Абсолютная сходимость и суммирумость рядов Фурье почти-периодических функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

Хасанов Юсуфали

АБСОЛЮТНАЯ СХОДИМОСТЬ И СУММИРУМОСТЬ РЯДОВ ФУРЬЕ ПОЧТИ-ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

01.01.01-Вещественный, комплексный и функциональный анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

- 3 ИЮЛ 2014

Казань-2014

005550312

Работа выполнена на кафедре информатики и информационных систем экономического факультета Российско-Таджикского (славянского) университета.

Научный консультант: Тиман Майор Филиппович

доктор физико-математических наук, профессор, зав. кафедрой высшей математики Днепропетровского государственного аграрного университета

Официальные оппоненты: Дьяченко Михаил Иванович

доктор физико-математических наук, профессор кафедры теории функций и функционального анализа Московского Государственного Университета им. М.В.Ломоносова

Сколина Мария Александровна

доктор физико-математических наук, профессор кафедры высшей математики Санкт-Петербургского государственного университета

Мухамадиев Эргашбой Мирзоевнч

доктор физико-математических наук, профессор кафедры информационных систем и технологий Вологодского госу дарственного университета

Ведущая организация: Московский физико-технический институт

Защита состоится 18 сентября 2014 г. в 14 ч. 30 мин. на заседании Диссертационного совета ДМ 212.081.10 при Казанском (Приволжском) федеральном университете по адресу: 420008, Казань, ул. Кремлевская, 35, корп. 2, ауд. 610

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Казанского (Приволжского) федерального университета.

Автореферат разослан «¿¿» КЗ-У/ 2014 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физ.-мат. наук, доцент

Общая характеристика работы

Одной из актуальных проблем теории почти-периодических функций является исследование признаков абсолютной сходимости рядов Фурье, а в случае их расходимости изучение суммируемости таких рядов, аналоги которых ранее проводились в пространстве периодических функций. Такой подход обусловлен тем, что между теориями почти-периодических функций и периодический функций имеется много аналогий, ибо периодическая функция является подклассом почти-периодических функций. Как и в случае периодических, для почти-периодических функций можно отнести ряд Фурье и почти-период почти-периодических функций определяет показатели Фурье этой функции. Т.е. можно найти целые числа Пдля

которых выполняется - < д, где Л к -показатели Фурье, Г-почти-период, о<5<я-, к = 1,2,...,ТУ, целое положительное

число.

В отличие от периодических функций, в случае почти-периодических функций не удается дать простых ц вместе с тем достаточно общих признаков сходимости рядов Фурье. Поэтому в теории почти-периодических функций еще большее значение при: обретают методы суммирования рядов Фурье, потому что поведение ряда Фурье почти-периодических функций еще зависит от поведения ее показателей Фурье. Например, С.Бохнер показал признаки сходимости таких рядов в случае, когда показатели Фурье стремятся к бесконечности. Б.М.Левитан указал аналогичные признаки, когда показатели Фурье стремятся к нулю.

Все рассмотренные результаты были посвящены только непрерывным почти-периодическим функциям. Распространение теории почти-периодических функций на разрывные (суммируемые) функции оказалось нелегкой задачей.

Безикович1 рассматривал наиболее широкий класс почти-периодических функций. В классе функций Безиковича возможно обобщение теоремы Рисса-Фишера, т.е. существует почти-периодическая функция Безиковича, для которой тригонометрический ряд является ее рядом Фурье. '

Актуальность темы. Особую роль в теории почти-периодических функций играют исследования проблем абсолютной сходимости и суммируемости рядов Фурье таких функций.

Значительный вклад в исследования абсолютной сходимости рядов Фурье периодических функций внесли С.Н.Бернштейн, О.Сас, А.Зигмунд, С.Б.Стечкин, Р.Салем, С.В.Бочкарев, Ж,-П.Кахан, А.А.Конюшков, П.Л.Ульянов, М.Ф.Тиман, Р.М.Тригуб. В случае кратных тригонометрических рядов Фурье известны результаты М.Ф.Тимана, Б.И.Голубова, Ю.Муселиака, О.Д.Габисония, М.И.Дьяченко. В настоящий момент в теории абсолютно сходящихся рядов Фурье периодических функций одной переменной получены глубокие и окончательные результаты, которые изложены в монографии Ж.-П.Кахана2. Что же касается вопросов абсолютной суммируемости таких функций, то имеются работы Л.Лейндлера, К.Тандори, М.Ф.Тимана, Л.В.Грепачевской. В случае кратных рядов Фурье проведены исследования в работах В.Г.Челидзе, М.Ф.Тимана, И.Е.Жака, Ю.А.Пономаренко, М.И.Дьяченко.

Напротив, теория абсолютно сходящихся рядов Фурье почти-периодических функций исследована слабо. Это связано с тем, что показатели Фурье таких функций могут лежать всюду плотно и, следовательно, неясно, в каком порядке следует суммировать члены ряда Фурье. В том случае, когда ряд Фурье сходится абсолютно, вопрос о порядке членов ряда Фурье отпадает.

1 Besicovitch A S. Almost periodic functions! Cambridge, 1932. 180 p.

2 Кахан Ж.-П. Абсолютно сходящиеся ряды Фурье. М.: Мир, 1976. 204 с.

В работах Б.М.Левитана, Е.А.Бредихиной, Н.П.Купцова, Я.Г.Притулы, Ю.Муселиака, А.С.Джафарова и Г.А.Мамедова получены некоторые достаточные условия абсолютной сходимости рядов Фурье почти-периодических в смысле Бора и Безиковича функций.

Многие вопросы, полностью исследованные в периодическом случае: аппроксимативный критерий абсолютной сходимости, достаточные условия, учитывающие рост вариации функции, выпуклость, для почти-периодических функций не решены. Не проводились исследования по проблемам суммирования рядов Фурье почти-периодических функций. Кроме того, аналогичные-вопросы не рассмотрены для кратных рядов Фурье почти-периодических функций многих переменных. ; ■

В связи с вышеизложенным особый интерес вызывает проведение исследований по получению признаков абсолютной сходимости и суммируемости рядов Фурье почти-периодических функций.

