Аппроксимативные свойства некоторых операторов класса Sm и их двумерных аналогов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

ШУ

Шестакова Ольга Николаевна

АППРОКСИМАТИВНЫЕ СВОЙСТВА НЕКОТОРЫХ ОПЕРАТОРОВ КЛАССА £

т

И ИХ ДВУМЕРНЫХ АНАЛОГОВ

01.01.01 - математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Владивосток - 2004

Работа выполнена в Читинском государственном университете

Научный руководитель

кандидат физико-математических наук, доцент Абакумов Юрий Георгиевич

Официальные оппоненты

доктор физико-математических наук, профессор

Катрахов Валерий Вячеславович кандидат физико-математических наук, доцент Тихомиров Николай Борисович

Ведущая организация

Институт автоматики и процессов управления ДВО РАН, г. Владивосток

Защита состоится 26 февраля 2004 г. в 1230 на заседании диссертационного совета КМ 212.056.03 при Институте прикладной математики ДВО РАН по адресу: г. Владивосток, ул. Октябрьская 27, ауд. 343.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Дальневосточного государственного университета.

Автореферат разослан

Я

2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Н. Н. Фролов

Общая характеристика работы

Актуальность проблемы (работы). Теория приближения функций является классической проблемой математического анализа еще с XVIII-XIX вв., она решалась в различных направлениях в трудах Тейлора, Фурье, Вейерштрасса, П. Л. Чебышева, А. А. Маркова и др. В XX в. ей посвятили свои работы М. В. Келдыш, М. А. Лаврентьев, С. Н. Бернштейн, А. Н. Колмогоров, С. М. Никольский, Дж. Джексон, Дж. Л. Уолш и др.

Диссертационная работа относится к теории приближения, одной из задач которой является получение оценок вида

где fix) - приближаемая функция, L„ - приближающая последовательность линейных операторов. В 60-70 гг. П. ft. Коровкиным, а впоследствии Ю. Г. Абакумовым и их учениками были проведены исследования операторов класса

Цель работы - развитие и модификация методов исследования аппроксимативных свойств приближающих последовательностей линейных операторов, которые ранее успешно применялись к случаю положительных операторов по схеме П. П. Коровкина с применением метода интерполяции и распространения его на двумерный случай.

Научная новизна и практическая значимость работы. В работе впервые опытом применен метод интерполяции к исследованию аппроксимативных свойств линейных операторов, относящихся к классам S2 и 54. Получены также некоторые новые результаты, относящиеся к более общим классам Существенно новым является рассмотрение двумерных

не проводились.

Все основные результаты диссертации являются новыми и относятся к следующим направлениям: 1) исследование аппроксимативных свойств операторов класса <!>2и» 2) исследование аппроксимативных войств двумерных аналогов операторов класса ¿>2, 3) исследование аппроксимативных свойств двумерных операторов, ядра которых образованы положительным ядром и ядром, меняющим знак т раз, 4) применение общих оценок к тригонометрическим операторам В. А. Баскакова.

Главный итог полученных результатов:

Операторы классов ¿2 и $4 при естественных о них предположениях дают на классах Нх и РТ'Я1 порядок приближения не хуже, чем положительные операторы. Имеющиеся примеры показывают, что на классах более гладких функций операторы этих классов могут давать порядок приближения лучший, чем положительные операторы.

Некоторые из результатов диссертации уже использованы в работах других авторов в дальнейшем изучении теории аппроксимативных свойств операторов.

Методы исследования. В диссертации применяются современные методы функционального анализа, теория аппроксимации, а также упомянутый ранее метод интерполяции, который базируется на единой схеме вывода оценок, кратко описываемой следующим образом:

по исследуемой функции строится вспомогательная; выводятся оценки относительно этой функции и полиномов (или других конструкций), аппроксимативные свойства которых считаются известными;

- неравенства относительно функций преобразуются в неравенства относительно операторов.

