О сходимости рядов Фурье почти-периодических функций и кратных тригонометрических рядов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

§ I. ПРОСТРАНСТВА ПОЧТИ-ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ.

§ 2. О СХОДИМОСТИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ.

§ 3. О СУММИРУЕМОСТИ РЯДОВ ФУРЬЕ ПОЧТИ-ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

§ 4. О СХОДИМОСТИ РЯДОВ ФУРЬЕ ПОЧТИ-ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЩЙ

§ 5. ЗАМЕЧАНИЯ. О СХОДИМОСТИ КРАТНЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ

РЯДОВ.

Пусть - множество всевозможных тригонометрических полиномов, т.е. множество конечных сумм вида п \ А -.ос эс е SR , ш где Д j., Д^» • • • •> Да - любые действительные числа. Пусть / и g - комплекснозначные функции, определенные на множестве действительных чисел R . Равномерным расстоянием между f и g- называется

Обозначим через It пространства почти-периодических функций Бора. По основной теореме теории почти-периодических функций Бора, пространство II совпадает с множеством предельных точек множества J по метрике CDy^ , т.е. <£ 11 тогда и только тогда, когда существует последовательность Ср«) тригонометрических полиномов вида (I) такая, что

Пространство почти-периодических функций Степанова, Вейля и Бези-ковича класса Р (р^-0 , обозначаемые соответственно через , WP и t можно также охарактеризовать как замыкания множества 3* по соответствующим метрикам. Пусть / и J" -локально-интегрируемые функции на R . Расстояния между / и $ в смысле Степанова, Вейля и Безиковича соответственно определены следующими формулами: аЛ v/p ycueR gl. /

J/P г \ / Р

Пусть ^брр означает некоторую одну из этих метрик, а G одно из пространств о f W и ТЬ . Тогда G тогда и только тогда, когда существует последовательность (рп) тригонометрических полиномов вида (I) такая, что

•fern Фрр(Л>?П^О. n—^-Voo VA 1

Отметим также, что

Uc=5PcWPcBP, и при

Для каждой почти-периодической (в любом смысле) функции существует среднее значение Т

Т^оо т

Это позволяет отнести к функции £ ряд Фурье

2 с,(ре;Дх, xeR, где ,

- v ЛЭС

Пусть / и ^ - почти-периодические функции и ~ для любого А £ R, . Если f ж И , то , а если и , то т.е. / и ^ - ^-эквивалентны.

Для любого семейства комплексных чисел будем рассматривать тригонометрический "ряд" и будем ставить вопрос о сходимости таких рядов. Сходимость будем понимать так: для любого со ^0 рассмотрим сумму и ряд назовем сходящимся в точке эс € R , если существует предел ScJ^) . Для того, чтобы этому определению придать смысл, мы потребуем, чтобы для любого со>0 семейство чисел (1^0с5ыло суммируемо: для любого со^О 2 \СЛ * (3)

AUco

Для таких семейств S^fcc) определена для любого л и является почти-периодической функцией Бора. Пусть (в силу (3) это семейство не более чем счетно). При наличии условий

-62 (4) и Zj ряд (2) сходится почти всюду. Это теорема Карлесона [20]. Если отбросить условие A t^-TL , то, вообще говоря, сформулированное утверждение неверно. Более того, справедлива следующая теорема.

Теорема I (см. п. 2.7). Существуют такая строго возрастающая последовательность рациональных положительных чисел ^ v) * Т + 00 и почти-периодическая функция Бора / что

1 ЛI эс»

С*) -2s е , (5)

Еяд (5) расходится для любого ocelR . Существует голоморфная функция F , определенная в некоторой полосе {2€lC •

8^0 , такая, что - Fдля любого €r R.

Последовательные производные функции / также почти-периодические функции в смысле Бора.

Таким образом, одних условий (3) и (4) не достаточно для сходимости почти всюду рада (2). В связи с этим мы введем следующее определение: семейство ftO^e^? удовлетворяет условию Винера, если

S ( S

Очевидно, что из условия Винера следуют (3) и (4).

Теорема 2 (см. п. 2.10). Если семейство удовлетворяет условию Винера, то ряд (2) сходится почти всюду. Поскольку при условии

Л^ ъ условие Винера совпадает с условием (4), то эта теорема является обобщением теоремы Карлесона. Однако следует отметить, что при доказательстве теоремы 2 мы используем теорему Карлесона.

