Об абсолютной сходимости рядов Фурье почти-периодических функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

I ( и и

ДНЕПРОПВТТОВСКШ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

хлсанов юсуфми

об абсолютной сходимости рядов фурье почти-периодапзских функции ■

01.01.01.- математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой'степени кандидата физико-математических наук

Днепропетровск - 1Ь94

Диссертация является рукописью.

Работа выполнена в Душанбинском государственном педагогическом университете и в Днепропетровском государственном аграрном университете.

Научный руководитель - доктор фя-ико - латематических наук, профессор Тиман М.Ф.

Официальные оппоненты - доктор физико - математических

наук, с.н.с. Засерей П.В. - кандидат физико - математических наук, доцент Пичугов С.А.

Ведущая организация -* Донецкий государственный университет

Защита диссертации состоится " 4 " марта 1994 г. в 15.30 часов на заседании специализированного Совета К 03.01.04 по присуждению ученой степени кандидата .¿мзико-математичесюс- наук в Днепропетровской государственной университете ( 320625, Днепропетровск, пр. Гагарина, 72, корпус 14, ауд. 405.).

С диссертацией шкно ознакомиться в научной библиотеке Днепропетровского государственного университета.

Автореферат разослан я ХМ1994 г.

Ученый секретарь специализированного ссета

'}/ Давыдов 0.В.

ОБШАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В 1934 году С.Н.Бернштейн установил критерии абсолютно® сходимости тригонометрического ряда Фурье непрерывной периодической функции с заданными наилучшими равномерными приблгасениями, либо ее модулем непрерывности в равномерной метрике, что положило начало такого рода исследованиям. Дальнейшее существенное развитие и усиление этого результата С.Н.Бернштейнв бшга дано в работах О.Зггшг'а, 6.Б. Стечкина, й.3а1еа'а, А.А.Конпикова и других математиков.

Что жэ касается абсолютной сходимости рядов Фурье почти-периодических функций, то в силу специфики их спектров, целый ряд вопросов до настоящего времени не рассмотрены. Случай почти-периодических функций многих переменных и вопросы абсолютной суммяруемости рядов Фурье таких функций, насколько известно автору, в литературе не исследованы.

В работах Б.М.Левитана, Н.П.Купцова, «Х.МивеНак'а, Е.А. Бредихиной, Я.Г.Притулы, А.С.Дкафарова и Г.А.Мамедова получены некоторые достаточные условия абсолютной сходимости рядов Фурье почти-периодических в смысле Бора и Безиковича функций.

Настоящая диссертация посвящена, главным образом, получению условий абсолютной сходимости рядов Фурье некоторых классов почти-периодических функций. Результаты работы обобщают и дополняют, а в некоторых случаях и усиливают исследования, указавших выше математиков. Кром«э того, в диссертации получены некоторые критерии абсолютной чезаровской суммируемости рядов Фурье и абсолютной сходимости кратных рядов Фурье почти-периодических в смысле Безиковича функций многих переменных.

Цель работы. I. Получить критерии абсолютной сходимости рядов Фурье некоторых классов почт"-периодически функций, когда а) их спектр имеет единственную предельную точку в бесконечности; 0) их спектр имеет единственную предельную точку в нуле.

2. Установить крит--рта абс -лптпой чезаровской суммируемости рядов Фурье почти-периодических в лмыс->; Ызиковича функций

в зависимости от поведения их спектров. 3. Исследовать вопросы абсолютной сходимости рядов Фурье почти-периодических в смысле Безиковича функций многих переменных в случаях, когда их спектр имеет единственную предельную точку в бесконечности, или имеет единственную предельную точку в нуле.

Методы исследования. В работе используются общие метода теории функций теории рядов Фурье и теории суммировании рядов методом Чезаро.

