Сходимость, равномерная сходимость и явление Гиббса для кратных рядов Фурье тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ъгичч'иь 'чики 1(ах> гдшдиппль

РГ6 од

^Ъпшсцф ¡1рил] п (.Ър т|

- 8 ОКТ 1996 51

иисчиои'и ось дги'^ь

^и«ииг,изь^ .гшч'зЬ'Ь шч.'ьт!1 «пн'иил^ши.нзтчч', дкчииишииФ апиш1^п№=)п)(ис к 1Ц||ЧЛ1 ьтичШ'З^и

и'шиЪшц^шп ».у J пг-Ъц 4 и.01,01 „ - 11 ш[ЛиГ шиф^иИциУ) иЛ|иц_[-|<\

шиифАшЦ! 'и^^Гш'и инлЬЪцфпиш-М„>иЛ|

и Ъ Ч I!' и Ч Ь Г Ъ Г и Ч И "и - 1 9 0 6 [}.

ЕРЕВАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи УДК 517.51 САРГСЯН 0Р1/1 ГРАНТОЯМЧ

СХОДИМОСТЬ, РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ И ЯВЛЕНИЕ ГИББСА ДЛЯ КРАТНЫХ РЯДОВ ОУРЬЕ

Специаяьцость - А.01.01 - математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ЕРЕВАН - 1996

Работа выполнена в институте математики HAH Республики Армения.

Официальное оппоненты: - доктор физико-математических

наук,профессор Голубов Б.И.

■ ■ - кандидат физико-математических

наук, доцент Григорян М.Г.

Ведущая организация - Московский государственный университет им. М.В.Ломоносова

Научный руководитель - доктор физико-математических наук, профессор Геворкян Г.Г.

Защита диссертации состоится " 5 " дк№(Яö 1996 г. 2 часов на заседании специализированного 'совета 0050

при Ереванском государственном университете по адресу: г.Ере-зан-49, ул. Ал.Манукяна, I.

С диссертацией можно ознакомиться в Библиотеке Ереванского государственного университета.

Автореферат разослан "J[_"czHmdijfiA 1996 г.

Ученый секретарь специализированного совета

кандидат физика-латемагичесжих наук, доцент

АРУТЮНЯН Т.Н.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА. РАБОТЫ

Актуальность темы. В теории тригонометрических рядов Фурье вопросам равномерной и ¡точечной сходимости посвящены много работ. Эта тематика, начатая классическими исследованиями Фурье, Дирихле, Хордана, Дини и других, в настоящее время активно разработывается как для простых, так и для кратных тригонометрических рядов.

Наряда с тригонометрическими рядами Фурье, активно исследуются также ряды Фурье по другим классическим систе.маыДХаара, Уолша, Франклина и др.). Получены важные результаты о равномерной сходимости на множестве как для тригонометрических рядов Фурье, так и для рядов Фурье-Уолша и Фурье-Франклина (ГДарди, Р. Салем, А. Бернпгейн.Д. Ватерман, Б.И.Голубов, К.И. Осколков, Ф. Устина, A.A. Саакян и др.).

Цепью реферируемой работы является исследование равномерной сходимости в точке и равномерной сходимости на множестве кратных рядов Фурье по тригонометрической системе и системе Уолша функций ограниченной гармонической вариации, а такяе исследование сходимости простых и кратных обобщенных рядов Фурье-Франклина.

Научная новизна. Все результаты диссертации являются но-

воех точках некоторого компакта Ряд Фурье по тригонометри-

ческой системе равномерно сходится по Прмнгсхейму на компакте К • Аналогичная теорема установлена для двойных рядов Фурье--Уолша.

Доказаны теоремы сходимости и равномерной сходимости как для простых, так и для двойных обобщенных рядов Фурье-Франклина--Стиятьеса.

На основании полученных результатов о сходимости рядов Фурье исследовано явление Гиббса для кратных рядов Фурье по тригонометрической системе и для двойных рядов Фурье по системе Уолша, а также для рядов Фурье-Франклина в одномерном случае.