Цели диссертационной работы. I. Исследовать критерии абсолютной сходимости и абсолютной чезаровской суммируемости рядов Фурье некоторых классов почти-периодических функций, когда: а) их спектр имеет единственную предельную точку в бесконечности; б) их спектр имеет единственную предельную точку в нуле, как для функций одной переменных, так и для,функций многих переменных.

II. Устанавливать оценки уклонения различных классов почти-периодических функций от некоторых суммой интегралов в равномерной метрике.

Методы исследования. В работе используются общие методы теории функций и функционального анализа, теории рядов Фурье и теории суммирования рядов методом Чезаро.

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты.

1. Доказаны теоремы, устанавливающие различные необходимые (в случае монотонности коэффициентов Фурье) и достаточные условия абсолютной сходимости рядов Фурье некоторых классов почти-периодических функций, когда их спектр имеет единственную предельную точку в бесконечности, или в нуле.

2. Получены критерии абсолютной чезаровской суммируемости рядов Фурье некоторых классов почти-периодических функций, в зависимости от поведения их спектров.

3. Установлены связи между коэффициентами Фурье и степенью суммируемости почти-периодических в смысле Безиковича и Степанова функций.

4. Доказаны теоремы, дающие достаточные условия абсолютной сходимости и суммируемости кратных рядов Фурье почти-периодических в смысле Безиковича функций многих переменных.

5. Установлены аналоги результатов С.Н.Бернштейна и Джексона для равномерных почти-периодических функций с произвольным спектром.

6. Найдены оценки уклонения равномерных почти-периодических функций от некоторых сумм и интегралов в равномерной метрике.

Практическая н теоретическая значимость. Материалы диссертации в значительной степени носят теоретический характер. В ней на основе методов функционального анализа изучены признаки абсолютной сходимости и суммируемости рядов Фурье некоторых классов почти-периодических функций.

Результаты диссертации могут найти применение в фундаментальных исследованиях по теории рядов Фурье и гармонического анализа. Разработанные в работе методы могут быть использованы при чтении специальных курсов для студентов отделении математики РТСУ и математических факультетах других ВУЗов.

Структура н содержание диссертации. Работа состоит из введения, четырех глав и списка цитированной литературы. Объем диссертации составляет 254 страниц. Список литературы состоит из 155 наименований.

Во введении обосновывается актуальность рассматриваемых в диссертационной работе проблем, приводится история вопроса и обзор литературных источников, формулируется цель исследований и кратко излагается основное содержание работы.

Первая глава посвящена изучению критериев абсолютной сходимости рядов Фурье почти-периодических функций Безикови-ча.

В параграфе 1.1 приводятся основные понятия и определения и ранее другими авторами установленные результаты исследования абсолютной сходимости тригонометрических рядов Фурье периодических и почти-периодических функций.

Определение 1. Непрерывная на всей действительной оси функция f (х) называется равномерной почти-периодической

функцией, если для каждого s > О можно указать такое положительное число I = /(с), что в каждом интервале длины I найдется хотя бы одно число Т, для которого

Через В обозначим пространство всех равномерных почти-периодических функций с нормой

При исследовании признаков абсолютной сходимости рядов Фурье таких функций в зависимости от поведения их спектров рассматриваются следующие их структурные характеристики: 1. Модуль непрерывности порядка к функции /(х)е в

|/(лг+Г)-/(ЛГ)|<£ (—<*<оо).

|/(*)L =sup|/(4

' Д'./Ю^Н)*""(;)/(*+*) Ф>0,кему, 2. Модуль усреднения порядка к функции Л*)е в на

Т>Н X

где я>0, ке-Ы,

Х+Т /|+Г /4_ 2 + Т /¿_1 + 7"

/_,(*) = (2ТУке'х \ЛХ ¡Л2... I .Мк)е-"*Лк-

х-Т 1,-Т /4-2-7" 1^,-Т

Для измеримой и интегрируемой в смысле Лебега на любом конечном отрезке функции |/(х)|р (1< р<<»), положим

(А)

Определение 2. Функцию /{х) с конечной нормой (А) будем называть Вр (1 ^ Р < " почти-периодической, или почти-

периодической в смысле Безиковича, если существуют последовательности действительных чисел {Л„} (п = 1,2,...) и ряд вида

/>(*)= £ А„ ехр(/(Я„дг) для прямоугольных сумм Рп{х) , которой выполняется равенства

Нт||/(*)-Ри(лО||в =0.

П—Юо />

Пространство функций /(х), удовлетворяющих всем условиям определения 1, будем называть Вр - пространством, или пространством Безиковича, в котором за норму функции /(г)е В (р > 1) принимается величина (А).

Известно, что всякая функции /(х)е Вр разлагается в ряд Фурье

где

1 т

Ап = -г= \ Ах)ехр(- /(А„ Г21 _т

-коэффициенты Фурье, являющиеся комплексными числами. Последовательности {Лп называют показателями Фурье или спектром функции /(х)е Я п0 переменной X.

В параграфе 1.2 исследуются критерий абсолютной сходимости рядов Фурье почти-периодических функций, когда показатели Фурье имеют предельную точку в бесконечности, т.е. когда ряд Фурье функции /00 е £2 имеет вид:

/(Х)~£Л,/Ч'\ (I)

1 г

ГДе А" = тг ^^ ^Р^Лл»^ 1

то ее показатели Фурье удовлетворяют условиям:

д0 = о; ¿-и = К1 < И/»+1|; Пт =00 ■ (2)

17—>00

Приводятся критерии сходимости рядов вида

хм/..' (3)

и=1

для различных значений /?(0</?<2)и /(0<у<1)-

Теорема 1.20. Пусть спектр л{А(1 функции Дд-)е

г

удовлетворяет условиям (2) и п" = о{Я„} (а > 0). £слк при й<р<х 0йг<1,

а/5

¿«'"Чс/;-)., <«

то ряд (3) сходится.