Научная новизна. В работе получены следующие новые результаты:

-доказан ряд теорем, дающих разлит -к достаточные условия абсолютной сходимости рядов Фурье некоторых классов почти-периодических функций, в случае, когда их спектр имеет единственную предельную точку в бесконечности, либо в нуле;

-исследован вопрос о необходимости условий обеспечивающих абсолютную сходимость рядов Фурье почти-периодических в случае, когда их спектр имеет единственную предельную точку в бесконечности, либо в нуле;

-получены критерии абсолютной чезаровской суммируемости . рядов бурье 'некоторых классов почта-периодических функций в-загисимости от поведения их спэктров;

-доказаны теорема,дащиэ достаточные условия абсолютной сходимости кратных рядов Фурье почти-периодических в смысле Безиковича функций многих переменних, когда их спектр име«т единственную предельную точку в бесконечности, либо в нуле.

Публикации. Основные результаты диссертации опублшкса-ны в четырех работах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура я объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, списка цитируемся литературы из 42 названия и занимает 82 страницы машинописного текста.

Апробация работы. Результаты работы докладывались и с: -сувдались на семинарах кафедры высшей математики Днепропетровского Госагроукиверситета и кафедры вычислительной математики Дупанкшсхого Госпедунгзэрситета им. К.Дзкураева, на меквузов-

ской научной конференции по конструктивной теории Функций, в г. Санкт-Петербурге, в математическом школе "Ряда Фурье: теория и приложения" в г. Камен&ц-Подольске,.в Воронежской математической школе "Теория функций. Дифференциальные уравнения в математическом моделировании", на международном конференции "TeopiH наближення та задач! обчислювально1 математики" в г. Днепропе тровскэ.

СОДЕНШШ РАБОТЫ

Во введении к диссертационной работе дается краткий исторический обзор результатов по затрагиваемым проблемам,обосновывается актуальность теш и некоторые необходимые определения л обозначения.

Определение I. Функцию f(x) называют Вр_ почти-периодической или почти-периодической в смысле Безиковича ( рЯ ), если

1). |f(x)|p измерима и интегрируема в смысле Лебега на любом конечном отрезке;

2). D. (i(*)} = { Ш -1- ,ППх)ГсьЛ'Р= iS{|fia)|p)V^<«5

P l T-oo 21 -T ' >

3). существует последовательность тригонометрических сумм

Pn(x)= Jokexp(i\x) .

для которой

lim D, Шх)-Рп(х))-=о .

n-*OG р

Пространство функций, уд^летворладих всем условиям определения I называют Вр- лростракством или пространством Безиковича, в котором за норму функции Ях)«В ( рЯ ) принимается Ееличина

Как вдгао из определения I, с каждой функцией из пространства Вр ( ) связана последователность чисел A{A.n}"=j,

являющаяся спектром этой функции. Рассматривая конкретную функцию .можно с помощь«, этого спектра поставить ей в соответствие ее ряд Фурье по этому спектру, т.е.

i(s) ^ Апехр(±\пх) .

П

где

An= B{f(x)eÄp(-iAx)}

коэффициенты Фурье функции t(x)eB < р»1 )•

При исследовании вопросов абсолютной сходимости и суммируемости рядов Фурье функции Ях)сВр < р>1 ) в зависимости от поведения их спектров используются следующие характеристики их свойств:

1). модул- непрерывности порядка к функции г(х)еВ ( ря ) * р

i^(i;h)B =Sup |A^f(s)JB . (1)

P 11 I Sh i p

"Де

(-Dfc"r(i!)f(2+rt) ( h>0. kell );

г), модуль усреднения порядка к функции f(:-:)€BP < F^ ) Wk(f;H)B = sup |i k(s)|n , (2)

P iTltll T p

гд9 h>0. k€ji.

V

*.т VT Va*T WT

t к(2)=(гтГ1 Jdt4 j" dt2 ... J dt^ X *i4'd4- •

Первая глава диссертации посвящена изучена вопросов

обсолютпоЯ сходшости рядов Фурье функции i(x)eBt< показатели Фурье которой имеют единственную предольнув точку в бесконечности.