Методика исследования. При исследовании сходимости рядов Фурье применяются неравенства, оценивающие частичные суммы ряда Фурье через гармоническую вариацию функции. Явление Гиббса выявлено для модальных функций, а затем распространено на общий

выми.

Установлено, что если функция раниченную гармоническую вариацию на

rL0>«-lu ) иеет ог-и непрерывна во

скучай. При этом применяются также общие методы метрической теории функций.

Теоретическая и практическая значимость.

Получанные результаты представляют теорегический""интёр'есТ Результаты и методы работы могут найти применение при изучении аналогичных проблем для других конкретных ортогональных рядов.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинарах А.А.Талаляна, Г.Г.Геворкяна и на летней сессии 1996 года армянского математического общества.

Публикации. По теме диссертации опубликовано три работы.

Объем работы. Диссертационная работа изложена на 105 стрг ницах, состоит из трех параграфов и библиографии. Библиография содержит 31 наименований.

Содержание работы

В работе изучаются сходимость, равномерная сходимость и явление Гиббса для некоторых ортогональных рядов.

Следуя книге [I], вводам .

Определение 1.1. Последовательность функций ^ ' > определенных в окрестности точки = и сходящаяся при ^ = -£0 (но не обязательно при ^-^--Ъо), называется сходящейся равномерно в точке "Ь о к" пределу Ъ , если для каждого £>0 существуют ? = и 9 = ?(£) , такие, что

Е. при и К>Р

Пусть - 2^ - периодическая, интегрируемая на

функция и

оД (1)

- ряд Фурье функции . Хорошо известны следующие теоремы

(011.^11, стр. 101; [2], стр. 121).

Теорема I. Если функция ^(-Ь) имеет ограниченную вариацию на отрезке ^ то ряд (I) сходится равномерно в каждой точке непрерывности •

Теорема 2. (Признак Дирихле-Хордана). Если функция имеет ограниченную вариацию на отрезке Е-ТГДЗ ) то

а) в каждой точке "^[-^Т} ряд (I) сходится к [ а (^-о)* + л/1л А

б) если, кроме того, ^("Ч непрерывна в каждой точке отрезка

[a,Vl с^-ТГ ( то ряд (1) сходится к равномерно на

Db U .

Эта теорема обобщалась в различных направлениях Çсм. J_3J —

Ст).

Д. Батерман (ou.|_IOj) распространил этот результат на класс функций ограниченной гармонической вариации HÛV*

HBVsH&vt W1V:

где î(ï) = - $(<*•) , если I = W) , а Suf бе-

рется по всем системам попарно непересекающих-

ся интервалов из Ц-'^/П'З . Д. Ватерман^О} доказал следующую теорему:

Теорема 3. (Д.Батерман). Для произвольной функции ^.é-noV справедливы утверждения а) и б) теоремы 2.

B[lÎ) Г.Харди определил класс H функций двух переменных ограниченной вариации на прямоугольнике и для двойных рядов Фурье функций ограниченной вариации был доказан аналог теоремы 2, где сходимость определяется по Прингсхейму, т.е. через прямоугольные суммы. Этот результат был обобщен Б.И.Голубовым (см. 1121).

В|13_] А.А.Саакян определил класс HBV функций двух переменных ограниченной гармонической вариации и доказал аналог теоремы 3.

Прежде чем сформулируем результат А.А.Саакяна, приведем некоторые обозначения и определения из[Г].

JTycTb Х- бЧг" jXtOél"', rf~ (/А,-* '^»0 } где А/К) К= i.ti ^ неотрицательные цэлые числа и i • > ^ О >

где £к = ± I, к = I.tv. Скажем, что bf = (.//^ стре-

мится к +■ г» , если каждая Последовательность-^

сходится к s , если для любого ^>0 имеем при условии, что все tf'^ достаточно велики. Положим

П £t* S) = * ДедЗД — - - А е^ »И »

П(*Л) = U П^Л) -

Пусть - внутренность множества Е , 'ôX-> где I - либо ( л ,4> ), либо

Ниже всюду функция предполагается измеримой и

3J- периодической по каждой переменной у.^ , .