Условие Винера появилось в работе Винера [9], в которой он доказывает, что из этого условия следует, что ряд (2) является рядом Фурье из Я2 и ( ^со > J") —ПРИ 00 —* 00

Позднее Торнехаве и Фольнер [29] заметили, что если jе W^ и коэффициенты Фурье функции / неотрицательны, то для них выполнено условие Винера. Таким образом, для того, чтобы ряд был рядом Фурье функции из S2 для всех семейств , удовлетворяющих условию 1 — I Сл\ , J\<s. \R , необходимо и достаточно, чтобы семейство (Сд) удовлетворяло условию Винера.

Из этих теорем и теоремы 2 следует, что при наличии условия Винера ряд (2) сходится как почти всюду, так и в среднем, именно к функции J- , рядом Фурье которой этот ряд является. Если же функция { £ имеет неотрицательные коэффициенты Фурье, то ряд Фурье этой функции сходится почти всюду к некоторой функjg ции 2- * W -эквивалентной j . Последнее утверждение неверно для функций из В , ибо можно показать, что существует такая функция из В2 с неотрицательными коэффициентами Фурье, ряд Фурье которой расходится почти всюду (см. п. 2.17).

Обозначим через S^ класс почти периодических функций Степанова , удовлетворяющих условию: множество показателей Фурье

Л Cf) ={ЯеК : САЦ)Ф0} не имеет конечных предельных точек на JR . Доказательство теоремы 2 опирается на теорему Карлесона и на следующую теорему.

Теорема 3 (см. п. 4.1). Пусть ряд Фурье функции удовлетворяет условию : tun 1 2 - 0. а, -6) - любой интервал длины £ - t а (с, А] интервал длины %гг , содержащий (а, Q) . Тогда для любой -периодической интегрируемой функции j* , совпадающей с функцией ■£ на , разности

Г д sjn(A) С^фе 2 -i е"730 l/\\^co Inl ^^ при со —у- -+ оо равномерно сходятся на любом интервале tV, f)] внутреннем к (0;-Е) , причем предел первой разности равен нулю.

С.Бохнеру ([3], с. 38 ) принадлежит замечание: для почти-периодических функций Бора, удовлетворяющих условию

Я1 » /^g в A(j-)=»> — fy о(у*0 справедливы все локальные признаки сходимости для рядов Фурье чистопериодических непрерывных функций. Из теоремы 3 следует, что то же самое справедливо для почти-периодических функций Степанова, причем при менее стеснительных ограничениях на показателях Фурье - для / е. S^ , удовлетворяющих условию N0 (см. пп. 4.10-12).

Из теоремы 3 и из теоремы Шелина [35], утверждающей, что если чисто-периодическая функция ее ряд Фурье сходится почти всюду, получим, что если /е S^ и ||| локально интегрируема (это выполнено, например, если , р:>1 ), то ряд Фурье функции сходится почти всюду, если выполнено условие N0 . Заметим, что в силу теоремы Вольфа ([18] , т. 2, с. 417, теорема 8.4) выполнение условия N0 для сходимости ряда (2) на множестве положительной меры необходимо.

Б частности, если функция ^в S^ и ее ряд Фурье удовлетворяет условию , то этот ряд почти всюду сходится к j.

Это утверждение сильнее теоремы 2 (что можно показать построением соответствующего примера; см. п. 2.14), однако, фигурирующие в нем условия трудно обозримы.

Доказательство теоремы 3 опирается на ряд теорем, некоторые из которых мы здесь отметим.

Пусть и 0 <.а<- Следуя Б.М.Левитану

24] рассмотрим функцию R где - преобразование Фурье функции <fag : i 7 если |эс| ^ ql ,

Ъ =

А, если

Ы \ % - в

L 0 ^ если ^ €.

Доказывается, что и и % п. 3.2).

Справедливы следующие теоремы.

