наименований. Нумерация теорем, и предложений в диссертации двойная: первое число - номер главы, второе - номер теоремы, а нумерация следствий сквозная.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении описывается предметная область исследования, излагается постановка задачи, и кратко приводятся основные результаты полученные ранее другими исследователями.

1. Порядок насыщения последовательности равен о{п"2т~Х) (В.А. Баскаков).

2. Функции класса ]V2mHl приближаются операторами

М

мНк\.....кт) с порядком о(«~2тЧ 1пи) (H.A. Забелина).

Предметом диссертации является исследование аппроксимативных свойств некоторых конкретных операторов типа свертки, которые относятся к методам суммирования рядов Фурье и ядра которых имеют ограниченное по и число простых нулей на (- л,я).

Первая глава «Операторы Баскакова. Классы функций, приближаемых операторами Баскакова с порядком насыщения», посвящена изучению свойств тригонометрических операторов Баскакова.

В п. 1.1 и 1.2 дано определение операторов Баскакова и приведены некоторые свойства, полученные в работах других авторов.

В п. 1.3 дан вывод аналитических выражений, определяющих коэффициенты суммирования для операторов Баскакова. По сравнению с выводом предложенным В.А. Баскаковым в работе [6] наш вывод более краткий.

Результаты приведенные в п. 1.4, 1.5, и 1.6 принадлежат автору.

Основой для ряда результатов диссертационной работы является теорема 1.1.

Теорема 1.1. Если при данном х дифференцируемая на [х-к,х + л) функция f(t) такова, что функции

/(х + 0 и d_

■ 2т+2 t dt sin -

Л

/(*+0 sin2m+2 t_ 2/

ограничены, то

= й **У<* + '> + '<*-'>а.„-Ы +о(п~2т-1).

4 / = 10 Вт2т+2-

2

Из теоремы 1.1 вытекают два следствия, которые являются основой для полученных результатов диссертации.

Следствие 1. Для целого р>т

Н^*2-1 -—-<Ь-гГ2т~Х + о{п~2т~Х\

2 » = 10 5т2т+2~

2

Следствие 2. Для целого р < т

б

2 1-1 0 8т2ш+2- 1 '

Основной результат главы (наряду с теоремой 1.4.) дает приведенная ниже теорема 1.2.

Теорема 1.2. Пусть /(г)е '№2т+Хн\{ . Тогда для любого х

М(п.....Дт)(ДО,х)-Дх)-

« /(»)(,) (-1Г ^2т-\ » к2 / ± 1 (2/> 2 ¡^'Ъ^Тт+Ц

<—^---Л-2"1-1 П ^ Ь^-^-'+оИ^

(2т + 2)! 2 Д1! > ^ ^ '

2

Условия теоремы 1.1. можно ослабить заменив их на следующие: существуют С > О, р е (ОД), такие, что

Ж ■ п

-2т-1

яш

2 от+2 '

и существует Ь е (0, я-) такое, что

Ж)

2т+2 I

81П

г)

не меняет знак на

(0,Ь) и,

кроме того на [¿>,/г]

/ N

Ф)

в]п2т+21

2

- ограничена.

Теорема 1.3. При выполнении указанных выше условий, имеет место оценка

4 ¿ = 10 Вт2т+2 - ^ '

2

Теорему 1.3 можно применить к оценке приближения операторами М[«Х*1 .»..*„) функций класса при а е(0Д).

Теорема 1.4. Пусть /(/)е (а е (0,1>). Тогда равномерно пох

г = 1 (2') 2 /=1 Озт2^ 1

2

'(1 + аХ2 + а)-....(2|я + 1 + а)2 = ¿81п2т+2'

Вторая глава «Некоторые линейные комбинации операторов Баскакова» посвящена получению линейных комбинаций операторов Баскакова таким образом, чтобы коэффициенты их комбинаций не зависели от п, а сами комбинации имели бы лучшие аппроксимативные свойства, чем у тех операторов Баскакова, с помощью которых они образованы.