Обозначим через S прямоугольную частичную сукну ряда

Фурье функции ^ е и :

где г _ J_ f..

- коэффициенты Фурье функции •

Точка Xе = (X., ,у!Г-,Хп°> называется точкой разрывг первого рода для функции ^.(х) i если существуют пределы

для всех Ь Положим

Точка называется точкой устранимого разрыва, если ^(х0) = о) (Xе) для всех t .

Аналогично определению 1.1 определим равномерную сходимость в точке для последовательности функций нескольких переменных. Г £ (>01

Скажем, что последовательность функций > ) опред«

ленных в окрестности точки равномерно сходится к пределу Ч з точке Xе, если для каждого ^ > 0 существуют 5'=-<ь(л1) и р= р("0 . такие, чго ЛРИ

Следуя работе\133, определим класс НВV функций двух переменных ограниченной гармонической вариации.

Пусть (-0">+с0) — интервал или отрезок с концами

А/1 и . Через -О. (X1) обозначим множество всех конечных систем попарно непересекающихся интервалов Х^ удовлетворяющих условию Х&т ^^З^]!1 . Определим гармониче кую вариацию для функции ^(х^Хд) двух переменных на Оа =

— 3й * 1г , При фиксированном положим

Обозначим у IliT^.JCiM

Аналогично, при фиксированном определяются 1

V* К^Д1). Положим также (1 - интервал или отрезок с

концами а1 и )

{(Г, I*H(ft\ а'И №) - i Д4) ftu*),

ll^-ait*)

Скажем, что функция имеет ограниченную гармоническую

вариацию на прямоугольнике D^-iNl* ; если

Отметим, что аз принадлежности функции Ь к

классу HBV 5 еще не следует измеримость функции Например, легка видеть , что характеристическая функция множества В , где £ - неизмеримое плоское множество, имеющее с каждой прямой не более двух общих точек, принадлежит HB*/ (но неизмеримо). Мнокестзо В построено В.Сарлинским з работа

ш.

Для определения класса HBV функций ^переменных ограниченной гармонической лариации, нам понадобятся следующие обозначения: ^

где интервал или отрезок з (-е-» с концами и t.

По индукции определим гармоническую вариацию и класс HB V (Dh) для функций .w переменных. Предположим, что при к=!г-1

определены гармоническая вариация и класс HB V С0^). Определим для к = V, .....................'] {-г'<.......-т'1.......w...........

V?.w ;>и«)" (II) • К*- -к» ^

vpy-t (W;)+\ (м o,).

Скажем, что HBV ( D,,) > если VH (i^M •

Через EBV и VH (4) обозначим HBVfFW^ и Vh('I ) соомвмменно.

Теорема 4. (А.А.Саакян). Если ч го

а) в каждой точке разрыва первого рода

б) если, кроме того, ^(х) непрерывна на нею горой открытом множестве Е, го имеет место равенство (2) равномерно на каждом компакте К<=Е.

При эга теорема доказана А.А.Саакяномjl3], при И^З доказательство можно провести аналогично.

С вопросами сходимости кратных тригонометрических рядов подробно можно ознакомиться из обзорной статьи М.И.Дьяченко[15_ В перлой части параграфа I устанавливаются аналог теоремы I и уоиление теоремы Верны оледующие теоремы:

Теорема I.I. Если^ HBV имеет устранимый разрыв в точке ю прямоугольные чаотичные суммы х) РяДа Фурье

функции равномерна схедятся к в точке Xй •

Теорема 1.2. Если I 6 НВУ , те

а) л каждой точке разрыва перзсга рода имеет место равенство (2);

б) если, кроне того, непрерывна в точках компакта К, то равенство (2) имеет место разномерно на К.