При г = о, к = 1 эта теорема содержит результат Ю.Муселиака3,

но при р-\, о<« < 1/2 выполнение условие Муселиака влечет за собой то, что функция /(х) почти всюду константа. Поэтому, так как

соки-МВг<2к(ох{Г-,Ь)В2, то при у = о теорема 1.20 дает более сильный критерий сходимости рядов вида (3), чем теорема Ю.Муселиака и удается ликвидировать недостаток.критерия Ю.Муселиака при 0<а<^.

Здесь также рассматриваются аналогичные вопросы для функций, имеющих ограниченные вариации.

Теорема 1.21. Пусть спектр Л{Л„функции /Ме т'т,2

(о < т < 2) удовлетворяет условиям (2) и = °{Л,} (« >°) Если при 0</}<2 справедливо

00 п

где Р = —то ряд ХИп| схо^ится-

п= 1

При у- о, к = Ь этот результат установлен Ю. Муселиаком4. В случае, когда = и условие теоремы Муселиака

2- к 3-к

приводит к тому, что функция /М6 в2 почти всюду константа.

Приводятся необходимые условия для абсолютной сходимости рядов Фурье функции /(.т)е В2 с монотонно убывающими коэффициентами Фурье.

' Миэ^ак 3. Ви11 Асаё. Ро1оп. 5С1 а., 1957, 3, № 5, р. 9-17.

4 Ми5|'е!ак .1. Ви11. Асас1. Ро!оп. 5Ы. п., 1957, 3, №5, р. 9-17.

Теорема 1.22. Пусть функция /(.г)6 в2 11 ее коэффициенты Фурье {Д,} монотонно убывают. Если числа {Я,,}™^ удовлетворяют условиям

Л-„=-Л.,Л.=па («> 0).

то сходшюсть ряда (3) влечет сходимость ряда

£2 г- ю"ки\2 )Вг ^0</з<2, о<у<1,

Обобщая достаточные условия абсолютной сходимости рассматриваемых рядов, исследуется ряды вида:

(4)

£>(и)К|" (0</?<2). где <р{п)- четная, положительная функция, определенная на множестве целых чисел, {а„} " коэффициент Фурье функции Лт»е в2.

Теорема 1.23. Пусть спектр л{Ап функции ЛА')е ^удовлетворяет условиям (2). Если при 0 < Р < 2 выполнены условия

X

v=\

Г , ¿2 v

vV1 j

Х_Р

где \ 2''+i — ^ 2 , то ряд (4) сходится.

В третьем параграфе главы 1 изучаются признаки абсолютной сходимости рядов Фурье почти-периодических функций, когда показатели Фурье имеют предельную точку в нуле, т.е.

Ы<Ы; (5)

Теорема 1.24. Пусть для спектра Л{Ял}^_к функции f(x)e Bj выполняются условия

Л.„=-Л„, Л„ = о{/?" }(а > 0) • 11

Если выполнено

£/»""и;'(/;л)Я1 <<*>,

(6)

где

Г + г

О < ¡3 < 2, р ----, 0 < у < 1, Л > —

а0

а

тогда ряд (3) сходится.

Следующим утверждением рассматривается вопрос, в каком мере условия (6) в теореме 1.24 является необходимым для сходимости рядов вида (3).

Теорема 1.25. Пусть показатели Фурьефункции

/(л*) е удовлетворяют условиям

и последовательность ее коэффициентов Фурье {Ап} монотонно убывают. Тогда из сходимости ряда (3) вытекает сходимость ряда

00 п

X 2 2 ™)В2-

где

0<П <2, 0 < х < 1, к >-

а[)

Теорема 1.26. Пусть показатели Фурье А{Лп функции

/(х)е В2 удовлетворяют условиям (5).

Если при 0 < (3 < 2 выполнено условие

где

Р

то ряд (4) сходится.

Аналог теоремы 1.26 при ^=0, £=2,а = 1 получен

А.С.Джафаровым и Г.А Мамедовым5, но в качестве структурной характеристики свойств функции использована величина, определяющаяся с помощью преобразования Лапласа.

Вторая глава диссертации посвящена изучению признаков абсолютной суммируемости рядов Фурье почти-периодических в смысле Безиковича функций.

В первом параграфе этой главы изучаются основные положения методов суммирования рядов, в частности метод средних

арифметических (Чезаро).

В параграфе 2.2 изучаются вопросы абсолютной чезаровской суммируемости рядов Фурье почти-периодических в смысле Безиковича функций, когда их спектр имеют предельную точку на бесконечности.

Теорема 2.4. Пусть функция /(х)е В2 11 ее спектр Л{Лп}"^ удовлетворяет условиям

А-я=Ч,.Ия1<М> НтК|=«.^=0{Яя} (п>0,3>0У

я-*»

и

Если при 0 1к>__1гР =-

Р5 о

со I

выполнены у' пр~ХО)?(/•,—)п <«>,

Я=1 " 2

то ряд £|С/ суммируем методом IС~А-

При различных значений а > 0 для \С,а\ - суммируемости

ряда

<» (7)

XСп ехр(¡Лпх) «=1

5 Джафаров А.С., Мамедов Г.А. Известия Лн Азерб. ССР, серия физ-тех и мат., 1983, 13.

справедливо следующие утверждения:

Теоремы 2.5 - 2.7. Пусть спектр Л{Лп}"=_и функции /(х) е В2 удовлетворяет условиям

л-п =-^»»К|<К+||.Нт|Я)1| = оо.

1 И—>со 1

Тогда:

I. При -I<а<^ условие

£2 2 (-2—)*ал(/;Л:1)в <«> 1'=0 л2" 1

влечет

влечет

|С,а| - суммируемость ряда (7); II. Условие (Г.г-к ^

Л2 л—) <оо

и=о "V 1 - суммируемость ряда (7);

С,

?