Апробоация работы. Результаты диссертации докладывались:

1) на научных семинарах:

- кафедры математического анализа Забайкальского государственного педагогического университета под руководством проф. С. Е. Холодовского (г. Чита, 1999-2001 гг.);

- кафедры высшей математики Хабаровского государственного технического университета под руководством проф. А. Г. Зарубина (г. Хабаровск, 2001 г.);

- Института прикладной математики Дальневосточного отделения Российской Академии наук под руководством чл.-корр. РАН, проф. Н. В. Кузнецова (г. Хабаровск, 2000-2002 гг.);

2) на ежегодных научных конференциях Читинского государственного технического университета (Чита, 1994-2000 гг.);

3) систематически на семинаре кафедры прикладной математики ЧитГТУ по руководством доц. Н. В. Розовой;

4) на международной конференции по теории приближений (Калуга, 1996 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-15], из совместных работ в диссертацию включены результаты, принадлежащие автору.

Объем и структура работы. Диссертация изложена на 95 страницах компьютерного текста и состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы, включающего 52 наименования.

Содержание диссертации

Во введении указаны актуальность темы исследования, цель, методы исследования, апробация и новизна полученных результатов, а также

сформулированы основные результаты, полученные в диссертации.

Первая глава содержит семь параграфов, в которых исследуются аппроксимативные свойства операторов класса Sm.

В § 1 первой главы приведены вводные замечания и доказана используемая в дальнейшем базовая лемма. В § 2 рассматриваются операторы класса S\. Основным результатом данного параграфа является

Теорема 1.1. Пусть дана последовательность действительных чисел ^¿О. Пусть, далее, Ln\C[a, >С[а, b\ последовательность линейных операторов, таких что

Тогда, для имеет место оценка.

\К (/(о, *) - /«II * M(2\h„\+м||).

В § 3 рассматривается приближение классов Я1 = При 1 и WXHX операторами класса S2 (непериодический случай). В параграфе приводится усиление

i

результатов в следующих направлениях: условие точного равенства заменяется соответствующим условием сходимости по норме С[а,Ь]; уточняются константы (показано, что константы 3 и 2,5 можно заменить двойкой). Основные результаты данного параграфа состоят в следующем.

Здесь и в дальнейшем через h„ обозначена монотонная, невозрас-тающая, сходящаяся к нулю последовательность и всегда предполагается выполненным условие нормировки

1 Фортуна Е. П. О порядке приближения некоторьми операторами класса Si функций из множеств и W^H* II Мат. анализ и его приложения. Вып. 3. - Чита: За-бГПУ, 1998. С. 93-102.

Теорема 1.2. Пусть Ln'.C[a,b]-*C[a, 6] - операторы класса S2 со знаковой функцией, определенной равенством zx(f) = h^—{f—х)2. Тогда при нормирующем условии L„(l,;c)=l для ßf)^.LipM 1 справедлива оценка вида

ß„=\ln{{t-x)\x)\.

Теорема 1.3. Пусть Ln - операторы, удовлетворяющие условиям теоремы . Тогда

|А,(/(0,*)-/(*)|2 M{2hl+Д,Н!/К,

<Xn,ßn имеют тот же смысл, что и в теореме 1.2.

В § 4 даны оценки приближения операторами L„:C[a, £]—>С[а,Ь] класса S4, удовлетворяющими для каждого х е [а, 6] условию

sign(f(t)) = sign(((t -х)2- h2n )((/ -х)2- Ahl)) Ln (/(0, x~) > 0.

Если Ahn<b-a, то1ле^.

Теорема 1.4. Пусть операторы Ln удовлетворяют приведенным условиям и , тогда для

где

Теорема 1.5. Пусть L„ такие же, как и в теореме 1.4. Тогда выполняется

||W(0,*)-/M|| * м[1/,л-Ч4)

+!l/'IKl).

где /(О e , a a^ определены в теореме 1.4.

В § 5 рассматриваются классы S2m-

Теорема 1.6. Пусть L- линейные операторы, удовлетворяющие условию где нули определены равенствами

Тогда для /(0 s LipM 1

\\Ln(f(t),x)-f(x)\\ < ,

где q/ — абсолютные константы, а^ = ||z,„ ((i -х)', x)|| (а^ = 1).