Во второй части параграфа I рассматривается явление Гиббса для кратных рядов Фурье функций ограниченной гармоническая вариации .

Опишем явление Гиббса (см.|^1], стр. 105). Сначала рассмотрим поведение частичных сумм ряда

у <£ л Л ,

. Г/4Л- \ ^н^ ^>0 й(0)=О.

в окрестности точки X = 0. Пусть олт-;- о * '

Напомним, что £ ("О непрорызна,

при

-Ь>0)а £ = . Хотя

стремится к ^ (■£) "каждой фиксированной точке (одтт^но кривые ^ц(-Ь) проходящие через начало координат, накапливаются к интервалу о а

— = 4 ....

УМ ^ * ^ '

Так как - нечетные функции от "Ь аналогичная си-

туация имеет место з левой части окрестности точки ^-О , где кривые ^("Ь') накапливаются к интервалу Такое поведение частичных суим называется явлением Гиббса. Его общая форма может быть вписана следующим образом. •

Пусть последовательность ^ 60 | сходится к +-60 при У6 П£(х°Л") и существует . Скажем, что

для ^(х)] имеет место явление Гиббса а ГГ^Х^к.) ) если

4/) > ^ г^ ¿и. у*) < 0|

Положим

£ N->01 »

p(x°)= тлх ft(xe) -, ?(*e) ^ wl* -

В параграфе I доказана следующая

Теорема 1.3. Если^.6 HBV и в гочке Х° функция имеет разрыв первого рода, то

а> $ olcx0) «Т£(*в)>

б) если х° - точка неустранимого разрыва, го

в противном случае Tç dfx0) для

воех £ » ~~

с) ' | dix0)- 4еИ I « an (р£&!) - ¿Г/")) j

где Q*, Фи. jQ.fi. G (ОД) - константы, зависящие только от ц. Явление Гиббса для других видов сходимости кратных тригонометрических рядов и для других классов функций исследованы в рабогах[1б] - [l8j.

В параграфе 2 установлены аналоги теорем I.I и 1.2 для двойных рядов $урье - Уолша функций ограниченной гармонической вариации. Также рассматривается явление Гиббса для двойных рядов Фурье-Уолша.функций ограниченной гармонической вариации. Пусть ^["t) - интегрируемая на[одЗ функция и

ГГ йЛ) СЗ)

- ряд Фурье-Уолша функции ^ . Имеет место следующая

Теорема 5. (cm.[I9], стр. 58). Еоли интегрируемая Ha[o,lJ функция непрерывна на некотором двоичном интервале д. и имеет на Л ограниченную вариации, го ряд (3) сходится к <J-(t) равномерно на д .

Верны аналоги теорем I.I и 5:

Теорема 2.1. Пусть é HBV([o,l]2). Если (*«До) точка устранимого разрыва функции » ï0 прямоугольные

частичные суммы ^vv^ ряда Фурье-Уолша функции

^bS'J-) равномерно оходятся к Ж(х6)У<,) в гочке (ХоД«)«

Теорма 2.2. Если £ НЕУ^ОД"]2) и £(ХД) непрерывна в точках компакта |< то прямоугольные частичные сум-

мы м разномерно сходятся к на компакте К •

Во второй части параграфа 2 рассматривается явление Гиббса для двойных рядов Фурьв-Уолша функций ограниченной гармонической вариации.

Для частичных сумм ряда Фурье-Уолиа наличие явления Гиббса установлено А.М.Зубакмныы^2СГ]. В работе^21^[ Л.А.Балашовым и В.А.Скворцовым было введено понятие функции Гиббса и найдены точные оценки сверху и снизу для этой функции.