Пусть ряд Фурье функции f(г)еВг имеет еид

по

П =

где

• l^n^l^n«! * г-1,2,...), 11п|\|=о». О)

Г»-♦СО

Указываем некоторые критерии сходимости рядов вида

W^J , vo'

п = 1

для различных значений р ( 0<р<2 ) и у ( 0£Т<1 ). где {ап} - коэффздиептн Фурье функции i(x)eB2 •

Теорема I. Пусть спектр AtX,)^ функции удовлетворяет условиям (3) и

ааЧК\,> ( гх>0, а>0 ).

Если при 0<(3<2, 0^7<1, fn^'-C^^ajgtfï-i-). <«. (5)

nt-, к n "ï

то ряд (4) сходится.

При 7=0, к=1 эта теорема содержит результат Ю.Мусолдат« [1]. Однако, так как

г *

peimych îunkoji prawia Uireeowyoh // Bull. aoad. jolon. soi. ai., 1957. 3. Й5, 9 17.

то. при 7=0 теорема I дает более сильный результат о сходимости рядов вида (4), чем результат Ю.Муселиака. Корме того, в работе [1] автор не замечает, что класс функций, удовле: -ворящих его условиям при (3=1 и о<а<1/2, состоит из функций, почти всюду равных константе. В связи с этим, при соответствующем выборе числа к в теоре ме I удается ликвидировать отмеченный наш недостаток критерия Ю.Муселиака.

Далее в гервой главе приводится утверждение, показывающее, что на классе всевозможных спектров . имеющих

предельную точку в бесконечности, условие (5) не только достаточно, но и необходимо для абсолютной сходимости рядов Фурье функции 1(х)еВг с монотонно убывающими коэффициентами

Фурье. Такое исследование для функций г(х)еВр ( Р^1 ) ранее не было проведено.

Следующее утверздение является обобщением теоремы I.

Георема 2. Пусть спектр функции Г(хКВ2

удовлетворяв-' условиям (3).

Если при 0<(Э<2 выполнено а „

»"« г х г

то ряд

па*

сходится, где

ПжХ щ

Ф(п) - четная, положительная функция, определенна.- ял множестве целых чисел.

При к='<?(п)=пг ( 7>о ), *(х)еВР С кр«г ), о<р<ч ( -1- + -2- =1 ) теорема 2 ранее была установлена в работе

Я.Г.Притуты (2]. '

Далее з гарной главе, как следствие из теорег.л I, при 7=0 доказываются критерии сходности i-ядов вида (4) для равномерных почти-периодических фузиций, шлекшх вариацию порядка (2,m) ( 05jii<2 ).

Функция f(x)€B Еариащш порядка t2,m), если

существует

Sup f |m.)-2f( ) + f(:: )f ,

зе j=i J й '

где ге - произвольное деление интервала [а,Ы точками

Результата . главы II относятся к почти-периодическш функциям Везикошча, показатели Фурье которых тлеют единственную предельную точку в нуле. Пригодятся новые критерии абсолютной сходимости рядов Фурье фуншга с(:ОеВг . которие дополняют и, в некотором случае, усилюзают результаты' раоот

А.С.Джафарова, Г.А.Мзмедовз [3] и ri.il.Купцова [41.

*" »

Теорема 3. Пусть для спектра AC\}®=i функции fUKB2 выполняются условия

• V^Ou*"*1} (п=1,г,..., а>о ).

Если при 0<ß<2, 0$7<1, к> луг выполнено

|,P(f!n) < „ , . (б)

n=i г

периодичних функций // В1сн1к Льв1в. ун-ту, сер. мех-мат, 1971, 137, №, о. 72-80.

3. Джафаров A.C., Мамедов Г.А. Об абсолютной сходимости рядов Фурье п.-тт. '"утгопШ Безиковича // Известия АН АзерО. ССР, сер. физ-тех и мат., 1293, Л55, с. 8-13.

4. Купцов Н.П. Об абсолютной: сходимости рядов Фурье.п.-rr. функций // Мат.Сб. 1956, 40(82).-.«1, С. 157-178.