В § 6 рассматривается аналогичные вопросы в периодическом случае, где операторы £л:С2;г-» Сг» (С2ж - множество непрерывных 2;г- периодических функций) удовлетворяют условию

sign0r(/))=sign(cos(r-jc) - cos(hn))=>Ln(f(t),x)>0. О) Теорема 1.7. Пусть Ln удовлетворяют приведенным условиям. Тогда

IILn (/(f),*)- Дх)|| < Ш„(3 + Я(п) + (smhn)"' •||l„(sin(i-x),A:)| +

Для операторов вида

где четное непрерывное ядро, такое, что при и

при

Теорема 1.8. Пусть ¿„¡Сг*-» С2;г - линейны1е операторы вида ( 2 ) , где - удовлетворяет приведенным выше условиям. Тогда для выполняется неравенство

Теорема 1.9. Пусть Ь„ - операторы вида (2). Тогда

для

имеет место оценка вида

В § 7 рассматриваются введенные В. А. Баскаковым тригонометрические операторы класса

Видно, что ядро оператора имеет два простых нуля в точках

Теорема 1.10. Пусть М„: С^-* Сг* - операторы, гласно(З). Тогда для/(/)е!,фл/1

\Мп{т,х)-Пх)\ <, Шт4 + 0(и"3),

а для

определенные

со-

IK (ДО, X) - /(*) I < M(1 + 0,25л2 )4;rV2 + 0(П-4). Теорема 1.11. = 0(n3),= 0(и3).

Здесь оценки из теорем 1.2,1.3 выглядят следующим образом.

Теорема 1.12. Для операторов М„, определенных равенством (3), справедливы оценки:

1) \\Мп(т,х)-Пх)\\^4Шп-1+0(п-2),если f(t)eLipM 1;

2) \\М„(/(0,х) -/(х)| < 8*2МГ2 + 0(/Г3), если

Вторая глава содержит также семь параграфов, в которых исследую т с я аппроксимативные свойства двумерных аналогов некоторых операторов класса Sm. В ней рассматриваются аппроксимирующие последовательности операторов L: С[а,Ь^~>C[a,Z>]2 вида

или вида

L(f(t,u),x,y)= ) F(t)dt)f(t-x,u-y)0(u)du. (5)

-л -л

В §§ 1,2,3,4 рассматриваются двумерные аналоги операторов класса «S"i. в случае положительности одного из ядер.

Теорема 2.1. Пусть L„:Cfa,fe]2->Qa,i)]2 - операторы вида (4), ядра которых F„({,x) и Ф„(и,у) удовлетворяют следующим условиям: 1)У(и,у)е[а,Ь]2 Фп(и,у)> 0,

имеет простой корень в точке если

х-h„>а.

Кроме того,

Тогда, для /(¿,м)еЫрм! выполняется

К(П(,и),х,у)-Дх,у) || < М^ ||£п(/ - х,х,у)\\+2Й„ +| ^„((и-у)2 ^

Теорема 2.2. Пусть £„:С[а,6]2—>С[а,Ь]2 —последовательность операторов вида (4), ядра которых /•'„(¿..х) и Фп(и,у) удовлетворяют приведенным выше условиям и, кроме того,

Тогда, если существуют //(t,u)VL/¿(t,u)e LipMl, '

где

В § 3 и в следующем рассматриваются последовательности операторов вида

При этом для любого хе[а,Ь] Фя(и,у)>0 и существуют точких\, xi,---, хт такие, что sign F„(t,x)= sign ff(i,xb...,xm)-sign W(x,xu...,xm) почти всюду на [а,Ъ\ (исключение могут составлятв лишв двойнвю нули Fn(t,x)). Здесь W(t,x\,...,xm)= (t-Xi)-...-(t-Xm). Изложены общие соображения относительно схемы получения оценок приближения функций указанными операторами. В § 4 рассматриваются двумерные аналоги операторов классов

Вначале рассматриваются операторы вида (6), при условии Ф„(и,у)>0, F„(x,x)>0, F„(t,x) при каждом х меняет знак два раза: при

х-к„ипри t=x + h„, где как обычно hn4- 0.