Определение 2.1. Пусть \0 - точка неустранимого разрыва первого рода функции ^ имеющей ограниченную вариацию в некоторой окрестности точки "Ь0> причем I -

и пусть последовательность функций (^(Ь)^ сходится к з каждой точке некоторой окрестности точки (не обязательно сходимость при "Ь = "Ь,, )• Тогда определим выражение

о(1 4и рп \ ^ ±.и/г) 3(^ + ^.-0))

которое будет называться функцией Гиббса для последовательности

Если (г^о) >1 >то скажем, что для последовательности

вгочке "Ьо имеет место явление Гиббса. В работа[213 доказана следующая

Теорема 6. (Л.М.Балашов, В.А.Скворцов). В каждой двоично-иррациональной точка Х„ имеют место оценки

^ С^о^ЛН)^ >

причем почти всюду

Вместе с тем существуют двоично-иррациональные точки, в которых

— А- ^ где - частичные суммы ряда Фурье-Уол-

ша функций $.(40 , ,п .

Обозначим через прямоугольную частичную

сумму ряда Фурье-Уолша функции € I? (.С°,|]й) } г.е.

£ойоС*>» , м /

а о

- коэффициенты Фурье функции по системе

Положим

Р»«

Определим верхнюю и ниянюю функции Гиббса в точке соответственно.

Ч\_ <№>**Х)

й Р ч -и

к мл- I

где ь^р и Ц берется по воем функциям ограничен-

ной гармонической вариации на кэадрате^ОД^2, для которых точка (х^1^ является точкой неустранимого разрыва первого рода.

Точку %) назовем двоично-иррациональной, если Л0 и - двоично-иррациональные числа. Верна следующая

Теорема 2.3. В каждой двоично-иррациональной точке 1х«Д0 имеют место оценки

0< <Г(>Ч*0 <1 ,

причем почти всюду _(г тр 1 ^ = ¿р

В третьем параграфе рассматривается сходимость и равномерная сходимость однократных и двойных рядов Франклина.Изучается также явление Гиббса для системы Франклина.

Пусть - интегрируемая на[о,1]] функция, а

- система Франклина (о системе Франклина см.,

напр.[22])и

? *.«) m «

H=o

- ряд Фурье-Франклина функции ^-("t) . В работе Чиоольским была доказана

Теорема 7. Если в точке t имеет место

о

то ряд (4) сходится К

Напомним некоторые обозначения и определения. Пусть ~ функции, интегрируемые по Риману

соответственно на огрозке[о,1^ и на квадрате^О,1^. Обозначим:

t-te t**« -t-^o

д, i âM 0. ы

'>' KJ U.

oL

a 4

s to^ «a - & W» йц

Yi ' do

где Кд^г5*) " ялря Дирихле для системы Франклина.

Определение 3.1. (см.[1], том 2, стр. 465). Если для любого ^^ I существует предел

3 - ¿»и4* >

А-А »к.4

# т

то скажем, что последовательность Я ~ сходится (или

ограниченно сходится) к £ .

Определение 3.2. Если для любого I существует предел с

(п,

хГ Ш *

то скакеы, что последовательность равномерно

сходится з точке к Б .

Верны ояеадющие теоремы:

Теорема 3.1. Пусть - функция, интегрируемая по Ри-

ману на отрезке СОД}.

1) Если в точке имеют место неравенства

-СО < О ^о) ,

то

где М - абсолютная постоянная.

2) Если в некоторой онрестносиа точки функция $-(4) представляется в виде \

где

Ш)

- непрерывная функция в точке 4:0 .но последовательность 5,^) равномерно сходится к ^(-{:<,) в точке 4:0

Замечание 3.1. Из одной теоремы, независимо доказанной Ф.Г.Арутюняном£243 и Н.Б.Погосяном[25], следует, что для любой измеримой и конечной п.в. ка £.ОДЗ функции найдется ряд

Франклина "£Г ,сходящийся к п.в. на (ОД).