В главе рассмотрены частные случаи этой задачи.

#2 Я\

Предложение 2.1. Обозначим ~ г _ г , & ~ г _ г ,

Яг Яг Я1

Тогда, если последовательность 8 -» 0 определяет порядок насыще-

. (91.92) „ I -2т-1 \ ния операторов Ь , то о^ = о\п ¡.

п

Теорема 2.1. Операторы L ' ) ^ 0Пределенные в уСЛОВИИ предложе-

п

ния 2.1 имеет порядок насыщения о(и~2т~3).

В п. 2.2 рассматривается линейная комбинация операторов

мШ\М) и

В п. 2.4 исследуется линейная комбинация

Третья глава «Приближение функций класса W^H1 некоторыми операторами, предложенными Е.М. Ершовой» посвящена изучению аппроксимативных свойств операторов, не входящих в совокупность операторов Баскакова.

В работе Е.М. Ершовой приведен ряд аппроксимирующих конструкций как оптимальных по порядку так и «почти оптимальных». В главе исследуются три последовательности из приведенных в работах [8], [9]: которые

обозначены D^'g, D^j, D^ (последняя последовательность является оптимальной).

Для получена оценка, которая сформулирована в теореме 3.3.

Теорема 3.3. Для f(t) е W^H^ и любого х выполняется

2 2 t

w ' J v ' 2 46л - 4 í

0 sin -2

.4

24 460 sin4í ^ '

2

шлура i uyoi

в п. 3.2. и получена оценка, сформулированная в теореме 3.6.

'м

Операторы D^ преобразованы по той же схеме, что и операторы

Теорема 3.6. Для любого хе (- оо.оо) и f(t)eW3HlM выполняется

Л Л ■ 2 t - fit -4sin -

^(/«.^-/W+^/'W--1! i-^fn

0 sin — 2

M _i 25* f4 , -3

<—n■ —f-dt-n +o\n .

24 46 n . 4t \ /

О эш -2

Рассмотрим операторы , которые являются оптимальными и определяются равенством

3151

(n4+w2+l)

л ■ л(з94и8 +615иб -84и4 +5и2 +1б)

;г

. л/

sm—

х If if+

-л

sin-

cosi-

2и4 - 2и2 - 3 2(h4+«2+i).

Л.

Для данных операторов известны коэффициенты суммирования к>" „4788 788 J и51,3152 3152 J v ;

ется

Теорема 3.7. Если f(t) е

W НМ

, то для любого хе(- со,со) выполня-

2 .. 2 t 4.4 t

ii лтс ,п t -4sm---sin -

+ r{x).K---2Л. nS +

25216 0 sin6^

245 788"

100864

jri4-16sin4-

О sin6-

4it-n

-5

M 11025 t6 , _5

<---71 f-dt-n 3 +

6! 12608 n .6 t

0 sin -

•И

Таким образом, основными результатами диссертационной работы являются получение оценок приближения операторами Баскакова достаточно гладких функций и получение линейных комбинаций, коэффициенты которых не зависят от п, а сами комбинации имеют лучшие аппроксимативные свойства, чем у тех операторов Баскакова, с помощью которых они образованы.

Автор выражает благодарность научному руководителю доценту Абакумову Ю.Г. за постановку задачи, помощь в работе и внимание с его стороны.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Абакумов Ю.Г. О методе В. А. Баскакова построения операторов класса S2m //Вестник ЧитГТУ. Выпуск 13. - Чита, 1999. - С. 119 - 126.

2. Абакумов Ю.Г. Об одном методе суммирования рядов Фурье с порядком насыщения о[п~5 ) //Вестник ЧитГТУ. - Чита, 2001. - Вып. 19. - С. 27 -30.

3. Абакумов Ю.Г., Карымова Е.Ю., Долгов C.B. Проектирование цифровых фильтров нижних частот с линейной фазой, и задача аппроксимации функций Хевисайда //Вестник ЧитГТУ. Вып. 29. - Чита: ЧитГТУ, 2003. -С. 143 -149.