Теорема 2.3. Пусть L„ - последовательность линейных операторов да (6), удовлетворяющих приведенным условиям, и

огда для f{t,u)eLipM\

I Ln{f{t,u\x,y) - f{x,у) 15 M(2h„ + \\Ln(i-x,x,y)\\ + A„-'|ln((i - х)\х,уЦ +

Теорема 2.4. Пусть L„ — последовательность линейных операторов, овлетворяющих условиям теоремы 2.3. Тогда для f{t,u) такой, что / и /и' существуют и принадлежат классу Lipu^

+^ ее« - , >+||у;1| ■ - ^с, :и)||+||y~j || - j|z.„ (ы - >-)У.

Затем рассматриваются операторы вида (6), такие, что при каждом х

ро F„(t,x) имеет тот же знак, что и ((/ - х)2 - — х)2 - 4А2),

оме точек, где Fs(í)x)(как функция аргумента t) имеет двойные нули. дро Фп{и,у) по-прежнему, предполагается неотрицательным.

Теорема 2.5. Пусть L„ — последовательность линейных операторов да (2.12), выполняется условие (7), ядра Ф„(и,у) неотрицательны, при каждом меняют знак в точках (и только

них). Тогда для

Теорема 2.6. Пусть L„ — последовательность линейных операторов вида (2.12), удовлетворяющих условиям теоремы 2.5. Тогда для дифференцируемой функции fit, и) такой, что ft'(t,u) е LipMl, f^(t,u)sLipMl

справедлива оценка

В § 5 рассматриваются двумерные аналоги операторов класса S2 в случае, когда оба ядра меняют знак, а именно последовательности аппроксимирующих операторов вида (6), при этом Р„((,х) меняет знак при меняет знак при

Теорема 2.7. Для операторов вида (6) с ядрами, меняющими знак соответственно при / = л: ± Ип, и = у ± Ип и для функции f{t, и), имеющей /,' и /ц такие, что

// £ Ырм 1 по Г, /„' е Ырм1 по и,

и имеющей ограниченную (по норме С) смешанную производную , при условии Ьп(\,Х,у) = 1, выполняется неравенство:

В § 6 рассматриваются двумерные аналоги операторов класса Si в периодическом случае:

я я

Ln{f(t, и), X, у) = JFn(t)dt jf(t + Х,и + у)ФпШи. (8)

-я -я

Ядра Fn(t) и Ф„(и) определены на [-л; я-], четны, меняют знак в точках t = ±hn, и = ±hn, и только в них, F„(0) > О, Ф„(0) > 0.

Операторы L„ действуют в С2я. in • Для них доказана следующая основная в рассматриваемом случае

Теорема 2.8. Пусть L„ : Сг^—> Сад я операторы вида (8), при этом

ядра F„(i), меняют знак на отрезке [-Я, я] лишь в точках ±hn и

выполняется условие (7). Тогда, если f(t,u) е С^я-2ж дифференцируема и

и существует ограниченная смешанная производная то

В § 7 рассматривается двумерный вариант тригонометрических операторов Баскакова, которые имеют вид

Применение оценок теорем 2.7 и 2.8 продемонстрировано на двумерном аналоге тригонометрических операторов класса которые удовлетворяют

условиям этих теорем. Для этих операторов Ип =-. Кроме того,

Теорема 2.9. Для дифференцируемой функции fit, и) е С\п 2я. такой, что и для которой существует ограниченная f'u, верна следующая оценка:

| Кп(/(/,и),*,у) - Ах,у) I < {Щ^и\+2Ш)ж2пг + 0{п2).

Теорема 2.10. Для f(t, и), удовлетворяющей условию теоремы 2.9, верна оценка

4+-

М

-4\

Список работ, опубликованных по теме диссертации

1. Шестакова О. Н. Об аппроксимативных возможностях некоторых операторов класса S\ // Мат. анализ и его приложения. Вып. 2. - Чита: Чит-ГПИ, 1996.-С. 50 -52.

2. Фортуна Е. П., Шестакова О. Н. О некоторых операторах класса Si и об их двумерных аналогах // Международная конференция по теории приближений. Тезисы докладов. - Калуга, 1996. С. 219-220.

3. Шестакова О. Н. О некоторых теоремах тестового типа//Вестник ЧитГТУ. Вып. 6. - Чита: ЧитГТУ, 1997. - С. 31-32.