Тот же результат следует из пункта I теоремы 3.1. ДеМсфватеяь-но, из одной теоремы Лувина[2б] следует, что для любой измеримой и конечной п.в. на [ОД] функции существует непре-

рывная функция К-Г) , такая, что ^Ю для почти

всех ^^(0,1). Следовательно, из пункта I теоремы 3.1 следует, что ряд ^ где п- \Ч (Ь^о^Ю ) сходится к ДО п.вТна\ОД]. «ТН

Отметим, что Г.Г.Геворкян доказал возможность_пред-атавления п.в. конечных измеримых функций абсолютно сходящимися рядами Франклина.

Из теоремы 3.1 немедленно следует

Теорема 3.2. Если интегрируемая функция ^-В:) непрерывна в точках отрезка ¡&.Л1 с ^ОДЗ» 10 Рйд ^ равномерно сходится к ¿(V) на .

Теорема 3.3. Пусть доклад лм.)лм)>

Л(х.о) интегрируемые функции по Риману соотвег-

^ 'О'')"'-«, р —

ственно на квадрате\0,1_) и на отрезке|_0 Д_|.

1) Если в точке (х^ЭД имеют место неравенства

то для любого ^ I имеем, что

2) Если существует предел

о--(^к^То-~ }

то последовательность равномерно "Л-сходится к

О^ОЧ^о) в точке (ХоДо) •

Во второй части параграфа 3 исследуется пплонио Гиббса для системы Франклина.

Дадим определение функции Гиббса для системы Франклина. Определение 3.3. Пусть 4: „ - точка неустранимого разрыва первого рода функции Ц1 (ОД), причем

~ 1 ^ и пусть последовательность функций | сх0~

дится к s каадой точке некоторой окрестности точки

(но не обязательно в точке ). Тогда определим выражение

которое будет называться функцией Гиббса для последовательности ) где SJ.^-t') - частичные суммы ряда Фурье-Франклина функции

Для функции Гиббса Ijltc) иыеэг место Теорема 3.4. В каждой точке (ОД) имеют место

оценки ,

i+ «¿l * т«v ^ >

причем лсчги всюду Q- C't —

3(5-45) Заключение

В диссертационной работе получены следующие результаты:

1. Доказано, что если-измеримая функция ,Х€-[о,5.ТгЗ^ имеет ограниченную гармоническую вариацию, то частичные суммы кратного тригонометрического ряда Фурье.по Прингсхейму равномерно сходятся в точках непрерывности ^.(х) . Если ^Сх) непрерывна в точках компакта УС О } то частичные суммы кратного ряда Фурье функции равномерно сходятся на К.

2. Доказан также аналог этих результатов для двойных рядов Фурье-Уолша функции ограниченной гармонической вариации.

3. Доказано явление Гиббса для кратного ряда Фурье и двойного ряда Фурье-Уолша функций ограниченной гармонической вариации.

4. Получены оценки верхнего и нижнего пределов частичных сумм обобщенных рядов Фурье-Франклина через верхний и нижний производные в точке.

5. Получены теоремы о равномерной сходимости в точке обобщенных рядов Фурье-Франклина и о равномерной "Л -сходимости двойных обобщенных рядов Фурье-Франклина.

6. Доказано, что для функции Гиббса по системе Франклина в каждой точке имеют место оценки

причем почти всюду \ —

0/

ЛИТЕРАТУРА

1. А.Зигмунд. Тригонометрические ряды. - М.: Мир, 1965, Т 1,2.

2. Н.К.Бари. Тригонометрические ряды. - !í.: Физматгиз, 1961.

3. /V, ЛЛг <j, ¿ г л. 11 i /.trl¿.iictt л

tts foocrlí-C , wU&v> <X(\

^.^.M^fÚ^ViíY/ÍCl. Он Л ^v.ktichS íbui íUlr Fb^rifeC""

Se.ciü^, Co^pi. HÍLVIJ.j Soc, VWsouáe,.^ №.