4. Баскаков В.А. Линейные методы суммирования рядов Фурье и приближение непрерывных функций. Учеб. пос. - Калинин: КГУ, 1980. -79 с.

5. Баскаков В.А. Об одном методе построения операторов класса S^w //Теория функций и приближений. Интерполяция по Лагранжу. - Саратов, 1984.-С. 19-25.

6. Баскаков В.А. Об операторах класса S2m, построенных на ядрах Фейе-ра //Применение функционального анализа в теории прибл. - Тверь, 2001.-С. 5-11.

7. Баскаков В.А. Операторы класса Sim с почти оптимальным порядком аппроксимации //Применение функционального анализа в теории прибл. - Тверь, 2004. -С. 15- 84.

8. Ершова Е.М. Операторы классов S2m и их аппроксимативные свойства: Автореф. дис... канд. физ.-мат. наук. - М., 2002. - 17 с.

9. Ершова Е.М. Операторы класса ^ на основе обобщенного ядра Джексона //Применение функционального анализа в теории прибл - Тверь, 2001.-С. 46-50.

10. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. Т 2. - М.: Мир, 1965. - 538 с.

11. Корнейчук Н.П. Точные константы в теории приближения - М.: Наука. Гл. Ред. Физ. - мат. Лит., 1987. - 424 с.

12. Коровкин П.П. Линейные операторы и теория приближений. - М.: Гос. издательство физ.-мат. литературы, 1959. - 211 с.

13. Коровкин П.П. Сходимость последовательности линейных операторов //ЩИ. - 1962. - Т. 17, № 4(106). - С. 147 - 152.

14. Крылов В. И. Приближенное вычисление интегралов. - М.: Наука, 1967. - 500 с.

15. Теляковский С.А. О работах по теории приближений, выполненных в МИАНе //Труды Матем. Ин-та АН СССР. Т. 182,1988. С. 128 - 180.

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

16.Абакумов Ю.Г., Дубровина Т.В. К выводу основных характеристик тригонометрических операторов Баскакова //Вестник ЧитГТУ. Вып. 30. - Чита: ЧитГТУ, 2003.-С. 138- 142.

17.Дубровина Т.В. Оценка некоторых характеристик операторов Баскакова //Вестник ЧитГТУ. - Вып. 17. - Чита: Издательство ЧитГТУ, 2001. — С. 58-61.

3 1

18. Дубровина Т.В. Аппроксимация функций класса операторами Баскакова //Математический анализ и его приложение: Сб. статей. Выпуск 5. - Чита: Издательство ЗабГПУ, 2002. - С. 36 - 38.

19. Дубровина Т.В. Некоторые свойства тригонометрических операторов Баскакова //Вестник ЧитГТУ. - Вып. 28. - Чита: Издательство ЧитГТУ, 2001.-С. 154-157.

20. Дубровина Т.В. Получение линейных комбинаций операторов Баскакова с улучшенными аппроксимативными свойствами //Третья межрегиональная научно-практическая конференция «Технические науки, технологии и экономика» (материалы конференции), ч.2. - Чита: Чит-ГУ,2003.-С. 98-99.

21. Дубровина Т.В. Оценка приближения операторами Баскакова функций

класса //Всероссийская научно-практическая конференция.

Тезисы докладов. - Чита: Издательство ЧитГТУ, 2004. - С. 17-19.

22. Дубровина Т.В. Оценка приближения операторами Баскакова функций

класса цг2т+1н1 //Дальневосточная математическая школа-семинар

имени академика E.B. Золотова. - Владивосток: Издательство Дальневосточного университета, 2004. - С. 9 - 10.

23. Дубровина Т.В. Оценка приближения операторами Баскакова функций

Л™ . 1 1

класса //Электронный журнал Исследовано в России, 171,

стр. 1836- 1844, 2004,-http://zhurnal.ape.relarn.rU/articles/2004/l 71 .pdf.