III. При а > — условие

1/2 Л,

1'=0 Л2"

влечет \С,а\ - суммируемость ряда (7).

Аналог результатов, сформулированных в теореме 2.5-2.7, в случае /(*)е ¿2 в тригонометрической системе и по любой ортогональной на отрезке системе функций получен Л.В.Грепачевской6, а случае /(х)е ¿р ц< р<2) и 0<а<1/2,

М.Ф.Тиманом7.

В параграфе 2.3 рассмотрен вопрос о \С,а\ - суммируемости почти всюду ряда Фурье функции /(х)е ^ для значений

6 Грепачевская Л.В. Математический сборник, № 3, 65 (107), 1964, с. 370-389.

7 Тиман М.Ф. Сообщение Ли Груз ССР, №6, 1961, с.641-646.

а (—1 < car < i) в случае, когда ее показатели Фурье /\{ЛП имеют

единственную предельную точку в нуле.

Теорема 2.8. Пусть для спектра Л{Л„}*=(функции Л*)6 В2 выполняются условия

(¿>0).

Если выполнено

«5 , «

ЪпР wk ■</'»)в2 <со'

где о<<2, 0<у<1, к>—Я = — 00 р

то ряд

X! с

/jj суммируем методом |С,—•

Следующие результаты параграфа 2.3 устанавливают некоторые критерии \С,а\ - суммируемости ряда

ХС,г ехр(/Л„х)

/7=1

для различных значений or > 0.

Теоремы 2.9-211. Пусть спектр А{Лп функции f(x)e В2

Л_„=-Лп, |Ял+,|<|л„|, Ит|Я„| = 0.

* ill /Т—>сГ>

Тогда: ^

I. £слм при <2 выполнены условия

<*> к(--а) ,

S2 2 <«='

|' = 0

то ряд (8) \СМ - суммируем почти всюду;

(8)

• II. При a = условие

2

-1,

<со

влечет

4

2V

v=Q i

■ суммируемость ряда (8) почти всюду;

III. При а > ^ условие

оо / \-1/2

Wk{f-,rbB2 <00 i-=0 2

влечет |С,«| - суммируемость ряда (8) почти всюду.

В параграфе 2.4 рассматривается вопрос о связи между степенью суммируемости функции и коэффициентами Фурье в пространствах Безиковича и Степанова, т.е. приводятся результаты, которые обобщают теорему Пэли для почти-периодических в смысле Безиковича и Степанова функций при р > 2 по произвольной тригонометрической системе.

Теорема 2.15. Пусть задан тригонометрический ряд

¿Л„ехр(ад, (9)

и=|

где А{Я„ }.- произвольное счетное множество действительных чисел. Если при некотором р >1

= (10)

п=1

то в пространстве Вр найдется функция f (х), для которой ряд (9) будет ее рядом Фурье, т. е.

1 7

АП = \f{x)cxv{-M„x)dx

-7'

Теорема 2.16. Пусть задан ряд (9), где л{Д„} - последовательность чисел, удовлетворяющая при некотором а > О для всех

п

Лп+\- Лп>а-

Если при некотором р > 2 выполнено условие (10), то в пространстве Яр найдется функция /(.г), для которой {Ак \ будут ее

коэффициентами Фурье и

где

' < Х+1 }р

X г

<00.

Глава 3 работы посвящена исследованию признаков абсолютной сходимости и суммируемости кратных рядов Фурье почти-периодических в смысле Безиковича функций многих переменных.

В параграфе 3.1 дается краткий исторический обзор результатов исследований В.Г.Челидзе, Ю.Муселиака, И.Е.Жака, М.Ф.Тимана. Приводятся найденные признаки абсолютной сходимости кратных рядов Фурье почти-периодических в смысле Безиковича функций многих переменных.

Определение 3. Функцию /(х, ,х2,..;Хк) будем называть

в(к) _ почти-периодической, или почти-периодической в смысле Безиковича (р>\), если:

1. \/(х{,х2,...,хк)\1' измерима и интегрируема в смысле Лебега на

к

любом к-мерном кубе пространства Я ;

f_ J T T

3. Существуют последовательности действительных чисел f (п: G Z) и вида

1 n i >J=l 7

СО 00 / \

/>(*„...,*,) = X •■• I Ап.....^ехр(/(Я^+.-. + ^Ч))

/?1 =— аз пь =-оо

для последовательности прямоугольных сумм п (Х| ,...,хк ), которой выполняется равенства

lim ||/(х,)-/> ..........= 0 (j = \,...к).

п j —у со" 1 * I Вр '

Пространство функций f(x\,Л^,...,Xfr ), удовлетворяющих всем условиям определения 3, будем называть /}(*) - пространством,

или к - мерным пространством Безиковича, в котором за норму функции /(х,„..,хА)е В(рк) (р>1), к = 1,2,...) принимается величина

\\f(Xl,...,xk)\\B(k) = {м{|/(х,...,х*)|р}}* <00.

Пусть функция /(х( ,...,хк )е В^ имеет ряд Фурье вида

(к) "к

«1 пк

где

д(У-0 < яМ

-") "j "j-1

; lim Л оо(у = \,1с\> О О

п, ->00 ") 4 '

т.е. показатели Фурье имеют единственную предельную точку на бесконечности.

Для таких функцийв качестве характе-

ристик их свойств рассмотрим величины

р Ы</1 1

где

т=О

Устанавливаются утверждения, показывающие каким!! свойствами должна обладать функция по каждой из переменных в отдельности для абсолютной сходимости её кратного ряда Фурье в случае, когда показатели Фурье

Л,^}00 1,Л2{Я(2)}С0 Л*и 11 «2 -'«2 = 1 пк пк= 1

удовлетворяет условиям (11).