4. Шестакова О. Н. О двумерных аналогах операторов классов // Мат. анализ и его приложения, вып. 3. - Чита: ЗабГПУ, 1998. - С. 107113.

5. Абакумов Ю. Г., Шестакова О. Н. Операторы, определенные на функциях двух переменных, аналогичные операторам класса S| // Вестник ЧитГТУ. Вып. 9. - Чита: ЧитГТУ, 1998:С. 170-174.

6. Шестакова О. Н. Приближение операторами класса и их двумерными аналогами функций, удовлетворяющих некоторым условиям гладкости// Дифференциальные уравнения и аналитическая теория.- Чита: ЧтиГТУ, 1999. С. 44-53.

7. Шестакова О. Н. Приближение функций класса Lip 1 операторами класса St// Вестник ЧитГТУ. Вып. 13.- Чита: ЧитГТУ, 1999. С. 109-112.

8. Шестакова О. Н. О некоторых операторах класса заданных на множестве периодических функций // Вестник ЧитГТУ. Вып. 15.- Чита: ЧитГТУ,2000.С.66-71.

9. Абакумов Ю. Г., Забелина Н. А., Шестакова О. Н. О последовательностях линейных функционалов и некоторых операторах класса // Сиб. мат. журнал. 41. № 2. 2000. С. 247-252.

Ю.Шестакова О. Н. Некоторые замечания о тригонометрических операторах Баскакова // Мат. анализ и его приложения. Вып. 4. - Чита: ЗабГПУ,2000.-С.98-100.

11.Шестакова О. Н. Приближение функций класса операторами класса // Мат. анализ и его приложения. Вып. 4. - Чита: ЗабГПУ, 2000. -С. 101-103.

12.Шестакова О. Н. Об оценке аппроксимативных возможностей двумерных операторов Баскакова// Вестник ЧитГТУ. Вып. 2 1 - Чита: ЧитГТУ, 2002.-С. 163-165.

13.Шестакова О. Н. Двумерные аналоги операторов класса Si. Случай, когда оба ядра меняют знак// Вестник ЧитГТУ. Вып. 22.- Чита: ЧитГТУ, 2002.-С. 153-160.

14.Шестакова О. Н. Приближение функций класса Lip 1 операторами класса Мат. анализ и его приложения. Вып. 5. - Чита: ЗабГПУ, 2002. -С. 82-86.

Подписано к печати 23.01.04 Форм. бум. 60x84 1/16 Печать офсетная Уч.-изд. л. 1,1 Тираж 100 экз.

Бум. тип. № 2 Гарнитура литературная Усл. печ. л. 1,0 Заказ № 11

Читинский государственный университет 672039, Чита, ул. Александовско-Заводская, 30

РИК ЧитГУ

9 - 264*

Введение.

Глава 1. Аппроксимативные свойства некоторых операторов класса S„,.

§1.1. Вводные замечания.

§ 1.2. Операторы класса S\.

§ 1.3. Приближение классов// и операторами класса Si. Непериодический случай.

§ 1.4. Класс S4.

§ 1.5. Классы S2m. Оценка скорости приближения по порядку.

§ 1.6. Приближение функций классов Я1 и WXHX операторами класса S2 в периодическом случае. ф

§ 1.7. Тригонометрические операторы Баскакова.

Глава 2. Двумерные аналоги некоторых операторов класса Sm.

§ 2.1. Общие замечания.

§ 2.2. Двумерные аналоги операторов класса Si.

§ 2.3. Случай положительности одного из ядер. Общие соображения. ^

§ 2.4. Двумерные аналоги операторов классов S2 и S4.

Случай положительности одного из ядер.

§ 2.5. Двумерные аналоги операторов класса S2. Случай, когда оба ядра меняют знак.

§ 2.6. Двумерные аналоги операторов класса S2 в периодическом случае. g

§ 2.7. Двумерный вариант операторов Баскакова.

Актуальность проблемы (работы). Теория приближения функций является классической проблемой математического анализа еще с XVIII-XIX вв., она решалась в различных направлениях в трудах Тейлора, Фурье, Вейерштрасса, П. J1. Чебышева, А. А. Маркова и др. В XX в. ей посвятили свои работы М. В. Келдыш, М. А. Лаврентьев, С. М. Бернштейн, А. Н. Колмогоров, С. М. Никольский, Дж. Джексон, Дж. Л. Уолш и др.