24 Дубровина Т.В. О некоторых аппроксимационных оценках //IV межрегиональная научно-практическая конференция «Кулагинские чтения» (материалы конференции). - Чита: ЧитГУ, 2004. ч. II. - С. 15 - 17.

25.Дубровина Т.В. Аппроксимационные оценки для функций, приближаемых некоторыми операторами Е.М. Ершовой с порядком насыщения // Применение функционального анализа в теории приближений. Сборник научных трудов. - Тверь, Тверской Государственный Университет, 2005. - С.84 - 87.

Соискатель: О?'

Тираж 100 экз. Заказ №217. Отпечатано в типографии КГТУ 660074, Красноярск, ул. Киренского, 26

>

г

219 643

РЫБ Русский фонд

2006-4 20432

Введение.

Глава 1. Тригонометрические операторы Баскакова.

1.1. Определение операторов Баскакова и некоторые их свойства.

1.2. Рекуррентное соотношение. Значение Л.

1.3. Тождество В.А. Баскакова. Множители суммирования т\кх,.,кт)

1.4. Вспомогательное утверждение. Значение операторов Баскакова в нуле на степенях t.

1.5. Оценка приближения операторами Баскакова достаточно гладких функций.

1.6. Ослабление условий теоремы 1.1. Оценка приближения операторами Баскакова функций класса

Ж2т+1Н&.

Глава 2. Некоторые линейные комбинации операторов Баскакова.

2.1. Общие замечания.

2.2. Линейные комбинации операторов А/М*1 )

2.3. Линейные комбинации операторов и А/М^з).

2.4. Линейные комбинации операторов им[®.

Глава 3. Приближение функций класса и некоторыми операторами, предложенными Е.М. Ершовой.

3.1. Предварительные замечания.

3.2. Операторы £>£1.

3.3. Операторы

3.4. Операторы!)^.

Актуальность темы. Традиционным направлением в теории приближений является эффективное построение и исследование аппроксимативных свойств линейных методов суммирования рядов Фурье.

В недавнее время В.А. Баскаков определил совокупность методов параметры, определяющие конкретный вид операторов (Баскаков В.А. Об операторах класса б^т > построенных на ядрах Фейера //Применение функционального анализа в теории прибл. - Тверь, 2001. - С. 5 - 11).

Эта совокупность обладает следующим свойством: для любого класса

ЖгНа найдется аппроксимирующая последовательность, принадлежащая совокупности операторов Баскакова, которая приближает функции этого класса с наилучшим порядком.

Кроме того, результаты, связанные с приближением операторами Баскакова периодической функцией Хевисайда имеют практическое значение и могут быть использованы для проектирования цифровых фильтров [5].

В связи с этим становится актуальным изучение аппроксимативных свойств операторов Баскакова.

Если методы получения аппроксимативных оценок, содержащих константы, для классов «не слишком гладких» функций разработаны и хорошо известны, то получение таких оценок для функций, принадлежащих классам насыщения, в ряде случаев вызывает значительные трудности.

В диссертационной работе решается задача получения аппроксимационных оценок приближения операторами Баскакова функций, принадлежащих классам насыщения. Решение потребовало нетрадиционных подходов.

Цель работы. Работа посвящена изучению аппроксимативных свойств тригонометрических операторов Баскакова Мп, а также получению оценок приближения достаточно гладких функций операторами Баскакова и суммирования рядов Фурье - операторы операторами предложенными в работе Ершовой Е.М. (Ершова Е.М. Операторы классов З^/я и их аппроксимативные свойства: Автореф. дис. канд. физ.-мат. наук.-М., 2002.-17 е.).

Новизна научных результатов. Все основные результаты диссертационной работы являются новыми и снабжены доказательствами.

Предложен новый, подход получения оценок приближения функций, принадлежащих классам насыщения, которым можно применять в тех случаях, когда традиционные подходы не дают результатов.

Теоретическая и практическая значимость. Результаты, изложенные в диссертации, имеют теоретическое значение и могут быть использованы как в дальнейших исследованиях по теории приближения, так и при чтении специальных курсов по математическому анализу. Кроме того могут быть использованы для проектирования цифровых фильтров.