Теорема 3.11. Пусть функция (1< Р^ 2) и её

спектр Л. {Л ^ удовлетворяет условиям (11). Если при

Я j J *

0<в<_р_ г>к(1 />~0 и каждом /' = 1,2,..., к выполнены условия

Р-1- у Р )

12 ^ Р

\=1

¿V) 2" ¡(Л

2У

гал

А

V 2

(У)

/но ряд

со со

< 00.

«I =0 пк=0

Далее в параграфе 3.1 устанавливаются признаки абсолютной сходимости кратных рядов Фурье функции /[х1,...^ск)е1^р) (1<р<2),

когда показатели Фурье Ау {Л^}к.=1 функции /(„Х|,..., х^) имеют

единственную предельную точку на нуле, т.е. удовлетворяют условиям

Пусть функция /(х,,...,хА)еВ{рк) имеет спектры Л.j{Л^} (/'=1,2,...,к), к которым не принадлежат их предельные точки, т.е.

,...,*,)}* о и = 1,2,...Д). (13)

Для функции/{хх,...,хк)е когда её спектр удовлетворяет условиям (12) введём в рассмотрение модуль усреднения порядка (ге Ы) данной функции на (~оо,оо) .

Ор

' --^ тг

'

где

/^М.....**)=

(2П' ХгТ 1,-Т /г_2-7-/г_,-Г

В этом случае, когда показатели Фурье удовлетворяют условиям (12) и (13), основным результатом этого параграфа является следующее утверждение.

Теорема 3.13. Пусть спектр д . п О'М , функции

3 1 иу

/(*, ,хк)е В{к) (\<р<1) удовлетворяет условиям (12) и (13). Если

при о<р<-£-хГ>к

р-Г {/} р-\

_ | и каждом / ~ к

выполнены условия

00 ук

Е2

У=1

{'-"г

чуР

Г.и)

( N

Л- '

(У)

2 /

< оо .

то ряд

и, пк

сходится.

Теоремы 3.11 и 3.13 для функций /(х^...,хк)е ¿1к) (1<р<2) по~

лучены М.Ф.Тиманом8.

В параграфе 3.3 установлены критерии абсолютной чезаров-ской суммируемости кратных рядов Фурье почти-периодических функций многих переменных.

СО

Определение 4. Кратный ряд X "л,,....л* называется

и, ,...,пк

|С;/?1 ,...,/?£ |- суммируемым (Д. >-1, / = 1,2„..,Л), если для любой совокупности индексов .и и (т<к) выполнены условия

00 XI

2 ... 2 »VI =1 = 1

РуХ Пу\ >

-Пу ут

< С»,

где г^ч.....=

"-1.....'Ч,

"Ч Ш п 1 о _,

г /Ч -/Ч,мо,...о,/,„, ,0.....о,л„ .....о

/V =1

/Г"1 ...Л'

Пп п

Ап - :-

п!

Установлены утверждения, которые дают критерии абсолютной суммируемости кратного ряда Фурье функции /{хх,..., хк )е Вв терминах коэффициентов Фурье.

Теоремы 3.15-3.17. Пусть/(хх,...,хк)& В{2к)■

"Тиман М.Ф. Математический сборник, 75 (117), №3, 1968, с.361-373.

21

1. Если выполнены условия

(2"'1+,-1 2"*' '-1

00 с/Э I

X — X Р«,...Д/ц Д-Ач- Д-Р

<С0 ,

Е-1П2 2

где -1 <а1< ~, V7 = 1,2,...,А при любом ¡< к, то ряд Фурье функ-

ции /(х],...,хк )е В(2к) почти всюду |С;«х \ -суммируем.

2. Если выполнены условия 1

I -I

гк

2 •■' XI ¿'»„..Дл... Д.А",/ Д. ,0

1

12

где

_ 1 к = 1 2 к пРи Л1°бом I < к, то ряд Фурье функции I' 2'

/(х1,...,хА )е В2 почти всюду

С; —.....1

2' 2

- суммируем.

3. Если выполнены условия

00 ОО

X ... X

л... =0 л./.=0

,0,..,0

< со ,

где а > 1 у - |2 а любом / < к, то ряд Фурье функции

у . 2> .

/(.\-|,...,хА)е почти всюду \C\a\ ,...,ак\ - суммируем.

Теоремы 3.15-3.17 являются обобщениям теоремы Лейндле-ра9, которая была получена для /(х)е ¿2' т'е' в °ДномеРном случае.

,. В параграфе 3.4 рассматриваются вопросы о том, какие структурные свойства функции по каждой из переменных в отдельности обеспечивают абсолютную чезаровскую суммируемость

" ЬешсПег 1-. АтзЫ. шаЛ., (Szeged), 1961,22. з. 243-268.

22

кратного ряда Фурье почти-периодической функции

Теоремы 3.21 - 3.22. Пусть функция /(х{,...,хк)е В^11 ее спектр О = 1.2,..., к) удовлетворяют условиям (11)

1. Если при 0</?<2, г> к и каждом / — 1,2 ,...,к выполнены усло-

вия

£2

г=1

. о>

I и)

' '.О')

л «л 2г;

Лк)

то ряд

00 ОО

(14)

2 - 2 м„,.....I

«|=0 «¿=0

|С;сГ|| - суммируемым при 0 < < /' = 1,2,....

2. Если при й<р<2,г>к и каждом у = 1,2выполнены усло-

вия

>■=1 л/ь:

г,(У)

(У) 2" )В<*>

то ряд (14) \С>а1>а2'—'ак I -суммируемым при а, > / = 1.2.....