Диссертационная работа относится к теории приближения, одной из задач которой является получение оценок вида

Ln(JV),x)-f(x)\\<an(f) -> О, где /(.v) - приближаемая функция, L,, - приближающая последовательность линейных операторов. В 60-70 гг. П. П. Коровкиным, а впоследствии IO. Г. Абакумовым и их учениками были проведены исследования операторов L„ класса S,„.

Цель работы - развитие и модификация методов исследования аппроксимативных свойств приближающих последовательностей линейных операторов, которые ранее успешно применялись к случаю положительных операторов по схеме П. П. Коровкииа с применением метода интерполяции и распространения его на двумерный случай.

Научная новизна и практическая значимость работы. В работе впервые опытом применен метод интерполяции к исследованию аппроксимативных свойств линейных операторов, относящихся к классам Sj и 64. Получены также некоторые новые результаты, относящиеся к более общим классам S2m. Существенно новым является рассмотрение двумерных аналогов операторов класса т. к. подобные исследования ни кем ранее не проводились.

Все основные результаты диссертации являются новыми и относятся к следующим направлениям: 1) исследование аппроксимативных свойств операторов класса Si,,,, 2) исследование аппроксимативных свойств двумерных аналогов операторов класса 6'2, 3) исследование аппроксимативных свойств двумерных операторов, ядра которых образованы положительным ядром и ядром, меняющим знак т раз, 4) применение общих оценок к тригонометрическим операторам В.А. Ваекакова.

Главный итог полученных результатов:

Операторы классов S2 и S* при естественных о них предположениях дают на классах и И7'// порядок приближения не хуже, чем положительные операторы. Имеющиеся примеры показывают, что на классах более гладких функций операторы этих классов могут давать порядок приближения лучший, чем положительные операторы.

Некоторые из результатов диссертации уже использованы в работах других авторов в дальнейшем изучении теории аппроксимативных свойств операторов.

Методы исследования. В диссертации применяются современные методы функционального анализа, теория аппроксимации, а также упомянутый ранее метод интерполяции, который базируется на единой схеме вывода оценок, кратко описываемой следующим образом:

- по исследуемой функции строится вспомогательная;

- выводятся оценки относительно этой функции и полиномов (или других конструкций), аппроксимативные свойства которых считаются известными;

- неравенства относительно функций преобразуются в неравенства относительно операторов.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались: I) на научных семинарах:

- кафедры математического анализа Забайкальского государственного педагогического университета под руководством проф. С. Е. Холодове ко го (г. Чита, 1999-2001 гг.);

- кафедры высшей математики Хабаровского государственного технического университета под руководством проф. А. Г. Зарубина (г. Хабаровск, 2001 г.);

- Института прикладной математики Дальневосточного отделения Российской Академии наук под руководством чл.-корр. РАН, проф. 1-1. В. Кузнецова (г. Хабаровск, 2000-2002 гг.);

2) на ежегодных научных конференциях Читинского государственного технического университета (Чита, 1994-2000 гг.);

3) систематически на семинаре кафедры прикладной математики ЧитРГУ по руководством доп. I I. В. Розовой;

4) на международной конференции по теории приближений (Калуга, 1996 г.).

Публикации. Основные результаты опубликованы в работах [10, 39-52], из совместных работ в диссертацию включены результаты, принадлежащие автору.

Объем и структура работы. Диссертация изложена на 84 страницах компьютерного текста и состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы, включающего 52 наименования.