Защищаемые положения. По результатам исследований можно сделать следующие выводы:

• получены оценки приближения операторами Баскакова достаточно гладких функций;

• получены линейные комбинации, коэффициенты которых не зависят от п, а сами комбинации имеют лучшие аппроксимативные свойства, чем у тех операторов Баскакова, с помощью которых они образованы;

• получены оценки приближения функций класса операторами, предложенными в работе Е.М. Ершовой [15] и функций класса операторами, предложенными тем же автором в работе [16]. Апробация работы. Результаты диссертации докладывались:

- на семинарах кафедры ИВТ и ПМ Читинского государственного университета (2001-2005 г.г.);

- в Забайкальском государственном педагогическом университете, на семинаре кафедры математического анализа под руководство профессора С.Е. Холодовского (2002 г.);

- на научных семинарах Энергетического института ЧитГТУ, г. Чита, 2002 -2005 г.г.;

- на второй межрегиональной научно-практической конференции: «Энергетика в современном мире» ЧитГТУ, г. Чита, 2003 г.

- на ХХУ1У школе-семинаре им. Золотова, г. Владивосток, 2004г.;

- на Всероссийской научно-практической конференции, Чита, ЗабГПУ 2004 г.;

Публикации. В процессе работы над диссертацией опубликовано 10 печатных работ, из которых одна в соавторстве с Ю.Г. Абакумовым. Одна работа находится в печати.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, и списка литературы. Работа изложена на 69 листах, содержит список литературы, включающий 40 наименований. Нумерация теорем, и предложений в диссертации двойная: первое число - номер главы, второе - номер теоремы, а нумерация следствий сквозная. Содержание диссертации. В первой главе устанавливается, что при г > т

1. Абакумов Ю.Г. О методе В. А. Баскакова построения операторов класса Sim //Вестник ЧитГТУ. Выпуск 13. - Чита, 1999. - 119 - 126.

2. Абакумов Ю.Г. Об одном методе суммирования рядов Фурье с порядком насыщения ОуГ^) //Вестник ЧитГТУ. - Чита, 2001. - Вып. 19. - 27 - 30.

3. Абакумов Ю.Г., Банин В.Г. Аппроксимативные свойства некоторых классов линейных операторов. - Чита: СО РАН: ЧГПИ, 1993. - 62 с.

4. Абакумов Ю.Г., Дубровина Т.В. К выводу основных характеристик тригонометрических операторов Баскакова //Вестник ЧитГТУ. Вып. 30. -Чита: ЧитГТУ, 2003. - 138 - 142.

5. Абакумов Ю.Г., Карымова Е.Ю., Долгов СВ. Проектирование цифровых фильтров нижних частот с линейной фазой, и задача аппроксимации функций Хевисайда //Вестник ЧитГТУ. Вып. 29. - Чита: ЧитГТУ, 2003. -С. 143 -149.

6. Абакумов Ю.Г., Карымова Е.Ю., Коган Е.С. Тригонометрические операторы Баскакова. Общие положения //Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. - Петрозаводск, 2000. - Вып. 2. - 87 - 103.

7. Абакумов Ю.Г,, Мацкевич СБ. Некоторые подходы к построению теории тригонометрических операторов Баскакова //Вестник ЧитГТУ.- Чита, 2001.-Вып. 17 . -С 63-67.

8. Баскаков В.А. Линейные методы суммирования рядов Фурье и приближение непрерывных функций. Учеб. пос. - Калинин: КГУ, 1980. -79 с.

9. Боглаев Ю.П. Вычислительная математика и программирование. - М.: Высшая школа, 1990.

10. Варга Р. Функциональный анализ и теория аппроксимации в численном анализе. - М.: Мир, 1974.

11. Вержбицкий В.М. Численные методы (математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения): Учеб. пособие для вузов. - М.: Высшая школа, 2001, -382 с.