Теорема 4 (см. пп. 3.3 и 3.II). Пусть /б5 , О 1 . Тогда и почти для всех xe IR,

1м» wp ae(0,Bt) л™ лЧ '

Если , то как известно ([24], с. 77) стремится к нулю при 4 —»• 00 •

Пусть лакунарный тригонометрический ряд оо

2 cAelH (k = i,*,-) (6) К k удовлетворяет условию (4). Тогда он сходится почти всюду (М.Кац,

19]). Из вышеупомянутой теоремы Винера и теоремы 4 следует справедливость этого утверждения и дополнительно то, что сумма ряда (6) является S2- почти-периодической функцией, р^ц

Фурье которой есть сам ряд (6) (см. пп. 3.12-19).

Теорема 5 (см. п. 3.10). Пусть J-е S1 и ос

F ос) =. J Ja , XG IR.

Тогда а) для того, чтобы Tell достаточно (и, очевидно, необходимо) , чтобы a+i I iFtuMJu

ОО , afeR б) если для некоторого (г<^,оС) П Л(£) — <р f то

Fell

Это - обобщение теорем Боля-Бора ( 5 , с. 71) и Фавара ([30] , с. 154) (см. также [б], с. 206).

Существует тесная связь между почти-периодическими функциями Бора и непрерывными функциями многих переменных (см., например,

24] , с. 112). Так, например, если - некоторая непрерывная, -периодическая по каждой переменной функция, определенная на (Rk , то, как хорошо известно ([24] , с. 12), для каждого xelR функция где координаты вектора ^ 6: линейно независимы над полем рациональных чисел, является почти-периодической функцией Бора. Ее коэффициенты Фурье связаны с коэффициентами Фурье Cm(;J) функции f , L *tu) £ <Au > me Z ,

- скалярное произведение в ), следующим образом

С„Ц)е1<т,:С> , если Д = <гМ> для некоторого (7)

О , в противном случае.

Значит рад Фурье йгакции мокно получить из рада

Фурье ЪЦ] функции f, s [{] с*-") = е^, (8) me формальной заменой ^ через ^^^

В связи с этим мы вводим следующее определение. В дальнейшем через $ обозначим вектор длины 1 . Тригонометрический рад \ , meZ ( } s(w«) - J называется $ -конечным, если семейство комплексных чисел ( удовлетворяет условию:

2 \е„Л для любого ^о^-О * 1 '' 4

В этом случае ряд (9) называется J -сходящимся в точке ос 6 R , если его -частичная сумма S^ ^ ?

I <т, ос> к 2 Сте , xeR , имеет предел в точке ^ при —^ -Ч- 00.

Обозначим через ^Vco^)^ -частичную сумму ряда (8). Ее значение в точке -Le.R) совпадает со "значением в точке -telR -частичной суммы ряда Фурье функции Ф * Это замечание служит отправной точкой для доказательства следующих двух теорем.

Теорема 6 (см. п. 5.7). Пусть координаты вектора tf линейно независимы над полем рециональных чисел. Пусть ряд Фурье функции -j-G L2 (Т^) (Т = С0,2<п)) удовлетворяет условию л ( s icwc$Y ^ leTL1 4 7

Тогда ее ряд Фурье почти всюду ^ -сходится к / :

Со —> Оо почти для всех хб R .

Если к = 1 , то это вышеупомянутая теорема Карлесона. Следует также заметить, что теорема Карлесона при к >2 в случае, когда сходимость понимается в смысле Прингсгейма, неверна [3l].

Дяя сферической сходимости вопрос остается открытым [12].

Известна следующая теорема А.Й.Шюсснера ([2], с. 605): ес

Ч-п с pVWOC ли тригонометрический ряд сходится на множестве EcutO/ 2д0 положительной меры, то сопряженный ряд -isgnCm) С^е4^^, эсеК, meZ1 почти всюду сходится на Е.

Из этой теоремы и из теоремы о равносходимости из теории общих тригонометрических интегралов ([18], т. 2, с. 433) легко следует следующее предложение (п. 5.9):

Если тригонометрический ряд (2), удовлетворяющий условию (3), сходится на множестве Ес^К положительной меры, то сопряженный ряд

2 ,ап С А) сд е* , R, (10) почти всюду сходится на Е .

Ясно, что в случае, когда /1 Z , это - сформулированная выше теорема Плесснера.