OOv\ ÍA<"№C¿ Fcarüí.r- , J/luot. Аи. j vjL . И Г f »Г

A. S^Uiv, ва,г tr^¿AVvO»netri,C, ñttaü ,

4t¿ Súl. ¿t ^dw-s-tf.) ¿bij^c ;

7. 0. Cco • E V'cr ^Kert Сси ^-¿yin CX Vc^cltf s ¿c cts , "UlCLfcb i!nu. ¿'fct*. 1-X ,AJ¿/Í5?0 , ftf-Í12-

8. К.И.Осколков. Обобщенная вариация, индикатриса Банаха и равномерная сходимость рядов Фурье, Мат.заметки, 12, № 3,

1972, 313-324. 'ida е J

9. А. ва.^^Лап .Оп, iA4\v<ix<^vicl <4 £u.«cUcn о \ Wn4íe|

<Ф -^o^-Lcuticn , SU«lva. Mhib.j^jL ¡ÑS }№2¿te-Mi.

0. O.^diTifл^л.Ои herrar c(- ^cUcu«,

oi. í^vvtгл£й.гíloI vav-i-atiow , Studla yUa.bi.

fr. Ц.Нйго\^, Qc (.Uu^ÍL ^caO,er (tt^l especia

tWoS<t v^kot, r^reb^vifcU ¿lou.JUC ¿¿Tü. - {I^nCt leu W/c tu гссЛг. CUid ukcirviM¿v,bл parCuvi¿ttrs. Qu.ar t, L jUÜt

¿7- JOOt , íi -f.6 • v

2. Б.И.Голубов. О сходимости двойных рядов Фурье функций ограниченной обобщенной вариации, Сиб., Мат.,ж.,15, № 2, 1974, 262-292.

13. А.А.Саакян. О сходимости двойных рядов Фурье функций ограниченной гармонической вариации. Изв. АН ЛрМ.ССР, Математика, том 21, № 6, стр. 517-529, 1986.

4 US до) /И4. -

15. М.И. Дьяченко. Некоторые проблемы ¡теории крагных тригоно<

метрических рядов. Успехи математических наук, гоы 4?, выпуск 5(287), 1992, 97-162

16. vM

(k&s,

¿Avöh íUol Bucim¿fS

17. listín. fU^^O» ÚLd.%. O Íl¿<

Ü.3. Ои "bkc ffl^-^s feiesg- spWrLca

oi^tlpíc Foariw s^ces a^Á fWlW ХуЛ^С«. -í' (f5?S)> S 1- S3> -

19. Б.И.Голубев, А..В.Ефимов, В.А.Скворцов. Ряды и переобразов! ния Уолта. Теория и применения. - М., Наука, 1987.

20. А.М.Зубакин. Явление Гиббса для мультипликативных систем типа Уолиа и типа Виленкина-Джафарли, Сиб.Маг. жур. 1971, Т.12, № I, 147-157.

21. Л.А.Балышов В.А., Скворцов. Явление Гиббса для системы Уолша. Докл. АН СССР. 1983, т. 268, № 5, 1033-1034.

22. Б.С.Кашин, А.А.Саакян. Ортогональные ряды.

М.: Наука, 1984. Г)

23. =2 • CU * йеЯ sk ó • Pr-cpectie*. o(Vne ortUtorweJc г^икип

s^iem.SUolLa <2? ( 1366),ЦЪ-ЫЪ.

24. Ф.Г.Арутюнян. Представление функций кратными рядами. -Докл. АН Арм.ССР, 1977, г. 64, Ш 2, 72-76.

25. Н.Б.Погосян. Представление измеримых функций базисами I? (0.D (Р£.2) - Докл. АН Apü.CCP, 1976, т.63, и 4, 205-209.

26. Н.Н.Лузин. К основной теореме интегрального исчисления, Сочинения, т. 1, стр. 5-24-.

27. Г.Г.Геворкян. О представлении измеримых функций абсолютно сходящимися рядами по системе Франклина. - Докл. АН Ары.СС 1986, г.83, N2 1, 15-18,

X. О.Г.Саргсян. О сходимости и явлении Гиббса крагных рядов Фурье функций ограниченной гармонической вариации, Изв. АН Армении. Математика, г. 28, № 3, 1993, 3-20.