12. Ершова Е.М. Операторы классов 32т и их аппроксимативные свойства: Автореф. дис... канд. физ.-мат. наук. - М., 2002. - 17 с.

13. Ершова Е.М. Операторы класса 5^ на основе обобш;енного ядра Джексона //Применение функционального анализа в теории прибл. -Тверь, 2001.-С. 46-50.

14. Забелина Н.А. Исследование аппроксимативных свойств линейных операторов. Метод разрывной мажоранты //Вестник ЧитГТУ. - Чита, 2001.-Вып. 21.-С. 156-162. (к к )

15. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. Т 2. - М.: Мир, 1965. - 538 с.

16. Коган Е.С. Некоторые свойства операторов М^^ " ^'•' ""^ //Вестник ЧитГТУ. Выпуск 23. - Чита, 2002. - 147 - 155.

17. Коган Е.С. Об определении точных констант в оценке приближения функций класса Lipj^l тригонометрическими операторами Баскакова //Вестник ЧитГТУ. Выпуск 25 - Чита: ЧитГТУ, 2002. - 157 - 164.

18. Коган Е. Тригонометрические операторы Баскакова и некоторые задачи, связанные с ними //Математика и ее приложения: Журн. Иванов, матем. об-ва. 2004. 1. 79 - 93.

19. Корнейчук Н.П. Точные константы в теории приближения - М.: Наука. Гл. Ред. Физ. - мат. Лит., 1987. - 424 с.

20. Коровкин П.П. Линейные операторы и теория приближений. - М.: Гос. издательство физ.-мат, литературы, 1959. - 211 с.

21. Коровкин П.П. Сходимость последовательности линейных операторов //УМЫ. - 1962. - Т. 17, № 4 (106). - 147 - 152.

22. Крылов В. И. Приближенное вычисление интегралов. - М.: Наука, 1967. - 500 с.

23. Мацкевич СБ. О некоторых свойствах оператора Баскакова класса S2m //Математический анализ и его приложение. Выпуск 4. - Чита: ЗабГПУ, 2000.-С. 76-79.

24. Садовничий В.А. Теория операторов: Учеб. для вузов. - 4-е изд., испр. и доп. - М.: Дрофа, 2001. - 3 84 с.

25. Теляковский А. О работах по теории приближений, выполненных в МИАНе //Труды Матем. Ин-та АН СССР. Т. 182, 1988. 128 - 180.

26. Харди Г.Х., Рогозинский В.В. Ряды Фурье. - М.: Физматгиз, 1959. - 156 с.

27. Дубровина Т.В. Оценка некоторых характеристик операторов Баскакова //Вестник ЧитГТУ. - Вып. 17. - Чита: Издательство ЧитГТУ, 2001.-С. 58 -61 .

28. Дубровина Т.В. Аппроксимация функций класса W Н операторами Баскакова //Математический анализ и его приложение: Сб. статей. Выпуск 5. - Чита: Издательство ЗабШУ, 2002. - 36 - 38.

29. Дубровина Т.В. Некоторые свойства тригонометрических операторов Баскакова //Вестник ЧитГТУ. - Вып. 28. - Чита: Издательство ЧитГТУ, 2001.-С. 154-157.

30. Дубровина Т.В. Оценка приближения операторами Баскакова функций класса W "^^ Н //Дальневосточная математическая школа-семинар имени академика Е.В. Золотова.- Владивосток: Издательство Дальневосточного университета, 2004. - 9 - 10.

31. Дубровина Т.В. Оценка приближения операторами Баскакова функций Т I 1 1 класса W Н //Электронный журнал Исследовано в России, 171, стр. 1836 - 1844, 2004. - http://zhumal.ape.relam.ru/articles/2004/l71 .pdf.

32. Дубровина Т.В. О некоторых аппроксимационных оценках /ЛУ межрегиональная научно-практическая конференция «Кулагинские чтения» (материалы конференции). - Чита: ЧитГУ, 2004. ч. П. - 15-17.