'10 рад

<0 л

Jn^xJ (7)

сходится.

• При исследовании абсолютной сходимости рядов вида (7) для рассматриваемого спектра'авторами работ [г], [3], [4] использована характеристика, определяющаяся с помощью щтобразовал Лапласа

сз

П(£;б;6) = a Sup| / exp(-3t)i(x-t)erp(i9t)dt| ( S>0, GeR ). Г о

Характеристика (2) для изучения абсолютной сходимости ряда Фурье при любом к применена впервые в работе [5].

Возникает естественно вопрос, в какой мере условия (6) в теореме 3 являются необходимыми для сходимости рядов вида (7). Следующее утверждение в какой-то мере дает ответ ка этот вопрос.

• Теорема 4. Пусть показатели Фурье функции Ку-КВ, удовлетворяют условиям

■ • КгГ'К • \=п_а ( п=1,г,... , а>о ),

В последовательность ее коэффициентов Фурье {Ап) монотонно убывают. Тогда из сходимости ряда (7) вытекает сходимость ряда

| eP(r;2nu ( о<(з<2, 0«г<1. к> тР/2 ).

V.» г и<3

Последний пункт второй главы посвящен изучению критериев сходимости рядов вида

to

• ]>Ф(п)|Ап|р < <Кр<2 ) , который обобщает теорему 3.

!ГГ"ТймааТПЕ7^санб£^

Фурье п.-п. ф;;эсщш // Ряда Фурье: теория и приложения. Киев. Институт Математики АН Украины, 1S92, с..иг-14б.

Для $ункций . ряда Фурье которых по сходятся

абсолютно, естественно ставить вопрос об условиях абсолютной

суммируемости. Этот вопрос рассматривается в главе III настоящей работа, где в термина? модулей гладкое .и и модулей ус-реднэшй устанавливаются 1фитерш1 абсолютной чезарэвекой или |С,а| - суммируемости рядов Фурье.

В начале этой глава дан обзор работ по изучаемой теме и доказан ряд вспомогательных i гверхдешй.

Исследованию критериев абсолютной чезаровскй суммируемости рядов Фурье почти-периодических в смысле Безиковича функций, спектр которых имеют единственную предельную точку в бесконечности, посвящен §1 главы III.

Теорема 5. Нусть функция f(х)е32 удовлетворяет всем

условиям теорем I. Тогда из условия (5) при 0<ß<2 , СК70 вытекает, что ряд

. №

сумшруьм методом }с.—т|.

Если f(x)€lp ( 1<р^2 ), ТО при ЛВбСМ 0< ß < И

7=и(1-1/р) такой результат poii9r' был голучен О.Сасом f6J, а для о<т<Р(1-1/р) бил получен М.Ф.Гиманом £7]. В случае, когда равномерная почти-периодическая в смысле Бора функция t(x) имеет, мраниченную вариацию порядка к ч ß=i,,a также функция i(s)eB, и ß=i аналогичный результат получен автором [в].

Trans. Amer. math, soo., 1934, 42, J£2, 366-395. 7. тиман Н.Ф. Зауваташя до питания про ¡.бсолютну сумовн1сть ортогональна рядав // Доповлд! ЛН Укра1нско1 PCP, 1966, Л12, С. 15-})

а. Хасанов Ю.Х. Об абсолютной сходимости рядов Фурье п.-п. ' функций // Тезисы докладов конференции "Конструктивная теория функций", Санкт-Петербург, 1992', с^ 66-68.

Далее й этом параграфе устанавливается, что если спектр А{Х„}^ функции f(х)«В2 удовлетворяет условиям 13), то

при -ка<1/2 условие

| ( Vl)k (f<ю (в)

v=o » х г

z

обеспечивает |с,а| - суммируемость ряда Фурье функции

В §г главы III рассматриваются критерии |о,а| - сумьл-руемости почти всюду ряда Фурье функции .fix kB, для различных значений а ( -1<а<1/2 ) в случае, когда ее показатели Фурье л имеют единственную предельную точку в нуле.