в предлагаемой диссертации проведено исследование аппроксиматив ных возможностей некоторых классов линейных операторов. В первой главе рассматривались операторы класса S„„ удовлетворяющие определенным ус ловиям, но второй главе - их двумерные аналоги.Вывод оценок производился \\о единой схеме, которую условно можно назвать методом интерполяции. Подобного рода схемы являются развитием схемы, использованной еще П. П. Коровкиным.В статье [46] две схемы такого типа описаны в терминах линейных гюрмированных пространств. Их конкретизация дает два метода получения оце1юк, которые условно можно назвать -методами "интерполяции" и "раз рывной мажоранты". В диссертации использовался только первый из этих методов. (Заметим, "метод разрывной мажоранты" использовался

10. Г Абакумовым [3], Н. А. Забелиной [21]).Название "метод интерполяции" возникло в связи с тем, что вспомога тельная функция имеет вид: <7^ (*) = ./•(•)-1,4*), где.!,'(/) в одномерном случае интерполяционный полином Лагранжа для/(/).Перенести эту методику на двумернь!й случай удается ценой внесения огра ничений на вид операторов.К преимуществам "метода интерполяции" относится то, что в получае мых оценках не используется норма операторов. Однако применение его свя зано с техническими трудностями, которые возрастают с увеличением раз мерности и индекса /;/ класса S,„. Метод "разрывной мажоранты" более уни версален, но использует нормы операторов и дает более грубые оцешси.

1. Абакумов 10. Г. Аналог теоремы П. П. Коровкина для одного класса линейных операторов // Применение функционального анализа в теории приближений. - Кали1шн: КГУ, 1975, вып. 6. 3-4.

2. Абакумов 10. Г. О возможностях одного подхода к исследованию аппроксимативных свойств линейных операторов // Мат. анализ и его приложения. Вып. 3. - Чита: ЗабГПУ, 1998. 5-10.

3. Абакумов Ю. Г. Об операторах класса 52,„(//„) // Мат. анализ и его приложения. Вып. 4. - Чита: ЗабГПУ, 2000. 3-7.

4. Абакумов 10. Г., Банин В. Г. Модификации теорем Климова, Красносельского и Лифтииа и исследование аппроксимативных свойств линейных операторов.Часть 3. - Чита, 1991. - 17 с , Деп. в ВИНИТИ, №3348-В91.

5. Абакумов 10. Г., Банин В. Г. Об одном подходе к исследованию аппроксимативных свойств линейных операторов // Изв. ВУЗов. Математика., 1991, № 11. 3-6.

6. Абакумов 10. Г., Банин В. Г. Аппроксимативные свойства некоторых классов линейных операторов. - Чита: СО РАН, ЧГПИ, 1993. - 62 с.

7. Абакумов 10. Г., Банин В. Г. Линейные функционалы и условия ашфоксимаиии. Учеби. пособие.- Чита: ЧГПИ, 1993.-42 с.

8. Абакумов 10. Г., Банин В. Г., Морбоев Б. Р. Об одной последовательности операторов В.Л. Баскакова, принадлежащих классу Sj. - Чита, 1988. - 5 с. Деп. в ВИНИТИ 18.02.88, N 1316.

9. Баскаков В. А. Об одном методе построения операторов класса Si,,,. // Теория функций и приближений. Интерполирование по Лагранжу.-Саратов, 1984.-С. 19-25.

10. Васильев Р. К. Порядок приближения функций на множестве положительной меры полиномиальными операторами класса S,,,. // Тезись! и программа международной конференции по теории приближения функций. Калуга, 24-28.07. 1975. - 23-24.

11. BacHJH,eB Р. К. Порядок приближения функций на множествах полиномиальными операторами класса 8,„. // Матем. заметки.-1976.-'r.20.N3.-S.409-416.

12. Виденский B.C. Линейные положительные операторы конечного ранга. Л.:ЛГПИ, 1985.-68 с.

13. Волков А. В. Об одном операторе типа Фейера-Коровкина // Применение функ. анализа в теор. прибл. - Тверь: ТвГУ. 26-30.

14. Гельфонд А. О. Исчисление конечных разностей. - М.: Наука, 1967. - 376 с.

15. Дуди1! В. И. О наилучшем приближении функций класса Н' операторами класса ЛУ/ Теор.механ. Строит.механ, Высшая матем. Московск. автомобильно-дорож1н,н"1 ин-т. - М.: 1969. - 191-194.

16. Забелина 11. Л. Приближение периодических функций класса Lip 1 операторами класса Л':,,,// Мат. анализ и его приложения, вып. 3. - Чита: ЗабГПУ, 1998.-С. 53-54.