Ряд (10) является естественным обобщением понятия сопряжения для рядов вида (2). Поэтому, и в силу сделанных перед формулировкой теоремы 6 замечаний, для кратных тригонометрических рядов естественным является следующее определение сопряженного ряда:

Пусть V^Z - полугруппа (т.е. V-fVci. V которая удовлетворяет условиям

-Vi;l/ = Zk и -V л V ={<>}• (к)

V -сопряженным рядом к ряду (9) называется ряд о.- • i <m, ?c> U

-.f^fl- Ысте , (13) где

1i , если meVMo\> О, если i, если

Очевидно, что при k-1 и V =Л0Д,2,--- \ ряд (13) совпадает с рядом (10). Следует подчеркнуть также и то обстоятельство, что полученное таким образом обобщение понятия сопряжения совпадает с тем, которое рассматривается в теории функциональных алгебр (случай тора; см. [27] , [34]).

Справедлива следующая теорема, которая при k= i есть сформулированная выше теорема Плееснера.

Теорема 7 (см. п. 5. II). Пусть кратный тригонометрический ряд (9) у -конечен и V^Z. - полугруппа, удовлетворяющая условиям (12), такая, что

Если ряд (9) ^ -сходится на множестве £с=. ТГ^ положительной лебеговой меры, то V - сопряженный ряд (12) почти всюду у -сходится на Е

Более того, если ряд ( 9 ) $ -сходится на борелевском подмножестве £ прямой elR^-- aco+^-tft^Rj; то его V -сопряженный ряд (13) почти всюду (в смысле линейной меры) ^ -сходится на .

Аналог теоремы Плесснера для кратных тригонометрических рядов, когда рассматривается шаровая сходимость или сходимость в смысле Прингсгейма, а сопряженные - в смысле Чезари, не имеет места. Это показали Гоголадзе [ю] , М и Глук [i]. Модификация их примеров показывает, что то же самое можно утверждать и для V-сопряженных рядов.

Доказательство теоремы 6 опирается на следующую теорему. Теорема 8 (см. п. 5.2). Пусть функция L и координаты единичного вектора je R линейно независимы над полем рациональных чисел. Тогда для почти всех зсеЧГ функция Чесф^' является почти-периодической функцией Безиковича класса j> , среднее значение которой равно среднему значению функции / , ^ -норма совпадает с if -нормой функции / , т.е. to* (ir { - (755* L Ifrtfty •

Т^-ьоо гк ' и коэффициенты Фурье функций и / связаны соотношением (7).

Множество тех хеТ , для которых Чс*,^)^) принадлежит более узкому классу U , или W почти-периодических функций, имеет полную меру или же меру нуль.

Для любого существует f<£ If (Т ) такая, что ср } if) ^ Wp для любого эс е Тк

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [13к].

В заключении выражаю благодарность своему научному руководителю Отару Дмитриевичу Церетели за внимание и помощь в работе.

1. Аш и Глук(!вЬ T.M.;GeacU L.). Convergence avid dive.thence of sezies cenjaflate. -to a. cenvet^znt mmQil^o. Fcunez se-zieb, 1хоть. Jmet.MctlL Soc.;lO, V975".

2. Бари H.K. Тригонометрические ряды, М., I960.

3. Безикович (Besicov/i -tcii vfl-S.), Jl&rr\05"t-p^(0clie. -fltrtcUoflS, GaroAtidge. , 1932,

4. Беллман man R), Л^ mo p-eTiodic DuU jUcx-UO., JO, 6^1-643, -I 9^3.

5. Бор Г. Почти-периодические функции» М., 1934.

6. Бор и Фольнер (BoW И, F^dnei. е), On sarvie -Ьур-ез *>«(• ^eUona£ space., ЛсАа. ДАог^ Цв> г Ъ\-\Ъ5 , 1944.

7. Бредихина Е.А. Об абсолютной сходимости рядов Фурье почти-периодических функций, ДАН COOP, т. III, & 6, II63-II66 (1956).

8. Бредихина Е.А. О сходимости рядов Фурье почти-периодических функций, ДАН СССР, т. 171, Я 4, 774-775 (1966).

9. Винер (Wiener N), On t-epzesa.nta'Uort -functions

10. Гоголадзе Л.Д, 0 суммируемости двойных сопряженных тригонометрических рядов, Сообщ. АН ГССР, т. 54, № I, 21-24 (1969).

11. Лукашенко Т.П. Сходимость почти всвду рядов Фурье функций, суммируемых с квадратом. Изд. МГУ", 1978.