Для отрицательных значений а указывается следуюци? критерий |С,а| - суммируемости рядов Фурье функций t(x)eß2.

Теорема 6- Пусть для спектра функции i (xkBz

выполняются условия

' VOin"®} ( n=1,2.....ö>o ).

Если выполнено

nsi . г

где . 0<P<2, 0<7<1. Ю ,

то ряд

суммируем методом |С,-7| .

Следуший результат §2' глава III устанавливает критерий |0.а| - суммируемости для значений а>о.

Теорема 7. Пусть спектр функции г<х)«Вг Удов-

летворяет условиям

( п=1.2....)\ 11л |\,|=0.

п -*со

Если выполнены условия

у 2"""-* < » < -1<а<1/2 ).

у=о г л

то ряд Фурье функции г<кКВ2 Iс,а| - суммируем почти всюду при -1<я<1/2.

Последняя глава диссертации посвящена вопросу абсолютной сходимости кратных рядов Фурье почти-периодических в см'зло Безиковича функций нескольких переменных в зависимости от по-ведз:шя их спектров. В начало глэеы дается краткий исторический обзор результатов И.Е.;Кака, Ю.Мусе.лака и М.Ф.Тимапа по затрагиваемым проблемам в периодическом случае..

В этой главе ки не ставил перед собой целью получить для почти-периодических функций многих переменных аналоги всех результатов в периодическом случае. В ней устанавливаются аналоги лишь некоторых из результатов М.ФЛилана.[9].

Определение 2. Функцию ... будем называть

Вр- почти-пврнодяческой или . почти-периодической в сгмйле

Безиковича ( рЯ ) ,• если

1) | "(21,з2;...,хк)|р измерима/я интегрируема в сшсло Лебега на любом к - мерном кубе пространства Я* ;

2)

Вв,к,{г(зс»,х«.....V} =

в р

-Т -Т

9. ТймшГй.Ф. 0*ГаЗсолгатао8~гаод&^ 77

Доклады АН СССР, 1261, 1"»7, №5 , 0. 1074-1077

3) существует последовательность тригонометрических сумм

\....."к * ^

п т>к

- 2'— I ...........

»»о т,=о » к 1 к

* к

для которой При гу«о ( 3=1,2.....1С )

.....=

Пространство функций, удовлетворяпдга. всем условиям определения 2, будем называть В^-пространством иди к - мерный щхэстрадством Безиковича, в котором за норму функции *<х^,х1,...,хк)еВ*ь> ( . к=1,2,...) принимается «еличина

.....*кНР>} < ® •

"р

Результаты четвертой главы ( теорема 4.6 и 4.8 ) устанавливают условия, обеспвчиваицяе абсолитную сходимость рядов

Фурье для функций из пространств Вр1" ( ) • Эти теоремы .

обобщают на случай функций многих переменных результаты главы I г главы II настоящей диссертации.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работрх,

<. ЗСасанов С.Х. 00 абсолютной сходимости рядов Фурье почти-периодических функций // Тезисы докладов конференции "¡".онструк-тавная.теория функций", Санкт-Петербург. 1992, с. 66-68. . 2. Гиман ii.fi>., Хасанов ЮЛ. 0<1 абсолютной сходимости рядор

Фурье гочтл-перяоднческих Функций // Ряда Фурье: теория и приложения. Киев, Институт Математики АН Украиш, 1992,0.142-146.

3. Хзсапов Ь.Х. Об абсолютной сводимо~ти рядов Фурье почти-периодических функций Безиковича // Тезисн докладов математической школи "Теория функций. Дифференциальные уравнения в. математическом моделировании", Воронен, 1993, с. 138.

л. Хасалов ЮЛ. 00 абсолютной сходимости кратшх рядов Фурье // Тезисн меадународпсй конференции "Теор1я наближешш та задач! обчислввально1 математики", Дн-пропетровск, 1993, с. 196.

/гит с^Ь (У