В параграфе 3.5 установлены аналоги теоремы 3.21-3.22 для

кратных рядов Фурье, когда спектр функции /(х15...,

имеет предельную точку в нуле, т.е. когда выполнены условия (12) и (13)

Теорема 3.23 - 3.24. Пусть функция " ее

спектр ^ = 1'2'"' ^ удовлетворяют условиям (12) и (13):

1. Если при 0 < /? < 2, г> к и каждом ] = 1,2,...,/: выполнены условия

то ряд (14) суммируемым методом \С;а<1,а2,—,а/с\ для значений

2. Если при 0< /?< 2, г>к и каждом ) = 1,2 ,...,к выполнены условия

то ряд (14) является суммируемым методом \С;а\ ,0С2,---,о:1<:\ при

Глава 4 диссертации посвящена некоторым вопросам приближения почти-периодических функций в равномерной метрике, когда показатели Фурье имеют предельную точку в бесконечности. В параграфе 4.1 рассматривается В(а) - класс целых функций

степени не выше (7, ограниченных на всей действительной оси. Для класса равномерных почти-периодических функций обобщаются результаты С.Н.Бернштейна о том, что среди функций из класса В(а), осуществляющих на (— оо;оо) наилучшее равномерное приближение порядка <Т периодической (периода 2л) функции f (л:) , найдется тригонометрический полином степени не выше (7 .

Теорема 4.1. Пусть /(х) - равномерная почти-периодическая функция с произвольным спектром Л{ЛА} « а(сг;/) (<х > 0) - наилуч-

<00

0<«/ <-, / = 1,2,...-

а: >—,/' = 1,2 ' 2

шее равномерное приближение порядка <7 функции f{x) функциями из класса В(ст). Тогда для любого Е > 0 найдется конечная тригонометрическая сумма

N

Р(х-,К,ст)=^Ьксхр(акх), (15)

А-1

где Лке Л, |Д*|<сг {к - l,2,...,iV), такая, что равномерно по X \f{x)-P(x\N,(T)\<A{cr\f)+E.

Теорема 4.2. Пусть f(x) - равномерная почти-периодическая функция, спектр которой Л(/1л) на каждом конечном отрезке действительной оси имеет конечное число предельных точек. Тогда среди функций g(x;o")e i?(cr) и удовлетворяющих соотношению

sup|/(x)- g{x-,<r] = А (о-;/) (- со < х < со),

-V

найдется тригонометрический полином степени < О" вида (15) такой, что

|/(Х)-Р(Х;ЛГ,сг)|<А(С7;/).

Наряду с этими утверждениями справедлива следующая теорема.

Теорема 4.3. Пустьу(_х) - равномерная почти-периодическая фунщия с произвольным спектром Л(Л^). Тогда .можно указать полином вида (15) степени < (J такой, что

\/{х)-Р{х-М,а]<С{крк (/;!),

где С (к) не зависит от и СУ, а П^/;-^ означает модуль гладкости порядка к функции /(х) с шагом ^ в равномерной метрике.

В параграфе 4.2 изучается порядок поведения величины КаАЛьр -=\\Пх,у)-иагГ(/-,х,у) \\1р,

где

О а

Теорема 4.4. Если /{х,у)& (\<р<2), то справедлива

оценка

К .1

с/А*, ||

со

(1)

(/» = эир К/,/

_ Ь'ир

1р

<уг(2)(/;м)= Бир

Л<И

¿„ -

а Р

г

I

у=0 г

К-1 )г-"(£№ + ^)

|Л|<«

у=о

где Ся,г - константа, зависящая лишь от риг.

Теорема 4.5. В предложениях теоремы 4.4 при 1 < р < 2 имеет место следующая оценка

• 1

где константа Мр,г зависит лишь от р и г.

В параграфе 4.3 устанавливаются оценки уклонения равномерных почти-периодических функций двух переменных от сумм типа Марцинкевича-Зигмунда.

Определение 5. Функция /(х,у) (-со <х,у <<*>) называется равномерной почти-периодической функцией, если для каж-

26

дого Б > 0можно указать такое число 1 = 1(е), что в каждом интервале длины I найдется хотя бы одно число г, для которого | f(x + r,y)~ f{x,y)\<C равномерно по у,

|/(х,>»+г)- f(x,y)\<£ равномерно по х.

Пусть В - класс равномерных почти-периодических функций и пусть ряд Фурье функции /(.v,_y)e В имеет следующий вид

/00= 1 X С(Лт,Мп)е«Я™х+^> W

т=—оои=—сю

где

0(Лт ,Мп) = м{/(х, }

- коэффициенты Фурье функции f(x,y),

- частичная сумма ряда (16).

Фa(t,z) - произвольная, вещественная, непрерывная, четная функция, и такая, что

Фст(0,0) = 1; Oa{t,z) = 0,

при {|/| >a, \z\>«t; |/|>сг, |z|<cr; \t\<а, |г|>и}. |i| >a, |z| >а Положим

имжх,у)= I ¿:G(Am,M„)OMmM„)eiU»>x+fl"y)-

Пусть B{Rj) - пространство всех ограниченных и равномерно почти-периодических в плоскости переменных х, у функций f{x,y) с нормой

\\flB= sup \f(x,y)\. —к><х,у«я

Рассмотрим величину

Я(/;<р,х,у) = \\иа(/;(р,х,у)-/(х,у)\\в , (17)

в которой

со оо

иаи\Ч>х,у)= | |/(х +1\ у + 2)Фа (1,г)Жс12'

—оо —оо

оо

Фст (Лг) = —у (>,•

4Ж20

. .зт(иг) . ят(г/Л] соз(мг)——- + СОБ^С)—^-у'

I

Фа (и) _ некоторая четная функция, абсолютно интегрируемая на интервале (0,оо) при каждом фиксированном а > О и такая, что

00 00

... оо со

—00 —СО -00 -00

Исследуется вопрос о поведении величины (17) в зависимости от скорости стремления к нулю £ а (у) (при <У —» со) для

случаев, когда в качестве (ра (и) выбраны функции 1 , (0<а<ег);

,<т-У м О8)

I а - а '

1(0 , |«|>о\

Теорема 4.6. Если /{х.у)& в(я2)> функция <Ра(и) = <Ра,а(1')

определена равенством (18), то при любом д (о < Д < а < а) справедлива оценка

а" - а

где М - константа.