12. Голубев Б.И. Кратные интегралы и ряды Фурье. Математический Анализ В 19 , 3-54 (1982), выпуск ВИНИТИ "Итоги науки и техники".

13. Гуния Н.Г. К обобщению теоремы А.И.Плесснера о сопряженных тригонометрических рядах, Сообщ. АН ГССР, т. 109, Jfc I, 25-27 (1983).

14. Гуния Н.Г. Замечания о сходимости рядов Фурье почти-периодических функций В.В.Степанова, Сообщ. АН ГССР, т. Ill, J§ 3, 473-476 (1983).

15. Гуния Н.Г. Замечания о сходимости V-сопряженных тригонометрических рядов, Тезисы докл. X научно-метод. конф. математиков высших школ Груз. ССР в г. Телави 9-12 ноября 1983 г., стр. 55-56, Тбилиси, 1983.

16. Гуния Н.Г. О сходимости рядов Фурье почти-периодических функций Степанова с разреженным спектром, Тезисы докл. X научно-метод. конф. математиков высших школ Груз. ССР в г. Телави 9-12 ноября 1983 г., стр. 56-58, Тбилиси, 1983.

17. Зигмунд А. Тригонометрические ряды, т. I, М., 1965.

18. Зигмунд А. Тригонометрические ряды, т. 2, М., 1965.

19. Кац(Кс*с Convergence and d'we^encc о\ nonha-Lwcmie ^ap series», £>uke «Hath. I, 8,^1 -545

20. Карлесон(Сат£е5ог? k.), Oys convez^ence and flzowlh <9/ pez~iial 5<jXbS of FoKzieT. series, Jc{ct cUodh., И6,1Ъ5-15?(19бф

21. Кордуняну(Сordaineamu С), Fu.nctu аргоне- ^eiicdice, Bucuxes-Uj , EJid. Дса<А R.P.R.,

22. Кук (Cook R.L.), Jl£*nos\-p€xio<iuc Fu.ncVtooe>, Дтеъ. jUontM^v. 83, JlK?, S\G~5Z6\o>b\).

23. Кук Бесконечные матрицы и пространства последовательностей, М., I960.

24. Левитан Б.М. Почти-периодические функции, М., 1953.

25. Левитан Б.М. Очерк истории теории почти-периодических функций, Историко-математические исследования, вып. ХХУ, стр. 156-166, 1980.26. Рудин (RuJiyi W),

26. Рудин (Ruchfl W), a^aC^is» e<\ G<i0(aps,|\J-Y.;

27. Титчмарш Е. Введение в теорию интегралов Фурье, М., 1948.

28. Торнехаве(ТогпеW/c -tW £оич1е-г. sexK><b «о-f Sle^a-nov a£mosi'j?€iioeiiC -fanci(Ot\$, tfaih. $c<x.nd. (i

29. Фавард(F«vaz.c)l j),Lесопз яллъ -function^ pze period/ Parts , /9 33.

30. Феферман (Pefferynctn C),Q„ iW iwe^ence Ц тч&и'.р^е fouziez. se,iies . junei- xolau. S-oc.,77, 19/- /95" (1 97t).

31. Хант ( /?. Л.) , On corwQ-iyeflcZ a/ Fouiizz. <u2xies.fzec. Ccm-f- Dzihoponcd Expansion asid irheiz t/nuoas Япу (очи es (EofwcxzJsviM, Ж., /96/), Souikezh Mflncis umi\f. Pzzss, CeLi&onaloti , /96Ъ, pj>. 2

32. Хартман (H^cimoLtJ Ph.), Tbe divergence oj- nonhctztnentcsezie*, 2>«ke Math.г, 9, W^-lOS (1942).

33. Церетели О.Д. Метрические свойства сопряженных функций, Современные проблемы математики, т. 7, 18-57, М., 1975.

34. Шелин (Sjoftjr» P),Jn ineyue-Pi'iy о\ РсЛеу awol cmvetyencc а.е. of U/oi^sh Fouxie-L series, Jzk. JfeUk, 4, 5S1- 5?o(lS>69).

35. Ульянов П.Л., А.Н.Колмогоров и расходящиеся ряды Фурье, Успехи мат. наук, т. 98, вып. 4 (23), 51-90, 1983.