П. О.Г.Саргсян. О сходимости и явлении Гиббса двойных рядов Фурье-Уолта функций ограниченной гармонической вариации. Изв. АН Арм.ССР. Математика, г. 30, !,'? 5, 1995, 30-46 Ш. О.Г.Саргсян. О сходимости и явлении Гиббса рядов Франклина. Деп. в-АраНИИНТИ 5. 12.95. № Ю-Ар96.

11 1Г Ф и Ф 11 п и

ИтЬЪифпип 1.р ,]П|.ЬпиГ шлш.}1|Ь(. ЬЪ '¡Ьш!!.)!^ шрг;} п [.ЪрЪЬрр

1. 11и{шд п 1.д1{ш!>

¡1 иш^иЛиифш^ Чшрь'п^ф^ 1]шр|1шз[1и], шщш "ирш 5>гч.р.|Ь{1 ЬпшОД,) ш^ш,; ш-ш^иЛ 2шРёЬ ^шиЬш'^шЪ qпшГшрЪЬрц рит 'Чр^Ъ^иЧЬЧик^шишри^шф цпь-илГ^илпи/ ЬЪ ш^ц'иг^Чиллпг-д .]П|.рифиЛ<£ ,)~п 1р ЦЬетпиГ: ЬрЬ шЪрЪг)-

шш t ^тТщш^ш}! и/ллЬрги^ , ши{ш Ърш ршср1ши(идп(|1( ?шрр[1

иГ ЬЪ ^М

2. ИщшдпI.Зи(шЬ £ шрг} .¡Ш-ЪрЪЬр}! шЪш|_пар ишЧи'ш'ишфшк ^шргГ 1ир{1шд[1и).) [1 Фп цЪ^д^иДЛр {> 11р1|Ъш11[1 3)г>1р.|Ь- lli.ni.2fi ?шррЬр[1 ЧилГшр:

3. Циридт-д^шЬ Ь ^Ъри|1 Ьр1ии..)Р[1 иш ЫиДлифш!! п\1 [т({ 1|и]р[шд£ш.|1> п |Л1{д|1иЛ|Ь[|£1 3'п1р.)Ь|1 рш^ьГшщштЬЧ гТЭ'Ч'Ь Фпц^Ь-П |.п|.2Ь ^рЦ^ш^ шр^Ьр^ "¡инГшр :

4. итшо^Ь 1. ЬЪ рЪцЧшЪршд^шЬ Лпср JЬ— ''ршЫц^-ф ?шр£Ьр[) ьГшиЪш^шЪ п чГ|ир1|Ьр(1 1{Ьтпи/ ({Ьр^Ъ к иппр[1Ъ иш^шЪЬЬр^ с^^ллЧшччиЦ.ш'иЪЬп ^ЬрИЪ

итпр[\\1 шЬшЪд .(шц^Ьр ¡1 \Г[)£пдп1|:

5. 11 шшдс}ЬЬЪ рЬ прЬ^'иЬр р1|Г| ЧшЪршдЦшЬ п 1.р JЬ- Фри|Ъ!|[. (И-ф Ьр^ 1|ЬтпиГ Чин^ишшрш^шф (^.п щилТЬ тп ир Ь. р"иг1 ЧсЛршдЦшЬ и.р^Ъш!^ т.р.|Ь- 2шГ£^р11 А " ^ш1|иишри»^шф ^п^ш^тпиЧ _|шХ„4Ьрш-Ьр.|иц.:

6. 1Цшдп сд1|шЬ ) пр рит ФршЫи.Ь'^Ь ^инГш^шр (г пс^д^ш^ ЧинГшр ¿шрифту .¡пир ^ЬшпиГ пиЪЬЪ ^ Ь тЬ. J ^Ъш-итиИцЛЪЬрр _1

Ьп пппиГ -г!^ \ ~г —-----^илТшп |ш ип-ГЬЪп (.пЬр

^ °> 1 ъ(ъл-Щ