Теорема 4.7. Пусть /{?С,У) равномерная почти-периодическая функция, показатели Фурье которой не имеют предельных точек на, конечном расстоянии, т.е. Лп_—>со. Тогда справедлива оценка

Л*,у)—^т Х " к=0

%Ек,к(Лв-в "+1*=о

где

^Д,лСЛВ= ¡пГ

С(Ял„//„)

А*,у)- Г I СК^*^"«*

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

1. Получены необходимые и достаточные условия абсолютной сходимости рядов Фурье некоторых классов почти-периодических функций, когда'их спектр имеет единственную предельную точку в бесконечности, или в нуле. В случае, когда спектр функции имеет предельную точку в нуле впервые, в качестве структурной характеристики использован модуль усреднения.

2. Впервые получены новые критерии абсолютной чезаров-ской суммируемости рядов Фурье некоторых классов почти-периодических функций, в зависимости от поведения их спектров.

3. Доказаны утверждения о связи между коэффициентами Фурье и степенью суммируемости некоторых классов почти-периодических функций.

4. Исследованы достаточные условия абсолютной сходимости и суммируемости кратных рядов Фурье почти-периодических в смысле Безиковича функций многих переменных, когда их спектр имеет единственную предельную точку в бесконечности, или нуле.

5. Установлены аналоги результатов С.Н.Бернштейна и Джексона для равномерных почти-периодических функций с произвольным спектром.

6. Установлены оценки уклонения класса равномерных почти - периодических функций двух переменных от сумм типа Мар-цинкевича-Зигмунда в равномерной метрике.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались: на Всесоюзной конференции «Теория приближения функций» (Украина, Днепропетровск, 1990); на Международной научно-практической конференции «Конструктивная теория функций», посвященная 70-летию профессора B.C. Виденского (Санкт-Петербург, 1992); на Международной конференции «Ряды Фурье: теория и приложения», посвященная 50-летию профессора A.C. Степанца (Украина, Киев, 1992); на Всесоюзной зимней математической школе «Теория функций. Дифференциальные уравнения в математическом моделировании» (Воронеж, 25 января - 3 февраля 1993); на Международной конференции «Теор!я наближення та за-

дач-1 обчислювальнсй математики» (Украина, Днепропетровск, 1993); на 3-й Международной конференции по математическому моделированию (Россия, Якутск, 2001); на 4-й Международной конференции по математическому моделированию» (Россия, Якутск, 2004); на 9-ом Украинском математическом конгрессе (Украина, Киев, 2009); на семинаре профессора Моторного В.П. (Днепропетровский государственный университет); на семинаре профессора Тимана М.Ф. (Днепропетровский государственный аграрный университет); на семинарах Института математики АН РТ (2008-2013); на VI международном симпозиуме «Ряды Фурье и их приложения» (Новороссийск, 25 мая - 1 июня 2010 г.); на международной конференции «Banach spaces geometry» (Санкт-Петербург, 5-11 сентября 2010 г.); на международной конференции «International Conference in Modern Analysis» (Donetsk, June 20-23, 2011); на VII международном симпозиуме «Ряды Фурье и их приложения» (Новороссийск, 27 мая - 3 июня 2012 г.); на Воронежской зимней математической школы «Современные методы теории функций и смежные проблемы» (Воронеж, 27 января - 2 февраля 2013); на Казанской летней научной школы-конференции «Теории функций, ее приложения и смежные проблемы» (Казань, 22-28 августа 2013); на семинаре кафедры высшей математики Московского физико-технического института (2014).

Конкретное личное участие автора в получении результатов, изложенных в диссертации. По теме диссертации опубликовано 31 научных статей, из которых 22 - в изданиях, рекомендованных ВАК. Список основных публикаций приведен в конце автореферата.

Основные результаты диссертации получены автором самостоятельно. Отдельные результаты работ [11], [15], [18] и [24] получены совместно с научным консультантом профессором М.Ф.Тиманом, которому принадлежит некоторые идеи постановки рассматриваемых задач. Остальные 27 работ написаны диссертантом единолично.

Статьи автора по теме диссертации в журналах из списка ВАК:

1. Хасанов, Ю.Х. О приближении функций двух переменных некоторыми интегралами Фурье / Ю.Х.Хасанов // Докл. АН РТ. - 1993. - Т. 36, №3,-С. 174-176

2. Хасанов, Ю.Х. Об абсолютной сходимости кратных рядов Фурье / Ю.Х.Хасанов//Докл. АН РТ. - 1994.-Т. 37, № 1.-С. 12-15.

3. Хасанов, Ю.Х. О приближении почти-периодических функций двух переменных /. Ю.Х.Хасанов // Докл. АН РТ. - 1994. - Т. 37, № 3-4. С. 7-11.

4. Хасанов, Ю.Х. Об абсолютной сходимости рядов Фурье почти-периодических в смысле Безиковича функций / Ю.Х.Хасанов // Докл. АН РТ. - 1996. - Т. 39, № 9-10. - С. 42-47.

5. Хасанов, Ю.Х. Аналог теоремы Пэли для почти-периодических в смысле Безиковича функций / Ю.Х.Хасанов // Вестник педагогического университета. - 1999. - № 5 (2). - С. 32-33.

6. Хасанов, Ю.Х. Теорема Пэли для коэффициентов Фурье почти-периодических в смысле Безиковича функций / Ю.Х.Хасанов // Докл. АН РТ. - 2000. - Т. 43, № 3. - С. 27-32.

7. Хасанов, Ю.Х. Об абсолютной сходимости кратных рядов Фурье почти-периодических функций / Ю.Х.Хасанов // Матем. заметки ЯГУ. - 2001. - Т. 8(2). - С. 84-92.

8. Хасанов, Ю.Х. О приближении почти-периодических функций двух переменных суммами типа Марцинкевича-Зигмунда / Ю.Х.Хасанов // Матем. заметки ЯГУ. - 2002. - Т. 9(2). - С. 117-127.

9. Хасанов, Ю.Х. Об абсолютной суммируемости рядов Фурье некоторых классов почти-периодических функций / Ю.Х.Хасанов // Матем. заметки ЯГУ. - 2003. -Т. 10(2). - С. 102-114.