17. Коваленко Л. И. О некоторых методах суммирования рядов Фурье.// Матем.сб. - 1966. - Т. 71. N 4. - 598 - 616.

18. Корнейчук Н. П. Точные константы в теории приближений. - М.: Маука, 1987. - 424 с.

19. Коровкин П. П. О сходимости линейных положительных операторов в пространстве непрерывных (|)ункций //Докл. ЛИ СССР. 1953. Т. 90. № 6. 961-964. 25.1\оровкин П. П. Линейные операторы и теория приближения. - М.: <|)и-5матпгз, 1959. - 212 с.

20. Коровкин 11. П. Сходящиеся последовательности линейных операторов. // Успехи матем. наук. - 1962. - Т . 17. N 4(106).- 147-152.

21. Butzer Р. L., Stark L. Оп а trigonometric convolution operator with kernel Having two zerosof simple multiplisiti // Asta. Math. Acad. Sci. llungar.1969.20. P. 451 -461.

22. Szabados .1. On convolution operators with kernels of Unite ascillation. - Asta Math. Acad. Sci. Nung., 1976, vol. 27(1-2), p. 179-192.

23. Vassiliev R. K. Certaines metodes de sommation de series de Fourier donnant le meileur ordre d'approximation // Acta Math. Hungar, 63(1), 1994, p. 65-102.

24. Фортуна П., Шестакова О. II. О некоторых операторах класса 8г и об их двумерных аналогах // Международная конференция по теории приближений. Тезисы докладов. - Калуга, 1996. 219 - 220.

25. Шестакова О. II. Об аппроксимативных возможностях некоторых операторов класса 6'| // Мат. анализ и его приложения, вып. 2. - Чита: ЧитГПИ, 1996.-С. 50-52.

26. Шестакова О. И. О некоторых теоремах тестового типа//Вестник ЧитГТУ. Вып. 6. - Чита: ЧитГТУ, 1997. - 3 1-32.

27. Шестакова О. И. О двумерных аналогах операторов классов S\ и Sill Мат. анализ и его приложения, вып. 3. - Чита: ЗабГПУ, 1998. - 107-113. i^

28. IIJccraKOBa О. П. Приближение операторами класса б'т и их двумерными аналогами (зункций, удовлетворяющих некоторым условиям гладкости // Дифференциальные уравнения и аналитическая теория.- Чита: ЧитГТУ, 1999. 4 4 - 5 3 .

29. Шестакова О. М. Приближение функций класса Lip 1 операторами класса Л4 // Вестник ЧитГТУ. Вып. 13.- Чита: ЧитГТУ, 1999. 109-112.

30. Шестакова О. Н. О некоторых операторах класса Si, заданных на множестве периодических функций // Вестник ЧитГТУ. Вып. 15.- Чита: ЧитГТУ, 2000. 66-71.

31. Абакумов Ю. Г., Забелина 11. А., Шестакова О. П. О последовательностях линейных функционалов и некоторых операторах класса Si,,, II Сиб. мат. журнал. 41. № 2. 2000. 247-252.

32. Шестакова 0.11. Некоторые замечания о тригонометрических операторах Баскакова // Мат. анализ и его приложения. Вып. 4. - Чита: ЗабГПУ, 2000. - С . ) ) 8 - 100.

33. Шестакова О. И. Приближение функций класса Ж'//' операторами класса Si II Мат. aiKuni3 и его приложения. Вьт. 4. - Чита: ЗабГПУ, 2000. -С. 101-103.

34. Шестакова О.Н. Об оценке аппроксимативных возможностей двумерных операторов Баскакова// Вестник ЧитГТУ. Вып. 21 . - Чита: ЧитГТУ, 2002. 163-165.

35. Шестакова О. Н. Двумерные аналоги операторов класса S^. Случай, когда оба ядра меняют знак// Вестник ЧитГТУ. Вып. 22.- Чита: ЧитГТУ, 2002, -С. 153-160.

36. Шестакова О. 11. Приближение функций класса Lip 1 операторами класса Si,„. Мат. анализ и его приложения, вып. 5. - Чита: ЗабГПУ, 2002. -С. 82-86.