10. Хасанов, Ю.Х. Об абсолютной суммируемости рядов Фурье некоторых классов почти-периодических функций / Ю.Х.Хасанов // Докл. АН РТ. - 2005. - Т. 48, № 3-4. С. 28-37.

11. Тиман, М.Ф. Об абсолютной суммируемости рядов Фурье некоторых классов почти-периодических функций / М.Ф.Тиман, Ю.Х.Хасанов // Укр. матем. журнал. - 2009. - Т. 61, № 9. - С. 12671276.

12. Хасанов, Ю.Х. Об абсолютной суммируемости рядов Фурье почти-периодических функций с предельными точками в бесконечности / Ю.Х.Хасанов // Докл. АН РТ. - 2009. - Т. 52, № 12. - С. 913-920

13. Хасанов, Ю.Х. О связи степени суммируемости и коэффициентов Фурье почти-периодических функций / Ю.Х.Хасанов // Докл. АН РТ.-2010. - Т. 53,№ 1.-С. 13-19.

14. Хасанов, Ю.Х. О приближении почти-периодических функций двух переменных / Ю.Х.Хасанов // Известия вузов. Математика. - 2010. -№ 12,- С. 82-86.

15. Тиман, М.Ф. О приближениях равномерных почти-периодических функций целыми функциями / М.Ф.Тиман, Ю.Х.Хасанов // Докл. АН РТ. - 2010. - Т. 53, № 11.-С. 824-831. ' :

16. Хасанов, Ю.Х. Об абсолютной сходимости кратных рядов Фурье почти-периодических функций / Ю.Х.Хасанов // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. — 2011. Спецвыпуск, Ростов-на-Дону. - С. 71-73.

17. Хасанов, Ю.Х. Об абсолютной суммируемости кратных рядов Фурье / Ю.Х.Хасанов // Известия АН РТ. Отд! физ-мат, хим., геол. и техн. наук.-2011.-№ 4 (145). - С. 27-34.

18. Тиман, М.Ф. О приближениях почти-периодических функций целыми функциями / М.Ф.Тиман, Ю.Х.Хасанов // Известия вузов. Математика. - 2011, № 12. - С. 73-79.

19. Хасанов, Ю.Х. Об отклонении гармонических почти-периодических функций от их значений на границе / Ю.Х.Хасанов // Докл. АН РТ. - 2012. - Т. 55, № 8. - С. 611-616.

20. Хасанов, Ю.Х. Об абсолютной суммируемости рядов Фурье почти-периодических функций / Ю.Х.Хасанов // Analysis Mathematica. -2013.-V.39.-P. 259-270.

21. Хасанов, Ю.Х. Абсолютная сходимость рядов Фурье почти-периодических функций / Ю.Х.Хасанов // Матем. заметки. - 2013. -Т. 94, № 5. - С. 745-756.

22. Хасанов, Ю.Х. Об абсолютной суммируемости рядов Фурье почти-периодических функций / Ю.Х.Хасанов // Укр. матем. журнал. -2013.-Т. 65, № 12.-С. 1716-1722.

Работы автора по теме диссертации в других изданиях

23. Хасанов, Ю.Х. Об абсолютной сходимости рядов Фурье почти-периодических функций / Ю.Х.Хасанов // Конструктивная теория функций. Санкт - Петербург. - 1992. - С. 66-68.

24. Тиман, М.Ф. Об абсолютной сходимости „рядов Фурье почти-периодических функций / М.Ф.Тиман, Ю.Х.ХасанррУ/ Ряды Фурье: теория и приложения. Киев, ИМ АН Украины..- 1992. - С. 142-146.

25. Хасанов, Ю.Х. Об абсолютной сходимости кратных рядов Фурье / Ю.Х.Хасанов // Теор!я наближення та задач1 обчислювально-1 математики. Днепропетровск. - 1993.- С. 196.

26. Хасанов, Ю.Х, Об абсолютной сходимости рядов Фурье почти-периодических функций Безиковича / Ю.Х.Хасанов // Теория функций. Дифференциальные уравнения в математическом моделировании, Воронеж. — 1993. - С. 138.

27. Хасанов, Ю.Х. Об абсолютной сходимости кратных рядов Фурье почти-периодических функций / Ю.Х.Хасанов // Тезисы докладов VI Международного симпозиума «Ряды Фурье и их приложения». Ростов-на- Дону - 2010. - С. 36.

28. Хасанов, Ю.Х. Абсолютная сходимость рядов Фурье почти-периодических функций / Ю.Х.Хасанов // Banach spaces geometry. - 2010. - St. Peterburg. - P. 15-16.

29. Хасанов, Ю.Х. Об абсолютной сходимости рядов Фурье почти-периодических функций / Ю.Х.Хасанов // Тезисы докладов VII Международного симпозиума «Ряды Фурье и их приложения». Ро-стов-на- Дону - 2012. - С. 40-41.

30. Хасанов, Ю.Х. Об абсолютной сходимости рядов Фурье почти-периодических функций / Ю.Х.Хасанов // Материалы Воронежской зимней математической школы «Современные методы теории функций и смежные проблемы». Воронеж - 2013. - С. 259-261.

31. Хасанов, Ю.Х. Об абсолютной сходимости рядов Фурье почти-периодических функций / Ю.Х.Хасанов // Труды Математического центра имени Н.И.Лобачевского. - Казань: Изд-во Казан, матем. об-ва. - 2013. - Т.46. - С. 451-454.

Сдано в печать 26.05.2014 г. Разрешено в печать 27.05.2014 Формат 60x84 '/16. Гарнитура Литературная. Объем 2,0 п. Бумага офсетная. Печать офсетная. Тираж 120 экз. Заказ №03/14.

Издательство «Истсъдод». 734025, г. Душанбе, проспект Рудаки, 36. Тел.: 221-95-43. E-mail: istedod2010@mail.ru